Модули и линейные группы над алгеброй Пименова и их некоммутативные деформации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

б

ЕФИМОВ Дмитрий Борисович ' /

МОДУЛИ И ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ НАД АЛГЕБРОЙ ПИМЕНОВА И ИХ НЕКОММУТАТИВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2006

Работа выполнена в Отделе математики Коми научного центра УрО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Громов Николай Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Алеев Рифхат Жалялович

кандидат физико-математических наук Финогенова Ольга Борисовна

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение МИ РАН

Защита состоится 21 февраля 2006 года в 15.00 часов на заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан 20 января 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

В.В, Кабанов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория линейных групп над кольцами — это довольно активно развиваемое в настоящее время направление. По этой тематике имеется большое количество статей и монографий (см., например, обзор Залесского А.Е. [8]). Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами. Рассмотрим ассоциативную алгебру Dm(K), порожденную над полем К единицей и дуальными единицами ц, к = 1,..., т, связанными определяющими соотношениями l\ = 0, ikH = ¿/¿¡ь к, I = 1,..., т. Линейные группы над данной алгеброй возникают в различных вопросах математики и теоретической физики.

Так в работах [11], [12] Пименов Р.И. предложил единое описание всех Зт геометрий Кэли-Клейна размерности т (геометрий пространств с постоянной кривизной) и показал, что все они локально моделируются в виде области m-мерного сферического пространства с именованными координатами. В силу этого в работах Громова H.A. было показано, что в виде линейных групп над алгеброй £>m(R) реализуется важный класс групп движений пространств постоянной кривизны (групп Кэли-Клейна). В определенном базисе они могут быть реализованы как группы, состоящие из матриц размера (т + 1) х (т + 1) вида (A(j))ki = Jki&kh удовлетворяющих свойству ортогональности A(j)A(j)T = A(j)TA(j) = Е, где а^ € R,

Ja = jkjk+i ■ ■ ji-1, к < l, Jik - Jki, Jkk = 1, 1 < k, l < m + 1, a jk,

1 < к < m принимает одно из двух значений 1 или Если все jk равны 1, то получаем обычную ортогональную группу. Если же среди элементов jk есть дуальная единица, то соответствующая группа будет иметь структуру полупрямого произведения и, следовательно, являться неполупростой. В работе Громова H.A. [4] данный метод перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матриц над алгебрами Dm(R) и Dm(C), был распространен соответственно на симплектические и унитарные группы.

Далее, в последние двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп). 063 ___*

I РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА Q [

I X I

\ QS Щ I

щий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной и некокоммутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп [13]. Он связан с существованием универсальных Я-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для неполупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова H.A. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупро-стым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm(K), построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [5], [22], а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп [6], [21].

В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березина Ф.А. [1], Лейтеса Д.А. [9], Каца В.Г. [23]. Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [1] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераналогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm(K) является подалгеброй некоторой алгебры Грассмана над полем К, В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm(K), в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm(K).

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Я-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй

Бт(К) естественно возникает задача исследования £)т(1Г)-модулей.

В алгебре Бт{К) есть делители нуля, нильпотентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра [16] алгебра ДгС^О используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [17] алгебра используется

для описания касательного пространства в точке схемы.

В частном случае т = 1 и К = II приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века. Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов. Розенфельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них [14], [18]. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке [17]. Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы (см., например [3], [10]). Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [7]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. [15]. Теорию дуальных чисел как числовых систем можно найти в монографии [2]. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.

В силу вышесказанного, алгебра От(К), а также модули и линейные группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.

По-видимому, Р.И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нильпотентных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру От(К) и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из

соображений удобства, в дальнейшем алгебру От(К) будем называть алгеброй Пименова. Под полем К, если не оговорено последнее, будем понимать поле нулевой характеристики.

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач.

1) Изучение свойств алгебры Пименова (операция деления, структура автоморфизмов).

2) Изучение свойств модулей над алгеброй Пименова, в частности, свойств регулярного и свободного модуля конечного ранга, классификация Лт(Л")-модулей.

3) Изучение общих свойств и описание некоторых классов линейных групп над алгеброй Пименова.

4) Построение некоммутативных аналогов неполупростых групп серии Ап, которые могут быть реализованы в виде матричных групп над алгеброй Лт(К).

Методы исследования. В работе применяются методы теории колец и модулей, теории линейных групп, теории алгебр Хопфа и квантовых групп.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.

1) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости элемента алгебры Пименова. В случае, когда К — конечное поле или поле рациональных чисел, проведена классификация автоморфизмов и инволюций алгебры От(К), в общем случае получена частичная классификация.

2) Рассмотрены свойства билинейных симметричных и кососим-метричных форм на свободном £)т (К)-модуле, введены новые обобщенно - эрмитова и сопряженно - симметричная полуторалинейные формы. Показано, что алгебра От{К) с точки зрения числа неразложимых £)т(Л")-модулей при т > 1 является алгеброй бесконечного типа, а при т = 1 алгеброй конечного типа, в последнем случае указаны все типы неразложимых 1?1(ЙТ)-модулей.

3) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости матрицы над алгеброй От(К). Показано, что любая линейная группа над алгеброй От{К) изоморфна некоторой линейной группе над по-

лем К, в матричной интерпритации указан явный вид изоморфизма. Построены некоторые важные классы линейных групп над алгеброй Пименова, указана их связь с линейными группами над полем, для полной и специальной линейных групп указано множество порождающих элементов.

4) Построены некоммутативные деформации неполупростых групп 8Ь{п,],К). Для группы £¿(2, К) построено три неизоморфных некоммутативных деформации. Построены некоммутативные деформации свободного модуля {Б\{К))2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют с большей эффективностью и теоретической обоснованностью использовать алгебру Пименова в различных вопросах математики и теоретической физики. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для изучения других алгебраических структур подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.), на международной алгебраической конференции (Екатеринбург, 2005 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2005 г.). Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН, на семинаре Отдела математики Коми НЦ УрО РАН, на семинаре кафедры высшей математики Сыктывкарского лесного института, на ежегодной научной конференции Сыктывкарского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25]-[29]. Работы [27] и [29] выполнены в нераздельном соавторстве с Н.А.Громовым, а также с В.В. Куратовым и И.В. Костиковым. Результаты работы [28] получены самостоятельно. При этом автор благодарит Н.А.Громова за некоторые наводящие идеи и полезные критические замечания.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 18 параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 58 наименований. Объем диссертации составляет 81 страницу.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Н.А.Громову за постановку задачи, внимание и поддержку.

Содержание работы.

Глава 1 посвящена определению алгебры Пименова и изучению некоторых ее свойств. Она состоит из 3-х параграфов.

В §1.1 вводится определение алгебры Пименова с т образующими над полем К. Это ассоциативная алгебра, порожденная над К единицей и элементами к = 1,..., т, связанными определяющими соотношениями l\ — 0, = ¿¡¿¿., k,l,= 1,... ,т. Она обозначается через Dm(K) или, если это не вызывает неопределенностей, просто через Dm.

Из определения следует, что алгебра Dm(K) коммутативна, обладает единицей и каждый ее элемент однозначно представляется в виде

т

a = ao + J2 a*i • • «о,ак1_.креК. (1)

p=lfci <...<kp

Элемент оо называется действительной частью элемента а и обозначается через Reo, а элемент а — а о мнимой частью элемента а и обозначается через Im а. Алгебра Dm(K) является конечномерной размерности 2т над К. Очевидно, что алгебра Dm(K) является нетеровым и артиновым кольцом. Нетрудно также видеть, что она является также локальным кольцом. Единственным ее максимальным идеалом является множество Мт(К) = {а£ Z?m(Ä")|Rea = 0} элементов с нулевой вещественной частью.

В §1.2 рассматривается операция деления в алгебре Пименова, т.е. вопрос о решении уравнения

ах = b, a,beDm(K). (2)

Справедливы следующие предложения.

Предложение 1.2.1 Для того, чтобы элемент а из Dm(K) был обратим необходимо и достаточно, чтобы его вещественная часть ао была не нулевой. Если а — обратим, то Reo-1 — (Rea)-1. Предложение 1.2.3 Если элемент а — обратим, то уравнение (2) имеет единственное решение х = a~lb. Если b — обратим, а — необратим , то (2) решений не имеет. Если а иЬ — необратимые, одновременно не равные нулю элементы, то решение может как существовать так и не существовать, причем, если существует хотя бы одно решение, то существует бесконечно много решений и они либо все обратимы либо все необратимы. В §1.3 рассмотрены автоморфизмы кольца Dm{K). » Теорема 1.3.1 Пусть К — конечное поле или поле рациональных

чисел. Отображение ф кольца Dm(K) в себя является его автоморфизмом, если и только если:

1) отображение ф является эндоморфизмом кольца Dm{K);

2) ограничение ф на поле К является его автоморфизмом;

3) ф действует на образующих по правилу:

ФЫ = La{k)Ok, Rea* ф 0, к = 1... т,

где а — некоторая перестановка чисел 1,2,... ,тп. Теорема 1.3.2 Пусть К — конечное поле или поле рациональных чисел. Отображение * кольца Dm(K) в себя является инволюцией, если и только если:

1) отображение * является эндоморфизмом кольца Dm(K);

2) ограничение * на поле К является его инволюцией;

3) множество всех образующих разбивается на множество пар Р и множество отдельных образующих Е для которых, если {¿t, ¿¡} пара из Р, то

i*k = t/Ofc, i* = tfca¡, Reajt ф 0, Rea/ ф 0, a¡aj = 1,

и

4 - A*a¡t, Re ak ф 0, aka*k = 1,

если ík G E.

