Исследование устойчивости неполного метода Галеркина в задачах дифракции волн на ограниченном теле в неоднородной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава I. Задача дифракции волн на ограниченном теле в неоднородной среде.

§ I. Постановка задачи и вывод основных энергетических соотношений

§ 2. Устойчивость неполного метода Галер-кина в задаче дифракции волн на ограниченном теле в среде с кусочно-постоянными характеристиками.

Глава 2. Две задачи из теории дифракции волн и распространения колебаний в волноводах.

§ I. Задача о распространении нормальных волн в плоском волноводе. Теорема существования и единственности. Устойчивость неполного метода Галеркина

§ 2. Устойчивость неполного метода Галеркина для задачи дифракции волн на звездном теле в среде с разрывными характеристиками.

Глава 3. Задача дифракции плоской волны на бесконечном круговом идеально проводящем ци -линдре в неоднородной среде.

§ I. Алгоритм, описание пакета прикладных программ.

§ 2, Модельные задачи и анализ численных результатов.

В связи с потребностями практики возникает необходимость разработки эффективных методов математической теории дифракции в средах с переменными характеристиками. С их помощью успешно решаются такие важные практические задачи, как диагностика искусственных плазменных образований, локация объектов, входящих в плотные слои атмосферы из космоса, исследование акустических свойств материалов.

Математическое описание названных выше задач дифракции формулируется как краевая задача для уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Но в такой общей постановке задача чрезвычайно сложна и допускает точное решение лишь в некоторых частных случаях. В большинстве же практически интересных случаев приходится прибегать к численным методам исследования. Это тем более актуально в связи с тем, что развитие ЭВМ расширяет сферу применения численных методов. Кроме того, численные алгоритмы дают возможность учесть практические требования - получение достаточно точных количественных характеристик рассеянного поля.

Следует иметь ввиду, что задача дифракции на ограниченном теле в среде с переменными характеристиками является внешней краевой задачей- необходимо определить дифракционное поле в неограниченном пространстве, удовлетворяющее условиям излучения, которые могут быть сформулированы в виде отсутствия волн, приходящих из бесконечности. Применение прямых численных методов для внешних задач имеет свою специфику и свои трудности. Однако, можно указать широкий класс задач, для которых оказывается возможным свести исходную внешнюю краевую задачу к внутренней краевой задаче в некоторой двухсвязной области. В частности, это можно сделать, когда характеристики среды являются переменными функциями координат лишь в ограниченной области. Тогда сведение внешней краевой задачи к внутренней достигается формулировкой условий излучения в виде "парциальных" условий излучения [I].

Изложим постановку скалярной задачи дифракции на теле Т в среде с кусочно-дифференцируемыми параметрами. Рассмотрим задачу дифракции на теле Т , ограниченном гладкой замкнутой поверхностью ¿, скалярного поля, создаваемого источниками, распределенными на этой поверхности (временную зависимость примем в виде £ ). Пусть на >о поставлены импедансные граничные условия, и характеристики материальных свойств среды вне являются произвольными кусочно-дифференцируемыми функциями координат (т.е. могут иметь разрыв первого рода по простой гладкой замкнутой поверхности ^ ), причем будем считать, что внутри тела Т можно указать такую точку 0, что вне сферы радиуса Я с центром в точке 0 материальные характеристики среды постоянны. Пусть поверхность не имеет точек соприкосновения с поверхностями 5 и т.е. г, о г = ^ , б, п зй - ^.

Тогда поставленная задача сводится к следующему: необходимо определить вне тела Т решение уравнения удовлетворяющее вне уравнению

АН + Ко Ы = О , (2) где

К0 = conisi } р > о .

На поверхности 5 функция должна удовлетворять условию

M€S

- <РМ,

3) на поверхности

4) t|]|MeS - скачок функции ^ в точке M при переходе от 5 к Sq через поверхность ), и на бесконечности где | " ортонормированная на единичной сфере система сферических функций,

Из представления (5) можно получить "парциальные" условия излучения [I*] где

Uk = } W ^ Г) > (Ге (в, Y). г),

S0 - любая гладкая поверхность, охватывающая сферу 5>R ,

I к - коэффициенты разложения - функции и (у, &, У) по функциям на поверхности . С помощью (б) внешняя краевая задача (I) - (5) сводится к решению внутренней краевой задачи для уравнений (1),(2) в дву-связной области X) , ограниченной поверхностями £ и Б0> с условиями (3),(4),(6) на Л , , £0 соответственно.

