Осесимметричная задача теории идеальной пластичности трансверсально-изотропной среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

11а правах рукописи

КОСТИКОВ ИВАН ЕВГЕНЬЕВИЧ

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре «Строительство. Строительные Материа 1ы и Конструкции» в I ОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Соколова Марина Юрьевна - доктор технических наук, профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский Государственный Университет»

Защита состоится 25 октября 2005 года в 14 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский Государственный Университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, 12-303

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

Автореферат разослан « » сентября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л. А. Толоконников

/09 fZ

мее*/-/*-

ОБЩАЯ \ ЧРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Теория пластичности принадлежит к чис i> фундаментальных дисциплин механики деформируемого твердого тела Одним из наиболее развитых разделов теории пластичности является математическая теория идеальной пластичности Аппарат математической теории идеальной пластичности используется в таких практически важных направлениях как расчет элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок, моделирование технологических процессов обработки металлов и других материалов давлением, в задачах устойчивости, механике грунтов и т.д

Основные представления теории идеальной пластичности изотропных сред были сформулированы в работах Треска и Ген-Венана. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности изотропных сред связано с именами М Леви, А.Хаара и Т.Кармана, Р.Мизеса, Л Прандтля, Г.Гейрингер, А.Рейса, А.Ю.Ишлинского, Д.Д.Ивлева, С А.Христиановича, В В.Соколовского, Р.Хилла, В.Прагера, Койтера и др.

В связи с тем, что большинство конструкционных материалов в той или иной степени проявляют анизотропию пластических свойств, построение теории пластичности таких материалов является актуальной задачей. Основополагающие работы в этом направлении выполнены Ю.М. Арышенским, Г.И. Быковцевым, В.О. Геогджаевым, И.И. Гольденблатом, Ф.В. Гречниковым, Д.Д. Ивлевым, Б.И. Ковальчуком, В.В. Косарчуком, A.C. Кравчуком, В.Д. Кухарем, A.A. Лебедевым, Н.М. и И.Н. Матченко, A.A. Маркиным, Р. Мизесом, Маховер, Б.Е. Победрей, И П. Рене, Ф.И. Ру-зановым, М.Ю. Соколовой, Л А. Толоконниковым, Р Хиллом, С.П. и С.С. Яковлевыми и др.

В теории идеальной пластичности анизотропных сред наиболее часто используется модифицированные условия пластичности Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко, основанные на квадратичном критерии пластичности Р. Мизеса. Модифицированные условия пластичности Ми-зеса-Хилла и Толоконникова-Матченко не сводятся друг к другу, поэтому характеризуют два различных класса анизотропных сред.

Поэтому актуальной является задача формулировки более общего критерия пластичности.

Среди практически важных и наименее изученных задач теории идеальной пластичности является осесимметричная задача трансверсаль-но-изотропного тела. Основная трудность связана с нелинейностью исходных соотношений и статической неопределимостью в случае использования критерия Мизеса и его модификаций.

Введение условия полной пластичности Кармана-Хаара позволяет для изотропных сред пространственную и осесимме-гоичную задачи формулировать как статически определимые.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I

Следовагеш.но актуальной задачей также является формулировка условия полной пчастичности для анизотропных сред Целью насюящей работы является

- разработка опредетяюших соотношений теории идеальной пластичности трансверсально-изотропных сред, объединяющих подходы Мизеса-Хилпа и Толоконникова-Матченко,

- экспериментальная проверка предложенного условия пластичности,

- введение новой формализации понятия полной пластичности,

- получение определяющих соотношений осесимметричной задачи теории идеальной пластичности трансверсально-изотропных сред,

- демонстрация во!можности решения частных задач (вдавливание штампов в полупространство) методом характеристик

На зашиту выносятся следующие научные положения и результаты:

- формулировка квадратичного условия пластичности в аффинных пространствах;

- постулирование гипотезы о несжимаемости пластического течения в аффинных пространствах (гипотеза квазинесжимаемости), позволяющей получить новое условие пластичности .трансверсально-изотропной среды, из которого как частный случай вытекают модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко;

- экспериментальная проверка гипотезы квазинесжимаемости;

- новая формализация условия полной пластичности;

- формулировка трех константного условия полной пластичности транс-версально-изотропного тела;

- определение и исследование статически определимых предельных соотношений трансверсально-изотропного тела в случае осесимметричной задачи;

- исследование предельного состояния трансверсально-изотропного полупространства при вдавливании плоского кругового и сферического штампов.

Научная новизна состоит в следующем:

- введение аффинных пространств и гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения позволяет получить девиаторную квадратичную форму условия пластичности анизотропных сред обобщающую подходы Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко;

- на листовых прокатных материалах экспериментально доказана справедливость гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения;

- дано обобщение условия полной пластичности на аффинные пространства;

- показано, что предложенное условие пластичности в сочетании с условием полной пластичности позволяет свести задачу предельного состояния трансверсально-изотропной среды для случая осевой симметрии к диффе-ренМальным уравнениям, принадлежащих к гиперболическому типу;

- пока;ано влияние анизотропии п тстических характеристик трансвер-сально-и здтропного полупространства на его предельное состояние при вдавливании п юского кругового и сферического штампов

Достоверность результатов обеспечивается

- корректным использованием фун'«ментальных преде явлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований

- экспериментальной проверкой основных положений и гипотез,

- непротиворечивостью результатов данной работы с результатами других авторов

Практическая ценность. Порученные в работе результаты позволяют определить и исследовать новые задачи теории идеальной пластичности для широкого класса трансверсально-изотропных материалов Результаты решения задач о вдавливании штампов могут быть использованы для обоснования новых методик неразрушающего контроля прочностных характеристик сооружений и конструкций

Представленные в диссертации исследования проводились в соответствии с планами научно-исследовательских работ Тульского государственного университета, при поддержке грантов и конкурсов' Грант РФФИ № 00-01-00565 «Вопросы теории формоизменения мембран из анизотропного материала в условиях ползуче-пластического течения» (1999-2002); Грант РФФИ № 04-01-00378 «Теория формоизменения мембран и тонколистовых заготовок из анизотропного трудно деформируемого материала в условиях кратковременной ползучести» (2004-2006); Грант Президента РФ на поддержку молодых российских ученых и ведущих научных школ на выполнение научных исследований «Механика формоизменения орто-тропных и изотропных упрочняющихся материалов при различных температурах и скоростях деформации», научно-исследовательской работе по единому заказ наряду Минобразования РФ, № 1 13 03 «Разработка теории процессов формообразования изделий из анизотропных листовых материалов при различных температурно-скоростных режимах обработки (кратковременной ползучести и холодного пластического деформирования)» (2003-2005); Конкурс 2003-2004 года по фундаментальным исследованиям в области технических наук, раздел конкурса - 6. «Машиностроение», подраздел - 6.4. «Литейное производство, кузнечно-штамповочное производство; производство деталей из порошковых материалов.

Апробация работы Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

- на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2001),

- на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2002);

- на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2003);

- на Меж ау народной школе-семинарс «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2003)

- на Всероссийской научной конференции '(Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2001)

- на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2004),

- на семинаре по МДТТ имени Л А Толоконникова (Тула. 2002,

2004).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работ, в том числе 10 статей и 2 тезиса докладов В автореферате приведены 12 основных публикаций

Струю-ура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы, приложения Работа содержит 139 страницы основного текста, 85 рисунок, 12 таблиц Библиографический список включает 245 наименований Общий объем диссертации составляет 171 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении рассмотрена история построения соотношений теории идеальной пластичности изотропных и анизотропных сред и указаны фундаментальные результаты в этой области механики деформируемого твердого тела. На основании выполненного анализа сформулированы цели и задачи диссертации

В первой главе рассматривается класс трансверсально-изотропных сред, условие пластичности которых можно представить в виде квадратичной функции Мизеса

Ап(с1 + с?) + А,ъа] - 2Апа,ау - 2Ап (а,аг + 0\сгг) +

(1.1)

Для построения соотношений теории идеальной пластичности транс-версально-изотропного материала к условию пластичности (1.1) необходимо присоединить:

- уравнения равновесия

дх ду дг

- соотношения между компонентами тензора скоростей деформаций и вектора скорости перемещений

ди. , диу ди

■■ —-, 2е = —- + —> дх дх ду

,2е + (Г.З)

- ассоциированный закон пластического течения

ех = МАп°х - А12(ту ~ = \Амоа,

б

<?, - И /,/-, 1г(7, - Аист.) .е= \ 1„ ,

е. - л( -1„гт: - \пстх - Аиа1 ),е -\ (1.4)

Отмечается, что ранее, на основе квадратичного условия пластичности (I I) были получены модифицированные условия пластичности Мизе-са-Хилла и Толоконнмкова-Матченко. В случае плоской и осесимметрич-ной задач эти модификации приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа Модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко не приводимы друг к другу и содержат по два условия совместности механических характеристик пластической анизотропии, то есть они описывают две различные группы трансверсально-изотропных сред.

Для получения условия пластичности трансверсально-изотропной среды, содержащего как частные случаи, указанные модификации, вводятся аффинные преобразования:

- координат

; = Ах, п-- Ау, с = С2, (1.5)

- скоростей перемещений

"< иУ и- п £л

и - — , и„ = —, и, - —; (1.6)

" А А ' С .

■ напряжений

тх = А2ох , тп = А2ау, гс = С2 о,, rí)? = AJarv, т,к = ACcr^, =СА<та, (1.7)

- скоростей деформаций

- е" -еу~ -

А2,£п~ А2'£^с2' Е(п=еп А2, е,к = ег_ /АС, е^ = е,х > CA. (1.8)

Несложно видеть, что преобразования (1 5) - (1.8) переводят транс-версально-изотропный материал из физического пространства в аффинные пространства, сохраняя класс симметрии.

При этом условие пластичности (1.1) и ассоциированный закон пластического течения (1.4) принимают вид'

Cu(->¡ + г]) + сззтг - 2CurfT, - 2Cl3(r,|T +

) + С„(т1 + + C66r¡ti = 1; (1.9)

¿I - Я(Сптg -С!2гп -С13тд), с,к = Я( еп = л(Сптп- CJ2T{ - CJ3T( ), eíf = ЛС^ т({, С(~Я(С33тд С13т4- С13тп), etn = ЯСй6г(п, (1.10)

где

СН = 4Х!А\ Сп = А,,!С\ Сп = Д2/А1,,

<„ - -1и/ 1'с-, С«- 1м/14. (III)

Так как компоненты преобразующего тензора ( и С выбираются произвольно, трансверсально-изотропному жесткопластическом> материалу в физическом пространстве, сопоставляется в аффинных пространствах бесчисленное множество жесткопластических трансверсапьно-изотропный материалов

Уравнения теории идеальной пластичности жесткопластического материала в аффинных пространствах принимают вид'

- уравнения равновесия

дтс дт*„ дг, е ,5> ■ (1.12) ' ь < П < ъ

- соотношения между компонентами тензора скоростей деформаций и

вектора скорости перемещений

о и с ди„ дие

ее--А,2ег„- . ЛЬьУ, (1.13)

- ассоциированный закон пластического течения

- Л(Спт4 -С,2т^-сптс), £к-лСитщ,

МСцТп -Сц1-) ,

-ЧСзз'ч С„т£ Сг,;,() ,

АС« !ьг (Ы4)

Отметим, что переход из физического пространства к аффинному пространству, не накладывает никаких ограничений на пластические характеристики материала.

Введем гипотезу о несжимаемости пластического течения в аффинном пространстве (гипотезу квазинесжимаемости)

+г 0. (1 )5)

Из (1.14) и (1.15) следует

Сп-С,2-С|3=0, Г33 2СП = 0. (Мб)

С учетом зависимостей (1.16), условие пластичности (1 9) принимает вид

С12(т( -т„)2 +С„[(т -т;)2 +(т5 - г )2] +

+С4Д<+т2) + Сй(т^ = 1. (1.17)

Ассоциированный закон пластического течения теперь записывается в виде

ьп = А[С1з(тп С,2(г4 тп)],с?4 = лГнт?4,

Ч = + г,,)], = АСМ(1.18)

В условиях совместности механических характеристик в аффинном пространстве перейдем к физическому пространству

Ап/А2-А12/А2-Л13/С2 = 0, АП!С2 - 2А1г/А2 = 0. (1.19)

Из (1.10) найдем

= Л„/(.1П- -' = -Г.,/(2.4„), (1 20)

где тг = ±С I

Компоненгы преобразующего тензора можно задавать с точностью до параметра Например, можно принять 1 — 1. те предположить, что при аффинном преобразовании масштаб в плоскости изотропии не изменяется.

Тогда

(1.21)

Из (1.21) вытекает условие совместности механических характеристик пластической анизотропии

/(Ап - Аг )=/!,, /(2А„). (1.22)

Если характеристики пластической анизотропии материала таковы,

что

' Дз = (Лп~ 4„) = 0,5Л,, (1.23)

то условие пластичности (1.17) переходит в модификацию Мизеса-Хилла, а если

Аи=0,5Аи, . (1.23)

то перейдем к модификации Толоконникова-Матченко.

Особенность условия пластичности (1.17) и модификации Толоконникова-Матченко заключается в том, что в физическом пространстве гидростатическое давление вызывает пластическую деформацию, в то время как материал, подчиняющийся модифицированному условию пластичности Мизеса-Хилла, не чувствителен к воздействию гидростатического давления.

