Изгиб пластин из прокатного пластически ортотропного материала

Колотилин, Алексей Николаевич

Изгиб пластин из прокатного пластически ортотропного материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Колотилин, Алексей Николаевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тула МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Изгиб пластин из прокатного пластически ортотропного материала»

Автореферат диссертации на тему "Изгиб пластин из прокатного пластически ортотропного материала"

На правах рукописи

Колотилин Алексей Николаевич

ИЗГИБ ПЛАСТИН ИЗ ПРОКАТНОГО ПЛАСТИЧЕСКИ ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре «Строительство, строительные материалы и конструкции» в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тульский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Матченко Николай Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

кандидат технических наук Ковалев Дмитрий Геннадиевич

Ведущая организация:

ФГУП ГНПП «Сплав»

Зашита состоится 16 декабря 2005 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д.212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (300000, г. Тула, проспект им. Ленина, 92, ауд. 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Автореферат разослан « fV» ноября 2005 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

Л.А. Толоконников

2ооМ 22£1$69 ттщ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В машиностроении, промышленном строительстве и других областях современной техники широко используются тонкостенные металлические конструкции в виде пластин. Исследование работы таких конструкций с учетом пластических свойств материала представляет практическую ценность для инженерного проектирования. Нагрузка, соответствующая появлению текучести, поведение конструкции при пластических деформациях, предельное состояние позволяют оценить имеющиеся запасы прочности конструкции, а также выявить ее слабые места.

В зависимости от природы материала можно сформулировать либо критерий текучести, выделяющий напряженные состояния, характеризующие начало пластического течения, либо критерий разрушения, который характеризует наступление хрупкого разрушения. Предел текучести при простейших напряженных состояниях, таких как растяжение, сжатие, сдвиг, для различных конструкционных материалов может быть получен путем непосредственного эксперимента. В случае сложного напряженного состояния, ярким примером которого является изгиб, непосредственное экспериментальное определение условий наступления текучести для различных напряженных состояний связано с большими трудностями.

Как правило, листовые прокатные металлы, используемые в качестве материала пластин, в упругой стадии не проявляют анизотропии механических характеристик. Однако при переходе этих материалов в пластическую стадию начинает проявляться анизотропия, что обусловлено маркой материала и технологическими режимами его получения. Анизотропия проката является следствием образования текстуры, предпочтительной ориентировки кристаллографических осей в зернах обрабатываемого материала, характера распределения и ориентировки фаз дефектов металла и остаточных напряжений, возникающих вследствие неоднородности пластической деформации при прокате, в результате чего свойства, в том числе и механические, вдоль и поперек направления прокатки могут резко различаться.

Для изготовления элементов пластинчатых конструкций широко используются листовые прокатные металлы. Поэтому проблема установления критерия пластичности и применение этого условия в прикладных исследованиях изгиба пластически анизотропных пластин при различных граничных условиях и для различных случаев нагружения является на данный момент актуальной.

Цель работы. Опираясь на результаты экспериментов над листовыми прокатными металлами сформулировать условие пластичности. Апробировать предложенное условие при решении задач упруго-пластического изгиба тонких пластин.

Для достижения поставленной цели, решены следующие основные задачи:

1. Проведено экспериментальное исследование закона пластического течения листовых прокатных материалов.

2. Найдены экспериментальные константы, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов.

3. Для материала изотропного в упругой стадии принято условие пластичности, отражающее анизотропию пластических свойств.

4. Использован метод конечных разностей совместно с методом упругих решений для получения основных соотношений упруго-пластического равновесия пластин из прокатного пластически ортотропного материала при изг н А ц паиАльиля

БИБЛИОТЕКА ,

¿"■фЫгу1

1 1 ' I А

5. Продемонстрирована возможность использования полученных уравнений для решения задач упруго-пластического изгиба пластин на примере листовых прокатных металлов.

6. Проведен анализ полученных решений в сравнении с результатами теории упруго-пластического изгиба пластин изотропных в упругом и пластическом состоянии, предложенной Стрельбицкой А.И., Колгадиным В.А.

Научную новизну работы составляют:

1. Многовариантное условие пластичности для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической, позволяющее охватить различные критерии текучести, в том числе и условие пластичности Мизеса.

2. Применение метода конечных разностей совместно с методом упругих решений для принятой модели пластически ортотропного материала.

3. Определяющие соотношения, описывающие упруго-пластическое состояние пластически ортотропного материала.

4. Результаты расчетов пластин за пределом упругости, количественные и качественные составляющие этих расчетов.

5. Сравнительный анализ полученных результатов с теорией упруго-пластического изгиба изотропных пластин А.И. Стрельбицкой, В. А. Колгадина. Достоверность основных научных положений и выводов обеспечивается корректным использованием фундаментальных представлений механики деформируемого твердого тела, математических методов исследований, непротиворечивостью результатов данной работы с результатами других авторов, соответствием результатов теоретических расчетов с опытными данными.

Научная ценность диссертационной работы состоит в рассмотрении упруго-пластического изгиба пластин из широкого класса листовых прокатных металлов. Осуществлена своего рода попытка развить теорию изгиба пластин на случай использования прокатных пластически ортотропных материалов. Дальнейшее накопление определенного запаса знаний в этой области позволит говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов, и даст возможность прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, материалов.

Практическая ценность работы заключается в том, что ее результаты нашли применение в задачах упругопластического изгиба пластин при проектировании современной техники. Имеется положительный практический опыт использования предложенных новых подходов для выполнения квалификационных работ магистрантов.

Представленные в диссертации исследования проводились в соответствии с планами научно-исследовательских работ Тульского государственного университета, при поддержке фантов и конкурсов: Грант РФФИ № 00-01-00565 «Вопросы теории формоизменения мембран из анизотропного материала в условиях ползуче-пластического течения» (1999-2002); Грант РФФИ № 04-01-00378 «Теория формоизменения мембран и тонколистовых заготовок из анизотропного трудно деформируемого материала в условиях кратковременной ползучести» (2004-2006); Грант Президента РФ на поддержку молодых российских ученых и ведущих научных школ на выполнение научных исследований «Механика формоизменения ортотропных и изотропных упрочняющихся материалов при различных температурах и скоростях деформации», научно-исследовательской рабо-

те по единому заказ наряду Минобразования РФ, № 1.13.03 «Разработка теории процессов формообразования изделий из анизотропных листовых материалов при различных температурно-скоростных режимах обработки (кратковременной ползучести и холодного пластического деформирования)» (2003-2005).

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на II Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2001);

• на III Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2002);

• на IV Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2003);

• на Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2003);

• на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2003);

• на V Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2004);

• на семинаре по МДТТ имени JI.A. Толоконникова (Тула, 2002, 2004).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах, в том

числе 7 статей и 6 тезисов докладов. В автореферате приведены 13 основных публикаций.

Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации результаты получены либо самим автором, либо в рамках сотрудничества, в котором он играл основную роль в формулировке задачи, в постановке и проведении численных и экспериментальных исследований, а также в теоретическом анализе и трактовке полученных результатов. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежит как постановка задач исследований и разработка основных положений, определяющих научную новизну и практическую значимость, так и результаты выполненных исследований. Существен вклад автора в разработку методик по планированию и проведению испытаний. Определяющая роль автора заключается в непосредственном участии в выполнении всех этапов по теоретическому и экспериментальному обоснованию непротиворечивости полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы, включающего 143 наименования, и 6-ти приложений. Работа содержит 56 рисунков, 21 таблицу. Общий объем диссертации ¿00 страниц .

