Уточненная теория устойчивости моментного равновесия трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

МУШТАРИ АЙРАТ ИЛЬДАРОВИЧ УДК 539.3

УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ МОМЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена на кафедре "Сопротивление материалов" Казанск го государственного технического университета имени А.Н.Туполева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Паймушин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Голованов

кандидат физико-математических наук, доцент И.Ю.Красновский

Ведущая организация: Казанский государственный

технологический университет

Защита состоится " » ^¿^с/Д-У 199^-. в 14 ч. ЗОмин.. заседании диссертационного совета Д 053.29.01 по защите диссертации соискание ученой степени доктора физико-математических наук ] механике при Казанском Государственном университете (420008, г.Каза! ул.Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке К1 им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан " Л'О^^^ 1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

А.А.Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое внедрение трехслойных конструкций в различных отраслях техники повлекло за собой интенсивные исследования в области теории и методов их расчета. Большую роль в становлении теории трехслойных пластин и оболочек сыграли основополагающие работы А.Я. Александрова, В.В.Болотина, Э.И.Григолюка, Л.М.Куршина, Х.М.Муштари, А.П.Прусакова, П.П.Чулкова, Е.Рейсснера. К настоящему времени разработке теории и методов расчета трехслойных оболочечных элементов конструкций, связанных с формулировкой тех или иных гипотез, построением математических моделей и разрешающих уравнений, их качественным анализом, а также созданием на их основе методов решения конкретных задач или задач отдельных классов посвящен большой цикл исследований. Состояние этих исследований освещено в ряде обзоров, монографий и справочников, из числа последних укажем обзорную статью Noor А.К., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells. Applied Mechanics Reviews, 1996, V.49, №3, p.155-199.

В области механики трехслойных конструкций задачи, связанные с выявлением и классификацией всех возможных форм потери устойчивости (ФПУ) и построением для их описания соответствующих математических моделей и разрешающих уравнений, составляют одно из главных направлений исследований. До последнего времени общепринятой была классификация задач устойчивости трехслойных конструкций, в рамках которой в качестве основных различали кососимметричную (синфазную) и симметричную (антифазную) ФПУ внешних слоев. В отдельную группу выделялись также местные ФПУ трехслойных конструкций с заполнителем дискретной структуры. В рамках указанных ограничений на ФПУ вводились уточнения или упрощения при описании лишь возмущенного состояния, а невозмущенное равновесное состояние конструкции полагалось недеформированным и безмоментным.

Но одно из главных преимуществ трехслойных конструкций заключается в их оптимальности работы на изгиб. В случаях существенно мо-ментного состояния пакета слоев в целом в зонах, где невозмущенное напряженно-деформированное состояние (НДС) одного внешнего слоя значительно отличается от другого, возможна реализация смешанных ФПУ, характеризующихся различными формами потери устойчивости слоев. В связи с этим В.Н.Паймушиным, С.Н.Бобровым ("Механика композитных материалов", 1985, № 1, С. 79-86) была предложена уточненная классифика-

ция ФПУ несущих слоев. Эта классификация, помимо синфазной и антифазной ФПУ, включает также более общую смешанную ФПУ. Были построены предельно упрощенные уравнения, служащие для исследования смешанных ФПУ и позволяющие выявить главные особенности выпучивания внешних слоев трехслойных конструкций по смешанным ФПУ. Эти уравнения потребовали уточнения при постановке задач устойчивости прежде всего для таких трехслойных конструкций, для которых отношения толщин внешних слоев (2/^, А; = 1,2) и заполнителя

(2/г) /^д.) / А малы по сравнению с единицей.

В связи с этим для трехслойных и многослойных оболочек с трансвер-сально-мягкими заполнителями в работах В.Н.Паймушина, В.А.Иванова, А.И.Голованова, Т.В.Поляковой, Ю.В.Орлова были построены и реализованы для решения различных задач уточненная нелинейная теория и линеаризованная теория устойчивости и колебаний. В этих теориях допускается большой показатель изменяемости касательных напряжений в заполнителях, имеющий место в зонах локального выпучивания внешних слоев. Точность уравнений предложенной теории, как показали последующие исследования по установлению пределов ее применимости, в достаточно широком диапазоне изменения значений определяющих физико-механических параметров близка к точности линеаризованных уравнений трехмерной теории упругости при определении таких интегральных характеристик, как критическая нагрузка или частота свободных колебаний.

