Некоторые вопросы гармонического анализа на икомплексной сфере тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Рг1!оя

' 1! ГС, 4

1-С п /О П^

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДУБПОВ Евгений Сергеевич

некоторые вопросы гармонического анализа на комплексной сфере

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Санкт-Петер бург 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физ.-мат. наук, профессор

А.Б. Александров

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор фи:».-мат. наук, профессор

II.А. Широком

кандидат физ.-мат. наук, науч. сотрудник В.В.Капустин ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

седании диссертационного совета К 063.57.29 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904 СПб, Старый Петергоф, Библиотечная пл. 2, СПбГУ, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 23 августа 1995 г.

Ученый секретарь Совета

Защита состоится 28 сентября 1995 г. в 1522

часов на за-

доцент

О. И. Рейнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Единичный шар Вп С С" является модельным примером строго псевдовыпуклой области и поэтому играет особую роль в теории голоморфных функций, заданных на тчких пбласхлх. С другой стороны, шар является классической областью, а его граница, сфера 5, есть однородное пространство унитарной группы Ы{п), именно, 5 = и(п)/и(п — 1). Последнее наблюдение позволяет развить спектральную теорию функций, определенных на сфере. Один из основных вопросов такой теории — соотношение спектральных и метрических свойств функций (и мер). Изучение этого вопроса приводит к задачам о множествах единственности и нулевых множествах, интерполяционных множествах и множествах пика. Для функций, заданных в шаре, естественно ставить задачи о граничном поведении, в частности, об исключительных множествах.

Вышеперечисленные задачи достаточно давно интенсивно изучались для пространств голоморфных функций (многие результаты собраны в монографии [1]), в последнее время вырос также интерес к плюригармонической интерполяции (см. [2]). Одно из быстро развивавшихся направлений дальнейших исследований было связано с задачей построения внутренних функций в шаре (необходимо отметить работы [3-6], а также обзоры [7] и [8]).

Традиционные обобщения обсуждаемых вопросов основаны на рассмотрении областей, граница которых имеет более сложную геометрию, чем сфера. В диссертационной работе исследования ведутся в ином направлении — изучаются функции, близкие к голоморфным в спектральном смысле.

Особый интерес для теории функций в шаре представляют меры с плюригармоническим спектром (кратко, РМ-меры). В частности, имеет место прямое соответствие между положительными сингулярными РМ-мерами и внутренними функциями. Интересные результаты о РМ-мерах были получены уже в работах [9, 10]. Далее эта тема развивалась при решении задач о внутренних функциях, однако многие вопросы о сингулярных частях РМ-мер остаются открытыми (см.[7]).

Цель работы.

Изучить унитарно инвариантные пространства функций на сфере, близкие к классам граничных значений голоморфных в шаре функций (воспроизводящие ядра и интегральные операторы, порожденные такими ядрами, множества пика, интерполяционные и исключительные множества). Исследовать носители мер, интеграл Пуассона которых плюригармоничен.

Общая методика исследования.

Используется аппарат вещественного гармонического анализа (классы Харди, сингулярные интегралы) и гармонического анализа на однородных пространствах компактных групп, общие методы многомерного комплексного анализа и линейного функционального анализа."

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в спектральной теории функций (в частности, при получении утверждений типа прин-

ципа неопределенности), для изучения проекторов типа Коши-

Сегс, пространств типа Бергмана-Соболева.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ-СПбГУ по спектральной теории функций, ня грмипяпр тт" нескольким комплексным переменным университета Бордо (Франция) и на семинарах по анализу университетов Барселоны (Ис- * панил).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Д1], [Д2], [ЛЗ].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, подразделенных на 16 параграфов. Библиография содержит 41 наименование. Общий объем работы — 64 ТеХ-страницы.

Краткое содержание работы

Общее описание.

В диссертационной работе рассматриваются классические задачи теории функций в шаре — интегральные представления, граничное поведение и граничные значения, представляющие и плюригармонические меры. Эти задачи исследуются для унитарно инвариантных пространств функций на комплексной сфере.

Получены явные формулы и оценки для воспроизводящих ядер в соответствующих пространствах гармонических в шаре

функций. Такие оценки доставляют важную информацию об операторах типа Теплица и Ганкеля.

