Решение одного класса парных интегральных уравнений в задачах теории дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. ^

ГЛАВА I. МЕТОД РЕШЕНИЯ ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ.

§1.1 Исследуемый класс парных интегральных уравнений . ¡

§ 1.2 Новые представления для функций ^¿Ор и их преобразования Фурье х-(сС)

§ 1.3 Сведение парных интегральных уравнений для функций х^ {осу к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода.

§ 1.4 Интегральные уравнения Фредгольма второго рода для искомых функций х[(сС)

§ 1.5 Существование и единственность решения полученных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений 2-го рода.

§ 1.6 Исследование интегральных уравнений второго рода.

§ 1.7 0 методах решения полученных бесконечных систем линейных алгебраических и интегральных уравнений 2-го рода.

ГЛАВА П. ПАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ Н И Е - ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПЛОСКОЙ ЛЕНТЕ. $о

§ 2.1 Постановка рассматриваемых задач дифракции.

§ 2.2 Основные интегральные уравнения для рассматриваемых задач

§ 2.3 Решение парных интегральных уравнений

§ 2.4 Особенности рассеяния Н - поляризованной волны лентой

§ 2.5 Анализ численных результатов

ГЛАВА Ш. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗВИТОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ

РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ.

§ 3.1 Строгое решение задачи дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны на. системе плоских лент

§ 3.2 Строгое решение задачи возбуждения отрезка круглого волновода продольным электрическим диполем. $

В настоящее время в современной радиофизике сложилось специфическое положение, которое характеризуется тем, что на практике все чаще используются функциональные элементы размерами порядка длины волны, т.е. в резонансной области Г1,2] . При этом на основе известных асимптотических методов [3-7] не удается провести исследование особенностей рассеянных полей. Всесторонний анализ при такой ситуации возможен только на основе строгих математических методов. В силу этого разработка строгих математических методов решения задач теории дифракции является одной из самых актуальных задач математической физики, в частности, прикладной электродинамики. Вопросам развития подобных методов посвящены монографии [1,2,8-24] , обзорные статьи [25-29] и цикл оригинальных работ [30-32] . Причем, большинство этих монографий появились за последние 5 лет, что свидетельствует о возросшей роли строгих методов в прикладной электродинамике. Среди этих методов, прямые численные методы в сочетании с методом интегральных уравнений [12,17, 19,20,22,25-29] , по-видимому, являются наиболее общими и универсальными. С привлечением ЭВМ на основе этих методов удалось получить численное решение широкого класса задач электродинамики. Однако недостатком этих методов является то, что на их основе не всегда удается создавать эффективные вычислительные алгоритмы, обосновать достоверность окончательных результатов. Дело в том, что численные методы в конечном итоге приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Однако возможности даже самых современных ЭВМ при решении СЛАУ больших порядков ограничены [17,19,20,28] . Поэтому в настоящее время от разрабатываемых методов требуется высокая эффективность. Это обстоятельство имеет первостепенное значение.

В отличие от прямых численных методов, строгие численно-аналитические методы позволяют при решении определенного класса задач теории дифракции создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы [1,2,10,17,23,24] . Они позволяют также оценить области применимости различных асимптотических методов. В тех случаях, когда эти методы применимы, то при минимальных затратах машинного времени они позволяют получать точные и надежные численные результаты, которые могут быть использованы в качестве эталонных для проверки точности различных прямых численных методов. В основе этих методов лежит метод полуобращения, который в течении последних 20 лет интенсивно и последовательно разрабатывается в харьковской школе радиофизиков под руководством академика АН УССР В.П.Шестопалова [1,2,10,24] . В работе З.С.Аграновича, В.А.Марченко, В.П.Шестопалова [33] метод полуобращения впервые был предложен в качестве эффективного метода решения парных сумматорных уравнений с тригонометрическим ядром, которые возникают при решении, в частности, задачи дифракции волн на плоской ленточной решетке. В результате первоначальные парные уравнения сводятся к решения бесконечной СЛАУ Фредьгольма второго рода, которая единственным образом разрешима в пространстве числовых последовательностей /2 [1,2,10] . Решая эти СЛАУ методом "усечения" можно строить приближенное решение исходной задачи с любой наперед заданной точностью. Далее строгость решения задач теории дифракции в этом смысле и будем понимать.

