Осесимметричная задача теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропной среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

УСАЧЕВ ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2006 г.

Работа выполнена на кафедре «Строительство Строительные Материалы и Конструкции» в ГОУ ВПО «Тульский Государственный Университет»

Научный руководитель —доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович

Официальные оппоненты:

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Соколова Марина Юрьевна - доктор технических наук, профессор Гордон Владимир Алекандрович

Ведущее предприятие — ГОУ ВПО «Воронежский государственный

университет»

Защита диссертации состоится « 13 » декабря 2006 г. в 14 час 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.271.02 при ГОУ ВПО Тульский государственный университет по адресу: 300600, Тула, ГСП, пр. Ленина, 92,9-101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « 7 » ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Л. А.Тол оконни ко в

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация посвящена анализу и обобщению соотношений теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропных сред, условие предельного состояния которых описывается квадратичной функцией напряжений. Используя аффинные преобразования координат, компонент вектора перемещений, компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, формулируется гладкое условие предельного состояния и ассоциированный закон пластического течения цилиндрически ортотропных сред. Выделяется класс квазинесжимаемых цилиндрически ортотропных материалов, включающий, как частные случаи, модели сред, предложенные ранее Р. Мизесом, Р. Хиллом, О.Г. Рыбакиной, Л.А. Тлоконниковым и Н.М. Матченко. Используя метод аффинного подобия, формулируется условие полной пластичности цилиндрически ортотропных сред. Выписаны соотношения осесимметрич-ной задачи. Возможности использования предложенных соотношений демонстрируются на примерах решения практически важных задач.

Актуальность работы. Большинство конструкционных материалов в той или иной степени обладает свойствами анизотропии пластических свойств. Построению теории идеальной пластичности таких материалов посвящены работы Арышенского Ю.М., Быковецева Г.И., Геогджаева В.О, Гречникова~Ф:В.-,- Ивлева- Д—Д^-Ковальчука - Б:И™Кос арчука В. В—-Кухаря В.Д., Лебедева A.A., Мизеса Р., Ренне И.П., Рузанова Ф.И., Толоконникова Л.А., Хилла Р., Яковлева С.П., Яковлева С.С. и др. В этих исследованиях использовалась гипотеза о несжимаемости пластического течения анизотропного материала, т.е. предполагалось, что гидростатическое давление не влияет на пластическое течение. В экспериментальных исследованиях П. Бридж мена показано, что состояние пластичности может быть достигнуто в анизотропных кристаллах при воздействии на них только гидростатического давления. Критерии пластичности анизотропных материалов, учитывающие влияние гидростатического давления были предложены О.Г. Рыбакиной, М.А. Грековым, Толоконниковым Л.А. и Матченко Н.М. В последнее время в трудах Тульской школы механиков предложен вариант теории идеальной пластичности квазинесжимаемых анизотропных сред. В данной диссертации эти идеи обобщаются на цилиндрически ортотропные материалы.

Цель работы. Доказать, что использование представления цилиндрически ортотропного материала в аффинных пространствах в сочетании с гипотезой о квазинесжимаемости пластического течения позволяет провести построение основных соотношений теории идеальной пластичности.

Научная новизна работы: В диссертации для цилиндрически орто-тропных сред, предельное состояние которых описывается квадратичной относительно компонент тензора напряжений функцией, приведено построение теории идеальной пластичности с минимальным ограничением на параметры пластической анизотропии:

1. Доказана теорема о множественности представлений в аффинных пространствах цилиндр иче с ки-ортотро пного материала, находящегося в предельном состоянии;

2. Введено понятие о квазинесжимаелшм цилиндрически ортотроп-ном материале, т.е. о материале, пластическое течение которого в некоторых аффинных пространствах проявляет свойство несжимаемости. Показывается, что гипотеза о квазинесжимаемости цилиндрически ортотропного материала налагает меньше ограничений на механические характеристики, нежели гипотеза о не сжимаемости цилиндрически ортотропного материала в физическом пространстве;

Практическая ценность. Предложенные аффинные преобразования координат, компонент вектора перемещений, компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций позволяют расширить возможности моделирования предельного состояния одного цилиндрически ортотропного материала другим: Приводятся формулы-для вьтисленшгттреобразующшс коэффициентов для квазинесжимаемых материалов. Основные уравнения теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропного тела представлены в форме, позволяющей использовать известные методы решения задач предельного состояния.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твердого тела, возможностью получения из приведенных в диссертации уравнений теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропных сред известных теоретических построений, как частных случаев и результатами решения тестовых задач.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на конференциях: Всероссийская конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», ТулГУ, Тула, 2006 г.; Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии», ТулГУ, Тула, 2004,2005 г.г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 127 страниц машинописного текста, включая: 10 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 171 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются цели исследований, излагаются научная новизна и практическая значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертации.