В второй главе представлены данные по экспериментальному исследованию закона пластического течения прокатных материалов. Установлено, что анизотропия обычно возрастает с увеличением деформации до определенного предела, после которого практически не изменяется. Анализ известных экспериментальных исследования закона пластического течения листовых прокат ных металлов показал, что обычно в экспериментах замеряются: либо продольная и поперечная деформации, а деформация по толщине вычисляется из условия несжимаемости, либо поперечная деформация и деформация по толщине, а продольная вычисляется из того же условия несжимаемости. Эти данные затем используются для определения механических характеристик пластической анизотропии.

Отличительной особенностью проведенных в диссертации экспериментальных исследований пластического течения образцов, вырезанных из прокатного листового металла, заключается в том, что в эксперименте одновременно измерялись продольная, поперечная деформации и деформация по толщине. Испытаниям были подвергнуты образцы алюминиевого сплава АДО, меди М1, латуни Л63, титанового сплава ВТ1, сталей

ОХ18НЮТ и 08кп с различной исходной толщиной Ни широко используемых в различных отраслях промышленности

Для определения продольной, ноперечной деформаций и деформации по толщине вырезались продольные образцы в соответствии с ГОСТ 1497-84 или ГОСТ 11701-84 в зависимости от исходной толщины материала в пределах одного листа под углами а = 0° ,45' 90 по отношению к направлению прокатки по шесть штук каждого вида Растяжение образцов осуществлялось на универсальных испытательных машинах Р-5 и УМЭ-ЮТМ.

Нагружение производилось по этапам На каждом этапе деформирования фиксировалось усилие, изменение ширины и толщины образца в области нанесенных на него алмазным инструментом ячеек, а также изменение продольных размеров ячеек.

Одновременно определялись следующие механические характеристики материала образцов, вырезанных под различными углами к направлению прокатки: сгд - условный предел текучести; <хв - временное со-

5„

противление; 8 - относительное удлинение после разрыва; р - относительное максимальное сужение; ^ - равномерное относительное удлине-

и/„ „

ние, ^ - равномерное относительное поперечное сужение. Эти величины

вычислялись в соответствии с ГОСТ 1497-84 или ГОСТ 11701-84.

Обработка экспериментальных результатов показала, что предложенные в диссертации соотношения позволяют с большей точностью, нежели условие пластичности Мизеса-Хилла или Толоконникова-Матченко и ассоциированный с ними закон пластического течения, описывать данные экспериментов.

Проведена экспериментальная проверка гипотезы о несжимаемости пластического течения. Для экспериментальной проверки гипотезы несжимаемости на примере листовых прокатных материалов (латуни Л63 толщиной 3,0 мм, меди М1 толщиной 3,0 и 4,0 мм и титанового сплава ВТ1 толщиной 1 мм) использовались средние значения полученных из экспериментов данных. В экспериментах замерялись продольная и поперечная деформации, а деформация по толщине вычислялась из условия несжимаемости. Полученные результаты показаны в таблице 1.7.

Ю

Таблица 1 7

'Ксперимешальная проверка гипотезы несжимаемости___

Материя. 1 Угол а еа еЬ еЬ+еИ 1 еа )

1 2 3 4 5 6 7

ог -0 0042 -0 0045 -0 0087 13 0%

45° 0,01 -0 0043 -0 0041 -0 0084 16 0 %

90 -0 0041 -0 0016 -0 0077 24 0 %

0 -0 0442 -0 0481 -0 092 7 7 %

Латунь Л63 50 =3,0 мм 45° 0,1 -0,0459 -0 0434 0 089 10 7 %

90' -0,0434 -0 0386 0 082 18,0%

0е -0,0689 -0 075 1 -0 144 4,0 %

45° 0,15 -0,0719 -0,0679 -0 14 6,8 %

90° -0,0675 -0,0601 -0,128 14 9%

0° -0,0043 -0,005 -0,0093 7,0 %

45° 0,01 -0,0045 -0,005 -0,0095 5,0 %

90" -0,0045 -0.0055 -0,01 0%

0° -0,0454 -0,0529 -0.098 1,7 %

Медь М1 = 3,0 мм 45° 0,1 -0,048 -0,0529 -0,101 -0,9 %

90° -0,0473 -0 0586 -0,106 -5,9 %

0" -0,0724 -0,0828 -0,155 -3,5 %

45° 0,15 -0,0748 -0,0827 -0 158 -5,0 %

90° -0,0716 -0,0888 -0,16 -6,9 %

Медь М1 ¡0=4,0 мм 0° -0,0041 -0,0045 -0,0086 14,0 %

45" 0,01 -0,0043 -0,004 -0,0083 17,0 %

90° -0,004 -0,0041 -0,0081 19,0 %

0° -0,0442 -0,047 -0,091 8,8 %

45° 0,1 -0,0462 -0,0421 -0,088 11,7%

90° -0,0419 -0,0436 -0,086 14,5 %

0° 0,15 -0,0688 -0,0727 -0 142 5,7

п

Материал Угол а ~1 еа Ч вИ еь +ен .00% 1 1 еа

1 2 3 4 5 6 7

45 •0 0707 -0 0656 -о,13б 9 1

90' -0 0652 -0.0679 -0,133 1 1 3

0° -0 0057 -0 0023 -0,008 20 0

45° 001 -0 0063 -0,0021 -0,0084 16 0

90° -0 0089 -0,0011 -0 01 0

Титановый 0° -0 0622 -0,025 -0,087 12,8

сплав ВТ1 S() — 1,0 мм 45° 0 1 -0 069 -0,0224 -0,091 86

90° -0 0982 -0,0197 -0,118 -17,9

0° -0 0973 -0,0373 -0,135 10,3

45° 0,15 -0 1089 -0,0348 -0,144 4,2

90° -0,1536 -0,03 -0,184 -22,4

0° -0,004 -0,006 -0,010 2,1

45° 0,01 -0,004 -0,005 -0,009 8,7

90° -0,004 -0,005 -0,009 11,8

Алюминиевый сплав 0° -0,044 -0,061 -0,105 -5,4

лдо = 2,8 мм 45° 0,1 -0,049 -0,049 -0,098 2,4

90° -0,040 -0,054 -0,094 5,6

0° -0,068 -0,096 -0,165 -9,7

45° 0,15 -0,076 -0,076 -0,153 -1,7

90° -0,63 -0,085 -0,147 1,9

Алюминиевый сплав АДО 0° -0,004 -0,006 -0,010 4,5

45° 0,01 -0,004 -0,005 -0,009 6,5

$0=4,7 мм 90° -0,004 -0,005 -0,009 8,9

0° -0,0045 -0,066 -0,111 -10,7

45° 0,1 -0,047 -0,053 -0,100 -0,07

90° -0,041 -0,056 -0,097 3,3

0° 0,15 -0,070 -0,102 -0,171 -14,3

45° -0,073 -0,083 -0,156 -4,2

Материал УгО.1 а еа еЬ «7? ¿Ь+еи Г, Ь+е/'Пюо% V еа

1 2 3 4 5 6 1

90 -0 063 -0 088 -0 151 -0 7

0° -0 004 •0 005 -0 009 190

45' 0,01 -0 004 -0 004 -0,008 22 8

90е -0 004 -0 004 -0,008 16,3

0° -0 038 •0 049 -0,087 П ?

08Х18Н10Г 45° 0,1 -0.041 -0 042 -0,083 17 5

90° -0,041 -0 047 -0,089 11 1

0° -0.059 -0.076 -0,135 102

45° 0,15 -0,063 -0.065 -0,128 144

90° -0,064 -0,074 -0,138 -7 7

0° • -0,005 -0,003 -0,008 23 2

45° 0,01 -0,004 -0,004 -0,008 19,4

90° -0,004 -0,003 -0,007 30,7

Сталь 08кп 0° -0,047 -0,031 -0,078 22,3

45° 0,1 -0,041 -0,044 -0,085 15,1

90° -0,043 -0,031 -0,074 25,8

0° -0,076 -0,051 -0127 15,2

45° 0,15 -0,063 -0,070 -0,133 11,4

90° -0,067 -0,049 -0,115 23,1

В отличие от гипотезы о несжимаемости анизотропного материал, гипотеза о квазинесжимаемости

ех+еу+ег1ъг= 0 (2.1)

позволяет во всей полноте использовать экспериментальные данные по изменению объема анизотропного образца при пластическом течении.

В третьей главе выполнена постановка осесимметричной задачи теории идеальной пластичности трансверсально-изотропных сред

Условие предельного состояния и закон осесимметричного пластического течения квазинесжимаемого трансверсально-изотропного материала в аффинном пространстве принимают вид

"М'+ГпКг -Г,,) +(Г„-Г ):]+Г44Г^=1 (3.1)

Со = '/У ТР

е_ = ЛСц[(т--тр) + (т_- т0 )/, е:р = кС ыт.р (3.2)

Здесь /А - оси цилиндрической системы координат в аффинном пространстве.

При условии пластичности (3 1) уравнения равновесия осесиммет-ричной задачи являются статически неопределимыми, а дифференциальные уравнения принадлежат к эллиптическому типу

Для получения статической определимости уравнений предельного равновесия в осесимметричной задаче в аффинном пространстве сформулируем дополнительное условие полной пластичности квазинесжимаемого трансверсально-изотропного материала

Введем параметр Лоде в аффинном пространстве

М = (2Т2-Т|-г,)/(Т|-Т3), (3.3)

где 7, > т, > т, главные напряжения в аффинном пространстве.

Известно, что параметр Лоде изменяется в пределах

. -1<М<1- (3.4)

Следуя концепции Кармана-Хаара выделим два режима предельного равновесия:

- режим (А) ц = — \

2

т\~тг~ 2тт1Х > т2 = т3 = г — —т^; (3.5)

- режим (В) ц = I

2

т,-Гз = 2ттач, т2 = т, = т+-тт„, (3.6)

где ттач, г - соответственно, максимальное касательное и среднее напряжение в аффинном пространстве

Особенность этих режимов заключается в том, что одновременно на двух площадках касательные напряжения достигают своего предельного значения.

Учитывая условие полной пластичности из (3.1) получим т-« = Р(С12 + ЗС13)со52 2а ± 2(Са - С,3)соз2а + (С12 + Г13 + +2С44)51п2 2а]"'"\т„ = р Т т^/3, р = (т, + т3)/2,

где а - угол между первым главным напряжением и осью р. Знак минус относится к режиму (А), знак плюс к режиму (В).

В условии пластичности (3.7) содержится в явном виде три константы и в неявном виде одна константа. Причем, три константы можно вычислить, определяя экспериментально пределы пластического сопро-

тивления образцов вырезанных в плоскости изотропии, вдоль оси симметрии и под углом 45" к оси симметрии Для вычисления четвертой константы требуются замеры пластических деформаций образцов с привлечением ассоциированного закона пластического течения Кроме того, преобразующий коэффициент сг также находится с привлечением ассоциированного закона пластического течения

При решении статически определимых задач предельного равновесия не требуется использование закона пластического течения, поэтому необходимо иметь и условие пластичности, в котором константы пластической анизотропии определялись из эксперимента без привлечения ассоциированного закона пластического течения.

Сформулировано новое трех константное условие пластичности

К1(тр-гс)2 + 4К2Грс = 4. (3.8)

В физическом пространстве соотношение (3.43) можно представить в форме

К{(аг —то2о.)2 + 4Кги/2а2п =4. ^ (3.9)

Константы /С,, Кг, ш можно найти из экспериментов по одноосному растяжению образцов, вырезанных в направлении осей г. г и под углом 45° к ним в плоскости гг.

Проводя эксперимент по растяжению образца, вырезанного вдоль

оси д. имеем а = 90°, иг = а8до, сг, = аГ2 = 0, где - предел пластического сопротивления в направлении оси г, получим

К^4/а]90. (З.Ю)

Проводя эксперимент по растяжению образца, вырезанного вдоль оси г, имеем а = 0°, аг = а\0, аг = ап = 0, где а10 - предел пластического сопротивления в направлении оси г, получим

^ = (3-11)

Таким образам, при использовании условия пластичности (3.9), коэффициент перехода к аффинному пространству определяется непосредственно из эксперимента.

Проводя эксперимент по одноосному растяжению образца, вырезанного в плоскости гг под углом а = 45° к оси г имеем, <тг = <тгг =<тг = <т5л >' 2, где - соответствующий предел пластического сопротивления. Тогда из условия (3.9) следует

Если свойства материала таковы, что = ег?0, то условие пластичности (3.9) переходит в аналог условия пластичности Мизеса-Хилла. Используя подстановки

т1 - р Т51п2^. /?+г51п2У т —тсоъ2). (3.13)

выписано

ттл=(К1ш:20+ К,со*220) (3.14)

\словие пластичности (3 14) совместно с условием полной пластичности

г„--=р + т, 3. (3.15)

описывают анизотропию пластического сопротивления сдвигу в аффинном пространстве в плоскостях перпендикулярных плоскости рс Условия пластичности (3.14) и (3 15) позволяют сформулировать статически определимую осесимметричную задачу предельного равновесия

Используя подстановки (3 13). получены дифференциальные уравнения статического равновесия осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды.

