Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

1.1. Граничные условия в контактных смешанных задачах теории упругости.

1.2. Плоские статические контактные задачи для изотропной полуплоскости.

1.3. Плоские статические контактные задачи для анизотропного упругого тела

1.4. Пространственные статические контактные задачи теории упругости.

1.5. Математические методы в контактных задачах теории упругости.

1.5.1. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости.

1.5.2. Метод парных интегральных уравнений в смешанных задачах теории упругости.

1.6. Аффинные преобразования и метод малого параметра в плоской задаче теории упругости.

1.6.1. Постановка задачи в напряжениях.

1.6.2. Постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях.

2. ИЗОМОРФНЫЕ МОДИФИЦИЕОВАННЫЕ'ЛРОСТРАНСТВА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД.

2.1. Модифицированные пространства в декартовой системе координат.

2.1.1. Ортотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах.

2.1.2. Трансверсально-изотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах.

2.2. Трансверсально-изотропный материал в модифицированных пространствах цилиндрической системы координат.

2.3. Анализ некоторых изоморфных модифицированных пространств трансверсально-изотропного материала в цилиндрической системе координат.

3. ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

3.1. Вывод приближённых уравнений пространственной теории упругости трансверсально-изотропной среды на основе асимптотического метода.

3.2. Осесимметричная пространственная задача для трансверсально-изотропной среды.

3.3. О структуре главных уравнений для высших приближений.

3.4. Иллюстрация предложенного метода на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсальноизотропного полупространства.

3.4Л. Постановка задачи и граничные условия.

3.4.2. Решение задачи в нулевом приближении.

3.4.3. Решение задачи в первом приближении.

3.4.4. Решение задачи во втором приближении.

3.4.5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи.

4. НЕКОТОРЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО

ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

4.1. Действие гладкого кругового штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства.

4.1.1. Постановка задачи и граничные условия.

4.1.2. Решение задачи в нулевом приближении.

4.1.3. Решение задачи в первом приближении.

4.1.4. Решение задачи во втором приближении.

4.1.5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи.

4.2. Контактная задача для параболического кругового штампа при отсутствии сил трения.

4.2.1. Постановка задачи и граничные условия.

4.2.2. Решение задачи в нулевом приближении.

4.2.3. Решение задачи в первом приближении.

4.2.4. Решение задачи во втором приближении.

4.2.5. Построение приближённого решения и сопоставление его с точным решением задачи. '

Современная техника предъявляет всё более жёсткие требования к точности, с которой должно быть определено напряжённо-деформированное состояние конструкций и сооружений. Большие возможности с этой точки зрения предоставляют интенсивно развивающиеся численные методы, предполагающие использование ЭВМ. Но с другой стороны, остаётся насущной и даже возрастает потребность в качественных методах, точных или приближённых решениях, которые позволяют выявить основные механизмы работы конструкций и выбрать наиболее эффективный алгоритм численного исследования. Естественным математическим аппаратом, позволяющим построить обоснованные приближённые уравнения и оценить области использования различных гипотез, является асимптотический анализ. Асимптотические методы получили весьма широкое развитие и применение в теории пластин и оболочек (прежде всего в работах А.Л. Гольденвейзера, И.И. Воровича, В.М. Александрова и др. [35-37, 6-15]). Асимптотическое интегрирование уравнений равновесия является одним из наиболее эффективных способов построения приближённых аналитических решений.

В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчётах принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей и анизотропные материалы. У них наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина; общеизвестно, что модуль упругости древесины при растяжении вдоль волокон значительно больше соответствующего модуля при растяжении поперёк волокон. Упругие постоянные древесины зависят от направления по отношению к древесным волокнам. Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемыми в авиастроении: дельта-древесина, авиа-фанера, текстолит и др. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы. Разными авторами отмечалась и исследовалась анизотропия железобетона.

Для того чтобы иметь возможность рассчитывать на прочность анизотропные детали, испытывающие упругие деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных телах теоретическим путём, т. е. решать задачи теории упругости анизотропного тела. В настоящее время теория упругости анизотропного тела весьма полно и всесторонне разработана (благодаря трудам главным образом учёных - Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Б.Г. Галёркина, П.Ф. Папковича, С.Г. Лехницкого, Г.Н. Савина и многих других [114-117, 86, 173, 130-135]). В этой области уже накопился довольно большой материал в виде ряда статей, опубликованных в различных журналах и сборниках и многих монографиях.

Непосредственно поводом для написания данной диссертации явилось осмысление идей, высказанных Н.М. Матченко в работах [96, 97].

Цель работы. Показать, что применение аффинных преобразований на основе асимптотических методов позволяют развить новые подходы к постановке, решению осесимметричных задач теории упругости трансверсально-изотропных упругих материалов.

Научная новизна работы. В диссертации рассмотрены различные варианты выбора компонент преобразующего тензора и получены несколько вариантов изоморфных модифицированных пространств, в которых с помощью асимптотического метода решаются осесимметричные задачи пространственной теории упругости трансверсально-изотропных сред:

1. Доказана теорема о множественности представления анизотропных материалов в изоморфных модифицированных пространствах.

2. Намечена классификация изоморфных модифицированных пространств.

3. Приводятся формулы для вычисления компонент преобразующего тензора.

4. Вводится новое представление модулей упругости в физическом пространстве в виде Е| = с1, • Е,, (1 = 1,2,3, по \ не суммировать), позволяющие записать модули упругости в изоморфных модифицированных пространствах (Мп).

5. Установлена связь компонент преобразующего тензора с коэффициентами (1 = 1,2,3) для ортотропных, трансверсальноизотропных материалов в декартовой системе координат, а для трансверсально-изотропного - цилиндрической системе координат.

6. Проведён асимптотический анализ уравнений равновесия пространственной теории упругости в изоморфных модифицированных пространствах.

7. Благодаря введению представления модулей упругости в физическом пространстве и установлению связи компонент преобразующего тензора а.- с коэффициентами с^ (¡ = 1,2,3) в бесчисленном множестве изоморфных модифицированных пространств определены несколько вариантов (Мп) пространств. При асимптотическом анализе уравнений равновесия в данных (Мп) пространствах выделяется величина е, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов.

8. Показано, что способ выделения величины е в (Мп) пространствах имеет преимущество перед способом получения аналогичного параметра £м Л.И. Маневичем и его учениками [90, 91]. Преимущество заключается в расширении области применения асимптотического метода при решении осесимметричных. задач теории упругости для большинства трансверсально-изотропных материалов.

9. Рассмотрен вопрос о структуре уравнений высших приближений в изоморфных модифицированных пространствах.

10. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное, в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице {эталонное пространство).

Практическая ценность. Благодаря введению аффинных преобразований получены аналитические решения некоторых контактных задач теории упругости трансверсально-изотропных материалов асимптотическим методом. Расширена область применения асимптотического метода за счёт выделения в изоморфных модифицированных пространствах величины, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов. Полученные в нулевом приближении аналитические решения дают погрешность по сравнению с точным решением не более 6%.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твёрдого тела, возможность получения из приведённых в диссертации уравнений пространственной теории упругости известных теоретических построений, сопоставления полученных решений с точными решениями, решения тестовых задач.

В первом разделе представлен анализ работ по одному из разделов механики твёрдого деформированного тела - теории контактных задач, позволяющий определить место и значение новых результатов, изложенных далее в диссертации. Раздел состоит из шести частей. В первой части приводится разнообразие способов приложения внешних нагрузок, создающих напряжённое состояние, к различным комбинациям которых приводится большинство контактных задач. Во второй и третьей частях излагается материал относящейся к плоским контактным задачам теории упругости, как для изотропной полуплоскости, так и для анизотропной среды. В четвёртой части приводятся обзоры работ посвященных пространственным статическим контактным задачам теории упругости, преимущественно, задач о давлении жёсткого штампа на упругое полупространство. В пятой части перечислены основные математические методы, используемые в контактных задачах теории упругости. Более подробно изложены асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости и метод парных интегральных уравнений. В шестой части даётся обзор литературных источников, в которых применяются аффинные преобразования и метод малого параметра при решении плоской задачи теории упругости. Эти работы разделены на два класса: а) постановка задачи в напряжениях с использованием функций напряжений; б) постановка задачи в перемещениях. Из рассмотренных работ шестой части следует, что в них используются аффинные преобразования либо координат, либо координат и компонент вектора перемещения, причём преобразования вводятся в уже сформулированные в физическом пространстве уравнения совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, либо в уравнения равновесия, записанное через компоненты вектора перемещения.

Во втором разделе исследуется возможность аффинного преобразования координат, перемещений, полей напряжений и деформаций для анизотропного материала, отнесённого как к декартовой системе координат, так и к цилиндрической системе. Вводится понятие о модифицированных пространствах. Доказывается теорема о множественности представлений одного и того же анизотропного материала в различных изоморфных модифицированных пространствах.

Подробно выписаны соотношения между обобщёнными напряжениями и деформациями для случаев произвольной анизотропии, ортотропии и трансверсальной изотропии в декартовой системе координат, а для трансверсальной изотропии - цилиндрической системе координат. Приводятся формулы для вычисления компонентов преобразующего тензора, а также вводится представление модулей упругости в физическом пространстве в виде Е, = <3, • Е(, где \ =1,2,3. Установлена связь компонентов преобразующего тензора а^ с коэффициентами (1|. Рассмотрены различные варианты выбора компонентов преобразующего тензора и получены шесть вариантов изоморфных модифицированных пространств. Особый интерес представляют варианты III - VI, так как при асимптотическом анализе уравнений равновесия пространственной теории упругости в перемещениях в данных (Мп) пространствах выделяется величина £, которая для большинства трансверсально-изотропных материалов является малым параметром. На основе анализа данных об упругих характеристиках тридцати произвольно выбранных трансверсально-изотропных материалов, показано, что жёсткостная характеристика материала, которую предлагается использовать в качестве малого параметра при решении дифференциальных уравнений равновесия асимптотическим методом изменяется в диапазоне от 0.003 до 0.27. С учётом того, что е « 1 в следующих разделах получены неотличимые от точного аналитические решения некоторых контактных задач в уже нулевом приближении. Среди модифицированных пространств выделяется эквивалентное (вариант I), в котором коэффициенты податливости в направлении исходной цилиндрической системы координат одинаковы и, например, равны единице {эталонное пространство). Перевод анизотропного материала в эталонное пространство как бы упаковывает его механические характеристики, позволяя сравнивать между собой различные материалы.

В третьем разделе рассматривается применение асимптотического метода, развитого Л.И. Маневичем, для решения пространственных задач теории упругости трансверсально-изотропной среды, основанный на введении аффинного преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензоров напряжений и деформаций, переводящего трансверсально-изотропный материал в изоморфные модифицированные пространства варианты III - VI. При этом естественным является использования разложения искомого решения в ряд по малому параметру г, зависящему от упругих характеристик среды. Компоненты вектора перемещений представляются в виде суперпозиции решений двух типов. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений равновесия первого типа по параметру £ определяет интегралы, медленно изменяющиеся вдоль оси г по сравнению с интегралами дифференциальных уравнений равновесия второго типа. В связи с этим выделяются напряжённо-деформированное состояние (первого типа), относительно медленно изменяющееся вдоль оси х и напряжённо-деформированное состояние (второго типа), быстро изменяющееся вдоль оси ъ и локализующееся вблизи граничной поверхности - пограничный слой. Особое внимание уделено вопросу о структуре уравнений высших приближений. При этом вводятся дополнительные преобразования координат в направлении оси г

00 = х- -^е"1 -а^ , где ¡=1,2. Доказывается, что справедлива следующая

111=0 теорема. Если коэффициенты а^ (1 = 1,2 т = 1,2,3,.) подбираются специальным образом, чтобы все независимые уравнения в последующих приближениях (т.е. уравнения относительно \У,(П') в системах первого типа и относительно и^ в системах второго типа) совпадали с соответствующими уравнениями для предельных систем, а коэффициенты ац' 0 = 1,2) принимаются равными единице, так как уравнения нулевого приближения должны совпадать с предельными системами при Проведён более детальный асимптотический анализ для осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды. Определена связь между решениями первого и второго типов через граничные условия.

Интегрирование дифференциальных уравнений равновесия свелось к последовательному интегрированию уравнений для функций W,^, Ü^ при соответствующих граничных условий. При этом уравнения второго типа для каждого из приближений интегрируются после интегрирования соответствующих уравнений первого типа. Записаны соответствующие ряды для определения напряжений. В третьей части данного раздела предложенный метод иллюстрируется на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсально-изотропного полупространства. с учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия задачи. Решение задачи свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом, втором и третьем приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов iii -VI. Полученное решение задачи сопоставлено с точным решением и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Результаты вычислений показывают, что уже в нулевом приближении для функции перемещения и погрешность по силовым параметрам в сравнении с точным решением для наихудшего значения малого параметра составила не более 6%. С учётом поправок двух приближений погрешность уменьшается до 2%. Величина погрешности для функции ш с учётом поправок трёх приближений составила 22%. К вопросу о сходимости рядов для функций перемещений со и и приведены разложения данных функций на нулевое, первое, второе и третье приближения. Анализируя результаты приведённых разложений можно судить, что возможно численно ряды для функций со и и сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются.

Четвёртый раздел состоит из двух частей. В первой части решается задача о действии гладкого штампа с плоским основанием на границу трансверсально-изотропного полупространства при отсутствии сил трения.

Во второй части рассматривается задача о вдавливании параболического осесимметричного штампа в полупространство при отсутствии сил трения. В первой задаче заранее известны границы области контакта. Основная трудность, которая возникает при применении асимптотического метода к решению второй задачи связана с необходимостью построения процесса, позволяющего определить на каждом этапе неизвестные границы контакта. С учётом введённых аффинных преобразований определены граничные условия каждой задачи. Решение задач свелось к последовательному интегрированию уравнений равновесия в нулевом, первом и втором приближениях при соответствующих граничных условиях в изоморфных модифицированных пространствах вариантов III — VI. Полученные решения задач сопоставлены с точными решениями и приведены графики безразмерных перемещений и напряжений. Для первой задачи приведены разложения осадки штампа С*0 на нулевое, первое и второе приближения при значении радиуса области контакта а = 1. Анализируя результаты разложения осадки штампа можно судить, что возможно численно ряды для функции Со • сходятся, так как поправки следующих приближений в процентном отношении к нулевому решению значительно уменьшаются. Результаты вычислений для первой задачи показывают, что погрешность функции перемещения со для наихудшего значения малого параметра не более 1%.

Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 162 страниц машинописного текста, включая: 26 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 173 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ основных результатов, полученных в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Предложено аффинное преобразование координат, перемещений, напряжений и деформаций, т.е. вводятся изоморфные модифицированные пространства (Мп), а также представление модулей упругости в физическом пространстве.

2. Рассмотрены различные варианты выбора компонент преобразующего тензора и получены несколько вариантов изоморфных модифицированных пространств, в которых с помощью асимптотического метода решаются осесимметричные задачи пространственной теории упругости трансверсально-изотропных сред.

3. В полученных вариантах (Мп) пространств выделяется величина в, которая является малым параметром для большинства трансверсально-изотропных материалов, что позволяет при решении дифференциальных уравнений равновесия теории упругости использовать асимптотический метод.

4. Показано, что способ выделения величины е в (Мп) пространствах имеет преимущество перед способом получения аналогичного параметра Л.И. Маневичем и его учениками [90, 91]. Преимущество заключается в расширении области применения асимптотического метода при решении осесимметричных задач теории упругости для большинства трансверсально-изотропных материалов.

5. Форма записи основных уравнений пространственной теории упругости в физическом и модифицированных пространствах совпадает за исключением значений механических характеристик,

146 что значительно упростило определение обоснованных приближённых уравнений равновесия для трансверсально-изотропной среды.

6. На примере решения задач о действии сосредоточенной силы и вдавливании гладкого (круглого в плане), параболического штампов на трансверсально-изотропное полупространство продемонстрирована эффективность применения метода малого параметра в осесимметричной задаче теории упругости в некоторых изоморфных модифицированных пространствах. Показано, что для инженерных решений достаточно ограничиться нулевым приближением.

147

1. Абрамов В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство. - «Докл. АН СССР», 1939, 23, № 8.

2. Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. -«Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1969, № 4.

3. Абрамян Б.Л., Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., «Наука», 1966, вып. 3.

4. Абрамян Б.Л., Арупонян Н.Х., Баблоян A.A. О симметричном давлении круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления. ПММ, 1966, 30, вып. 1.

5. Александров А.Я., Соловьёв Ю.Н. Пространственные задачи теории упругости. М., «Наука», 1978.

6. Александров В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости. ПММ, 1963, 27, вып. 5.

7. Александров В.М. К решению одного типа двухмерных интегральных уравнений. ПММ, 1964, 28, вып. 3.

8. Александров В.М. Осесимметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство. «Изв. АН СССР, Механика твёрдого тела», 1967, №4.

9. Александров В.М. О приближённом решении одного типа интегральных уравнений. ПММ, 1962, 26, вып. 5.

10. Александров В.М. О приближённом решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ, 1967, 31, вып. 6.

11. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости. ПММ, 1968, 32, вып. 4.

12. Александров В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения. ПММ, 1970, 34, вып. 2.

13. Александров В.М., Белоконь A.B. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении смешанных задач математической физики для областей с цилиндрическими границами. ПММ, 1968, 32, вып. 3.

14. Александров В.М., Ворович И.И. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1964, 28, вып. 2.

15. Александров В.М., Ворович И.И. О давлении штампа на упругий слой конечной толщины. ПММ, 1960, 24, вып.2.

16. Александров В.М., Бабешко В.А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины. «Изв. АН СССР. Механика», 1965, № 2.

17. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Изд-во «Факториал», 1998. - 288с.

18. Андрейкив А.Е., Панасюк В.В. Давление системы круговых штампов на упругое полупространство. «Докл. АН УССР», 1971, №6.

19. Афонькин М.Н. Расчёт фундаментов разрезного типа. «Гидротехн. стр-во», 1941, № 6.

20. Бабешко В.А. Об одном эффективном методе решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ, 1967, 31, вып. 1.

21. Бабешко В.А. Периодические уравнения свёртки и свойства их решений. «Докл. АН СССР», 1970,192, № 1.

22. Бабешко В.А. Интегральные уравнения свёртки первого рода на системе отрезков, возникающих в теории упругости и математической физике. ПММ, 1971, 35, вып. 1.

23. Баблоян A.A. Решение некоторых парных уравнений, встречающихся в задачах теории упругости. ПММ, 1967, 31, вып.4.

24. Батов П.А., Матченко О.Н. Некоторые задачи теории тонких ортотропных пластин в модифицированном пространстве. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с. 50, / ТулГУ, Тула, 2000.

25. Бегиашвили А.И. Решение задачи давления системы жёстких профилей на прямолинейную границу упругой полуплоскости. -«Докл. АН СССР», 1940, 27, № 9.

26. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразование Фурье, Лапласа, Мелина.: Справочник. М.: «Наука», 1986.

27. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двухсвязных областей. Новосибирск, изд-во СО АН СССР, 1962.

28. Бицадзе A.B. О местных деформациях при сжатии упругих тел. -«Сообщ. АН ГССР», 1942, 3, № 5.

29. Бородачёв Н.М. Плоская контактная задача для упругого тела конечной ширины. «Изв. АН СССР. Механика», 1962, № 6.

30. Бородачёв Н.М., Бородачёва Ф.Н. Вдавливание кольцевого штампа в упругое полупространство. «Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1966, № 4.

31. Власов В.З., Леонтьев П.П. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Физматгиз, М., 1960.

32. Воробьёва Н.И. Приближённые уравнения пространственной теории упругости для трансверсально-изотропной среды. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, 1972.

33. Воробьёва Н.И. Применение асимптотического метода к исследованию напряжённо-деформированного состояния трансверсально-изотропных оснований. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1975.

34. Воробьёва Н.И., Коблик С.Г., Маневич Л.И. Осесимметричная контактная задача с учётом сцепления и скольжения. ПММ, 1979, 43, вып. 3.

35. Ворович И.И., Срубщик Л.С. Асимптотический анализ общих уравнений в нелинейной теории упругости. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969.

36. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости, «Наука», М., 1974.

37. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины. ПММ, 1959, 23, вып. 3.

38. Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. -ПММ, 1945, 9, вып. 5.

39. Галин Л.Д. Смешанные задачи теории упругости с силами трения для полуплоскости. «Докл. АН СССР», 1948, 39, № 3.

40. Галин*Л.А. Контактные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1953.

41. Галин Л.А. и др. Развитие теории контактных задач в СССР. М., «Наука», 1976.

42. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Физматгиз, 1963.

43. Глаголев Н.И. Упругие напряжения вдоль основания плотин. -«Докл. АН СССР», 1942, 34, № 7.

44. Глаголев Н.И. Сопротивление перекатыванию цилиндрических тел. -ПММ, 1945,9, вып. 4.

45. Глаголев Н.И. Трение и износ при качении цилиндрических тел. -«Изв. АН СССР, Инженерный журнал», 1964, 9, вып. 4.

46. Горбунов-Посадов М.И. Современное состояние научных основ фундаментостроения, «Наука», 1967.

47. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчёт конструкций на упругом основании. М., Стройиздат, 1973.

48. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1962.

49. Грилицкий Д.В. Давление жёсткого цилиндра на внутреннюю поверхность круговой цилиндрической полости в анизотропном теле. «Докл. АН СССР», 1954, № 3.

50. Грилицкий Д.В. Смешанная задача теории упругости для ортотропного массива с круговым вырезом. «Прикл. мех.», 1957, 3, вып. 4.

51. Грилицкий Д.В. Сжатие двух упругих анизотропных тел при учёте сил трения (плоская задача). «ДАН УССР», 1953, № 2.

52. Грилицкий Д.В., Кизыма Я.М. Осесимметричная контактная задача для трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жёстком основании. «Изв. АН СССР. Механика», 1962, № 3.

53. Губенко B.C., Моссаковский В.И. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство. ПММ, 1960, 24, вып. 2.

54. Губенко B.C., Грабко Г.К., Накашидзе Г.М. Контактная задача о круговом штампе для полупространства с учётом сил трения. -«Прикладная механика», 1971, 7, вып. 3.

55. Губенко B.C. Некоторые контактные задачи и дробное дифференцирование. ПММ, 1959, 23, вып. 4.

56. Динник А.Н. Формула Герца и её опытная проверка. «Журн. русск. физ.-хим. о-ва, физ. отд.», 1906, 38, отд. 1, вып. 4.

57. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. «Наука», М., 1974.

58. Довнорович В.И., Яшин В.Ф. Некоторые пространственные задачи теории упругости. Гомель, изд. Бел. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1961.

59. Довнорович В.И., Гузеева Г.В. Об одной контактной задаче о жёстком круговом штампе для упругого полупространства. -«Учён. зап.БИИЖТа», 1958, № 8.

60. Зайцев О.В., Кудинов В.Н. Прикладные возможности вариационного алгоритма решения задач устойчивости тонких пологих оболочек. ТулГУ, Тула, Деп. в ВИНИТИ № 2210 В98,1998.-4с.

61. Зайцев О.В., Матченко О.Н. Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного тела. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.65 66, / ТулГУ, Тула, 2000.

62. Зайцев О.В., Матченко О.Н. Метод малого параметра в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного тела. В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.33 34, / ТулГУ, Тула. 2001.

63. Зайцев О.В., Матченко О.Н. Аффинные преобразования в пространственной задаче теории упругости трансверсально-изотропной среды. В кн.: Изв. ТулГУ, Тула, 2000. с. 34 - 45.

64. Каландия А.И. К контактным задачам теории упругости. ПММ, 1957, 21, вып. 3.

65. Каландия А.И. Плоская задача типа Герца о сжатии цилиндрических тел. «Сообщ. АН ГССР», 1958, 21, № 1.

66. Кизима Я.М., Грилицкий Д.В. К осесимметричной задаче о давлении плоского круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления. «Прикл. мех.», 1964,10, вып. 3.

67. Кизима Я.М. Давление кругового штампа на упругий слой при наличии в зоне контакта касательных усилий. «Прикладная механика», 1973, 9, вып. 8.

68. Клейн Г.К. Об уравнениях, предложенных O.K. Фрелих. «Вестник инженеров и техников», 1948, № 2.

69. Клубин П.И. Напряжённое состояние упругой среды, нагруженной бесконечно жёсткой полосой постоянной ширины. «Труды Ленингр. ин-таинж. пром. стр-ва», 1938, вып. 6.

70. Коблик С.Г. Контактная задача для ортотропной полуплоскости при наличии в области контакта участков скольжения и сцепления. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, «Изд-во ДГУ», 1972.

71. Коблик С.Г. Применение асимптотического метода к решению контактных задач с неизвестной заранее областью контакта. В сб.: Решение некоторых физико-технических задач, Днепропетровск, «Изд-во ДГУ», 1972.

72. Коблик С.Г. Применение асимптотического метода к решению плоских задач теории упругости для ортотропной полосы при наличии зон трения и сцепления на участке контакта. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1974.

73. Коблик С.Г., Маневич Л.И. Контактная задача для ортотропной полосы при наличии в области контакта участков сцепления и скольжения. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости / ДГУ. Днепропетровск, 1976, вып. 20.

74. Ковнеристов Г.В. Плоская контактная задача теории упругости для заглубленных штампов. «Изв. вузов. Стр-во и архит.», 1962, № 3.

75. Коренев Б.Г. Введение в теория бесселевых функций. «Наука», М., 1971.

76. Коренев Б.Г., Черниголовская Е.И. Расчёт плит на упругом основании. Госстройиздат, М., 1962.

77. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., Физматгиз, 1963.

78. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики, -«Наука», М., 1973.

79. Леонов М.Я. Некоторые задачи и приложения теории потенциала. -ПММ, 1940,4, вып. 5.

80. Леонов М.Я. Решение одного интегрального уравнения теории ньютоновского потенциала. «Укр. мат. журн.», 1953, 5, № 1.

81. Леонов М.Я. Метод инверсии в контактных задачах теории упругости. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1953, 1.

82. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., Наука, 1977.-463с.

83. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1955.

84. Лурье А.И. Теория упругости. М., «Наука», 1970.

85. Малков В.П. Анализ закона Гука. Лекции по анизотропной упругости. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского унив., 1992.

86. Маневич Л.И., Павленко A.B., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. «Вища шк. Головное изд-во», Киев, 1982.

87. Маневич Л.И., Павленко A.B. К решению контактных задач теории упругости для ортотропной полосы с учётом сил трения. «Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела», 1974, № 6.

88. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды. В сб.: Вопросы прочности, надёжности и разрушение механических систем. Днепропетровск, изд. ДГУ, 1969.

89. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамвровский А.Д. Приближённый метод решения контактных задач теории упругости для ортотропной полосы, подкреплённой рёбрами жёсткости. -«Гидроаэромеханика и теория упругости», 1971, вып. 13.

90. Маневич Л.И., Воробьёва Н.И. О приближённых уравнениях осесимметричной задачи теории упругости для трансверсально-изотропного основания. «Прикладная механика», 1972, 8, вып. 10.

91. Мартыненко М.Д. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости. В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М., изд. НИИмаш, 1969.

92. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах В кн.: «Современные проблемы математики, механики, информатики», с. 97,/ТулГУ, Тула, 2000.

93. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов В кн.: Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», с.83, / ТулГУ, Тула, 2000.

94. Мещеряков Ю.М. Перечень опубликованных в Советском Союзе работ по расчёту плит и балок на сжимаемом основании (обзор за 1917 1967г), НИИ оснований и подземных сооружений, 1967.

95. Минцберг Б.Л. Смешанная граничная задача теории упругости для плоскости с круговым отверстием. -ПММ, 1948, 12, вып. 4.

96. Михлин С.Г. О напряжении в породе над угольном пластом. «Изв. АН СССР. ОТН», 1942, № 7 - 8.

97. Мищишин И.И. О качении упругих тел. Гидромеханика и теория упругости, 1968, № 8.

98. Моссаковский В.И. Применение теории взаимности к определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных задачах. ПММ, 1953, 17, вып. 4.

99. Моссаковский В.И. Давление круглого штампа на упругое полупространство. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1953, 2, вып. 1.

100. Моссаковский В.И. Давление штампа, близкого в плане к круговому на упругой полупространство. ПММ, 1954, 18, вып. 6.

101. Моссаковский В.И. Общее решение задачи об определении давления под подошвой круглого в плане штампа без учёта сил трения. «Науч. зап. Ин-та машиновед, и автомат. АН УССР», 1955, 2, вып. 1.

102. Моссаковский В.И. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий. ПММ, 1954, 18, вып. 2.

103. Моссаковский В.И. Некоторые пространственные контактные задачи теории упругости. Докторская диссертация, М., 1955.

104. Моссаковский В.И. О перекатывании упругих цилиндров. ПММ, 1959, 23, вып. 5.

105. Моссаковский В.И. Контактные задачи с неизвестными и полунеизвестными границами. В сб.: XIII Международный конгресс по теоретической и прикладной механике, «Наука», М., 1972.

106. Моссаковский В.И., Бискуп А.Г. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. «Докл. АН СССР», 1972, 206, № 5.

107. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи теории упругости. Киев.: Наук, думка, 1985.

108. Моссаковский В.И., Онищенко В.И., Рвачёв B.JI. О применении функций Грина к решению смешанной задачи теории упругости для полупространства. «Прикл. мех.», 1964, 10, вып. 3.

109. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., «Наука», 1966.

110. Мусхелишвили Н.И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости. «Докл. АН СССР», 1935, 8, № 2.

111. Мусхелишвили Н.И. Основные граничные задачи теории упругости для полуплоскости. «Сообщ. АН ГССР», 1941, 2, № 10.

112. Мусхелишвили Н.И. К задаче равновесия жёсткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения. «Сообщ. АН ГССР», 1942,3, №5.

113. Павленко A.B. Применение асимптотического метода к решению плоских смешанных задач теории упругости для ортотропной среды. Кандидатская диссертация, Днепропетровск, 1971.

114. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругости с учётом сил сцепления и трения. -ПММ, 1966, 30, вып.З.

115. Попов Г.Я. Об одном способе решения осесимметричной контактной задачи теории упругости. ПММ, 1961,25, вып. 1.

116. Попов Г.Я. Об одном приближённом способе решения контактной задачи о кольцевом штампе. «Изв. АН АрмССР. Механика», 1967, 20, №2.

117. Попов Г.Я. Осесимметричная контактная задача для упругого неоднородного полупространства при наличии сцепления. ПММ, 1973, 37, вып. 6.

118. Попов Г.Я., Ростовцев H.A. Контактные смешанные задачи теории упругости. Труды II Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. мех., вып. 3. М., «Наука», 1966.

119. Пузыревский Н.П. Фундаменты, Госстройиздат, 1934.

120. Рвачёв B.JI. О давлении на упругое полупространство штампа заданной формы в плане. Тезисы докладов Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, М., 1960.

121. Рвачёв В Л. Исследования учёных Украины в области контактных задач теории упругости. «Прикл. мех.», 1967, 3, вып. 10.

122. Рвачёв В.JI. Пространственная контактная задача теории упругости и некоторые её приложения. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физмат наук, М., 1960.

123. Ростовцев H.A. Комплексные потенциалы в задаче о штампе круглом в плане, ПММ, 1957, 21, вып. 1.

124. Ростовцев H.A. О некоторых случаях контактной задачи. «Укр. мат. журн.», 1954, 6, № 3.

125. Савин Г.Н. Давление абсолютно жёсткого штампа на упругую анизотропную среду. «Докл. АН УССР», 1939, № 6.

126. Савин Г.Н. Давление систем абсолютно жёстких штампов на упругую анизотропную полуплоскость. «Сообщ. АН ГССР», 1940, 1, № 10.

127. Савин Г.Н. О дополнительном давлении, передающемся по подошве абсолютно жёсткого штампа на упругое анизотропное основание, вызванное близлежащей нагрузкой. «Докл. АН УССР», 1940, № 7.

128. Савин Г.Н. О некоторых контактных задачах теории упругости. -«Труды Тбил. мат.ин-та АН ГССР», 1946, 14.

129. Савин Г.Н. Смешанная задача для анизотропной полуплоскости. -«Науч. зап. Львовск. ун-та», 1950, 5, вып. 2.

130. Савин Г.Н., Грилицкий Д.В. Сжатие двух упругих анизотропных тел. «ДАН УССР», 1951, № 2.

131. Саченков A.B., Дараган В.И. Метод малого параметра в плоской задаче теории упругости анизотропного тела. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек/ КазГУ, Казань, 1978, № 8.

132. Свекло В.А. О совместном действии на упругую полуплоскость клина и штампа. ПММ, 1966, 30, № 4.

133. Седов Л.И. плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., Наука, 1966.

134. Уфлянд Я.С. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий, «ДАН СССР», 1956, 110, № 4.

135. Уфлянд Я.С. Контактная задача теории упругости для кругового в плане штампа при наличии сцепления, ПММ, 1956, 20, № 5.

136. Уфлянд Я.С. Смешанная задача теории упругости для клина. -«Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1959, № 2.

137. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л., «Наука», 1968.

138. Фабрикант В.И. Об одном неосесимметричной задаче для трансверсально-изотропного полупространства. «Прикладная механика», 1971, 7, вып. 3.

139. Фабрикант В.И. Пространственная контактная задача для шероховатого штампа. «Прикладная механика», 1974, 10, вып. 7.

140. Фалькович C.B. О давлении жёсткого штампа на упругую полуплоскость при наличии участков сцепления и скольжения. -ПММ, 1945, 9, вып. 5.

141. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближённые теории упругого основания. «Уч. зап. МГУ», 1940, вып. 46.

142. Флорин В.А. Основы механики грунтов, т.1, 1952, т.2, 1961, Госстройиздат, М.

143. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: Справочник. Киев: Наукова думка, 1982.

144. Цейтлин А.И. О методе парных интегральных уравнений и парных рядов и его приложениях к задачам механики. ПММ, 1966, 30, вып.2.

145. Цянь-Сюэ-Сэнь. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го. В сб.: Проблемы механики, 1959, вып. 2.

146. Чаплыгин С.А. Давление жёсткого штампа на упругое основание. -Собр. соч., 3. М. Л., Гостехиздат, 1950.

147. Чернышев Г.Н. Асимптотические методы в теории оболочек (сосредоточенные нагрузки). Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М., «Наука», 1966.

148. Черский Ю.И. Сведение периодических задач математической физики к особым уравнениям с ядром Коши. «Докл. АН СССР», 1961, 140, № 1.

149. Черский Ю.И. Задачи математической физики, сводящиеся к задачам Римана. «Труды Тбил. мат. ин-та АН ГССР», 1962, 28.

150. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями. «Труды Сейсмол. ин-та АН СССР», 1938, № 86.

151. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости. Труды II Всесоюз. съезда по теорет. и приют, мех. М., «Наука», 1962.

152. Шехтер О.Я. Расчёт бесконечной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой. В сб.: Свайные и естественные оснований, Госстройиздат, 1939, № 10.

153. Штаерман И.Я. Местные деформации при сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы которых почти равны. «Докл. АН СССР», 1940, 29, №3.

154. Штаерман И.Я. Контактная задача теория упругости. М., Гостехиздат, 1949.

155. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Физматгиз, М., 1962.

156. Koiter W.T. Решение некоторых задач теории упругости асимптотическими методами. Приложение теории функций в механике сплошной среды, I. М., «Наука», 1965.

157. Sadowski M.L. (Садовский M.Jl.) Zweidimensionale Problème der Elastizitatstheorie. ZAMM, 1928, 8, Bd 2.

158. Spence D.A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction. The University af Wisconsin Mathematics research center technical summary report, 1972.

159. Spence D.A. The Jlerts contact problem with finite friction. В сб.: XIII Международный конгресс по теоретической и прикладной механике, «Наука», М., 1972.

160. Srivastav R. Dual series relations II. Dual relations involving Dini series.- «Proc. Roy. Soc. Edinburgh», 1964, Ser. A, 66.

161. Srivastav R. Dual series relations III. Dual relations involving series of Jacobi polynomials. «Proc. Roy. Soc. Edinburgh», 1964, Ser. A, 66, pt 3. г

162. Tranter C.J. A note on dual equations with trigonometrical kernels. -«Proc. Edinburgh Math. Soc.», 1963,13, 262.

163. Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Dec., 1985, pp. 1957-1961.

164. Brunelle E.J. and Oyibo G.A. AIAA Journal, Vol. 21, Aug., 1983, pp. 1150-1156.

165. Oyibo G.A. and Brunelle E.J. AIAA Journal, Vol. 23, Feb., 1985, pp. 296-300.

166. Shield R. Proc. Cambridge Phil. Soc., 47,1951, pp. 401.

167. Conway H. J. Appl. Mech.,21, 1954, pp. 42-44.

168. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.,Гостеориздат, 1957.- 248 с.