Метод полуобращения, применительно к решению системы парных сумматорных уравнений с различными ядрами, нашел свое дальнейшее развитие в работах В.П.Шестопалова и его учеников. Результаты этих работ обобщены в монографии[I], где, в частности, приводятся многочисленные примеры решения системы парных сумматор-ных уравнений, возникающих в задачах дифракции волн на незамкнутых цилиндрических, сферических экранах и структурах, образованных из них.

Методы решения парных уравнений (как сумматорных, так и интегральных), как следует из монографий[I,34], играют большую роль при решении многих задач математической физики и, в частности, теории дифракции. В этих монографиях приводятся конструктивные методы численно-аналитического решения парных уравнений. В них содержится наиболее полная библиография по методам решения различных систем парных уравнений.

Метод парных уравнений, как справедливо замечано в[34], по существу представляет собой обобщение метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. Характерным примером задачи теории дифракции, который сводится к парным уравнениям, является задача дифракции волн на незамкнутом экране, который совпадает с частью какой-либо координатной поверхностью. При этом после представления искомой функции в виде разложения по собственным функциям, соответствующих непрерывному либо дискретному спектру собственных значений, сведение краевой задачи к парным уравнениям осуществляется путем дополнения такого экрана до полной координатной поверхности и постановки на дополнительной части условия сопряжения для полей.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математически обоснованного нового строгого метода решения парных интегральных уравнений специального вида с тригонометрическим ядром, позволяющего создавать эффективные вычислительные алгоритмы. К решению подобных уравнений сводятся многие задачи дифракции скалярных волн на двумерных бесконечно тонких экранах.

Идейная сторона предлагаемого метода основана на методе частичного обращения оператора и состоит в явном обращении "сингулярной" части интегрального оператора с помощью разрывных интегралов Вебера-Шафхейтлина. В результате приходим к бесконечной СЛАУ фредгольма 2-го рода, которая оказывается удобной для проведения численных расчетов на ЭВМ. Неизвестными в этих уравнениях являются коэффициенты, через которые выражаются неизвестные функции в первоначальных интегральных уравнениях в виде равномерно сходящихся рядов. Существенным моментом при этом является выбор системы функций, по которым разлагаются искомые функции. Ниже будет показано, что для рассматриваемого класса функций это делается однозначно.

Диссертация состоит из трех глав, заключения и двух приложений. В первой главе, которая носит методический характер, подробно изучается исследуемый класс парных интегральных уравнений (ПИУ) с тригонометрическим ядром. Особенностью этих уравнений является то, что неизвестными в них являются преобразования Фурье {&)} i=i функций / » заданных на интервале

1 ( ** | Причем последние на концах этого интервала имеют сле

2 Y" дующий характер поведения /U.CV) ~ 0Iii-Ii ) 1] } t; = ±1/г.

J 1Ч1-+1

К этому условию для функций IPiCH)}* . которые в теории дифракции, как правило, соответствуют функциям поверхностных токов, наводимых падающей волной на дифрагирующих телах, приводит одно из

- в физических условий, накладываемое на рассеянное поле. Это так называемое условие Мейкснера на ребрахГ8,13] . Чтобы удовлетворить этому условию функции {р^)}^ ( разлагаются в ряды по полной и ортогональной системе полиномов Чебышева с неизвестными коэффициентами ///д]^ и с весовым множителем типа . Следствием этого является то, что для преобразования Фурье этих функ

2 > ций у которые принадлежат пространству функций где 1<р^2 , р2> 2 , получаются представления в виде равномерно сходящихся рядов по бесселевым функциям. Это обстоятельство позволяет обратить "сингулярные" части интегральных операторов в парных уравнениях с помощью разрывных интегралов Вебера-Шафхейт-лина [36] . В результате для отыскания неизвестных ^ получена бесконечная СЛАУ второго рода с простыми матричными элементами. Более того показано, что для них имеют место рекуррентные формулы. Доказана теорема существования и единственности решения полученных СЛАУ в случае принадлежности функций, задающих свободные члены ПИУ, к классу функций (р>1) . Бесконечные СЛАУ относительно неизвестных таковы, что они позволяют получить интегральные уравнения Фредгольма второго рода с достаточно простым ядром для нахождения функций

