Разработка и применение аппарата комплексных пространственных потенциалов в теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 Ой 2 $ № 1995

На . правах румшьсс

Б0ГАЕ23 ФЕЛИКС АРМЕОВНЧ

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА ШЗДЕЕСШЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДОТЗНШАЛЯВ 3 ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

GI.D2.D4 - .чегекгка вефсрмгруексго тэёрйзго т&гэ

Автореферат Лбссергасия яз созеган?е учёяо2 степевз доктора ¿изшео-ыэтеыатяческиг наук

Нежней Новгород 13^5

Работа выполнена ва кафедре "Вислая ыатемзтикг" Нзгегородского Государственного техначескогс УвгЕОрсзтотг

. .. . НдучЕкй консультант- доктор технгчеехгз наук .профессор, засдухеЕНхй деятель наука я техника ?оссшско£ Федесацгя 7Г0ДЧ2203 АндреЗ Грагорьевэт .....~

Офяшгльгяе спионегтз д.а .-а. п., профессор Дезан

д.#.-».а., профессор £сет.£ёв 3.1.

д.ф.-а.н., профессор Супрун А.З.

Ведущее сре^ггргятяз - 2ш. 1.А.Гаана Езстзтут пройден иатандаа

Залога состоятся * 22 ■ иина ._1595 года в

^5"часов ез заседания Дйсеертацаокнсго Совета Д D63.77.C5 зра Езкегородоюж Государственном Университете Еи.Лойачевского по адрес? С03600,. Н .Еовгород,вр .Гагарана ,23 .кора.Б -

С ддссертаще! шкао сзвзеоьяться в бЕбзаотеха Езгхегород-020X45 Государственного Уваверсятета

¿зтерефораг ргзослсз " " «Д-аа.

>£»0 гогж

УчагаЗ секретарь " Ллсс ертзпз огяого Совета > 5 3 з^така

Общая характерастЕГ'' работа

Актуальность работы определяется тем фактои,что механика sees -шруеиого твёрдого тела испкхывает необходимость в разработке методов эффективного решения трёхмерных задач,з которых учёт объёмности НДС упругой среды принципиален.

Б действительном пространстве существуют обшв решения свстем трёхмерп-гос дгф^оренцкальннх уравнений равновесия н сов^-твоста в формах: Буссинека-Галёркина через произвольный бдгзрюдический вектор, Папковнча-Нейбера через произвольный гармонический вектор, Еруткова-Фкнци-Блоха через тензор функций напряжений,a такго в виде фунщионалов,тригонометрических рядов и т.д. Однако .формулировки краевых условий (на поверхности тела) оказываются неудобными и не позволяют подучать решения шарового класса трёхмерных прикладных задач в законченном аналитической виде.Такие репения получены только для отдельных пространственных задач:о нахождении деформаций тел вращения я аксиальво-сиыметричзнх.Более того,в настоящее время численные решения отдельных пространственных задач при ьсеЗ их грсшздкостк я слабой сходаюсти прЕйешштся зпачг -тельно чаше,чей аналитические решения.

Среди различных математических методов решения даукерных задач теория упругостк наибольшей эффективность!) обладает иетод Нолосова-4г?егелЕшвяли-£екуа,осЕОЕанныЁ на применении разработанной предшествующими исследователями теории Функций одаого комплексного переменного.По этому методу удаётся: выразить коуаовея-тн вектора смещения и тензора напрягекдй через светец двух аналитических функций (комплексных -потенциалов) .сформировать грзЕячнке условия основных задач теория упругости в терминах той хе системы $унгад2 2 осредглвть из граЕнчных условий кокигексннг потенциала »той системы.

Eps попытке реиеккя трёхмерных задач teojres упругости кето-дакх теория функций двух еокплзксекг перечтенных вознюевзт в требует разработки две саюсгсггедьпзе $7нд5ке!гт8льняе яг яктувльнне дроблены.

Первая проблема - проблема создавая SS4U secp^s нлтрсчшп: функций катричной комплексной переменной:

- аксиоштсчесЕого описания элементов гокпдегевого пространства С^(это описание не следует из современной георм <|уккцжй иаоггх

исзяиегсянх серекеннЕх),

- построения и изучения класса аналгтаческих фунгщгЗ (трехмерннх коьшлекстпгх С^-потеЕцгалоз),

- получения дай трёхмерных действительных гармонических а бигар-моняческях функций комплексных представлена! через систег-у С2-потеЕпиа;ов.

Бторая проблема - проблема сведения трёхмерных гс-.янэтескнх я бигармою:ческях задач теории упругости к краевым задачам теории С2-потенциалоа:

- описания объёмного НДС упругого тела через систему С -потенциалов,

- формулировки краевых условий трёхмерных задач теории упру госта с поногдао тс2 хе системы С2-потеЕпиалов,

- форцуляровки краевых задач С^-потеншалов,

- нахождения систеаш С^-потенциахов из сформулированных краевых условий.

Тела диссертационной работы входит в перечень тем Федеральной Программы "Фундаментальные и прикладные проблемы мехаяизя дефоршруеыйх сред и конегруалий".

Обзор ссстояеяя проблем в обоснование дели исследования.

3 1861 г. Г.Б.Зри ввёл в гассиэтрение действительную бигар-коническую функции-1] двух дейст2втель'""х переменных,через которую выразил компоненты тевзора напряжений для дзуыерных упрутях областей.Исходя из граничных условий задач двукерзо5 теории упругости .ясслгдователтега предпринимались попытки построить такле граничные условия для функции Эри.и её производила.-оторые давали бз эффективные решетя различиях прикладных бигармокичеехгх задач.В деЗствительннх областях дауиерного пространства этого но удалось сделать,-и решения бигар«2ническях задач,определяющая функции Эри .приходилось получать интуитивно.

В 1828 г. З.Гурса катодааги теория функций одного гозшлеке.^-го переменного подучил для действительной двумерной бигармозачес-кой функции иошлэзсЕое представление через дзе аналитические фикция.

Используя глассаческие результаты ;?абот фазияев я механиков (Зрд,1Даксвела и др.), хорошо разработанный к тому вргиэяа аппарат теория функций одного коизлексаого переменного (Есси ,Раьзааа ,Гурса

'я др.),Г.В.Колосов лда случая плоской задача влервзе доругал 5»-зически ясный комплексные представления для компонент вектора переведений я тензора напряжений через две аналитические Зункции л их производные.

Основываясь на комплексных представлениях Г .В .Колосова, Н.И. МусхелиЕвили построил краевые условия,которым починяется указанная пара аналитических функций,т.е. свёл гармонические и (Энгармонические двумерные задачи теории упругости (б перемещениях и напряжениях) к краевом задачам теории Секций одного комплексного переменного .П-отроение краевых условий во многом определило доследующий успех Н.И.КусхелизБ2ли,И.Н.В5Куа,их школ и последователей.

В самом общем виде метод Колосова-Мусхедишвили-Векуа можно ' поникать как отработанный и полный алгоритм построения контактирующего взаимно однозначного соответствия (язошр|измапроизвольных объектов евклидова двумерного пространства л комплексной • т. -плоскости (комплексного пространства С*).Тогда решениям задач плоской теории упругости соответствуют решения краевых задач теории функций одного комплексного переменного.

В ряде работ Н.И.Мусхелишвгли,И.Н.Векуа и др. на основе теории аналитических функций одного комплексного аргумента била развита метод» решения широкого круга :раничных к контактных задач плоской упругости,а тахде задач кручения к изгиба (гармоническах и би гармонических).

Существенный вклад в развитие метода Колосова-Мусхелигшаля-Вехуа для решения различных классов зчдзч плоской упругости внесла работы Г.Н.Савдыа,С.Г.1>5шглцна,Д.И.Шерлана,И.И.Бороигча,лх дкол я многочисленных последователей.К исследованиям теоретических я прикладных задач применения теории функций одного комплексного переменного в теория упругости относится также цикл работ нижегородской школы,в частности .работы по получению аналитических решений на ЭВМ.

Предложенный и разработанный. Н.И.Ыусхеллшвалл я И.Н.Ведуа мзтеиатяческий аппарат типа Копи а сингулярных интегральных уравнений в дальаейаеи развивался в работах И.Н.Вегд'а.Н.П.Векуа.Ы.А. Лаврентьева, А,.г.Бяцадзе,Ф. Д.Гахова а др.

Следует отметать,что пра развитых методах теорм фунхетк одного комплексного переменного путь от первичных (Эра) до итоговых результатов (Цусхелиптяди-Зекуа)был преодолен за сголзтжв.

. Попытки установить свазг мезгду пространственными (в основном осесишет^ичныш) и соответствующими и к плоскими задан - - предпринималась давно.С одной стороны,были найдены те или иные аналогии меяду формами записи их общих решений (А.и Л.ФелпльД. Пёщль,К.Царгер,Л.Ф.Папкович,И.Голецкий,А.Я.Александров и др.). С другой стороны,были установлены интегральные зависимости меаду ренгнйгша указанных задач (К.Вебер) ,где функция напряжений осе-симкзтричной задачи связывалась с плоской бигармонической функцией .В работах Г.В.Положия зависимости между плоскими и осесим-метричными состояниями были установлены на основе решения осе-сикметрячной задачи при помощи р -аналитических функций одного комплексного переменного .Удобным приёмом получения интегральных зависимостей является метод наложений (В.Н.Смирнов,С.Л.Соболев, А.Я.Александров) .который использовался'при решении задач типа Буссинека для анизотропного полупространства .Получение вышеназванных заЕИсшгос .'Л основано на введении, определённых вспомогательных состояний,компонента которых в прямоугольных координатах зависят лнап, от двух переменных .В качестве таких состояний пря-яикаэтея плоская деформация и депланация (двумерное состояние при отсутствии смещений-в двух направлениях) .Пространственное напряжённое состояние заданного тела рассматривается как суммарное состояние плоских насрязалных состояний в плоских сече-еиях пучка цилиндров,пересечение которых и даёт объём заданного тела. - '

Наибольший Еклад в применение методов теории функций одного комплексного переменного к пространственным задачам теории упругости внесла работы В.Т.Койтера,Я.Н.Сведдона,И.И.Воровича,С.М. Белоносова и А.Я.Александрова.

. Применение плоских комплексных потенциалов для описания пространственных задач стимулировало попытки кехпников разработать методы трёхмерных ког,зле:-:зных потенциалов для приложений, несмотря нз то,что современная теория функций многих комплексных переменных до сих пор не располагает эффективным аппаратом изучения структур и свойств, комплексах функций,выделения из них класса аналитических функций (С^-потенциалсз).Известны попытки обобщения описания уравнений равновесия а совместности с помотаю фушецяй двух комплексных переменных (А.И. Александрович),гиперфункций (Д.Д.Пенрод) и кватернионных'функций (И.П.Мельничезко, Е.М.Пик) .Одзако.это не привело к получению трёхмерных обобщений

~комплексных потенциалов,выражению через яи представлений Доло-_ сова-Мусхелиавиди и построению схеыы- сведения бигармоняческкх_____

задач теории упругости к краевых задачам теории функций двух комплексных переменных.