В первом разделе дан выборочный анализ работ, посвященных построению теории идеальной пластичности анизотропных сред, позволяющий определить место и значение новых результатов, полученных в диссертации.

В частности отмечается, что начало построений теории идеальной пластичности анизотропных сред восходит к статье Р.Мизеса (1928), в которой в качестве условия предельного состояния анизотропного материала была предложена квадратичная функция напряжений нечувствительная к гидростатическому давлению. Приводятся так же различные варианты представлений условия предельного состояния анизотропного тела как гладкими, так и кусочный и' "функциями^, С ре д и' м ножества таких-представлений для ирчи-тропного материала предлагается остановиться на условии предельного состояния в виде квадратичной функции напряжений

Для цилиндрически-анизотропного материала условие пластичности запишем в виде квадратичной функции компонент тензора напряжения Ап(т) + А^а) + - 2{Ап<тг<?3 + Ап<тг<т. +

+А23етвегя) + 4(В12о*„ + + В23а21в) = 1 (1)

где <тг,<7^ - компоненты тензора напряжений, Ац,..., , - экспериментально определяемые константы, характеризующие пластические свойства, произвольный параметр. Приведены варианты

модификаций условия пластичности (1) Мизесом-Хиллом и Толоконнико-вым-Маггченко.

Модификация Мизеса-Хилла основывается на гипотезе о нечувствительности анизотропного материала к гидростатическому давлению. Отмечается, что критерий Мизеса-Хилла, в котором используется гипотеза о независимости пластического течения ортотропного материала от гидростати-

ческого давления, в общем, был предназначен для описания подвергнутых обработке в холодном состоянии металлов, степень анизотропии которых достаточно мала, хотя в явном виде это и не утверждалось. По этому в тех применениях критерия Мизеса, для которых он предлагался, погрешности, вносимые гидростатическим давлением, могли быть незначительными, поэтому модификация Мизеса-Хилла нашла широкое применение в многочисленных работах по расчету процессов обработки анизотропных материалов давление.

Отмечается также, что для анизотропных материалов гипотеза о несжимаемости пластического течения находится в прямом противоречии с экспериментами Брнджмена (1941), в которых испышвались анизотропные кристаллические материалы, и было установлено, что явление текучести наступает при действии только гидростатического давления.

Экспериментальные исследования идеально-связных анизотропных грунтов так же показывают, что гипотеза о не сжимаемости пластического течения противоречит опытным данным.

Вариант модификации условия пластичности, сохраняющий чувствительность ортотропного материала к гидростатическому давлению, был предложен Толоконннковым-Матченко.

Отмечается, что в модификациях Мизеса-Хиллатт Толоконникова^— Матченко накладывается по три ограничения на пластические характеристики, и эти модификации являются независимыми, т.е. не сводятся одна к другой.

Поэтому ставится задача о построении теории идеальной пластичности ортотропных сред, из которой указанные модификации вытекали бы как частные случаи, и в ней содержалось бы минимальное ограничение на пластические характеристики.

Во втором разделе доказывается теорема о множественности представлений цилиндрически-ортотропного материала в аффинных пространствах.

Теорема 1, Аффинные преобразования координат, скоростей перемещений, скоростей деформаций и напряжений позволяют для жест-копластического ортотропного материала (А), подчиняющегося квадратичному условию пластичности, получить бесчисленное множество аффинных пространств (Ап), в которых ортотропные материалы отличаются друг от друга только коэффициентами пластической анизотропии.

Доказател ьство.

Следуя идее Матченко Н.М., введем аффинные преобразования:

- координат

р = Аг,£ = Вг,Ф = &; (2)

- скоростей перемещений

иг иг

— (3)

- напряжений

тр = А2стг, т( = В2аг, тш = <?ду тр? = АВа^> т/м=Л(Т,0, т^=Ва1в, (4)

- скоростей деформаций

_ £г _ е2

У С > У С ~ £2 ' Уа> £#>

Урс=£К1ав> Уро=£гв!А> (5)

Несложно видеть, что преобразования (2 - 5) переводят цилиндрически-ортотропный материал из физического пространства в аффинные, сохраняя класс симметрии.

