Численное решение двумерных задач дифракции методом сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

< -

/¿гэ-

' и п Р о'

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ*^ ' ХАРЬКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. М. ГОРЬКОГО

На правах рукописи

НАЗАРЧУК Зиновий Теодорович

УДК 537.8 + 517.9

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ МЕТОДОМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.04.03 — радиофизика, включая квантовую радиофизику

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

¿ис^иЛ^ я/" /го г^е ^о-е ё

ЛА6-/ 1, Ж^А

\ -

\ О'/

Харьйда^-^Ш

V"5

Работа выполнена в Физико-механическом институте имени Г. В. Карпенко АН УССР, г. Львов.

Официальные оппоненты:

академик АН УССР, доктор физико-математических наук, профессор ШЕСТОПАЛОВ ВИКТОР ПЕТРОВИЧ (ИРЭ АН УССР, Харьков);

доктор физико-математических наук, профессор ЗАХАРОВ ЕВГЕНИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ (МГУ, Москва);

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник СИВОВ АЛЕКСЕИ НИКОЛАЕВИЧ (ИРЭ АН СССР, Москва).

Ведущая организация — Ростовский государственный университет.

Защита состоится «_»__1989 г. в__часов на

заседании специализированного совета Д 068.31.01 при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького: 310077, Харьков, пл. Дзержинского, 4, ауд. Ш-9.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ.

Автореферат разослан «_»_1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

_ а -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цилиндрические структуры иирот-о применяются в радиофизике и радиотехнике. Примером использования лишь одной их разновидности - незамкнутых металлических экранов - могут служить элементы антенных устройств, замедлители, волноводные неоднородности, фильтры н возбудители типов волн в полых волноводах. Двумерная система из пары металлических зеркал и диэлектрического стержня представляет простейший открытый резонатор, являвшийся веяным узлом современных усилителей и генераторов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона, используемых в квантовой и дифракционной электронике. Протяженные препятствия конечной толщины и проводимости, находящиеся в кусочно-однородной среде, с успехом моделируют различите неоднородности, представля'овше интерес для разведочной геофизики, вихретоковой и радиоволновой дефектоскопии.

Произвольное размещение и конфигурация составляющих элементов таких структур, а также возможная соизмеримость их поперечных размеров с длиной возбуждающей волны диктуют необходимость строгой постановки электродинамической задачи и ее решение с заданной точностью в широком частотном диапазоне, включением резонансную область. Универсальным и удобным аппаратом при этом является интегральные уравнения, численное решение которых предусматривает редукцию к алгебраической системе. Поскольку даже самые мощные современные ЭЕУ не позволяют эффективно обращать алгебраические системы больших порядков, то проблемы рационального выбора типа интегральных уравнений, к которым можно сьести электродинамически задачу, а также способа их дискретизации оказываются решающими при определении дифракционных характеристик таких объектов.

Следовательно, актуальность темы определяется важным значением исследования электродинамических свойств цилиндрических структур неканонического профиля для конкретных приложений в раз-

личных областях физики и техники, а также необходимостью дальней-иего развития метода интегральных уравнений в теории дифракции, -

Обзор состояния проблемы и обоснование цеди исследования. Изучению распределения дифрагированного на двумерных телах электромагнитного поля посвящена обширная литература. Большинство су-пествушшх решений относится к цилиндрическим структурам канонического сечения и получено методами, применимыми лишь в определенном частотном диапазоне.

В последние годы ори изучении дифракции значительное развитие получил метод интегральных уравнений« позволяющий вести рассмотрение в наиболее общей постановке относительно конфигурации и размещения тел, а также источников возбуждения и дсоускаший в' зависи-• мости от этих условий получение аналитического, численно-аналитического либо численного решения задачи. Одним из первых этот метод 'к задаче дифракции на гладком циливдре применил В.Д.Купрадзе, представив ее решение с помооьо потенциалов простого и двойного -слоя. Уильяме У„ и Гринберг Г.А. предложили использовать интегральные уравнения при изучении дифракции на идеально проводящей -бесконечно тонкой полосе. Дальнейшее развитие метод получил в- ряде исследований, обобщенных в работах Кравцова В.В. ; i&umepa К. ; Хеяла X., Йауз А..Вестпфаля К. Формулируя интегральные уравнения, доказывая теоремы существования и единственности их решений, используя их для подтверждения существования решений исходных дифракционных задач, ото исследования не могли пока уделить должного внимания построению самих ревекий, ограничиваясь при атом частной геометрией поперечного сечения цилиндрических структур к. нерезонансным вояжхвд диапазоном возбуждения. С развитием теории интегральных уравнений, а также вычислительных методов к средств их решения в прикладной электродинамике возникли перспективы рассмотрения принципиально новых задач. Современное состояние таких

исследования отраяено в монографиях Васильева E.H.; Войтовича H.H., Каценеленбаума Б.З. и Сивова А.Н. *, Галишниковой Т.Н. и Ильинского A.C.; Захарова Е.В. и Шшенова D.B.; Миспелторова S.U.; Кнквев-ской Л.В. и Шугурова В.К.; Кодгона Д. и Кресса Р.; Лит^иненко Л.Н. и Просвирнина С.Л.; Хихняка H.A.; Чаплина А.4.; Шестопалова B.Ü.; Шестопалова В.П., Кириленко A.A. и Насалова O.A., а также в коллективной книге под редакцией Р.Миттры.

■Существенно, что в подавляющем большинстве исследований на стадии дискретизации предпочтение отдается фредгодьмовым интегральный уравнениям (при необходимости выполняется предварительная редукция к ним). Традиционные интегральные уравнения двумерных задач дифракции, полученные с использованием фундаментального решения уравнения Гельмгольца, в силу построения являются весьма обеими и в принципе позволяют исследовать цилиндрические структуры произвольной геометрии. Однако, они либо обладают логарифмической особенностью, либо являются интегродифференциальными уравнениями, содержащими наряду с последней и особенность типа Копти. Следовательно, их решение как интегральных уравнений Фредгольыа либо ограничивает класс исследуемых структур (не для всякой геометрии необходимая редукция выполнима), либо сникает эффективность алгоритма (следствие применения недостаточно приспособленных вычислительных схем). Сказанное особо проявляется при рассмотрении дифракции на идеально проводящих бесконечно тонких цилиндрических оболочках (экранах). Наиболее существенные результаты здесь получена в харьковской школе радиофизиков под руководством В.П.Шесто-палова путем аналитического обраоения сингулярной части оператора для систем экранов в виде лент и кругошх щелевых цилиадрсв. В случае экранов с гладким профилей переменной кривизны известны . лишь числегеае результаты для одиночного отраяателя. (Давыдов А.Г., Захаров В,В., Пименов D.B.; йельд Я.Н.; Френкель А.), иайценные