Заметим, что от известных способов решения ПИУ [34,36,37J предлагаемый метод отличается математической обоснованностью, простотой и высокой алгоритмичностью. Следует особо отметить работы [38-40], в которых математически обоснованно решались ПИУ, являющиеся частным случаем рассматриваемых ПИУ. В работе[39] одним из способов решения ПИУ является сведение последних.к задаче Римана-Гильберта. Затем, используя' известный аппарат теории аналитических функций[41,75] для искомых функций получают интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Аналогичные результаты получены и в[40] на основе метода интегрального уравнения Абеляр] . Полученные нами интегральные уравнения совпадают с этими уравнениями. Отличительная особенность нашего метода заключается в том, что на его основе с одинаковой эффективностью находятся как сами функции {р-^Ц)]^ * так и их преобразования Фурье х (о£)1? (методы работ[34-40] позволяют эффективно опре-I •* I { делять лишь преобразования Фурье).

В заключении первой главы обсуждаются методы решения полученных бесконечных СЛАУ и интегральных уравнений второго рода и вопросы эффективности вычислительных алгоритмов.

Во второй главе, на основе результатов первой главы, решаются ПИУ, которые возникают в задаче дифракции Ни Е - поляризованных электромагнитных волн на плоской ленте. Эта задача является классической задачей теории дифракции и ее приближенному и строгому решению посвящено значительное количество работ. Наиболее полную библиографию по этой задаче можно найти в монографиях [6,8,16,19] . Из работ последнего времени, не вошедших в эти монографии, отметим работы[37-40,42,23,43] . По методу решения работы[23,43] в какой-то степени являются частным случаем нашего подхода. Каждая из них имеет свои недостатки. В работе [23, глава 4, § 4.2], которая появилась позже нашей[79], отсутствуют вопросы математического обоснования. А в работе[43] отсутствует частичное обращение интегрального оператора. В результате этого ПИУ в. задаче дифракции волн на плоской ленте сводится к решению

- (О бесконечной СЛАУ первого рода со слабой сходимостью матричных элементов (вопросы математического обоснования в этой работе также отсутствуют).

Необходимо заметить следующее. Задача дифракции волн на ленте имеет явное решение, которое может быть получено на основе метода разделения переменных в эллиптической системе координат. Аналитическое решение этой задачи при этом представляется в виде рядов по функциям Матье [16] . Путем суммирования этих рядов на ЭВМ, величины, характеризующие рассеянное поле, расчитываются с высокой степенью точности. Они являются эталонными для проверки различных методов решения [42] . Предлагаемый наш метод на примере этой задачи был реализован в виде пакетов программ на языке АЛГОЛ для ЭВМ БЭСМ-6. Эффективность вычислительных алгоритмов и их достоверность была установлена путем сравнения с результатами работы Г42] и с возможностями других методов [22] . В задаче дифракции И - поляризованной электромагнитной волны на ленте на основе этих алгоритмов нами проведены подробные численные расчеты таких величин, характеризующих рассеянное поле как поперечник полного рассеяния (при различных углах падения) , диаграмма направленности и распределение плотности поверхностного тока на ленте.

Третья глава диссертации посвящена строгому решению двух задач теории дифракции: рассеяние - поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент и возбуждения отрезка круглого волновода продольным электрическим диполем. Решение этих задач получено на основе результатов первой и второй главы. Задача дифракции Ц - поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент, расположенных в пространстве параллельно друг другу и ориентированных произвольным образом сводится к решению связанных систем ПИУ (число уравнений совпадает с числом экранов). Последние, как и в главе 2, методикой, предложенной в первой главе сводятся к решению связанных бесконечных СЛАУ фред-гольма второго рода, которые позволяют с любой наперед заданной точностью определять коэффициенты, через которые выражаются функции плотности токов на лентах.