Из анализа современного состояния проблемы применения ксмп-лексных представлений для трёхмерных задач теории упругости -описания гармонических я бягармонических задач I формирования краевых условий - мохыо сделать следующие выводы:

1. Проблема является актуальной в связи с необходимость!) создания основ эффективных методов решения пространственных

. задач,в которых учёт объёмности НДС принципиален.

2. Недостаточно полно изучены свойства действительного пространственного тензора функций напряжений,а таете вопросы представимости компонент тензора напряжений с помощь® функций напряжений.

3. Недостаточно исследованы вопросы сведения пространственных задач теории упругости к действительным бигариоЕическям задачам с действительными краевыми условиями.заданными ыа пространственном замкнутом контуре ж эквивалентными краег;^

условяям на поверхности,ограничивающей упругую среду.

4. Необходима новая аксиоматика для задания элементов и структуры комплексного пространства С", так как современная теория функций шохих переменных не располагает эффективным рабочим аппаратом для описания трёхмерных бигармояических задач.

5. Необходима методика выделения из комплексных функций двух

переменных класса аналитических функций (С^-погеяциа.тав) я изучения кх свойств.

6. Для трёхмерных действительных гармонически с бигврмэничес-хжх функций необходимо построение комплексных представлений через С2-вотенпвеян.

?. Необходим описание обьёкного НДС с погюдаэ сястекз Сипоте нцяалов.

8. Доданы быть получены краеше усговая,связыватаае харокт&-рястикя НДС о иокплзксныкк С^-дотеицжалаю.

9. Нсойхощиа методика получения формулировок краевнх задач С2-поте)^аяав,соответствующих трёхкернкм краевым задачам теории упругости.

. Целью работы является создание методологических основ для реззная трехмерных задач теории упругсстя с помощью аппарата пространственных комплексных пот«нцаалсБ. Методологические основы зхлвчают в себя:

- введение аксиоматика для описания комплексного пространства (Г, соответствующего трёхмерась^г действительному пространству Е3 ;

- построение начал теория катрдчкш. комплексных функций в пространства С , определение и азучекве класса апалатяческах функций (С-встевшалоз);

- описание ЦДС упругого тела с помощь» системы С^-потенцаадов;

- формулировка граничных условий (для определения системы С2 -потенциалов) по соответствию пх краевым уоловияа йигармонячес-К2Х задач трёхмерной то орла упругости я постановка гранзчных задач те орла С^-потеЕдаагов.

Достиженье поставленной цела осуществляется решением сле-дуггдх основных н вспомогательных задач:

- исследование полноты и инвариантности векторных п тензорных запасе;* основных уравнений теория упругости и ях классических решений в действительных евклидовых пространствах 5 , п. =2,3,4;

- построение н исследование свойств ейиего тензора функции напряжений,построение представлений компонент тензора напряжений через функции напряжений в пространствах Е к;

- сведение трёхмерной задача теории упругости в стечениях к ба-гармонической задаче Дирихле для функций напряжений в действительной об ласта;- сведение трёхмерной ■ задачи теории упругости в напряжениях к йи-

гарасопической задаче Неймана для функций иадряасеяий в действительной сйластз;

- есследование шядзяса задач по формулировке з доказательству основных пояснений новой теории пространственных аналитических 2о:гллексннх ^вклай (С^-вотепциагсз),которая не кротдворечаг' результатам современной теорщ фунвцаЗ акопгх косвиексяьа: перо-уешшх; .

- получение золплзко^ого ^одйггхслеши пространственного роиеная Бусслшета-ГадЗржйяа ¿ла. Еазрхжагй чаргз сгстег^ С^-асгелдаажзв;

-- построение облих комплексных представлений для компонент век—тора смещений к тензора напряжений •через систему С^-потянцгк-----

лов.дагало: полное описание НДС тела, б простран:тве ;

- сведение гроетранствеансй зад^^и в смешениях 2: краевой задаче теории С^-потенцавлс-в;

- сведение пространственноЕ задачи ь напряжениях к краевой задаче теория С^-потенхзалоз.

йетчная новизна.

1. ПСЛ^ЧСНС ОбэбЗЗДДС С^ДСГНГГ ТОС-У-Т ТГР7ГССГ1Г Д*"

■ областей действительного пространства Дакэ интерпретация четырёхмерного форкалнзиа.

2. Получено обобщение функция Эри в виде тензора функций напряжений для действительных пространств Ед и Е^. Изучены свойства функций напряжений.через которые дани действительные представления компонент тензора напряжений и вектора смещений в пространствах Е3 н Е4.

3. Разработана си-зиз сведения ст-тгчпскгх зпдэт ярестряггтг.«:-но2 теории уг'ругсстк р сведениях и напряжениях к блгармо-а-чесхям задачам Дирихле и Нейкзг.а.

4. Найдены дсйствиаелькые р^зепаа задач бгсгаргчйй'кск« Декаде и Неймана в форме интегралов по заг.Глку?о:.:у аргстрансгвексс^ контуру.

5. Введена единая мзтргчная струк.ура для гксЕОУЗтдегссого описания и представления зоьзлекспыг

фуякцяЗ а операторов в пространстве Структура содержа? в себе (как частный случай) представления сгэлярных кошлзкс-. ньк элеуектов С*, принятых в еоэрзасзссй г.'о;.;:;' :с?с~

гих кокзлгкснкх переиеншд.Лра «зроаедля гх едакна: структура вырождается в обычную комплексную переменную,т.е. не противоречит основным понятиям теории функций одного комплексного переменного.

5. Исходе из выбранной матричной структуры, с^рьулгрэбаны г доказаны основные положения новой теоргг прмтранственныг комплексных функций переменной Гакальтока. Дакк геоиетргчее-где интерпретацаи, которые нельзя получить в рампах совремгн-ной теория Функция многих комплексных перенгннкх.

7. ¡Голевая Моисяла-Геодереску сопряжения гармонических- функций з действительном трёхмерном пространстве Ед обобщены на езз-ладово пространство Е^ я для них найдено соответствие с новыми условиями аналитичности комплексной функции переменной Грааль тона в комплексном пространстве С . Введено понятие аналитической функции (С2-потенциала). Установлено соответствие ь'.еяду конформным отображением областей в действительном Ед и комплексном С2-пространствах с помощью С2 -потенциалов. Доказана теорема (С2-аналог теорема Римана) о конформном отображении. Приведены примеры отобрагающих С2-потеяшалов.

8. Введено понятие однородных аналитических полиномов.Изучены их свойства.Показано,что однородные аналитические полиномы в комплексном пространстве С^ лгразт роль степенных фунгашй пространства С1 ( 2 -плоскость) .Рассмотрена С2-аналогя ря -дов Тейлора и Лорана со структурными единицами в гиде однородных аналитических полиномов.Доказаны теорема.

9. Леммами и теоремами указан способ построения комплексных представлений для трёхмерных действительных гармонических и бигармошческих функций с помощью С2-аотенп23Лов.Сделано обобщение комплексных представлений для пространственных полагармоЕлческях фуккцай.

10. Показано,что четырёхмерная структура Сй-потекцаалов наиболее полно и рационально описывает геометрзз и НДС тела в трёх-кзрноЗ теория упру гостя.Сфср^лировакы пола-гения (лек. к я теоремы) .устанавливающие соответствия иеаду действительными характеристиками НДС тела и их комплексными образами в прост ранстье С*.

11. С помолам С2-лотсяци&гоз построен комплексный сбраз действительного решения Буссягека-Галёркина.

12. Основные задач2 пространственной теории упругости з напряжениям а смешениях сведена к граничным задачам теории

С -потенциалов. Приведены 5орму,д:роЕК£ гармонических а багарксЕгческах граничных задач.

Практическая ценность. Разработанные основы теории С2-потен-сналов.а такзз реаещ:е проблемы сведения трёхмерных гармонических з бигармогическшс задач теории упру гостя к граничным задачам теория С-потещвалав (описание НДС тела через систему С2-сотевшадоз,

3'формулировки граничите условий через ту же систему С2-потенциалов

—и формулировки-граничных-задач теории-С^-потенциалов) могут быть---------------

базой для разработки методов решения я получения аналитических результатов при исследовании новых прикладных задач в различных областях математической физики.

Достоверность осноешх полояений и выводов подтверждается непротиворечивостью полученных: результатов для трёхмерного случая и сходамостью их при упрощении к хорошо известным результатам для действительного двумерного пространства и комплексной 2 -плоскости.

Апробация работа.Основные результаты работы изложены в II публикациях. В автореферате приведён список II основных работ. Результаты работы долояены на семинарах .конференциях и симпозиумах ¡Международный симпозиум "Механика сплошной среда и родственные проблемы анализа" (Тбилиси,1991),семинары "Дифференциальные уравнения в частных производных" в КИРАН им. В.А.Стеклова (Москва, 1992 ДЭ93), ХУ1 Международная конференция по теории -ооолочек и пластин (Н.Новгород,1993) .семинар по механике сплопшоЗ среда км. Л.А.Галина Института проблем механики РАН (Москва,I994).

Диссертационная работа в целом обсуждалась на семинзрах: кафедры "Высзая математика" Нижегородского технического укаверси-тета под руководством д.ф.-м.н..профессора Галкина В.в им. Л.А.Галина Института проблем механики РАН под руководством д.флг.н. профессора Александрова В.М. и в НИИ механики при Нижегородском госуниверситете под руководством д.т.н. .профессора Ыалкова В .П.

• Объём работы. Диссертация соотоит из введения, пятя глав, •

общих выводов по работе,изложенных на 246 страницах текста,содер- ' .пит б таблиц,5 рисунков,список использованной литературы из 72 наименований и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

В первой главе выполнен обзор существующих описаний я реаений систем дифференциальных уравнений статической пространственной теории упругости с помощью теория функций действительных и комплексных переменных.Основное внимание уделено уточнению,формализации и обобщению на четырёхмерный случай систем уравнений равнове-сия,совместности и Гука я. ах решений.Это необходимо для получения

II

единого описания НДС упругого тела независимо от размерности задач и для выработки целостного подхода при анализе существующих я получаемых в третьей главе результатов.

- - Системы основных уравнений теории упругости рассматривались в координатных .векторных .тензорных, формах и в общепринятых обозначениях .