прямым решением сингулярного интегрального уравнения по контуру поперечного сечения и наиболее эффективные в длинноволновой и про- • межуточной области» а тааае обобщение численно-аналитического подхода к исследованию рассеяния на их совокупности (Тучкин Ю.А., Шес-топалов В.П.). Задачи дифракции на системах таких экранов и примыкающая к ним проблема рассеяния волн цилиндрическим отражателем произвольного кусочно-гладкого профиля, открывающие возможность продвижения в .более коротковолновой диапазон, методом интегральных уравнений численно решены лишь на основе последовательного учета взаимодействия (Марцафей В.В., Мельникова Т.Н.) или с приближенным выделением особенности поведения поля в точках излома (Засо-венко В.Г., ^умаченно Ь.П. ). Следовательно, особую значимость при-• обретает строгое изучение дифракции на системах криволинейных ци-лиедричеЬких экранов путем прямого (минующего аналитическую регуляризацию) численного решения исходных (сингулярных) интегральных уравнений.

Добавление в экранам цилиндра произвольного профиля и проводимости в методическом плане ведет к необходимости построения " сравнительно простых систем одномерных интегральных уравнений'« разработки универсальных вычислительных алгоритмов, аффективных при наличии интегралов по замкнутым и разомкнутым контурам. Хотя численные решения соответствующих интегральных уравнений, для цилиндра достаточно известны {Дробница В.В.', Цецохо В.А. ; Солоду-хов В.В., Васильев E.H.), указанная металлодиэяектричесная структура для произвольной геометрии ее сечения до сих пор не рассматривалась. Наиболее общие результаты здесь получены в случае го-стоянной кривизны сечения составляющих ее элементов на основе полуобредения (Ведиев З.И., Кошаренок В.Н., Мележик Q.H., Носач А.И., Ноединчук А.Е., Шестопадов B.D.). Численные решения интегральных уравнений известны линь при возможности построения

функции Грина дифракционной задачи для части входящих в нее элементов: частично экранированный круговой циливдр (Верен Дж.), идеально проводящая полуплоскость с цилиедром произвольного профиля (Морита Н.). Поэтому большой практический интерес представляет строгое решение двумерной задачи дифракции на указанной структуре без ограничений на ее геометрические параметры.

Весьма актуальны для практики задачи дифракции на тонких диэлектрических или неидеально проводящих металлических (замкнутых и разомкнутых) цилиндрических оболочках, имитирующих различного рода покрытия и резистивные пленки. Обзор соответствующих исследований и систематизация полученных результатов содержатся в монографиях Ильинского A.C. и Слепяна Г.Я.; Нефедова Е„И. и Сиво-ва А.Н.; в работах Фридберга Д.Ш. Их анализ показывает, что малая толщина сильно усложняет, а зачастую и делает невозможным применение к исследованию рассеяния волн такими объектами строгих одномерных интегральных уравнений, определенных на границах цилиндров. При достаточно близком расположении различных частей контура интегрирования численное решение таких уравнений сопряжено с ухудшением сходимости и потерей устойчивости получаемых результатов. Простое увеличение плотности расчетных точек на отдельных участках не приводит к цели из-за роста погрешности определения матричных элементов соответствующих алгебраических систем. Возникает насущная необходимость' разработки специальных методов решения строгих уравнений, учитывающих специфику геометрии задачи, либо построения приближенных интегральных уравнений, допускающих эффективное численное решение.

Помещение перечисленных структур в плоскослоистую среду не вызывает принципиальных затруднений лишь при наличии эффективных алгоритмов вычисления соответствующей функции Грина и ее нормальных производных. Однако несмотря на имеющиеся достижения (Дмит-

- ь -

риев В.И., Барышникова И.А., Захаров Е.В.; Дробница Е.Б., Цецо-хо В.А.; Табаровский Л.А.) создание таких алгоритмов остается актуальным особенно в случае системы интегральных уравнений. Поэтому решение каждой новой дифракционной задачи для тонких цилиндрических рассеивателей в кусочно-однородной среде представляет научный и практический интерес.

Характеризуя общее состояние исследований двумерных дифракционных задач с помощью интегральных уравнений, отметим крайне недостаточное количество универсальных численных алгоритмов, позволяющих экономно реализовать этот метод с надлежащей точностью. Поэтому цель настоящей работы состоит в разработке с помощь» аппарата сингулярных интегральных уравнений конструктивного метода ис-, следования двумерного взаимодействия электромагнитных волн с совокупностью цилицдрических идеально Проводящих поверхностей, оболочек и тел конечной проводимости для произвольной геометрии их поперечного сечения и расположения, создании алгоритмов и соответствующих им комплексов программ, получении на этой основе новых численных решений дифракционных задач и применении их к анализу -сложных электродинамических структур.

Объектом исследования является мало изученный и поддающийся рассмотрению единым подходом лишь на основе строгих методов класс двумерных задач дифракции монохроматических волн на цилиндрических системах из произвольно расположенных в однородной иди кусочно-однородной среде экранов и тонких ободочек.

Основной аппарат для решения рассматриваемых задач составляют одномерные интегральные уравнения (или их системы), определенные на замкнутых или разомкнутых контурах. Большей частью это интегральные уравнения первого или второго рода с логарифмической особенность», а также сингулярные (с особенностью типа Коти) ннтегродифференциальные и гиперсингуяярные (с расходящимся интег-

ралом, понимавдам в смысле конечного значения по Адамару) интегральные уравнения, б ядрах которых присутствует также логарифм. Некоторые задачи сводятся к сингулярному интегральному уравнению первого рода. Численное решение построенных систем интегральных уравнений находится методом механических квадратур, использующим полученные в работе специальные квадратурные формулы для особых интегралов и приводящим к конечшм алгебраическим системам.

•Научная новизна работы заключается в последовательной разработке и развитии метода сингулярных интегральных уравнений для решения двумерных задач дифракции на совокупности цилиндрических экранов и тонких оболочек конечной проводимости и состоит в следующем.

1. Получеод новые квадратурные формулы для вычисления интеграла с логарифмической особенностью и его второй производной при наличии веса Якоби. На их основе предложены ноше вычислительные схемы решения соответствующих интегральных уравнений методом механических квадратур.

2. Впервые на основе аппарата сингулярных интегральных уравнений разработан строгий метод решения двумерных задач дифракции для системы взаимодействующих цилиндрических тел произвольной фJpмЫ.