В то же время в заполнителях компоненты напряжений возмущенного состояния в рамках этих уравнений определяются со значительной погрешностью, если размеры выпучиваний несущих слоев оказываются одного порядка с их толщинами. В этом случае НДС возмущенного состояния носит трехмерный характер, что не может быть учтено в полной мере при использовании модели трансверсально-мягкого заполнителя. Как следствие, применение этой модели сужает диапазон изменения значений определяющих физико-механических параметров, при которых критические нагрузки могут быть определены с малой погрешностью. В то же время применение трехмерной теории упругости для заполнителя приводит к неоправданному усложнению решения задачи, в силу чего использование этой теории для трехслойной оболочки произвольной геометрии нецелесообразно.

В связи с этим актуальным является построение уточненной двумерной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем (трансверсально-жесткий заполнитель характеризуется

учетом всех компонент тензора напряжений).

Цели диссертационной работы:

- построение уточненной модели трехслойной оболочки с трансвер-сально-жестким заполнителем, обобщающей модель с трансверсально-мягким заполнителем;

- создание на базе этой модели уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем, позволяющей с необходимой степенью точности определять значения критических нагрузок и устанавливать поля напряжений в заполнителях в возмущенном состоянии при реализации локальных смешанных ФПУ;

- исследование пределов применимости и степени точности уточненных моделей трансверсально-жесткого и трансверсально-мягкого заполнителей для решения задач устойчивости трехслойных конструкций при различных типах докритического напряженного состояния в них.

На защиту выносятся:

1) уточненная модель трехслойной оболочки с трансверсально-жестким заполнителем, позволяющая с высокой точностью описывать поля перемещений и всех компонент напряжений в заполнителе при минимальном количестве введенных в рассмотрение искомых функций и большом показателе их изменяемости в тангенциальных направлениях;

2) нелинейные уравнения уточненной теории среднего изгиба трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем, обобщающей уточненную теорию трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем;

3) линеаризованные уравнения нейтрального равновесия уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем, предназначенные для исследования локальных смешанных ФПУ несущих слоев и допускающие различные варианты упрощения, исходя из уточненной классификации ФПУ трехслойных оболочек;

4) уточненные соотношения для определения перемещений, деформаций и напряжений в заполнителе в возмущенном НДС, в том числе методология определения поперечных касательных напряжений в заполнителе, основанная на учете реального характера распределения этих напряжений по толщине оболочки;

5) исследование применимости и степени точности уточненных двумерных теорий устойчивости, базирующихся на моделях трансверсально-жесткого и трансверсально-мягкого заполнителей, для решения задач устойчивости трехслойных конструкций при различных типах нагружения и реализующегося при этом напряженного состояния, проведенное для од-

номерных задач устойчивости трехслойных пластин.

Научная новизна работы состоит в построении и исследовании пределов применимости уточненной теории трехслойных оболочек, отличительными особенностями которой являются:

1) высокая точность описания полей перемещений и напряжений в заполнителях при минимальном количестве введенных в рассмотрение искомых функций и большом показателе их изменяемости в тангенциальных направлениях, имеющем место в случае реализации локальных смешанных ФГ1У в каждом несущем слое;

2) возможность проведения последовательности упрощений разрешающих уравнений на основе их асимптотического анализа ввиду естественного появления в них малых параметров, от которых в явной форме зависит появление той или иной ФПУ.

Достоверность основных научных результатов следует из соблюдения математической строгости выкладок и преобразований на этапе построения соотношений уточненной теории трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем; возможности проведения корректного формального перехода от модели трансверсально-жесткого заполнителя к модели трансверсально-мягкого заполнителя; высокой точности вычислений на базе предложенной теории устойчивости, выявленной путем сравнения значений критических нагрузок и напряжений в возмущенном состоянии со значениями, полученными на базе уравнений трехмерной теории упругости для заполнителя, при решении модельных задач теории устойчивости трехслойных конструкций.

Практическая ценность диссертации состоит в создании программного обеспечения на ПЭВМ для выявления локальных смешанных ФПУ трехслойных пластин, реализующихся при существенно моментном характере их нагружения, и определения критических нагрузок и полей напряжений в возмущенном состоянии в заполнителе.