Для уравнений в смещениях •

11= и.. , 1 = 1,1г: + V ¿1Уи=0

и з напрякендях 1 л — л

Т = м-^ы4^"0' +

где гъ-размерность задача .проанализированы известные действительные решения Тедоне .Буссинека-Галархшна .Палковича-Нейбера .Араашх-Слободянского.Круткова-Флнци-Блоха.Из них выбрана (как наиболее^ обцие)решения Бусспнека-Галёркина через багармонический вектор <2

Л —» .-••а „ _». л

(I)

и Круткова-Финои-Бдоха Т « ¡п.'к Ф

л

где ^ -тензор функций нал ряжении, в плоском случае вырождающийся в скалярную функцию Эри I] О^.Х^) »причём (2)упрощается до записи . ,

Построить граничные условия для О- из (I) ила из (2), соответствующе условиям на поверхности упругого тела и удобные для репе язя прикладных задач, в действительной облает/ очень трудно даже для плоского случая.Это удаётся сделать только для отдельных задач. В пространственном случае построение граничных условий приводит е получения решения отдельных задач:акскально-симметрич-ных и определения деформация тела зравдния.

В комплексной области Г .В.Колосову к Я.Й.Цусхелизвили удалось зыразять компоненты вектора смещения и тензора напряжений (даумерный случаГОчерез пару комплексных С^-потенциалов (аналитических функций" одного колшлексного переменного) .При этом гра-12

г-лчные услсвгя для дерокого класса задач плозий теории упругости чорез ?? не пару СА-потевцаалоЕ,что-гтоззоляе?-решить-— задачи плоской теории упругости эффектдвяымг нетолямв теошн фушаща одного комплексного переиешюго.

Проанализированы попытки исследователей (Б.Т.Ко2терз,Я.Е. Скеддонз»И.й.Вороьйчз,С.К.Белоносовз,А.Я.Аденс£р;;ровз г др.)ярг-узеить кетоды теорий ^ущсциВ оддого ксмвгексного хгерг^еннсгг, 2 также испсдьзсвэкгл обэ5г.£ккнх ко:лпл-зксанх ве;<екгаазз: л функцвй (А.И.Александровича,Д.Д.Ненрода,К.ВеОера ,Г.Н.Пологая ,И Л. г^сльпт'чсндс,В*?Л.Пи1>а и др»)длгг ог^с^**!*^ ^^^ УТГУ^^ОГ7"1 тоич » нел трёгмеркнг зед2".

Поскольку метод Колосова-Уусхелишвили-Бекуа в само« общего виде мокко понимать как отработанный и полный алгоритм построения взашно-однозиачного соответствия (изоцор?дз"л)ме2ду произвольными объектами евклидова двумерного пространства Е^ и комплексной 1 -плоскости (комплексного пространства С1) ,то были рассмотрены и проанализированы вопросы отображения объектов действительного трёхмерного пространства Вд на объекты комплексного пространства Сг дзух комплексных переменных.

В современной теории ФузкцаЗ многих ксмплексннх в-.ч-с:-кг--;х аксиоматически задаются пары пезагусимл: скалярюое кокслект!"? переменных 2 г»*-*^.... Оказывается,что п;к такоЛ

сяоматике удаётся построить условия регулярности тслн.о

б виде систем! систем условий Коии-Римана, а это не прагода? к эффективной методике выделения клзсса анаднтнчгскпх "^нкппй (С^-потенцгалов) в комплексном пространстве С".Отсюда следует тот факт,что аппарат современной теории функций нескольких комплексных переменных сказывается недостаточны!! для опясзнгя трёхмерных механических характеристик НЛС упругого телз з построены граничных условий через систецу С2-потенциалов.

Вторая глава посвящена разработке начал новой теоряв матричных функций матричной комплексной переменной с определенней я изучением класса аналитических $уякпиЗ (С£-потенцаалов) для их приложения к регекгь трёхмерных задач теории упругости.

Рассмотрены вопросы обеспечения полного соответствия мехду элементами (н операциями) действительного трёхмерного простран-^ ства Е3 я элементами (в операциями) комплексного пространства Ст. Показано .что полнота представления объектов трёхмерного прост-

панства Ед я элементами (а операциями) комплексного. пространства ¡^.Показано.что полнота представления объектов трёхмерного пространства (переменных,функций-.операторов,соотношений.формул и т.н.) мотет быть достигнута только в базисе Гамильтона,одинаково описьшагщзго евклидовы пространства З3 и Зд. Наличие изоморфизма Гамальтона-лели позволяет ввести единую матричную структуру ддя представления комплексных переменных.функций и операторов з пространстве С2. Эта ¡структура содержит з себе (как частный- случай) представления скалярных комплексных элементов С2,принятых в современной теории ф-ункцпй многих комплексных переменных .Зри упрощения ¿2 —* С2 -»-С1 (г-плоскость) матричная переменная вырождается в обачную комплексную переменную 2-,т.е. она не аротизоргчит основным понятиям теории функций одного комплексного переменного.

Для произвольного элемента пространства С2 была аксиоматически задана зданая матричная структура Гакильтона-Хела

Ав2.Арев = В. (Ар)= / . л . . Ь

А> ХАРё?= = АО,

а '

где Ар -скалярные величины пространства £а , а-3,4; е?- 2 х 2-мзтсица Гаьяльтона-Кзла; ёр-комплексно-сопряжённые матрицы .Будем говорить,что (3) описывает:

- независящую переменную Гамильтона ¿е. = Г) (х ,

- функцию переменной Гамильтона а( а ¡7"-,

- оператор прсизЕОдаой п. ^=г= В^ (с)/ЭХ?) а т.п.

ЗСлогие основные понятия теория функций одного комплексного переменного такие как: окрестности конечной -<¿'^2 бесконечной точек; открытого, замкнутого мяояеств и ах связности классификации изолирования особах точек л т.д. легко переносятся на комплексное пространства С2.Однако формальное перенесение понятий и свойстз.характерных для комплексных чисел пространства СА,на пространство С2 оказывается не всегда правомерным из-за матричной структуры (3) комплексных алиментов С2.

Рассмотрены гонросы сходашстя последовательности матричинх элементов .Показано,что дзша ГгЛне-Борела, принцип Есльцаяо-Ззйер-14 -

■.¡трасса и критерий Кош остаются справедливыми для последовательностей-матриц {^«^^Погтолу-тракгозка-сходгглстз-рядсг--^^'---" йС00) .где «¿^-фиксировзяные комплексные элемент* С , не отличается от той, которая принята в теории функций одного комплексного

переменного. Сказанное не относятся к произведение рядов.

Рассмотрены другие формы представления мзтркцк (3).Нормальная изтрица (3) имеет представление з эрит-вш:'тяоневгвх

иоляркое разложение матрицы »о / имеет вид

л __^

•ае. = С^ср"), эг = ^¡ехрС-'-Т),

где матрица (фазовая) л /ф • о

ф - I ^

о -Ф

определяется окалярннм элементом

^ X! 14(Н0

Рассмотрены ггометрк чески о атрпретияя доделя >! {зэоре." китркак комплексного элемента С. Пс;-:эзы;с,ч1с теш*:»« сг.тсгсгслг-¡¡;;г.-л коордлнатик:,:;: поверхности:-'.,: б пг-острпчст^е С~ 'улут сот--:;; плоскостей коаксизльзкх цглендроь х\*х\+ ,::.

последале проектируется из 3, в концентрические: с]ера В^Дана; я трактовка коопдаклтнкх поверхностей содержит г. сеЗэ принято; р теории '1унлШ1Й многих комплсксиэ: переменных помтле остова полицилиндра г дополняет его системой плоскост-еЗ.С помояьэ круговых перестановок —р-> .вкрзгащих свойство инвариантности записей рззлпчтпг: соотнслскпй при ортогональных псворотэт ос?3 го-

ординат,получены формулы координатного соответстг-пя пространств ЕзЕС =

Для гиперсферы рассмотрена интерпретация Ри?.ана 2 получены обобщённые форглулн стереографической проекции .связывающие декартовы ортогональные координаты , 1 , £ , £г пространства с матричной переменной Гамильтона

Пусть 1е., ^ £ С2 -два различных комплексных элемента ,гмегоах относительно сферы радиуса Я. соответствующие иц инверсии ¿^Я/*,

15

.Тогда получаем интерпретацив свойства неношу татавности операции умножения элементов:

т.е. произведения а .имея одинаковый модуль .различаются своими фазоаыии матрицами и ^ эрьзатовых компонентах

некощу та тивность произведений следует из записи

Простая кривая Еордана задаётся матрицей (3) для действительных непрерывных функций. действительного параметра 1 £ [=¿5 £] •

Построение комплексных матричных функций матричной комплексной переменной Гашльтена "к. такге использует структуру матрицы (3).Конкретные Функции строятся на спектре матрацы х. с пометаю интерполяционного лояинома Лагранка-Сильзества.Ддя последовательности функцийвведено понятие функционального ряда

2 2 рассмотрены вопросы его «содшзста.

Введены катричнне дифференциальные операторы-градаенты со структурой (3) У »Б^СЭ/ЭХ?) л у = .через которые выра-

жены производные = у/п, а , в декартовой форме,

а такяе а зркатовых компонентах

-о \

-г-Н "" а1 Ъкг) > -

С подарю введённых операторов удаётся достичь компактной форггы записи действительных га-гармонических операторов в пространстве

с2 д"1 + =

АГ ^ .-ах* Ъх^} Г . *

В силу яеко^ъ'.татиБностп операция умножения пра даффофенца-ровании батрачных функций приходятся различать левые л правые

производные ^^ЦЙ^^и -Найдс;^ декарто-

вы з эрмитовы представления для всех возмагвах произведши,в частности

№ - -р ^+На

о*^ эх,/- ^ гхъ ахч/<г

Локазапо^что производная зо ваправлекетэ д^СХрУду} - вдействительных-пространствах- впростраастве ^соответствует выражение пV ,Где V(евь-Ч.р).

В-качестве условия аналитичности (регулярности) матричной комплексной фунхцга в области В принято условие

которое согласно (4) приводи? к обоощению известных условий Мозси-ла-1еодереску на действительное пространство

znt vxl г%* * г*., zt-t"br„

Пусть HCRe классы сопряжённых действительных гарыоки-

ческих функций,удовлетворяющих соответственно системе днух систем Коша-Рямана (Сй) и (1JT), тогда справедлива

Теорема I. Нс^ НЙТ.

для эрмитовых кокпокент ыатричной функция é С«0= {

= И ({- kW.HPr M7словие аналитичности в области D записывается 1 'I. г' У Г:"

г игле системы ^ , , \ , , г u >

Iw,^ИгСчНг)= ~ fcs (^rtH + 4"Н^.