^+(2тсоъ2в + т,5\п20)—-(2гып20-т,со5213)—=[(1, др др <9<;

— + (2тсо$2Р * т,51п20)—-(2тв\п2Р-т'со5213)^^Н„ (3 16) дя <9? ар '

где Л, - 2тъ\г\2(31 р, Я2 = -тсо$2/3/р, т' = 6т/ёр.

Показано, что дифференциальные уравнения поля напряжений (3 16) являются гиперболическими. При этом уравнения характеристик поля напряжений в аффинных пространствах записываются

с1я т зш2/? +2тсоз2/? — л/4т2 +т2

-=---г,-----ДЛЯ ¿,

<1р т соб 20 — 2т

dq т sin2(3 + 2тeos2/3 + \¡4t2 + т'2 ,

— — —--í-для t, . (31/)

dp г eos 2/? — 2т

Соотношения вдоль характеристик:

dp - 1/4т2 + T2d¡3 = —Rtdp - R2dc, вдоль ,

dp + ^4T2+T2d¡3 = -Rtdp - R2d<; вдоль . (3-18)

В четвертой главе проведен численный эксперимент по исследованию предельного равновесия трансверсально-изотропного материала Методом характеристик дано решение осесимметричных задач о вдавливании круглого штампа с плоским и сферическим основанием в трансвер-сально-изотропное полупространство

Трением пренебрегаем

Рис. 4.1 Схема нумерации точек под штампом с плоским основанием, при вдавливании его в полупространство.

Построение сетки характеристик начинается со свободной поверхности и заканчивается под штампом. При этом решаются задачи Соколовского* Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. phc. 4.1. На базе (3 17) и (3 18) были выписаны соответствующие уравнения в конечных разностях.

В результате построения сетки линий скольжения были получены следующие значения напряжений под основание штампа в исследуемых средах (таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

№ Напряжения в точках под штампом с плоским основанием в физи-

Пределы текучести | ческом пространстве (в безразмерной форме)

" / 17 '/ Г7 ,

/«.

11 10 9 8 7 в 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 06 1 3,96 3 79 3 67 356 3 49 3.42 3,29 3,28 3.21 3 15 3,09

2 1 07 1 4,62 4,43 4,29 4,16 4,08 3,99 3,84 3,83 3.75 3 67 3,60

3 1 08 1 5,32 5.10 4,94 4 81 4,69 4,59 4,42 4,41 4,32 4,23 4,15

4 1 0,9 1 5,99 5,75 5,56 5 42 5,29 5,18 4,08 4,97 4,87 4,77 4,67

5 1 1 1 6,59 6,32 6,12 5,96 5,82 5,70 5,48 5,47 5,35 5,24 5,14

6 1 1 1 1 7 25 6,95 6 73 6,56 640 6 27 6,03 6,01 5,69 5,77 5,66

7 1 1,2 1 7 91 7,59 7,35 7,15 699 6 84 658 656 6,42 6,29 6.17

8 1 1,3 1 8 57 8,22 7,96 7,75 7,57 7 41 7,13 7,11 6,96 6,82 6.69

9 1 1 4 1 9 23 8 85 8j57 8,35 8 15 7 98 7 68 766 7,50 7.34 7,20

10 1 1 5 1 9,90 9,49 9.19 8,95 8,74 8,55 8,23 8,21 8,04 7,87 7 72

11 1 1,6 1 10,55 10 11 9,79 9,53 9 31 9,11 8,77 8.75 8,56 8,39 8,23

12 1 1.7 1 11 21 10 75 10,41 10,13 9,90 9 69 9.32 9 30 910 8,91 8 74

13 1 0 728 06 4,97 4.76 4.61 4,49 4,39 4 29 4 13 4,12 4,03 3,95 3 87

14 1 0,811 0 7 5 78 5,54 5,37 5 23 5 10 500 4 81 4,80 4,69 4 60 4,51

15 1 0 883 0,8 6,22 596 5,77 5,62 _5 49 5 37 5 17 5 16 5.05 4,95 4,85

16 1 0,946 09 6 53 6,26 6,06 ¿90 5 76 564 5,43 5 41 5,30 5Лн 5,09

17 1 1 046 1.1 6 87 6,58 6,38 6,21 606 5 93 5 71 5 69 5J8 5.46 5.36

18 1 1,086 1.2 7,41 7.10 6,88 6,70 6.54 6,40 6,16 6.14 6,01 5.89 5.76

19 1 1,12 1 3 8 14 7,80 756 7,36 7 18 7 03 6,77 6.75 6,61 6,47 6,35

20 1 1 15 1.4 8 35 800 7,75 7.54 7,37 7,21 6,94 692 6,77 6,64 6,51

Расчетная схема и результаты расчетов о вдавливании сферического цлам па

Рис. 4.2. Схема нумерации точек под штампом со сферическим основанием, при вДавливании его в полупространство.

Таблица 4.2.

N0 I Пределы текучести | Напряжения в точках под штампом с плоским основанием в физи ческом пространстве (в безразмерной форме)

о А. <т А. Г7 ' / ' ет 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 06 1 4 19 3 85 3 63 3 46 3 31 3,17 3 05 2 88 2 82 2 72 1 2,62

2 1 0 7 1 4 89 4,49 4 24 4 04 3 8б] 3 70 356 3 37 3 30 3 17 3 06

3 1 08 1 5 63 5 17 4 88 4,65 4 44 4 26 4 10 3,87 3 79 3 65 3,53

4 1 09 1 в 34 5,83 5 50 5 24 5 01| 4,80 4 62 4 37 _±гвч 4 12 3,98

5 1 1 1 6,98 6,41 8,05 5.77 5,51 5,29 5,09 4,80 4,70 I 4,53 4,37

6 1 1 1 1 7,66 7,05 6,66 6 34 6,06 5,81 5,59 5,28 5 17 4,9б"1 4.81

7 1 1 2 1 8 38 7 69 7,26 6,92 6 62 6 34 6,10, 5,77 _5,65 5 44 5 25

в 1 1 3 1 9 08 8 33 7 87 7 50 1 17 6 87 6 61 6 25 6,12 о 89 5,69

9 1 1 4 1 9 77 8 96 8 47 8 08 7 72 7,40 7,12 6 73 6 59 , 6,34 6 12

10 1 1 5 10 48 9 62 9,08 8 66 8 27 794 7 64 7 21 706 6 во 6 57

11 1 1 6 1 11 17 10 25 9 68 9 23 8 82 8 46 8 14 768 7,53 7 25 7 00

12 1 1 7 1 11,87 10,90 10,2В 9 81 8 37 8 99 8,65 4.17 _8,00| 7,70 7,44

13 14" 15 1 1 1 0 728 0.81 Г 0 883 06 0.7 08 4 50 5,15 5 89 4 13. 4 73_ 5,41 3,90 4 47 5,11 3 72 4,26 4,87 _3 55_ _4 07. 4,65 _341 _3_9о" 446 _3 28. _3 75_ 4,29 .3,10. _3 54_ 4,06 -3,03. _3,47 3,97 _2 92_ .3,34 3,83 2,82_ 3 23 3 69

16 1 0,946 09 7,39 6 79 6 41 6 11 584 560 5,39 5 09 4 98 480 4,63

17 1 1.046 1 1 8,07 7,41 7.00 6,67 6,37 6.11 5,88 5,55 5,44 5,24 5,06

18 1 1,086 1,2 8,67 7,97 7,52 7,17 6,85 _6,57 6^32 5,97 5,85 5,63 5 44

19 1 1 12 1 3 9,16 8(41 7,94 7,57 7,23 _6194 6,67 6,30 Л17 5,95 5 74

20 1 1 15 1 4 9,88 9,08 8,57 6 17 7,81 7,49 7,20 6,80 в,66~1 6,42 6,19

В ходе проведенного анализа вариантов вдавливания круглого штампа с плоским и со сферическим основанием в трансверсально-

изотропное полупространство было установлено существенное влияние параметров анизотропии на несущую способность основания

Основные результаты и вывод:

1 Введение аффинных преобразований и гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения трансверсально-изотропного материала позволило, используя квадратичное условие пластичности Мизеса, сформулировать новую модификацию условия пластичности, из которой как частный случай вытекают модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко

2 Для получения новой модификации условия пластичности Мизеса необходимо наложить только одно ограничение на характеристики пластической анизотропии трансверсально-изотропного материала, в то время как в модификациях Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко накладывается по два ограничения

3 Модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко не приводятся друг к другу и поэтому описывают различные группы транс-версально-изотропных материалов. Новая модификация условия пластичности описывает более.широкий класс материалов, включая и те которые подчиняются модификациям Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко.

4. Новое модифицированное условие пластичности позволяет учесть влияние гидростатического давления на пластическое формоизменение трансверсально-изотропного материала.

5. Экспериментальные исследования листовых прокатных материалов показали приемлемость нового модифицированного условия пластичности и непротиворечивость гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения анизотропной среды.

6. Введение новой формализации условия полной пластичности позволило обобщить концепцию Кармана-Хаара на аффинные пространства и для случая осесимметричной задачи получить четырех константное условие полной пластичности трансверсально-изотропного материала.

7 Поскольку четыре константы можно получить из трех экспериментов на одноосное растяжение с привлечением ассоциированного закона пластического течения, то предложено новое условие пластичности, содержащее только три константы, которые можно определить без ассоциированного закона пластического течения. Новое условие пластичности позволяет экспериментальным путем определять параметр перехода из физического пространства в аффинное пространство.

8. На базе этого условия полной пластичности трансверсально-изотропной среды дана постановка осесимметричной задачи. Показано, что задача является статически определимой, дифференциальные уравнения поля напряжений принадлежат к гиперболическому типу и для их решения можно использовать метод сеток.

9 Возможности испопьзования полученных уравнений демонстрируются посредством решения задачи о вдавливании плоского кругового и сферического штампов в трансверсально-изотропное жесгкоппастическое полупространство

10 Анализ численных решений показал, что параметры пластической анизотропии трансверсально-изотропной среды оказывают существенное влияние на значения предельных нагрузок на штампы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Демичев В Н , Колотилин А Н , Костиков И Е . Матченко И Н Экспериментальная проверка гипотезы несжимаемости на примере прокатного листового материала (титановою сплава ВТ1 толщиной 1 мм)// Сборник научных трудов Механика деформируемого твердо го тела и обработка металлов давлением Часть! Тульский государственный университет Тула 2001 С. 11-22 Матченко Н.М., Матченко И Н., Кузнецов Е.Е., Исаева И А.. Колотилин А.Н., Костиков И А Гипотеза квазинесжимаемости в теории идеальной пластичности ортотропного тела// Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сб. матер. Межд науч.-технич. конф Тула' Изд ТулГУ, 2001, 6162

Демичев В Н , Колотилин А 11., Костиков И.Е., Матченко И.Н. О пластической анизотропии прокатного листового материала (сталь 08Х18Н10Е толщиной 1 мм)// Известия ТулГУ Серия «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений, Вып. 3, / Тула, ТулГУ, 2002 С 97-105.

Демичев В Н., Колотилин А Н , Костиков И Е., Матченко И.Н (Экспериментальная проверка гипотезы несжимаемости на примере прокатного листового материала (алюминиевого сплава АДО толщиной 2,8 мм)// Известия ТулГУ Серия «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений, Вып. 3, / Тула, ТулГУ, 2002. С 105-108 Демичев В.Н , Колотилин А Н., Костиков И Е , Матченко И Н О пластической анизотропии прокатного листового материала (Л63 толщиной 1 мм)// Сб науч. Трудов. Механика деформируемого твердого тела и обработка .металлов давлением. Часть 1, -Тула: ТулГУ. 2002. С.9-17

Демичев В.Н, Колотилин А.Н.,' Костиков И.Е, Матченко И.Н. Экспериментальная проверка гипотезы несжимаемости на примере прокатного листового материала (титанового сплава ВТ1 толщиной 1 мм)// Сб. науч Трудов Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1, -Тула: ТулГУ. 2002. С.20-39

Демичев В.Н , Колотилин А.Н , Костиков И Е., Матченко И Н. Экспериментальная проверка законов пластического течения листовых анизотропных материалов/ Сборник материалов (доклады) 3-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» 2002 15-19

Демичев В.Н , Костиков И.Е., Матченко И.Н. Матченко Н.М. Об условии пла-

стичности изотропных срет Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии Сб матер Межд науч -технич конф: Тула, ТулГУ, 2004 16-25

1) Демнчев В Н , Костиков И Р Матченко Н М , Матченко И Н Об условии пластичности изотропных среч/ Современные проблемы математики, механики информатики, тезисы докладов Межд. науч конф Т\ла изд-во ТулГУ. 2003 С 36-37.

Ю Гоманчук Л Г . Костиков И Е . Матченко И Н , Матченко Н М Условие полной пластичности цилиндрически-ортотропных сред/ Современные проблемы математики, механики, информатики' тезисы докладов Международной научной конференции Тула- изд-во ТулГУ, 2003

11 Демичев В.Н., Колотилин А Н . Костиков И.Е , Матченко Н М., Матченко И Н Экспериментальная проверка законов пластического течения листовых анизотропных материалов/ Мат. межд. школы-семинара Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж' Изд. ВГУ 2003 С 100109

12 Матченко Н.М , Костиков И Е.Матченко И Н. Об условии полной пластичности в осесимметричной задаче трансверсально-изотропной среды// Изв ТулГУ Серия: Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Вып. 2. 2004. С 3-14.