Публикация и апробация работы. По теме диссертации опубликовано шесть работ. По ее результатам сделаны доклады на II международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (г.Москва, 1996 г.) и на II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г.Казань, 1996 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 129 наименований, и содержит 163 страницы машинописного текста, в том числе 10 таблиц и 9 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и важность рассматриваемых в диссертации вопросов, дан анализ современного состояния проблемы, излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе диссертации строится уточненная нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем.

Выбирается Т = г{р},а2) = г(а') - параметризация срединной поверхности заполнителя трехслойной оболочки а, отнесенная к системе криволинейных координат а' и характеризующаяся метрическими тензорами йу = ¿¡у = ; т - вектор единичной нормали к С7. Вводится

полуортогональная система координат а1,г. Радиус-векторы точек на срединных поверхностях несущих слоев СТ^ выражаются равенствами = 7 - 8(Л)(Й + 1\к))т, где 2/г, 2/^ - толщины заполнителя и несущих слоев (А: = 1 - для нижнего слоя, к = 2 - для верхнего слоя); = 1, 5(2) = -1. В каждой точке граничного контура С вводится базис, образованный единичными векторами нормали и касательной к контуру Я и X и вектором т.

Заполнитель называется трансверсально-жестким, если его потенциальная энергия деформации II вычисляется по формуле

В случае большой изменяемости поперечных касательных напряжений вдоль координат а1, имеющей место при реализации локальных ФПУ с образованием коротких выпучин, высокочастотных форм колебаний и при действии на оболочку локализованных нагрузок, НДС заполнителя является трехмерным и необходимо применение модели трансверсально-жесткого заполнителя.

Для описания деформирования внешних слоев привлекаются гипотезы Кирхгофа-Лява, в рамках которых векторы перемещений к -го внешнего слоя определяются по формулам

дч*) = ц(к) _ = (и(Л) _+ К^т, (1)

где IV^ - тангенциальные перемещения и прогибы точек поверхно-(к)

стей со* - углы поворота нормали к Тангенциальные компо-

ненты тензора деформаций точек О^ при среднем изгибе оболочки равны

28^=4*)+4*>+ш{лЦ*>. (2)

Предлагаемая уточненная модель трансверсально-жесткого заполнителя базируется на использовании итерационной процедуры, при применении которой на первом этапе принимается гипотеза трансверсально-

11 12 22 А

мягкого заполнителя с = а = а — и. Тогда с точностью 5/ — ¿¿^ « 8у и при пренебрежении объемными силами, после интегрирования уравнений равновесия заполнителя получаются равенства сг'3 = а'3(аУ) = ^'(а7) для поперечных касательных напряжений в заполнителе и строятся выражения для компонент вектора перемещений точек заполнителя:

из = ——-+ —(н'(2) - и/'>) ——-'У,-?' - —--р3 +

2 2Н 2Е3 2 п

Л г г

Р3 = \а3Тйг, Х3 - |а37йк, А3 = (3)

-и -л о

= ы,- + т^а»® +11(2)© !2) + Ш + ^Е^Р^ + гУ,рз + фУ.-Лз,

2 12 I3 I2 1

2+8«*>4А' 5 = 2' С=6~Т' * = 4Л + 2' Ф = -'Здесь и,- = Щ2=0 представляют собой тангенциальные перемещения точек

срединной поверхности заполнителя и вводятся в число искомых функций, Т - приращение температуры, Е3 - модуль упругости заполнителя в направлении г, й^- двухвалентный тензор податливости заполнителя на поперечный сдвиг. Условия сопряжения внешних слоев с заполнителем по тангенциальным перемещениям будут удовлетворены при построении обобщенного вариационного уравнения.