Аналитическую з области D функцию f С'4 ) будем назкзать потеЕцаалом. Пусть кругогыга перестановками —- X р,рз в пространстве Е^ соответствуют круговые перестановка —г ,

s пространстве С" переменные Газгзтолз с

нугевоё декартовой координатой >'.ч .тогда еправедавв

Тзореиа 2. Аналитическая Секция ÇO^D^C2 является производящей фикцией для трёх различных аналитических функций

Длп области ЦК?-— С* простсЗзимг аналитические полиною>.2

ят-лквтея Р^Гаа счёт того,что bl/ZZ »0, В пространстве С2 для разкерностей Р_=3,4 согласно (4) имеем

следовательно,аналатаческий поеной степена пг в С^ не идет быть представлен в виде Р*^)- * .Исхода аз условия аналитичности

была построены однородные аналитические полиномы степени т.

Леша-I. Дифференцирование по переменной Гамильтона ъъ аналитического однородного полинома степени т. в области В приводит к аналитическому однородному полиному степени (пг-1) в той же области. _ г

Лемма 2. В области 1УаС\В аналитическими однородными полиномами степени ж. будут полиномы Р^Е?/*), сопряжённые полиномам

Лешаа 3. Лемма I в переложении для области леммы 2.

Теорема 3. (С2-аналог теоремы Тейлора). Пусть 1-ае—«е01< шаровая область .Если ^^-аналитическая функция в <3 ,то она может быть раздоаена в ряд по однородным аналитический полиномам степени т. в окрестности каздой точки 1в 0 € С

-г-,

Разложение единственное. Радиус сходлмости ряда равен к.. Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

_ Теорема 4. Пусть В .Есла £ С») -аналитическая функция в В ,то она иэяет быть разясаена з ряд по_сопря2ённыы к ^С*) полиномам в окрестности каждой точка Б

0

ею

где обратная матрица для матрасы Р^ (•).

Теорема 5. (С^-алалог теоремы Лорана). Аналитическая в шаро-есм слое Функция § (за) в каздой точке ^„^представ-

ляется з виде ряда ¿2,

В представления для области ряд теоремы 3 является правильней (рё1уляряой) частью, а ряд теорегщ 4 - главной частыз ряда Лорана.

Определение класса аналитических кзтричаыг функций матричной комплексной переменной Гагальтоза и их свойств позволяет положительно реепть вопрос о существовании а видах конфоргжк отобраяе-18- '

ний областей-в пространстве . 3 развитие метода Л.В.Канторовича доказаны: вспомогательные леммы- и - теоремы о - существс^гкза тг виде координатного преобразования 5, £, 4 (X;),, остазляадего инвариантным уравнение Лапласа. При этом-условия с спряжения действительны: гармонических функций^ 4с совпадают с условиям (ИГ), а

функпзи обрззуют С^-потэнгаал оо структурой матрицы (3).

Рассмотрено обобщение схемы Каратеодори л доказаны утверзде-

иия:

Лемма 4. (С2-аналог леммы Шварца). Если аналитическая в ааре 1«1< К. Функция ТС*'» удовлетворяет услознэ (0)=0 з длейт место неравенства | М м |И/ К. •

Теорема 6. (С2-аяалог теоремы Рима на). Для одзосвязной области (3 существует единственная функция аналитическая в Ц , нормированная в конечной точке ^„^(д, условиями ^ а однолистно отобраааюшая облаоть С на шар | \у|< 1.

Рассмотрены простые примеры конформных отобрааений з пространстве С2: ланейное преобразование «преобразование анвэрсаа и

дробпо-ращозальноз. 1

¿дд аналатаческой з С Ф7нкхг1 зЧ*) балз знведэна формулы дифференцирования я лнтеграрозаяая

~ /-з Л-й-гЦ «А.? ——4г'? +

» 'А 7'(-л) - - !>•' >

на применение которых основани доказательства слезуэшах теорем

Теорема 7. Обдав ресеияе гармонического уравнения (С2-авалог резания. Гаусса) имеет вид: ,п.аД , 5 С*) = Ч +ЧСа)=2 Ч("«).

Теорема 8. Общее решение бигармонического уравнения (С2-ана-лог решения Гурса-Альманси) имеет мд: гс дМЛс^О, иС^ЯеиИ'3 *(га<зу*$ Щъ*х+£ 2 ?.г: (I

где ^сщ, С^-аотенцдвлы.а Щ , р -сопрягёяяае - заа функция.

Обящв рга-кпе бкгзрноаачесхого уравнения на основания теорем 3-4 мокет быть, записано в вида ряда по однородным аналитическим полиномам

1Э

00 __'ао _

ис^е)=+ ** "Е.+рж<*))

(с»0 („.»С

Теорема 9. Общее действительное решение пожгарконического уравнения имеет комплексное представление

о _

* («У + >

где и^^- С^-штенциалы.

Это решение приводимо к известному дейотвительновд решению Альманси.которое А.Б.Бнпадзе использовал при построении действительных решений шдагармонических задач Дирихле и Неймана для; шара в пространствах Еа, Результаты А.В.Бидадзе с помощью теорем 7-9 ко гут быть транслированы на комплексное пространство где названным задачам будут соответствовать граничные задача теории С2-потенакалов.

2

В третьей главе с помощью С-потенциалов даются описания оОьёшого ЕДС упругой среды и формулируются граничные задачи теории С^-потешшалов .соответствующие краевым задачам пространственной теории упругости в смещениях и напряжениях.

Результаты главы IX показывают.что невозможно построить соответствие между элементами евклидова я коашлзксаого пространств одшо2 и той же размерности п.=3. Эта цель достигается только при рассмотрении изонорфлзма между элементами евклидова Е^ и комплексного С^ пространств с последующим вырождением установлвниого изоморфизма Е^^С2 в изоморфизм .Но если вырождение

2,-»- Б^ приводит к трёхмерному пространству .то при вырождении

по ' ■ „2

С~ комплексное пространство остается четырехмерный.

С этой.далыз даны о6о6еэеед уравнений с задач пространственной теории упру госта .приведённых б главе I. на четырёхмерное евклидово пространство Е^. Рассмотрены интерпретации четырёхмерного формализма, в частности оказывается справедливой

йекиа. 5. 4юрмаяьная система уравнений равновесия =®>

р,^=1,4 эквивалентна система

Первые три уравнения формальной системы приобретает вед б смысл пространственных уравнений равновесия при наличии объёмных сил Х4 ~ четвёртое уравнение этой скстеки показывает,

что объемные с&яя потенциальны,т.е. I > Д П = О •

20

Для действительных пространств ¿2, я. получены единые ~2о_струквде_0(йойц§ннке представления (2) Круткова-гянпи-Блоха з явной координатной ферме

5- =-2_сЬ -ц + -Ц-ф 6-=--— СЬ

Я ах^з Зх^га Эх1« 'и , о

С5)

-т.1 -чЛ

Э** 'а ЭХ.^ 'гг аХ', 41' а

-1 -,г ^ л- _ ф + ф -д. ф е = - —— О

е- = ^.ф Ч—^-ф ——Ф &

чч 3X^41' гЧ Эх^х^

Представления (5) и фигурирующие в них функции напряжений ф в форме Максвелла исследованы для трёхмерного случая. Для классов и Не,(классы гармонических я бигармонических функций

соответственно) рассмотрена скалярная функция

+ па =1,3, и^'Ч^ И -аерзнй инвариант тензора фужецгй напряхе-

11 л ь

ф . Тогда построение фувкпиЗ напряжений ведётся по алгоритму:

1. для выбранной т^^Сх^Н вычисляется ^$ ;

2. функция Р^Сх ) определяется аз дафферекпиаяьЕога уравненая

3. из условия,следующего из уравнений Бельтрамя.определяется

Ъг'ггч* с Г ('V.

д."-—1- ' . 1 "»У''л

1

4. формируется, функция напряжений ~

.Тела Обобщоняем двумерной функции Зри (2') ковв<пга: действительного трехмерного простроастза /эляется ггкгер функций напряжений, фор'друеугй по ярязозйннгцу алгоритм.

Гшат 7. ВаарячЗнное состояние упругой среда »закиг-яюцей конечна объём, полностью определяется представлениями (5).

Яз лзим 6-7 я закона Гука следуют представления

б^ХпО- (д - ^Е)исх О - Ъи ,

г 1— - + $М(ХЖ) , V

ъъ) *х1ч>х1ии + *»и'

где функции ^„.(х^ определяются по функциям Р^Сх^ .Таким образом, НДС упругой среды.занимающей конечный объём, характеризует Л

Теорема 10. Общие записи компонент тензора напряжений Т.деформаций £ и вектора смещения £Г предетавимы одной функцией иС-)€Нь и тремя функциями

А.В.Бицадзе предложил ориганальную методику изучения полигармонических задач Дирихле и Неймана в шаровых областях действительных пространств 3 а.Это открыло принципиальную возможность получения замкнутых реиений. названных задач в виде поверхностных интег -рэлов Пуассона. В развитие методики А.В.Бицадзе были проведены исследования и подучены действительные решения трёхмерных бигармонических задач теории упругости (в смещениях и напряжениях)в форме действительных контурных интегралов,что потребовало применения теорем Стокса и Гельмгольца. Исследования показали,что:

- установленный в главе II изоморфизм между элементами (и соотношениями) пространств Ед и С2 обосновывает существование'в пространстве С2 контурных решений как комплексных образов подученных в Ед действительных решений,

- существует перспектива нахождения более рациональных и компактных, чем в Ед , решений задач Дирихле и Неймана методами (^-потенциалов при условии,что будет разработан аппарат контурных С2-ин -тегралов Копи.

На основании теореи 2-4,8 в мет 1-3 найден комплексный образ

трёхмерного действительного решения Буссинека-Галёркина (I) для вектора смещения и«(^.Матричная комплексная функция и(*}=1)*(и-то) со структурой (3) оказывается выраженной через пару С2-потеицаалов. При.упрощении , С2-*-С1 комплексный образ (7) принимает

22

представления: кс^ссва-йуехе^ггзялл для .лдссйого вечера

-,-ji ад =r '(IL, ) - —;--<

...... " " z* щг) = -zv'/trftt) z s*ei:<=c:

С zcvces леtel 1-3 п~ представления (7) получен:; "сшлеке-гги-е представления для десордапий з поворотов

(ЛхГ лг - € ,

Ци. е = Зм)Ф'(эе) — э**» - ^^,

ajiuJit = з (i£<-o,!o)- T'C*)"«*) > •••

На основе теоремы 8, соотнесений (6) 2 дополнительных результатов (ле.\2л,?еоре!л)получены представления для koicîohskt тензора запряасешй через С^-потенциалы

(3)

".'.отирыа содержат з себз зкрааезнд

•-» о **

лсиплезонкг представления (8>прз упрссензл Е^—£о. С"-—'С"

яринпзязют вид представлений Колосова-Мусхелиивпли для компонент гепзсрл напряжена?, ^tt , i, | ■--•",2.