Краевые задачи такого типа возникают при решении задач дистанционного зондирования дождевой области в радарной мете-реологии, проектирования наземных и спутниковых микроволновых систем связи [63 - 68] .

Для решения задач математической теории дифракции типа вышеизложенных применяются различные методы: асимптотические, основанные на геометрооптическом представлении [2 - 3] ; методы интегральных и функциональных уравнений [4 - б] ; метод неортогональных рядов [?] ; прямые численные методы.

Однако, первая группа методов оказывается неприменимой в случае, когда длина падающей волны соизмерима с характерными размерами объекта дифракции. Для задач дифракции в среде с переменными характеристиками применение второй и третьей группы методов возможно лишь в специальных случаях и более практичными оказываются прямые численные методы.

В последние годы активно! развивается'Новый общий подход к приближенным методам решения линейных уравнений [8 - 10] . При'этом подходе, приближенные схемы решения ( конечно-разностные, методы Ритца, Бубнова, Галеркина, Петрова,1'метод конечных элементов ) рассматриваются с единой точки зрения, когда линейный оператор задачи

I (7) аппроксимируется с помощью последовательности линейных операторов Lkn, с областями определения ъа к) и значений R(Ui) » которые сами аппроксимируют области D(L) и в банаховых пространствах У и V посредством последовательности операторов сужения Т^ и Т^ в аппроксимирующих банаховых пространствах Х^ , Yn '

Ставится условие аппроксимации и условие устойчивости

3 ï> 0, Ни, Vn > ne Ê D0O / (8), и на этой основе доказываются теоремы а сходимости приближенной схемы аппроксимирующей уравнение (7).

Такой же подход к нелинейным операторным и операторным дифференциальным уравнениям излагается в

В работах [бЗ - 68, I2J обсуждается 'вопрос применения конечно-разностных методов, методов конечных элементов, Га-леркина и Ритца для задач электромагнитного рассеяния.

В связи с тем, что поверхность тела дифракции и поверхность разрыва функции рСэс,^,^) могут иметь сложную форму, нетривиальным является -вопрос выбора -сетки и разбиения на конечные элементы при использовании конечно- разностных и конечноэлементных методов решения описанных выше' -дифракционных задач. При этом граничные условия и условия сопряжения не всегда выполняются с необходимой точностью. Кроме того, применение конечно-разностных схем к задаче (1)-(4), (6) затруднено тем, что эта-задача является несамосопряженной в силу "парциальных" условий излучения (б). В настоящее время нам не известны конкретные численные результаты решения задач такого типа непосредственным применением конечно-разностных методов. Значительно большее распространение при численном решении таких задач нашли прямые методы типа Га-леркина и Ритца и их модификации [13 - 14] В частности, широко применяется метод, сводящий исходную краевую задачу (1)-(4),(6) к краевой задаче для конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений,' называемый неполным'методом Галеркина. Изложим неполный метод 'Галеркина -следуя работе [15].

Предположим, что область ф с. К такова, -что в некоторой 1фИЁолннейной системе координат (ое1?., Х^) любое сечение ¿х области 3) гиперповерхностью =сопзЬ}

1т '• ■.

10 ^ эс.^ $ представляет собой связную область. Пусть операторы Ь и Р ( линейные дифференциальные операторы второго и первого порядка, определенные в 1) и на Э1) соответственно) таковы, что при достаточно -гладких комплек-снозначных вектор-функциях щ и (/ и достаточно гладкой границе ЭВ имеет место векторный аналог формулы Грина

1[и]о(т = ЬРСи]^ - Н(и,(/) т> ъъ где функционал Н (и, IX* ) > 0 • Рассмотрим краевую задачу

Ь[и]+ £(ос)и(ос), Х^Ъ, рМ+?(*)"(*) = 4 в (9) .-■Яо

Пусть тензоры Л(х) и ^(х) представляются "в виде гс*(х) + ^(а), где тензоры ¿^(х) » ^^ (Ьс) - эрмитовы,^а Л , эс) -диагональные, причем квадратичные формы 1пг и*^ и знакоопределены и к (№и,и>)-1т (Г<л)и,и*) < 0.