На втором этапе итерационной схемы, исходя из выражений для деформаций Е33, определяются тангенциальные компоненты тензора напряжений и уточняется напряжение поперечного обжатия:

О» =АУя,Ёт + А&*%3-$»Т, а33 = А33°%п + А3333е33 - р33Г. (4)

Для построения системы уравнений равновесия используется обобщенный вариационный принцип Рейсснера, в соответствии с которым вариационное уравнение имеет вид:

5К = 5А-51К+51Я = 0. (5)

Здесь б А - вариация работы внешних сил, действующих на трехслойную оболочку: заданных усилий и моментов Ф^ = Ф^П + Ф^Х + Ф^т, приложенных к граничным контурам С^ поверхностей а также внешних поверхностных усилий и моментов Х(к) = Х1к)^ + Х^т, = приведенных к поверхностям ст^. Введение в вариационное уравнение (5) слагаемого 8равного

о

позволяет удовлетворить условиям сопряжения внешних слоев с заполнителем по тангенциальным перемещениям. Слагаемое 81 ^ в (5) определяется так (Р(к)' потенциальная энергия деформации к-го внешнего слоя):

81л=61/т+8и(1)+Ц1[а9Щ +

v

+2а!'38е?3 +(2е?3 -4оз3)5ст/3 + ъъъЩъ]с1У,

Тем самым в соответствии с обобщенным вариационным принципом Рейсснера вводится аппроксимация поперечных касательных напряжений в заполнителе линейными функциями, позволяющая реализовать неравенства Ф аВ ходе преобразований (5) в рассмотрение вводятся усилия и обобщенные моменты в заполнителе

ТУ = № = II1' = ] а'7 -}т)ск,

-к -А -й

** = Г33 = |ст33^, Л/33 = |а33^7,

-Л -А -А

-А -/г

суммарные моменты

"ТО т(/<0 суммарные перерезывающие усилия

/г

к.

Щк) = Щ) +| \к) И!) +

л

а также обозначения

и,

(к) _ (к) _ „(А)

и} '}Г,

и:

Щ 'г,

со

ип = и'щ, их = и'т,-, <?„ = с/ц, ^ =

Тп = Гщ., Т„=Т»п, ту, К = Мпт =№г\Х],

КК=КУ,щ., КП1 =

йп = (¡дп1п], с!пх = йх =

Из вариационного уравнения (5) получаем систему дифференциальных уравнений, которая состоит из шести уравнений равновесия внешних слоев

/(А) = ^уТД') _ ^(А) + (к) = О, -^(А) = ^'(А) + ^(А)а(А) >

./8> - + + + + = 0, (7)

/(/С) - У^(к)'иу\1(к)^г(к)^и(к)

четырех уравнений равновесия заполнителя

7. 3

-1У7 \7 /•^■Й , „53

- М33 + уу л31) +

(В)

и двух уравнений, имеющих смысл условий сопряжения внешних слоев с заполнителем по тангенциальным перемещениям,

»1

(Л)

53 42)

/Л

6

(2)

к.

+

/г3

Граничные условия для уравнений равновесия (7)

= при 8и(к) ф О, Т^ = при 8и[к> * О,

- / Ж = Ф1к) - сИ/ йз при 8\</к) * О,

^ ^приЗш^О,

(9)

а з свободных угловых точках контура Сусу — — 0 при

в отличии от граничных условий классической теории оболочек, содержат суммарные моменты и перерезывающие усилия, связанные также и с моментами в заполнителе. Первым двум уравнениям из (8) отвечают граничные условия

Тп = 0 при Ъип ф 0, Тпх = 0 при 8и, ф 0. (11)

Для последних двух уравнений из (8) должны быть сформулированы следующие граничные условия:

Г О Л

У

при 5дп ф 0, + = 0 при 8дтф 0,

кг Л

■—(Ст(?)+0Г(2)) + ^А:? = 0 при

. 3 )

К„ = 0 при /с/п^О, (12)

а в свободных угловых точках контура С = 0 при у д" ф 0.

Неизвестные функции ст^ исключаются из числа искомых разрешающей системы с помощью лишь алгебраических преобразований уравнений системы. Записываются соотношения упругости для внешних слоев и заполнителя. Уравнения равновесия и статические граничные условия выражаются через десять неизвестных функций , и ц-, образуя замкнутую систему разрешающих уравнений двадцать восьмого порядка.

При осуществлении формального перехода к модели оболочки с трансверсально-мягким заполнителем получается система уравнений равновесия трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем.

Во второй главе уточненная модель трансверсально-жесткого заполнителя применяется для построения линеаризованных уравнений уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-же-стким заполнителем, предназначенных прежде всего для исследования смешанных ФПУ несущих слоев трехслойных конструкций, находящихся в условиях моментного докритического НДС.