13 Костиков И.Е., Кузнецов ЕЕ., Матченко И.Н, Матченко Н.М, Усачев В.В. Формулировка условия пластичности идеальносвязной трансверсально-изотропной среды. / Сб. матер. VI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии»/Тула: ТулГУ, 2005. С. 32.

J t.

г

h 4

I 15276

РНБ Русский фонд

2006-4 10952

Подписано в печать 0$. 05 г. Формат бумаги 60x84,1/16. Бумага офсетная. Усл. Печати л. 1,2. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ ¡гЬ Тульский Государственный Университет 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве Гул ГУ /

300600, г. Тула, ул. Болднна, 151.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КВАЗИНЕСЖИМАЕМЫЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ.

1.1. Представление трансверсально-изотропной среды в аффинных пространствах.

1.2. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения трансвер-сально-изотропного материала.

1.3. Вычисление компонент преобразующего тензора. Выводы по главе 1.

Глава 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНА ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ПРОКАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

2.1. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала на примере листовых прокатных металлов.

2.2. Вычисление характеристик пластической анизотропии.

2.3. Экспериментальная проверка гипотезы о несжимаемости пластического течения.

2.4. Определение компонент преобразующего тензора. Выводы по главе 2.

Глава 3. СООТНОШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

3.1. Постановка задач осесимметричного течения изотропных и транс-версально-изотропных сред.

3.2. Условие полной пластичности трансверсально-изотропной квазинесжимаемой среды.

3.3. Условие полной пластичности трансверсально-изотропной среды в осесимметричной задаче.

3.4. Поле напряжений и скоростей осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды.

Выводы по главе 3.

Глава 4 Численный эксперимент по исследованию осесимметричного течения трансверсально-изотропного материала.

4.1 Вдавливание круглого штампа с плоским основанием в трансвер-сально-изотропное полупространство.

4.1.1 Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство.

4.1.2 Анализ вариантов вдавливания круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство.

4.2 Вдавливание круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.

4.2.1 Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.

4.2.1 Анализ вариантов вдавливания круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство. Выводы по главе 4. Выводы по диссертационной работе. Литература. Приложение.

История построения соотношений теории идеальной пластичности изотропных и анизотропных сред.

Рассмотрим построение теории идеальной пластичности анизотропных сред на основе квадратичного условия пластичности.

Существенные результаты в исследовании теории идеальной пластичности в нашей стране и за рубежом были получены авторами: Б. Сен-Венаном, А. Хааром и Т. Карманом, Губером, Р. Мизесом, Анниным Б.Д., Адамеску Р.А., Бриджменом П., Геогджаевым В.О., Гольденблатом И.И., Ивлевым Д.Д., Ишлинским А.Ю., Яковлевым С.П., Кухарем В.Д., Яковлевым С.С. [2-4, 11-13,21,32, 42,49, 83, 84,85,90, 92, 96, 99, 105, 118, 120, 121, 139, 164, 171, 202-204, 218, 225, 226, 243-248, 251-255, 259, 260, 268, 269, 277-283, 286, 287, 292, 297, 306, 313-316].

Французский ученый Треска (1864 г.) [347], анализируя результаты экспериментов по штамповке заготовок из свинца, предложил гипотезу, о пластическом течении изотропного материала, которое возникает при достижении максимальным касательным напряжением- ттах предельного значения max\ = fai-Oj)>k k = const (i,j = 1.2.3) (Г.1) где сг'- главные компоненты тензора напряжения, причем (7 j > (72 >

Условие пластичности Треска можно представить шестигранной призмой, «призмой Треска», в пространстве главных напряжений

7j(i -1,2,3) ^ ПрИчем грани призмы параллельны гидростатической оси. Призма Треска рассекаясь девиаторной плоскостью, с уравнением а1 + °2 + а3 — 0 ? строит шестиугольник Треска. Позже Б. Сен-Венан (1870 г.), в монографии «Об установлении уравнении внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости», вводит зависимость напряжений и скоростей деформации для двумерного пластического течения идеально-пластического тела, эти соотношения остаются актуальными и сегодня. Запишем систему квазилинейных уравнений, предложенную Б. Сен-Венаном: -2ksin20— + 2kcos2e— = O, дх дх ду

-+ 2kcos20--1-2ksin26— = 0. v ^ ду дх ду )

Эти соотношения получают, путем подстановок (Ту = (Т — kcos29,, сгу = сг-к cos 29, сг-ху = к sin 20, ст = (сгх -cry)/2, удовлетворяющих

2 2 2 условию пластичности Треска (ах-ау) +4сг Ху=4к , в уравнения дсгх д(тху даХу дау равновесия —— +-— = 0,-—л--— = 0. дх ду дх ду

Вообще уравнение грани призмы Теска выглядит, как (сг,- — &•) = 2к, его записал ученый М.Леви (1871 г.) [157] в компонентах тензора напряжений <Ту в произвольной декартовой системе координат, где пластическое течение определяется из условия пропорциональности касательных напряжений сдвигам, в своей теории идеальной пластичности для пространственного течения. А. Хаар и Т. Карман (1909 г.) в работе «К теории напряженного состояний в пластических и сыпучих средах» [293], показывают общие корни теории пластичности и теории предельного состояния грунтов. Условие полной пластичности А. Хаара и Т. Кармана представляет собой зависимость между главными напряжениями: <Jl~<J2t) ст1-стз-2к а2-(73-2к^ 4TQ с00хветствует пересечению двух граней призмы Треска, образующих ребро- соответствующее напряженному состоянию.

Согласно зависимости А. Хаара и Т. Кармана между главными напряжениями, максимальное касательное напряжение достигается на конусе с раствором угла л/4 с осью вдоль главного напряжения .

При разработке обобщенного ассоциированного закона пластического течения выяснилось фундаментальное значение условия пластичности Хара-Кармана в теории малых упруго пластических деформаций.

Губер [327] и Р. Мизес [217] (приблизительно в 1904 г. Губер , а в 1913 г. Р. Мизес) ввели квадратичное условие пластичности, причем Р. Мизес связал его с предельным значением упругой энергии формоизменения изотропного тела и предложил математическую форму условия пластичности проще, чем уравнение грани призмы Треска, данное М. Леви.

Условие пластичности Губера-Мизеса представляет собой цилиндр в пространстве главных напряжений, направляющая которого параллельна гидростатической оси

C7J -СТ2)2+ (*2 -*з)2+ (о-з - СТ])2 = 4к2. (1

Понятие «жесткопластического тела», предложенное Прандтлем (1921 г.) [335], послужило одной из основ теории идеальной пластичности. Он показал, что система квазилинейных уравнений, предложенная Б. Сен-Венаном (Г.2), принадлежит к гиперболическому типу. Прандтль вычислил предельные нагрузки для вдавливаемого жесткого штампа в идеально пластическое полупространство, предложив свою форму построения сетки линий скольжения под штампом, усеченный клин, аналитически решил задачу о сдавливании полосы шероховатыми плитами. В 1928 г. Р. Мизес установил ассоциированный закон пластического течения для гладких поверхностей текучести, введя принцип максимума («принцип максимума Мизеса»). Принципа максимума позволил объяснить, что для построения теории пространственного течения М. Леви использовал уравнение грани призмы Треска, условие несжимаемости и соотношения пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций, т.е. М. Леви соединил условие пластичности Мизеса с уравнением грани призмы Треска. Разработка указанных соотношений позволила решать задачи теории обработки металлов давлением, несущей способности строительных конструкций, оснований фундаментов и самое основное- сформулировать основные теоремы теории изотропного идеально пластического тела.

В начале XX века наиболее яркие работы были представлены Гейрингер (1930 г.), которая получила соотношения скоростей перемещений вдоль линий скольжения. До середины XX века С.Г. Михлин [222], С.А. Христианович [294] получили результаты, связанные с интегрированием уравнений плоской задачи в теории идеальной пластичности.

В предположении, как Хаар и Карман, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями, А.Ю. Ишлинский [114] предложил описание пространственного течения идеально-пластического тела в виде следующих соотношений: - уравнения равновесия

9crv дет™ даУ

- + ■ дх ду f-= dz д&ху , дсгу dcryz дх ду dz dcrxz , dcryz , daz

1'.4)

0; дх ду dz

- условия совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей деформации, условие изотропии + + ^„е^ = + + > <VV + аУ*£г = + °у-еу + Gz£yz > + <*г£» = + VxyZyz + ; (1 '.5)

- условие несжимаемости ex+ey+ez=0, ди dv d\v п

- условие пластичности fl(v,h>h) = 0, /2(ст,12,1з) = 0, (1\7) где сг, /2, Ij - инварианты тензора напряжений а = (ах + ау + а2)/3,

2 2 2 h = ^х^у + <7y<rz + °z°x-°xy-°yz~ °zx>

2 2 2 I3=(Jx(Jy(Jz+2(Jxy(JyzG'xz ~axcryz -VyVxz-Vz&xy- (1 '-8)

To, что для изотропного тела пространственное пластическое течение возможно только при условии пластичности соответствующем ребру призму Треска, было показано в 1959 г. Д.Д.Ивлевым.

Следует отметить, что Р. Мизесом [331] распространил предположение о существовании пластического потенциала для изотропных сред на среды анизотропные, что стало началом исследований предельных состояний анизотропных сред. В основе его теории лежит предположение о том, что условие пластичности анизотропного тела представляет собой некоторую квадратичную функцию напряжений, инвариантную относительно точечной группы преобразований координат, характеризующей симметрию свойств этого тела. Кроме того, предполагалось, что анизотропное тело обладает свойством идеальной пластичности и несжимаемо, отсутствует эффект Баушингера, функция текучести совпадает с пластическим потенциалом скоростей деформаций. Условие пластичности Мизеса в общем случае анизотропии содержит пятнадцать констант материала, а для ортотропного материала их количество уменьшается до шести. B.JI. Герман [45] в качестве основного недостатка условия текучести Мизеса отмечает отсутствие физической трактовки этого условия. В. Ольшак [333] показал, что при определённых соотношениях между упругими характеристиками анизотропного тела условие текучести Мизеса может трактоваться как энергетическое.

В середине XX века Р. Хилл [297] вновь вернулся к исследованию условия текучести Мизеса для случая ортотропного тела, когда в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств. Наиболее простую форму это условие принимает в системе координат, связанной с главными осями анизотропии. В этот же период Маховер [216] исследовав квадратичное условие пластичности для материала с моноклинной сингонией получил соотношения, из которых результаты, полученные Р. Хиллом, вытекают, как частный случай.

Анализом течения жёсткопластического ортотропного материала в условиях плоского напряжённого состояния и плоской деформации, при использовании соотношений Хилла, занимались Арышенский В.Ю., Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В., Быковцев Г.И. , Геогджаев В.О., Дмитриев A.M., Кухарь В.Д., Ренне И.П., Яковлев С.П., Кузин В.Ф., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. [11, 12, 26, 37, 40-43, 58, 59, 82, 229, 252-255, 277282, 307, 313-316]. Благодаря трудам вышеперечисленных авторов, началось обобщение критериев прочности и пластичности для изотропных материалов на анизотропные материалы. При этом следует отметить характерный недостаток- число экспериментов для нахождения констант резко увеличивалось, так критерий Мизеса-Хилла требует шести опытов на растяжение - кручение в главных осях ортотропии. Девять опытов при обобщенном критерия прочности В.Н.Захарова [91] и двенадцать, в случае ортотропного материала с различными механическими свойствами при растяжении и сжатии в критерии Соботки [342].