С помощью неголоморфных аналогов полиномов Рыля-Войта-щика и техники А.Б.Александрова доказаны теоремы о существовании функций с предписанными значениями модуля или вещественной части (почти везде или в ином аппроксимационном смысле). Эти теоремы доставляют результаты о множествах пика, интерполяционных и нуль-множествах. Также такие теоремы используются при изучении граничного поведения гармонических и полианалитических функций, функций из классов Харди и Неванлинны.

С помощью свойств операторов Ганкеля доказано, что сингулярные части плюригармонических мер и представляющие меры взаимно сингулярны.

Обзор диссертации по главам.

Введение содержит основные обозначения, хорошо известные факты из гармонического анализа на комплексной сфере, а также общую характеристику рабрты.

При (р, g) £ "Щ. символ H(p,q) обозначает пространство гармонических однородных многочленов (в <С") бистепени (р,g). Воспроизводящее ядро для Н(р, g) обозначается Kpq(z, Ç) (z G В,

Ces).

Спектр меры fi 6 M{S) определяется равенством

spec {ц) = {(р, g) G Ъ\ : J KP1(z, Ç) d^Q $ 0}.

s

Глава 1. Унитарно инвариантные пространства функций.

В этой главе собраны сведения общего характера о пространствах, фигурирующих в названии. Особое внимание уделено изучению соответствующих интегральных представлений.

ТЗ СП /.Л^гччтттт пттпотгд TT^UTitT W ТТЯТТЛ КПЯ.ТКПР. ППИ-

сапие результатов главы.

В §1 вводятся и обсуждаются унитарно инвариантные пространства Н).т то € 1 р < оо) — аналоги классов Харди НР(В). Именно, при 0 ^ m ^ к

Hpkm(S) ■= U € V>{S) : spec{f) С {(Р, ?) € : т < q ^ к}}.

Н%т(В) есть соответствующее пространство гармонических в шаре функций. Если к = ш, то используется обозначение Подобным образом определяются пространства Akm(S) — аналоги классической алгебры А(В) {/ £ С(В) : функция / голоморфна п шаре В}. Для произвольного множества Q С используются обозначения L^(S) и Cn(S).

Отдельно рассматриваются унитарно инвариантные модули над Л(5). В частности, дано описание пространств Aho{S) в терминах 5-производной (предложение 1.1), а также получено описание всех унитарно инвариантных модулей над алгеброй A(S) ' (теорема 1.4).

§2 посвящен доказательству оценки, играющей важную роль в дальнейших построениях.

Теорема 2.2. Пусть размерность п 2, Ck{z,Q — воспроизводящее ядро для пространства Hl(Bn), к £ Тогда существует константа const(k, п), зависящая только от кип, такая что для всех z ев, с е 5

\Ck{z,0\$const{k,n)\C0{zX)\.

Отметим, что Со(г,£) = С(г,С) = (1— < >)-п — классическое ядро Коши-Сеге (в шаре).

Также получена явная формула при к = 1 (для к ^ 2 соответствующее выражение становится громоздким):

' С,(г,0 = п- <^г>_М2 ^

(1-<1,С>)"+1 (1-<2,С>)"'

В §3 изучаются интегральные операторы, связанные с ядрами Сь(2,0- Пусть Ск : ¿2(5) —► Н1(Б)— ортогональный проектор. Операторы типа Теплица и Ганкеля с символом <р € Ь°°(5) определяются формулами (здесь / 6 ¿2(5))

ПАП = с* [*>/], = ^ • с,[/] - ткм

Обозначения Тц^ и соответствуют проектору

Ка : ¿2(5) ЬЦв), .ПС%2+.

Полученная выше оценка доставляет следующий важный результат.

Теорема 3.2. Пусть <р € Сх(5) и к е Тогда

(a)Тк„{Ак{8))сАк{В).

(b) Ук^(С(3)) С С(5) и оператор УкгЧ> : С(5) С(5) кампак-теи.

(c) Утверждения (а) и (Ь) верпы для пространств и операторов, соответствующих множеству {(р, д) •' 1 ф к}.

Далее рассматривается один специфический вопрос — задача Глисона для унитарно инвариантных пространств. Пусть X — некоторое пространство, состоящее из функций голоморфных

в шаре Вп. Положим -АГ(0) = {/ € X : /(0) = 0}. Ограниченный оператор Т — (7\,... ,Тп) : Х(0) —+ Хп называется решением задачи Глисона в начале координат (для пространства А'), если

.> —1

для исех / 6 А"(0), г 6 Вп.

