Упруго-пластический изгиб круглых пластин из конструкционных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах, рукописи Л 1

\#1,ъ'и1Слу

ЮШИН РОМАН ЮРЬЕВИЧ

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ИЗ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 3 ОЕ3 2011

Санкт - Петербург 2011

4853780

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный Руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент ПАВИЛАЙНЕН Галина Вольдемаровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ГРЕКОВ Михаил Александрович СПбГУ, ПМ-ПУ

кандидат технических наук, старший научный сотрудник РЫБАКИНА Оксана Григорьевна ЦНИИ им. А. Н. Крылова

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения.

Защита состоится "'И"2011 г. в часов на

заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " " _ _ 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных задач механики твердого деформируемого тела является определение механических условий, вызывающих появление и развитие пластических деформаций в элементах конструкций. За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи с использованием пластически анизотропных, в частности текстурованных металлов. Особый интерес представляет трансверсально-изотропный листовой прокат с повышенной сопротивляемостью пластическим деформациям в направлении толщины. Таким металлы обладают большими преимуществами по сравнению с изотропными при работе в условиях двухосного напряженного состояния, что находит применение в конструкциях, по форме близких к сфере или цилиндру, работающих под давлением. Изучению поверхности текучести таких металлов посвящены работы А. М. Жукова, А. А. Лебедева, X. Бабела, В. Бэкофена, Д. Драккера, Ф. Ларсона, Н. Окубо, Ф. Стоктона, Р. Хилла и других исследователей. Однако, в тех случаях, когда речь идет о тонколистовом металле, лабораторные исследования его пластических свойств в условиях двухосного напряженного состояния представляет сложную техническую проблему. Одним из возможных путей её решения является проведение исследований на свободно опертой круглой пластине при её изгибе равномерным давлением. Этому исследованию должен предшествовать расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, позволяющий описать развитие пластических областей. Решение указанной задачи представляет самостоятельный научный интерес. Исследование такого рода является необходимым шагом при разработке методов оптимального подбора материала, учитывающего вид напряженного состояния, реализуемого в изготовляемой из него конструкции.

В диссертационной работе на примере одной задачи осесимметричного

упруго-пластического изгиба исследованы те возможности, которые открывает использование текстурованных анизотропных металлов, работающих в упруго-пластическом режиме в условиях сложного напряженного состояния.

Целью работы является построение решения задачи упруго-пластического изгиба круглой, свободно опертой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию (эффект ЗБ). Также целью является рассмотрение различных вариантов анизотропии и ББ, доведение всех исследований до конкретных численных результатов и оценка влияния различных параметров на развитие пластических деформаций в пластине.

Исследуются случаи упруго-пластического состояния до потери устойчивости при образовании пластического шарнира в центре пластины, которые сравниваются с решением задачи по МКЭ.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

• Построено решение задачи упруго-пластического изгиба трансвер-сально-изотропной ББ пластины, свободно опертой, находящейся под действием равномерного давления.

• Проанализировано влияние коэффициентов анизотропии и ББ на развитие пластических областей и прочностные свойства пластины.

Достоверность результатов и методы исследования.

Работа основывается на методе, предложенном В. В. Соколовским, который позволяет произвести расчет задачи упруго-пластического изгиба изотропной пластины. В диссертационной работе данный метод модифицируется для решения аналогичной задачи, при условии, что пластина трансверсально-изотропна и обладает эффектом разно-

сопротивляемости. Используется критерий текучести, предложенный О. Г. Рыбакиной, который учитывает и анизотропию и эффект ББ. При численном решении полученной системы нелинейных дифференциальных уравнений на ПК был использован разностный метод. Проведено исследование решения В. В. Соколовского и сравнение его с полученными в диссертации результатами, что позволяет судить об их достоверности.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты используются при обработке экспериментальных данных, получаемых при изгибе пластин, и позволяют оценить несущую способность конструкций из современных трансверсально-изотропных ЭБ материалов, а также определить критические нагрузки образования пластических шарниров в условиях двухосного напряженного состояния.

Результаты, выносимые на защиту:

• Построено решение упруго-пластической задачи изгиба круглой, трансверсально-изотропной ББ пластины.

• Исследовано влияние коэффициентов анизотропии и ББ на развитие пластических областей и прочностные свойства материала.

• Проведены численные расчеты для широкого диапазона значений параметров анизотропии и разносопротивляемости.