В случае произвольного поля К неизвестно, является ли ограничение произвольного автоморфизма (в частности инволюции) кольца От(К) на поле К автоморфизмом (инволюцией) поля К. Поэтому нельзя говорить о необходимости условий 2 теорем. Все же остальные утверждения теорем, в частности достаточные условия автоморфизма и инволюции, остаются справедливыми для любого поля К. Теоремы 1.3.1 и 1.3.2 позволяют строить автоморфизмы и инволюции кольца и алгебры Вт{К). Инволюции алгебры От(К) используются в главе 2 для задания некоторых видов полуторали-нейных форм на свободном модуле (Вт(К))п.

Глава 2 посвящена изучению свойств модулей над алгеброй Пиме-нова, в частности, здесь рассмотрены представления алгебры Бт{К). Данная глава состоит из 5-ти параграфов.

В §2.1 рассматривается регулярный модуль От(К). Справедливы следущие предложения.

Предложение 2.1.1 Регулярный модуль Ют(К) является приводимым и неразложимым.

Предложение 2.1.2 Если в алгебре Бт(К) зафиксировать основной базис {1,4,..., ¿1... 1т}, то регулярному модулю Бт(К) соответствует матричное регулярное представление алгебры Пт{К), сопоставляющее каждому элементу а = ао+а^-!-.. • • • ¿т

из Пт(К) линейный оператор Т(а), матрица которого является нижнетреугольной, симметричной относительно второстепенной диагонали и с элементами оо на главной диагонали.

Кроме того, регулярное представление алгебры Бт{К) является точным, и алгебру От(К) при регулярном представлени можно рассматривать как алгебру матриц над полем К.

В §2.2 рассмотрены свойства билинейных симметричных и косо-симметричных форм на свободном модуле (От(К))п. С помощью инволюций алгебры Бт{К) вводятся обобщенно-эрмитова и сопряженно-симметричная полуторалинейные формы на {От{К))п, которые не имеют аналогов среди полуторалинейных форм, заданных на векторном пространстве. С помощью данных форм в главе 3 определяются некоторые классы линейных групп над алгеброй От(К).

В §2.3 рассматриваются неприводимые Ют{К)-модули. Рассмотрим фактор-модуль {От{К)/Мт{К))1,т^К) = КВт(Ку Его элементами являются элементы поля К. Пусть а — элемент из Вт(К) и ао — его вещественная часть, тогда умножение на а в модуле Кпт(к) выполняется по правилу: ах — аох, х Е К.

Теорема 2.3.1 Пусть М — ненулевой конечно порожденный От(К)-модуль. Тогда М обладает композиционным фактором, изоморфным модулю

Как следствие получаем, что каждый неприводимый Вт(К)-модуль изоморфен модулю Квт(К)-

В §2.4 рассматривается тип алгебры Ит(К) с точки зрения числа неразложимых £>т(^-модулей. Говорят, что алгебра А имеет конечный тип, если имеется лишь конечное число неизоморфных неразложимых А-модулей, в противном случае говорят, что алгебра имеет бесконечный тип. Справедливы следующие теоремы. Теорема 2.4.1 Алгебра От(К) при т >2 является алгеброй бесконечного типа.

Теорема 2.4.2 Алгебра (К) является алгеброй конечного типа. Причем показано, что любой неразложимый О^К)-модуль изоморфен либо регулярному модулю Б^К), либо неприводимому модулю

В §2.5 рассмотрен сопряженный к Ют(К) модуль Э*т{К). Его элементами являются гомоморфизмы алгебры От{К) в А' и он является £>т (/Г )-модулем относительно умножения (а/) (Ь) = /(аЬ), а,Ь е От(К), / е Б^К). Конечномерная алгебра А над полем К называется фробениусовой, если А-модули А к А* изоморфны. Показано, что любая алгебра От(К) является фробениусовой (предложение 2.5.1).

Глава 3 посвящена линейным группам над алгеброй Пименова. Она состоит из 5-ти параграфов.

В §3.1 рассмотрены некоторые общие свойства матриц и матричных групп над алгеброй Пименова. Показано (предложение 3.1.1), что матрица А из Мп{От{К)) обратима тогда и только тогда, когда ее вещественная часть Ао обратима в Мп(К), т.е. когда <1е<;Ао ф 0.

Исследован вопрос о соотношении матричной группы над алгеброй От{К) и множества вещественных частей матриц данной группы (предложения 3.1.3-3.1.6).

В следующих параграфах данной главы рассмотрены некоторые важные классы линейных групп над алгеброй Пименова.

В §3.2 рассмотрена полная линейная группа СЬп(От(К)). Справедливо следущее предположение.

Предложение 3.2.2 Любая подгруппа в СЬп(От(К)) изоморфна некоторой подгруппе в СЬпчт(К).

Отсюда следует, что линейные группы над алгеброй Пименова можно рассматривать как некоторый специальный класс линейных групп над полем. Здесь же построен явный вид изоморфизма.