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе «Обзор работ по изгибу пластин за пределом упругости» рассматриваются основные направления, связанные с аналитическим и экспериментальным исследованием вопросов равновесия пластин при изгибе поперечной нагрузкой в пластической области и определению их несущей способности.

Во втором разделе «Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала» проведено экспериментальное исследование закона пластического течения прокатных материалов и рассмотрена анизотропия их пластических свойств. Установлено, что анизотропия обычно возрастает с увеличением деформации до определенного предела, а после практически не изменяется.

Автором были проведены экспериментальные исследования пластического течения образцов, вырезанных из прокатных листовых металлов. В эксперименте одновременно измерялись продольная, поперечная деформации и деформация по толщине. Испытаниям были подвергнуты образцы из алюминиевого сплава АДО, меди М1, латуни Л63, титанового сплава ВТ1, сталей 08Х18Н10Т и 08кп с различной исходной толщиной s0, широко используемых в различных отраслях промышленности.

Для определения продольной, поперечной деформаций и деформации по толщине вырезались продольные образцы в соответствии с ГОСТ 1497-84 или ГОСТ 11701-84 в зависимости от исходной толщины материала в пределах одного листа под углами а = 0°. 45°, 90° по отношению к направлению прокатки по шесть штук каждого вида. Растяжение образцов осуществлялось на универсальных испытательных машинах Р-5 и УМЭ-ЮТМ.

Нагружение производилось по этапам. На каждом этапе деформирования фиксировалось усилие, изменение ширины и толщины образца в области нанесенных ячеек, а также изменение продольных размеров ячеек.

Одновременно определялись следующие механические характеристики материала образцов, вырезанных под различными углами к направлению прокатки: сг0 2 - условный предел текучести; crs - временное сопротивление; 8 - относительное удлинение после разрыва; 5р - относительное максимальное сужение; ц/ - равномерное относительное удлинение; ц/р - равномерное относительное поперечное сужение. Эти величины вычислялись в соответствии с ГОСТ 1497-84 или ГОСТ 11701-84.

Также определялась величина показателя пластической анизотропии Q, используемая для вычисления константы анизотропии Л12:

Q=sb/sa, (1)

причем:

еа=Ща!%), еь = ЩЬ/b^), eh=ln(h/h0), где а0, fiQ и а, Ъ, h - соответственно исходная и текущая на каждом этапе растяжения длина, ширина и толщина ячейки образца в пределах равномерной деформации.

В ходе проведенных экспериментов было выявлено следующее:

- в упругой стадии прокатные листовые металлы обладают изотропией, поскольку механические характеристики в разных направлениях имеют практически одинаковые значения;

- при наступлении пластических деформаций проявляется анизотропия, так как механические характеристики в разных направлениях различны.

Оценка резко выделяющихся опытных данных проводилась по методике, предложенной МЛ. Бровманом и В.Х. Рименом.

При проведении механических испытаний был получен ряд значений измеряемой величины, например s¡, b £ь,2> •••> £Ь,п ■ При этом среднее арифметическое

1 "

и = - IX" (2)

" ы

где п - число экспериментов.

Вопрос о том, при каких условиях резко выделяющееся значение необходимо исключать и в каких случаях его необходимо учитывать, был решен следующим образом: определялась величина

S=J -¿(ъ-*)2

V " i=i

и составлялась безразмерная дробь «типа Стьюдента»

У _ g6max ~т

(3)

(4)

Затем в зависимости от числа замеров п и вероятности р находился квантиль распределения Vq. Если V>V0, то величина £Лтах отбрасывалась как замер, содержащий грубую ошибку. Методика расчета аналогична, если рассматривается минимальное значение ¿¿min, только в том случае

у _ т ~ £Ьтт

S W

В третьем разделе «Основные уравнения упруго-пластического изгиба пластин из пластически ортотропного материала» производится постановка задачи о равновесии прямоугольной пластины толщиной h из прокатного пластически ортотропного материала, находящейся под действием поперечной нагрузки, распределенной с интенсивностью q по ее верхней поверхности (рис. 1). При этом пластины рассматриваются достаточно тонкими, такими, чтобы применение гипотез Кирхгофа - Лява не вызывало возражений. Реализуемое в пластинах напряженное состояние считается плоским. Объемные силы (собственный вес и др.) не рассматриваются.

Рис. 1

Для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической стадии, вводится условие пластичности в виде квадратичной функции компонент тензора напряжения (6), причем входящие в него константы анизотропии позволяют осуществить переход к различным модификациям предельного условия ортотропной среды и тем самым не ограничиваться каким-то узким классом материалов, описываемым в рамках какой-либо модификации. В частности, переход к условию пластичности Мизеса позволяет провести сравнительный анализ предлагаемой теории с теорией упруго-пластического изгиба пластин А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина.

А 1ах + А22ау + Аъг + 2(Аг + Az°x°z + +

+ 2(^44 C2XZ + Л55<4 + Аб^ху) =1»

Входящие в условие пластичности (6) константы анизотропии А определяются напрямую из экспериментов над листовыми прокатными металлами. Это позволяет точнее описать изгиб пластин из листовых прокатных металлов за пределом упругости.

Для плоского напряженного состояния условие пластичности принимает вид

+ а22<Г2> + 242 + 2А(*р1У =1. (?)

где Ап=\1<т2а, Агг=\¡агт,

л _ А\Оа + АпОх> А - 2 А\ + Агг+2Аг Аг~-^-> пбб-—5---о-•

2 <^45 2

Здесь сг^о, стУ9о и 0^45 - пределы текучести при одноосном растяжении образца, вырезанного соответственно в направлении прокатки (а = 0°), поперек (а = 90°) и под углом к направлению прокатки (а = 45°); О), ..., - коэффициенты анизотропии, вычисляемые по формуле (1).

Если принять, что характеристики пластичности связаны зависимостями

аз0 =сгт = сг*45 =СТт и О,=йю = -0,5, то из условия пластичности (7), как частный случай, можно получить условие пластичности Мизеса для плоского напряженного состояния, т. е.

ах +ау ~ ахау + ^>а\у - ат' (8)

Для того чтобы иметь возможность не только получить новые данные, но и утверждать об их непротиворечивости по сравнению с результатами других авторов, введем допущение, которое позволит провести сравнительный анализ предлагаемой теории с теорией упруго-пластического изгиба пластин А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина, где используется условие пластичности Мизеса для материала, изотропного в упругой и пластической стадиях работы. Будем считать, что величина сопротивления материала пластическому деформированию при сдвиге в плоскости пластины не изменяется. Таким образом, происходит упрочнение материала пластины вдоль оси х (в направлении прокатки) и вдоль оси у (поперек прокатки).

На основании выше сказанного, условие пластичности (7) будет иметь следующий

вид

4\+ а22^ + 2Акг<Ух^у + 3 к2, (9)

где 41=Мь а ГЦ.

2А66 2А66 2А66 V 2А66

Произведем апробацию предложенного условия пластичности (9) на решение прикладных задач упруго-пластического деформирования тонких пластин Кирхгофа.