Квадратичное условие пластичности (1) при этом принимает вид:

С52

где

г„) + + В2гт]а + = 1; (6)

С с -^22. Г -А

11 — » 22 — » И С — С —^11 С — ^23

12 " ' 13 " Л2 * 21 " В2 '

П = в,г П П =

12 А2 В2 * А1' 23 В2' Аффинные пространства вводятся таким образом, что диссипации механической энергии в физическом и аффинном пространстве тождественны О = агЕ, +<тв£$ +<тА +2(апгп +сггвеге+сгГв£гв) =

= ТРГР + + тшУш + 2(г+ т^У^ + V?") • С7)

Уравнения теории идеальной пластичности жесткопластического материала в аффинных пространствах принимают вид: - уравнения равновесия

| Адт^ | а^ | т,-А*та

др р до р

Эг ^ дт 2г

^ I I |__= О

др р дсо р

р дсо р - соотношения между компонентами тензора скоростей деформаций и вектора скорости перемещений

8ир -¿Ч* а Адир

*р д р ^ра> др р р да>

Л2ир а дит _ А д"с

ди,

(О

В2р р дсо ъ р д<а диг дип диг

(9)

ассоциированный -зако^пластического течения

УР = ЧСПТР - С12тс - С13г„), ГрС = 2ЯОпт^,

Ус=Л(-С12тр+С22тс-С23тш), у^=2ЛОптро>>

У* =М-Ситр ~С22т( +С33тВ1), у(„ = 2А02ЪтСш. (10)

Следовательно, цилиндрически-ортотропный жесткопластический материал (Л) в физическом пространстве, моделируется в аффинных пространствах жесткопл астическим цилиндрически-ортотропным материалом (С).

Поскольку компоненты преобразующего тензора А и В выбираются произвольно, то исходному материалу (А ) можно сопоставить бесчисленное

множество материалов (С).

Вводится понятие квазинесжимаемости. Цилиндрически-ортотропиый материал несжимаемый в одном из аффинных пространств называется квазинесжимаемым, Среди бесконечного множества аффинных пространств находятся такие пространства, в которых пластическое течение цилиндрически-ортотропного материала будет квазинесжимаемым.

Теорема 2. Если пластические характеристики цилнндрически-ортотропного материала таковы, что они удовлетворяют ограничению

^11-^22-^23 ~ ^-^12-^13-^13 + -^23^11 + ^13-^33 = ® • (И)

то можно выделить аффинные пространства, в которых этот материал будет квазинесжимаемым

Выпишем условие несжимаемости в аффинных пространствах

ГР+Г» + ГС=0 (12)

Доказательство. Из П 0) и (12) следует:

^11 = ^12 + ^13' ^22 = ^12 С„ = Сп + С*23 . (13) Уравнения (13) можно записать в физическом пространстве

А\ Аг _ л А2 В2' 13'

_ а

В1

Л2 £

Из первых двух уравнений (14) найдем значения компонент аффинного преобразования.

Д _ + 1 "11-^22 12

+ (14)

, = ±5

^23 +

^ . (15)

^2-^13 +-^23-^11

Третье уравнение системы (14) является условием совместности характеристик пластической анизотропии, которое определяет свойство квазинесжимаемости пластического течения в аффинном пространстве. Подставляя значения параметров аффинного преобразования А и В, вычисленных по формулам (15) получим ограничение (11).

Подставляя (13) в условие пластичности (6) получим

СХ1(т( ~тр)2+ Сьх(тр - т„)2 + С23(та -г(/ +

+А.О = 1 (17)

Ассоциированный закон пластического течения теперь записывается в

виде

УР = М Си (тр-^)-Си(т&-тр)], 7^=2 уд =Л[С2Ъ(тш-т^)-Сп(тр-т()], =2ЛД3га<, К = Л[Сп(тр ~то>) + С23(т(-ха)], уф = 2Щгтф. (18)

Из (17) как частные случаи при С¡2 = С/^ = С^з = 1 получим модифицированное условие пластичности Толоконникова - Матченко, а при А = В — 1 - модифицированное условие пластичности Мизеса-Хилла.

Еще раз подчеркнем, что введение гипотезы о квазинесжимаемости накладывает только одно ограничения на пластические характеристики ци-линдрически-ортотропного материала, в то время как модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова - Матченко накладывают по три ограничения.

Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве. Отсюда так же вытекает, что гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости.