Сингулярные условия пластичности изотропных материалов пытаются применить к анизотропным ученые Ю. Н. Шевченко, Р. Г. Терехов [306], они предлагают некоторые кусочно-линейное условие текучести самого общего вида интерпретировать в пространстве напряжений неправильной призмой, образующая которой параллельна гидростатической оси, при этом девиаторное сечение указанной поверхности будет являться выпуклым многоугольником. Гольденблат И.И. и Копнов В.А., в своем труде: «Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов» [49], проводят анализ регулярных и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, этим же занимается Кравчук А.С. в своей работе: «О теории пластичности анизотропных материалов» [141]. В рассмотренных работах проведен достаточно полный анализ как регулярных, так и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, и потому рассмотрим работы, которые не рассматриваются в вышеприведенных обзорах. В основном к ним можно отнести труды: Косарчука В.В., Ковальчука Б.И., Лебедева А.А. «Теория пластического течения анизотропных сред» [139], Прагера В., Ходжа Ф. «Теория идеально пластических тел» [246], Попова Е.А. «Основы теории листовой штамповки» [245], Толоконникова Л.А., Яковлева С.П., Кузина В.Ф. «Плоская деформация со слабой пластической анизотропией» [279]. При построении теории идеальной пластичности предельные условия S\ = S0i^ для каждого изотропного подпространства (S% - соответствующая каждому из них квадратичная форма тензора напряжений, S- экспериментально определяемые величины) для всего пространства аппроксимируют кусочно-линейными поверхностями, т.к. в одномерных подпространствах не предполагается различия в пределах текучести на растяжение и сжатие, количество экспериментов для нахождения Sравно числу собственных подпространств. Толоконников Л.А., Яковлев С.П. и Кузин В.Ф. [279], рассматривают условия пластичности, как функции инвариантов тензора напряжений, они предлагают условие пластичности считать-экспериментально определяемой, по коэффициентам, функцией линейных и квадратичных инвариантов I], ., 1п тензора напряжений, то есть если

Ф(1 ],., 1п) < Ф0, где Ф0 может зависеть от истории нагружения, то связь между напряжениями и скоростями деформации квазилинейна. А.С.Кравчук в своей работе «О теории пластичности анизотропных материалов» [141], описывает некоторые особенности пластического деформирования анизотропных материалов по теории течения и деформационной теории пластичности с использованием понятия собственных напряженных состояний, введенных Я. Рыхлевским [257]. В работе А.А. Лебедева, Б.И. Ковальчука и В.В. Косарчука [139] предложено в главных осях напряжений и анизотропии условие текучести трансверсально-изотропных материалов, отражающее долевой вклад октаэдрических и максимальных касательных напряжений в наступлении текучести. В пространстве напряжений это условие (для нахождения которого необходимо провести четыре эксперимента) в зависимости от значений входящих в него параметров геометрически интерпретируется как гладкой (регулярной), так и сингулярной поверхностью. Эти же авторы, обобщают рассмотренное условие для произвольного напряженного состояния ортотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению сжатию, представляя его в пятимерном пространстве напряжений S^j в виде fldlSj/rj )1/2+(l-jj)YJCjSjf + (1\9) I,sl/rj? = l(j = l,2,k = 3.5),

В данном условии неизвестные параметры определяются на основании характеристик: а^т,а^т,аРт,^т,а^т,(7зт,т12т,Т2зт,т31т)аУт2, то есть из десяти опытов.

К теориям пластического течения, в которых учитывается зависимость текучести от гидростатических напряжений, относятся исследования М.А. Грекова [52] . В самом общем случае анизотропии в условии текучести присутствуют девять неизвестных констант. Также автор указывает на необходимость одновременного исследования как упругих, так и пластических свойств материалов в полном объеме. Икегами в работе «Эксперименты пластичности над анизотропными материалами» [329] систематизирует критерии предельного состояния материалов, анизотропия которых вызвана предварительной пластической деформацией, при этом основное внимание уделено различиям формы поверхности текучести в начальном состоянии и его трансформация при пластическом деформировании.

Изотропные изображающие пространства.

Далее обратимся к исследованиям, в которых рассматриваются различные аспекты преобразования анизотропного тела к изотропному изображению. Одно из направлений - представление поведения анизотропного тела в "изотропном изображающем пространстве" - основано на математических преобразованиях пространства напряжений, скоростей деформаций, то есть на формальном введении А.А. Ильюшиным изотропных" тензоров типа s(kl) = c(kl) (hi) пмо) лу ijmn тп • \l -lv)

При исследовании трансверсально-изотропного материала Н.Б. Алфутова [5-7] использовала этот принцип А.А. Ильюшина.

Другим подходом, является принятие пластического потенциала в виде квадратичной функции компонент напряжений предложенное Л.А. Толоконниковым и Н.М. Матченко [204, 275], при этом коэффициенты анизотропии Ау определяются экспериментально. Обобщенные напряжения

Sy =djj(Am в таких случаях выбираются так, чтобы условие текучести в пространстве sy сводилось к требованию постоянства обобщенного октаэдрического напряжения. Скорости пластических деформаций находятся как градиенты к данным поверхностям.

Следующий вариант - это непосредственное введение тензора напряжений, а иногда и скоростей деформаций, в "изотропном" представлении, причем необязательно, что связь cry с обобщенными напряжениями sy анизотропного тела будет линейной, предложенный J.

Betten [318]. Пластический потенциал в данном случае рассматривается как скалярная функция "изотропных" инвариантов.

Толоконников Л.А. и Матченко Н.М. [202, 204, 275, 276], при формулировке предельных состояний и законов течения анизотропных материалов предлагают использовать линейные преобразования пространств координат, компонент вектора скорости, компонент тензора напряжения и скорости пластических деформаций. В преобразованном пространстве все операции производятся так же, как и в изотропном. Причем в отличие от предыдущих работ, одним из условий, накладываемых на матрицу преобразования, является тождественность мощности диссипации механической энергии при пластическом течении в физическом и изображающем изотропном пространстве. Требование изотропии преобразованного пространства накладывает ограничения на пластические характеристики материала. При формулировке условий пластичности, по мнению многих рассмотренных авторов, необходимо руководствоваться условиями:

- условие предельного состояния должно максимально точно описывать поведение реального материала,

- для определения констант, входящих в предельное условие, проводить минимум экспериментов,

- условие предельного состояния должно быть математически целесообразным, т.е. по крайней мере, в рамках жесткопластической модели, приводить к уравнениям гиперболического типа.

Т.к. исследования предельных условий для материалов с произвольной анизотропией является весьма сложными, в дальнейшем остановимся на квадратичном условии пластичности.

Анализ постановок задач осесимметричного течения изотропных и трансверсально-нзотропных сред и методов решения.

Следует отметить, что в настоящее время наиболее малоизученными остаются вопросы — по отработке методов решения практически важных задач осесимметричной деформации с учетов анизотропии;

- по изучению пластического течения анизотропных, неоднородных тел в условиях плоско-напряденного и плоско-деформированного состояний; - по установлению одновременного влияния анизотропии и неоднородности на силовые и деформационные параметры процессов обработки металлов давлением;

- в отечественной и зарубежной литературе практически отсутствуют данные по изучению изменения анизотропии и неоднородности механических свойств различных материалов в зависимости от изменения температуры;

-практически отсутствуют работы по исследованию анизотропии в процессах осесимметричной деформации.

Вместе с тем, проведем обзор работ авторов занимающихся определением поля характеристик (сетки линий скольжения) для анализа напряженно деформированного состояния тела в процессах обработки металлов давлением.

Осесимметричное напряженное и деформированное состояние описывается компонентами напряжений и компонентами скоростей деформации отнесенными к цилиндрическим координатам. Указанные компоненты известным образов входят в уравнения равновесия, условие текучести и уравнения связи компонент напряжений и компонент скоростей деформации см. (2.2-2.7). Уравнения составляют систему семи уравнений для определения семи неизвестных (4 компоненты напряжения, 2 компоненты скорости и скалярный множитель). В общем случае, эта система является эллиптической, решение которой в настоящее время практически не изучено. Имеется только три уравнения, содержащих одни напряжения, четвертое может быть получено из уравнений связи посредством исключения 2-х компонент скорости и скалярного множителя, так как в физической задаче устанавливаются граничные значения напряжений, а не их производных, то для того, быть уверенным в однозначности решения, в любом случае быть рассмотрены уравнения для скоростей. Поэтому, вообще говоря, задача не является статически определимой.

Решения некоторых задач могут быть получены с введением "полной пластичности", предложенного Хааром и Карманом [293]. Применяя указанную гипотезу, Генки Г. [38] и Ишлинский А.Ю., [116] рассмотрели задачу о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в полупространство. Ишлинский А.Ю. также исследовал задачу о вдавливании жесткого шара в пластическую среду, также условие полной пластичности широко используется в разработке инженерных расчетов обработки металлов давлением.

Некоторые точные частные решения осесимметричных задач получены полуобратным методом. Отметим здесь задачи Соколовского В.В. о течении пластической массы в круговом конусе и об осесимметричном радиальном перемещении упрочняющейся массы. Решение отыскивалось автором в предположении радиального течения.

Хилл Р. [297], используя обратный метод, построил решение о сжатии цилиндра усилиями, распределенными на торцах по определенному закону. Им рассмотрена задача о вдавливании металлического стерня из сжимающейся цилиндрической втулки по аналогии с циклоидальным решением Прандтля для массы, сжатой между шероховатыми плитами, а также ряд других задач (о цилиндрической трубе подверженной действию осевого растяжения внутреннего давления, об обжатии труб, о распределении давления в шейке растягиваемого образца, о сжатии цилиндра шероховатыми плитами).

Все вышеизложенные решения получены с использованием условия текучести Губера-Мизеса. Положение изменяется, если применяется критерий текучести Треска. Напряженное состояние в этом случае может быть представлено сторонами или вершинами шестигранной призмы, Шилд [338], используя критерий текучести Треска, получил замкнутое решение для полупространства, подвергающегося действию цилиндрического штампа и исследовал задачу о течении идеально-пластического и упрочняющегося материала в конической канале. Ивлев и Ершов для решения осесимметричных задач применили метод возмущений, используя упруго-пластическую модель. Таким образом, была рассмотрена задача о толстостенной конической трубе, подвергающейся внешнему давлению.

Следует отметить однако, что при использовании условия текучести Треска заранее, вообще говоря, неизвестны границы зон, отвечающих за различные режимы. Построение решения требует тщательного анализа расположения зон с различными режимами и выполнения всех надлежащих ограничений и условий совместности.

При этом возникают трудности точного интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности, что заставило многих исследователей при решении осесимметричных задач по определению деформирующих усилий (при осадке, вытяжке, прошивке, выдавливании, волочении и т.д.) вводить упрощающие предпосылки, составлять для каждого случая упрощенные уравнения равновесия и решать их совместно с условием пластичности. Все это составило основу инженерного метода.

Для решения осесимметричных задач установившегося течения может быть использован визиопластический метод, предложенный Э. Томсеном и сотрудниками [287.1]. Метод предусматривает использование координатной, наносящейся на меридиональную плоскость цилиндрического образца, с целью экспериментального установления векторного поля скоростей, определение скоростей деформации и определение напряжений с помощью уравнений связи. В настоящее время при решении осесимметричных задач широко применяется метод верхней оценки Кудо-Кабояши [329.1], заключающийся в распространении введенного понятия единичной прямоугольной области деформации (для случая плоской деформации) на анализ осесимметричных задач и в рассмотрении допустимых полей скоростей.

Некоторыми исследователями сделаны попытки найти такие методы анализа, которые достоверно отражали бы действительный механизм осесимметричной деформации.

Так же предлагается метод, делящийся развитием метода Shabalk, Altan, которые ввели понятие о функции тока и применили визиопластичный способ исследования с использованием счетно-решающего устройства. Известен метод, когда на основе условия пластичности Хаара-Кармана определяется усилие осесимметричного прессования. При этой вводится полуобратный метод, предполагающий, что нормальные и касательные напряжения распределены на контактной поверхности по прямолинейному закону и, что поле скоростей определяется для граничных условий исходя из скоростей жестких зон, расположенных вреди и сзади пластической зоны. В заключение следует ответить, что во всех вышеизложенных методах решения осесимметричных задач, в основном, рассматривается идеальный жестко-пластический изотропный материал, в как в практике технологических задач приходится иметь дело с анизотропным материалом.

Известна работа В.О. Геогджаева [43], в которой решается задача волочении через коническую матрицу тонкостенных труб из изотропного материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса-Хилла. Показывается, что анизотропия существенно влияет на напряженно деформированное состояние труб при волочении.

Так же следует отметить, что теоретический анализ процессов пластического формоизменения анизотропных материалов связан со значительными математическими трудностями. Поэтому в большинстве решений анизотропия механических свойств учитывается на основе эксперимента. Несмотря на значительное число работ, посвященных исследованию анизотропии и её влияния на процессы пластического формоизменения, многие вопросы, связанные с анизотропией, требуют дальнейшей разработки.

Постановка основных задач диссертационного исследования.

Целью настоящего диссертационного исследования является рассмотрение осесимметричных задач теории пластичности, в частности постановка численного эксперимента по исследованию осесимметричного течения трансверсально-изотропного материала (вдавливание штампов в полупространство), экспериментальное исследование закона пластического течения прокатных материалов и, как следствие развитие теории осесимметричного течения трансверсально-изотропных материалов.

Выводы по диссертационной работе.

1. Рассмотрена история построения соотношений теории идеальной пластичности изотропных и анизотропных сред.

2. Введение аффинных пространств не накладывает никаких ограничений на характеристики пластической анизотропии материала.

3. Гипотеза о квазинесжимаемости трансверсально-изотропного материала в аффинном пространстве накладывает только одно ограничение на пластические характеристики трансверсально-изотропного материала, в то время как гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве накладывает два ограничения.

4. Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве.

5. Гипотеза о несжимаемости пластического течения трансверсально-изотропного материала в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения в аффинных пространствах.

6. Предложенное условие пластичности (1.10) описывает более широкий класс трансверсально-изотропных материалов, нежели условие пластичности Мизеса-Хилла и адекватно описывает данные экспериментов.

7. Гипотеза о квазинесжимаемости позволяет полностью использовать данные экспериментов при вычислении пластического изменения объема.

8. Изложена новая точка зрения на проблему полной пластичности.

9. Дано обобщение соотношений полной пластичности.

10. Сформулировано трех константное условие полной пластичности транс-версально-изотропной среды.

11. Приведена постановка осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для трансверсально-изотропной среды. Предложено условие полной пластичности, при котором задача становится статически определимой, а дифференциальные уравнения поля напряжений и поля скоростей являются гиперболическими. Возможность применения полученных соотношений продемонстрирована посредством решения задачи о выдавливании круглого штампа с плоским и со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.