При решении поставленной задачи предполагается, что диаграммы материалов обладают ярко выраженной площадкой текучести, такой чтобы применение концепции идеально упруго-пластического тела к рассмотренному материалу не вызывало возражений. Используются обычные положения технической теории изгиба пластин: гипотеза плоских сечений и гипотеза плоского напряженного состояния.

Рассматривается две стадии работы пластин: стадия упругих деформаций и упруго-пластическая стадия.

Для вывода разрешающего дифференциального уравнения в упругой стадии воспользуемся уравнениями равновесия:

-+--& = 0;

дх ду

геометрическими соотношениями:

° Г — -

д2н>

д2м>

ох

у ди2

д2\у . дхду'

(10)

(И)

физическими зависимостями:

Мг

-О

д ч>

—Т + М—о дх2 ду2

(

дх

Му = -Б

ЛИ

'д2м> ду

дх2

Я = -Я( 1-м)

д2м> , дхду'

—Т+Iй—Т дх2 ду2

3 те

(12)

где О =

ЕИ>

12(1-V)

Рассматривая выражения (10) - (12) совместно получим известное уравнение

-4 ду1*

д4\ч д*м> Э4и< _ д

дх*

(13)

С увеличением нагрузки и достижением напряженного состояния величины, соответствующей образованию пластичности в каких-либо волокнах, в рассматриваемой точке начинает реализовываться упруго-пластическая стадия работы. Решение задач изгиба прямоугольных пластин в упруго-пластической области проводится на основе деформационной теории пластичности с использованием метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей.

Уравнение прогибов в конечных разностях для узла /, при квадратной сетке с шагом Л в безразмерной форме принимает вид

20м?, +й>1 +ч>т +ч>п) + 2(й>0 +й>р + + =

(14)

где м>1 = — к

к - — — - - — = -¡- + 2(МХ1+Му1)//, - Мхкт]к - Мх,т], - МупЛт - Мупг]п +

+1/2(Я07с - Нрт}р - Нчщ +

- Щ ¡т ■ , <}Л4

... , м>„ = — - прогибы узлов г,..., V; к = -!--выражение, связанное с

А Б

д,Я

видом нагрузки; А, = —--выражение, связанное с нагрузкой в данном узле /;

- <г

У'

_ нг

—~ > Яг = —--— изгибающие и крутящий моменты.

Выразим изгибающие и крутящий моменты через безразмерные прогибы:

мх, = + - Wjfc - W, - iu(wm + w„);

My, = 2(1 + //)w, - wm - wn - ß(wk + w,) ; (15)

В формулы (14) и (15) подставляем прогибы для внутриконтурных и законтурных узлов в зависимости от граничных условий пластины.

Определим нагрузки текучести для всех узлов пластины с заданными граничными условиями и схемой нагружения, используя условие пластичности (9).

Зависимости между упругими напряжениями и деформациями:

MJT4

a*=w'' a*y=w' (15)

где W = —--момент сопротивления на единицу длины; £ = — - безразмерная коор-

6 h дината границы упругого полуядра.

Подставляя выражения (15) в условие пластичности (9), находим зависимость между моментами

е[4хШГ)2 + 42(Mfn)2 +242МУ"М>Г+3(Я>Л)2] = k2w2. (16)

Отсюда, можно определить расстояние с границы упругого полуядра от срединной поверхности пластины в рассматриваемом узле

i-T-T-^- <17>

h h аФ

где Ф = (А{]М2 + А^Му + 2А[2МхМу + ЗН2у; а = дЯ2 - параметр, зависящий от характера нагрузки.

Для получения нагрузки, соответствующей появлению текучести в данном узле, в уравнении (17) нужно положить с = А/2; ^ = 1 и тогда

Я1Ф

Наличие нагрузок текучести для всех узлов пластины с заданными граничными условиями и схемой нагружения позволяет определить границы пластических зон на поверхности и по толщине пластины и построить поверхность фибровой текучести.

В четвертом разделе «Упруго-пластическое состояние пластин из пластически ор-тотропного материала» представлены алгоритм решения и результаты расчета квадратных пластин из прокатных пластически ортотропных материалов, используя следующие предпосылки:

- сохраняются обычные положения технической теории изгиба пластин;

- диаграмма напряжений - деформаций материала считается идеальной упруго-пластической;

- условие текучести принимается вида (9);

- коэффициент поперечной деформации имеет постоянное значение, равное 0,5 (несжимаемый материал).

В данной работе были рассчитаны квадратные шарнирно опертые (рис. 2а) и жестко закрепленные пластины (рис. 26) на примере листовых прокатных металлов (алюминиевого сплава АДО толщиной 2,8 мм и 4,7 мм, латуни Л63 толщиной 3,0 мм, меди М1 толщиной 3,0 мм и 4,0 мм, стали 08Х18Н10Т толщиной 1,0 мм, стали 08кп толщиной 0,8 мм и титанового сплава ВТ1 толщиной 1,0 мм) при действии равномерно распределенной нагрузки. Поверхность пластины покрывалась квадратной сеткой с шагом Л, равным а/8 (а - сторона пластины).

а)

1Х_ 1

W/Z'o 17//! VI Г о VU Vfо VI f/'o V IV

m и

---/.

X' XV xivxiiv

i ООО

V XI XII XII!

л- XV XIV Ш'

о о о !

XI ли хш

1 Гч " • X X --- Р 22 29 36 37 43 44

16 23 30

3 к 17 ,24 31 38 45

■ .....( .4 _t 5 12 19 25 26 32 39 46

33 40 ¡47

6 П 20 27 34 41 U«

7 Ы 21 28 35 42 {\49

! i

Рис.2

Приведем алгоритм решения поставленных задач по этапам: 1. Нулевое приближение:

1.1. Расчет пластины в пределах упругости. Ввиду симметрии системы и нагрузки достаточно рассмотреть восьмую часть пластины (узлы 1, 8, 9, 15, 16, 17, 22, 23, 24, 25, X, XI, XII, XIII).

1.1.1. Правую часть формулы (14) принимаем равной единице и определяем прогибы в десяти внутриконтурных узлах.

1.1.2. Из выражений (15) находим изгибающие и крутящий моменты в узлах.

1.2. Расчет пластины за пределом упругости. Вследствие пластической анизотропии листовых прокатных металлов на этом этапе расчета необходимо рассмотреть четвертую часть пластины. Таким образом, к уже рассмотренным узлам добавятся еще узлы: 2, 3, 4, 10,11,18.

1.2.1. Определяем величину нагрузки при появлении текучести в рассматриваемых узлах, для чего используем условие пластичности (9). Наименьшая из величин будет нагрузкой, впервые вызвавшей фибровую текучесть в пластине.

1.2.2. Находим границу £ упругого ядра по полутолщине пластины при заданной нагрузке , превышающей нагрузку текучести.

1.2.3. Устанавливаем пластические коэффициенты г], связанные с развитием текучести и видом диаграммы напряжений - деформаций материала (распределением упруго-пластических напряжений по толщине пластины).

1.2.4. Вычисляем правые части уравнений равновесия (14).

2. Первое и последующие приближения:

2.1. Расчет ведется как при нулевом приближении, за исключением того факта, что при определении прогибов и далее рассматривается четвертая часть пластины.