В §3.3 рассмотрена специальная линейная группа 8Ьп{Вт{К)). Показано, что 8Ьп(К) < 8Ьп{От(К)) и существует И О

такая, что ЗЬпфт{К) = Я. Указаны (предложение 3.3.1) порождающие элементы данной группы, а также (следствие из предложения 3.3.2) порождающие элементы группы ОЬп{Бт{К)).

§3.4 состоит из 4-х разделов. Здесь рассмотрены линейные группы, сохраняющие полуторалинейные формы. В разделе 3.4.1 рассмотрена ортогональная группа Оп(От{К)). Показано, что справедливо строгое включение Оп(К) < Оп(От(К)). Если же От{К) — алгебра Пименова над алгебраически замкнутым полем, то существует Н' < Оп2т(К) такая, что Оп[рт{К)) = Н' (предложение 3.4.1). В разделе 3.4.2 введена симплектическая группа 8Рп№т(К)) и показана строгость включения Брп{К) < 5р„(£>т(А')), а также показано, что существует подгруппа Н" < 5рП2™(Л-), изоморфная 5р„(^т) (предложение 3.4.2). В разделе 3.4.3 определена обобщенно-унитарная группа ип(От(К)), как группа, сохраняющая обобщенно-эрмитову форму, введенную в параграфе 2.3. Показано, что справедливо строгое включение 11п(К) < [/п(От(К)), где ип(К) — обычная унитарная группа. В разделе 3.4.4 определена дуально-унитарная группа Оип{От(К)), как группа, сохраняющая сопряженно-симметричную форму, введенную в параграфе 2.3. Показано, что справедливо строгое включение Оп(К) < Оип(От(К)),

где Оп(К) — обычная ортогональная группа.

§3.5 состоит из двух разделов. В разделе 3.5.1 показано, что в частном случае подгруппа группы GLn(Dm(K)) может быть изоморфна некоторой подгруппе группы GLP(K), где р < п2т. Здесь введен класс групп, действующих инвариантно на подпространствах свободного модуля (Dm(K))n, рассматриваемого как векторное пространство над К. Известно (см. [4], [5], [22]), что к данным группам относится важный класс групп движений пространств с постоянной кривизной. В разделе 3.5.2 введен класс неполупростых групп серии Ап. Пусть jk, 1 < k < п — 1 принимает одно из двух значений 1 или ik, где ik — дуальная единица, образующая алгебры Dn-\(K). Введем обозначение Jkl = jkjk+i ■■■ji-h к < I, Jlk = hu hk ~ 1, 1 < к, I < п. Рассмотрим множество матриц SL(n,j,K) = {А — (Jkiakl), det(A) = aki € К}. Нетрудно видеть, что SL(n,j,K) является группой относительно матричного умножения. Если все jk = 1, 1 < к < п — 1, то получаем определение обычной специальной линейной группы. Если какой-то из элементов jk равен дуальной единице, то группа SL(n,j, К) будет содержать нетривиальную инвариантную связную абелеву подгруппу и, следовательно, будет являться неполупростой группой Ли [4]. Любую группу из семейства SL(n,j,K), отличную от SL(n,K) назовем неполупростой специальной линейной группой. Описанный выше метод получения семейства неполупростых групп SL(n, j, К) назовем методом переходов. Группа SL(n,j, К) действует на свободном модуле (D„-i(K))n. Нетрудно также видеть, что она будет инвариантно действовать на множестве Kn(j) = {( J\nx\, ■• •, хп)Т, хк € К}, которое является подпространством свободного модуля, рассматриваемого как векторное пространство над К. Множество Kn(j) можно рассматривать также как пространство с именованными координатами или как расслоенное пространство [4].

Глава 4 посвящена построению некоммутативных деформаций неполупростых групп серии Ап. Она состоит из 5-ти параграфов.

В §4.1 кратко дается определение стандартных квантовых групп F[SLg(n,K)] в ДТТ-формализме [13].

В §4.2 с помощью метода переходов строятся их некоммутатив-

ные деформации. Каждая из образующих к, I — 1,..., п алгебры !F[SLq{n, К)] формально умножается на элемент Jjy. При этом изменится вид определяющих соотношений алгебры, а также вид ко-умножения, антипода и квантового детерминанта. Полученную конструкцию обозначим через T[SLg(n,j,K)]. Можно показать (лемма 4.2.1), что все jk везде будут находиться только в нулевых или четных степенях. Аналогично тому, как это сделано в [13] доказывается следущая теорема.

Теорема 4.2.1 Если вместо каждого jk взять один из элементов 1 или Lk, то J-[SLq(n,j, К)] становится некоммутативной и некокоммутативной алгеброй Хопфа над К с образующими tki, к,1 = 1,...,п.

Заметим также, что ряд Пуанкаре алгебры F[SLq(n,j, К)] совпадает с рядом Пуанкаре алгебры !F[SL(n, j, if)] полиномиальных функций на группе SL(n,j,K) (предложение 4.2.1) и при q —► 1 алгебра ^F[SLg(n,j, К)] переходит в алгебру T[SL(n,j, К)]. Поэтому T[SLq{n,j, К)\ есть некоммутативная деформация неполупростой группы SL(n, j, К).