На сскозе комплексного првдстаглонля (7)к результатов гл..— зы II получена (формулировки граничных задач теории С^-потезхза-лов

соответственно дан комплексных образов бигармонических функций и^х^Е формах Гурса и Алыганси. Граничные задачи (9) соответствуют бигармонической задаче для вектора смещения и в действительном трёхмерном пространстве Ед.

Сведение трёхмерных задач в напряжениях к граничит: задачам теории С^-потенциалоЕ осуществлялось следующим образом.Рассмотре-не преобразование (с помоасью теорем Стокса и Гельмгольца)поверх -ностньз: краевых условий к условиям на пространственном контуре Г

^ОЧ^*, , £р)-7Гг*ГГ

Для нормального к контуру Г вектора РГ^ выбрана структура (3)

где в -дуга контура. Тогда .подставляя в условия на контуре Г выражения из (Б), после преобразований и интегрирования по дуге Б с: Г получаем систем соотношений

РаСЬ) + , г -г»*»^, т -хг1х„«с4-хь> г^Г]

где обозначено §

Доказано,что функция определяется формулой

Из левых £ правых частей найденных скалярных соотношений составим кзтричные функции со структурой (3), тогда получим

V 1 ) 1 5 Ъ '

На основании результатов главы II это будет матричное дифференциальное уравнение относительно обобщённой функции Эри и(*)»пРавая часть^которого f (г) определена заданным вектором поверхностных

Отсюда для комплексных образов Гурса к Аль манси функции и^мцу-чаеы соответствующие формулировки граничных задач теории С -по -24

теннналов _

-------------3*'(tV-' * еГ = С '------------------------

f____(TO)

a(tH w)2<?it)t - ¿-/'(t) - s (t).

о r

Граничные задача (Ю)пря упрощения jg—oiv,, С"—приобретают известную формулировку двумерной граничной задачи теории "-гнкцдл. одного комплексного пеоеменйого

t^CtJ + wi + .^-ifft), t е Т<= С, ;сс~ве1сТ27гщей плоской задаче теория упругости з наполнениях.

Сделан аь'вод с то;:, что для эффективного ре гения сформированных задач (Э)-(Ю) необходимы дальнейшие исследования граничных, дайеренцйальных и интегральных свойств С^-потенциалов «представимости их рядами по однородным аналитическим полиномам ¡принципиально важным является разработка аппарата контурного интеграла Кот для областей пространства С^.

В четвёртой главе рассматриваются специальные вопросы теораз С2-потеяииалов.

В развитие результатов главы II продоляено исследование однородных аналитических полиномов Р^С«) «структурными единицами яьляютоя степени -ге* и "А* .Даны предстаздензя степеней через 1нъарианты I, 2 !г= R.1 матрицы % .

Ле.\аз 8. Для &S-Z, '<¡>2 справедливы квазилинейные прздетаз-

ЛЙНДЯ « ~ к — -£.Л= > -=» +

. 5 V—W-t> ai=£,

где p (•) -действительные скалярные однородные полиномы степени "к к Ск/2.1 . -CV/O.

рАР-

c'-'I, I, = ¿.Л E

<V M .

9. Поля нош j>k(')fc3}<=E ,n?2 фор.\грую?ся по алгоритм

PwР< - . .

Лейла хО. Коэффициенты однозначно определяются системами

Леша II. Однородные полиномы £к(Хр) на . круговых перестановках —*■ х р —приводимы к полиномам однородным в действительной и комплексной формам соответственно

Р (х x x * \ — улчч™*^ ь г, , n

Свойства действительных полиномов р (X ¡^определены доказанными утверждениями * 1 . Лемма 12. Для р, С- справедливы формулы

Следствия лемы 12 д^о,

Теорема II. В конечной области I) <= Ел Р1г(116 Н

^ ^ С *

Следствие теоремы II. Для кбЕ степени -эе^и представимы

квазилинейные формами и выражаются через пару действительных гармонических однородных полиномов.

Геометрическое истолкование квазилинейных форм (лемма 8)заключается в том,что коэффициент можно интерпретировать как коэффициент растяжения (сжатия) исходного радиус-вектора х £ С^ ,а коэффициент определяет сдвиг начала координат вдоль оси £езе=х4. Для фиксированного эе0 коэффициенты а^и выражаются через значения гармонических Функций декартовых координат Хр .При любом

I элементы С принадлежит одной и той же плоскости,задаваемой элементами эгв и е .Элементы •зё^, к=1,2,3,... принадлежат другой плоскости,задаваемой элементами «,ие. При вырождении

С -»■С1 геометрическая интерпретация квазилинейных форм г к •

и I оотаётоя прежней.

Лемма 13. Для однородных аналитических полиномов и сопряжённых к ним Рд(^) справедливы квазилинейные представления

с действительными коэффициентами

т.

----------------------------------

И <<«41

Следствие леммы 13 Р^ =2 Ке Р^) ^ + 2 Л^-)е,

Хеша. 14. Аналитическая У^^ОбБсгС2 предотавима квазилиней-

Н О А <фО ОтО Л.

тс^ =■ а ад»)*

<»0 . оО

Лемма 15. Для скалярных действительных функций ак(х?) ,

£ Ел ,а=2,3,4, и справедлива

форшла дифференцирования _ =

Ъ I % \ 'й О. ч с - ч .

а ¿ел * Э'^е. 3 л *

Следствие ломм 8 я 15

Выведена вспомогательные формулы дифференцирования степеней: анвариаятов для пазмеокостей 11=5,4 соответственно

м^кс'«^ * я:»*""4*=

Л.

'3*\'Г- I 2*1 " " Исследованы вопроса сходимости общего полиношального ряд-ч

^•Я»'»**135 аналитической в шаре |ж|4^сС1 функция я даны оценки для коэффициентов ряда а 1РМ(^{.

1емма 15. 3 каровой облает« I) : \у>\ <. £,г для гп.£ 2"* справедливы оценка | р^ ^ ? т>>1. . ^

Найдены преобразования ряда К.& с Р М к степенному (по

1Д » . А А

<*. и а! ) и к тригонометрическому (по со^тф, —фазовая матрица).

Леша 17. В области, сходимости I) рядк

те. ^ 7 л

взаимно приводимы .Коэффициенты рядов связаны системой уравнений ¿0-гсс = R.l4s.,...

-ra

Лемма 18. Матричные ряды 2 с С*"*) a ¿Es eos m?1

M M ITl ^

взаимно приводимы.Еоэффиценты тригономгряческого ряда равны Se=do Str.= 2.Rm'dei , m-eZt

Показано,что в пространстве Сг исследование сходимости одного функционального ряда по матричной переменной «с. эквивалентно в пространстве Е^ исследовании сходимости системы трёх двойных функциональных рядов по действительным однородным гармоническим полиномам Pk(IjIJ-Это предопределяет эффективность численных методов реаения прикладных задач,базирующихся на теории С^-потенциалов. Сфорцуларована и доказана принципиально важная Теореиа 12. (С^-аналог теоремы Кода).Если Г -любой загашутый пространственный контур Жордава на замкнутой регулярной поверхности S ¿ограничивающей конечный объём "V" ,то для аналитической функ -цеп в YUS выполняется ¿t = О •

Г

Доказательство теоремы 12 обобщает двумерную схему преобразования - „,

г ъ

в трёх- и четырёхмерную схецу перегода

ф S Ct) ¿i-- « (МТ) и А Ь Р

Г D vr '

к основано на преобразовании и исследовании пространственного

контурного интеграла

« (£ Mt.-Mt^at-s^eMVMv-í4<V +($ Mt,+ s4aii+i1<Jts-îldt4)k+ (§sH<VW =

Теорема 12 является основой для последующей разработки аппарата пространственного контурного интеграла Копи. __

Для кара R, исследованы граничные свойства функций <S ,

ц>'( , ^"'(-s) я -f.: -л), фигурирующих в комплексных предстазле:зях вектора общения Л (7) д тензора напряжений Т (•") Тстанавлиза-"" порядок построения ^(t) }Ч1)(как фу кадий точки t

пространственного контура Г) следующая

¿Гемма 19. Гранлчные значения фу капая <?&}, Ь «Г^ЭВ". Itl =1 строятся по адгоситиу:

ао * {Гг\ <___

^ ' -П'-rC I -1 "VW f.l'rrt • " J

лг-о ni'o

-' rrjph <4,

5г = 0

гол-*)

R.

oo

mHÖ--—с P ^

/-■»Ul.i f лч

. ¿ракгчше зватевая у-атрятазЕ фувашш

'-ь) > ^i'vt}»"- строятся яо тому зв алгоритму для предварительно лрс-»;$«реииарсваш1гс: по формул типа (4) -¿/чздий ^'(аг)»

Яемьа 19 необходзш для последующего решения сфор.-лулцрован-пк.с з главе III граничных задач тьорип С-потенциалов с помощью аппарата (.^-¡г-гтеграла Коза.

В пятой главе,даны применения С^-потзгцзалсв для решения, npcnr^iiistx за^ач посстрг.'-стйснной теории упругсстя.

X^scJOTcoß.i процед^-а построения йагаргджачеслого вектора <S\Xa^(I) в действительном трёхмерном пространстве Б3. Показано, что кагдая ксшонгята этого вектора может быть представлена в заде четырех дво»««* ^z-v

■Im ГЛ • - W! f^fcr« 4 < 1 J

(II)

I v™. ГИ?*? V. л, «L л «У *

а весь вектор Б определяется системой двенадцати сходящихся двойных рядов с двенадцатью заданными последовательностями коэффициентов , Отсюда следует,что общие решения Буссинека-Галёркина (I) или родственные им решения Папкошча-Нейбера и др. для вектора смещения и и тензора напряжений Т .несмотря на большое теоретическое значение, не могут быть рабочим инструментом при решении прикладных трёхмерных задач из-за их неэффективности по сравнению, например, с результатами, подучаемыми методами граничных элементов.

Для сравнения с действительными представлениями (II) на основе теоремы 8 было получено представление комплексного С2-образа вектора С* в виде двух простых рядов

с заданием всего лишь двух последовательностей коэффициентов С^ и с£> , определяющих систем двух ( ^ , ¡¡С ) С^-потенциадов.

Рассмотрен пример определения НДС и формулировки краевых условий (в смещениях) для тела вращения по заданной системе

(Ч ,Я С2-потенциалов.

* - р

С использованием С -потенциалов решена следующая Задача. На поверхности . А

( в ) ; = Я(2.+со5тЭ-), В-Цг» ?•)

упругого тела V задан вектор сил

Р* (р,.», Рт*,Р»ч) • Чу/5+ чей** V

м * Цсоьд' Л ''

Требуется определить НДС тела.