Апробация работы

Различные части диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Нелинейный динамический анализ (2007), четвертые Поляховские чтения (2008), пятые Поляховские чтения (2009), а также на совместных семинарах ПГУПС и СПбГУ в 2007 и 2010 годах, на семинарах и заседаниях кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано шесть работ, четыре из которых выполнены в соавторстве с Г.В. Павилайнен, которая осуществляла научные консультации.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа представляет собой единое исследование, каждая из последующих частей которого является развитием или обобщением предыдущей и состоит из предисловия, введения, трех глав, заключения, библиографии из 82 наименований и трех приложений. Работа изложена на 84 страницах и включает 47 рисунков и графиков и 35 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор предшествующих результатов, обоснована актуальность выбранной задачи, ее практическое значение, обрисован круг проблем, возникающих при исследовании пластических свойств металлов. Формулируются цели исследования, излагается краткое содержание работы и полученные результаты.

Первые три параграфа главы 1 работы посвящены детальному исследованию решения В. В. Соколовского в случае изотропного материала, так как данное решение принимается за основу при выводе решений для более сложных задач, представленных далее в диссертации.

Рассматривается круглая изотропная пластина радиуса а, постоянной толщины 2Л, причем И « а (рис. 1). Решение задачи упруго-пластического изгиба сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений (равновесия и совместности деформации):

. ¿х . <1ш .

ар ар /-,■>

л ¿х л <Ь) ■ ■ п ^

+ + А6 = 0. ар ар

Рис. 1. Изотропная пластина в упруго-пластическом состоянии.

где х(р)— относительная глубина пластической области, ш(р)— угол вида напряженного состояния, р — независимая переменная, связанная с текущим значение радиуса г и значением нагрузки р соотношением: 2 Р7"2 ,

= Akh?' Г,П'е = а 0-5 ~~ предел текучести изотропного материала. Коэффициенты

Ai = 2рх(2 cos(ф + 7г/6) - 3 cos(w + 7г/6)>;

= -3/>((1 - х2) sin(w + тг/6) + 2Вх2 sin(V» + т/6)); Л3 = Зр2 - 3(1 - х2) sin w - 2х2 sin ф; Ai = Зрcos^ - д); As = 3рВхят(ф - /х);

3(1 - г/) cos2 ф

Лб = —б^вт/хвт^; -В tg^tg¿t = tgwtga.

1 + v cos2 ш'

Четвертый параграф первой главы диссертации посвящен выводу уравнений для решения задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных пластин. Данные уравнения получены Г. В. Павилайнен. Условие текучести выбрано в форме В. Бэкофена :

«г - Ааг<тд + <т2в = Ю2, (2)

где А — 2 — (ст*/ста)2 — коэффициент анизотропии, который зависит от двух пределов текучести и характеризует "вытянутость" кривой

текучести вдоль биссектрисы оу = <т$. Здесь <г*, <та — пределы текучести материала при одноосном растяжении в плоскости пластины и в направлении, перпендикулярном плоскости пластины, соответственно. Уравнения равновесия и совместности деформаций, представлены в виде системы:

= рсоя^ф — р.), Л5 = рВхвш(г() — р), Ав = -2хвтфзтр,.

Вторая глава работы непосредственно посвящена построению решения задачи упругопластического изгиба круглой, свободно опертой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом ББ. В качестве условия текучести используется критерий, предложенный О. Г. Рыбакиной, который учитывает и анизотропию, и эффект ЯБ:

. dx , du Ал — 4- Ао--1- А-г = 0.

d% UfJ

dx dp

(3)

где

(4)

где А — коэффициент анизотропии, введенный ранее,

, к =

Здесь ас, ае - пределы текучести материала на сжатие и растяжение в направлении пластины соответственно. , сг^ - пределы текучести материала на сжатие и растяжение в направлении 2 соответственно.

Будем называть (3 — коэффициентом ББ.

1 I 1 '' г 1 " " " * ' ' 1' Г г

ь —

Рис. 2. Схема расположения пластических зон в вертикальном срезе круглой

ББ пластаны.

Исследование задачи осложнено тем, что отсутствует симметрия в развитии пластических зон на верхней и нижней поверхности пластины. Однако и в этом случае удается построить систему нелинейных дифференциальных уравнений, вводя новые переменные аз и ац, характеризующие глубину пластической области сверху и снизу пластины соответственно (рис. 2). Аналогично главе 1, была введена новая безразмерная переменная:

2 у/З^у/2 -А 2 р =-=-г и параметр нагрузки р =

~кк2

Ш2 - - г- -—х-- -х- ^Да^ГА После преобразований уравнение равновесия принимает вид:

, вм . ¿оз , ¿ал

Лот + А1~Г + + Лз = О, ар ар ар

где А0 = р ^ + ,

А1=Р + ^ТзЛ + , Л2 = р (^Ы - + ^ ,

2р2 / (а2-а3)2 (ах - а4)2 А

3 -у/з з цц-гсов^) (1 — ¿ссяф);

+ дЬсо$ш)(а\ - (а2 - аз)2) + (1 + й^соби>){а\ - (а! - а4)2)],

(1-./)(2 + Л)со82^ р= 1= .2¡3

(1 + 1/)(2-Л)соз2ш' У2 + Л' Зч/2^4' г г , , (1-1/) (2 + Л)^

Т1 = Т2 = ^р)' ^ = (1 + г,)(2-Л)^

Здесь

Jl — ((совф — ^этф)—^^- — 1-(з'тф + Рсовф)) х

у2 — А \ 3 3 /

(о2 - а3)2 (а! - а4)2

(1 — Ь соэ ^)2 (1 + ¿соэ^)2,

кн2

-(эти; + .Рсо8и>)(1 + дЬсовш + £)(а| - (а2 - «з)2)+

—_ ^8тш)(а2 - (а2 - а3)2)-

+ —(совы — Г8тш)(а( — (аг - а4)2)--(втш + -Рсобш)^ + эта; - ¿)(а2 — (а2 — «з)2)] ,

кк2

¿ъ —

1{совф-Евтф)2{а1'а4} + : 3^ * ^'Ц-Ьсовф ...

у/Т^ГА

+а4 (сое ш — ^ вт а;) (1 + сое ш — £)],

/о/г2

3 1 -Ь соэ ф

л/2^А

+аз(созш — + дЬсояси + £)],

Иг2

^(соэф - Гвтф)2^3 а2] + 3 1 — ЬСОЪф

у/Т^А

+(й2 — аз)(соэа> — _Рзтш)(1 + дЬсоэш + £)],

•76 =

кН2

1 / , у—> . ,.2 (а4 — 01)

-(сояф -Гбтф)——-- +

3 1 -Ь £ соэ ф

^/2-А

+(а! — остова; - + вЬсоэш - ¿)],

1

д = >/2 + А +

= , з = л/2 + А-

~ ' 1 " уД^А' Так как развитие пластических зон в пластине происходит несимметрично, для данной задачи уравнение совместности деформаций распадается на два — сверху и снизу пластины. Для верхней части пластины оно преобразуется так:

(6)

а для нижнеи части:

где

А4 = рСОБ(ф — /х0)(1 - tCO эф)]

Аъ = рВ1(а2 - а3)(8т(ф - ц0) - гвт/хо);

Аб = — 2(ог — аз) (Г— Ьсозф)8тф8тр,о;

Аг = р сое (^ — до)(1 + * соэ

Л8 = рВ\(а1 - а4)(8т(^» - Цо) + ¿эт/хо);

Ад = — 2(сц — а4)(1 + 1созф)8тфзтцо.

Объединяя (5), (6) и (7), получаем разрешающую систему дифференциальных уравнений, содержащую три неизвестные функции аз(р), <24(р) и и>{р). Система имеет третий порядок и нелинейные коэффициенты. Численная реализация проводится разностным методом с шагом по р при задании некоторой начальной относительной глубины пластической области аго, начиная вблизи центра пластины (т.к. р = 0 — особая точка, используется известный подход о наличие в центре жесткой вставки малого размера). Значение р\ при аз = О фиксируется и определяет безразмерный радиус пластической области на верхней поверхности пластины. При достижении условия 04 = 0 фиксируется значение р™, определяющее безразмерный радиус пластической области на нижней поверхности пластины.

Требование непрерывности моментов в радиальном и круговом направлениях, а также условие свободного опирания пластины Мг(а) = О позволяют построить квадратное уравнение относительно неизвестного параметра нагрузки р:

К2р + Кгр + К0 = 0. (8)

Здесь

К - <7 <7 К 51 К +

Л0 — 01 - ¿2 - . ■ = -у~2 , Л2 = 2 , 4 у/2-А Щ 64р*

= Р1{ \ + у) соз^ , 1_

82=[к+%)(С03^ где Т\, Т2 были введены ранее в (5). Очевидно, что необходимо выбрать р > 0. После вычисления нагрузки находятся радиусы нижней и верхней пластической областей с по формуле:

Из соотношений неразрывности деформаций (6), (7) можно построить два дифференциальных уравнения для вычисления прогиба пластины, которые в силу единственности прогиба должны давать одинаковые результаты для численного интегрирования. Например,

А стрела прогиба ги(0) вычисляется путем численного дифференцирования от края пластины к центру.