----------&третьем разделе рассматриваются возможности введения изотропного изображающего пространства.

В аффинных пространствах рассмотрим моделирующую среду, пластические характеристики которой удовлетворяют условиям

С]2=С:3=С31=С. (19)

Условие пластичности моделирующей среды в системе координат рсо£ имеет форму

(*р-*а>)2 +(Та> ~Тр>2 +

-ИГА2^+Аэ^+Д,^; = 1/С, (20)

где А,=Д,/С.

Несложно увидеть, что условие пластичности (21) описывает цилиндрически -анизотропную среду, подчиняющуюся условию пластичности Толо-конникова-Матченко.

Рассматривая условия пластичности (17), (20) и условие пластичности Мизеса изотропной среды отмечаются аналогии

Моделирующая среда Обобщенные напряжения моделирующей среды Цилиндрически-анизотропная среда

тр ~ Г<а 4С12(тр~тй>)

тса ~ 4С2з(7о}~т^)

ГС ~ТР

4 &12 трсо с ^ р<о 4D12Tpa>

4^23 Зал

Из сравнения соответствующих законов пластического течения следуют аналогии

Моделирующая среда Обобщенные скорости деформации моделирующей среды Цилиндрически-анизотропная среда

У р ~Уо Ер ~~ Ею

Ую-Ус Е6>~ЕС

Н-Ур Ес-Ер (Спус-С2гур)^

УраЦ^П Ерсо УР(0/ 4й¡2

ГтС'&З Г&С / л1°23

Уф'4 ¿31 ЕСР у&Цпз!

Здесь введены обозначения Си = С12 / О1, С23 = С^ / ,

4 = /, е = (с/2с,/+С31с23 + с23с]2)/з.

Условию пластичности моделирующей среды теперь можно придать

вид

(8р - 8а )2 + (8а ~8с)2+ (8с -Яр)2 +

= 1 (21)

Ассоциированный закон пластического течения моделирующей среды можно записать в виде

= 2А(Зр-За), Е^ =2ЯЗ^,

Е(-Ер= 2Л(3( - Л ^ = . (22)

Соотношения (21) и (22) позволяют для обобщенных напряжений и обобщенных скоростей пластической деформации ввести изотропное изображающее пространство и для моделирующей среды в этом пространстве строить соотношения теории идеальной пластичности, как для изотропной среды.

Выписываются соотношения А.Ю. Ишлинского для моделирующей среды

(23)

Для моделирующей среды получены так же условия полной пластичности.

Используя метод аффинного подобия по аналогии с условиями полной пластичности, полученными Д.Д.Ивлевым, выписаны варианты условий пластичности цилиндрически-ортотропных сред:

~ 4^12 (Тр -т(0) + 21;3] = 9В12т2р(0,

~(Н + = 9Впт}р.

или

[4^12 (ТРу[Сз1<Н -тр) + £]2 + 3(Оп?1р + Вит2р10) = 0 [4СГ*(г® - ) - ^сЦ(гр -т6>) + £]2+ 3(О!2т2ро} + В23т1.) = I7о7<Ч ~тр)~-т<) + £]2+ 3(023т^ + 03]т2ф) = О

или

9[С23(те1-т,)2+4В2,т1(] =

= -4С^2(тр + -трЯ 9ГС31(т{-тр)г+4С31т%] =

или

Г-т„)~-тр) + =

[-тр)~-т()+Е]ТдГг^ = Условия (27) можно представить в виде

=з х/ааГ^^ / ТдГ^

(28)

Если в качестве одного из условий пластичности принять условие

1Я/2&23 | |Аг/А?3 _ у.

V ^ V А/ ^ V А;

(29)

то можно сформулировать еще три варианта условий пластичности, присоединяя к соотношению (29) попарно уравнения из системы (28).

Наличие для-цилиндрически-анизотропногоматериапа-различных вариантов условий пластичности указывает на возможность пластического течения по различным схемам.

Метод аффинного подобия позволяет выписать аналоги интенсивностей напряжений

-^со)2 + С2з(7со СП(Т^ -

-тр)2 +4гопгХ, + Аэ^ +А.2 (зо)

и интенсивностей скоростей деформации л/2

Е, [С2Ъ(СпГа ~СпУ()2 +Са(Спу( -С^гр)2 +

+Сп(С*Гр-С13Гш)2]/д2 +4(г1/Оп /А,;/'2 (31)

Анализируются особенности пространственного течения цилиндриче-ски-ортотропной среды. Отмечается возможность безвихривого течения и определяется сдвиговый характер течения ортотропной квазинесжимаемой среды.