2.2. Количество последовательных приближений, зависящее от заданной точности расчета, устанавливаем из условия, чтобы разность между значениями прогибов двух соседних приближений не превышала 1 %.

2.3. Окончательные величины прогибов и моментов находим путем умножения полученных в последнем приближении величин на заданную нагрузку у3.

Для того чтобы иметь возможность корректной оценки полученных результатов, проведено их сравнение с теорией, предложенной А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадиным < на случай изотропного материала, как в упругой стадии, так и за пределом упругости.

В качестве примера реализации данного подхода остановимся на двух характерных листовых прокатных металлах (алюминиевом сплаве АДО толщиной =4,7 мм и титановом сплаве ВТ1 толщиной = 1,0 мм).

Для шарнирно опертой пластины в качестве расчетных приняты четыре нагрузки, превышающие нагрузку фибровой текучести примерно в 1,8-^2,2 раза. При этих нагрузках были получены величины прогибов и моментов. Причем с увеличением нагрузки количество приближений также увеличивалось.

Расчетными нагрузками для жестко заделанной пластины выбраны четыре нагрузки, превышающие нагрузку фибровой текучести примерно в 2,0+2,8 раза, при которых были получены величины прогибов и моментов. Для достижения заданного процента понадобилось несколько больше приближений, чем при расчетах шарнирно опертой пластины.

Кроме этого определялась предельная нагрузка, соответствующая образованию пластического шарнира, как для случая пластически изотопного, так и пластически орто-тропного материалов.

Полученные величины прогибов для рассматриваемых узлов пластин из прокатных металлов с густотой сетки 8x8 при нескольких значениях нагрузок, включающих нагрузку при появлении текучести и превышающие ее нагрузки, в том числе предельную нагрузку, позволяют построить кривые «нагрузка - прогиб» (рис. 3 и 4) для центрального узла (узел 25), причем кривые / соответствуют шарнирному опиранию пластин, а кривые 2 - жесткому закреплению.

Сравнивая величины прогибов и моментов в двух вариантах расчета: при пластически изотропном (теория, предложенная Стрельбицкой А.И., Колгадиным В.А.) и пластически ортотропном материале (предлагаемая теория) можно сделать следующий вывод:

а) для алюминиевого сплава АДО разница в величинах прогибов и моментов практически не ощутима, поэтому нет необходимости учитывать пластическую анизотропию * материала пластины, и можно рассматривать материал как пластически изотропный, используя условие пластичности (8);

б) для титанового сплава ВТ1 имеем значительное расхождение нагрузок и расчетных геометрических параметров пластины, что свидетельствует о необходимости учета пластической анизотропии материала пластины, используя условие пластичности (9).

На рис. 5-8 нанесены зоны текучести на поверхности и по толщине пластин в сечениях по оси симметрии У-25, линии опирания 1Х-ХШ, диагонали 1Х-25, узлам VII 1-22, УП-23, ¥¡-24, как в случае шарнирно опертой пластины (рис. 5 и 7), так и для жестко закрепленной пластины (рис. 6 и 8). Области, занятые пластичностью заштрихованы.

пластически ортшропный материал пластически изотропный материал

Рис. 3

— пластически ортотролный материал

— — пластически изотропный материал

Рис.4

Проведенное исследование позволяет судить о влиянии граничных условий на упруго-пластическую работу рассмотренных пластин.

Вид закрепления пластины определяет место появления текучести:

• в случае шарнирного опирания - в центре пластины;

• в случае жесткой заделки - на контуре посередине защемленных сторон, и картину развития зон текучести на поверхности и по толщине пластины:

• при шарнирном опирании пластины пластичность распространяется по всей поверхности, оставляя в упругом состоянии небольшие полукруглые зоны посередине каждой из кромок пластины;

• при жесткой заделке пластины текучесть занимает пять областей: четыре около контура и пятую в центре пластины; упругий участок имеет вид пояса, охватывающего центральную область пластичности.

АЛЮМИНИЕВЫЙ СПЛАВ АДО в0 = 4,7 мм (шарнирное опирание)

<7, =4500

\У

X! XII XIII

VIII

пластически ортотропный материал пластически изотропный материал

IX X XI XII XIII

VI 3 10 17 24

\4\s\

VIII 1 8 15 22

V 4 11 18 25

VII 2 9 16 23

к-^гсчч] \чч\\

9 17

Рис.5

АЛЮМИНИЕВЫМ СПЛАВ АДО 80 = 4,7 мм (жесткая заделка)

<7, = 7500

IX X XI XII XIII

— пластически ортотропныи материал _ пластически изотропный материал

XII

XIII

10 17 24

VIII

\\\\\

16 23

—

——

ТИТАНОВЫЙ СПЛАВ ВТ1 %а = 1,0 мм (шарнирное опнрание)

пластически ортотролный материал пластически изотропный материал

IX X XI XII

XIII

VI 3

VIII 1 8 15 22

¿«К -

V 4 11 18 25

----- ччччч

VII

Ь -

К-тгчН

I _

Г"

ТИТАНОВЫЙ СПЛАВ ВТ1 в0 = 1,0 мм (жесткая заделка)

Чз =16500-2 а

— пластически ортотропный материал _ пластически изотропный материал

X XI XII XIII

К\\\\Ч

тейге

10 17

гож

ч »

VIII

15 22

11 18

ч - У

VII

16 23

к«. —— Т

Необходимо отметить, что вследствие малой анизотропии пластических свойств рассматриваемых материалов зоны текучести на поверхности и по толщине пластин в направлении прокатки (ось х) и поперек прокатки (ось у) мало отличаются друг от друга, особенно в случае шарнирного опирания пластин.

Рассмотренный подход указывает на необходимость учета пластической анизотропии листовых прокатных металлов, что способствует более точному описанию пластических свойств рассмотренного ряда материалов и в большинстве своем показывает иные, нежели классическая теория результаты.

В приложениях представлен обширный графический и табличный материал выполненных расчетов и практической применимости полученных в результатов.

Основные результаты и выводы:

1. В рамках данной диссертационной работы получены основные уравнения теории изгиба пластин из прокатных пластически ортотропных материалов.

2. Проведено экспериментальное исследование закона пластического течения листовых прокатных материалов. Из экспериментов определены константы, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов.

3. Принято многовариантное условие пластичности для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической, поскольку входящие в него константы анизотропии позволяют осуществить переход к различным модификациям предельного условия ортотропной среды тем самым, открывая для исследований широкий класс самых разнообразных ортотропных материалов.

4. На основании предложенного условия пластичности при совместном использовании метода упругих решений и метода конечных разностей проведено решение задач изгиба пластин из прокатных пластически ортотропных материалов. Это дало возможность в рассмотренных случаях довольно простым путем получить величины прогибов и силовых компонентов.

5. Рассчитаны квадратные шарнирно опертая и жестко закрепленная пластины под действием равномерно распределенной нагрузки при постоянном значении коэффициента поперечной деформации, равном 0,5 (несжимаемый материал).