12. Выполнен численный эксперимент по исследованию осесимметричного течения трансверсально-изотропного материала, с построением сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа с плоским и со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство. Проведен анализ полученного распределения напряжений под штампами. Показано существенное влияние параметров анизотропии на несущую способность основания.

1. Александров К.С. Упругие свойства анизотропных сред: Автореферат докт. дис. М.: Ин-т кристаллографии АН СССР, 1967. 37 с.

2. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука. 1983. 238 с.

3. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука. 1985. 142 с.

4. Адамеску Р.А., Гельд П.В. , Митюшков Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. -М.: Металлургия. 1985. 136 с.

5. Алфутова Н.Б. Об одной задаче генезиса в случае предварительного простого нагружения,- Вестн. Моск. ун-та. серия I. 1984, № 5. 50-52.

6. Алфутова Н.Б. Вопросы упруго-пластического деформирования анизотропных тел. У1 всес. съезд по теор. и прил. мех. Ташкент, 1986. Ан-нот. докл., Ташкент, 1986.

7. Алфутова Н.Б. Отношение эквивалентности упруго-пластических свойств анизотропных тел. МГУ.- М., 1987, 18 с. Деп. в ВИНИТИ 4159-В-87. Деп. от 09.06.1987.

8. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести // ДАН РАН. -1996. Т. 350, № 3. - С. 332-334.

9. Артемов М.А., Пупыкин С.Н., Шурупов Д.Ю. О соотношениях теории пластичности анизотропных сред/ Мат. межд. школы-семинара. Современные проблемы механиники и прикладной математики. Воронеж: Изд. ВГУ. 2003. С. 7-14.

10. Арышенский Ю.М. ,Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия. 1990. 304 с.

11. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В, Арышенский В.Ю. Получение рациональной анизотропии в листах / Под ред. Ф.В. Гречникова. М: Металлургия. 1987. 141 с.

12. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. JL: Машиностроение. 1969. 112 с.

13. Багавантам С., Вепкатарайду Т. Теория групп и ее применение к физическим проблемам, ИЛ, 1959. 254 с.

14. Бастуй В.Н. К оценке деформационной анизотропии металлов.// Пробл. прочности. 1979. № 11. С. 49-51.

15. Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения,- Механика. Сб.переводов, 171962. №1,71, 134-155.

16. Баш Ю.М., Васин Р.А., Вега К.Э. Об учете деформационной анизотропии в теории течения/ В кн. "Вопросы теории пластичности", М.: Изд-во АН СССР. 1961. С. 83-91.

17. Беликов Б.П., Александров К.С., Рыэ/сова Е.В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород. М.: Наука, 1970. 276 с.

18. Белл. Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть 1. Малые деформации. М.: Наука. 1984. 600 с.

19. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука: В 2ч. Л.: Литограф, изд. автора, 1926., или Журнал физ. -хим. Общества, VIII, вып. 3,4.

20. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций. М.: Изд-во иностр. Лит. 1955. 444 с.

21. Бровко Г.Л. Класс моделей упругих тел при конечных деформациях и устойчивость равновесия// Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. -Калинин: Изд-во КГУ, 1986. С. 11-121.

22. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях// Упругость и неупругость. -М: Изд-во МГУ, 1987. С. 68-81.

23. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях// Доклады АН СССР. 1989. Том 308. №3. С. 814-824.

24. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред// Известия РАН. МТТ. 2000. - №6. - С. 4-15.

25. Быковцев Г.И. О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. №2. 1963. С. 151-157.

26. Вакуленко А.А., Качалов Л.М. Теория пластичности / В кн. Механика в СССР за 50 лет. Т.З. С. 79-118.

27. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении. В сб.»Упругость и неупругость», изд-во МГУ. 1971. С. 59-126.

28. Васин Р.А. О связи напряжений и деформаций для траекторий деформаций в виде двухзвенных ломаных.// Прикл. Механика, т.1,вып.Н, 1965. С. 89-94.

29. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. О виде матрицы деформационной анизотропии. // Докл.АН Азерб. ССР. 1965, т.21, № 9, С. 8-11.

30. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. Об исследовании деформационной анизотропии при сложном нагружении. В сб.»Прочность и пластичность». М., Наука, 1971, С. 126-129.

31. Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов// Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: 1989. С. 40 - 57.

32. Васин Р.А., Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах// Известия АН СССР. МТТ. 1983, №4.1. С. 114-118.

33. Вольский М.И., Молочная Т.В., Терехов А.Н. Определение пластической анизотропии в поковках некоторого типа // Заводская лаборатория. — 1975.-№ 10. С.1262-1264.

34. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. —М.: Мир, 1977. — 383 с.

35. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеальной пластического тела, Проблемы механики. Сб. статей. — М.: ИЛ, 1955. С.

36. Гениев Г.А., Курбатов А. С., Самедов Ф.А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. М,: Интербук. 1993. - 183 с.

37. Генки Г О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Теория пластичности. М: ИЛ, 1948. -С. 80-101.

38. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений. Теория пластичности. М: ИЛ, 1948. -С. 114-135.

39. Геогджаев В. О. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов // Тр. Моск. физико-техн. ин-та. 1958. вып.1. Исследования по механике и прикладной математике. С. 69-96.

40. Геогдо/саев В.О. Пластическое плоское деформированное состояние ор-тотропных сред // Труды МФТИ. Вып. 1. 1958. С. 67-94.

41. Геогджаев В.О. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов. М.: Оборонгиз, 1958. 156 с.

42. Геогджаев В.О. Волочение тонкостенных анизотропных труб сквозь коническую матрицу // Прикладная механика, т. IV, Вып. 2. 1968. С. 52-60.

43. Геракович К. Неупругие свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978.324 с.

44. Герман B.JI. Некоторые вопросы теории пластичности анизотропных сред,/ Докт. диссерт., Физико-технический институт АН УССР, Харьков, 1946.

45. Глаголева М.О., Маркин А.А., Матченко Н.М., Трещев А.А. Свойства изотропных упругих материалов// Изв. ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 4, вып. 2, 1998. С. 15 19.

46. Голубятников А.Н. Аффинная симметрия и релаксационные модели анизотропных сплошных сред// Упругость и неупругость. Материалы международного научного симпозиума. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 88-90

47. Гольденблат И.И. К теории малых упруго-пластических деформаций анизотропных сред // Доклады АН СССР, 1955, Том 101, № 4, С. 619622.

48. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение. 276 с.

49. Гоманчук Л.Г., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Об осесимметричной задаче теории пластичности// Тезисы докладов. Всероссийская научная конференция: современные проблемы математики, механики и информатики,/ Россия, Тула, ТулГУ, 2000, С. 86-87.

50. Гоманчук Л.Г., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Улннкин В.В. Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные среды/ Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сб. матер. IV Межд. Науч.-технич. Конфер.: Тула, ТулГУ, 2003. С. 15-16.

51. Гоманчук Л.Г., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные среды//Известия Тульского государственного университета. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 5. Тула 2003. С. 187-193

52. Горб М.Л., Карпинос Д.М., Островский А.А. Экспериментальное исследование влияния деформационной анизотропии на упруго-пластические свойства тонколистовой стали. // Проблемы прочности. 1979. № 7. С. 2530.

53. Греков М.А. Пластичность анизотропного тела.// Доклады АН СССР. 1984. Т.278. № 5. с. 1082-1084.

54. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение. 1998. 446 с.

55. Гречников Ф.В., Дмитриев A.M., Кухарь ВД. и др. Прогрессивные технологические процессы холодной штамповки / Под ред. А.Г. Овчинникова. М.: Машиностроение, 1985. - 184 с.

56. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 456 с.

57. Губанов С.Н. Некоторые осесимметричные задачи теории идеальной пластичности анизотропных тел. Дисс. к.ф.-м.н., 1979. 89 с.

58. Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях. -М.: Машиностроение. 1987, 456 с.

59. Демичев В.Н., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Пластическая анизотропия листовых металлов// Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции/ Тула, ТулГУ, 2000, С. 63-64

60. Демичев В.Н., Матченко И.Н., Яковлев С.С. Анизотропия характеристик пластичности листовых металлов// Известия ТулГУ Серия «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений, Вып. 2, / Тула, ТулГУ, 2001, 189-204.

61. Демичев В.Н., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В.О выборе интенсивности напряжений и деформаций в теории пластичности// Тула: Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: Машиностроение. Вып. 7. 2002. С. 80-84.

62. Демичев В.Н., Костиков И.Е., Матчепко Н.М., Матчепко И.Н. Об условии пластичности изотропных сред/ Современные проблемы математики, механики, информатики: тезисы докладов Межд. науч. конф. Тула: изд-во ТулГУ, 2003. С. 36-37.

63. Демичев В.Н., Костиков И.Е., Матчепко И.Н. Матчепко Н.М. Об условии пластичности изотропных сред/ Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сб. матер. Межд. науч.-технич. конф: Тула, ТулГУ, 2003. С. 15-17.

64. Демичев В.Н., Кузнецов Е.Е., Матчепко И.Н., Матчепко Н.М. К построению теории пластичности ортотропных сред// Тула. Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: «Строительные материалы, конструкции и сооружения» Выпуск 5. Тула 2003. С. 193-204.

65. Добровольский B.JI. Плоская пластическая деформация анизотропных материалов // Прикладная математика и механика. № 25, Т. 1. 1961.

66. ДруккерД. Соотношения между напряжениями и деформациями для металлов и пластической области — экспериментальные данные и основные понятия/ В кн.: "Реология, теория и приложения". М.: И.Л. 1962.

67. Друяпов Б.А., Непершип Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение. 1990. 272 с.

68. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука. 1978. 352 с.

69. Жуков A.M. Прочность и пластические свойства сплава Д-16Т в сложном напряженном состоянии// Известия АН СССР. ОТН. № 6. 1954. С. 34-38.

70. Жуков A.M. Механические свойства сплава МА-2 при двухосном растяжении// Известия АН СССР. ОТН. № 9., 1951. С. 56-64.

71. Жуков A.M. Пластические свойства и разрушение стали при двуосном напряженном состоянии // Инженерный сборник. 1954. Т.20. С. 35-48.

72. Жуков A.M. Упругие свойства пластически деформированного металла и сложное нагружение// Инж. Сборник. 1960. Т. 30. С. 3-16.

73. Задоян М.А. Пространственная задача теории пластичности. М.: Наука. 1992.384 с.

74. Захаров К.В. Критерий прочности для слоистых пластмасс. //Пластические массы. 1961, № 8, 59-61.

75. Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа 1990. 368 с.

76. Зубчапинов В. Г. Математическая теория пластичности. Тверь: Изд-во ТГТУ 2002. 300 с.

77. Ибрагимов А.Б. Исследование упругих свойств матрицы деформационной анизотропии. В сб. «Статические и динамические задачи теории упругости и пластичности», Баку, 1968.

78. Ивлев Д.Д. К теории пластической анизотропии // ПММ.- 1959.-Т. 23. Вып. 6. С. 1107-1114.

79. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

80. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. Об основных соотношениях теории анизотропных сыпучих сред // Журнал Прикладная математика и механика. 27. 1963. С. 96-105.

81. Ивлев ДД. О соотношениях ассоциированного закона течения и нагру-жения в теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР. Чебоксары. 1997. №4. С. 78-100.

82. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука. 1971.232 с.

83. Ивлев Д. Д. Читая А.Ю.Ишлинского // Изв. Инж. Техн. Академии ЧР. Чебоксары. 1996. № 1. С. 15 -28

84. Ивлев Д. Д. Об определяющих соотношениях теории идеальной пластичности// Известия ИТА ЧР. Чебоксары. Сводный том. 1996. № 3,4; 1997. №1,2. С. 21-42.

85. Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности// ДАН. РАН. 1998. Т. З61.№6. С. 765-767.

86. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеально пластического тела//ДАН. РАН. 1999. Т. 368. №3. С. 333-334. .

87. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. Том 1, 2. Теория идеальной пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 448 е.,

88. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: ОГИЗ. 1948. 376 с.

89. Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред// ПММ, 1954. т. 18, вып. 6, С.641-666.

90. Ильюшин А.А. Вопросы общей теории пластичности.// Прикл. Матем. И механика, 1960, 24, № 3, С. 399-411.

91. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Издательство АН СССР, 1963. 272 с.

92. Ильюшин А.А. Об изоморфизме упругопластических свойств анизотропных тел. Тезисы докл. YI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

93. Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости// Учен. Зап. МГУ. Механика, 1946. Вып. 117. С. 90-108.

94. Митинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением// Укр. Матем. Журн. 1954. Т. 6. № 3. С. 314 -325.

95. Иишинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бри-нелля // ПММ. 1944. -Т. 8, вып. 3. -С. 201-224.

96. Иишинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. -М.: Наука, 1986. 354 с.

97. Иишинский А.Ю. Пластичность (обзор) // Механика в СССР за тридцать лет (1917-1947), М.; -Л.: Гостехиздат, 1950 - С. 240-253.

98. Иишинский А.Ю. Механика, идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985

99. Иишинский А.Ю., Ивлев ДД. Математическая теория пластичности. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. 704 с.

100. Кадашевич Ю.И, Новожгшов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения//ПММ. 1958. Т. 22. Вып.1. С. 78 89.122123124125126127128129130,131,132.133.134.135.136.137.

101. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969. 420 с. Клюишиков В.Д. О законах пластичности для материалов с упрочнением (обзор) //ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 97-118.

102. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. Изд.-во. МГУ. 1979. 208 с.

103. Кнетс И. В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига. 1971. 148 с.

104. Колесников Н.П. Зависимость штампуемости стали от анизотропии при вытяжке сложной формы// Кузнечно-штамповочное производство. № 8. 1962. С. 36-42.

105. Койтер В. Общие теоремы в теории упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961.79 с.

106. Колесников Н.П. Расчет напряженно-деформированного состояния при вытяжке с учетом анизотропии// Кузнечно-штамповочное производство. №9. 1963. С. 26-31.

107. Коларов Д., Болтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир. 1979.302 с.

108. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. К формулировке закона запаздывания векторных свойств начально анизотропных материалов// проблемы прочности. 1986. - №11. - С. 3-6.

109. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Лебедев А. А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщение I. Определяющие соотношения// Проблемы прочности. 1986. №4. С. 50-57.

110. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука. - 1985. - 304 с.

111. Кравчук А. С. О теории пластичности анизотропных материалов. В сб. «Расчеты на прочность». М., 1986, № 27, 21-29.

112. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах. — М.: Металлургия, 1965.-292 с.

113. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Вариант построения теории идеальной пластичности анизотролпных сред./ Сб. матер. Всерос науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии»/Тула: ТулГУ, 2000. С. 80-81.

114. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н. Учет влияния анизотропии прочностных характеристик на несущую способность целиков// Проблемы освоения подземного пространства. Труд. Межд. Конф. / Тула: ТулГУ, 2000. С. 113-114.

115. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н. Вариант математической теории пластичности ортотропных сред. Тез. Докл. Веер. Науч. Конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики»/Тула: ТулГУ, 2000. С. 84.

116. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. К построению теорииидеальной пластичности ортотропных сред/ Сборник статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит. 2001. С. 177-183.

117. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Плоская деформация в теории идеальной пластичности ортотропных сред// Сб. научн. трудов. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2, -Тула: ТулГУ. 2001. С. 64-73.

118. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М Условие полной пластичности квазинесжимаемых ортотропных сред/ Научное издание. «Проблемы нелинейной механики» Сборник статей. К 80-летию JI.A. Толоконникова. Тула: Изд-во ТулГУ. 2003. С. 195-205.

119. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Условие полной пластичности ортотропных сред./ Сборник статей. Проблемы механики. К 90-летию АЛО. Ишлинского. М.: Физматлит. 2003. С.502-510.

120. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. К теории малых упругопластических деформаций анизотропных сред/ Современные проблемы математики, механики, информатики: тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: изд-во ТулГУ, 2003. С. 26

121. Кукуджанов В.Н., Сантойя К. Термодинамика вязкоупругих сред свнутренними параметрами// Известия РАН. МТТ. -1997. -2. -С. 115126.

122. Курчаков Е.Е. К обоснованию тензорно-линейных определяющих уравнений для нелинейного анизотропного тела// Современные проблемы механики/ Тезисы докладов школы. Воронеж, 1998. - С. 115.

123. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Гигиняк Ф.Ф., Ламашевский В.П. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии. Справочник, Киев. Наукова Думка,1983, 365 с.

124. Левы М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости// Теория пластичности. Сб. переводов. -М.: Ил, 1948. С. 20-40.

125. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова Думка, 1987. -232 с.

126. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности// Известия АН СССР, ОТН. 1962. - №5. - С. 154-158.

127. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упруго-пластических деформаций// Сб. Вопросы теории пластичности. -М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 78-84.

128. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

129. Ломакин В.А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред. // Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №4, 1960. С. 60-64.

130. Ломакин В.А. О теории пластичности анизотропных сред // Вестник Московского университета, № 4, 1964.

131. Ломакин Е.В., Работное Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - №6. - С. 29-34.

132. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. -1980.-№4.-С. 92-99.

133. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. - №6. - С. 66-75.

134. Лохин В.В. Система определяющих параметров, характеризующих геометрические свойства анизотропных сред// Доклады АН СССР.- 1963. -149.-2. С. 295-297.

135. Лохин В.В. Общие формы связи между тензорными полями в анизотропной сплошной среде, свойства которые описываются векторами, тензорами второго ранга и антисимметричными тензорами третьего ранга// Докл. АН СССР, 1963. т. 149, № 6, С. 1282-1285.

136. Лохин В.В., Седое Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов// Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып.З.

137. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение. 1968. 400 с.

138. Мальков В.М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно упругом материале// Прикладная математика и механика. -1998.-62.-4.-С. 643-649.

139. Мансуров P.M. Об упругопластическом поведении анизотропных сред// Упругость и неупругость. М.:МГУ, 1971, вып. 1, С. 163-171.

140. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения.: Всесоюзн. межвуз. Сб./ Горький: Изд-во ГУ, 1987. - С. 32-37.

141. Маркин А.А. Теория процессов А.А. Ильюшина и термомеханика конечного равновесного деформирования// Упругость и неупругость/ Материалы Международного научного симпозиума. М.: Изд-во1. МГУ, 2001.-С. 51-61.

142. Маркин А.А. Построение образа процесса конечного формоизменения// Вестник МГУ. Серия 1. Математика, Механика. 1984. - №12. - С.98-105.

143. Маркин А.А. Оленин С.И. О связи между процессом внешнего нагруже-ния и его образами в пространстве Ильюшина при конечных деформациях// Проблемы прочности. 1999. - №2. - С.85-93.

144. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н., О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов/ Сб. матер. Всерос науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы строительства истроительной индустрии»/Тула: ТулГУ, 2000. С. 83-84.

145. Матченко И.Н. Плоская задача теории идеальной пластичности орто-тропных сред, обладающих внутренним трением и сцеплением// Сб. научн. трудов. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2. -Тула: ТулГУ. 2001. С.

146. Матченко И.Н. Вариант построения теории идеальной пластичности ортотропных сред// Сб. научн. трудов. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2, -Тула: ТулГУ. 2002. С. 67-74

147. Матченко И.Н. Вариант построения теории идеальной пластичности ортотропных сред// Тула: Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: Машиностроение. Вып. 7. 2002, С.34-41.

148. Матченко И.Н. Вариант построения теории пластичности ортотропных сред // Тула: Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: Машиностроение. Вып. 7. 2002. С. 23-32.

149. Матченко И.Н. Модификация квадратичного условия предельного состояния ортотропной среды // Тула: Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: Машиностроение. Вып. 7. 2002, С. 49-56.

150. Матченко И.Н. Вариант построения теории пластичности ортотропных сред// Тула: Изд. ТулГУ. Известия ТулГУ. Серия: технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений. Вып. 3. 2002, С. 108-117.

151. Матченко И.Н. Основные соотношения теории идеальной пластичности квазинесжимаемых анизотропных сред//Известия Тульского государственного университета. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 5. Тула 2003. С. 180-187.

152. Матченко И.Н. Аффинные объемно-изотропные пространства в теории упругости анизотропного тела// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: изд. ТулГУ. 2004.С. 68-74.

153. Матченко И.Н. Аффинные объемно-изотропные пространства в теории упругости ортотропного тела// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004.С. 74-81.

154. Матченко И.Н. Аффинные объемно-изотропные пространства в теории упругости трансверсально-изотропного тела // Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004.С. 81-87.

155. Матченко И.Н. Варианты предельных условий анизотропных сред// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004.С. 87-99.

156. Матченко И.Н. Некоторые аспекты построения теории идеальной пластичности изотропных сред// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004.С. 110-120.

157. Матченко И.Н. Об условиях пластичности изотропных сред// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004.С. 120-121

158. Матченко И.Н. Классификация анизотропных сред по реакции на воздействие гидростатического давления// Изв. ТулГУ. Серия: Строительные материалы, конструкции и сооружения Выпуск 6. Тула: Изд-во ТулГУ. 2004. С. 180-187.

159. Матченко И.Н., Матченко Н.М. Гипотеза полной и неполной пластичности изотропных сред/ Сб. мат. V-й Межд. научн.-технич. конф. Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, 2004. С. 3334.

160. Матченко И.Н., Матченко Н.М. Классификация анизотропных сред по реакции на воздействие гидростатического давления/ Сб. мат. V-й Межд. научн.-технич. конф. Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, 2004. С. 34.

161. Матченко И.Н., Матченко Н.М. Объемно-изотропные аффинные пространства анизотропных сред/ Сб. мат. V-й Межд. научн.-технич. конф. Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, 2004. С. 34-35.

162. Матченко И.Н., Матченко Н.М. Об одной возможности построения раз-номодульных сред/ Сб. мат. V-й Межд. научн.-технич. конф. Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии, 2004. С. 35.

163. Матченко Н.М., Толоконныков JJ.A. Общая плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов// Известия АН СССР МТТ. № 3. 1973. С.

164. Матченко Н.М., Некоторые вопросы теории идеальной пластичностианизотропных сред, Диссертация д.ф.-м.н., Тула, 1975.

165. Матченко Н.М., Толоконников JJ.A. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов// Известия АН СССР МТТ. № 1. 1975. С. 69-70.

166. Матченко Н.М., Толоконников JJ.A., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 1 Квазилинейные соотношения // Изв. РАН . МТТ. 1995. - №1. - С. 73-78.

167. Матченко Н.М., Толоконников JJ.A., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2 Нелинейные соотношения // Изв. РАН . МТТ. 1999. - №4. - С. 87-95.

168. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. М.; -Тула: ТулГУ. 2000. 149 с.

169. Матченко Н.М., Матченко И.Н., Кузнецов Е.Е. О моделировании идеально пластичных ортотропных сред// Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии Сб. матер. Межд. науч.-технич. конф. Тула: Изд. ТулГУ. 2001, С. 64-65.

170. Матченко Н.М., Матченко И.Н., Кузнецов Е.Е., Исаева И.А. Теория идеальной пластичности анизотропных сред// Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Сб. матер. Межд. науч.-технич. конф. Тула: Изд. ТулГУ. 2001, С. 65-67.

171. Матченко И.Н., Матченко Н.М. Теория идеальной пластичности ортотропных сред. Аннотации докл. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь: 2001. - С. 423.

172. Матченко Н.М., Матченко И.Н., Усачев В.В. О возможности обобщения закона А.Ю. Ишлинского на случай ортотропных сред/ Мат. межд. школы-семинара. Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж: Изд. ВГУ. 2003. С. 160-168.

173. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Часть 2. Прикладные задачи теории упругости.

174. М; -Тула: ТулГУ. 2004. 211 с.

175. Маховер Е.В. Некоторые задачи теории идеальной пластичности анизотропных сред // Докл. АН СССР. 1948. - Т. 28, № 2. С. 209-212.

176. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически-деформированном состоянии / Теория пластичности. Сб. статей. М.: Гос. издат. Иностранной литературы. 1948. С. 57 69.

177. Микляев П.Г., Фридман Я.Б. Анизотропия механических свойств металлов. М.: Металлургия,. 1986. 224 с.

178. Микляев П.Г., Волознева Л.Я. О методике оценки пластической анизотропии листовых материалов// Заводская лаборатория. 1973. № 9. С. 1119-1122.

179. Минкевич Л.М. Представление тензоров упругости и податливости через собственные тензоры. В кн.: Материалы третьей научной конференции Томского университета по математике и механике. Вып. 2. — Изд-во Томск. Ун-та, 1973, с. 115 - 116.

180. Минкевич Л.М. Представление тензоров упругости и податливости через собственные тензоры. В кн.: Вопросы динамики механических систем виброударного действия. Новосибирск: НЭТИ, 1973, с. 107 - 110.

181. Михлин С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности. -М.: Изд. АН СССР, 1934.

182. Молочная Т.В., Вольский М.И., Терехов А.Н. О возможности применения упрощенных методов определения пластической анизотропии в транс-тропных телах // Заводская лаборатория. 1976. - № 11. С. 1403-1405.

183. Мохелъ А.И., Салганик Р.Л., Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся материалов и сплавов. Определяющие уравнения и расчеты по ним// Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1983, №4, с. 119-141.

184. НадаиА. Пластичность и разрушение твердых тел. М.:ИЛ. 1954. 647 с.

185. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Мир. 1969. Т. 2. 864 с.

186. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.- 208 с.

187. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. М.: Изд-во ИЛ, 1960, 385 с.

188. Нечепуренко Ю.Г., Яковлев С.П., Яковлев С.С. Глубокая вытяжка цилиндрических изделий из анизотропного материала. Тула: ТулГУ. 2000. 195 с.

189. Новоэ/силов В.В. Теория упругости. Л.:Судпромгиз, 1958.

190. Огибалов П.М., Кузнецов В.Н., Савов Л.М., Алифанов А.В. Экспериментальное исследование пластичности начально-анизотропного материала при простом деформировании. В сб. "Упругость и неупрутость", изд-во МГУ, 1987, С. 136- 146.

191. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния. В сб.: Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1985, вып. 71, С. 82 - 96.

192. Остросаблин Н.И. О классификации анизотропных материалов. В сб.:234235236237238239240241242,243,244,245,246.247.248.249.250.251.252.253.

193. Пежмина П., Мруз 3., Ольшак В. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир. 1964. 243 с.