В §4.3 как частный случай рассматривается квантовая группа ^"[5LÇ(2, i, if)]. Это ассоциативная алгебра с единицей, порожденная над К образующими a, b,c,d и коммутационными соотношениями ab = qba, ас — qca, bd — qdb, cd = qdc, bc — cb, ad = da = 1. Коумножение, коединица и антипод задаются на ней как

лстл - л ( а Ь\ - ( а®а a® b + b® d \ , .

d) *\c®a + d®c d®d )' W

е(т)=я, ад

Алгебра F[SLq(2, t, К)] является некоммутативной деформацией неполупростой группы SL(2,l,K), рассмотренной в разделе 3.5.2.

Рассмотрим теперь ассоциативную алгебру Dq(K), порожденную над К образующими хо, *ь Уо, У\ и коммутационными соотношениями ¡Гц/о = 92/0*1, *o2/i = 92/1*0, *о*1 = 9*1*0, У\Уй = 92/02/1, *о2/о = j/o*o, *i2/i = i/i*i- Можно показать , что базис алгебры Dq(K) состоит из всевозможных упорядоченных мономов, составленных из обра-

зующих Хо,Х1,уо,ух (предложение 4.3.1). Из этого предложения следует, что ряд Пуанкаре алгебры 02(К) совпадает с рядом Пуанкаре алгебры ^[(^(.К-))2] полиномиальных функций на свободном модуле [И].(К))2. Более того, при <7 -» 1 алгебра И2{К) переходит в алгебру Т[{0\(К))2}. В силу этого, О2(К) можно рассматривать как некоммутативную деформацию свободного модуля (Б^К))2. Предложение 4.3.2 Алгебра И2{К) является левым Т[ЗЬЧ{2,1, К)] - комодулем относительно кодействия

Образующие Х\,уо вместе с соотношением Х\уо — qyйX\ порождают в 02(К) подалгебру К2(ь), которая называется д-плоскостъю. Из предущего предложения как следствие получаем,что алгебра Хопфа !Р\БЬЧ{2, К)] кодействует слева на К2(С).

В §4.4 строится еще одна квантовая группа 2, ¿, К)], соот-

ветствующая группе ЗЬ(2,1,К). Она получается с помощью метода переходов из некоммутативной деформации Т[ЗЬь{2, К)] группы вЬ(2, К), описанной в работе ¡24]. При этом дополнительно изменяется параметр деформации по правилу Н Квантовая группа Т[БЬн{2, ь, К")] - это некоммутативная и некокоммутативная алгебра Хопфа, порожденная образующими а,Ь,с,<1 и коммутационными соотношениями [а, </] = 0, [6, с] = Л(ас + сд), [6, а] = Л(а2 - 1), [6, <1\ = И(сР — 1), [а,с] — 0, с] = 0, ад = 1. Коумножение имеет вид (3), а коединица и антипод задаются в ней как

Ряд Пуанкаре алгебры Т[ЗЬь{2, К)] совпадает с рядом Пуанкаре алгебры полиномиальных функций на группе ЭЬ{2,(., К). Нетрудно видеть, что при Ъ ф 0 все алгебры семейства ^"[51^(2,1, К)} изоморфны друг другу. Если же рассмотреть предел К —» 0, то получим коммутативную алгебру Хопфа полиномиальных функций на группе ЗЬ(2,1,К). Таким образом, алгебра ¿, К)] яв-

ляется некоммутативной деформацией группы 51/(2,1, к). Алгебры

¿(¡то) = а <8> я0> ¿(х1) = а<8>х1 + 6®у0, $(Уо) = д®Уо, &(у1) = с®х0 + е1®у1.

(4)

е(Т) = Е,

Хопфа Т[ЗЬд(2,1, К)] и Т[ЗЬн{2,1, К)] не изоморфны (предложение 4.4.3).

Рассмотрим ассоциативную алгебру 02(К), порожденную над К образующими хо, хг, уо, у± и коммутационными соотношениями [ч,Уо] - Ы, Ух] = [*о,У1] = 0, [хх,уй] = Ку1, [х0,х!] = Ь,хйуъ, 5/1] = куъу\. Базис В\{К) состоит из всевозможных упорядоченных мономов, составленных из образующих х^х\,уо,у\ (предложение 4.4.4). Из этого предложения следует, что ряд Пуанкаре алгебры £>1(К) совпадает с рядом Пуанкаре алгебры Т{(Вх(К))2} полиномиальных функций на свободном модуле (В\(К))2. Более того, при д -> 1 алгебра 0\(К) переходит в алгебру Т[{В\(К))2]. В силу этого, можно рассматривать как некоммутатив-