Получено обобщение решения Прандтля на случай пространственного состояния квазинесжимаемого ортотропного тела. Решение задачи проводится в аффинных пространствах при условии полной пластичности. Следуя нцеям Прандтля, принимается

— =ЬС, а,Ь = сопя1. (32)

Тогда

г^=аЪ

к±^к2-(а2+Ь2)С2

(а2+Ь2)4Щ Зк'

Я А Л

т( =-а%-btj + n-abg/т4п +ат(1} /Ь, Tn=-a%-bri + n-аЬ¿¡2 /т^ +br4n /а, Tg - -а%-Ьг} + су

где

Решение для скоростей задается в виде

где p , P},..., q2 = const. Интегрируя уравнения

/

1

2P1+TIJ£

P2+1L

dv.

ОЛ

- 2q2 + Tg

P2+Q1 | /

D23

d!2D3}

2 q2 + r<

Pi+<ii

1 ^

= 2p + Tgq

1

__

dC 1 dC

I

I .

P

\D23

D12D23

E>23E>3J

(33)

(34)

(35)

находятся функции v^, v^.

В четвертом разделе рассматривается осесимметричная задача цилин-дрически-ортотропного квазинесжимаемого тела. Дана формулировка условия полной пластичности в изотропном изображающем пространстве. Используя метод аффинного подобия, условие полной пластичности цилинд-рически-ортотропной среды записывается в виде

х = [acos* 2(0 ± Ib eos 2(р + с + d sin2 2(¡)]"1/2. (36)

Уравнения характеристик поля напряжений в аффинных пространствах записываются так

dg _ 2т sm2(p + j' cos2<p± dp т' sin 2 <p + 2r cos2<p

где т определяется соотношением (36), г' = dr/d(p.

Вдоль характеристик имеют место соотношения вида:

ds ± л/4т2 +r'2d<p = Rxdp + R2dg , (38)

где R} = [s(A2 -1) + т(А2 — eos 1(р)]/р, R2 =-гsinltp/р,.

Характеристики поля скоростей совпадают с характеристиками поля напряжений.

Пятый раздел посвящен решению частных осесимметричных задач.

Рассматривается течение цилиндрической анизотропной втулки, предполагается, что материал подчиняется условию полной пластичности (36).

Так же, рассматривается предельное состояние цилиндрически-ортотропного тела при вдавливании в него круглого штампа с плоский торцом. Решение проводилось в аффинных пространствах.

Предположим, что трение между поверхностью полуплоскости и торцом штампа отсутствует.

В этом случае нормаль к поверхности штампа и контакта среды будет являться первым главным направлением для тех элементов тела, которые расположены у этой поверхности.

На свободной поверхности граничные условия для напряжений будут следующие

трС=0, тв*0. (39)

<p=j,s = 0. (40)

Под основанием штампа (р = Ък /4.

Угол A¡BA2- угол раствора характеристик только в точке В (угловая точка штампа) составляет к/2.

Дальнейшее решение выполняется по следующей схеме: вычисления начинаются с контура Кош и, т.е. свободной границу, поскольку на ней известны значения (pus, затем решается вырожденная задача Гурса в области A¡BA2 и задача Гурса в области BAjO. В результате решения получаем жесткопластическую границу A3A2A¡0 и значения s на границе ВО. По известным <р и s на границе ВО вычисляем Tg.

Рассмотрим преимущества использования аффинного пространства.

Использование аффинных пространств позволило получить гиперболические уравнения и решить задачу о вдавливании плоского штампа в цилин-дрически-ортотропное полупространство.

Кроме того, если перейти к аффинным пространствам, и условие полной пластичности цилиндрически-ортотропной среды записать в виде

г = [a cos2 2q> + d sin2 2<p]~m, (41)

где а = 4Сп + CJ3 + С23 , d — ЛDn, затем отнести левую и правую часть условия (41) к а, то в уравнениях для поля напряжений и поля скоростей перемещений остается один интегральный параметр анизотропии f — — и

а

параметр аффинного преобразования А. Выявляется преимущество использования аффинных пространств, поскольку в процессе решения задачи варьируются лишь два параметра / и А.

Выводы

В диссертации изложены исследования возможностей построения теории идеальной пластичности цилиндрически-анизотропных материалов.