Согласно статическому критерию Эйлера в задачах устойчивости о смежных равновесных состояниях полные векторы перемещений точек срединных поверхностей внешних слоев и срединной поверхности заполнителя, вектор поперечных касательных напряжений и векторы контактных касательных напряжений на поверхностях сопряжения заполнителя и

внешних слоев складываются из соответствующих векторов, переводящих оболочку из недеформированного состояния в деформированное невозмущенное, и бесконечно малых векторов, определяющих переход в воз-

мущенное состояние:

о

* о * о

д = (д'+д!)гп ё(к) = (сЦу+аЦ^.

В соответствии с этим записываются кинематические и физические соотношения для внешних слоев и заполнителя, характеризующие переход из невозмущенного в возмущенное состояние.

Вывод системы линеаризованных уравнений нейтрального равновесия производится из вариационного уравнения Треффца, имеющего традиционный для задач устойчивости вид: —Ыд'+Ы^ =0. Суммарные

перерезывающие усилия, входящие в уравнения нейтрального равновесия, имеют вид

О о

где Т'^ку СО у - докритические тангенциальные усилия и докритические

углы поворота нормали во внешних слоях. Однородные уравнения устойчивости и соответствующие им однородные статические граничные условия выражаются через десять искомых функций и^к\ \\>(-к\ д' и ц-, образуя в результате разрешающую систему уравнений.

Указываются возможные варианты упрощения этой системы исходя из уточненной классификации форм потери устойчивости трехслойных оболочек. При слабом докритическом изгибе оболочки можно положить

о о .. о ..

СО ^ —0. При Т'^2) в оболочках может реализовываться синфазная

или антифазная ФПУ. При этом происходит общая потеря устойчивости оболочки в целом или ее несущих слоев с образованием длинных выпучин порядка характерных размеров оболочки. В указанном случае достаточно использовать уравнения устойчивости на базе упрощенной модели оболочки с трансверсально-мягким заполнителем, хорошо известные в литературе. При реализации в оболочках докритического напряженного состояния с ярко выраженными моментными зонами, характеризуемыми

о .. о ..

различием докритических усилий в несущих слоях, т.е. , в этих

зонах происходит локальная потеря устойчивости с большой изменяемого

стью параметров возмущенного НДС и неодинаковыми амплитудами выпучивания несущих слоев. При этом размеры выпучин оказываются величинами одного порядка с толщиной заполнителя, если последняя намного больше толщин несущих слоев: X ~ 2/г. Уравнения для исследовании локальных ФПУ могут быть составлены путем введения известных допуще-

(к)

ний теории пологих оболочек, когда повороты СО^ вычисляются по фор-

муле

В этом случае в первых четырех уравнениях устойчивости трехслойной оболочки с трансверсально-жестким заполнителем отбрасываются слагаемые ЦЭ^у в результате чего эти уравнения принимают вид

Записываются соотношения для перемещений, деформаций и напряжений, характеризующих переход из невозмущенного состояния в возмущенное. При этом производится уточняющая корректировка соответствующих выражений, позволяющая соблюсти непрерывность закона распределения тангенциальных перемещений по толщине трехслойной оболочки и достичь требуемой точности вычисления тангенциальных и поперечных нормальных напряжений в заполнителе. Для тангенциальных перемещений эти выражения приобретают вид:

и, = Щ +/4

1Г V3

2

2 4/г 1 1 1ЕЪ

Предлагается эффективная методология определения поперечных касательных напряжений, в соответствии с которой после интегрирования по поперечной координате первых двух уравнений равновесия трехмерной теории упругости применяется специальный прием, позволяющий уравнять число констант интегрирования и число условий, которым необходимо удовлетворить, и основанный на учете реального характера распределения поперечных касательных напряжений по толщине оболочки. Значения

о'? , вновь полученные с целью уточнения контактных

касательных напряжений путем интегрирования уравнений упругости внешних слоев, совпадают со старыми значениями оЭтот факт говорит

о том, что значения ст^, полученные из решения системы уравнений

устойчивости, весьма достоверны. Используя допущения dj — zb- в

рассмотрение вводятся функции

Р(г'3

F'(aJ ,z) = \-~dz = -VJct^z,

которые содержат ключевую информацию о характере распределения поперечных касательных напряжений по толщине заполнителя. Поперечные касательные напряжения в заполнителе ищутся в виде

ot3=ClFl(aJ,z) + Ci, (13)

при этом С(, С'2 определяются из условий

„(31 _ „¿3 /31 _ 13

В третьей главе для исследования применимости и степени точности

предложенной в главе 2 теории решается модельная задача по определению

критических нагрузок и полей напряжений в возмущенном состоянии при

смешанных ФПУ бесконечно широкой трехслойной пластины с орто-

тропным либо изотропным заполнителем, к несушим слоям которой на

торцах приложены тангенциальные внешние нагрузки.