Предполагается, что классическое решение ^задачи (9) существует.

Приближенное решение задачи (9) ищем в виде конечного разложения по системе линейно независимых непрерывных функций I (х)}

1 N и» (*) = % а т=1 с подлежащими оп ре делению неизвестными функциями (2т(Х• Для их определения используются проекционные соотношения А

X„ /г ю) к0

Преимущество этого метода по сравнению %с обычньши методами Галеркина и Ритца заключается в том, что 'лишь*^часть-функций , входящих в выражение для приближенного -решения ■ выбирается априорно (функции 1/т- ), остальные же определяются из условий задачи.

В работах [16 - 18] приводится описание 'неполного метода Галеркина в предположении, что область 1 В является прямоугольником и на кривой ЭВ поставлены - граничные условия первого рода.

В работах [19 - 20] рассмотрены задачи Неймана, причем возможны случаи разрыва функции, определяющей -уравнение контура • При условии, 'что решение задачи-существует и принадлежит классу доказана -теорема. о равномерной сходимости приближенного решения 1 • А/ найденного по методу приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к точному решению задачи, причем

Заметим однако, что в названных работах рассматривались лишь самосопряженные задачи в случае .двух независимых переменных, и обоснование сходимости метода проводилось на основании эквивалентности краевой задачи для уравнения в частных производных вариационной задаче о минимуме некоторого функционала. Только в работе [21] метод Бубнова-Галеркина получил обоснование для несамосопряженной двумерной задачи. Поэтому обоснование сходимости данного метода в случае рассматриваемой несамосопряженной задачи (1)-(4)у(6)'.-требовало специального исследования^'"что й было -сделано >в работах [1,22

- 25] . В указанных работах "предложена 'схема непс)лйого ме то -да Галеркина для решения задач распространения колебаний в нерегулярных волноводах й получены условия сходимости приближенного решения к точному" в норме пространства 1 (I)) , а в работе [I] дана полная постановка задачи дифракции на ограниченном теле в среде с перемёнными ( но непрерывно-дифференцируемыми ) характеристиками и при условии, что

I* 1т ¿(М) > О см. уравнения (1),(3) ), обоснована сходимость решения, полученного по изложенному методу, к точному решению задачи в норме пространства .

В работе А.Г.Свешникова ¡153 Дано обоснование неполного метода Галеркина, применимого для широкого класса краевых задач для уравнений эллиптического типа с общим видом граничных условий и области в криволинейных координатах. В некоторых предположениях на базисные функции, коэффициенты уравнения и граничных условий доказаны: а) разрешимость получаемой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений; б) единственность получаемого решения; в) сходимость приближенного решения к точному в норме пространства (В) •

Полученную неполным методом Галеркина краевую задачу для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка можно решать различными приближенными методами. Наиболее часто применяются метод конечных разностей ¡26 - 27}, метод ортогональной прогонки [28 - 31] и его модификация, называемая методом направленной ортогонализации [32 - Зб] . Преимущество первого состоит в возможности изменения порядка аппроксимации дифференциальных уравнений и граничных условий и количества узлов сетки 'с целью получения решения с более высокой точностью без существенных изменений в прикладных программах. Однако чрезмерное увеличение количества узлов требует привлечения внешней памяти ЭВМ, что значительно увеличивает машинное время, затрачиваемое на решение задачи. А часто бывает достаточно определить лишь решение в узлах вблизи границы ( и не требуется во всех -внутренних узлах ), например, для определения поля в дальней <зоне, диаграммы направленности рассеянного поля. В таких -случаях удобнее и эффективнее воспользоваться методом ^ортогональной прогонки. Кроме того, модификация метода ортогональной прогонки экспоненциально устойчива к ошибкам округления [34]-, что также является доводом в его пользу. В конечном счете, вопрос выбора метода решения полученной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений следует решать в каждом конкретном случае, руководствуясь требованиями достижения необходимой точности, эффективности и удобства применения*

Но проблема получения приближенного решения с высокой точностью связана не только с выбором конкретного приближенного метода решения полученной краевой задачи, но и с вопросом коэффициентной устойчивости, устойчивости по правой части этой краевой задачи.