ную деформацию свободного модуля {0\(К))2. Алгебра В\{К) является левым руЗЬ^2, ¿, Я")]-комодулем относительно кодействия (4) (предложение 4.4.5). Образующие х\,уо вместе с соотношением [хь г/0] = /гг/ц порождают в В\{К) подалгебру К2(С), которая наг зывается Н-плоскостъю. Из предущего предложения как следствие получаем, что алгебра 2,1, К)] кодействует слева на

В §4.5 рассмотрена еще одна квантовая группа ^"[5X^(2, г., К)], соответствующая группе БЬ{2, ь, К). Она строится с помощью метода переходов, исходя из квантовой группы Т[ЗЬЧ{2, К)}, записанной в новых образующих. Квантовая группа ^'[51</1'(2,1, К)] -это некоммутативная и некокоммутативная алгебра Хопфа, порожденная образующими о, 6, с, й и коммутационными соотношениями

[а,Й] = О, [Ь,с] = Ы{ас + ссГ), [6, а] = Л'(а2 - 1), [М - Ь!{<Р - 1),

[а, с] — 0, с] = 0, ай = 1 с коумножением, коединицей и антиподом

Как обычные алгебры 2, ¿, К)} и Т[ЗЬ^(2, ¿, К)] изоморф-

ны, поэтому ряд Пуанкаре для ¿, К)] совпадает с рядом

Пуанкаре алгебры Т[ЗЬ{2, ¿, К)]. При К ф О все алгебры Хопфа

вида

а® Ь + Ь ¿®с1

F[SLh'(2,К)] изоморфны друг другу. Если рассмотреть предел Л' 0, то получим коммутативную алгебру Хопфа полиномиальных функций на группе SL{2, t, К). Таким образом, алгебра Хопфа F[SLh'(2, i, К)] является некоммутативной деформацией неполупро-стой группы SL(2, t, К). Алгебра Хопфа F[SLh(2, <,, К")] не изоморфна алгебрам Хопфа !F[SLq(2, t, К)} и T[SLh(2, v, К)} (предложение 4.5.3).

Список литературы

[1] Березии Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-щими переменными. М.: МГУ, 1983.

[2] Блох А.Ш. Числовые системы. Минск: Вышейшая школа, 1982.

[3] Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.

[4] Громов H.A. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990.

[5] Громов H.A., Костяков И.В., Куратов В.В. Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна. Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, №151, Сыктывкар, 1997. С. 3-29.

[6] Громов H.A., Костяков И.В., Куратов В.В. Квантовые сим-плектические группы Кэли-Клейна FUN(SPq(N;j)). Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, №151, Сыктывкар, 1997. С. 30-43.

[7] Дуплий С. А. Нильпотентная механика и суперсимметрия. Про-бл. ядер, физики и косм, лучей. Вып. 30, Харьков: Выща школа, 1988, С. 41-48.

[8] Залесский А.Е. Линейные группы. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.37. Алгебра - 4. М. ВИНИТИ, 1989.

[9] Лейтес Д.А. Введение в теорию супермногообразий. УМН, Т. 35, М, С. 3-57.

[10] Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. Труды геом. Семин., вып. 22. Изд-во Ка-занск. ун-та, 1994, С. 47-62.

[И] Пименов Р.И. Аксиоматическое исследование пространственно-временных структур. Тр. HI-го Всесоюзного математического съезда, Т.4, Москва, 1959, С. 78-79.

[12] Пименов Р.И. Применение полуримановой геометрии к единой теории поля. ДАН СССР, 1964, Т.157, №4, С. 795-797.

[13] Решетихин Н.Ю., Тахтпаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантование групп и алгебр Ли. Алгебра и анализ, 1989, Т1, Л>1. С. 178206.

[14] Розенфелъд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955.

[15] Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел. Изв. вузов. Математика, 1995, №6, С. 74-81.

[16] Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

[17] Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 2. М. Наука, 1988.

[18] Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969.

[19] Gromov N.A. The Gel'fand-Tsetlin representations of the unitary Cayley-Klein algebras. J.Math.Phys., 1991, V.32, N4, P. 837-844.

[20] Gromov N.A. The Gel'fand-Tsetlin representations of the orthogonal Cayley-Klein algebras. J.Math.Phys., 1992, V.33, N4, P. 1363-1373.

[21] Gromov N.A. The matrix quantum unitary Cayley-Klein groups. J.Phys.A: Math.Gen., v.26, 1993, pp. L5-L8.

[22] Gromov N.A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis. Int.J.Mod.Phys.A, 1997, V.12, N1, P. 33-41. (q-alg/9610011).

[23] Kac V.G. Lie Superalgebras. Adv. Math., 1977, V.26, P. 8-96.

[24] Zakrzewski S. A Hopf star-algebra of polynomials on the quantum SL{2, R) for 'unitary' Д-matrix. Lett. Math. Phys. V. 22, C. 287289. 1991.

Публикации по теме диссертации

[25] Ефимов Д. Б. Матричные группы над ассоциативной алгеброй с нильпотентными коммутативными образующими. Международный семинар по теории групп, Екатеринбург, 2001, С. 73-76.