6. Исследовано распространение пластических зон на поверхности и по толщине пластины:

• в случае шарнирного опирания пластины текучесть впервые появляется в центральном узле пластины и развивается вглубь и к краям. После превышения нагрузки текучести пластические зоны появляются у заделки в районе действия касательных напряжений. С увеличением нагрузки пластические области, распространяясь от центра и краев, сливаются. Упругими остаются области около точек пересечения осей симметрии с кромками пластины, где нормальные и касательные напряжения отсутствуют;

• в случае жестко закрепленной пластины текучесть впервые появляется в узлах на контуре, расположенных на осях симметрии, после чего зоны текучести развиваются вдоль кромок, а затем появляется текучесть в центре пластины. С повышением нагрузки области текучести, развиваясь от центра и краев, смыкаются на поверхности пластины. При этом зоны текучести у краев развиваются более интенсивно вглубь пластины, а пластическая область в центре - по ее поверхности, что связано с точками перегиба эпюры напряжений, расположенными ближе к заделке.

7. Проведён сравнительный анализ полученных результатов с теорией упруго-пластического изгиба пластин А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина, что дает воз' можность корректной оценки полученных результатов.

8. Рассмотренный подход указывает на то, что анизотропия листовых прокатных металлов оказывает существенное влияние на поведение пластин в пластической стадии: нагрузку при появлении текучести, предельную нагрузку, распространение

4 пластических зон, соотношение между величинами прогибов и моментов.

9. Данная работа не претендует на точное описание упруго-пластического изгиба пластин из любого листового прокатного металла. В дальнейшем следует разви-

* вать теорию изгиба пластин для подобных материалов, предлагать новые варианты условий пластичности, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, материалов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко Н.М., Матченко И.Н. Экспериментальная проверка законов пластического течения листовых анизотропных материалов // Мат. межд. школы-семинара. Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж: Изд. ВГУ. 2003. С. 100-109.

2. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко И.Н. О пластической анизотропии прокатного листового материала (сталь 08X18Н10Т толщиной 1 мм) // Известия ТулГУ. Серия «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений», Вып. 3. - Тула, ТулГУ, 2002. С. 97-105.

3. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко И.Н. Экспериментальная проверка гипотезы несжимаемости на примере прокатного листового материала (алюминиевого сплава АДО толщиной 2,8 мм) // Известия ТулГУ. Серия «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений», Вып. 3. - Тула, ТулГУ, 2002. С. 105-108.

4. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко И.Н. О пластической анизотропии прокатного листового материала (Латуни JI63 толщиной 1 мм) // Сб. науч. трудов. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1. - Тула: ТулГУ. 2002. С. 9-17.

} 5. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко И.Н. Экспериментальная проверка гипотезы несжимаемости на примере прокатного листового материала (титанового сплава ВТ1 толщиной 1 мм) // Сб. науч. трудов. Механика деформируе-

* мого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1. - Тула: ТулГУ. 2002. С. 20-39.

6. Демичев В.Н., Колотилин А.Н., Костиков И.Е., Матченко И.Н. Экспериментальная 1 проверка законов пластического течения листовых анизотропных материалов // Сборник материалов (доклады) III Международной научно-технической конферен-1 ции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд. ТулГУ, 2002. С. 15-19.

»23 9 74

7. Колотилин А.Н., Линдозерский Е.В., Ma-1" теория изгиба пластин - история и совр Международной научно-технической ко тельства и строительной индустрии». - Т)

8. Колотилин А.Н., Корнеев М.В., Лебед-Об одной форме представления уравнения териалов IV Международной научно-техн мы строительства и строительной индустр!

9. Колотилин А.Н., Маликов С.С., Матчен! представлении уравнений изгиба гибких странстве // Сборник материалов IV Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд. ТулГУ, 2003. С. 34-35.

10. Колотилин А.Н., Матченко О.Н. Построение самосогласованной теории тонких пластин // Известия ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения. Вып. 6. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 53-62.

И. Колотилин А.Н., Матченко О.Н. Представление самосогласованной теории тонких пластин в аффинном пространстве // Известия ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения. Вып. 6. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 62-68.

12. Матченко Н.М., Матченко И.Н., Кузнецов Е.Е., Исаева И.А., Колотилин А.Н., Костиков И.А. Гипотеза квазинесжимаемости в теории идеальной пластичности ортотроп-ного тела // Сборник материалов II Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд. ТулГУ, 2001. С. 61-62.

13. Матченко Н.М., Матченко И.Н., Кораблин И.М., Колотилин А.Н., Костиков И.Е. Изотропное изображающее пространство в теории идеальной пластичности орто-тропных сред // Сборник материалов II Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: Изд. ТулГУ, 2001. - С. 63-64.

РНБ Русский фонд

2006-4 27749

Изд. лиц ЛР № 020300 от 12.02.97 . Подписано в печать Формат бумаги 60x84'/|6. Бумага офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. 04 . Тираж 400 экз. Заказ Вд

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Колотилин, Алексей Николаевич

Введение

1. Обзор работ по изгибу пластин за пределом упругости.

2. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала.

2.1. Методика экспериментального определения характеристик пластической анизотропии в листовых прокатных металлах.

2.2. Отбраковка резко выделяющихся экспериментальных данных

3. Основные уравнения упруго-пластического изгиба пластин из пластически ортотропного материала.

3.1. Постановка задачи и принятые гипотезы.

3.2. Условие текучести для прокатного пластически ортотропного материала.

3.3. Упругий изгиб прямоугольных пластин.

3.4. Запись уравнений в конечных разностях.

3.5. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости.

4. Упруго-пластическое состояние пластин из пластически ортотропного материала.

4.1. Основные положения.

4.2. Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке.

4.3. Изгиб квадратной жестко закрепленной пластины при равномерно распределенной нагрузке.

4.4. Числовые результаты.

Введение диссертация по механике, на тему "Изгиб пластин из прокатного пластически ортотропного материала"

В машиностроении, промышленном строительстве и других областях современной техники широко используются тонкостенные металлические конструкции в виде пластин, обладающие рядом статических и технологических достоинств. Благодаря опиранию по всему контуру или по большей его части, пластины отличаются высокой несущей способностью, так как под действием нагрузки изгибаются в двух направлениях, и их сопротивление деформациям используется значительно эффективнее, чем в балках. В пластинах достигается совмещение несущих и ограждающих функций конструкций, что приводит к экономичным решениям.

Применение пластин в качестве конструктивных форм сопряжено с необходимостью их расчета на прочность с целью обоснованного выбора толщины и других параметров, от которых зависят величины напряжения и деформаций.

Для инженерного проектирования практическую ценность представляет исследование работы таких конструкций с учетом пластических свойств материала. Нагрузка, соответствующая появлению текучести, поведение конструкции при пластических деформациях, предельное состояние (несущая способность) позволяют оценить имеющиеся запасы прочности конструкции, а также выявить ее слабые места.

Изучение кинетики развития текстуры при холодной прокатке показало, что анизотропия в общем случае возрастает с увеличением деформации до определенного предела, после которого изменяется уже мало. Анизотропию механических свойств прокатного листа можно уменьшить разбросом текстуры относительно направления прокатки.

Хотелось бы отметить, что проблема установления критерия пластичности и применение этого условия в прикладных исследованиях изгиба пластически анизотропных пластин при различных граничных условиях и для различных случаев нагружения на данный момент недостаточно исследована.

С учетом выше сказанного цель данной работы заключается в том, чтобы, опираясь на результаты экспериментов над листовыми прокатными металлами сформулировать условие пластичности и апробировать предложенное условие при решении задач упруго-пластического изгиба тонких пластин.