Заметим, эта задача представляет большой интерес для практики. И не случайно, что ее решению посвящено значительное количество работ [8,19,22,23,44-49] . Приближенное решение этой задачи получают, как правило, в предположении о слабости взаимодействия экранов [8,45,46] . Однако это обстоятельство выполняется далеко не всегда. Строгие подходы к исследованию задач о дифракции волн на многих экранах, основанные на методе интегральных уравнений, разработаны в основном для частного случая этой задачи, а именно, когда все экраны лежат в одной плоскости [19,44, 48,50] . В ряде случаев задача сведена к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода [17,47-50] (порядок системы совпадает с числом экранов). Однако численная реализация этих подходов связана с большими вычислительными трудностями. Лишь подход работы [50], с помощью которого задача о дифракции волн на конечном числе лент, лежащих в одной плоскости сведена к решению одного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с достаточно простым ядром, обладает высокой алгорит-мичностью. Предлагаемый нами подход к решению рассматриваемой задачи отличается от подходов работ [19,44,47-50] общностью и высокой алгоритмичностью.

Задача о рассеянии электромагнитных волн отрезком круглого волновода находит широкое применение в таких областях современной физики как электроника, радиоастрономия, ядерная физика, радиолокация и антенная техника [51,52] . Поэтому решение этой задачи представляет большой интерес для практики. Приближенному и строгому решению' данной задачи посвящено значительное количество работ [7:52-65] . Приближенные методы, основанные на допущениях эврестического характера [7:52-57] позволяют провести анализ рассеянных полей при некоторых предельных значениях параметров задачи. Анализ данной задачи на основе численного решения интегральных уравнений первого рода [58-63] становится затруднительным в резонансной области. Лишь в работах [64,65] рассматриваемая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода, позволяющее анализировать особенности рассеянного поля в широкой области изменения параметров.

Предлагаемый нами подход, основанный на результатах первой главы, позволяет рассматриваемую задачу свести к решению бесконечной СЛАУ второго рода относительно неизвестных коэффициентов, через которые выражается функция плотности тока на поверхности кольца. Матричные элементы этих уравнений достаточно простые, что позволит провести анализ данной задачи в широких пределах изменения параметров структуры.

В заключении сформулированы основные результаты работы, а в приложениях приводится вспомогательный материал, облегчающий понимание сути основного текста.

Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах ИММ АН Азерб.ССР (Баку), ИРЭ АН УССР (Харьков), на Республиканской конференции молодых математиков (Баку, 1984г.) и опубликованы в работах[79-83].

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику АН УССР, доктору физико-математических наук, профессору В.П.Шестопалову и старшему научному сотруднику №3 АН УССР, кандидату физико-математических наук Э.И.Велиеву за многочисленные обсуждения результатов работы, а также младшему научному сотруднику ИРЭ АН УССР В.В.Веремею за консультации при создании вычислительных алгоритмов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩТУ

1. Развит математически обоснованный строгий метод решения парных интегральных уравнений с ядром в виде тригонометрических функций, к решению которых сводится широкий класс скалярных задач теории дифракции, сформулированных как краевые задачи для уравнения Гельмгольца в одной из систем координат с разделяющимися переменными. Этот метод может быть использован при решении ряда граничных задач теории потенциала, гидродинамики, акустики, теории упругости.

2. Показано, что предложенный метод позволяет создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы при численном анализе на ЭВМ.

3. На основе предложенного метода получено новое строгое решение задачи дифракции волн на плоской ленте. На примере численной реализации этой задачи на ЭВМ показана эффективность данного подхода по сравнению с ранее известными. Проведено теоретическое исследование особенностей полей, рассеянных лентой в широком диапазоне изменения параметров задачи. В частности, изучены такие электродинамические характеристики рассеянного поля как поперечник полного рассеяния и диаграммы направленности поля при различных значениях угла падения.

4. На основе предложенного метода впервые получено строгое решение задачи дифракции плоской Ц - поляризованной электромагнитной волны на системе из плоских лент, образующие которых параллельны,и которые произвольным образом расположены в пространстве.