3. Получены новые численные решения для важных электродинам:-ческих структур из цилиндрических экранов (двухэлементная антенна, круговая и бесконечная решетки, щелевой резонатор произвольного профиля) и выявлены некоторые особенности их рассеивающих свойств, обусловленные переменной кривизной составляющих элементов.

4. Впервые построен й реализован алгоритм исследования -рассеяния волн произвольным металлическим "уголком",' включающий строгий учет поведения плотности тока в окрестности излома, а также обоснованы рекомендации, направленные на повышение эффективности

численного решения.внешних дифракционных задач для ребристых цилиндрических структур.

5. Развита эффективная методика электродинамического анализа тонкой цилиндрической оболочки конечной проводимости и произвольного профиля, основанная на численном решении новых (определенных на средней линии ее поперечного сечения) систем сингулярных интегральных уравнений.

6. Применительно к неразрушащему контролю качества заполнение шихтой сварочной порошковой проволоки с разомкнутой оболочкой впервые реализована приближенная математическая модель, существенно упрощающая решение исходной дифракционной задачи, и даны рекомендации, направленные на повышение его чувствительности.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач и математического метода их решения; сравнением результатов решения интегральных уравнений с помощью различных вычислительных схем; исследованием " сходимости алгоритмов и устойчивости решений соответствующих алгебраических систем; согласованием полученных решений в частных случаях с теоретическими и экспериментальными данными других авторов. . '

Практическая ценность результатов работы определяется разработкой эффективного универсального подхода к решению сложных и-важных в теоретическом и прикладном отношении классов двумерных задач дифракции, имеющих непосредственное отношение к расширению возможностей строгого анализа элементов и узлов антенной и резона-торной техники, совершенствованию аппаратуры и методов неразрушаю-вего контроля, расшифровке данных электромагнитного зондирования в разведочной геофизике. Созданные алгоритмы допускают возможность вариации различных геометрических и физических параметров структур и могут использоваться для создания паспортов электродинамических

объектов и замены ими громоздких модулей в системах автоматического проектирования. Разработанные методы решения двумерных задач дифракции можно применять такяе при исследовании других физических процессов в телах с разрезами и тонким включениями. Полученные физические результаты и основанный на них рекомендации нашли применение при совершенствовании систем многопараметрового электромагнитного контроля алюминиевых сплавов и в научно-исследовательских работах по созданию новой аппаратуры контроля сварочной порошковой проволоки. По результатам исследования опубликованы две обобщающие монографии.

На защиту выносятся разработанный с помощью аппарата сингулярных интегральных уравнений метод решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн на совокупности взаимодействующих цилиндрических идеально проводяиях поверхностей, оболочек и тел конечной проводимости и произвольной конфигурации, полученные решения и новые результаты расчетов для ряда электродинамических структур, а такяе сделанные на их основа выводы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Ш и IX Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Львов, 1981; Телави, 198Ь); IX-XI Всесоюзных научно-технических конференциях по неразрушаюаш физическим методам и средствам контроля (Минск, 198I; Львов, 1984; Москва, 1987); I Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1985); семинарах: "Прикладные методы расчета физических полей" под руководством акад. АН УССР В.Л.Рвачева (1983), "Численное решение прямых и обратных задач электродинамики СВЧ" под руководством д.ф.-м.н, Н.Н.Войтовича (1988). Диссертационная работа в целом обсуждалась на научных семинарах 6МИ АН УССР, ХГУ, МГУ, МЭИ.

' Публикации. Основные результат работа опубликованы в двух

монографиях, 28 статьях и в сборниках докладов вышеуказанных конференций.

Объем работы. Диссертация состоит иа введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы. Она содержит 194 стр. основного текста, 74 сгр. яаблиц и рисунков, 31 стр. приложений, список литературы из 400 наименований на 40 стр., включая 43 публикации автора. Общий объэм работы - 339 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во введении к диссертации обоснована актуальность темы, представлен обзор публикаций, использующих метод интегрельвдх уравнений в электродинамическом анализе исследуемых ниже структур, сформирована цель работу, охарактеризовано ее содержание и приведены основные, результаты и выводы, выносимые на защиту.

В первой главе изложены математические основы развиваемого подхода. Вначале путем аппроксимации плотности интеграла

(I)

интерполяционным полиномом Лагранаа, построенным на корнях уравнения — 0 (к-^а) , получена квадратурная формула

где ] Ра(Х) - система многочленов, ортогональных на отрезке (-1,1) I' ^ > А п.

с весом У(Х) ' А^ ~ Беооше коэффициенты гауссовой квадратурной формулы для регулярных интегралов, " определенная комби-

нация рД) и связанных с ними функций второго рода :

^iMctx f m>Q

(3)

f ot p

Рассмотрение, проведенное для веса йкоби ЦХ)»1(1-Х)(1+Х) (bt,p>>-f) существенно упроиается яри яолуцелых и нулевых значениях ot , J3 и допускает конфлюенцип по одному из этих параметров в случае полубесконечного промежутка интегрирования.

Сходной по структуре оказывается аналогично полученная квадратурная формула для приближенного вычисления сингулярного интеграла

I(y)- sVixjfcx)]'^-, у«К1). <4>

В случае периодической плотности оп-

ределения (I) и (4) нетрудно переписать для замкнутого контура интегрирования, вводя особые ядра вида 1л|з1п((х-£|у2)| и М ((X-|j)/£) . Построение соответствующих квадратурных формул основано на приближении ^(Х) тригонометрическим полиномом и последующей точном вычислении интегралов (Габдулхаев Б.Г., Каландия А.И., Кренк С.). Существенной особенность*) всех отих формул является произвольность переменной jj- . Следовательно» их применению не препятствует одновременное наличие в интегральном уравнении слагаешх, определенных на замкнутых и разомкнутых контурах.

Далее рассмотрена аппроксимация характерного для интеградь-к :х уравнений двумерных задач дифракции и понимаемого в смысле конечной части по Адамару гиперсингулярного интеграла

j-f-ti)..

<b)

Показано, что для значений » выбираемых из условия

^пХ^'г) ~ 0 ' спРаве'1у:квс равенство

Если переменная не принадлежит отрезку интегрирования и является, вообще говоря, комплексный параметром (^Е) , то интеграл (5) регулярен, определен в обычном смысле и допускает применение известной гауссовой квадратурной формула. Однако в случае, когда точка 21 в комплексной плоскости хО^ находится вблизи отрезка

~1<00<1 скорость сходимости такой формулы заметно "падает ^ ввиду приближения полюса подынтегральной функции к контуру интегрирования. Тогда вместо соотношения (6) предложено равенство ' (7) ,

переходящее при 1 в обычную гауссову квадратурную форцулу.