В третьей главе проведено сравнение результатов расчетов по новым формулам с частными случаями постановки задачи — расчетом В. В. Соколовского для изотропных пластин и расчетами для трансверсально-изотропных пластин Г. В. Павилайнен.

Проведено сравнение результатов расчетов для трансверсально-изотропных ББ пластин при различных значениях коэффициентов анизотропии А и ББ-коэффициента (5. Приведены таблицы с пределами текучести исследуемых материалов и значениями вышеназванных коэффициентов, использованных для численных расчетов.

На основе полученных результатов построены графики с различными зависимостями: глубина-радиус пластической области, параметр нагрузки-глубина пластической области, параметр нагрузки - радиус пластической области и др.

В приложениях представлены таблицы с результатами всех расчетов для различных пластин: изотропных, трансверсально-изотропных, трансверсально-изотропных ББ пластин с различными коэффициентами

1 ксоъ{ф — ро)

(10)

а/(2 + А) 2С/г(а1 - а4)(1 + £соз^) БШ/^о

А и /3.

7,0 7,5 8,0 8,5 -

приведенная нагрузка, Р

(А=1.2)

Рис. 3. Зависимость приведенная нагрузка-радиус пластической области,

А = 1.2, разные /3.

7,0 7,5 в,0 в,5 -

приведенная нагрузка, Р (А=1,2)

Рис. 4. Зависимость приведенная нагрузка-приведенная стрела прогиба,

А = 1.2, разные /3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

построено решение задачи упруго-пластического изгиба трансвер-сально-изотропных ББ пластин.

результаты расчетов по полученным уравнениям полностью совпадают в частном случае А = 1,(3 — 0 с результатами расчетов В.В. Соколовского.

произведен численный расчет для различных параметров анизотропии и разносопротивляемости, соответствующих реальным титановым сплавам.

исследовано влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин. В частности показано, что при росте параметра анизотропии А повышается предельная допустимая нагрузка образования пластического шарнира в пластине.

изучен вопрос влияния коэффициента разносопротивляемости на свойства трансверсально-изотропных ББ пластин. Показано, что при увеличении ББ-параметра /3 предельная нагрузка снижается, а также выявлено существенное ускорение роста пластичности по поверхности пластины при одинаковых нагрузках.

проведено исследование взаимного влияния параметров А и /3. Установлено, что оно носит взаимно обратный характер.

Показано, что существуют наборы значений коэффициентов анизотропии и некоторый диапазон нагрузок, при которых влиянием эффекта ББ можно пренебречь. Однако, если нагрузка превысит данный диапазон, в пластине практически сразу образуется пластический шарнир.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

1. Юшин Р.Ю. О Возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 134-140.

Другие публикации

2. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. Упругопластический изгиб круглых пластин с учетом разносопротивляемости и трансверсальной изотропии// Пятые Окуневские чтения: Тезисы докладов международной конференции, Балт. гос. техн. ун-т., СПб., 2006, С. 162 - 164.

3. Юшин Р.Ю. Упруго-пластический изгиб трансверсально-изотропных пластин// Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды", изд-во СПбГУ, 2007, С. 55-75.

4. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. О погрешностях при численном расчете устойчивости упругопластического состояния пластин из анизотропных материалов// Нелинейный динамический анализ - 2007: Тезисы докладов международного конгресса, СПб., 2007, С. 160.

5. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. О погрешностях численного решения задачи упругопластического решения круглых пластин// Шестые Окуневские чтения: Тезисы докладов международной конференции, СПб., 2008, Т. 2 С. 17.

6. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. Уточнение предела текучести для материала, обладающего эффектом SD// Пятые Поляховские чтения: Тезисы докладов международной конференции по механике, СПб., 2009, С. 185.

Подписано к печати 16.12.10. Формат 60 *84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 5027. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Предисловие

Введение

1 Упруго-пластический изгиб круглых изотропных и трансверсально-изотропных пластин.

1.1 Постановка задачи. Основные геометрические соотношения.

1.2 Напряженные состояния круглой пластины.

1.3 Развитие пластических зон в продольных сечениях.

1.4 Изгиб круглых трансверсально-изотропных пластин.

2 Учет эффекта БЮ материала при упруго-пластическом изгибе круглой пластины.

2.1 Основные соотношения.

2.2 Вывод уравнения равновесия и уравнений совместности деформаций при учете эффекта ББ.

2.3 Определение нагрузки, прогиба и радиусов пластических зон.

3 Анализ полученных результатов.

3.1 Сравнение результатов расчетов для изотропных случаев.

3.2 Сравнение результатов расчетов для трансверсально-изотропных случаев.

3.3 Влияние коэффициента анизотропии А на свойства трансверсально-изо-тропной пластины.