ЗАКЛЮЧЕН: ИЕ

Кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы:

I. Предложен математически обоснованный строгий метод решения парных интегральных уравнений (ПИУ) специального вида с тригонометрическим ядром, к решению которых сводятся многие задачи теории дифракции. Особенностью этих уравнений является то, что неизвестными в них являются преобразования Фурье функций (^.ц)- , заданных в интервале У 6 Г-и 11 * Причем при (у /, д (р ¿у. ^ г< где £¿ = ¿7/2 •

Сущность метода заключается в том, что после разложения 'функций [у^О^?/ в равномерно сходящиеся ряды (с неизвестными коэффициентами 0 п0 полиномам

Чебышева с весовой функцией С/-^2)7' , для их преобразования Фурье получаются представления в виде равномерно сходящихся рядов по функциям Бесселя. Учет этого обстоятельства позволяет обратить главную часть интегральных операторов в ПИУ на основе разрывных интегралов Вебера-Шафхейтлина для бесселевых функций. В результате для отыскания неизвестных [р^ получаются бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) второго рода. Доказано, что решение этих бесконечных СЛАУ существует и единственно и оно дает решение исходных ПИУ. Приближенное решение полученных СЛАУ с любой наперед заданной точностью можно получить на основе метода редукции. Матричные элементы этих уравнений имеют простой вид и для них установлены рекуррентные соотношения.

2. Показано, что предложенный метод позволяет создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы при численном анализе на ЭВМ.

3. Получено новое строгое решение задачи дифракции плоских электромагнитных волн на ленте на основе предложенного метода. На примере численной реализации решения этой задачи на ЭВМ показана эффективность данного подхода по сравнению с ранее известными.

4. С помощью предложенного метода получено новое строгое решение двух задач теории дифракции: а) задачи дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент, расположенных параллельно друг другу и ориентированных произвольным образом (при условии, что ленты не касаются), б) задачи возбуждения отрезка круглого волновода электрическим диполем, расположенным на его оси.

1. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. - Киев: Наук.думка, 1983. - 252с.

2. Дифракция волн на решетках (В.П.Шестопалов, Л.Н.Литвиненко, С.А.Масалов, В.Г.Сологуб) Харьков: Изд-во Харьк.ун-та, 1973.- 287с.

3. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, - 456с.

4. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции.- М.: Связь, 1978. 247с.

5. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов,радио, 1970. - 518с.

6. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции.- М.: Сов.радио, 1966. 239с.

7. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. М.: Наука, 1972. - 204с.

8. Хёйл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. - 428с.

9. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов.радио, 1966. - 430с.

10. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк.ун-та, 1971. - 400с. EI. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. - М.: Изд-во иностр.лит., 1962. -278с.- Ц8

11. Никольский B.B. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460с.

12. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.: Мир, 1974. 323с.

13. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. М.: Наука, 1977. - 208с.

14. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. -Минск, Наука и техника, 1968. 582с.

15. Bowmen У., Senior Т., Uslenghi Р. 2teeho magnetic and acusiic scaUeziny fy simple shapes. -Amsterdam , A/ozth Holland , f969, -?28p.

16. Вычислительные методы в электродинамике (под ред.Р.Миттры). М.: Мир, 1977. - 485с.

17. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.И. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977. - 416с.

18. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. - 184с.

19. Численные методы теории дифракции (Сб.статей Математика. Новое в зарубежной науке. Вып.29). М.: Мир, 1982. - 200с.

20. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 232с.

21. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев, Наук.думка, 1984. - 344с.

22. Литвиненко Л.Н., Просвирнин С.Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах. Киев, Наук.думка, 1984. - 240с.

23. Шестопалов В.П., Кириленко A.A., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев, Наук.думка, 1984. - 296с.

24. Васильев E.H., Ильинский A.C., Свешников А.Л. Численные методы решения задач дифракции на локальных неоднородностях. -Вычисл.методы и программирование. 1975, вып.24, с.3-23.

25. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики. Успехи мат.наук, 1976, 31, № 4, с,123-141.

26. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Численные методы в задачах дифракции на неоднородных периодических структурах. Прикл. электродинамика, 1977, вып.1, с.51-93.