В последующих трех параграфах полученные формулы используются для решения методом механических квадратур интегральных (или интегродифференцйальных) уравнений с логарифмической и сильной особенностями, определенных на замкнутых и разомкнутых контурах. Встречающиеся регулярные интегралы вычисляются согласно гауссовых квадратурных формул,.сочетающих высокую точность и экономичность. В итоге подлежащие решению сингулярные интегральные уравнения приводятся к конечным системам линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в гауссовых узлах . Все построения выполнены для характерного и наиболее общего в рассматриваемых физических задачах случая, когда искомые решения на

разомкнутых контурах обладают весом Якоби. При этом предложены основанные на рекуррентных зависимостях для многочленов Якоби алгоритмы расчета всех встречающихся специальных функций и указаны рациональные метода их машинной реализации (в случае ц7^Х}= \ или чебышевского веса вся процедура сводится к вычислению элементарных функций). В результате разработанные вычислительные схемы оказались достаточно универсальными, алгоритмичными и приспособленными к исследованию с помощью интегральных уравнений дифракционных свойств широкого класса цилиндрических структур.

Вторая глава диссертации посвящена электродинамическому анализу цилиндрических экранов гладкого пойеречного сечения. Пусть профиль структуры !_ состоит из разомкнутых и замкнутых кривых Ляпунова , отнесенных к локальным системам

декартовых координат Х^ Ук .В основной системе хОУ- точ-

П _о о о

ки и(с определяются комплексными координатами >

а оси 0^Хк образуют углы 06^ с осью Ох . Решается скалярная задача дифракции с краевыми условиями Дирихле или Неймана на контурах .

Показано, что в случае раздельного размещения экранов формула

(а)

У^ + ОС^ - угол положительной нормали к с осью

Ох;

' Тк = 1ехр(гс1к)- ; комплексной точке 1

на контуре. соответствует дуговая абсцисса 6 ) дает необходимое решение при заданных определенным образом скачках потенци-

\л/5 и его нормальной производной на ^ контурах 1_ ^ . При этом, чтобы получить представление функции V/ в локальной си-

стеме координат достаточно в (8) положить

Соотношение (В) остается в силе н когда некоторые из дуг имеют обвив концы. Ори этом предельные значения интегралов типа Ноши во внутренних точках кривых Lk берутся по обычным формулам Сохоцкого-Племеля. Предельные значения в точках пересечения (концы дуг Lk > берем как супцу, предельных значений всех членов, входящих в (8).

При возбуждении экранов E-поляризованной волной получена система интегральных уравнений

¿U

в

к-» '-»

{ ГГ)ТЛИ » Т* = ^©ХрОсЦ)*" , черта над символом обозначает комплексное сопряжение}. Б Н-случае неизвестные плотности поперечных токов определяются из системы

; ; ->47. ш)

содержащей при К - ^ логарифмический и гиперсингулярный интегралы (функции Е. и И являются продольными составляющими первичного поля в отсутствие экранов). В р-й концевой точке (на дуге L^ ей соответствует дуговая абсцисса 6r ), не являющейся обвей для нескольких контуров, из условий на ребре следует равенства О ¿Ю , которое необходимо учесть при построении алгоритма численного решения системы (10), Случай

соответствует раздельному размещению раэомхнутых ни-

линдрических поверхностей и допускает преобразование (10) в систем интегродифференциальных уравнений

Такие же по структуре уравнения получаются из (10) и для задачи дифракции на N идеально проводящих цилиндрах произвольного, сечения в силу известных формул дифференцирования интеграла типа Коши по замкнутому контуру.

Далее применением к системам (9)-(Ш разработанных в первой главе алгоритмов получены численные решения дифракционных задач для одного и двух экранов гладкого сечения, а также круговой и бесконечной решеток из них. При М®1 предложены схемы численного решения (9) и сингулярного интегрального уравнения, полученного из (9) дифференцированием и допускавшего применение более точной квадратурной формулы для особого интеграла с ядром типа Коши. Сравнение их между собой, а такие с данными строгого решения- задачи для полосы показало, что в силу характерной неизвестности определенного интеграла от плотности тока ^ (¿>) по дуге (для полосы - отрезку) , более предпочтительно решение интегрального уравнения с логарифмической особенностью. Установлено также, что при одинаковой погрешности.определения ближнего Н-поляризозанного поля, дифрагированного на искривленном цилиндрическом экране, схема решения интегродифференциального уравнения (II) по сравнению с численным обращением гипепсингуйярного уравнения (10) является более экономичной; При этом решение задачи дифракции на ленте ши-

рины ЗЛ с относительной погрешностью, меньшей получается, если число разбиений равно 20 (Е-случай) юи 30 (Н-случай).

Показано, что в промежуточном волновом диапазоне присутствие малого экрана произвольной кривизны значительно меньше влияет на отражательные способности системы из двух экранов, если возбуждающая плоская волна Н-поляризована* Ори облучении цилиндрической волной двухэлементной антенны (один из рефлекторов мал по сравнению с другим).в Н-случаё вместе с некоторым перераспределением бокового и обратного излучения значительно повышается уровень основного лепестка (в случае Е-поляризации возникает сильное затенение излучения основного рефлектора). Следовательно, на нерезонансное дифракционное взаимодействие цилиндрических экранов произвольной кривизны в промежуточной частотной Области существенное влияние помимо поляризации и структуры возбуждения оказывает гео-'метрия их расположения.

Системы (9) и (II) допускают упрощение, если геометрия расположения экранов и возбуждающее поле удовлетворяют определенным условиям симметрии. Б подтверждение решена задача дифракции на круговой решетке из восьми параболических отражателей, возбуждаемых синфазной токовой нитью, помешенной в центре решетки. При этом показано, что если раскрыв рефлектора составляет Л, , глубина его зеркала равна Л/4 » диаметр решетки - , то значения, амплитудной диаграммы рассеянного поля, вычисленной при П = 20 и П = 25 (П- - число точек дискретизации элемента решетки), отличаются в пятом знаке для Е-поляризации и в третьем знаке для И-случая.