Решение Лейбензона (см.[11]) в записи Ахерна и Шнайдера (см. [12]) имеет вид

= I ло) - СМО-

5

Известно, что оператор Ь решает поставленную задачу для пространств А(В), НР{В), р > 0 (а также для многих других ЛГ). В §4 показано, что решение Ь является "оптимальным".

Теорема 4.2. Пусть X обозначает одно из пространств А(В), НР{В) (I <; р ^ со) и оператор Т решает задачу Глисона для X, тогда

Глава 2. Теоремы об исправлении и их приложения.

Первая часть главы 2 посвящена доказательству теорем об исправлении для унитарно инвариантных подпространств пространства С(5).

§0 является вводным. В §1 дано конструктивное доказательство следующего (известного) факта.

Теорема 1.1. Для каждого к (Е и размерности п существует константа с(к,п) > 0 со следующим свойством.

Пусть ц — положительная мера на Б. Тогда найдутся полиномы УГР Е Н(р,к), такие что для всех р 6 выполнено (Ч> \\WpWas) ^ 1,

(Ь) \\щ\\ь>(*) > с(к,п),

Далее вводятся два ограничения на спектр

(СН)-свойство (компактность оператора Ганкеля). Для всякого гармонического полинома у (суженного на сферу Б) оператор Ганкеля действует из Сп(5) в С (Б) и является компактным.

(Г1\У)-свойство (существование полиномов Рыля и Войтащика (см. [13])). Существует константа с = с(П) > 0 , такая что для каждого N 6 найдется пара (р,5) 6 П с р > ^ и найдется такой полином Яр £ Я(р, д), что ||#р||с(5) < 1 и ||ЛР||£3(5) ^ с.

С помощью абстрактной техники, развитой в работе А. Б. Александрова [4], в §2 доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть множество И С ^ обладает свойствами (СН) и (11\У). Предположим, что <р 6 С(5), <р > 0. Тогда существует последовательность {/т}т=1 С Сц(3), такая что |/т| < <р всюду па 5 и Нтт_»оо |/т| = У с-почти везде.

Иными словами, теорема 2.4 утверждает, что (5, Са(5),<г) является правильной тройкой (в смысле определения из [4]).

Теорема 3.2 из главы 1 и теорема 1.1 доставляют конкретные примеры правильных троек.

Следствие 2.5. Пусть ц — положительная мера па Б и к О. тогда тройка [Б, является правильной.

Оставшаяся часть главы в значительной мере основана на

применении следствий из абстрактной теории правильных троек. В частности, эта теория доставляет результаты следующего типа (именно они и называются "теоремами об исправлении").

Следствие 2.9. Пусть ц — положительная мера на 5, € С(5).

> и ни 3. 'к >- /£{ V е > 0. Тогда существует функция / € .4^(5), такая что

|/К.у> па 5 и н{\П = <р} > |И-е.

В §3 изучаются нуль-множества и множества пика, а также интерполяционные множества. Особое внимание уделено пространству РНС(З) := {/ € С(5) : / допускает непрерывное продолжение до функции плюригармонической в шаре}. В частности, дано элементарное доказательство следующего факта.

Следствие 3.5. Пусть Е — интерполяционное множество для РЛС($), тогда <т(Е) = 0.

В §4 теоремы об исправлении для правильных троек использованы для доказательства следующих импликаций..

Предложение 4.1. Пусть О, С и А = \ О.. Предположим, что

1) тройка (Б, Сп(5'), сг) является правильной,

2) компакт Е С 5 есть интерполяционное множество для

Тогда о(Е) = 0.

Для подпространства X С С(5) введем обозначение М.(Х) := {/ е С(5) : /д е X для всех д € X}.

Следствие 4.3. Пусть X С С(5) и тройки {в,МХ,ц) являются правильными для всех положительных мер ц. Тогда наборы ин-

терполяционных, пик-интерполяционных и нуль-множеств совпадают для пространства X.

В частности, следствие 4.3 верно, если X С C(S) есть модуль над алгеброй -A(S') (следствие 4.4).

Заключительная часть главы посвяхцена радиальному поведению функций, заданных в шаре. Так в §5 рассматриваются исключительные множества для классов Харди НР(В) и Неван-линны N(B). Процитируем один из полученных результатов.

Предложение 5.1. Пусть ц — положительная сингулярная мера на S. Тогда существует такая функция f 6 N(B), что

limsup |/(r£)| = оо,

Г-+1-

liminf |/(rC)| = О

для fi-почти всех (ES.