1. Используя аффинные преобразования координат, компонент поля скоростей, компонент тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в рамках квадратичной функции напряжений формулируется гладкое условие предельного состояния и ассоциированных законов пластического течения цил индричес ки-анизотропных сред.

2. Выделяется класс квазинесжимаемых, цилиндрически-анизотропных материалов, включающий как частные случаи модели сред, предложенные ранее Р. Хиллом, Матченко Н.М. и Тлоконниковым Л.А..

3. Посредством выбора обобщенных напряжений и соответствующих им обобщенных скоростей пластических деформаций для моделирующего материала вводится изотропное изображающее пространство, в котором квадратичное условие пластичности квазинесжимаемой цилиндрически-анизотропной среды записывается в форме, аналогичной условию пластичности изотропной среды.

4. Для моделирующей среды проводятся построения теории пластичности А.Ю. Ишлинского.

3Ис пол БЗуя~метод~афф и иного ттсщобия^-д ано обо бщение- соотно шений-А.Ю. Ишлинского на случай цилиндрически-анизотропных сред. Показана замкнутость предложенных соотношений.

6. Формулируется условие полной пластичности моделирующей среды, которое в изотропном изображающем пространстве представляется как ребро призмы Треска, вписанной в цилиндр Мизеса. Выписаны соотношения ассоциированного закона пластического течения.

7. Используя метод аффинного подобия, получены условия пластичности цилиндрически-анизотропного материала.

8. Исследованы особенности пространственного течения цилиндрически-анизотропной среды.

9. Получено решение обобщенной задачи Правдтля о сжатии цилиннд-рически-анизотропного тонкого слоя.

10. Выписаны основные уравнения осесимметричной задачи цилиндри-чески-ортотропных сред. Гипотеза полной пластичности позволяет получить статически определимую задачу в напряжениях. На основании метода аффинного подобия сформулированы соотношения цилиндрически-анизотропной среды в случае осевой симметрии.

11, С использованием модифицированного условия полной пластичности решены задачи о выдавливании цилиндрически ортотропного материала из цилиндрической втулки и о вдавливании плоского штампа в цилиндрически ортотропное полупространство.

Публикации по теме диссертации:

1. О.В. Зайцев, В.В. Усачёв, П.А. Батов. Развитие плоских контактных задач теории упругости анизотропного тела // Известия ТулГУ. / Серия: «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений». Вып. 4. — Тула: ТулГУ, 2003.- С. 143-150.

2. Н.М. Матченко, И.Н. Матченко, В.В, Усачев, В,Н. Демичев. О выборе интенсивности напряжений и скоростей деформаций в случае изотроипо-упрочняющегося начальноортотропного тела // Известия ТулГУ. / Серия: «Технология, механика и долговечность строительных материалов, конструкций и сооружений». Вып. 4. — Тула: ТулГУ, 2003. — С. 191-196.

3. Костиков И.Е., Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В. Формулировка условия пластичности идеально связной трансверсально-изотроиной среды // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2005. - С. 32.

4. Костиков И.Е., Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев

B.В. О возможности формулировки предельного условия изотропной среды в инвариантах собственных упругих состояний // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2005. - С. 35-36.

5. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В. Условие предельного состояния трансверсально-изотропных сред // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2005. -

C. 36-37.

6. Костиков И.Е., Кузнецов Е.Е., Матченко H.H., Матченко Н.М., Усачев В.В. Условие пластичности идеальносвязной трансверсально-изотропной среды // Известия ТулГУ. / Серия: «Строительные материалы, конструкции и сооружения». Вып. 8. - Тула: ТулГУ, 2005. - С. 71-76.

7. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М., Усачев В.В. Условие предельного состояния трансверсально-изотропных сред // Известия ТулГУ. / Серия: «Строительные материалы, конструкции и сооружения». Вып. 8. — Тула: ТулГУ, 2005. - С. 84-88.

8. Усачев В.В., Кузнецов Е.Е, Зайцев О.В. Вариант построения соотношений осе симметричной задачи теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропной среды // Известия ТулГУ. / Серия: «Строительные материалы, конструкции и сооружения». Вып. 9. — Тула: ТулГУ, 2006. — С. 176183.

9. Кузнецов Е.Е., Матченко Н.М., Усачев В.В. Осесимметричная задача теории идеальной пластичности транс версально-изотропной среды И Избранные вопросы теории упругости, пластичности и ползучести. — Ереван, Издательство «Гитутюн» НАН Армении, 2006, 306 е.- С. 171-177.