Решение поставленной задача даётся формулами:

в* =2.22- s- = s- =o e*

q____— .. — -^'ji «i -

Si

■1

iet{ ~ 4 - 5 M ib 2. >

----------- ~ 9(1-15*0 - г ,

с. £ = с -£ -^ £ =£=(1 & —-3

гг чч НцЦ-И) -> гг гг 8$*(1+м)* ' V" гг 4^(1^)

Получено решение трёхмерной стационарной температурной задачи Дирихле

дтс?)=о, тсМаь =

Согласно теореме 7 общее решение гармонического уравнения выражается через одан С2-сотенвдал - <■?(»:):

Выполнение граничного условия з любой точке "Ь = ( , » "Ц )6"дГ) означает, что оно выполняется и в точке_ = (, 6

Для кошлексных образов £ = Х^С^ 0"}, -Ь = ЗУ^'О) & & действительных радиус-векторов точек t , 1 * 4 £3 допустимо комплексное представление заданной функции - распределения тешератур на поверхности "Э В - з виде

что эквивалентно заданна в виде степенного ряда

ос

m«o __

коэффициенты которого dy^ определены.' Реаеяае тем -

аературной задачи Дирихле находится путём определения коэффициентов с^ С"-потендиада из линейной системы уравнензй, праве-дённой а лемма 17.

■ Рассмотренная температурная задача Дирихле для шара не является новой - её "чйсЕзлтельгОе решение было получено с аспользо-заяием двойных рядов типа (II) и связано со значительно большим объемом вычислений, чем приведённое выше резенае с псъюздьа С2-сотгнпзала ^(те).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные выводы и результаты,полученные в диссертаций, состоят в следующем:

I. В качестве эффективного математического аппарата для решения трёхмерных задач теории упругости разработаны начала теории матричных комплексных функций матричной комплексной переменной, в том числе:

1.1. Установлено соответствие между описаниями трёхмерного действительного Eg и комплексного С2 пространств.Исследована единая матричная структура для представления комплексных пере -менных,функций и операторов матричных аргументов в простра -стве С . Структура содержит в себе (как частный случай представления скалярных комплексных элементов С^, принятых в современной теории функций многих комплексных переменных. Бри упрощении введённая структура вырождается в обычную комплексную переменную,т.е. не противоречит основным понятиям теории функций одного комплексного переменного.

1.2. Исходя из выбранной матричной структуры, сформулированы в доказаны основные положения новой теории пространственных комплексных функций переменной Гамильтона .Даны геометрические интерпретации, которые нельзя получить в рамках совре -менной теории функций многих комплексных переменных.

1.3. Развито обобщение условий Ыоисила-Теодереску сопряжения гармонических функций в действительном трёхмерном пространстве Eg на евклидово пространство Е4. Дм условий Моисила-Теоде-реску построено соответствие с новыми условиями аналитичности комплексной функции переменной Гамильтона в комплексном пространстве С2.Введено понятие аналитической функции (С^-потенциала ). Приведено сравнение с результатами современной теории функций многих комплексных переменных.Иссле -дована возможность конформного отображения областей в комплексном С2 пространстве о помощью С2-потенциалов.Доказана . теорема (С2-аналог теоремы Рямана) о конформном отображении. Приведены примеры отображающих С2-потенциалов.

1.4. Разработана методика построения однородных аналитических полиномов. Изучены их свойства .Показано,что однородные аналитические полиномы в комплексном пространстве С играют

роль степенных функций пространства С"1" (2-плоскость) .Рас---------сжт^ены С^-аналсга рядоз"7еглсрз з"Ясранз ~со- структурными

еданипамв з виде однородных аналитических полиномов.Доказаны теоремы.

I.5. Развиты способы построения комплексных представлений для трёхмерных действительных гармонических и бягэрмоническах функций а помсвью С -потенциалов. Дано обобщение комплекс^-гс представлений для пространственных полягарионичзекзх

II. Разработана проблема сведения трёхмерных гармонических ч би-

задач зеорад упругости к краевым задачам хеори« ^'—потенциалов, в том числен

II .1 .Получены и доследованы обобщённые на действительное пространство Зд дифференциальные зависимости компонент тензора напряжений, а функций напряжений. Показано,что зависимости имеют единую структуру описания для действительных пространств , а=2,3,4. Это позволило провести сравнительный анализ селений трех-и двумерных задач теории упругости и дать целостное представзеняе о проводимых исследованиях.

II .2 .Разработана схема сведения статически:-: задач пространственно' теории упругости в смецекп^ и яллрянениях к действительным бигармскическим задачам Дирихле и Неймана з .¿орме интегралов по замкнутому пространственно;,^ контуру .Схема позволяет получить граничные условия,которым удовлетворяют действительные функции наполнений.

_ о

¿1.3.Показано,что четырёхмерная структура С^-дотенциалоз наиболее полно я рационально описывает геометрию и ЕДС тела в трёхмерной теории упругости .Сформулированы пояснения (лезгин и теоремы) , ^станз'алнзйсщге соответствия между дейотвзтельнкма ха -рак?еркстагака тела и их комплексными образа-,а в прост -ранстве С*.

II .4 .Дано описание ЕДС упругого. тела с псмопьо системы С^-потен -шалов.

II.5.Получены формулировки г^аянчнкх условий,спред&лямих систему С—потендлалсг-,по .тс соответствию краезыа услсеиян бига^монд-ческах задач трёхмерной теории упругости.

II,5.Разработана методика озеленил основных задач трехмерной теории упругости в напряжениях и- смещениях к граничным задачам теория С -потенциалов. Дан анализ фор&улг.-ювки граничных задач теории С -потенциалов. •

II .7 .В качестве примера приведено-решение трёхмерной температурной задачи Дирихле для шара с помощью С —потенциалов.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Богашов Ф.А. О представлении пространственных задач теории упругости в функциях комплексных переменных.Сообще -ние I //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзный мегзузовский сборник.Горьковский ун-т, 1983. Вып. 41. С. 110-118.

2. Богашов Ф.А. Описание пространственных задач теории уп -ругости с помошью аналитических функций переменной Гамильтона .Сообщение 2 //Прикладные проблемы прочности и плас -тичвости.Всесоюзный ыегвузовский сборник.Горьковский ун-т, 1990. Вып. 44. С. 45-95.

3. Богашов Ф.А. Структура пространственных аналитических функций и формирование обобщённых функций Эри //Прикладные проблемы прочности и пластичности .Всесоюзный мелеву -зсвский сборник .Нижегородский ун-т ,1991 .Вып.47. С. 15-26.

4. Богашов Ф.А. Конформное отображение в трёхмерном комплексном пространстве //Прикладные проблемы'прочности и пластичности .Всесоюзный межвузовский'сборник. Нижегородский ун-т, 1991. Вып. 48. С. 83-91.

5. Бсгашов Ф.А.«Угодчиков.А.Г. Комплекснозначные представления пространственных решений Буссинека-Галёркина для перемещений //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзный межвузовский, сборник.Нижегородский ун-т, 1991. Вып. 49. С. 15-23.

5. Богашов Ф.А. ,Угодчиков А.Г. Пространственные комплексные потенциалы в бигармонической задаче //Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник. Нижегородский ун-т, 1992. Вып. 50. С. 3-16.

7. Богашов Ф.А. .Угодчиков А.Г. Развитие методологии Ь5усхелиш-вили применительно к решению пространственных задач теории упругости. Часть I //Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций .Научные труды. Н.Новгород, 1993. Вып. I. С. 11-24. .

8. Богалов Ф.А. Представление бигармонической функции в комп-

- лекском пространстве С2.ДАКД993.Т.332.К2.С.135-137.

— - -Э-.-Богезюз-Ф^А^-Решение-бигарконического уравнения-б-ко>®--------

лек сном пространстве //Дифференциальные уравнения, 1993. I. 23, & 8..С. 1370-1373. 10. Богатев 5.А.Дсмутеская С.7,. 0 применении методов ирсет-ранс—енкых комплексных потенциалов в теории оболочек // Труда 171 тездунаролкой конференции по теории оболочек а пластан. Н.Новгород, 1954. Т. 2. С. 47-52. П. Богапов Ф.А. Задача Дирихле для перемещений в упругом гзро //Прпяладннэ проблз^ы пречнеегд д ддаспппсстд. ссгзныЗ аеззузозегаг сборник. Елаегародскзг ун-г, 1395. Зкп. 51. С. 40-44.

оз™. ~ печ. I2.CS.95. Формат £0хЗ«-~/1о. Булагз осерточ.чзя. П<зчзть фсетязя. Йеч. л. 2,25. Уч.-изд.л. 2,0. Тграг 1СО экз. Зе;:зз 10?. есплатно. - .

вборатерия сметной пзча?я подгграфячесЕЛй басы НГТУ. .. 33022, Я.Нсзгород, просп. Гагарина, I. -"■• •

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Классическая постановка задач пространственной теории упругости (статика).

1.1.1. Основные уравнения теории в компонентах вектора смещений и тензора напряжений.

1.1.2. Задание краевых условий.

1.2. Инвариантные формы общих действительных решении уравнений п. 1.1.1.

1.2.1. Представления для вектора смещений и тензора деформации.

1.2.2. Представления для тензора напряжений.

1.3. Ортогональные криволинейные координаты

1.3.1. Аксиально-симметричные задачи

1.3.2. Деформация тела вращения

1.4. Решение некоторых классов пространственных задач методами теории функций комплексного переменного.

1.4.1. Зависимости между пространственными и некоторыми плоскими НДС по методу интегральных наложений.

1.4.2. Применение двумерных комплексных потенциалов.

1.4.3. Использование обобщённых комплексных переменных и гиперфункций

1.5. Исходные понятия и их развитие в современной теории функций многих комплексных переменных.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ПОЖЖЕШЙ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ( С2-П0ТЕНЦИАЛ0В).

2.1. Структура элементов комплексного пространства С

2.2.1. Базисы пространств Е^ и С

Изоморфизм Гамильтона-Кели.

2.1.2. Формы представления элементов в г.

2.1.3. Некоторые геометрические интерпретации.

2.1.4. Предел последовательности комплексных элементов.

2.1.5. Функция переменной Гамильтона.

2.2. Дифференцирование функций.

2.2.1. Дифференциальные операторы.

2.2.2. Простейшие применения дифференциальных операторов.

2.2.3. Производные от комплексной функции.

2.3. Аналитические функции переменной

Гамильтона (С -потенциалы).

2.3.1. Условия аналитичности.

2.3.2. Однородные аналитические полиномы.

2.3.3. Аналоги рядов Тейлора и Лорана.