194. Петрищев П.П. Упруго-пластические деформации анизотропного тела. -Вести. Моск. ун-та, серия физ.-мат. и естеств. наук, 1952, вып.5. № 8, С. 63-72.

195. Победря Б.Е. Об анизотропии в теории течения// Вестник Моск. ун., Сер. 1, матем., механика, 1985. № 6, С. 66-70.

196. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. -М.: Наука, 1986. 231 с. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. -М.: Машиностроение, 1968.

197. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. -М.: Изд-во. ИЛ. 1956. 243 с.

198. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физ. мат. - лит. 1958. 136 с.

199. Проценко A.M. Теория упруго-идеальнопластических систем. М.: Наука. 1982. 288 с.

200. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. В шести томах / Под общей редакцией А.Н.Гузя. Киев: Наукова Думка. 19811987.

201. Рабинович А.Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов// Труды ЦАГИ, № 582, 1946. 56 с.

202. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.712 с.

203. Ренне И.П., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Волочение анизотропной полосы//

204. Известия вузов, Машиностроение. № 2. 1968. С. 40-42.

205. Ренне И.П., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Влияние анизотропии на процессволочения полосы// Известия вузов. Машиностроение. № 4. 1969. С.41-44.

206. Рузанов Ф.И. Предельные деформации при пластическом формообразовании растяжением ортотропного листового металла// Машиноведение. АН СССР. №5. 1969.

207. Рузанов Ф.И. Исследование напряженно-деформированного состояния при пластическом формообразовании ванн с учетом влияния анизотропии металла // Кузнечно-штамповочное производство. № 8. 1969. С. 2426.

208. Рыхлевский Ян. «CEIIINOSSSTU». Математическая структура упругих тел. ИПМ АН СССР. Препринт 217, М., 1983, 113 с.

209. Рыхлевский Ян. Разложение упругой энергии и критерии предельности. -Успехи механики, 1984, 7, вып. 3, С. 51-80.

210. Рыхлевский Ян. О законе Гука// Прикладная математика и механика, 1984, т. 48, вып. 3, С. 420 435.

211. Саркисян М.С. К теории плоской деформации пластически анизотропных тел// ПММ. Т. 24. № 6. 1960.

212. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. Минск: Изд.-во. Наука и техника. 1977. 256 с.

213. Седое Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. -М.: Изд. Наука. 1970. 492 с.

214. Сен-Венан Б. Об установлении уравнении внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости/ Теория пластичности. Сб. переводов М.: ИЛ. 1948. С. 11-19.

215. Сейфуллина О.Л. Некоторые плоские осесимметричные задачи теории пластичности анизотропных сред,/ Канд. диссерт., Физико-технический институт АН УССР, 2001.

216. Сиротин Ю.И. Групповые тензорные пространства, Кристаллография, 1960, т. 5, вып. 2, стр. 171-179.

217. Сиротин Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии, Кристаллография, 1961, т. 56, вып. 3, стр. 331-340.

218. Сиротин Ю.И. Целые рациональные базисы тензорных инвариантов кристаллографических групп, Докл. АН СССР, 1963, т. 51.

219. Сиротин Ю.И., Шальская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975,323 с.

220. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.

221. Стороэкев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. — М.: Машиностроение, 1971. 452 с.

222. Тарановский И.Я., Поздеев А.А., Ганаго О.А., Колмогоров В.Л. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургиздат, 1963. 356 с.

223. Терегулов ИГ. Математическое моделирование необратимых многопараметрических процессов и определяющие соотношения для сплошных сред// Известия РАН. МТТ. 2000. -2. -С. 69-85.

224. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости// ПММ. 1956. - 20.

225. Толоконников Л. А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости/ Прочность и пластичность. М.: Наука, -1971. - С. 102-104.

226. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Высш. школа, 1979. 346 с.

227. Толоконников Л.А., Маркин АЛ.Определяющие соотношения при конечных деформациях// Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвуз. Сб. трудов / Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 49-57.

228. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально-анизотропных тел // Проблемы прочности. № 3. 1974. С.

229. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. К теории плоского пластического течения ортотропных материалов // Прикладная механика, т. IX. В. 6. Киев. 1973. С.

230. Толоконников Л.А., Шевелев В.В., Яковлев С.П. Экспериментальная проверка уравнений пластического течения для анизотропного тела// Прикладная механика. АН УССР. Т. IV. В. 2. Киев. 1968. С.

231. Толоконников Л.А., Шевелев В.В., Яковлев С.П. Плоское напряженное состояние анизотропного тела// Прикладная механика. АН УССР. Т. III. Вып. 2. Киев, 1967. С.

232. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией// Прикладная механика, Т. V. Вып. 8.1969. С.

233. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. К вопросу о плоской деформации анизотропного тела// Прикладная механика, Т. VI. Вып. 4.1970. С.

234. Толоконников Л.А., Яковлев С.П. О формулировке условия текучести и ассоциированного закона течения анизотропного тела// Известия вузов. Машиностроение. № 7. 1969. С.

235. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Лялин В.М. Пластическое течение ортотропных тел// Прикладная механика. Т. VII. Вып. 6. 1971. С.

236. Толоконников О.Л. Установка для испытаний трубчатых образцов материалов в среде высокого давления// Известия АН СССР, МТТ. -1985. -№3. С. 185-187.

237. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций// Прикладная механика. 1983. T.XIX. - №10. - С. 122-125.

238. Толоконников О.Л, Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалом при конечном пластическом деформировании// Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова Думка. 1986. - С. 237-239.

239. Томленое А.Д. Влияние анизотропии листового металла на процессы пластического формоизменения// Кузнечно-штамповочное производство. № 4. 1962. С.

240. Томленое А.Д. Механика процессов обработки металлов давлением. -М.: Машгиз. 1963. 356 с.287.1

241. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. М.: Машиностроение, 1968. - 504 с.

242. Трусдел К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

243. Трусов П.В. Об одном варианте обобщения теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций// ЖПМиТФ, -1988, №2, С.153-161.

244. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 386 с.

245. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакуша С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Киев: Наук, думка, 1982, 286 с.

246. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: ИЛ. 1962.

247. Хаар А., Карман Т. К теории напряженного состояний в пластических и сыпучих средах// Теория пластичности. Сб. переводов. М.: Ил, 1948. С. 41-56.

248. Хрыстиановыч С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Мат. сб. -1936. Т. 1, № 4. - С. 511-534.

249. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности// Механика твердого тела, 1967. № 4.

250. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении// МТТ 1969. - № 5. - С. 138 -149.

251. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ. 1956. 407 с.

252. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред// Журнал ПМиТФ.1984. №2. С. 149-151.

253. Ченцов Исследование фанеры как ортотропной пластинки// Технич. Заметки ЦАГИ, № 91, 1936.

254. Черных К.Ф. Симметричные функции симметричных тензоров в анизотропной теории упругости// Изв АН СССР, Механика твердого тела, 1970, №3, С. 5-14.

255. Черных К.Ф. Анизотропия материала (линейная теории). В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. - Ереван: Изд-во АН АрмССР,1985, С. 410 419.

256. Черных К.Ф. О формах связи между симметричными тензорами в механике сплошных сред // МТТ.-1967.-№3.

257. Черных К.Ф. Симметричные функции симметричных тензоров в анизотропной теории упругости // МТТ.-1970.-№3.

258. Черных К.Ф. О функциональных связях между соосными симметричными тензорами второго ранга // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию академика В.В. Новожилова).- Л.: Судостроение, 1970.

259. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.-М.: Наука, 1978.

260. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г., Захаров С.М. Исследование неизотермических сложных процессов нагружения по траектории в виде двухзвенных ломанных// Прикладная механика. 1979, 15,№8, - С. 8-18.

261. Шевелев В.В., Яковлев С.П. Анизотропия листовых материалов и ее влияние на вытяжку. М.: Машиностроение. 1972. - 136 с.

262. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния/ В сб. Численные методы механики сплошной среды. 1973. № 4. С. 150-162.

263. Шемякин Е.И. О хрупком разрушении твердых тел// Механика твердого тела, 1997, С. 145- 150.

264. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. Часть 1// Физическая мезомеханика. Т. 2. № 6. 1999. С. 63-70.

265. Шубников А.В. О симметрии векторов и тензоров, Известия АН СССР, сер. физ., 1949, т. XIII, № 3, стр. 347-375.

266. Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд. АН СССР, 1951.

267. Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоское пластическое течение анизотропного материала// Прикладная механика. Т. V. Выпуск 11. 1969. С. 75 80.

268. Яковлев С.П., Короткое В.А. Устройство для измерения деформаций в процессе растяжения // Заводская лаборатория. 1978. - № 1. - С. 63 - 65.

269. Яковлев СЛ., Кухарь В.Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. - 136 с.

270. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. - 1997.- 331 с.

271. Anglets d, Aurias Н/ Etude du tenseur d anisotropic. Basee sur la representation d,un tenseur symetrique dans un espace E3 par un vecteur dans un espase E6. Compt/ rend/ Fcad/ sci/. 1971. t. 272. № 9, A612 -A613.

272. Betten J. Theory of invariants in Creep Mechanics in Anisotropic Materials/ -Collog/ int/ CNRS/Paris. 1982. №295. P. 65-80 (англ.).

273. Bieniawski Z.T. Deformational Behavieur of Fractural Rock under Myltiaxial Compression// Proc/ Structures, Solid Mechanics and Engineering Design, Southampton, 1969,1, pp. 589 598/

274. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations. New York: John Willey. 1965. 504 p.

275. Bridgmen P. W.ll Proc. Amer. Acad. Arts. Sci. 58. 1922. P. 165-242.

276. Bridgmen P.W.//3. Appl. Phys. 1941. P. 461-469.

277. Douing W. Die Richtungsabhangigkeint der Kristallenergie, Annalen der Physik6 1958,7. Forge, Bd. 16 Heft 1-36 S. 104-111.

278. Collogues international du CNRS, №295 Cjmportement mecanique solides anisotropes. Paris. 1982.

279. Garbryszewski Zdrisaw. Wybrane zagadniena tejrii plastycznosci cia anisotropes. Zest. Nauk. Politechn. Wroslawsk. 1968. №203. C. 3-54 (польск).

280. Hooke R. Lecture de potentia restitutiva, or of string, explaining the power of springing bodies to which are added some collections. L.: Martin, 1678. 56 p.

281. Huber M. T. Die spezifische Formanderungsarbeit als Mab der Amstiengung eines Matirials. Lemberg. 1904.

282. Johnson W., Mellor P. Plasticity for mechanical engineers. D. Van Nostrand Company. LTD. 1962. 412 p.

283. Lodge A. Quart J. Mech. Appl. Math., 8, 1955, pp. 211-225.

284. Mises R. Mechanic der plastischen Formagerung von Kristalen Z. angew. Math. Und Mech. 1928. 8. №5. S/ 161-185 (нем).

285. Midhern J.F., Rodgers E.G., Spencer A/J/М/ A continuum theory of a plastic-tlastic fibre-reinferced material// Int. J. Ehg-g Sci., 1969, № 7, pp. 129 139.

286. Olszak W., Urbanowski W. The Generalized distortion energy in the theory of anisotropic bodies. Bui. Acad. Polon. Sci. GL. IY. Vol. 5. № 1. 1957.

287. Pipkin A.C., Rivlin R.S. The formulation of constitutive equations in continuum physics. Pat. I, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol.4, №2, pp. 129-144.

288. Prandtl L. Spannungsverteilung in plastischen Korpern // Proc. 1-st Intern. Congr. for Appl. Mech., Delft. 1924. - Delft.: J. Waltman, 1925/ -P. 43-54.

289. Reuss A. Vereintachte Berechnungger plastischen Formanderungsgesch-windingkeiten bei Vjraussetzung der Schubspannungsflies bedingung // ZAMM.- 1933.-Bd. 13,365

290. Shaoting C. New consepts of elasticity theory and an application. Acta mechanica sinice. 1984. 16. №3. P. 259-274 (кит).

291. Shield R. Proc. Cambridge Phil. Soc., 47,1951, pp. 401.

292. Smith G.F. Further results on the stain-energy function for anisotropic elastic materials, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 10, № 2, pp. 108-118.

293. Smith G.F., Rivlin R.S. The anisotropic tensors, Quarterly of Applied Mathematics, 19576 vol. 15, №3, pp. 308-314.

294. Smith G.F., Rivlin R.S. The strain-energy function for anisotropic elastic materials, Trans. Amer. Mech. Soc. 6 1958, vol. 88, № 1, pp. 175-193.

295. Sobotka Z. The plastic flows of orthotopic materials witch different mechanical properties in tension and in compression. Acta techn. CSAV. 1971. 16. №6. P. 772-776.

296. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics of isotropic continua, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol. 2, № 4, pp. 309-336.

297. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. Finite integrity bases for five or fewer symmetric 3x3 matrices, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1959, vol. 2, №5, pp. 435-446.

298. Spenser A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors. Pat. I, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 9, № l,pp. 45-63.

299. Spenser A.J. M. The invariants of six symmetric 3x3 matrices, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1961, vol. 7, № 1, pp. 64-77.

300. Tresca H. Met. pres. p. div. Sav.a'Acad, de l'lnst. Imp. De France. 18. 1868. P. 739-799.

301. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Lepzig В.: Teubner, 1910, 964 p.