К необходимости решения лишь по одному уравнению типа (9) или (II) приводит также задача дифракции плоской волны на бесконечной решетке; из криволинейных лент. Доказано, что в одноволновой области наличие изогнутости ее элементов приводит к качественный отличиям частотной зависимости коэффициента отражения Н-поляризовашой

волны по сравнении со случаем плоской решетки, ведя к смещении максимума | . Менее существенно влияние кривизны элементов решетки на частотную зависимость При неизменном коэффици-

енте заполнения установлена возможность достижения практически полного отражения падающей волны за счет изменения кривизны элементов решетки. Сравнение вычисленных коэффициентов отражения или пропускания плоской решетки с известными результатами для различных параметров задачи подтвердило правильность построенных здесь алгоритмов, а проведенное численное исследование сходимости квадратурного процесса в волновом диапазоне

с1 (с1 - период решетки) показало хорошую обусловленность алгебраических систем, позволившую ограничиться числом точек дискретизации элемента решетки, равном 10. . - Численному анализу дифракции на цилиндрических экранах кусочно-гладкого профиля посвящена третья глава работа. Построенные здесь алгоритмы основана на рассмотрении поперечного-сечения таких отражателей в виде суперпозиции соприкасающихся своими концами гладких звеньев. Анализ характеристической части систем (9) и (10) при Н я 2 показал, что в этом случае чебышевскуя весовую функцию, выделяемую в их решениях при раздельном размещении дуг , необходимо заменить весом Якоби, а предельные значения плотностей 171^(0) в точке излома должны быть равны между собой. Разработанная процедура решения задачи при произвольной степенной особенности у функций.^¿(З) и ГП^(О) на концах дуг а позволила исследовать влияние отклонения ее показателя от точного значения на устойчивость и точность получаемых результатов. Оказалось, что независимо от формы профиля уголка в случае Е-поляризации вполне допустимо выделение веса (3—Эс) ^ ( - дуговая абсцисса точки излома на контуре ). В Н-случае пренебрежение

конечным значением плотности поперечного поверхностного тока в изломе ведет к погрешности, ощутимой даже в дальней зоне. При его

учете переход на упрощенную чебышевекую весовую функцию практически не сказался на получаемых результатах, однако позволил существенно упростить алгоритм.

Причиной изменения характера поведения решений уравнений (9) и (10) на концах дуг Lfc для экранов кусочно-гладкого сечения являются слагаемые с неподвижными особенностями вблизи изломов. Наиболее отчетливо эта особенность проявляется в случае точек возврата, когда формулу (7) можно записать в виде

> п. fc

( ffl-fc) Ло. j-г f_J_ (-0

* гм ¿-МГ ^

Оказалось, что пренебрежение неподвижной логарифмической особенностью в этом случае допустимо и не влияет на получаемый результат, а вычислительная схема решения уравнений (10) является устойчивой лишь с учетом соотношения (.12).

Системы (9) и (10) описывают дифракцию на цилиндрических охранах произвольного (в том числе и гладкого) сечения, рассматриваемого как суперпозиция своих частей. Последовательно примененная такая концепция позволила с одной стороны более эффективно исследовать Дифракционные свойства отражателей практически любого сечения, с другой - продвинуться в.более коротковолновый диапазон. Например, для эллиптического цилиндра с большой и малой осями, .'-¡оными 5Х к X , система (10) при . }\{ = V* tí * 20 позволила ... получить устойчивые значения ближнего дифрагированного поля, отличающиеся (¡т таковых для = .4. ít = «-4 в четвергом-пятом знаке. P.:.ii:íb эту задачу, рассматривая сечение цилиндра как один замкну-

г

тай контур I. , не удается. Иллюстрацией применения этого подхода в случае разомкнутого контура Ь является задача дифракции на цилиндрическом щелевом резонаторе. Показано, что в промежуточном волновом диапазоне амплитудные диаграммы рассеянного поля существенно зависят от формы сечения этой структуры и для прямоугольного щелевого цилиндра характеризуется более остронаправленным обратшм лепестком по сравнения с таковым для резонатора эллиптического профиля (плоская волна падает со стороны щели). В случае облучения плоской Ё-поляризованной волной эллиптического экрана с раскрывом 15Х и глубиной зеркала 0,75Я устойчивые значения ближнего поля подучены прямым решением системы (9) при » 4, П, в 30. Эти же значения параметров N и П. дали возможность получить устойчивую диаграмму рассеяния эллиптического экрана Ь раскрывом &5Х и глубиной зеркала 1,25!А. . Решение уравнений (9) методом последовательных приближений, сочетаемым с методом механических квадратур, позволило рассчитать продольную (электрическую) составляющую дифрагированного поля над параболическим экраном с раскрывом ЗОЯ и глубиной зеркала 1,5Х . Погрешность в 1% достигалась при этом после I? итераций, если М » ГЬ »15. Влияние изгиба параболической антенны (раскрыв 10X , глубина зеркала 1,5 Я ) на свойства суммарной диаграмму направленности изучалось при ее облучении сосредоточенным И-поляризованным источником. Показана возможность повышения эффективности направленного излучения при помощи незначительного изменения профиля антенны вблизи концов.

Завершает изложение настоящей главы построение алгоритмов решения дифракционной задачи для системы экранов при наличии одного отражателя полубесконечного поперечного сечения. Б случае поглощающей вмещающей среда предложена схема прямого численного решения уравнений (9) при М '» I. основанная на соотношении (2) для полубесконечного промежутка, и квадратурной формуле Гаусса-Лагерра дня

регулярных интегралов. Если поглощение отсутствует, решение задачи основано на интегральных представлениях

м ч

Н(гд)«ни?)+ £ К^^Нб , <1з)

к-1 I. К

V'"

использующих функции Грина и (2-Д) задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца и луча 0 , ОС < °° (верхним индексом обозначены известные составляющие поля, дифрагированного на одной полуплоскости). Наличие эффективного способа численного обращения интегральных уравнений (9), (10), определенных на полубесконечном промежутке, важно для создания асимптотических методов их решения в случае экрана произвольного сечения в квазиоптическом диапазоне. Соответствующая методика продемонстрирована в задаче дифракции плоской Е-волны на полосе. Строгое решение уравнения (9) при этом позволило установить пределы применимости полученной асимптотической Формулы для плотности поверхностного тока. Существенным элементом использования представлений (13) является разработанные здесь высокопродуктивные схемы расчета функций Грина и их нормальных производных, позволившие получить решение с необходимой точностью.

Четвертая глава посвящена изучению дифракция на цилиндрических телах коночной проводимости. Предварительное исследование этой .'.дачи дм диэлектрического цилшедра с произвольной направляющей Ь , выполненное на основе представления : ' ,

(первое слагаемое означает продольную составляющую первичного поля, нижние явдексы V« соответствуют размещзни» точки наблюдения 2 в области цилиндра и во вмещающей среде), позволило,рекомендовать для проведения массовых расчетов методом механических квадратур систему интегральных уравнений относительно функций

. При этом построенные амплитудные диаграммы для цилиндра с сечением в форме криволинейных квадрата и треугольника показали, что на его рассеивающие свойства существенно влияет диэлектрическая проницаемость материала, из которого он изготовлен. С ее увеличением, кроме основного тенеобразуюдего лепестка, появляются новые лепестки бокового излучения соответствующие рассеянию от углов цилиндра.