2.4. Соответствие между конформным отображением областей в пространствах Е^ и С

2.4.1. Геометрический подход и линеаризация системы (1.71).

2.4.2. Сравнение с известными результатами.

2.4.3. Ф -потенциалы и конформное отображение.

2.4.4. Обобщение теоремы Римана на пространство Ф.

2.5. Комплексные представления общих решений ^ полигармонических уравнений в С2.

2.5.1. Вспомогательные формулы и соотношения.

2.5.2. Представления для гармонических и бигармонических функций.

2.5.3. Обобщение для полигармонических функций.III

Выводы по главе II.

ГЛАВА III. ОПИСАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ С2-П0ТЕНШАД0В.

3.1. Обобщение основных уравнений теории упругости для Е^. Интерпретация формализма.

3.2. Сведение задач пространственной теории упругости к бигармоническим задачам.

4 3.2.1. Обобщение тензора напряжений.

Представления дли компонент.

3.2.2. Свойства функций напряжений.

3.2.3. Задача Дирихле для бигармонического вектора смещений.

3.2.4. Задача Неймана для бигармонических функций напряжений.

3.3. Комплексное представление пространственного решения Буссинека-Галёркина для ¡перемещений.

3.4. Комплексные представления для компонент 6t.

3.5. Редукция основных краевых задач пространственной теории упругости на комплексное пространство (П.

3.5.1. Формулировка пространственной краевой задачи в напряжениях для С -потенциалов.

3.5.2. Формулировка пространственной краевой задачи в смещениях для С -потенциалов Выводы по главе III.

ГЛАВА 1У. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

С2-ПОТЕНЦИАЛОВ.

V? —к

4.1. Квазилинейная форма представления степеней и к

4.1.1. Представление степеней эе и "ае через инварианты матрицы "К,

4.1.2. Свойства гармоничности действительных однородных полиномов р (l I ').♦.

•к Ь «

4.1.3. Представления для однородных аналитических полиномов Р^ (ге)

4.2. Дифференцирование степеней.

4.2.1. Общие формулы дифференцирования.

4.2.2. Дифференцирование степеней инвариантов. fc —^

4.2.3. Дифференцирование степеней "ä. и ^е

4.3. Сходимость полиномиальных рядов.

4.4. Теорема Кош.

4.5. Граничные свойства матричных аналитических функций.

Выводы по главе 1У.

ГЛАВА У. ПРИМЕНЕНИЕ (^-ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

5.1. Определение НДС тела и краевых условий из общих решений уравнений теории упругости.

5.1.1. Задание вектора О Бу с с и н ек а -Га леркина.

5.1.2. Задание системы ( ) С! -потенциалов.

5.2. Задача в напряжениях для тела, ограниченного поверхностью (5.20).

5.3. Температурная задача

Выводы по главе У

ОБЩЕ ВЫВОДЫ

В 1861 г. Г.Б.Эри ввёл в рассмотрение действительную бигар-моническую (¿/ункцию и двух действительных переменных,через которую выразил компоненты тензора напряжений для двумерных упругих областей. Исходя из граничных условий задач двумерной теории упругости, исследователями предпринимались попытки построить такие граничные условия для функции Эри и её производных, которые давали бы эффективные решения различных прикладных бигармонических задач. В деист вительных областях двумерного пространства этого не удалось сделат и решения бигармонических задач, определяющих функцию Эри,приходилось получать интуитивно.

В 1898 г. Э.Гурса методами теории функций одного комплексного переменного подучил для действительной двумерной бигармоническо функции комплексное представление через две аналитические функции.

Используя классические результаты работ физиков и механиков (Эри,Ыаксвела и др.), хорошо разработанный к тому времени аппарат теории функций одного комплексного переменного (Коши,Римана,Гурса и др.), Г.В.Колосов для случая плоской задачи впервые получил физически ясные комплексные представления для компонент вектора перемещений и тензора напряжений через две аналитические функции и их производные.

Основываясь на комплексных представлениях Г.В.Колосова,Н.И. Мусхелишвили построил краевые условил,которым подчиняется указанная пара аналитических функций,т.е. свёл гармонические и бигармо-нические двумерные задачи теории упругости (в перемещениях и напряжениях) к краевым задачам теории функций одного комплексного переменного. Построение краевых условий во многом определило последу ющий успех Н.И.Мусхелишвили ,'И.Н.Векуа,их школ и последователей.

В самом общем виде метод Колосова-Мусхежшвили-Векуа можно понимать как отработанный и полный алгоритм построения контактирующего взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) произвольных объектов евклидова двумерного пространства Е.и комплексной 1 -плоскости (комплексного пространства € ).Тогда решениям задач плоской теории упругости соответствуют решения краевых задач теории функций одного комплексного переменного.

В ряде работ Н.И.Мусхешшвили.й.Н.Векуа и др. на основе теории аналитических функций одного комплексного аргумента были развиты методы решения широкого круга граничных и контактных задач плоской упругости,а также задач кручения и изгиба (гармонических и бигармонических).

Существенный вклад в развитие метода Колосова-Мусх елишнили-Векуа для решения различных классов задач плоской упругости внесли работы Г.Н.Савина,С.Г.МихлинаД.й.ШерманаД.И.Воровича, их школ и многочисленных последователей. К исследованиям теоретических и прикладных задач применения теории 'функций одного комплексного переменного в теории упру гости относится также цикл работ нижегородской школы, в частности, работы по получению аналитических решений на ЭВМ.

Предложенный и разработанный Н.И.Мусхелишвили и И.Н.Векуа мамитегралоб тематический аппаратТгйпа Коши и сингулярных интегральных уравнений в дальнейшем развивался в работах И .Н .Векуа ,К .П .Векуа,М.А.Лаврентьева ,А.З.Бицадзз,Ф.д.Гахова и др.

Следует отметить,что пр£ разшгах методах теории функции одного комплексного переменного путь от первичных (Зри) до итоговых результатов (шусхежщвили-Векуа) был преодолен за столетие.

Попытки установить связи между пространственными (в основном осесимметричными) и соответствующим! им плоским! задачами предпринимилась давно. С одной стороны, были найдены те или иные аналогии между формами записи их обидах решений (А.и Л.Феппль,Т.Пёашь, К.Маргер,П .Папкович,К.Голецкий,А.Я.Александров и др.).С другой стороны, были установлены интегральные зависимости между решениями указанных задач (К.Вебер),где функция напряжений осесимметряч-ной задачи связывалась с плоской бигармонической функцией.В работах Г. II .Положил зависимости между плоскими и осесимметричными задачами при помощи -аналитических функций одного комплексного переменного. Удобным приёмом получения интегральных зависимостей является метод наложений (В.И.Смирнова »С.Л.Соболева,А.Я.Александрова), который использовался при решении задач типа Буссинека для анизотропного полупространства. Получение вышеназванных зависимостей основано на введении определённых вспомогательных состояний,компоненты которых в прямоугольных координатах зависят лишь от двух переменных. В качестве таких состояний принимаются плоская деформация и деплаиация (двумерное состояние при отсутствии смещений в двух направлениях). Пространственное напряжённое состояние заданного тела рассматривается как суммарное состояние плоских напря -жённых состояний в плоских сечениях пучка цилиндров, пересечение которых и даёт объём заданного тела.

Наибольший вклад в применение методов теории функций одного комплексного переменного к пространственным задачам теории упругости внесли работы В.Т.Койтера,Я.Н.Снеддона,И.И.Воровича,С.М. Белоносова и А.Я.Александрова.

Применение плоских комплексных потенциалов для описания пространственных задач стимулировало попытки механиков разработать методы трёхмерных комплексных потенциалов для приложений,несмотря на то, что современная теория функций многих комплексных переменных до сих пор не располагает эффективным аппаратом изучения структур и свойств комплексных функций, выделения из них класса аналитических функций ( € -потенциалов). Известны попытки обобщения описания уравнений равновесия и совместности с помощью функций двух комплексных переменных (А.й.Александрович), гиперфункций (Д.Д.Пенрод) и кватернионных функций (И.П.Мельниченко, Е.М.Пик). Однако, это не привело к получению трёхмерных обобщений комплексных потенциалов, выражению через них представлений Колосова-Мус-хелишвили и построению схемы сведения бигармонических задач теории упругости к краевым задачам теории функций двух комплексных переменных.

Целью работы является создание методологических основ для решения трёхмерных задач теории упругости с помощью аппарата пространственных комплексных потенциалов. Методологические основы включают в себя:

- введение аксиоматики для описания комплексного пространства С , соответствующего трёхмерному действительному пространству Еъ ;

- построение начал теории матричных комплексных функций в пространстве С »определение и изучение класса аналитических функций г С -потенциалов); г

- описание НДС упругого тела с помощью системы С -потенциалов;

- формулировка граничных условий (для определения системы С -потенциалов) по соответствию их краевым условиям бигармонических задач трёхмерной теории упругости и постановки граничных задач т. теории С -потенциалов.

Тема диссертационной работы входит в перечень тем Федеральной Программы "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций".

В главе I выполнен обзор существующих описаний и решений систем дифференциальных уравнений статической пространственной теории упругости с помощью теории функций действительных и комплексных переменных. Основное внимание уделено уточнению,формализации и обобщению на четырёхмерный случай систем уравнений равновесия,совместности и Гуна и их решений для получения единого описания НДС упругого тела независимо от размерности задач и для выработки целостного подхода при анализе существующих и получаемых в главе III результатов.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

I. В качестве эффективного математического аппарата для решения трёхмерных задач теории упругости разработаны начала теории матричных комплексных функции матричной комплексной переменной,в том числе:

1.1.Установлено соответствие между описаниями трёхмерного действительного Е5 и комплексного € пространств. Исследована единая матричная структура для представления комплексных переменных, функций и операторов матричных аргументов в пространстве

Структура содержит в себе (как частный случай) представления ска-лярных комплексных элементов € »принятых в современной теории функций многих комплексных переменных. При упрощении введённая структура вырождается в обычную комплексную переменную,т.е. не противоречит основным понятиям теории функций одного комплексного переменного.

1.2.Исходя из выбранной матричной структуры, сформулированы и доказаны основные положения новой теории пространственных комплексных функций переменной Гамильтона. Даны геометрические интерпретаций, которые нельзя получить в рамках современной теории функций многих комплексных переменных.

1.3.Развито обобщение условий Моисила-Теодереску сопряжения гармонических функций в действительном трёхмерном пространстве на евклидово пространство Е^ . Для условий Моисила-Теодереску построено соответствие с новыми условиями аналитичности комплексной т. функции переменной Гамильтона в комплексном пространстве С .Ввег дено понятие аналитической функции ( (С -потенциала). Приведено сравнение с результатами современной теории функций многих комплексных переменных. Исследована возможность конформного отображения областей в комплексном С пространстве с помощью С-потенциалов. Доказана теорема ( С -аналог теоремы Римана) о конформном отображении. Приведены примеры отображающих С^-потенциалов.