Однако, вопрос устойчивости неполного метода Галеркина, применимого для широкого класса задач дифракции волн и распространения колебаний в волноводах,' в смысле • «(8) не исследовался.

Обоснование устойчивости неполного метода Галеркина представляет практический интерес как с точки -зрения применения метода к классу дифракционных задач,- поскольку почти всегда коэффициенты системы дифференциальных уравнений и граничных условий имеют сложный интегральный 'вид -и вычисляются приближенно, так и с точки зрения обоснования коэффициентной устойчивости и устойчивости по правой части приближенных схем для несамосопряженных краевых задач со знаконе-определенными операторами, поскольку ранее исследовалась устойчивость лишь задач Коши для уравнений с положительно определенным оператором [36 - 40] , и краевых задач с положительно определенными операторами [&1,63], а в работе [42] приводятся результаты по асимптотической устойчивости решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. •

Изложим основные результаты, полученные авторами в этих работах. Большая часть результатов по устойчивости решений дифференциальных уравнений получена для задач Коши в гильбертовых пространствах. Пусть исследуется операторное дифференциальное уравнение первого порядка в вещественном гильбертовом пространстве Н где А(Ч) - самосопряженный, положительно определенный оператор в И для любого X , с областью определения I) , не зависящей от "Ь , и сильная производная А С^) неположительна; ^(Ч)^ ВдССЯ,^), И) ( пространство функций, измеримых по Бохнеру ). Будем предполагать, что решение задачи Коши для такого уравнения существует и единственно. Тогда [37,38] процесс Бубнова-Галеркина устойчив на промежутке [ 0,***) при малых возмущениях и при условии, что координатная система почти ортонормирована. Для уравнения г + с«-Ямо с начальным условием и1ио -Г(*) и граничным условием и|5 = 0 в тех же предположениях доказывается аналогичная теорема в работах [36,38].

В работе [41] исследовано на устойчивость решение краевой задачи Л где А - самосопряженный, положительно определенный постоянный оператор и Ьл([0,Т]9 Н) » и показано, что решение задачи устойчиво при малых возмущениях и при условии, что координатная система почти ортонормирована.

Условия для координатных функций, гарантирующие устойчивость методов типа Галеркина-Петрова для решения эллиптических уравнений с однородными граничными услбвиями получены в [63].

Отметим, что в [38] приведенные выше результаты по устойчивости доказываются в энергетическом пространстве оператора А > поэтому требование положительной определенности оператора А является существенным.

В отличие от работ [36 - 38 , 41] в работах [39 - 40] устанавливаются достаточные условия устойчивости методов Рит-ца и Бубнова-Галеркина в равномерной норме, основным из которых является выбор координатных функций специального вида ("асимптотически диагональные" системы, т.е. элементы матрицы Ритца или Бубнова-Галеркина быстро убывают по мере удаления от главной диагонали).

В настоящей диссертации исследуется вопрос о корректности краевых задач (10), получаемых по неполному методу Галеркина для краевых задач (1)-(4),(6). Обоснование устойчивости неполного метода Галеркина является актуальным по следующим причинам: во-первых, при решении многих дифракционных задач коэффициенты краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающей в неполном методе Галеркина, имеют сложный интегральный вид и вычисляются приближенно; во-вторых, вопросы коэффициентной устойчивости и устойчивости по правой части приближенного решения нес шлосопряженных краевых задач со знако-неопределенными операторами (целый ряд дифракционных задач является именно таковыми) исследованы недостаточно полно.