Основное внимание в настоящей главе уделено' тонким цилиндрическим оболочкам, имитирующим диэлектрические или металлические покрытия. Явление дифракции ка таких структурах предлагается моделировать с помощью одномерных интегральных уравнений, определенных на средней линии их поперечного сечения. При малой проводимости оболочки вывод таких уравнений основан на наблюдаемом в промежуточном и длинноволновом диапазоне незначительном изменении электрических составлявших поля вдоль ее толщины (необходимые численные результаты получены с привлечением строгих контурных интегральных уравнений задачи дифракции на цилиндре). Соответствующее усреднение интегральных уравнений, заданных на площади поперечного сечения оболочки, в случае Е-поляризации приводит к одному интегральному уравнению второго рода с логарифмической особенностью относительно продольной составляющей поля на средней линии ее поперечного сечения. В Н-случае приходится решать систему из двух сингулярных (особенность типа Коши и логарифм) интегродифференци-альных уравнений второго рода относительно поперечных компонент поля на контуре !_, . В обоих случаях такие уравнения эффективно

решены методом механических квадратур, а полученные результаты сравнены с известными данными численного решения строгих двумерных интегральных уравнений. Построенные системы и предложенный способ их решения позволили исследовать указанную структуру более эффективно.

Вывод аналогичных уравнений для тонкой металлической оболочки существенно опирается на известные двусторонние граничные условия, заменяющие ее бесконечно тонкой поверхностью, на которой тангенциальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв (величина разрыва определяется прозрачностью и поверхностным импедансом оболочки). Вид уравнений зависит от интегрального представления решения (теперь уже) краевой задачи. Наиболее простой оказывается система, полученная с использованием представления продольной компоненты дифрагированного поля соотношением (14) с Г?1 + (й) = О (если контур Ь разомкнут, нижние индексы "+" и относятся к величинам, расположенным слева и справа от него при выбранном положительном направлении обхода). В случае ^(6) ,

1П(0) на основе (14) получается система интегродиффе-ренциальных уравнений, эффективно решаемая методом последовательных приближений (нахождение функций и ГП(й) сводится к последовательному численному решению одного интегрального уравнения для бесконечно тонкой идеально проводящей поверхности).

Численные, результаты решения построенных таким образом систем хорошо согласуется как между собой, так и с имеющимися экспериментальными и теоретическими данными определения затухания экраниро---.:ния каоельных экранов. Показано, что форма экрана незначительно влияет на угловое распределение величины прошедшего поля. Более существенно от нее зависит уровень поля, причем с увеличением разшров экрана возрастает экранирующий эффект.. Установлено так- 4 же, что начиная с проводимости <сГ ^ 10 См . решение данной

- '¿о -

задачи в промежуточном волновом диапазоне можно строить упрощенным подходом, заключающемся в последовательном репении для двух правых частей интегрального уравнения задачи дифракции на цилиндрическом экране.

С привлечением принципа суперпозиции или соответствующих Функций Грина рассмотренные выше задачи для экранов и тонких цилиндрических оболочек в пятой главе обобщаются на случай их размещения в кусочно-однородной среде. При наличии цилиндра произвольного сечения и системы экранов для этого используются интегральные представления (6) и (14) с ГП0 . Рассмотрены случаи расположения экранов как вне, так и внутри цилиндра. Шявлена существенная зависимость дифракционных свойств такой структуры от геометрических и физических параметров задачи, подтверждающая необходимость ее исследования в строгой электродинамической постановке. Построен алгоритм решения задачи дифракции Е-волны на системе из цилиндра и тонкой диэлектрической оболочки. Показано, что дефект типа тпеиииы в диэлектрическом цилиндре проявляет себя не только в ближней зоне. Его обнаружение возможно и при анализе дальнего рассеянного поля.

Специфические особенности в рассмотренных здесь задачах возникают при расположении оболочек на поверхности цилиндра. В случае частично металлизированного идеально проводящим экраном стершя произвольного профиля предложены две системы интегральных уравнений задачи. Одна из них подучена методом потенциала из условий непрерывности тангенциальных компонент дифрагированного поля на диэлектрике и обращения в нуль его касательной электрической составляющей на металле и содержит 4 интегральных уравнения. В случае Е-пшшризации они обладают особенностью не вьше логарифмической; в Н-случае имеются также и гиперсингулярные «.латаемые, Другая - основана на применении к исследуемой структуре

формулы Грина. Она состоит из трех (заданных на контурах и и ) или четырех (определенных на дугах 1_е и ) интегральных уравнений относительно тангенциальных составляющих дифрагированного поля (через 1-, ¿_ и обозначены части границы и поперечного сечения цилиндра со смешанными и краевыми условиями;

+ )• Численное решение всех построенных систем и

методический анализ полученных результатов даны для металлодиэле-ктрического стержня эллиптического сечения.

Для магнигодизлектрического цилиндра с тонким неидеально проводящим металлическим покрытием, возбуждаемого источником Н~ поляризованного поля, предложена приближенная постановка дифракционной задачи, закдпча'пшаяся в применении двусторонних граничных условий на дуге Ь. е и обычных условий сопряжения на контуре . В первом приближении она приводит к двум последовательно решаемым краевым задачам для уравнения Гельмгольца с условиями Леймана на дуге 1_с и непрерывности на оставшейся части ^^ границы сечения цилиндра. При этом продольная составляющая дифрагированного поля состоит из двух слагаемых: решения дифракционной задачи для цилиндра с идеально проводящей оболочкой и малой поправки, учитывавшей конечность толщины и проводимости покрытия. Для кругового цилиндра с использованием соответствующей функции Грина получено интегральное уравнение первого рода с логарифмической особенность?) относительно тангенциальной составляющей электрического поля на щели. Его решение в случае низкочастотного.возбуждения цилиндра плоской волной моделирует физические процессы, возникающие при злектро-"С-гнитком контроле заполнения шихтой сварочной порошковой проволоки. Показано, что чувствительность этого метода контроля на йиксирогашгой (низкой) частоте практически не зависит от ширины ар.гаГ а; величина наводимой в образце э.д.с. линейно падает с ее ростом. Однако наличие зазора в покрытии цилиндра существенно

увеличивает чувствительность особенно с ростом рабочей частоты.