1.4.Разработана методика построения однородных аналитических полиномов. Изучены их свойства. Показано,что однородные аналитические полиномы в комплексном пространстве С*" играют роль степенных

1 1 функций пространства € ( ъ -плоскость). Рассмотрены С -аналоги рядов Тейлора и Лорана со структурными единицами в виде однородных аналитических полиномов. Доказаны теоремы.

1.5.Развиты способы построения комплексных представлений для трёхмерных действительных гармонических и бигармонических функций с помощью (ь -потенциалов. Дано обобщение комплексных представлений для пространственных полигармонических функций.

II. Разработана проблема сведения трёхмерных гармонических и бигармонических задач теории упругости к краевым задачам теории <ь -потенциалов, в том числе:

11.1.Получены и исследованы обобщённые на действительное пространство Е^ дафференциальные зависимости компонент тензора напряжений и функций напряжений. Показано, что зависимости имеют единую структуру описания для действительных пространств и = 2,3,4. Это позволило провести сравнительный анализ решений трёх-и двумерных задач теории упругости и дать целостное представление о проводимых исследованиях.

11.2.Разработана схема сведения статических задач пространственной теорий упругости в смещениях и напряжениях к действительным бигармоническим задачам Дирихле и Неймана в форме интеграла по замкнутому пространетвенному контуру. Схема позволяет получить граничные условия, которым удовлетворяют действительные функции напряжений.

11.3. Показано, что четырёхмерная структура. (С -потенциалов наиболее полно и рационально описывает геометрию я НДС тела в трёхмерной теорий упругости. Сформулированы положения (леммы и теоремы), устанавливающие соответствия между действительными характеристиками НДС тела и их комплексными образами в пространстве Сг. 2.

11.4. Дано описание НДС упругого тела с помощью системы (С -потенциалов.

11.5. Получены формулировки граничных условий, определяющих систему € -потенциалов, по их соответствию краевым условиям би-гармонических задач трёхмерной теории упругости.

11.6. Разработана методика сведения основных задач трёхмерной теории упругости в напряжениях и смещениях к граничным задачам

-Л теории С -потенциалов. Дана анализ формулировок граничных задач

Г>г теории (L-потенциалов.

II.7 В качестве примера приведено решение трёхмерной темпера-турной задачи Дирихле для шара с помощью € -потенциалов.

1. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935,

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. Ы. :Наука, 1966.

3. Лурье А.И. Теория упругости. Ы.:Наука, 1970.

4. Ляв А. Математическая теория упругости. Перев. с англ. М.: ОНТИ, 1935.

5. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. Т. 2,3. М.:Машиностроение, 1968.

6. Мейз Д®. Теория и задачи механики сплошных сред.M. :Мир,1974.

7. Седов 1.И. Механика сплошной среды.T.I.М.:Наука, 1970.

8. Папкович П.Ф. Теория упругости.М.:0боронгиз, 1939.

9. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. 3-е изд.М.:Наука, 1984.

10. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. 2-е изд. М. -.Наука, 1982,

11. Будак Б.М. »Самарский А.А.Дихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.:ГИТТЛ, 1956.

12. Goarsai Е. ^ur E'e^ûuUon- Д&а^О/'Ви.С Soc. MaH.1. Frcttvce, 1888. V. 26, p.

13. A£vna,»v^û E. Su&C«. ficerca ¿Mb £uixî.v.ottC f^h -атоьл cAe щг* ft-^ect |pi.atva sivnja&cemeftie conni&sa, fitr dû-te condtîCon.L ai contor rtoReixcl. Cire, Mai^v. Pa/Cermo^ 1S99. T, XIÏ, P. Я25-262.

14. Галёршш Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле//Собрание сочинений Б.Г. Галёркина.М.:Нзд-во АЕ СССР, 1953. T.I. С. 318-321.

15. Стейи И,,Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:Мир, 1974.

16. Крутков 10.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.:Изд-во АН СССР, 1949.

17. Колтунов М.А.»Васильев Ю.Н.,Черных H.A. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.:Высшая школа, 1975.

18. Александров 1.Я.»Соловьёв lû.ïï. Пространственные задачи теории упругости. Ы.:Наука, 1978.19. ¿лусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд. М.:Каука, 1968.

19. Веку а И.Н. ,№усхелишвили Н.И. Методы теории аналитических функций в теории упругости//Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.М,:11зд-во АН СССР,1962.С. 310-338,

20. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.М.:Гостехиздат,1957.

21. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.:Мир, 1968.

22. Бохнер С.,Мартин У,Т.Функции многих комплексных переменных. М,:йзд-во иностр. лит., 1951.

23. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. M. :Наука, 1964.

24. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.:Наука, 1962.

25. Ганнинг Р.»Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.:Мир, 1969.

26. Мальгранж Б. Лекции по теории функции комплексных переменных. М.:Наука, 1969.

27. Weber С. AcPi^ert$yiDmetKs.cie Ье^огтаЛСоа von,

28. Um-dre^u^-äfecrpern. /I 1- ftft^* McdA. МесА . ,1925. Bd. .5, H.6.1. S . 464-468.

29. Беленький М.Я. Некоторые осесимметричные задачи теории упругости// ПММ, i960. Т. 24. Вып. 3. С. 582-584.

30. Положий Г.Н. О применении р -аналитических и ( р , cj, -аналитических функций//Труды Международного симпозиума "Приложения теории функций в механике сплошной среды" (Тбилиси,1963).

31. М.:Наука, 1965. С. 309-326.

32. Смирнов В,И.»Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний в пространстве с осевой симметрией// Труды Сейсмологического ин-та АН СССР. М.: йзд-во АН СССР,1933. Ш 29.

33. Свекло В.А. Задачи типа Буссинеска для анизотропного полупространства//ПММ, 1964. Т. 28. Вып. 5. С. 908-913.

34. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции.M.:Физмат-гиз, 1959.

35. Александрович А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных в теории упругости//ДАН СССР,1977. Т. 232.3. С. 542-544.

36. Pen-rod D.D. Ah. an.<tfojwe о£ iKe KoiosofS- МЛ

37. С formu£ae Ch, "tlvr^e dc^erv^Cotvs//Qucurt. Appi, Mo/t&.j1966. У. 23, № 4. P. 312-322.

38. Мельниченко И.П.,Пик S.M. Кватернионные переменные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды//Прикладная механика. 1973. Т. 9. Вып. 4. С. 45-50.

39. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра.М.:Наука, 1976.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1967.

41. Арфкен Г. Математические метода в физике.М. :Атомиздат,

42. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике.М.:Наука,1968.

43. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.:Наука, 1965.

44. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.!.:Наука,1965.

45. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. 3-е изд. М.-Л.:ШШ, 1950.

46. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 1,2. М.:Изд-во иностр. лит., 1962.

47. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. ш.-Л.: ГИТТЛ, 1952.

48. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.1.2-е изд. М.:Наука, 1967.

49. Богашов Ф.А. О представлении пространственных задач теории упругости в функциях комплексных переменных.Сообщение I// Прикладные проблемы прочности и пластичности .Всесоюзный межвузовский сборник.Горьковский ун-т,1989. Вып. 41. С. 110-118.

50. Богашов Ф.А* Структура пространственных аналитических функций и формирование обобщённых функций Эри//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т, 1991. Вып. 47. С. 15-26.

51. Ддураев А. 0 постановке пространственных эллиптических краевых задач для систем//ДАН СССР,1991. Т. 319,& 1.С. 33^37.

52. Джураев А. О задаче Коши для неоднородных систем Коши-Римана//ДАН СССР, 1991. Т. 319, Й 6. С. 1292-1296.

53. Богашов Ф.А. Представление бигармонической функции в комплексном пространстве С*//ДАН, 1993. Т. 332, № 2.С.135-137.

54. Богашов Ф.А. Решение бигармонического уравнения в комплексном пространстве//Дифференциальные уравнения,1993. Т. 29,й 8. С. 1370-1379.

55. Богашов Ф.А.,Угодчиков А.Г. Комплекснозначные представления пространственных решений Буссинека-Галёркина для перемеще-ний//Прикладные проблемы прочности и пластичности .Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т,1991.Вып.49. С. 15-24.

56. Богашов Ф.А.,Угодчиков А.Г. Пространственные комплексные потенциалы в бигармонической задаче//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Нижегородский ун-т,1992. Вып. 50. С. 3-16.

57. Угодчиков А.Г.,Длугач М.И.»Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.:Высшая школа, 1970.

58. Снедцон И.Н.,Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.-.Физматгиз, 1961.

59. Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд. М.:Наука, 1967.

60. Курант Р. Уравнения с частными производными.М.:Мир,1964.

61. Богашов Ф.А. Описание пространственных задач теории упругости с помощью аналитических функций переменной Гамильтона. Сообщение 2//Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюзный межвузовский сборник.Горьковский ун-т, 1990.Вып. 44.С.46-55.

62. Богашов Ф.А. Конформное отображение в трёхмерном комплексном пространстве//Прикладные проблемы прочности и пластич -ности. Всесоюзный межвузовский сборник .Нижегородски ун-т,1991. Вып. 48. С. 83-91.

63. Богашов Ф.А., Хомутецкая С,И. О применений методов пространственных комплексных потенциалов в теории оболочек// Труды ХУ1 Международной конференции по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, IS94. Т. 2. С. 47-52.

64. Бицадзе A.B. О полигармонических фушодиях//ДАН СССР, 1987. Т. 294, № 3. С. 521-525.

65. Бицадзе A.B. О задаче Неймана для полигармоническихфункций//Диф)ференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5.С.823-828.

66. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.:Иаука, 1965.

67. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.:Физматгиз, 1963.

68. Уэрмер Две. Теория потенциала. М.:Мир, 1980.

69. Тиман А.Ф. »Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.:Наука, 1968.

70. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. М.:Мир, 1988.

71. Белов В.В., Воробьёв Е.М. Сборник задач по дополнительным главам математической физики.М.:Высшая школа, 1978.

72. Мелан 3.» Паркус Г. Термоупругие напряжения,вызываемые стационарными температурными полями. М.:Физматгиз, 1958.

73. Новацкий В. Вопросы термоупругости. М.: Изд-во АН СССР,1. ГОиГОЖЕНИЗ

74. СООТВЕТСТВИЕ ЭШШТОВ ПРОСТРАНСТВ Ги=3,4) и С§1. Матричное представление векторов в Е к,11. Расслоение векторов

75. В связи с этим введём в рассмотрение матрицы-представления для правосторонних базисных векторов:о