10. Усачев В.В., Кузнецов Е.Е, Зайцев О.В, Вариант построения соотношений осе симметричной задачи теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропной среды // Сборник материалов VII Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула: ТулГУ, 2006.-С.51-52.

Изд. Лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 3.11.06. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1- Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 114, Тульский государственный университет.З00600, г. Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Введение

1. Состояние вопроса и задачи исследования 6 1.1. Основы математической теории идеальной пластичности

1.2 Условия пластичности ортотропных сред

1.3. Квадратичный критерий пластичности и его модификации

1.3.1. Модификация Мизеса-Хилла

1.3.2. Модификация Толоконникова-Матченко

1.3.3. Модификация Рыбакиной

1.3.4. Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные материалы

1.4. Цели и задачи исследования *

2. 'Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные среды ^ О множественности представлений цилиндрически- ^д анизотропной среды в аффинных пространствах

Возможности экспериментального определения характеристик ^q пластической анизотропии

2.1.2. Аффинные преобразования 2 Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения ^ цилиндрически-анизотропного материала

2.3. Вычисление компонент преобразующего тензора

Моделирующая среда. Изотропное изображающее пространство.

3. Некоторые аналогии в теории идеальной пластичности 38 цилиндрически-анизотропных сред Аналогии для напряжений и скоростей пластических

3.1. , „ 38 деформации цилиндрически-анизотропнои среды.

3.1.1. Обобщенные напряжения.

3.1.2. Обобщенные скорости деформации.

3.2. Замкнутость уравнений пластического течения

3.3. Частные формы условия пластичности

3.4. Условие полной пластичности ^ Аналоги вариантов условий пластичности цилиндрически- ^ анизотропных сред. Условные интенсивности напряжений и скоростей пластических ,п

3.0. , „ оУ деформации.

Некоторые особенности пластического течения цилиндрическианизотропной среды в аффинных пространствах (Ап*). ^ *

4. Основные уравнения осе симметричной задачи теории 81 идеальной пластичности цилиндрически-ортотропной среды

4.1. Общие соотношения

4.2. Аффинные пространства

4.3. Основные уравнения

4.4. О статической определимости осе симметричной задачи

4.5. Уравнения поля напряжений

5. Решение частных задач осесимметричного пластического 95 течения.

5.1. Методы решения задач осесимметричного пластического 95 течения.

5.2. Истечение цилиндрически-ортотропного материала из 98 цилиндрической втулки.

5.3. Численный эксперимент по исследованию осесимметричного 101 течения цилиндрически-ортотропной среды

5.3.1. Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого 101 штампа с плоским основанием в цилиндрически-ортотропное полупространство.

5.3.2. Анализ вариантов вдавливания круглого штампа с плоским 110 основанием в цилиндрически-ортотропное полупространство.

6. Выводы

7. Литература

В диссертации изложены исследования возможностей построения соотношений теории идеальной пластичности цилиндрически-анизотропных квазинесжимаемых Сплошных сред.

Используя аффинных преобразований координат, компонент поля скоростей, компонент тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в рамках условия пластичности в виде квадратичной функции напряжений формулируется гладкое условие предельного состояния и ас-^ социированный с ним закон течения цилиндрически-анизотропных сред.

Выделяется класс цилиндрически-анизотропных материалов, обладающих свойством несжимемости пластического течения в аффинных пространствах (свойство квазинесжимаемости). Показано, что, ранее предложенные Р. Хиллом [123], Тлоконниковым JI.A. и Матченко Н.М. [80, 113] условия пластичности, вытекают из предложенной модели, как частные случаи.

Посредством выбора обобщенных напряжений и соответствующих им обобщенных скоростей пластических деформаций для моделирующего материала вводится изотропное изображающее пространство, в котором квадратичное условие пластичности квазинесжимаемои цилиндрически-анизотропной среды записывается в форме, аналогичной условию пластичности изотропной среды.

Для моделирующей среды получен вариант соотношений теории идеальной пластичности А.Ю. Ишлинского [68]. Используя метод аффинного подобия получено обобщение этих соотношений на случай цилиндрически-анизотропных сред.

Предложено условие полной пластичности цилиндрически-анизотропной среды моделирующего материала. В изотропном изобра-■I жающем пространстве условие полной пластичности представляется как ребро призмы Треска, вписанной в цилиндр Мизеса. Выписаны соотношения ассоциированного закона пластического течения.

На основе метода аффинного подобия записаны условия пластичности цилиндрически-анизотропного материала. Исследованы некоторые особенности пространственного течения цилиндрически-анизотропного материала. Решена обобщенная задача Прандтля о пространственном течении пластического тонкого слоя.