При доказательстве корректности неполного метода Галеркина для всех рассмотренных в диссертации задач применяется энергетический метод ( использованный в [б,15,22-25,27,43] для доказательства сходимости приближенного решения к точному), а также некоторые сведения из теории линейных операторов в конечномерных пространствах.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Свешников А.Г. Дифракция на ограниченном теле. Докл. АН СССР, 1969, 184, № 1. 63-65.

2. Гутман А.Л., Чесноков В.А. Сравнение приближения геометрической оптики с точным решением задачи о рассеянии плоской волны неоднородной плазменной сферой. Радиотехника и электроника, 1969, 14, № 2, 335-336.

3. Гутман А.Л., Ярыгин А.П. Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводящем диске, помещенном в сферически симметричную плазменную среду. Радиотехника и электроника, 1967, 12, № 10, 1825-1830.

4. Ильинский A.C., Воронцов A.A. Метод интегральных уравнений в задаче о дифракции волн на наклонной границе раздела двух сред в волноводе. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 28, М., 1978, 177-194.

5. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Численные методы в теории дифракции. М., изд-во МГУ, 1975.

6. Ильинский A.C., Клюев H.A. Метод интегральных уравнений в задачах определения дисперсионных характеристик периодических волноводов. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 32. М., 1980, 142-149.

7. Пермяков В.А. Дифракция электромагнитных волн на радиально неоднородном плазменном шаре и цилиндре. Изв. высш. уч. зав. Радиофизика, 1968, II, № 4, 531-542.

8. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., "Наука", 1969.

9. Польский Н.И. Проекционные методы решения линейных задач. УМН, 1963, 18, вып. 2, 179-180.

10. Треногин H.A. Функциональный анализ. М., "Наука", 1980.

11. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные и операторные дифференциальные уравнения. М., "Мир", 1978.

12. Численные методы в теории дифракции. Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 29. М., "Мир", 1982.

13. Апельцин В.Ф., Еремин Ю.А., Ильинский А.С., Свешников А.Г. Численные методы исследования распространения волн в среде с переменными параметрами в резонансной частотной области. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 28. М., 1978, 3-14.

14. Апельцин В.Ф., Ильинский А.С. Численное исследование взаимодействия плоской электромагнитной волны с замкнутым диэлектрическим экраном. Радиотехника и электроника, 1983, 28, № 8, 1503-1508.

15. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина. Докл. АН СССР, 1977, 236, № 5, 1076-1079.

16. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, сер. матем., 1933, № 5, 647-652.

17. Канторович Л.В. О сходимости вариационных процессов. Докл. АН СССР, 1941, 30, № 2, 107-Ш.

18. Канторович Л.В. О сходимости метода приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Докл. АН СССР, 1941, 30, № 7, 579-582.

19. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., Физматгиз, 1962.

20. Власова З.А. О методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1959, 53, 16-36.

21. Келдыш М.В. Ометоде Галеркина Б.Г. для решения краевых задач. Изв. АН СССР, сер. матем., 1942, 6, № 6, 309-330.

22. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, 3, № I, 170-179.

23. Свешников А.Г. Обоснование метода расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, 3, № 2, 314-346.

24. Свешников А.Г. Методы исследования распространения колебаний в нерегулярном волноводе. Докт. дисс. М., изд-во МГУ, 1963.

25. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Методы исследования нерегулярных волноводов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, 8, № 2 , 363-373.

26. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., "Наука", 1977.

27. Ильинский A.C., Павлов A.JI., Свешников А.Г. Численное решение задачи дифракции на неоднородном ограниченном теле. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 16. М., 1971, II6-I24.

28. Апельцин В.Ф., Ильинский A.C. Алгоритм расчета задач дифракции на неоднородном теле. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 16. М., 1971, 125-146.

29. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., "Наука", 1976.

30. Годунов С.К. 0 численном решении краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений. УМН, 1961, 16, 3, 171 -174.

31. Залеткин С.Ф. 0 численном решении задачи Коши для обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений на больших отрезках интегрирования. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 26. М., 1977, 84-88.

32. Быков A.A., Ильинский A.C. Решение краевых задач для ли- 116 нейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом направленной ортогонализации. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, 19, № 3, 631-639.

33. Быков A.A. Устойчивый численный метод решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1980, 251, № 5, 1040-1044.