27. Никольский В.В. Проекционные методы в электродинамике. -Прикл.электродинамика, 1977, вып.1, с.4-49.

28. Васильев E.H. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений. Прикл.электродинамика, 1977, вып.8, с, 94128.

29. Фельд Я.Н. О сведении одного класса интегральных уравнений первого рода к уравнениям второго рода. ДАН СССР, 1969, 187, № 4, с.761-765.

30. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых экранах. ДАН СССР, 1973, 212, № I, с.79-82.

31. Фельд Я.Н. Дифракция скалярных волн на незамкнутых поверхностях. Радиотехника и электрон., 1973, 18, № 9, с.1785-1793.

32. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских ленточных решетках. Журн. техн.физики, 1962, 32, № 4, с.381-394.

33. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Ленинград, Наука, 1977. - 220с.

34. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. - т.2, 296с.

35. Лебедев H.H., Скальская И.П. Применение парных интегральных уравнений к задаче дифракции электромагнитных волн на плоском проводящем экране со щелью. Журн.техн.физики, 1971, 41, № 7, с.1329-1339.

36. Лебедев H.H., Скальская И.П. Применение парных интегральных уравнений к задаче дифракции электромагнитных волн на тонкой ленте. Журн.техн.физики, 1972, 42, № 4, с.681-690.

37. Скурлов В.М., Шестопалов В.П. Интегральные уравнения Фред-гольма второго рода в задаче дифракции плоской волны на щели. Дифференц.уравнения, 1969, 5, № 12, с.2173-2199.

38. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. Журн.вычисл. математики и мат.физики, 1971, II, № 4, с.837-854.

39. Виноградов С.С., Тучкин Ю.А., Шестопалов В.П. О преобразовании Абеля в задаче дифракции на тонкой ленте. ДАН СССР, 1982, 267, № 2, с.330-334.

40. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640с.

41. Горгошидзе А.И. Эталонные расчеты и оценка некоторых приближенных решений для задачи о дифракции на ленте. Радиотехника и электрон., 1975, 20, № 7, с.1354-1361.

42. Такиго 0. R иос a m'nation о/ difftociion pzoêdem of a sùi êy a meihod of êouziez hoportai êunciîons izansfoznjdiîon . tf. Php .$ос.Уар.,19?6,4l,№6,f>-2046-2051.

43. Tqkuzo 0. Ъf/Vtoc{ion êy bwo pana Ш Ms in a pfaoe. У. Math .Pbys., 1918, 19, >p- M -9ts.

44. Тпег^ки У. Mutiipte scattezing oß mires and optica? phehomena . У. Opi. Soc. Arn., 1961,52, N2,p. Ц5-Н1.

45. Miitai R.Pfane urave s pecha in fioiin^ Tbeozy1.. ScaHe2it?2 fya éimiie paiing of idenlicaê cyùhdez. . Camot. Уоигп. Php., 1964,42, p.2$95-24l1.

46. Гринберг Г.A. О решении двумерной задачи дифракции электромагнитных волн на системе прямолинейых отрезков (экранов).- Журн.техн.физики, 1974, 44, № 5, с.906-915.

47. Зильберглейт A.C. Применение метода парных интегральных уравнений к задаче дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем плоском экране с четным числом симметрично расположенных щелей. Журн.техн.физики, 1975, 45, № 3,с.463-470.

48. Лебедев H.H., Скальская И.П. Применение интегральных уравнений к плоской задаче дифракции электромагнитных волн на тонких проводящих пластинах, поставленных под углом друг другу.- Журн.техн.физики, 1977, 47, № 12, с.2457-2463.

49. Сологуб В.Г. Об одном методе исследования задачи о дифракции на конечном числе лент, расположенных в одной плоскости.- ДАН УССР, 1975, сер.А, J& 6, с.550-554.

50. Ливингстон М.С. Ускорители заряженны х частиц. М.: Изд-во Иностр.лит., 1956. - 148с.