Дана постановка осесимметричной задачи цилиндрически-анизотропных сред. Принимается гипотеза полной пластичности в изотропном изображающем пространстве. Условия пластичности цилиндрически-анизотропной среды выписываются на основе метода аффинного подобия.

С использованием предложенных кусочно-линейных условий пластичности решены задачи о выдавливании цилиндрически-ортотропного материала из цилиндрической втулки и о вдавливании плоского штампа в цилиндрически-анизотропное полупространство.

6. выводы

В диссертации изложены исследования возможностей построения теории идеальной пластичности цилиндрически-анизотропных материалов.

1. Используя аффинных преобразований координат, компонент поля скоростей, компонент тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в рамках квадратичной функции напряжений формулируется гладкое условие предельного состояния и ассоциированных законов пластического течения цилиндрически-анизотропных сред.

2. Выделяется класс квазинесжимаемых, цилиндрически-анизотропных материалов, включающий как частные случаи модели сред, предложенные ранее Р. Хиллом [123] ,Матченко Н.М.и Толоконниковым Л.А. [80, 113]. |

3. Посредством выбора обобщенных напряжений и соответствующих им обобщенных скоростей пластических деформаций для моделирующего материала вводится изотропное изображающее пространство, в котором квадратичное условие пластичности квазинесжимаемой цилиндрически-анизотропной среды записывается в форме, аналогичной условию пластичности изотропной среды.

4. Для моделирующей среды проводятся построения теории пластичности А.Ю. Ишлинского. I

5. Используя метод аффинного подобия дано обобщение соотношений А.Ю. Ишлинского на случай цилиндрически-анизотропных сред. Показана замкнутость предложенных соотношений.

6. Формулируется условие полной пластичности моделирующей среды. Выписаны соотношения ассоциированного закона пластического течения.

7. Используя метод аффинного подобия получены условия пластичности цилиндрически-анизотропного материала.

8. Исследованы особенности пространственного течения цилиндрически-анизотропной среды.

9. Получено решение обобщенной задачи Прандтля о сжатии цилиндрически-анизотропного тонкого слоя.

10. Выписаны основные уравнения осе симметричной задачи цилиндрически- ортотропных сред. Гипотеза полной пластичности позволяет получить статически определимую задачу в напряжениях. На основании метода аффинного подобия сформулированы соотношения цилиндрически-анизотропной среды в случае осевой симметрии.

11. С использованием модифицированного условия полной пластичности решены задачи о выдавливании цилиндрически-ортотропного материала из цилиндрической втулки и о вдавливании плоского штампа в цилиндрически ортотропное полупространство. Р

1. Аннын Б.Д., Бытее В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск:Наука. 1985. 142 с.

2. Адамеску Р.А., Гелъд П.В. ,Митюшков Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. М.: Металлургия. 1985. 136 с.

3. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести // ДАН РАН. 1996. - Т. 350, № 3. - С. 332-334.

4. Арышенский Ю.М.,Гречников Ф.В, Арышенский В.Ю. Получение рациональной анизотропии в листах / Под ред. Ф.В. Греч-никова. -М: Металлургия. 11987. 141 с.

5. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. Л.: Машиностроение. 1969. 112 с.

6. Бастуй В.Н. К оценке деформационной анизотропии металлов.//Пробл.прочности. 1979. № 11. С. 49-51.

7. Баш Ю.М., Васин Р.А., Вега К.Э. Об учете деформационной анизотропии в теории течения/ В кн. "Вопросы теории пластичности", М.: Изд-во АН СССР. 1961. С. 83-91.

8. Белл. Дж. Экспериментальные основы механики деформируе-ш мых твердых тел. Часть 1. Малые деформации. М.: Наука. 1984.600 с.

9. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций. М.: Изд-во иностр.лит. 1955. 444 с.

10. Быкоеец Г.И. О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел // Изв.АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. №2. 1963. С. 151 157.

11. Вакуленко А.А., Качанов JIM. Теория пластичности / В кн. Механика в СССР за 50 лет. Т.З. С. 79-118.

12. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеальной пластического тела, Проблемы механики. Сб. статей. М.: ИЛ, 1955

13. Гениев Г.А., Курбатов А. С.,\ Самедов Ф.А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. М,: Интербук, 1993.р -183 с.

14. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Теория пластичности. -М.: ИЛ,17.20.23.26