Решение системы уравнений устойчивости ищется в виде

m тжх и--, (к) . мкх птх

11 = ml'cos-, vvw = w)4 sm-, q = qmcos-,

a a a

mux 13 13 mux . —

U = UmCOS-, tf(fe) = <3(к)т C0S-> k = 1,2.

a ' v ' a

В рассмотрение вводятся безразмерный параметр критической нагрузки и безразмерные физико-механические параметры, определяемые формулами

<' = Г2, 04)

h , %h Е% , Е, , Е,

г = ~> К=—> Фз=^г> Ф**' = г* гп>ги>гзз'V/' t а Е Еъ G J

Записывается однородная СЛАУ Вх = 0 относительно ит , Ж

л Н И «

ат = —ит, 0,к\т — —Оа)т, причем элементы матрицы о являются

Е Е

функциями параметров (14). Из условия с1е1В = 0 определяются значения критических нагрузок, а также число полуволн потери устойчивости. Строятся выражения для напряжений в возмущенном состоянии в заполнителе.

Величины критических нагрузок и напряжения в возмущенном состоянии в заполнителе определяются для трех различных случаев торцевого нагружения трехслойной пластины, являющихся наиболее показательными. Подробно рассматривается случай чистого изгиба пластины. Проводится сравнение результатов, полученных по уточненной теории устойчивости трансверсально-жесткого заполнителя, а также по уточненной теории устойчивости трансверсально-мягкого заполнителя с данными, полученными с использованием трехмерной теории упругости для заполнителя.

Определяющие физико-механические параметры пластины варьируются в следующих пределах: ф3 = 10~2 -И0~4; ка = 0.1-^0.01; Х'с = 0-г 0.3; V г =0.3; г - 2-г 50. В таблице 1 приводятся результаты для

некоторых характерных комбинаций определяющих параметров в случае чистого изгиба пластины. Для значений критических нагрузок и чисел волнообразования, полученных с использованием, соответственно, трехмерной теории для заполнителя и моделей трансверсально-жесткого и

(е[)

трансверсально-мягкого заполнителей, используются ооозначения Щг ,

(5) (еП (с;) (А

тксг , т и т т . т Относительные погрешности вычисления

т^р и , обозначенные через а<я\ определяются с учетом знака.

Таблица 1

к = 0.01, Фз = Ю" 3 V > ус = 0.3, V /=0.3; II > = -Р

г т(е!) сг т(«) т™ сг а(л) т{х) а(5)

2. 20 1395.69

6. 55 8096.57

10. 85 19297.58

14. 113 35330.74

18. 140 56594.87

22. 168 83338.12

26. 195 115661.81

30. 224 153575.88

34. 252 197045.88

20 1395.48 -02

55 8089.77 -.05

85 19296.00 -.08

111 35564.30 -.66

135 57851.75 -2.17

156 87333.87 -4.58

175 125376.69 -7.75

191 173492.19 -11.48

205 233298.39 -15.54

19 1240.07 12.55

51 7548.86 7.26

82 18422.33 4.75

113 33688.81 4.87

143 53077.15 6.63

173 76235.94 9.32

203 102792.61 12.52

232 132396.69 16.00

261 164746.74 19.61

Проанализировав результаты расчетов, можно сделать следующий основной вывод. Точность вычислений при применении модели трансвер-сально-жесткого заполнителя оказывается в целом значительно выше, чем при применении модели трансверсально-мягкого заполнителя, что подтверждает эффективность реализованных уточнений при описании НДС заполнителя. Погрешность модели трансверсально-жесткого заполнителя не превосходит приемлемых для практических вычислений значений 5% - 15% при расчетах трехслойных пластин, значения определяющих параметров которых находятся в широком диапазоне изменения, например, при ф3 ~ Ю-4 любые значения г и при ф3 = Ю-2,10~3 значения г, меньшие, соответственно, 15 и 35. Трехслойные конструкции, характеризуемые значениями определяющих параметров, близкими к вышеназванным, наиболее часто применяются на практике. В числе других закономерностей отметим, что в случае чистого изгиба пластины при всех комбинациях

значений определяющих параметров имеет место неравенство ((е!) (а)

т < Ш < т , означающее, что критические нагрузки, полученные с помощью моделей трансверсально-мягкого и трансверсально-жесткого заполнителей, доставляют, соответственно, нижнюю и верхнюю оценки для действительных значений критических нагрузок, полученных с помощью трехмерных уравнений.

На Рис. 1 -3 показаны эпюры напряжений в возмущенном состоянии в заполнителе для значений определящих параметров: г = 20, !га =0.01,

Фз = 10~3, Уе = 0.3, Уу = 0.3; /(,) = Р, 2) = ~Р. Для обозначений

эпюр напряжений по моделям трансверсально-жесткого, трансверсально-мягкого и трехмерного заполнителей используются обозначения 3,2,3, соответственно. При этом для поперечных касательных напряжений с помощью указателя 1а обозначаются эпюры, полученные с применением уточняющего пересчета (13), а с помощью указателя 1Ъ обозначаются эпюры, полученные на основе исходной линейной аппроксимации этих напряжений (6).

Погрешности вычисления напряжений на базе модели трансверсаль-но-жесткого заполнителя в целом оказываются значительно меньше погрешностей при использовании модели трансверсально-мягкого заполнителя. Для а'3, а" эти погрешности не превышают 10-15%, в то время как погрешности на базе модели трансверсально-мягкого заполнителя могут

достигать 50% для а1^ и 25% для СТ^3. При всех рассмотренных значениях

л 11

определяющих параметров величины <5 т оказываются сравнимыми по

3

1 1 1

] V л !

\

2'" \ |

1 1

1 —ггг= -:

Рис. 1. • 105

■ I

/2

\ \\

ь/Ц XАЬ

\

0.00 20.00 40.00

Рис.2, а^-105

порядку с величинами других амплитуд компонент напряжений, что свидетельствует о необходимости их учета в НДС заполнителя при рассмотрении локальных смешанных ФПУ трехслойных конструкций. Применение модели трансверсально-жесткого заполнителя имеет принципиальное значение для определения ст11, поскольку в случае трансверсально-мягкого заполнителя эти напряжения равны нулю, и погрешность их вычисления на базе этой модели равна бесконечности. Погрешности вычисления амплитуд

а и

<зт с применением уточненного определения (13) оказываются в целом значительно меньше, в рассматриваемых примерах в 2-2,5 раза, погрешностей в случае использования исходной линейной аппроксимации (6).

В случае чисто изгибного иагружения реализуются смешанные ФПУ, характеризующиеся отношением прогибов, существенно отличающимся от 1 или -1. При этом значение везде оказывается больше значения М'у2).

Можно указать следующую общую тенденцию зависимости погрешности вычислений от значений определяющих параметров: погрешности вычислений по модели трансверсально-жесткого заполнителя по сравнению с результатами на базе трехмерной теории упругости для заполнителя растут при увеличении параметра г и при увеличении параметра ф3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены соотношения уточненной нелинейной теории среднего изгиба трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем. В их основу положено использование уточненной модели трансверсально-жесткого заполнителя, базирующейся на итерационной процедуре, в соответствии с которой на первом этапе строятся выражения для перемещений, а на втором этапе после введения двух дополнительных искомых функций определяются тангенциальные компоненты тензора напряжений и уточняется напряжение поперечного обжатия в заполнителе.

2. Для построения системы уравнений равновесия уточненной теории трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем применен обобщенный вариационный принцип Рейсснера, в соответствии с которым введена аппроксимация поперечных касательных напряжений в заполнителе линейными функциями по толщине. Важное достоинство такой аппроксимации при описании трансверсально-жесткого заполнителя состоит в возможности реализовать неравенства контактных касательных напряжений на поверхностях сопряжения заполнителя с 1-м и 2-м внешними слоями, имеющие место для реальной трехслойной оболочки при реализации в ней НДС с большим показателем изменяемости в тангенциальных направлениях.

3. С помощью обобщенного вариационного уравнения Рейсснера получены уравнения равновесия, граничные условия и кинематические условия сопряжения. Проведена редукция построенной системы уравнений к системе уравнений с меньшим количеством искомых функций путем исключения введенных при применении обобщенного вариационного принципа неизвестных функций из числа искомых функций разрешающей системы с помощью лишь алгебраических преобразований уравнений системы.

4. Показано, что при осуществлении формального перехода от построенной системы уравнений к модели оболочки с трансверсально-мягким

заполнителем получается система уравнений равновесия трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем.

5. Построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жесгким заполнителем, предназначенные прежде всего для исследования локальных смешанных ФПУ трехслойных конструкций, находящихся в условиях моментного докритического НДС. Указаны возможные варианты упрощения этой системы в зависимости от типа докритического НДС и реализующихся ФПУ.

6. Получены соотношения для перемещений, деформаций и напряжений, характеризующих деформирование трансверсально-жесткого заполнителя при потере устойчивости трехслойной конструкции. При этом проведена уточняющая корректировка соответствующих выражений, позволяющая соблюсти непрерывность закона распределения тангенциальных перемещений по толщине трехслойной оболочки и достичь требуемой точности вычисления тангенциальных и поперечных нормальных напряжений в заполнителе.

7. Предложена методология высокоточного определения поперечных касательных напряжений, позволяющая после интегрирования по поперечной координате уравнений равновесия теории упругости уравнять число констант интегрирования и число условий, которым необходимо удовлетворить, в соответствии с действительным законом распределения по толщине этих напряжений.

8. На примере решения одномерных задач устойчивости бесконечно-широких трехслойных пластин с трансверсально-жестким ортотропным заполнителем реализована аналитическая методология, состоящая в сведении уравнений устойчивости трехслойной конструкции к однородной СЛАУ, из условия равенства нулю определителя которой определяется параметр критической нагрузки.

9. Выполнено исследование применимости и степени точности уточненных двумерных теорий устойчивости, базирующихся на моделях трансверсально-жесткого и трансверсально-мягкого заполнителей, для решения задач устойчивости трехслойных конструкций при различных типах нагружения и реализующегося при этом напряженного состояния. В силу успешного применения уравнений уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем для решения задачи об определении критических нагрузок и построении полей напряжений в возмущенном состоянии при локальных смешанных ФПУ трехслойной пластины с изотропным заполнителем, находящейся в усло-

виях чистого изгиба, выявлена высокая точность этой теории, которой не удавалось достичь при использовании других двумерных теорий. Сделан вывод о высокой эффективности использования предложенной уточненной теории устойчивости при проведении расчетов на локальную устойчивость трехслойных конструкций, находящихся в условиях моментного докритического НДС.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Галимов М.К., Иванов В.А., Муштари А.И., Паймушин В.Н. Анализ уточненных постановок задач устойчивости трехслойных пластин и оболочек в условиях моментного докритического напряженно-деформированного состояния // Тез. докл. II междунар. симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", - М.: Изд-во Моск. гос. авиац. ин-та (техн. ун-та), 1996. -с.42-43.

2. Муштари А.И. Исследование смешанных форм потери устойчивости трехслойных пластин с изотропным заполнителем // Тез. докл. II респ. научн. конф. молодых ученых и специалистов, - Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1996, Кн.4. - с. 17.

3. Муштари А. И., Паймушин В.Н. Одномерные задачи о локальных смешанных формах потери устойчивости трехслойных пластин с трансвер-сально-жестким ортотропным заполнителем в условиях моментного напряженного состояния И Казан, гос. техн. ун-т. - Казань, 1996. - 27 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.07.96, № 2418 - В96.

4. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости моментного равновесия трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем // Вестник Казанского государственного технического университета им.А.Н.Туполева. - 1995. - №1. - с.60-65.

5. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем. 1. Нелинейные уравнения равновесия // Механика композитных материалов. - 1996. - Т.32, №4. - с.513-524.

6. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уравнения нейтрального равновесия уточненной теории устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем // Казан, гос. техн. ун-т. - Казань, 1996. -17 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.07.96, № 2419 - В96.