[26] Ефимов Д. Б. Инволюции алгебры Пименова и связанные с ними линейные группы. Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения, №174, Сыктывкар, 2003, С. 32-40.

[27] Громов Н.А., Ефимов Д.Б. Некоммутативные деформации неполупростых унитарных групп. Международная алгебраическая конференция. Екатеринбург, 2005 Тез. докл. С. 47-49.

[28] Громов Н.А., Ефимов Д.Б. Некоммутативная Л-деформация неполупростой группы SL(2, ¿). Международная алгебраическая конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск, 2005. Тез. докл. (www.math.nsc.ru/conference/malmeet/05).

[29] Gromov N.A., Efimov D.B., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Non-commutative low-dimension spaces and superspaces associated with contracted quantum groups and supergroups. Czechoslovak Journal of Physics, V.54 (2004), P. 1297-1303.

Подписано в печать 19-01.06 Формат 60x84 1/16 Бумага писчая

Плоская печать Тираж 100 Заказ № 4

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19

Введение 1

1 Алгебра Пименова 7

1.1 Определение алгебры Пименова.7

1.2 Операция деления в алгебре Dm(K).10

1.3 Автоморфизмы кольца Dm(K).12

2 Модули над алгеброй Пименова 19

2.1 Регулярный модуль Dm.19

2.2 Полуторалинейные формы на свободном модуле (Dm)n 21

2.3 Неприводимые Дп-модули .25

2.4 Число неразложимых £)т-модулей.26

2.5 Сопряженные модули.31

3 Линейные группы над алгеброй Пименова 34

3.1 Некоторые общие свойства матриц и матричных групп над алгеброй Dm (К).34

3.2 Полная линейная группа GLn(Dm).38

3.3 Специальная линейная группа SLn(Dm).43

3.4 Линейные группы, сохраняющие полуторалинейные формы .46

3.4.1 Ортогональные группы On(Dm) .46

3.4.2 Симплектические группы Spn(Dm).48

3.4.3 Обобщенно-унитарные группы Un(Dm) . 49

3.4.4 Дуально-унитарные группы DUn(Dm ).50

3.5 Группы, действующие инвариантно па подпространствах свободного модуля.52

3.5.1 Группы Кэли-Клейна .52

3.5.2 Неполу простые группы серии Ап.54

4 Некоммутативные деформации неполупростых групп серии Ап 57

4.1 Квантовые группы серии Ап .58

4.2 Квантовые группы ^[SLqfaj)].60

4.3 Квантовая группа T[SLq(2, l)].64

4.4 Квантовая группа F[SLh(2, t)].67

4.5 Квантовая группа J7[SLjli(2, с)] .70

Актуальность темы. Теория линейных групп над кольцами — это довольно активно развиваемое в настоящее время направление (см. обзор Залесского А.Е. [19]). По этой тематике имеется большое количество статей и монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами. Рассмотрим алгебру Dm(K), порожденную над полем К единицей и дуальными единицами ik, к = 1,., т, связанными определяющими соотношениями 4 = О, 1кЦ = Щк, Lkitih) = {Lkii)i<p, k,l,p = 1,., т. Линейные группы над данной алгеброй возникают в различных вопросах математики и теоретической физики.

Так в работах [28], [29] Пименов Р.И. предложил единое описание всех Зт геометрий Кэли-Клейна размерности т (геометрий пространств с постоянной кривизной) и показал, что все они локально моделируются в виде области m-мерного сферического пространства с именованными координатами. В силу этого было замечено, что в виде линейных групп над алгеброй Dm реализуется важный класс групп движения пространств постоянной кривизны (групп Кэли-Клейна). В определенном базисе они могут быть реализованы как матричные группы, состоящие из матриц размера (га + 1) х (т + 1) вида (A(j))ki = Jki&kh удовлетворяющих свойству ортогональности A(j)A(j)T = A(j)TA(j) = Е, где аы £ R,

Jki = jkjk+i • • -ji-i, Jik = hi, Jkk = 1, 1 < к,1 < m + 1, a jk,

1 < к < m принимает одно из двух значений 1 или ik- Если все jk равны 1, то получаем обычную ортогональную группу. Если же среди элементов jk есть дуальная единица, то соответствующая группа будет иметь структуру полупрямого произведения и, следовательно, являться неполупростой. В работе Громова Н.А. [9] данный метод перехода от полупростых групп к неполу простым, реализованным в виде матриц над алгеброй Dm, был распространен на симплектиче-ские и унитарные группы.

Далее, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) [22], [32], [45], [46], [55], [57]. Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной и некоком-мутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп [32]. Он связан с существованием универсальных R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для непо-лупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова Н.А. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [10], [51], а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп [11],[50].

В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березииа Ф.А. [2], Лейтеса Д.А. [24], Каца В.Г. [53] (см. также [7], [8], [27]). Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераиалогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm.