3.4 Совместное влияние коэффициентов А и /3 на свойства трансверсально-изотропной ББ пластины.

3.5 Сравнение результатов теоретического исследования с пакетом А^УБ.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию упругопластическо-го изгиба круглой трансверсально-изотропной пластины, материал которой обладает свойством разносопротивляемости сжатию и растяжению ("эффект ЗБ"), свободно опертой по контуру, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. В работе решены задачи упругопластического изгиба для изотропного случая, трансверсально-изотропных случаев с различными коэффициентами анизотропии, а также трансверсально-изотропной ЭБ пластины с различными коэффициентами анизотропии и различными коэффициентами БВ. Проанализировано влияние этих коэффициентов на развитие пластических областей в пластине и на ее прочностные свойства.

Введение.

Одной из важных задач механики твердого деформируемого тела является определение механических условий, вызывающих появление и развитие пластических деформаций в элементах конструкций. Изучению условий текучести и упрочнения различных материалов в условиях сложного напряженного состояния посвящено большое количество теоретических [1], [7], [9], [12], [16], [17], [18], [19], [21], [22], [23], [24], [25], [28], [40], [47], [48], [69] и экспериментальных [6], [8], [13], [14], [29], [30], [31], [32], [33], [39], [57], [68], [77], [78] работ. Актуальные задачи проектирования и строительства современных летательных и подводных аппаратов требуют создания все более сложных математических алгоритмов, учитывающих многие прочностные параметры тех материалов, из которых они производятся. Современные конструкции создаются из новых материалов и сплавов, прочностные свойства которых существенно отличаются от традиционных. Поведение этих сплавов в сложных конструкциях еще далеко не изучено, поэтому старые методы расчетов должны совершенствоваться для учета новых эффектов. За последние годы круг исследований в этой области значительно расширился в связи с использованием пластически анизотропных, в частности текстурованных металлов. Особый интерес представляет трансверсально-изотропный листовой прокат с повышенной сопротивляемостью пластическим деформациям в направлении толщины. Таким металлы обладают большими преимуществами по сравнению с изотропными при работе в условиях двухосного напряженного состояния, что находит применение в конструкциях, по форме близких к сфере или цилиндру, работающих под давлением. Изучению поверхности текучести таких металлов посвящены работы А. М. Жукова [13], [14], А. А. Лебедева [33], [34], В. Бэкофена [7], Д. Драккера и Ф. Стоктона [75], Ф. Ларсона [77], Н. Окубо [80], и других. Однако, в тех случаях, когда речь идет о толстолистовом металле, лабораторные исследования его пластических свойств в условиях двухосного напряженного состояния являются сложной технической проблемой. Одним из возможных путей её решения является проведение исследований на свободно опертой круглой пластине при её изгибе равномерным давлением. Этому исследованию должен предшествовать расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, позволяющий описать развитие пластических областей. Решение указанной задачи представляет самостоятельный научный интерес. Исследование такого рода является необходимым шагом при разработке методов оптимального подбора материала, Л учитывающего вид напряженного состояния, реализуемого в изготовляемой из него конструкции.

Целью настоящей диссертационной работы является построение решения задачи упруго-пластического изгиба круглой, свободно опертой пластины, изготовленной из титанового сплава, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию. В зарубежной литературе данный эффект встречается под названием "эффект ББ" ^гепдЙьсП Д'егеп1,). Р1сследуются случаи упруго-пластического состояния до потери устойчивости при образовании пластического шарнира в центре пластины. В предлагаемой работе на примере этой задачи исследованы те возможности, которые открывает использование текстурованных анизотропных металлов, работающих в упруго-пластическом режиме в условиях сложного напряженного состояния. Выбор данной задачи обусловлен, с одной стороны, возможностью доведения решения до конкретных числовых результатов, с другой стороны, практической важностью этих результатов для обработки данных экспериментальных исследований, проводимых на круговых пластинах, подвергающихся действию равномерного поперечного давления. В качестве отправной точки было использовано решение В.В. Соколовского для изотропной пластины, изложенное в [63]. Следует отметить, что это решение является приближенным и содержит ряд допущений, а именно: на границе между упругой и пластическими областями в пластине сохраняется непрерывность деформаций и интенсивности касательных напряжений, но не выполнено условие непрерывности интенсивности деформаций сдвига и самих напряжений. Поэтому первая глава данной работы посвящена детальному исследованию решения [63] в случае изотропного и трансверсально-изотропного материала.

Вторая глава работы непосредственно посвящена построению решения задачи упруго-пластического изгиба круглой, свободно опертой пластины из титанового сплава, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, обладающей свойствами трансверсальной анизотропии и эффектом БО. В качестве условия текучести используется критерий, предложенный О.Г. Рыбакиной в [59], который учитывает и анизотропию, и эффект ЗБ. Исследование задачи осложнено тем, что отсутствует симметрия в развитии пластических зон на верхней и нижней поверхности пластины [38]. Однако и в этом случае удается построить систему дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами, которая поддается численному интегрированию. При таком способе построения уравнений упруго-пластического изгиба удается решить задачу до конца, т.е. построить зависимость нагрузка - прогиб в центре пластины. Приведена принципиальная схема численного расчета на ПК.

В приложениях приведены результаты численных расчетов для восьми трансвер-сально-изотропных пластин и пятнадцати трансверсально-изотропных ББ пластин. В третьей главе проведено сравнение результатов, исследовано влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин, а также изучен вопрос взаимного влияния коэффициентов анизотропии и ЯБ на свойства трансверсально-изотропных ББ пластин. Все результаты представлены в виде таблиц и графиков. Проведено сравнение полученных результатов с решением поставленной задачи методом конечных элементов (МКЭ), реализованным в пакете А^Ув.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

• Построено решение упруго-пластической задачи изгиба круглой, трансверсально-изотропной ББ пластины.

• Исследовано влияние коэффициентов анизотропии и ЭБ на развитие пластических областей и прочностные свойства материала.

• Проведены численные расчеты для широкого диапазона значений параметров анизотропии и разносопротивляемости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• построено решение задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных ББ пластин.

• результаты расчетов по полученным уравнениям совпадают в частном случае А = 1,(3 — 0 с результатами расчетов В.В. Соколовского.

• результаты расчетов по полученным уравнениям совпадают в частном случае А > 1,(3 = 0 с результатами расчетов Г.В. Павилайнен.

• произведен численный расчет для различных параметров анизотропии и разносо-противляемости, соответствующих реальным титановым сплавам.

• исследовано влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изо-тропных пластин. В частности показано, что при росте параметра анизотропии А повышается предельная допустимая нагрузка образования пластического шарнира в пластине.

• изучен вопрос влияния коэффициента разносопротивляемости на свойства трансверсально-изотропных ББ пластин. Показано, что при увеличении ББ-параметра (3 предельная нагрузка снижается, а также выявлено существенное ускорение роста пластичности по поверхности пластины при одинаковых нагрузках.

• проведено исследование совместного влияния параметров А и (3. Установлено, что оно носит взаимно обратный характер.

• Показано, что существуют наборы значений коэффициентов анизотропии и некоторый диапазон нагрузок, при которых влиянием эффекта ББ можно пренебречь. Однако, если нагрузка превысит данный диапазон, в пластине практически сразу образуется пластический шарнир.

Заключение

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М. 1967, 268 с.

2. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. JL, Машиностроение, 1980, 248 с.

3. Бахвалов H.G. Численные методы. М.1973, 631 с.

4. Бачурихина Т.В., Павилайнен Г. В. Сравнительный анализ несущей способности пластически анизотропных пластин. Тезисы докладов. «Третьи Поляховские чтения», 4-6 февраля 2003 г. СПбГУ.

5. Безухое Н.И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач М., Высшая школа, 1974, 198 с.

6. Бэкофен В. Процессы деформации. М., Металлургия, 1977, 288 с.

7. Васин P.A., Круглое A.A., Сафиуллин Р.В. Об идентификации определяющих соотношений по результатам технологических экспериментов.// Изв. РАН. Механика тверд, тела., 2003, №2.

8. Васин P.A. Определяющие соотношения теории пластичности.// Итоги науки и техники, сер. МДТТ, М: ВИНИТИ, 1990, т. 21, с. 3-75.

9. Ву Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. В кн. Механика композиционных материалов. М., Мир, 1978, 2., с. 401-149.

10. Греков М.А. Пластичность анизотропного тела. Доклады АН СССР., 1984, т. 278, №5, с. 1082-1085.

11. Донелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982, 567 с.

12. Жуков A.M. Прочность и пластичность сплава Д16Т при сложном напряженном состоянии. Ж. Изв. АН СССР, Отделение техн. наук, 1954, №6, с. 61-70.

13. Жуков A.M. Механические свойства сплава МА-2 при двухосном растяжении. Ж. Изв. АН СССР, Отделение техн. наук, 1957, №9, с. 66-65.

14. Золоченский A.A. Об учете разносопротивляемости в теории ползучести изотропных и анизотропных материалов. Журнал прикладной механики и технической физики, Новосибирск, Наука, 1982, №4, с. 140-143.

15. Ивлев Д.Д. Идеи и результаты А.Ю. Ишлинского в теории пластичности.// Изв. РАН. Механика тверд, тела. 2003. 4. С. 167-174

16. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М., Наука, 1966, 231 с.

17. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О свойствах течений изотропной среды.//Изв. ДАН РАН, 2000, T 375, №2, с. 191-194.

18. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О течениях изотропных сред.//Изв. РАН, МТТ, 2000, №5, с. 5-12.

19. Изотов И.Н., Ягн Ю.И. Изучение пластического деформирования металла с деформационной анизотропией, созданной в процессе предварительного нагружения. Ж. Доклады АН СССР, 1961, т. 139, №3, с. 576-579.

20. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.,1971, 245 с.

21. Илъюгшт A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М., изд-во АН СССР, 1963, 271 с.

22. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001, 704 с.

23. Кадашевич И.Ю., Кадашевич Ю.И. Теория пластичности с перекрестными связями.// Изв. РАН. Механика тверд, тела., 2003, №5., с. 91-101.

24. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности.//Инж. Ж. Механика тверд, тела, 1968, №3, с. 82-91. „

25. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая наследственные свойства и влияние скорости пластического деформирования на локальный предел текучести материала. Ж. Механика деформируемых сред, 1977, №2, с. 3-32.

26. Качапов Л.М. Механика пластических сред. М., Гостехиздат, 1948, 216 с.

27. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Высшая школа, 1958. С. 318.

28. Ковалъчук Б.И., Кульчицкий Н.М., Лебедев A.A. Пластичность и прочность предварительно деформировнаной хромистой стали при двухосном растяжении в условиях низких температур. Ж. Проблемы прочности, 1978, №10, с. 23-26.

29. Косарчук В.В., Ковалъчук В.И., Лебедев A.A. Экспериментальное исследование законов упрочнения начально анизотропных материалов. Ж. Проблемы прочности, 1982, №9, с. 3-9.

30. Лебедев A.A. Методы механических испытаний материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, Наукова думка, 1976, 148 с.

31. Лебедев A.A., Ковалъчук Б.И., Гигиняк Ф.Ф., Ламашевский В.П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии. Справочник. Киев, Наукова думка, 1983, 367 с.

32. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М., Гостехиздат, 1957, 463 с.

33. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., Наука, 1977, 415 с.

34. Мансуров P.M. В кн.: Упругость и неупругость. М., изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 163-171.

35. Матвеева Е.В. Павилайнен Г.В. Учет эффекта разносопротивляемости материала при изгибе пластин. Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000., С. 294-304.

36. Механ. Влияние сложно-напряженного состояния на текучесть и характер разрушения цирколоя-2. Ж. Техническая механика, 1961, №4, с. 25-40.

37. Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состояниии. В сб. Теория пластичности. М., Мир, 1948.

38. Микляев П.Г., Фридман Л.Б. Анизотрония механических свойств материалов. М., Металлургия, 1969, 270 с.

39. Михайловский Е.И., Новожилов В.В.! Черных К.Ф. Линейная теория тонких оболочек. Л. 1991, 656 с.

40. Новожилов В.В. Основы теории упругости, Л.: Судостроение, 1948.

41. Новожилов В. В. О принципах обработки статических испытаний изотропных материалов.//Ж. Прикл. Матем. и Мех., 1951, т. XV, вып. 6.

42. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения используемых в теории пластичности.//Ж. Прикл. Матем. и Мех., 1952, т.ХУ1, вып. 5.

43. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962, 431 с.

44. Новожилов В.В. Теория упругости., Л.: Судпромгиз, 1958, 372 с.

45. Новожилов В.В., Черных К.Ф. В кн.: Современные проблемы механики и авиации. М., Машиностроение, 1982, с. 215-221.

46. Оохаси И, Мураками С. Большие упрого-пластические прогибы круговой пластинки.// Ж. Механика твердого тела, 1966, т. I, вып 4.

47. Павилайнен Г.В. Задача изгиба пластины с учетом разносопротивляемости.// Ж. Вестн. С-Петерб. ун-та, 2003,. №2

48. Павилайнен Г.В. Задача упруго-пластического изгиба круглой трансверсально-изотропной пластинки. В. сб. Актуальные проблемы механики оболочек. Казань, КАИ, 1983, с. 141-142.

49. Павилайнен Г.В. Упругопластический изгиб круглой трансверсально-изотропной пластинки.// Вестн. Ленингр. ун-та. 1983, № 13, С. 70-75.

50. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. Упругопластический изгиб круглых пластин с учетом разносопротивляемости и трансверсальной изотропии// Пятые Окуневские чтения: Тезисы докладов международной конференции, Балт. гос. техн. ун-т., СПб., 2006, С. 162 164.

51. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. О погрешностям при численном расчете устойчивости упругопластического состояния пластин из анизотропных материалов// Нелинейный динамический анализ 2007: Тезисы докладов международного конгресса, СПб., 2007, С. 160.

52. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. О погрешностях численного решения задачи упругопластического решения круглых пластин// Шестые Окуневские чтения: Тезисы докладов международной конференции, СПб., 2008, Т. 2 С. 17.

53. Павилайнен Г.В., Юшин Р.Ю. Уточнение предела текучести для материала, обладающего эффектом SD// Пятые Поляховские чтения: Тезисы докладов международной конференции по механике, СПб., 2009, С. 185.

54. Писаренко P.C., Лебедев A.A. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии,- Киев: Наукова думка,1976.- 416с

55. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979, 743 с.

56. Рыбакина О. Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом SD. Исследования по упругости и пластичности.//Вестн. Ленингр. унта., 1982, №14 С. 132-142.

57. Соколовский В.В. Пластический изгиб круговой пластинки. Инженерный журнал, 1963, т. 3, вып. 3, с. 563-567.

58. Соколовский В.В. Упруго-пластический изгиб круговой и кольцевой пластинок. Ж. ПММ, т. VIII, вып. 2, 1944, с. 141-166.

59. Соколовский В. В. Уравнения пластического равновесия при плоском напряженном состоянии. Ж. TIMM, т. IX, вып. 1, 1945, с. 71-84.

60. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969, 607 с.

61. Тезисы докладов НТК: XL Крыловские чтения, СПб, ЦНИИ им. акад А.Н. Крылова, 2001.

62. Тимошенко С.П., Войновский-Кригср С. Пластинки и оболочки, М., Наука, 1966, 635 с.

63. Томилов Ф.Х. Алименко И.А. Анизотропия пластичности листовых материалов. Воронеж, Воронежский политехи, иститут, 1983, 7с., рукопись депонирована в ВИНИТИ 16 ноября 1983 г., №6148-83.

64. Филиппов C.B. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб, 1999, 196 с.

65. Фридман Я.В., Зилова Т.К., Шахтер В.А., Шаповалов В.А., Новосельцева Н.И. Поведение листовых металлов при двухосном растяжении. В сб. Исследование сплавов цветных металлов. М., изд. АН СССР, 1963, вып IV, с. 185-203.

66. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М., Гос. изд-во технико-технической литаратуры, 1956, 407 с.

67. Ши Дж, Ли Д. — Теоретич. основы инж. расчетов, 1978, т. 100, №3, с.76-85

68. Юшин Р.Ю. Упруго-пластический изгиб трансверсально-изотропных пластин. //Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды"под ред. Смирнова А.Л., Жигалко. Е.Ф., Изд. СПбГУ, 2007, С. 55-75.

69. Юшин Р.Ю. О Возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 134-140.

70. Backofen W.A., Hosford W.F., Burke J.J. Texture Hardening, Trans. ASME, 1962, vol. 55, p. 264-267.

71. Dafalias Y.F. Anisotropic hardening of initially ortotropic matherials. Z. angew. Math, und Mech., 1979, 59, №9, s.437-446.

72. Drucker D.C., Stockton F.D. Instrumentation and fundamental experiments in plasticity. J. Proc. of the Soc. for Experim. Stress Analisys, 1953, v.10, №2.

73. Hill R. Theoretical plasticity of textured aggregates. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1979, v. 85, №1, p. 179-191.

74. Larcon F.R. Anisotropy of Titanium Sheet in Uniaxial Tension. Trans. ASME, 1964, v.57, p. 620-631.

75. Lee D., Backofen W.A. An experimental determination of the yield focus for titanium and titanium-alloy sheet. Trans. ASME, 1966, v. 236.

76. Ohashi Y., Murakami S. On the elasto-plastic bending of a clamped circular plate under a partial uniform load. Bulletin of ISME, 1964, v. 7, №27.

77. Okubo H. Bending of a thin circular plate of an anisotrpoic material under uniform lateral load (supported edge). J. Appl. Phys., 1949, v. 20, №12.

78. Rees D. W.A. On isotropic and anysotropic in the theory of plasticity. Proc. Roy. Soc. London, 1982, A 183, №1785, p. 333-357.

79. Roberts W.T. Preffered orientation and anisotropy in titanium. Journal of the Less-Common Metals, 1962, v. 4, p. 345-361.