51. Драбкин А.Л., Зузенко В.Л., Киселев А.Г. Антенно-фидерные устройства. М.: Сов.радио, 1964. - 536с.- t3z

52. Леонтович M.A., Левин М.Л. О возбуждении вибраторов в антеннах. М.: Изд-во АН СССР, сер.физ., 1944, 8, № 3, с.156.

53. Уфимцев П.Я. Дифракция плоских электромагнитных волн на тонком цилиндрическом проводнике. Радиотехника и электроника. 1962 , 7, 2, 260-269.

54. Вайнштейн Л.А. Бочкообразные открытые резонаторы. Сб."Элек-троника больших мощностей". М.: Изд-во АН СССР, 1964, № 3,с.176.

55. Wittiams W.E.Biffeociion iyacyhndez of Siftiie lenyib. Pzog.CQne. Phi?-SOC.,№6,52,1^2^.322.

56. Kuehf H.H. Radiation f?om a tad tot ePeciuc dipoUe пеал a tony (krtiie ciicufai cyhndeiIAE T7qhs. Menn. Ргор., f96f,AP~9,p.546.

57. Капица П.Л., Фок В.А., Вайнштейн Л.А. Симметричные колебания идеально проводящего полого цилиндра конечной длины. -Журн.техн.физики, 1959, 29, № 10, с.1188-1206.

58. Као с.С. Z(echomagnetic scaUezing fzcm a iinUe luiu(an cydindez • Numeiical solution. Rdio Seience, f990t5, A/£3,p. 6fi.

59. Вейнштейн Л.А. Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. Журн.техн.физики, 1959, 29, № 6, с.674-688.

60. Вайнштейн Л.А. Симметричные электрические колебания идеальнопроводящего полого цилиндра конечной длины. Численные результаты для пассивных вибраторов. Журн.техн.физики, 1967, 37, № 7, C.II8I-II88.

61. Goidhizsh а кперр %t%biak R., Unas R. Radiation fzom a dipole пеаг a conductingсу (i n de г 0/ Senile lengih. IE EE Teans. Ztechomagn. CompcthS1910,12, /V, , p. 96.

62. G-otdhizsb Knepp ^ьЫак R., Units R. Radi-ah'on ftom a shozt dipoPe ог Monopole nean a ibiCK conducting cyfrndez of zesonanl tengih.- IEEE Tzans . fthtebn. Ргор .,t9?t, 12, p. 299.

63. Лапта С.И., Сологуб В.Г. Рассеяния поля диполя коротким отрезком круглого волновода. Изв.вузов "Радиофизика", 1973, 16, № 10, с.1588-1598.

64. Лапта С.И., Сологуб В.Г. Возбуждение отрезка круглого волновода продольным диполем, расположенным на его оси. Харьков, Сб."Радиотехника", вып.30, 1974.

65. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостех-издат, 1948. - с.479.

66. Прудников А.П.,. Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983, - 752с.

67. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.- М.: Мир, 1980. 608с.

68. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744с.

69. Канторович Л.В., Крылов В.И., Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708с.

70. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, 1973. т.1, 294с.

71. Линейные интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука, 1968.-448с.

72. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Советское радио, 1957. - 580с.

73. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. Харьков: Изд-во Харьк.ун-та, 1976, - 231с.

74. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.: ГИФШ1, 1962. - 600с.

75. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736с.

76. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр.лит., 1958, т.1. 930с.

77. Ггантер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. - 416с.

78. Ахмедов Т.М., Велиев Э.И. Решение одного класса парных интегральных уравнений в задачах теории дифракции. ДАН УССР,1983, сер.А, № 3, с.55-58.

79. Ахмедов Т.М., Велиев Э.И. Решение парных интегральных уравнений в задаче дифракции £ поляризованной электромагнитной врлны на плоской ленте. - Известия АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1983, № 5, с.120-125.

80. Ахмедов Т.М. Об одном методе решения парных интегральных уравнений в задаче дифракции волн на ленте. Деп.ВИНИТИ 21 марта 1984г., № 2577-84, с.37.

81. Ахмедов Т.М., Велиев Э.И. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на системе плоских лент. Известия АН Азерб. ССР, 1984, сер.физ-техн. и матем.наук, № 4, с.114-118.