34. Быков A.A. Устойчивость метода направленной ортогонализации по отношению к ошибкам округления. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, 21, № 5, II54-II67.

35. Ильинский A.C., Быков A.A. Об одном численном методе решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестн. МГУ, сер. вычисл. матем. и киберн., 1980, № I, 44-51.

36. Велиев М.А. Об устойчивости метода Галеркина для нестационарных задач. В сб.: Вопросы вычисл. матем. и вычисл. техники. Баку, 1965, 3, 48-71.

37. Велиев М.А. Об устойчивости метода Бубнова-Галеркина для уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Дифф. уравнения, 1969, 5, № 3, 479-487.

38. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М., "Наука", 1966.

39. Титенский М.Е. К вопросу об устойчивости метода Ритца. Деп. в ВИНИТИ 18 мая 1979г., № 1782-79.

40. Титенский М.Е. О некоторых условиях устойчивости методов Ритца и Бубнова- Галеркина. Деп. в ВИНИТИ 19 мая 1980г.,Ш 1924-80.

41. Велиев М.А. Некоторые достаточные условия устойчивости метода Бубнова-Галеркина для краевой задачи в гильбертовом пространстве. Дифф. уравнения, 1971, 7, № 10, 1886-1894.

42. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., "Наука", 1970.

43. Ильинский A.C., Павлов А.Л., Свешников А.Г. Исследование некоторых задач дифракции в неоднородных средах численными методами. М., изд-во Моск. ун-та, 1972.

44. Ильинский A.C., Ситшаева 3.3. Об устойчивости неполного метода Галеркина для расчета распространения нормальных волн в плоском волноводе. Вестн. Моск. ун-та. Сер. вычисл. матем. и киберн., 1983, № 2, 14-20.

45. Ильинский A.C., Ситшаева 3.3. Устойчивость неполного метода Галеркина в задачах дифракции волн на ограниченном теле. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, 23, fP 6, I5I0-I5I5.

46. Ситшаева 3.3. Устойчивость неполного метода Галеркина для одной задачи теории волноводов. В сб.: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. М., изд-во Моск. ун-та, 1982, 15-17.

47. Свешников А.Г. Дифракция на звездном теле в среде с переменными коэффициентами (плоский случай). В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 13. M., 1969, I45-I5I.

48. Векуа И.Н. О полноте системы метагармонических функций. Докл. АН СССР, 1953, 90, № 5, 715-718.

49. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., "Наука", 1975.

50. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., "Мир", 1972.

51. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., "Наука", 1977.

52. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., "Наука", 1970.

53. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций ифункционального анализа. М., "Наука", 1976.

54. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Об исследовании скалярной дифракции на локально неоднородном теле с помощью проекционного метода. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, 16, № 3, 800-809.

55. Еремин Ю.А., Ильинский А.С., Свешников А.Г. Исследование дифракции электромагнитных волн на проводящих и импедансных телах вращения.В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 32, М., 1980, 3-12.

56. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Проекционный метод во внешних задачах дифракции. Докл. АН СССР, 1975, 221, № I, 38-41.

57. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Метод исследования плоских волноводов с импедансными граничными условиями и резким изменением боковой поверхности. В кн.: Вычисл. методы и программирование. Вып. 13. М., 1969, 3-26.

58. Ильинский А.С. Метод исследования задач дифракции волн на периодической структуре. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, 14, 1063-1067.

59. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Наука", 1976.

60. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., "Наука", 1969.

61. Кинг Р., Тай-Цзунь У. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн. М., ИЛ, 1962.

62. Ogaokl T. OLtt¿Ku,a,tloti ocnd /ohase.toioutlobi to tcUn. fcaudío Se¿eh.ae,

63. Ocju&Ll J\ SeaétetLng. p*topi*ttUs tfPtuppdc^zt and PLttei. j&trn. t&inoLtopsounoL cioss p0¿0LXÍ*C(i<tl0h-- ib tdin.HoLÓiiO Science, * A68. fyucki SzcLtteiiKg At^ol/t-orneteo^S. Hoioíio Suelte., J9S0, ft, ¿rS,