Если в системах интегральных уравнений, описывающих дифракцию на зкранах или тонких оболочках в свободном пространстве, использовать функцию Грина вмещающей среда, получим соответствующие системы для таких отражателей в кусочно-однородной среде. Этим подходом найдены численные решения дифракционной задачи для криволинейного экрана и тонкого диэлектрического включения (Е-случай) в проводящем полупространстве. Показано, что амплитуда и фаза рассеянного поля на границе раздела совместно могут служить информационными параметрами при обнаружении подповерхностных дефектов, расположенных в массивном металлическом изделии.

В заключении к диссертация подведены главные итоги работы, намечена перспектива ее развития и использования!

В пяти приложениях изложено исследование сходимости и реализация построенных квадратурных формул (I) и алгоритмы: суммирования рядов, возникающих при решении задачи дифракции на периодической системе криволинейных экранов (2), определения вспомогательных функций, связанных с рассеянием на идеально проводящей полуплоскости (3,4), нахождения значений функции Грина для полупространства с потерями (Ь).

ЦОЛШЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ШНОСИШЕ НА. ЗАщШ

I. Разработан конструктивный метод решения широкого класса двумерных задач дифракции для топологически сложных цилиндрических структур с кусочно-гладким профилем произвольной кривизны, опирающийся на численное обращение соответствующих сингулярных интегральных уравнений.

1.1. На гауссовой системе узлов подучеда квадратурные формулы интерполяционного типа для вычисления интеграла с догари?ш(че-

ской особенностью и его второй производной, определенных на замкнутом или разомкнутом (выделен вес Якоби) контуре. Для логарифмического интеграла с весом Якоби дана оценка сходимости на классе гельдеровых функций. В случае сильной особенности предложен способ вычисления "квазисингулярного" интеграла при расположении независимой переменной вблизи отрезка интегрирования.

1.2. Созданы эффективные схемы прямого численного решения интегральных уравнений с логарифмической особенностью, а такле содержащих ее сингулярных интегродифференциальных и гиперсингуляр-' ных интегральных уравнений (наличие произвольных степенных особенностей в концевых точках или полубесконечного промежутка интегрирования не исключается).

1.3. Методом функций Грина построены системы сингулярных интегральных уравнений двумерной задачи дифракции на совокупности произвольно расположенных цилиндрических экранов кусочно-гладкого профиля. Для тонких оболочек конечной проводимости предложены ноше приближенные сингулярные интегральные уравнения, заданные на средней линии поперечного сечения. Указанные системы обобщены на случай кусочно-однородной вмещающей среда.

. 2. На основе разработанного строгого метода обоснован ряд приближенных подходов аналитического и эвристических приемов численного электродинамического анализ^, цилиндрических отражателей.

2.1. Найдено простое высокочастотное приближение для тока на ленте ширины ЯО. , Еоэбувдаемой плоской Е-поляризованной волной длины Л. . Оно справедливо доя всех (за исключением скользя-

углов падения при CL •

2.2. Показано, что цилиндрический экран ширины 2А можно

о

считать пслубеснонечным, если отношение действительной к мнимой част еолиового числа вмещающей среды не превышает ?..

2.3. Доказано, что во внешних дифракционных задачах для

идеально проводящих цилиндрических структур произвольного сечения строго учитывать поведение плотности тока в окрестности угловых точек нет необходимости. Допустимо выделение чебышевского веса, существенно упрощающего алгоритм. Округление углов практически не влияет на продольную компоненту ближнего дифрагированного поля. В Н-случае пренебрежение конечным значением тока в изломе ведет к погрешности, заметной даже в дальней зоне.

2.4. Установлена целесообразность рассмотрения произвольного цилиндрического зеркала в коротковолновом диапазоне как суперпозиции конечного числа соприкасающихся взаимодействующих его частей. При этом устойчивость схеш в Н-случае существенно повышается, если учесть сильные стационарные особенности ядер интегральных уравнений в точках сшивания.

3. Для класса цилиндрических структур произвольного поперечного сечения созданы эффективные алгоритмы и дан расчет дифрагированного поля в широком частотном диапазоне.

3.1. Показаны возможности качественного изменения структуры дифрагированного поля в промежуточном волновом диапазоне и увеличения направленности излучения в коротковолновом при помощи незначительного изменения профиля отражателя.

3.2. Установлена существенная зависимость отражательной способности двухэлементной параболической системы в промежуточном диапазоне от поляризации возбуждения. Присутствие малого экрана вблизи параболического рефлектора, облучаемого плоской П-поляризо-ванной волной, значительно меньше влияет на дифрагированное поле, чем в й-случае.

3.3. Показано, что явление аномального пропускания и сдвига максимума коэффициента отражения Ниюляризованной водны в одновол-новой области существует для дифракционной решетки из лент произвольной кривизны. При неизменном коэффициенте заполнения решетки

или угле падения плоской Н-волны возможно достижение практически полного отражения за счет изменения кривизны ее элементов.

3.4. В целом форма полупрозрачного замкнутого цилиндрического экрана незначительно влияет на угловое распределение прошедшего сквозь него поля. Более существенно от нее зависит уровень поля, причем с увеличением размеров сечения оболочки возрастает экранирующий эффект.

4. Применительно к неразрушающему контролю качества маг ¿риалов исследована структура поля, дифрагированного на тонком ци- ' линдрическом препятствии (трещине) в кусочно-однородной среде.

4.1. Показано, что обнаружение дефектов типа трещин в радиоволновом контроле диэлектрических цилиндрических изделий возможно и при анализе дальнего дифрагированного поля.

4.2. Выявлено, что на фиксированной нерезонансной частоте чувствительность метода электромагнитного контроля заполнения шихтой сварочной порошковой проволоки практически не зависит от ширины щели в покрытии, однвко амплитуда полезного сигнала линейно пйдает с ее ростом. Отсутствие щели в оболочке существенно снижает чувствительность с ростом рабочей частоты.

4.3. Установлено, что амплитуда и фаза поперечных составляющих рассеянного поля на поверхности неферромагнитного металлического образца могут служить информационными параметрами при обнаружении тонкого протяженного подповерхностного дефекта. Их' анализ позволяет оценить форму неоднородности, ее размеры, ориентацию и глубину погружения.

Разработанный метод и реализованные с его помощью алгоритмы иредставлянг эффективный аппарат исследования широкого класса актуальных «ядач прикладной электродинамики. Вместе с полученными результатами они образуют основу нового научного направления в радиофизике - решение скалярных дифракционных задач для топологи-

чески сложных цилиндрических объектов с помощь») сингулярных интегральных уравнений, - ориентированного на численгай электродинамический анализ двумерных структур из. цилиндрических экранов и тонких оболочек произвольной конфигурации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ

1. Панасюк В.Б., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. - Киёв: Наук, думка, 1994. - 344 с.

2. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. - Киев: Наук, думка, 1989. - 256 с.

3. Саврук М.П., Назарчук З.Т., Тетерко А.Я. Дифракция электромагнитного поля на криволинейном идеально проводящем экране (Е-поляриэация) Л Теорет. электротехника. - 1980. - Еип.28. С. 60-65.

4. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т, Плоская задача дифракции электромагнитного поля на системе криволинейных экранов // ДАН СССР. - 1980. - 252, № 5. - С. I101-I104.

Ь. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция плоской элрктромагнитной волны на периодической системе криволинейных экранов (Е-доляризация) // ДАН. УССР. Сер.А. - 1980. - № 4. -С. 47-50.

6. Панасюк Е.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция плоской электромагнитной волны на периодической системе криволинейных экранов (Н-поляризация) // ДАН УССР. Сер. А. - 1981. - № 3. -

■ С. 57-60.

7. Панасюк В.Б., Саврук М.Л., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на цилиндре произвольного профиля, содержащем систему криволинейных экранов // ДАН УССР. Сер. А. - 1981. -JM. - С. 61-65.

8. Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящем экране // Отбор и передача информ. - 1981. -Бып. 63. - С. 43-49.

9. Назарчук З.Т. Идеально проводящий криволинейный экран в поле ¡^поляризованной электромагнитной волны // Радиотехника и электроника. - 1931. - 26, # 4. - С. 701-708.

10. Назарчук З.Т. Дифракция плоской Е-поляри зеванной волны на ре-щетке из криволинейных экранов Ц Отбор и передача информ,—

1981. - bin. 63. - С. 49-54.

И. Назарчук З.Т. Взаимодействие электромагнитных волн с системой криволинейных экранов при циклической симметрии // Отбор и передача информ. - 1981. - Вып. 64. - С. 77-81.

12. Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на криволинейных экранах // Теорет.. электротехника. - 1981. - Еып. 31. -С. 70-75.

13. Назарчук З.Т. Дифракционные свойства криволинейных ленточных решеток // Теорет. электротехника. - 1981. - Вып. 31. -

С. 75-61.

14. Саврук И.П., Назарчук З.Т. О дифракции электромагнитного поля на системе криволинейных экранов // Отбор и передача информ. -

1982. - Вып. 66. - С. 46-52.

.15. Пшасюк Б.В., Саврук U.U., Назарчук З.Т. Дифракция Н-поляри-зованных электромагнитных волн на тонкой полупрозрачной цилиндрической оболочке // ДАН СССР. -1933. - 271, » 4. -С. 845-848.

16. Панасюк В.В., Саврук Ы.Ц., Назарчук З.Т. Рассеяние Е-поляри-зованных электромагнитных волк тонкой слабопроводящей цилиндрической оболочкой // ДАН УССР. Сер. А. - 1983. - » П. -

С. 58-61.

17. Панасюк В.В., Саврук И.П., Назарчук З.Т. Плоская задача дифракции электромагнитных волн на тонкой замкнутой металлической

ободочке // ДАН СССР. - 1984. - 279, * Ь, - С. 1100-1103.

18. Назарчук З.Т. Рассеяние злектрсмагнитшх волк цилиндрическим экраном с точкой возврата на контуре поперечного сечения // Радиотехника и электроника. - 1984. - 29, # 10. - С. 2049-20Ы. -

19. Назарчук З.Т. Сингулярное интегральное уравнение в задаче дифракции Е-волны на экране // Отбор и передача информ. - 1985. -Вып. 72. - С. 62-66.

20. Назарчук З.Т. Экранирование Б-поляризованных электромагнитных всшн замкнутой цилиндрической оболочкой // Известия вузов. . Радиофизика. - 1985. -28, » 6. - С, 735-742.

.-!. Наза1рчук З.Т. Дифракция Н-поляризованных электромагнитных волн на полупрозрачном;цилиндрическом экране // ЖТФ; - 1985. - 55, № 12. - С. 2401-2406. . v . :

22.' Назарчук 3,Т. Экранирование Н-пояяризованных электромагнитных ч волн замкнутой металлической оболочкой // Отбор и передача информ. '1986.Вып.- С. 70-75.

23. Назарчук З.Т. Дифракция Е-поляризованных электромагнитных волн на полупрозрачном цилиндрическомэкране// Отбор и передача информ. - 1986. ь- Вып. 74. - С. 57-62.

24. Назарчук З.Т. К-вычислеюго одного класса интегралов с логарифмической особенностью // Ш», - 1986. - 26, № 5. - С. 789790.

25,. Назарчук З.Т. Рассеяние электромагнитных волн цилиндрическим экраном с угловой точкой на профиле (Е-поляризация) // Отбор и передача информ. - 1987. - Вып. 75. - С. 14-19.

26. Назарчук З.Т. Численное обращение расходящегося интеграла в задаче дифракции Н-волны на цилиндрическом экране // Отбор и передача.информ. - 1987. - Вып. 76. - С. 57-61.

27. Назарчук З.Т. рассеяние Н-шляризованкых электромагнитных волн цилиндрическим экраном с изломом на контуре поперечного сечения // Радиотехника и электроника, г 19е8. - 33, )> I. -

. С. 9-13. •

28. Назарчук З.Т. Рассеяние Е-поляризованных электромагнитных волн цилиндрическим экраном в присутствии полуплоскости // Известия вузов. Радиофизика. - 1968; - 31, I? 8. - С. 947-957.

29. Панасяк В.В., С&врук М.П., Назарчук З.Т. Плоская задача дифракции Е-поляризованных электромагнитных волн на системе полубесконечного и конечных цилиндрических отражателей //

ДАН СССР. - 1988. - 298, » I. - С. 80-82.

30. Назарчук З.Т., Овсянников О.И. Об определении электромагнитного поля, рассеянного экраном в,проводящем полупространстве (Е-слу~

. чай) // Отбор и обработка информ. - 1989. - Вып. 3 /79/. -С. 51-57.

шС^

Подписано к печ.21.03.89. БГ 00173.Формат 60x84/16.Печать офсетная.Бумага офцет.Усл.пвч.л. 1,86.Усл.кр.~отт.2,1.Уч.изд.л 1,6. Тираж 100 экз. Бесплатно. 3ак.2373,

Областная книжная типография,290000,Львов,ул.Ст&глнмк»,II