В §6 утверждения из предыдущего параграфа распространены на классы Н%т(В), состоящие из гармонических в шаре функций. А также с помощью RW-полиномов установлен следующий факт, указывающий на отсутствие для полианалитических функций классической теоремы Фату.

Предложение 6.4. Существует ограниченная 2-аналитическая функция в шаре, не имеющая радиальных пределов tr-nonmw всюду.

Глава 3. Сингулярные части шиоригармонических мер.

Основной объект, исследуемый в этой главе, имеет непосредственное отношение к теории голоморфных функций. А именно,

рассматривается пространство РМ(Б), состоящее из мер, интеграл Пуассона которых плюригармоничен.

В §0 даны необходимые определения и обсуждаются известные свойства плюригармонических мер.

Основной гланм доказан в $ ! " ДП.СТ положи ильный

ответ на вопрос из работы [7].

Теорема 1.9. Пусть ц' — сингулярная часть меры ц Е РМ(5) и р является представляющей мерой (для алгебры А(В)). Тогда ц* и р взаимно сингулярны.

Отметим, что в доказательстве этого утверждения существенно используется аналог теории "мер Хенкина" (см. [14]), а также важную роль играют свойства операторов Ганкеля (см. §3 из главы 1).

Переформулировки результатов из §1 и следствия из теоремы 1.9 собраны в §2. В частности, устанавливается следующий факт.

Следствие 2.2. Пусть ц' — сингулярная часть плюригармониче-ской меры. Тогда существуют такие множества пика (для алгебры А(В)) К], У € N. что

В §3 представлены результаты, относящиеся к "неплюригар-моническому" случаю.

Литература

1. Rudin W., Function theory in the unit ball of Cn, Grundlehre Math. Wiss. 241, Springer Verlag, 1980. (Перевод на рус. яз Рудин У., Теория функций в единичном шаре иэСп, М., Мщ 1984).

2. Berndtsson В., Bruna J., Traces of pluriharmonic functions о curves, Ark. Mat. 28 (1990), 221-230.

3. Александров А.В., Существование внутренних функций шаре, Мат. сб. 118, 2 (1982), 147-1G3.

4. Александров А.В., Внутренние функции на компактных прс странствах, Функц. анализ и его прил. 18, 2 (1984), 1—13

5. Hakim M., Sibony N., Fonctions holomorphes bornées sur la boul unité de Cn, Invent. Math. 67 (1982), 213-222.

6. Low E., A construction of inner functions on the unit ball in О Invent. Math. 67 (1982), 223-229.

7. Александров А.В., Теория функций в шаре, в сб. "Совре менные проблемы математики, т. 8 (Итоги науки и техник! ВИНИТИ АН СССР)", М., 1985, 115-190.

8. Rudin W., New constructions of functions holomorphic in the uni ball ofCn, Amer. Math. Soc.(CBMS Regional Conf. Ser. in Math No. 63), Providence, 1986.

9. Forelli F., Measures whose Poisson integrals are pluriharmonic, 111 J. Math. 18, 3 (1974), 373-388.

10. Forelli F., Measures whose Poisson integrals are pluriharmonic II 111. J. Math. 19, 4 (1975), 584-592.

11. Henkin G.M., Approximation of functions in pseudoconvex domains and Leibenzon's theorem, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math Astr. et Phys. 19 (1971), 37-42.

12. Ahern P., Schneider R., Holomorphic Lipschitz functions in pseudoconvex domains, Amer. J. Math. 101 (1979), 543-555.

13. Ryll J., Wojtaszczyk P., On homogeneous polynomials on a complea ball, Trans. Amer. Math. Soc. 276, 1 (1983), 107-116.

14. Хенкин P.M., Банаховы пространства аналитических функций в шаре и бицилиндре неизоморфны, Функц. анализ и его прил. 2, 4 (1968), 82-91.

Работы автора по теме диссертации

[ill] Guou E.G.. О рп^пплгипм noacDaiuu гчлол-юрфных в шаре функции, Вестник СПбГУ, Сер. 1, 1994, вып. 3 (№15), 27-33.

[J12] Дубцов Е.С., Сингулярные части плюригармонических Л1ер, Записки научных семинаров ПОМИ 217 (1994), 54-58.

[ДЗ] Дубцов Е.С., Некоторые вопросы гармонического анализа на комплексной сфере, Вестник СПбГУ, Сер.1, 1995, вып. 1 (JV°1), 15-21.