Задачи исследования: 1. Провести экспериментальное исследование закона пластического течения листовых прокатных материалов.

2. Определить из экспериментов константы, характеризующие анизотропию пластических свойств листовых прокатных металлов.

3. Для материала изотропного в упругой стадии принять условие пластичности, отражающее анизотропию пластических свойств.

4. Использовать метод конечных разностей совместно с методом упругих решений для получения основных соотношений упруго-пластического равновесия пластин из прокатного пластически ортотропного материала при изгибе.

5. Продемонстрировать возможность использования полученных уравнений для решения задач упруго-пластического изгиба пластин на примере листовых прокатных металлов.

6. Провести анализ полученных решений в сравнении с результатами теории упруго-пластического изгиба пластин изотропных в упругом и пластическом состоянии, предложенной Стрельбицкой А.И., Кол гад и -ным В.А.

В диссертации решается актуальная задача описания изгиба пластин из прокатных пластически ортотропных материалов. Причем полученные результаты свидетельствуют о том, что поведение пластин из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости отличается от теории изгиба изотропных пластин, предложенной Стрельбицкой А.И., Колгадиным В.А. Следует также заметить, что данная работа не претендует на точное описание упруго-пластического изгиба пластин из любого листового прокатного металла. В дальнейшем следует развивать теорию изгиба пластин для подобных материалов, предлагать новые варианты условий пластичности, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, материалов.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

• многовариантное условие пластичности для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической, позволяющее охватить различные критерии текучести, в том числе и условие пластичности Мизеса;

• применение метода конечных разностей совместно с методом упругих решений для принятой модели пластически ортотропного материала;

• определяющие соотношения, описывающие упруго-пластическое состояние пластически ортотропного материала;

• результаты расчетов пластин за пределом упругости, количественные и качественные составляющие этих расчетов;

• сравнительный анализ полученных результатов с теорией упруго-пластического изгиба изотропных пластин Стрельбицкой А.И., Кол-гадина В. А.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках данной диссертационной работы на основании проведенных экспериментов над образцами, выполненными из следующих широко используемых в различных отраслях промышленности листовых прокатных металлов: алюминиевого сплава АДО, латуни Л63, меди М1, стали 08Х18Н10Т, стали 08кп и титанового сплава ВТ1 с различной исходной толщиной 5о, делается вывод о том, что все они в той или иной степени обладают анизотропией пластических свойств. При этом в упругой стадии анизотропия механических свойств практически неощутима и рассмотрение данных материалов как изотропные дает удовлетворительные результаты.

Таким образом, проблема рассмотрения материала изотропного в упругой стадии и анизотропного в пластической стадии является, на данный момент, актуальной.

Получены основные уравнения теории упруго-пластического изгиба пластин из прокатного пластически ортотропного материала, используя условие пластичности (3.35). Данное условие позволило более точно описать работу листовых прокатных металлов за пределом упругости, благодаря тому, что входящие в условие пластичности константы анизотропии определя ются напрямую из экспериментов.

Кроме этого хотелось бы подчеркнуть многовариантность принятого для материала, изотропного в упругой стадии и ортотропного в пластической, условия пластичности, поскольку входящие в него константы анизотропии позволяют осуществить переход к различным модификациям предельного условия ортотропной среды тем самым, открывая для исследований широкий класс самых разнообразных ортотропных материалов.

На основании предложенного условия пластичности при совместном использовании метода упругих решений и метода конечных разностей проведено решение задач изгиба пластин. Это дало возможность в рассмотренных случаях довольно простым путем получить величины прогибов и силовых компонентов.

Рассмотрены два случая поведения материала пластины при появлении текучести: а) пластически ортотропный материал (предлагаемая теория); б) пластически изотропный материал (теория, предложенная А.И. Стрель-бицкой, В.А. Колгадиным), что позволило сделать вывод о результатах проведенной работы и состоятельности данного подхода в случае использования листовых прокатных металлов. В обоих случаях упругая стадия работы конструкции рассматривалась в рамках классической теории изгиба пластин (материал в упругой стадии принимался изотропным).

Рассчитаны квадратные шарнирно опертая и жестко закрепленная пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. Расчет выполнен с учетом несжимаемости материала пластины (/л-0,5), поскольку в стадии глубокой пластичности предположение о несжимаемости материала правильнее отражает реальную работу конструкции.

Результаты упругого расчета приняты в качестве нулевого приближения, после чего произведено несколько приближений для определения расчетных величин в упруго-пластическом состоянии, соответствующих заданной нагрузке, превышающей нагрузку при фибровой текучести.

Исследовано распространение пластических зон на поверхности и по толщине пластины, при различных граничных условиях. В случае шарнирного опирания текучесть впервые появляется в центральном узле пластины, а в случае жесткой заделки - на контуре посередине защемленных сторон.

При шарнирном опирании текучесть, возникающая в центре, развивается вглубь и к краям. После превышения нагрузки текучести пластические зоны появляются у заделки в районе действия касательных напряжений. С увеличением нагрузки пластические области, распространяясь от центра и краев, сливаются. Упругими остаются области около точек пересечения осей симметрии с кромками пластины, где нормальные и касательные напряжения отсутствуют.

-66В жестко закрепленной пластине, после возникновения текучести на осях симметрии у заделки, зоны текучести развиваются вдоль кромок, а затем появляется текучесть в центре пластины. С повышением нагрузки области текучести, развиваясь от центра и краев, смыкаются на поверхности пластины. Можно отметить, что зоны текучести у краев развиваются более интенсивно вглубь пластины, а пластическая область в центре - по ее поверхности, что связано с точками перегиба эпюры напряжений, расположенными ближе к заделке.

Проведенный анализ полученных значений нагрузок, соответствующих появлению текучести, прогибов и моментов при учете пластической анизотропии механических свойств позволил сделать вывод о том, что к исследуемым в данной работе листовым прокатным металлам недопустимо применение классических подходов, так как это приводит к значительному расхождению в значениях нагрузок и расчетных геометрических параметров пластин. Только в случае использования алюминиевого сплава АДО толщиной = 4,7 мм разница в величинах прогибов и моментов незначительна и материал можно рассматривать как пластически изотропный, используя условие пластичности Мизеса.

Рассмотренный подход не претендует на всеобщность, а лишь указывает на необходимость учета пластической анизотропии листовых прокатных металлов, что способствует более точному описанию пластических свойств рассмотренного ряда материалов и в большинстве своем показывает иные нежели классическая теория результаты.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Колотилин, Алексей Николаевич, Тула

1. Адамеску P.A., Гельд П.В., Митюшков Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. -М.: Металлургия, 1985. 136 с. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. - 360 е.: ил.

2. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.

3. Арышенский Ю.М. ,Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия, 1990. -304 с.

4. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. Л.: Машиностроение, 1969. - 112 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -Изд. 2, испр. доп. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

6. Безухов Н.И. Теории упругости и пластичности. М. Гостехиздат, 1953. -420 с.

7. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высш. школа, 1974. -200 е., ил.

8. Белл. Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. 1. Малые деформации. М.: Наука, 1984. 600 с.

9. Божанов П.В. Задачи пластического деформирования тонких пластинок из дилатирующих разносопротивляющихся материалов.: Дис. канд. тех. наук / ТулГУ Тула, 2002. - 233 с.