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Л-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Dm естественно возникает задача исследования 1}т-модулей.

В алгебре Dm есть делители нуля, иилыютентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра [36] алгебра D2 используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [40] алгебра D2 используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллиным К.В. в [18] рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Dm.

В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века [44]. Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов [21], [56] (см. также [14]). Розен-фельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них [33], [41]. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке (см. [38], [39], [40]). Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы (см., например [6], [26]). Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. [34], [35]. Теорию дуальных чисел как числовых систем можно найти в монографиях [3], [20]. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.

В силу вышесказанного, алгебра Dm, а также модули и линейные группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.

По-видимому, Р.И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нильпотентных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру Dm и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из соображений удобства, в дальнейшем алгебру Dm будем называть алгеброй Пимеиова.

Цель диссертации. Целыо данной работы является решение следующих задач.

1) Изучение свойств алгебры Пименова (операция деления, структура автоморфизмов).

2) Изучение свойств модулей над алгеброй Пимеиова, в частности, свойств регулярного и свободного модуля конечного ранга, классификация Dm-модулей.

3) Изучение общих свойств и описание некоторых классов линейных групп над алгеброй Пименова.

4) Построение некоммутативных аналогов неполупростых групп серии Ап, которые могут быть реализованы в виде матричных групп над алгеброй Dm.

Методы исследования. В работе применяются методы теории колец и модулей, теории абстрактных и линейных групп, теории алгебр Хопфа и квантовых групп.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.

1) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости элемента алгебры Пименова. В случае конечного поля и поля рациональных чисел проведена классификация автоморфизмов и инволюций алгебры Dm, в общем случае получена частичная классификация.

2) Рассмотрены свойства билинейных симметричных и кососим-метричных форм на свободном 1)т-модуле, введены новые обобщенно-эрмитова и сопряженно-симметричная полуторалинейные формы. Показано, что алгебра Dm с точки зрения числа неразложимых -От-модулей при т > 1 является алгеброй бесконечного типа, а при т = 1 алгеброй конечного типа, в последнем случае указаны все типы неразложимых Di-модулей.

3) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости матрицы над алгеброй Dm. Показано, что любая линейная группа над алгеброй Dm(K) изоморфна некоторой линейной группе над полем К, в матричной интерпритации указан явный вид изоморфизма. Построены некоторые важные классы линейных групп над алгеброй Пименова, указана их связь с линейными группами над полем, для полной и специальной линейных групп указано множество порождающих элементов.

4 4) Построены некоммутативные аналоги неполупростых групп

SL(n,j). Для группы SL(2,l) построено три неизоморфных некоммутативных деформации. Построены некоммутативные деформации свободного модуля (D\)2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют с большей эффективностью и теоретической обоснованностью использовать алгебру Пименова в различных вопросах математики и теоретической физики. Результаты и методы диссертации могут быть использованы также для изучения других алгебраических структур подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.), на международной алгебраической конференции (Екатеринбург, 2005 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2005 г.). Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН, на семинаре Отдела математики Коми НЦ УрО РАН, на семинаре кафедры высшей математики Сыктывкарского лесного института, на ежегодной научной конференции Сыктывкарского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы щ в работах [12], [13], [16], [17], [52].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 18 параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 58 наименований. Объем диссертации составляет 81 страницу.

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 1,2, М.: Мир, 1980.

2. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антиком мутирующими переменными. М.: МГУ, 1983.

3. Блох А.Ш. Числовые системы. Минск: Вышейшая школа, 1982.

4. Бокуть Я.А., Львов И.В., Харченко В.К. Некоммутативные кольца. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 18. М. ВИНИТИ, 1988.

5. Бокуть Л.А., Колесников П.С. Базисы Гребнера-Ширшова: от зарождения до наших дней. Записки научных семинаров ПО-МИ, Т. 272, 2000, С. 26-67.

6. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.

7. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление. ТМФ, 1984, Т.59, С.3-27.

8. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ. II. Интегральное исчисление, ТМФ, 1984, Т.60, С.169-198.

9. Громов Н.А. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990.

10. Громов Н.А., Костяков И.В., Куратов В.В. Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна. Алгебра, дифференциальныеуравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, №151, Сыктывкар, 1997. С. 3-29.

11. Громов Н.А., Костяков И.Б., Куратов В.В. Квантовые сим-плектические группы Кэли-Клейна FUN(SPq(N] j)). Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, №151, Сыктывкар, 1997. С. 30-43.

12. Громов Н.А., Ефимов Д.Б. Некоммутативные деформации неполупростых унитарных групп. Международная алгебраическая конференция. Екатеринбург, 2005. Тез. докл. С. 47-49.

13. Громов Н.А., Ефимов Д.Б. Некоммутативная /i-деформация неполупростой группы SL(2,l). Международная алгебраическая конференция "Мальцевские чтения". Новосибирск, 2005. Тез. докл. (www.math.nsc.ru/conference/malmeet/05).

14. Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965.

15. