Расчет напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропных тел и конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Цуканова Людмила Петровна

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ И КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж -2010

2 5 "О*? 2010

004613608

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Семыкина Татьяна Дмитриевна

Официальные оппоненту: доктор физико-математических наук,

профессор Коробкин Валерий Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, доцент Шаталов Александр Григорьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский государственный педагогический университет»

Защита диссертации состоится <¿3» // 2010 г. в 73 в конференц-зале (ауд. 231) на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «/2/» 10 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета /

доктор ф.-м. наук Махортов С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современном авиастроении, машиностроении и других отраслях промышленности применяются листовые материалы, полученные в процессе прокатки и приобретшие после этого трансверсально-изотропные свойства. При расчете элементов из таких материалов появляются особенности при наличии пластических деформаций и при расчете упругих пластин и оболочек.

Учет анизотропных свойств листовых материалов приводит к усложнению реалогических соотношений, и как следствие этого, к усложнению системы уравнений для определения напряженно-деформированного состояния. Изучение анизотропных и в том числе трансверсально-изотропных материалов посвящены работы Амбарцумяна С.А., Деля Г.Д., Ивлева Д.Д., Матченко Н.М., Смирнова-Аляева Г.А., Хвана Д.В., Томилова Ф.Х., Вульман С.А., Семыкиной Т.Д., Новожилова В.В., Родионовой В.А.

Необходимо провести не только решение основных задач, но и оценить необходимость учета трансверсально-изотропных свойств материала, имея в виду математические трудности, связанные с этим учетом.

В плоских и пространственных задачах упругости нет существенного изменения типа исходных уравнений, поэтому такие задачи не представляют специфического интереса.

В теории пластин и оболочек изменение упругих свойств в направлении, ортогональном листу, не может быть учтено в рамках классической теории, поэтому при расчете оболочечных элементов механизма предложено использовать уточненную теорию.

Для плоских задач расчет сводится к определению решения в пластической зоне и определению распространения пластической зоны. Особый интерес при этом представляет выбор метода расчета и численной оценки полученных поправок при учете анизотропии. Для ограниченной области может возникнуть момент, когда пластическое течение распространяется по всей области и пластина переходит в состояние предельного равновесия.

Для оболочечных конструкций предельные нагрузки вычисляются с помощью теории несущей способности, которая для анизотропных материалов требует определенного дополнения.

Вышесказанное определило выбор темы исследования как актуальной для механики сплошной среды.

Диссертационное исследование проведено в рамках основного научного направления кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета «Механика деформируемого твердого тела».

Цель работы: исследование влияния анизотропии на напряженное состояние и предельные нагрузки трансверсально-изотропных тел.

Научная новизна результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

- исследовано влияние анизотропии на деформирование упругих пластин и оболочек из трансверсально-изотропного материала с учетом уточненной теории;

- приведена постановка задач плоско-напряженного состояния для трансверсально-изотропных тел, решены конкретные задачи, методом малого параметра после линеаризации нелинейного условия текучести получены условия текучести для нулевого, первого и т.д. приближения;

- проведена постановка и решение задач определения несущей способности пластин и оболочек с целью оценки влияния анизотропии на ее величину.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

- полученные результаты могут быть использованы при расчете элементов конструкций из трансверсально-изотропных материалов;

- возможность оценки необходимости учета анизотропных свойств при расчете напряженного состояния листовых материалов;

- обоснован метод расчета несущей способности конструкций из трансверсально-изотропных материалов.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях Воронежского государственного технического университета (2002-2010 гг.), на научных семинарах кафедры прикладной математики Воронежского государственного технического университета (20022010 гг.), на Международной конференции и Российской научной школе «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий» (г. Сочи, 2002 г.), на научных сессиях факультета

прикладной математики и механики Воронежского государственного университета (2008-2010 гг.), на III Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2009 г.), на X Всероссийской научно-технической конференции «Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем» (г. Воронеж, 2009 г.), на Международных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2009,2010 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 11 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих десять параграфов, заключения и списка используемой литературы из 70 наименований, содержит 20 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования.

Первая глава посвящена учету трансверсальной анизотропии материала при расчете упругих оболочек, дается подробное изложение гипотез уточненной теории, которая в отличие от классической теории предполагает нелинейность сдвиговых деформаций в плоскостях, содержащих нормаль к оболочке, которые принимаются в виде

J 1.2 1 F 2 \

2 G

4

<р(сс, ß),

4

Ha, ß\ (О

V / --Ч " У

здесь а, ¡3 - криволинейная система координат в срединной поверхности оболочки, 2 - нормальное к оболочке направление, И -толщина оболочки, & - модуль сдвига в плоскости, ортогональной срединной поверхности.

Функции <р(а, Р) и у/{а, /?) связаны с поперечными усилиями и <22, которые в итерационной теории определяются согласно классической теории изотропных оболочек. Используя формулы (1), деформации элементов в срединной поверхности оболочки оказываются кубическими членами относительно

толщины оболочки, что значительно усложняет использование системы дифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки.

В главе 1 предлагается использовать вариационное уравнение Лагранжа для расчета напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропных оболочек по уточненной теории и получено выражение для упругой энергии оболочки.

В качестве конкретного примера рассматривается напряженно-деформированное состояние пологих сферических оболочек. Принимаются традиционные гипотезы, упрощающие основные уравнения для пологих оболочек и позволяющие проводить расчет, применяя плоскую систему координат.

Учитывая сказанное, для пологой оболочки удельная упругая энергия перепишется в виде 1 Е

У = -

2 1-У2

Еу 12* + 80Я2

+ 2у

-IV

ехегИ - {£{Хг + егХх)— + + ХЛг

ч12 80Й ,

'У | А5 ' 12 80/?2

+

2. А3 2А3 А5

+ £, А - -+Г, — +-г

2 2 6Д 12 80Л2

А5 (а<р и VI 7

+--—+—а —у.--1

с/г г ^А 15^' 240Я

4С А5

+-1 — + у

4С1 г с1г

<1<р\( 1

15 *2'

(2)

240Д

Таким образом, вариационное уравнение Лагранжа для пологой сферической оболочки:

5(2я\Уге1г-Ар) = 0, (3)

я,

здесь V вычисляется относительно кинематически допустимых перемещений, - границы изменения г.

По аналогии с изотропным решением допустимые перемещения и(г), 0> = 0) могут быть заданы в степенных

рядах с неопределенными коэффициентами

-Ий- <4)

СЛУ

Заметим, что в вершине купола при г = 0 и = 0, — = 0.

с/г

Отсюда следует, что А0-Вх = 0.

Учитывая (4), деформации для пологой сферической оболочки вычисляются по формулам

-1

4-ВА ' 'я

После этого полная энергия П = и-А будет представлена

в виде квадратичной функции параметров А и В, которые определяются из уравнения Лагранжа

д(Ц-Ав) 8(и ~А) 8{и-Ав) = —-р-ёА+—-р-ёВ,=0. (6)

' ад дВ,

Ввиду независимости А, и В, уравнение (6) переходит в

д(и-А ) д([/-А)

систему линейных уравнений -— = 0, -— = 0.

дА1 8В1

Особенности уточненной теории трансверсально-изотропных оболочек появляются при расчете прямоугольных пластин, в этом случае функции <р(а,Р) и ц/{а,р) должны быть связаны с истинными значениями перерезывающих сил и ()2:

Учитывая, что для пластин кх=кг=0, и выбирая в качестве системы координат прямоугольную систему Х,У, для которой А = В = \, формулы для деформаций при поперечном изгибе перепишутся в виде:

зЛ

4z_ 3h2

"за2

dtp дх ' дц/

И2

е„ - +-

" 8С

И1

е* - +-

/> 8<у

И2

е„п = + —

Удельная упругая энергия пластины, пренебрегая членами выше третьего порядка малости относительно толщины, представима в виде

f л 3 Л 4 z dp+ f 4z3] дц/

CWj ду z — 3 h2j дх

1

V = -D 2

2 2 г „

sc?

дер дц/ 7 —-+ У -1—

Л>х Лу л

дх ■ ду

+ v

И2 дц/ дер

5G'

Zx ду +Ху дх

1-v h2 ( дер дц/

2 5G'

здесь D -

Eh3

"> Zx

d2w 'дх2 '

Т — + Т

^ ду дх

d2w

12(1—V2)' дх2' ^ ду2' т 2дхду

Для пластин, свободно опертых по всем четырем сторонам: х = 0, а и у = 0, Ь, кинематически допустимый прогиб можно задать в виде

d2w

(9)

(10)

ДД , . тлх , плу w = II sin—sin—.

(11)

Л1 = 1 П = 1 Ü

Далее можно подсчитать упругую энергию пластины

а Ь

U= \\Vdxdy, где V определяется по формуле (9).

о о

После элементарных вычислений U получается в виде U = — üi^-f У Агт„т4 +У У А2тУ +— У У AlmW -

2\ Ж \ Lu тп А . 3 тп - , Lu тп

14(3 m=l„=l 4О m=l n=l 2aOm=ln=l

3

5hG' a1 t:

6 TT*

5hG' ab^t^i

II AmCm„rn2n-

3 пъа

5hG' b3 m.in=i

У У АСтп2 -

( ' / f тп mn

II Л™ Cm„mn

(12)

Для вычисления универсального вида Ар нагрузка q0 представляется в виде тригонометрического ряда

" . т лх . п т Яо= £ I а^яп-

ш'»1,3, л'=1,3,... и О

16д0

т', п' - нечетные целые числа.

я тп

С учетом (11) Ар получит вид

= 1 ХХ„ (13)

¿5 Я тП т=1.3... п=1.3...

Коэффициенты Ат определяются из вариационного уравненияЛагранжа 3(и-Ар) = 0.

Проведенные решения для конкретных пластин (а = Ь, С=С12) показывают, что учет трансверсальной анизотропии приводит к увеличению прогибов в пластине, причем, сходимость слагаемых, учитывающих анизотропию значительно медленнее сходимости слагаемых, учитывающих только изотропное решение.

Если ограничить ряд значениями т = 1,2,3 и п - 1,2,3, то учет анизотропии составляет 4,378% от прогиба изотропной пластины.

Напомним, что оценки были получены при С = С/2. С увеличением С учет анизотропии повышает этот процент, но не более чем в два раза.

Приведенные в примере расчеты показывают, что надо практически оценить необходимость учета анизотропии. Если увеличение прогиба оказывается несущественным для работы конструкции, можно упростить расчет упругой оболочки, считая материал изотропным.

Упруго-пластическое деформирование листовых материалов рассмотрено во второй главе на примере плоской задачи.

Упругое деформирование листа описывается теми же соотношениями, что и для изотропного материала.

Особенности появляются с возникновением пластических деформаций, так как известные соотношения для изотропных пластических материалов, например, условие текучести уже существенно изменяется. Вместо условия текучести Мизеса имеет место аналогичное условие текучести

(1+/•)(сг,2+<т22) - 2гахог + 2( 1+2г)(Т,22 = (1+г)а], (14)

где г - коэффициент анизотропии, равный отношению деформации по ширине растягиваемых образцов к деформации по толщине. Условие (14) описывает в плоскости главных напряжений сг,, аг эллипс, который, следуя работам Ивлева Д.Д., заменим вписанным шестиугольником.

Если рассматривается плоскость с круговым отверстием при симметричном нагружении, то при условии, что отверстие свободно от нагрузок и вблизи него возникает пластическое течение можно предположить, что в этом случае условие текучести в полярных координатах запишется в виде

ов -аср = 2к, а = \-Щй7). (15)

Уравнение (15) совместно с уравнением равновесия дает напряжение в пластической зоне, которое при а = 0 (изотропный материал) переходит в известное решение.

< =

2 к

\-а

1-

V"

2 к

1 -а

\-а\ —

(16)

Решение за границей пластической зоны р = д при условии, что пластина нагружена на бесконечности равномерными усилиями р запишется в виде

где

Р*

Р

2к-р(\-а)

С,=

1 + а

[2к + р{а-\)].

(17)

(18)

Щ + а)

Если сравнить радиус упруго-пластической границы из трансверсально-изотропного материала с радиусом для изотропного материала, то получим, что учет анизотропии приводит к увеличению этого радиуса.

Если рассматривается решение для кольцевой пластины, равномерно растянутой, то получаем тот же эффект для радиуса упруго-пластической границы.

Если предположить, что пластическая зона распространяется по всей области кольцевой пластины и сравнить значение предельной нагрузки для трансверсально-изотропной и изотропной пластин, то окажется, что при г > 1 несущая способность

трансверсально-изотропных пластин увеличивается по сравнению с несущей способности изотропных, а при г < 1 уменьшается.

Осесимметричное состояние пластин с учетом равномерного нагружения внутреннего отверстия нормальными усилиями ц и касательными усилиями г приводит к тому, что главные напряжения перестают совпадать с ар, сг0. В этом случае условие пластичности надо записать в виде

а,-да2 = 2к, 8 = 1 -ЩТ+7). (19)

Если принять согласно экспериментам |г-1|>1,35, то параметр 8 будет меньше единицы и в этом случае учитывая допустимые значения ар, ав и 8, условие (19) после элементарных преобразований может быть записано следующим образом

[(ар -2к)(ав -2к)-т%]-8[а\ + о] -Щар +ав) + 2т^)+

+ 8\арав-т%) = 0.

Для определения напряжений используется метод возмущений, при котором напряжения представляются в виде рядов по степеням малого параметра

= *е=±8"*Г\ (21)

т=0 т=0 т=О'

При осесимметричном состоянии в бесконечной плоскости определяется

V1- (22)

Подставляя (21) в (20) и приравнивая члены при одинаковых степенях 8, получаем:

для нулевого приближения

(сг;-2*Ж°-2*)-г;2=0; (23)

для первого приближения

<г'рР{*Г -2*)+*/^/ .-2к)~ (а:Р+*°:-Зк)2+к> = 0. (24)

В качестве нулевого приближения определяется напряженное состояние изотропной пластины.

Получим радиус упруго-пластичной границы в виде

т2 С

р1а= — + ~г, С = г2+(2А: + д)2. (25)

изо с 16А.2> V н> )

Пластическое течение возникает в точках отверстия (р10 = 1),

при нагрузках д2 = Ак2 -г2. Очевидно, наличие касательных напряжений на границе отверстия приводит к понижению давления, при котором возникает пластическое течение на границе отверстия.

Условие текучести (24), решение изотропной задачи в качестве нулевого приближения и граничные условия в точках отверстия позволяют определить решение для первого приближения напряжений.

В работе показывается, что учет касательных напряжений уменьшает границу пластической зоны по сравнению с изотропной пластиной.

Приводится решение для бесконечной пластины, растянутой усилиями р с отверстием, нагруженным сдвиговыми усилиями т. В этом случае подтверждается тот же эффект относительно предельной нагрузки, что и в предыдущей задаче, когдв нагрузка приложена к отверстию пластины.

Если отверстие пластины близко к круговому и на бесконечности пластина нагружена разными усилиями р, и р2 (р, > р2), то можно ввести, используя метод малого параметра, характеристики отклонения границы от круговой с помощью параметра а отклонение нагружения от равномерного с помощью параметра с12.

В качестве примера рассматривается тонкая бесконечная пластина с внутренним эллиптическим контуром отверстия, близким к круговому, радиуса а, которое в полярной системе координат можно записать в виде:

здесь 5 - малый параметр, 5с1х - полуразность осей эллипса, отнесенная к радиусу а :

(26)

(27)

На бесконечности к пластине приложены ортогональные усилия р1 и р2 (р, > р2). Вводится параметр <1г такой, что

взаимно

За нулевое решение принимаются известные напряжения

для изотропной пластины с круговым отверстием равномерно растянутым на бесконечности.

Используя (24) и (27), получается условие текучести для первого приближения в виде а\р -с1ха"рр.

Рассмотрим развитое пластическое течение, охватывающее весь внутренний контур. Учитывая уравнение равновесия, граничные условия и условие текучести получим для первого приближения в пластической зоне следующие соотношения:

—i р

Gp ■

=4

-1Р J

о в =ах

, 1 а 1----\п£

£ £ .

£

.4

eos 20;

1-1

' 2 , .

сурв -~—ах smW,

(29)

здесь ст¡¡ = (Ту /2к, £,= р!а.

Упруго-пластическую границу можно определить в виде

+ С082Л

Исходя из условий сопряжения и граничных условий на бесконечности, решение для напряжений в упругой области определяем в виде суммы решений осесимметричной задачи и напряженного состояния, пропорционального соъ2в\

-и В

=7Г

cos2<9,

-к В а» =—г +

2С, + 12С2£2

cos20,

о> =2(с, +3СгС -ЗС^-4 -С^-2)5т2в,

здесь константы и радиус упруго-пластической границы определяются из граничных условий и условий сопряжения.

Численный эксперимент показал, что во всех случаях форма границы имеет вид эллипса, большая полуось которого превышает радиус первоначальной границы, а в направлении меньшей полуоси радиус уменьшается.

В третьей главе предложен метод расчета предельных нагрузок жестко-пластических конструкций из трансверсапьно-

изотропного материала. При этом используется, как и в главе 2, кусочно-линейное условие текучести.

Рассмотрено точное определение условия несущей способности на примере текучести жестко-защемленной круглой пластины. Предполагается, что напряженное состояние в пластине соответствует двум режимам кусочно-линейного условия текучести, кинематический и статический методы расчета дают одно и то же

аЯг . Я 3-й др2 2(3 - а) сг5 - <тл решение -— = 1п—+-, = —-, а = —-—.

Ш, а 2(1 - а) 4М, 1 -а

Полученное решение при а-0 переходит в решение для изотропной пластины.

Исследования показывают: несущая способность трансверсально-изотропных пластин выше несущей способности для изотропных пластин, что совпадает с выводом, полученным для плоско-напряженного состояния при упруго-пластическом решении в главе 2.

Получены границы несущей способности сферической оболочки, на результаты влияет относительная разность пределов текучести в плоскости изотропии и в ортогональном к ней направлении.

Личный вклад автора в получении научных результатов состоит в следующем:

1. Получен вариационный принцип расчета несимметричных пластин из трансверсально-изотропного материала [11], математическое обоснование постановки задачи в работе [2].

2. Получены практические результаты по тематике учета анизотропии в плоских задачах [1, 5, 6, 7, 8], предложен и разработан метод учета внешних касательных нагрузок [9].

3. Предложена слоистая модель расчета изгиба пластин из трансверсально-изотропного материала при упруго-пластическом деформировании [4].

4. Решены задачи расчета несущей способности оболочек из трансверсально-изотропных материалов [3, 10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учет анизотропных свойств трансверсально-изотропных материалов во многих задачах требует отступления от традиционных постановок аналогичных задач для изотропных материалов, поэтому в приведенных в диссертации решениях особое

внимание уделялось оценке влияния анизотропии и учету этого влияния при проектировании конструкций. Приведены постановки основных задач МДТТ: расчет оболочек, плоско-напряженное упруго-пластическое состояние трансверсально-изотропных тел и несущая способность оболочек.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Вульман С.А. Оценка влияния анизотропии на напряженное состояние тонких пластин / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия «Механика», №8/2 (67). - Самара, 2008. -С. 35-40.

2. Семыкина Т.Д. Вариационный метод расчета трансверсально-изотропных оболочек с учетом уточненной итерационной теории / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика, №1 - Воронеж, 2010. - С. 175-179.

Статьи и материалы конференций:

3. Семыкина Т.Д. Некоторые особенности расчета несущей способности анизотропных пластин / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник факультета ПММ ВГУ, вып. 6. - Воронеж, 2007. - С. 154161.

4. Цуканова Л.П. Упруго-пластическое деформирование пластин из трансверсально-изотропного материала / Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного технического университета. Т. 4, №11. - Воронеж, 2008. - С. 43-45.

5. Семыкина Т.Д. Упруго-пластическое деформирование пластины с эллиптическим отверстием при двуосном растяжении с учетом трансверсальной анизотропии материала / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного технического университета. Т. 5, №12. - Воронеж, 2009. - С. 163166.

6. Семыкина Т.Д. Учет анизотропии при плоском упруго-пластическом деформировании листовых материалов / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика, №1. -Воронеж, 2009. - С. 159-163.

7. Семыкина Т.Д. Предельное нагружение конструкций из трансверсально-изотропных материалов / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы III Междунар. науч. конф., Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. - Воронеж, 2009. - С. 150-151.

8. Вульман С.А. Двуосное растяжение тонкой пластины с круговым отверстием из трансверсапьно-изотропного материала / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. конф., Воронеж, 22-24 июня 2009г. - Воронеж, 2009. - С. 113-116.

9. Хозяинова H.A. Две задачи о нагружении пластины из листового материала / H.A. Хозяинова, Л.П. Цуканова // Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем: сб. тр. X Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «АКТ-2009», Воронеж, 11-13 ноября 2009 г. - Воронеж, 2009. - С. 319-328.

10. Семыкина Т.Д. Изменение границ несущей способности сферической оболочки при учете трансверсальной анизотропии материала / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник факультета ПММ ВГУ, вып. 7. - Воронеж, 2009. - С. 100-104.

11. Цуканова Л.П. Изгиб трансверсально-изотропных прямоугольных пластин. / Л.П. Цуканова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. конф., Воронеж, 20-22 сентября 2010 г. - Воронеж, 2010. -С. 381-384.

Подписано в печать 08.10.2010 г. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ №396

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026, Воронеж, Московский просп., 14

Введение.

Глава 1. Учет трансверсальной анизотропии материала при расчете упругих оболочек.

§1.1. Обзор современных методов расчета анизотропных оболочек.

§ 1.2. Вариационное уравнение для расчета трансверсальноизотропных оболочек.

§ 1.3. Вариационный расчет трансверсально-изотропных оболочек.

1.3.1. Напряженно-деформированное состояние пологих сферических оболочек.

1.3.2. Изгиб трансверсально-изотропных прямоугольных пластин.

Глава 2. Учет анизотропии при плоском упруго-пластическом деформировании листовых материалов.

§ 2.1. Влияние трансверсальной анизотропии на напряженное состояние плоскости с круговым отверстием.

§ 2.2. Деформирование плоскости, имеющей круглое отверстие, нагруженное касательными усилиями.

§ 2.3. Упруго-пластическое деформирование пластины с эллиптическим отверстием при двуосном растяжении.

§ 2.4. Упруго-пластическое деформирование слоистых конструкций из листовых материалов.

Глава 3. Предельное нагружение конструкций из трансверсальноизотропных материалов.

§ 3.1. Кусочно-линейное условие текучести для трансверсально-изотропных тел.

§ 3.2. Несущая способность трансверсально-изотропных пластин.

§ 3.3. Кинематические методы расчета трансверсальноизотропных оболочек.

В современном авиастроении, машиностроении и других отраслях промышленности применяются листовые материалы, полученные в процессе прокатки и приобретшие после этого трансверсально-изотропные свойства. При расчете элементов из таких материалов появляются особенности при наличии пластических деформаций и при расчете упругих пластин и оболочек.

Учет анизотропных свойств листовых материалов приводит к усложнению реалогических соотношений, и как следствие этого, к усложнению системы уравнений для определения напряженно-деформированного состояния. Изучению анизотропных и в том числе трансверсально-изотропных материалов посвящены работы Амбарцумяна С.А., Деля Г.Д., Ивлева Д.Д., Матченко Н.М., Смирнова-Аляева Г.А., Хвана Д.В., Томилова Ф.Х., Вульман С.А., Семыкиной Т.Д., Новожилова В.В., Родионовой В. А.

Необходимо провести не только решение основных задач, но и оценить необходимость учета трансверсально-изотропных свойств материала, имея в виду математические трудности, связанные с этим учетом.

В плоских и пространственных задачах упругости нет существенного изменения типа исходных уравнений, поэтому такие задачи не представляют специфического интереса.

В теории пластин и оболочек изменение упругих свойств в направлении, ортогональном листу, не может быть учтено в рамках классической теории, поэтому при расчете оболочечных элементов механизма предложено использовать уточненную теорию.

Для плоских задач расчет сводится к определению решения в пластической зоне и определению распространения пластической зоны. Особый интерес при этом представляет выбор метода расчета и численной оценки полученных поправок при учете анизотропии. Для ограниченной области может возникнуть момент, когда пластическое течение распространяется по всей области и пластина переходит в состояние предельного равновесия.

Для оболочечных конструкций предельные нагрузки вычисляются с помощью теории несущей способности, которая для анизотропных материалов требует определенного дополнения.

Вышесказанное определило выбор темы исследования как актуальной для механики сплошной среды.

В настоящее время машиностроение использует широкий класс как природных материалов, так и материалов, полученных в результате технологических операций. Анизотропные материалы изучались первоначально в условиях упругого деформирования, а затем с развитием техники понадобилось изучать и поведение анизотропных материалов при пластическом деформировании.

Упругое поведение анизотропных материалов рассматривалось на протяжении длительного времени, основные положения в работах [1, 34, 35] и других.

Ниже в диссертационной работе рассматриваются плоские задачи для трансверсально-изотропных материалов, в этом случае, учитывая упругие константы в плоскости изотропии, можно пользоваться классической постановкой задач теории упругости. Исключение составляют задачи, в которых рассматривается изгиб листовых материалов. Эти задачи можно решать методом теории оболочек, о чем будет сказано ниже.

При изучении пластических свойств анизотропных материалов встает вопрос о построении предельного условия для анизотропного тела. В работах [22, 24] предложено условие пластичности анизотропного жестко-пластического тела, обобщающее условие пластичности Треска.

Плоская задача теории анизотропных материалов рассматривалась в работе [36].

Во многих материалах анизотропия появляется как результат предварительной технологической обработки материалов: вытяжки, обжатия, термической обработки и др. Большое распространение в авиастроении и других разделах машиностроения имеют листовые материалы, полученные в результате протяжки, вследствие чего материал приобретает анизотропные свойства, в основном в направлении нормали к плоскости листа. Для таких материалов принято название трансверсально-изотропных. Изучением этих материалов занимались Дель Г.Д., Матченко Н.М., Новожилов В.В. и другие [12, 13, 14, 15, 16, 33, 63].

В этих работах проведены теоретически обоснованные и экспериментально полученные характеристики прочности листовых материалов и описание их пластических свойств.

Для оболочек, изготовленных из трансверсально-изотропных материалов оказывается невозможным использование классической теории, так как применимость гипотез Кирхгофа-Лява для таких оболочек оказывается неприемлемой, и в результате этого приходится учитывать поперечные сдвиги и нелинейное распределение компонент векторов перемещений.

Эти требования учитываются в уточненной теории трансверсально-изотропных оболочек [1, 42, 47, 51]. Учет поперечных сдвигов проводился и в работах, посвященных устойчивости трансверсально-изотропных пластин и оболочек [2, 52].

В некоторых работах для расчета трансверсально-изотропных оболочек строятся теории, в которых проводятся разложения искомых функций по толщинной координате [17, 49, 66, 67], причем, показано, что эти методы приводят к повышению порядка дифференциальных уравнений. В работе [70] проведено решение для пластин в модифицированных тригонометрических рядах, но исследования, проведенные в этой работе показали, что метод пригоден не для произвольного нагружения пластин.

Во второй главе исследуются особенности плоско-напряженного состояния трансверсально-изотропных материалов. Как уже было сказано выше, с учетом упругих констант в плоскости изотропии, упругая задача решается аналогично изотропной упругой задачи. Особенности появляются в тех областях, в которых начинается пластическое течение. Условие пластичности для трансверсально-изотропного материала приведено в работах [16, 63] и имеет вид, аналогичный условию пластичности Мизеса. Аналогичное условие для анизотропного материала с общими свойствами анизотропии приведено в работе [29]. Пользуясь экстремальными свойствами условия пластичности [26] можно ввести условие пластичности, аналогичное условию Треска и совпадающее с шестиугольником, предложенным Ивлевым Д.Д. для общей анизотропии материала [9].

При использовании этих условий пластичности учет анизотропии для листовых материалов можно проводить методом малого параметра, основы которого в теории пластичности изложены в [26].

Для линеаризированных задач трансверсально-изотропных материалов в качестве нулевого приближения принимается напряженно-деформированное состояние в задачах для изотропных материалов [25, 39, 61].

Для анизотропных материалов метод малого параметра использовался в работах [5, 6, 20, 46].

В промышленности большая часть задач требует не изучение процесса перехода в пластическое состояние, а знание самой величины предельной нагрузки. С практической точки зрения особенно важное значение имеет то обстоятельство, что история нагружения не играет никакой роли при определении предельной нагрузки. Действительно, с достижением внешних сил некоторого « предельного значения», которое и будем называть несущей способностью оболочки, последняя начинает «течь в целом», что проявляется в способности неограниченного возрастания скорости деформации во всей конструкции, или в значительной части ее, при относительно неизменяющихся внешних силах. Такое состояние оболочки будем называть предельным. С инженерной точки зрения предельное состояние оболочки характеризуется настолько заметным изменением ее первоначальной формы, что дальнейшая эксплуатация конструкции становится невозможной.

Начиная с работ [11, 19, 32, 37, 43, 48, 50] формировалась постановка теории несущей способности идеально-пластических тел.

Современное состояние задач предельного равновесия дано в работах [18,21,27,30, 44, 45].

Если условие текучести сформулировано в нелинейной форме, как например для анизотропных и, в частности, трансверсально-изотропных материалов, постановка задач может быть упрощена за счет использования экстремальных свойств условий пластичности и ввода кусочно-линейных условий, ограничивающих данные нелинейные условия [23, 64].

Для кусочно-линейных условий текучести в работе [45] был предложен метод кинематического расчета несущей способности, этот метод был развит и обобщен в работах [4, 23].

Кусочно-линейные условия текучести для анизотропных материалов, полученные в [26], дали возможность построить общую теорию несущей способности анизотропных пластин и оболочек вращения. Методы, полученные для изотропных пластин и оболочек вращения могут быть обобщены для трансверсально-изотропных материалов после построения кусочно-линейного условия [9].

Для изотропных материалов расчет несущей способности в конкретных задачах был рассмотрен в работах, цитируемых выше.

Диссертационная работа связана по тематике с работами, приведенными выше, и ставит своей целью исследование влияния анизотропии на напряженное состояние и предельные нагрузки трансверсально-изотропных тел.

Научная новизна результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

- исследовано влияние анизотропии на деформирование упругих пластин и оболочек из трансверсально-изотропного материала с учетом уточненной теории;

- приведена постановка задач плоско-напряженного состояния для трансверсально-изотропных тел, решены конкретные задачи, методом малого параметра после линеаризации нелинейного условия текучести получены условия текучести для нулевого, первого и т.д. приближения;

- проведена постановка и решение задач определения несущей способности пластин и оболочек с целью оценки влияния анизотропии на ее величину.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

- полученные результаты могут быть использованы при расчете элементов конструкций из трансверсально-изотропных материалов;

- возможность оценки необходимости учета анизотропных свойств при расчете напряженного состояния листовых материалов;

- обоснован метод расчета несущей способности конструкций из трансверсально-изотропных материалов.

Первая глава посвящена учету трансверсальной анизотропии материала при расчете упругих оболочек, дается подробное изложение гипотез уточненной теории, которая в отличие от классической теории предполагает нелинейность сдвиговых деформаций в плоскостях, содержащих нормаль к оболочке.

Предлагается использовать вариационное уравнение Лагранжа для расчета напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропных оболочек по уточненной теории, и получено выражение для упругой энергии оболочки.

В качестве конкретного примера рассматривается напряженно-деформированное состояние пологих сферических оболочек. Принимаются традиционные гипотезы, упрощающие основные уравнения для пологих оболочек и позволяющие проводить расчет, применяя плоскую систему координат.

Особенности уточненной теории трансверсально-изотропных оболочек появляются при расчете прямоугольных пластин, в этом случае вводимые в уточненной теории функции должны быть связаны с истинными поперечными силами.

Проведенные решения для конкретных пластин показывают, что учет трансверсальной анизотропии приводит к увеличению прогибов в пластине, причем, сходимость слагаемых, учитывающих анизотропию значительно медленнее сходимости слагаемых, учитывающих только изотропное решение.

Упруго-пластическое деформирование листовых материалов рассмотрено во второй главе на примере плоской задачи. и

Упругое деформирование листа описывается теми же соотношениями, что и для изотропного материала.

Особенности появляются с возникновением пластических деформаций, так как известные соотношения для изотропных пластических материалов, например, условие текучести уже существенно изменяется.

Рассмотрены задачи упруго-пластического деформирования трансверсально-изотропных пластин с круглым отверстием при двустороннем растяжении на бесконечности. Отверстие пластины нагружено касательными и нормальным усилиями, показано, что наличие касательных напряжений на границе отверстия приводит к понижению давления, при котором возникает пластическое течение на границе отверстия, а также уменьшает границу пластической зоны по сравнению с изотропной пластиной.

Задача решалась методом малого параметра, который позволяет рассматривать и некруговую границу отверстия, близкую к круговой.

В третьей главе предложен метод расчета предельных нагрузок жестко-пластических конструкций из трансверсально-изотропного материала. При этом используется, как и в главе 2, кусочно-линейное условие текучести.

Рассмотрено точное определение условия несущей способности на примере текучести жестко-защемленной круглой пластины.

Исследования показывают: несущая способность трансверсально-изотропных пластин выше несущей способности для изотропных пластин, что совпадает с выводом, полученным для плоско-напряженного состояния при упруго-пластическом решении в главе 2.

Получены границы несущей способности сферической оболочки, на результаты влияет относительная разность пределов текучести в плоскости изотропии и в ортогональном к ней направлении.

Заключение

Учет анизотропных свойств трансверсально-изотропных материалов во многих задачах требует отступления от традиционных постановок аналогичных задач для изотропных материалов, поэтому в приведенных в диссертации решениях особое внимание уделялось оценке влияния анизотропии и учету этого влияния при проектировании конструкций.

Рассмотрен целый спектр задач, в которых решение для трансверсально-изотропных материалов не ограничивается формальной заменой упругих констант.

В плоских задачах упругого деформирования листовых материалов достаточно провести именно такую замену и свести постановку математической задачи к математической задаче для изотропного материала. Такие задачи не требуют отдельного рассмотрения, они решаются как составные части задач упруго-пластического деформирования трансверсально-изотропных материалов.

При расчете упругих оболочек из трансверсально-изотропных материалов приходится отступать от традиционных гипотез Кирхгофа-Лява. В диссертационной работе принята уточненная теория расчета трансверсально-изотропных оболочек, которая значительно усложняет основные уравнения, поэтому предлагается перейти к вариационным методам расчета.

С этой целью:

- получено выражение удельной упругой энергии для трансверсально-изотропных оболочек;

- рассмотрен кинематический расчет пологой сферической оболочки;

- решена задача изгиба трансверсально-изотропных упругих пластин.

Для различных значений упругих констант проведена оценка учета анизотропных свойств материала, согласно которой этот учет приводит к увеличению прогибов в конструкции.

При плоском упруго-пластическом деформировании листовых материалов приходится нелинейное условие текучести заменить внутренним кусочно-линейным условием. На нескольких примерах рассмотрено распространение пластической области, определены нагрузки, при которых в этих задачах начинается пластическое течение:

- учтено влияние трансверсальной анизотропии на напряженное состояние плоскости с круговым отверстием, при равномерном растяжении на бесконечности радиус упруго-пластической границы для анизотропного материала меньше радиуса упруго-пластической границы для изотропного материала, в случае ограниченной области показано, что в зависимости от коэффициента анизотропии предельная нагрузка может увеличиваться или уменьшаться по сравнению с изотропной пластиной;

- для несимметричных задач и использованием метода малого параметра для пластической области получены условия текучести для каждого приближения;

- если осесимметричное состояние нарушается наличием касательного усилия на внутренней границе, то при этом появление пластического течения на внутренней поверхности отверстия или на бесконечности достигается при меньшем значении растягивающей нагрузки;

- нарушение осесимметричности напряженного состояния в результате изменения внутреннего контура показано на примере пластин с эллиптическим отверстием при двуосном растяжении, получено решение в пластической области вблизи отверстия, в упругой области исследован радиус упруго-пластической границы;

- упруго-пластическое деформирование слоистых оболочек исследовано на примере трехслойной модели пластин, получено значение нагрузки, при которой вся пластина переходит в пластическое состояние.

Предельное нагружение оболочек для трансверсально-изотропных материалов определяется с помощью линейного условия текучести, вписанным в условие текучести для трансверсально-изотропного материала:

- дается постановка задач несущей способности круглых пластин при осесимметричном нагружении, в качестве примера рассмотрена круглая пластина жестко-защемленная по контуру, для несущей способности подтверждается тот же вывод, что и для слоистой оболочки об увеличении несущей способности трансверсально-изотропных пластин по сравнению с изотропными;

- кинематические методы расчета трансверсально-изотропных оболочек проводятся на примере сферического колпачка.

1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян. М.: Наука, 1974. - 448с.

2. Ананян А.К. О задаче устойчивости пластин с учетом поперечных сдвигов / А.К. Ананян. // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 2, 1998. С. 41-46.

3. Быковцев Г.И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред : Сб. ст. / Г.И. Быковцев. Владивосток: Дальнаука, 2002.-566с.

4. Быковцев Г.И. О вязко-пластическом течении круглых пластин и оболочек вращения / Г.И. Быковцев, Т.Д. Семыкина // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. №4, 1964. С. 68-76.

5. Васильева A.M. Напряженное состояние анизотропного идеально-пластического пространства вблизи сферической полости / A.M. Васильева // Вестник Чувашского гос. пед. университета. Серия: механика предельного состояния, №2 Чебоксары, 2008. - С. 28-37.

6. Васильева A.M. Определение напряженного состояния анизотропного пространства, ослабленного полостью / A.M. Васильева // Вестник Чувашского гос. пед. университета. Серия: механика предельного состояния, №1 Чебоксары, 2007. - С. 26-32.

7. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В.З. Власов. -М.: Гостехиздат, 1949. 784с.

8. Вульман С.А. Оценка влияния анизотропии на напряженное состояние тонких пластин / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия «Механика», №8/2 (67). Самара, 2008. - С. 35-40.

9. Гудьер Дж.Н. Упругость и пластичность / Дж.Н. Гудьер, Ф.Г. Ходж (перевод с английского H.A. Форсман). М.: Изд-во .иностранной литературы, 1960. - 190 с.

10. Дель Г.Д. Анизотропия пластичности листовых материалов / Г.Д. Дель. // Известия вузов. Авиационная техника, № 3, 1992. С. 48-54.

11. Дель Г.Д. Диаграммы предельных деформаций листовых материалов / Г.Д. Дель, С.С. Одинг, Д.В. Хван. М.:НИАТ, 1988. 20 с.

12. Дель Г.Д. Исследование напряжений в полосе при листовой прокатке / Г.Д. Дель, Н.Ф. Зима, В.Д. Дель. // Известия высших учебных заведений. Черная металлургия, № 8, 1971. С. 90-94.

13. Дель Г.Д. Предельные деформации при формообразовании деталей из листа / Г.Д. Дель, В.П. Осипов. // Известия вузов. Авиационная техника, № 1, 1987. С. 19-24.

14. Дель Г.Д. Технологическая механика / Г.Д. Дель. М.: Машиностроение, 1978. - 174с.

15. Демчук О.Н. Расчет слоистых анизотропных оболочек и пластин на основе сдвиговой теории итерационного типа / О.Н. Демчук // Пробл. проч. 1, 1998.-С. 100-106.

16. Ерхов М.И. Конечное соотношение между силами и моментами при пластическом деформировании оболочек / М.И. Ерхов. // Строительная механика и расчет сооружений, 1959, №3.

17. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций / М.И. Ерхов. М.: Наука, 1978. - 352с.

18. Ивлев Д.Д. К построению теории пластичности / Д.Д. Ивлев // ПММ, 1958, Т.22, №6.

19. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии / Д.Д. Ивлев // ПММ, Т. 23, вып. 6, 1959. С. 1107-1114.

20. Ивлев Д.Д. К теории предельного равновесия оболочек вращения при кусочно-линейных условиях пластичности / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962 , №6.

21. Ивлев Д.Д. Линеаризованные уравнения теории анизотропного идеального жестко пластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.Б. Шитова // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чебоксары: Изд-во ЧТУ, 1988.

22. Ивлев Д.Д. Метод возмущений в теории упруго-вязкопластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов. М.: Главная редакция физ-мат. литературы изд-ва НАУКА, 1978. - 208с.

23. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т. 1. / Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 448с.

24. Ивлев Д.Д. О переходе статически неопределимого состояния в статически определимое / Д.Д. Ивлев // Вестник Чувашского гос. пед. университета. Серия: механика предельного состояния, №1 Чебоксары, 2007. - С. 5-9.

25. Ивлев Д.Д. О соотношениях теории пластической анизотропии / Д.Д. Ивлев // Динамика сплошных сред со свободными границами: материалы науч. конф., посвящ. 60-летию со дня рожд. проф. А.Г. Терентьева, Чебоксары, 1996. С. 121-125, 244.

26. Ивлев Д.Д. Об анизотропии пластических тел / Д.Д. Ивлев // Вестник Чувашского гос. пед. университета. Серия: механика предельного состояния, №2 (66) Чебоксары, 2010. - С. 64-68.

27. Ивлев Д.Д. Чем отличается теория идеальной пластичности от теории предельного состояния / Д.Д. Ивлев // Вестник Чувашского гос. пед. университета. Серия: механика предельного состояния, №3 Чебоксары, 2007.-С. 3-10.

28. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 704 с.

29. Качанов JI.M. Основы теории пластичности / JI.M. Качанов. М.: Гос-е изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 324 с.

30. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости / Л.С. Лейбензон. М.-Л.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1947. — 464 с.

31. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. М.: Главная редакция физ.-мат. литературы изд-ва НАУКА, 1977.-416 с.

32. Матченко Н.М. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Известия АН СССР, МТТ, №1, 1975. С. 69-170.

33. Микеладзе М.Ш. Введение в техническую теорию идеально-пластичных тонких оболочек / М.Ш. Микеладзе. Тбилиси: Изд-во «Мецниереба», 1969. - 182 с.

34. Микляев П.Г. Анизотропия механических свойств металлов / П.Г. Микляев, Я.Б. Фридман. М.: Металлургия, 1986, - 223 с.

35. Минаева Н.В. Адекватность математических моделей деформируемых тел / Н.В. Минаева. М.: Научная книга, 2006. - 236 с.

36. Михлин С.Г. Оценка погрешности расчета упругой оболочки как плоской пластины / С.Г. Михлин // ПММ. Т.16, вып. 4, 1952. С. 399-418.

37. Назаров A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек / A.A. Назаров. — Л. М.: Изд-во литературы по строительству, 1966. - 304с.

38. Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. Л.: Политехника, 1991. -656с.

39. Олыпак В. Неупругое поведение оболочек / В. Олыпак, А. Савчук (перевод с английского И.П. Добровольского). М.: Изд-во «Мир», 1969. -143 с.

40. Онат Е. Пластическое деформирование цилиндричекой оболочки под действием осесимметричной нагрузки / Е. Онат // Сб. Механика. М.: ИИЛ, 1955, №6.

41. Онат Е. Предельный анализ оболочек вращения / Е. Онат, В. Прагер // Сб. механика. М.: ИИЛ, 1955, №5.

42. Пискунов В.Г. Сдвиговые эффекты напряженного состояния в трансверсально-изотропных пластинах. / В.Г. Пискунов, A.B. Бурыгина, A.A. Рассказов // Пробл. проч. 1, 1998. . С. 63-71.

43. Прагер В. Проблемы теории пластичности / В. Прагер. М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1958. - 134 с.

44. Прусаков А. Расчет пологой панели при поперечном локальном нагружении по неклассической теории изгиба / А. Прусаков, А. Зеленский, Н. Вовченко. // Теор. основн. буд. 1999. С. 157-162.

45. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек / А.Р. Ржаницын. М.: НАУКА, 1983. - 288 с.

46. Родионова В.А. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек / В.А. Родионова, Б.Ф. Титаев, К.Ф. Черных // Учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1996. — 280с.

47. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия / В.А. Родионова. Уч. пособие. Л.: Ленинградский университет, 1983. - 116 с.

48. Семыкина Т.Д. Изменение границ несущей способности сферической оболочки при учете трансверсальной анизотропии материала / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник факультета ПММ ВГУ, вып. 7. -Воронеж, 2009. С. 100-104.

49. Семыкина Т.Д. Некоторые особенности расчета несущей способности анизотропных пластин / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник факультета ПММ ВГУ, вып. 6. Воронеж, 2007. - С. 154-161.

50. Семыкина Т.Д. Расчет трансверсально-изотропных оболочек / Т.Д. Семыкина, Е.В. Лопырева // Теоретическая и прикладная механика. -Минск: БИТУ, 2006, вып. 21. С. 134-136.

51. Семыкина Т.Д. Учет анизотропии при плоском упруго-пластическом деформировании листовых материалов / Т.Д. Семыкина, Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика, математика, №1. Воронеж, 2009. - С. 159-163.

52. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию / Г.А. Смирнов-Аляев. Л.: Машиностроение, 1978. — 368с.

53. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / А.Н. Спорыхин. Воронеж, 1997. 360 с.

54. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматлит, 1963. - 636с.

55. Хван Д.В. Экспериментальная механика конечных деформаций /Д.В. Хван, Ф.Х. Томилов, В.И. Корольков. Воронеж: ЭЛИСТ, 1996. -247с.

56. Хейзорнсвейт P. Диапозон изменения условий текучести для устойчивых идеально пластических тел / Р. Хейзорнсвейт // Сб. Механика. -М.:ИИЛ, 1961, №5.

57. Хома И.Ю. О напряженном состоянии нетонкой трансверсально-изотропной сферической оболочки с круговым отверстием / И.Ю. Хома. // Теор. и прикл. мех. № 28, 1998. С. 19-24.

58. Хома И.Ю. Общее представление решений уравнений равновесия неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки с круговым отверстием / И.Ю. Хома, И.Г. Перкатая. // Доп. Нац. АН Украины 2, 1997. С. 70-74.

59. Цуканова Л.П. Изгиб трансверсально-изотропных прямоугольных пластин. / Л.П. Цуканова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. конф., Воронеж, 20-22 сентября 2010 г. Воронеж, 2010. - С. 381-384.

60. Цуканова Л.П. Упруго-пластическое деформирование пластин из трансверсально-изотропного материала / Л.П. Цуканова // Вестник Воронежского государственного технического университета. Т. 4, №11. -Воронеж, 2008. С. 43-45.

61. Zhang Chengzong, Yang Cuangsong. General analytic solutions for transverse bending problem of anistropic plate structures // Lixue xuebao 4, T. 28, 1996.-C. 429-440.