10. Бриджмен П.' Исследования больших пластических деформаций. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 444 с.

11. Быковцев Г.И. О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел // Известия АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. № 2- 1963.-е. 151-157.

12. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев: Будивельник, 1970.-436 с.

13. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Ч. II К.: Изд. АН УССР, 1952. - 116 с.

14. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / пер. с англ. Кобелева В.В. и Сейраняна А.П. под ред. Баничука Н.В. -М.: Мир, 1987.-542 е.: ил.

15. Васильев В.В. К изгибу прямоугольной пластинки за пределом упругости / Прикладная механика. Киев: Наукова думка, 1967. T.III, в. 2.-е. 119-122.

16. Галин JI.A. Упругопластические задачи. М.: Наука, 1984. - 232 с.

17. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. - 280 с.

18. Геогджаев В.О. Некоторые вопросы теории упруго пластической деформации анизотропных материалов // Исследования по механике и прикладной математике / Труды Московского физико-технического института. Вып. 1. 1958. - с. 69-96.

19. Геогджаев В.О. Пластическое плоское деформированное состояние ортотропных сред / Труды МФТИ. Вып. 1. 1958. - с. 67-94.

20. Гольденблат И.И. К теории малых упруго-пластических деформаций анизотропных сред / Доклады АНСССР, 1955. Т. 101, № 4, с. 619-622.

21. Греков М.А. Пластичность анизотропного тела // Докл. АН СССР, 1984. т. 278, №5, с. 1082-1084.-6925. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение, 1998. -446 с.

22. Григорьев A.C. Об изгибе круглой плиты за пределом упругости / Прикладная математика и механика. М.: Изд. АН СССР, 1952. Т. XVI, в. 1. — с. 111-115.

23. Длугач М.И. К построению систем конечно разностных уравнений для расчета пластин и оболочек / Прикладная механика. Киев: Наукова думка, 1972. Т.VIII, в.1. - с. 99-103.

24. Дубинский Ф.М. Расчет несущей способности железобетонных плит. К.: Госстройиздат, 1961.

25. Ерхов М.И. Пластическое состояние оболочек пластин и стержней из идеально пластического материала. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1960, № 6.

26. Добровольский B.JT. Плоская пластическая деформация анизотропных материалов // Прикладная математика и механика. № 25. - т. 1. - 1961. - с. 62-79.

27. Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. школа, 1990.-368 с.

28. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

29. Ильюшин A.A. Пластичность,- М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

30. Ильюшин A.A. Вопросы общей теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1960. - т. 24. - № 3. - с. 399-411.

31. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости // Учен. зап. МГУ. Механика. 1946. - Вып. 117. - с. 90-108.

32. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. М.: Наука, 1986.-354 с.

33. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. -М.: Физматлит, 2003. 703 е.: ил.

34. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. Изд. 2-е, перераб. и доп. -М.: Наука, 1969.-420 с.

35. Калманок A.C. Расчет пластинок. Справочное пособие. М.: Госстройиздат, 1959. - 212 с.

36. Киселев В.А. Расчет пластин. М.: Стройиздат, 1973. - 151 с.

37. Ковалев К.В. Применение экспериментального и механического метода к моделированию поверхностей влияния для пластинок. В кн.: Расчет пространственных конструкций, 6. - М.: Госстройиздат, 1961.

38. Ковальчук Б.И. К теории пластического деформирования анизотропныхматериалов // Проблемы прочности. № 9. 1975. - с. 8-12. «

39. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго пластических сред. М.: Изд. иностр. лит., 1961. - 79 с.

40. Колотилин А.Н., Матченко О.Н. Построение самосогласованной теории тонких пластин // Известия ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения. Вып. 6. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 53-62.

41. Колотилин А.Н., Матченко О.Н. Представление самосогласованной теории тонких пластин в аффинном пространстве // Известия ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения. Вып. 6. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 62-68.

42. Кораблин И.М., Судакова И.А. Модель ортотропной пластины в модифицированном пространстве / Известия ТулГУ. Серия «Строительные материалы, конструкции и сооружения», Тула, вып. 7, 2004.-с. 34-38.

43. Кораблин И.М., Матченко О.Н. Упруго-пластический изгиб ортотропной пластины за пределом упругости / Известия ТулГУ. Серия «Строительные материалы, конструкции и сооружения», Тула, вып. 7, 2004.-с. 38-43.

44. Корелев Б.Г. Теория пластинок / Строительная механика в СССР 19171957. М.: Госстройиздат, 1969.-423 с.

45. Косарчук В.В. Упругопластическое деформирование анизотропных алюминиевых сплавов при сложном напряженном состоянии. Диссертация кандидата технических наук. Киев, 1982. - 197 с.

46. Кравчук A.C. О теории пластичности анизотропных материалов // Сб. Расчеты на прочность. М., 1986. - № 27. - с. 21-29.

47. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н. Вариант математической теории пластичности ортотропных сред // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2000. с. 84.

48. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Теория пластичности. Сб. переводов. -М.: Ил, 1948. с. 20-40.

49. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е, перераб. и доп. -М.: Гостехиздат, 1957. - 463 с.

50. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

51. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1975. - 399 е.: ил.

52. Мансуров P.M. Об упруго-пластическом поведении анизотропных сред / 0> Упругость и неупругость. -М.: Изд-во МГУ, 1971. в. 1-е. 163-171.

53. Матошко С.И. Упруго пластический изгиб жестких пластин при поперечной нагрузке / Прикладная механика. Киев: Наукова думка, 1965, Т. 1, в. 9.

54. Матченко Н.М. Некоторые вопросы теории идеальной пластичности анизотропных сред. Диссертация д.ф.-м.н., Тула, 1975.

55. Матченко Н.М., Толоконников JI.A. Общая плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // Механика твердого тела. М.: АН СССР, - № 3. - 1973. - с. 49-52.

56. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. Плоская задача теории идеальной пластичности 'анизотропных материалов // Известия АН СССР МТТ. № 1. 1975. С. 69-70.

57. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически-деформированном состоянии / Теория пластичности. Сб. статей. М.: Госиздат. Иностранной литературы, 1948. с. 57-69.

58. Мизес Р. Теория пластичности // Сб. статей. М.: ГИИЛ, 1948. - с. 57-69.

59. Микляев П.Г., Фридман Я.Б. Анизотропия механических свойств металлов. М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

60. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. M.-JI.: АН СССР, 1936.- 19 с.

61. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жестко пластических сред. -М.: Наука, 1981.-208 с.

62. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Изд. иносчр. лит., 1954.-647 с.

63. Новицкий В. В. и Андреева Е. Н. Исследование изгиба пластинок методом муаров / В кн.: Расчет пространственных конструкций, 9. М.: Стройиздат, 1964.

64. Огибалов П.М., Кузнецов В.Н., Савов П.М., Алифанов A.B. Экспериментальное исследование пластичности начально-анизотропного материала при простом деформировании / Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. - с. 136-146.

65. Панферов В.М. О сходимости метода упругих решений для задач упруго-пластического изгиба пластин / Прикладная математика и механика. М.: Изд. АН СССР, 1952. - Т. XVI, в. 2 - с. 195-212.

66. Петрищев П.П. Упругопластические деформации анизотропного тела // Вестник МГУ. Серия физико-математических и естественных наук. 1952. Вып. 5. - № 8 - с. 63-72.

67. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов: СГУ. 1976. -133 с.

68. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев, 1976. - 416 с.

69. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред / Прикладная математика и механика, 1984. Т. 48 в. 1 - с. 29-37.

70. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1981.-343 с.

71. Прагер В. Проблемы теории пластичности. Пер. с нем. А.И. Григолюка. М.: Физматгиз. - 1958. - 136 с.-7694. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во. ИЛ. 1956.-243 с.

72. Прейсс А.К. Оценка влияния коэффициента Пуассона при экспериментальном исследовании изгиба пластин / Проблемы прочности в машиностроении. М.: Изд. АН СССР, 1962. - Вып. 8. - с. 69-72.

73. Процёнко A.M. Теория упруго-идеальнопластических систем. М.: Наука,1982.-288 с.

74. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

75. Рейтман М.И., Шапиро С.Г. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности. Итоги науки. Изд. ВИНИТИ, 1966. 345 с.

76. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. 2-е изд., перераб. - М.: Госстройиздат, 1954. - 286 с.

77. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластин и оболочек. М.: Наука,1983.-288 е.: ил.

78. Савчук А. О теории анизотропных пластических оболочек и пластинок / Механика. -М., Изд. иностр. лит., 1961. Вып. 3. с. 153-161.

79. Сен-Венан Б. Об установлении уравнении внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / Теория пластичности. Сб. переводов М.: ИЛ, 1948. - с. 11-19.

80. Соколовский В.В. Теория пластичности. изд. 3-е, перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1969. - 608 е.: ил.

81. Стрельбицкая' А.И., Евсеенко Г.И. Экспериментальное исследование упруго пластической работы тонкостенных конструкций. Киев: Наукова думка, 1968. - 182 е.: ил.

82. Сухарев И. П. Исследование изгиба пластин переменной жесткости методом «муаровых» полос. Изв. вузов. Машиностроение, 3, 1964.

83. Теория пластичности.: Сб. статей / Пер. с англ., франц., нем. Л.А.Телешовой, Ю.А.Цвибак под ред. Ю.Н.Работнова, М., 1948 - 452с.

84. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. В.И. Контовта. Под ред. Г.С. Шапиро. Изд. 2-е. - М.: Наука, 1966. -635 с.

85. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. - 318 е.: ил.

86. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. К вопросу о плоской деформации анизотропного тела // Прикладная механика. т. VI. -вып. 4.- 1970.

87. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально-анизотропных тел // Проблемы прочности. JV» 3, 1974.

88. ИЗ.Трещев A.A. Некоторые задачи изгиба пластин из разносопротивляющихся материалов: Дис. канд. физ.-мат. наук / ТулПИ. -Тула, 1985.-200 с.

89. Трещев A.A., Божанов П.В. Вариант обобщения уравнений идеальной пластичности для изотропных материалов // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении. Тверь: ГТУ, 2000. - вып. 2. - С. 72-78.

90. Трещев A.A., Божанов П.В. Обобщение ассоциированного закона течения для изотропных материалов // Механика деформированного твердого тела и обработка материалов давлением. Тула: ТулГУ, 2000. -С. 79-82.

91. Ушаков Б. Н. Применение муарового метода для исследования упруго пластического изгиба пластин. Изв. вузов. Машиностроение, 2, 1965.-78117. Халас О. О предельном равновесии железобетонных плит. Изв. АН СССР. ОТН, 8, 1956.

92. Ходж Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. -М.: Машгиз, 1963.-308 с.

93. Хилл Р. Математическая теория пластичности М.: ГИТТЛ, 1956. -407 с.

94. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // Прикладная механика и техническая физика.- 1984. № 2. - с. 149-151.

95. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния // Сб. Численные методы механики сплошной среды. 1973. -№ 4. - с. 150-162.

96. Эстрин М.И. Пластический изгиб жеско-пластических плит. В кн.: Исследования по строительной механике, 5. - М.: Госстройиздат, 1962.

97. Betten J. Theory of invariants in Creep Mechanics in Anisotropic Materials / -Collog/ int/ CNRS/ Paris. № 295, 1982. p. 65-80.

98. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations. New York: John Willey, 1965.-504 p. .

99. Bogue D.C. The yield stress and plastic strain theory for anisotropic materials. Oak Ridge Nat. Lab. Rep. ORLN-TM-1869, 1967.

100. Brunell E.J. The fundamental constant of orthotropic affin slab / Plate Equations/ AIAA JOURNAL, 1985/-№ 12.-p. 1937-1938.

101. Craemer H. Die Tragfähigkeit ideal-plastischer Durchlaufbalken und vierseitig gestutzter Platten auf ideal-plastischer Unterstützung. Stahlbau, 22, 9,Л953.

102. Haythornthwaite R.M, Boyce W.E. The load-carrying capacity of wide beams at finite deflection. Proc. of 3rd. U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., 5. Providence, Rhode Island, N.Y., 1958.

103. Hill R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals, Proc. Of the Roy. Soc., ser. A, vol. 193, 1033, 1948.

104. Hodge Ph. G. Plastic analysis of structures, McGraw-Hill Book Co, New York, 1959.-79131. Ikegami K. Experimental Plasticity on the Anisotropey of Metals. Callog. Int. CNRS, Paris, № 295, 1982, - p. 201-242.

105. Kao J.S., Mura T., Lee S.T. Limit analysis of orthotropic plates. J. Mech. and Phys. of Solid, 11,6, 1963.

106. Kurata M., Hatano Sh., Okamura H. Experimental study of the influence surface for the moment of rectangular plate with three clamped edges and one free edge. Mem. Fac. Engng,2 Osaka City Univ., 1960.

107. Langenbach A.' Elastisch-plastische Deformationen von Platten, Zeitschrift fur angew. Math, und Mech., 41,3, 1961.

108. Mroz Z. On the description of anisotropic workhardening / Journal of the mechanics and physics of solid, 1961. Vol.15. - p. 163-175.

109. Sawczuk F. O mozliwosciach praktycznego korzystania z rozwiazan teorii nosnosci granicznej ptyt. Arch, inz-rii Ladowej, 2, 1-2, 1956.

110. Shull H.E., Hu L.W. Load-carrying capacities of simply supported plates. J. Of Appl. Mech., 30, 4, 1963.

111. Sobotka Z. The plastic flow of ortotropic materials with deferent mechanical properties in tension and in compression / Acta techn. CSAV, 1971. 16, № 6. - p. 772-776.

112. Sobotka Z. Unosnost vetknutych desek. Stavebn. Casopis, 9, 5-6, 1961.

113. Sobotka Z. Unosnost vetknutych ortotropickych obdelnikovych desek s rovnomernym zatizenim a s osamelymi bremeny. Stavebn. Casopis, 11, 10, 1963.

114. Spencer G.S. Introduction to plasticity. Chapman and Hall, 1968. 118 p.

115. Tetzlaff W. Rechteckplatte mit Einzellast. Bauplan. - Bautechn., 16, 8, 1962.

116. Zyczkovski M.'Combinet loadings in the theory of plasticity. Wrzawa. PWN. Polish scientific publishers. 1981. 714 p.

117. ЮМИНИЕИЫЙ СПЛАВ АД О = 2,8 мм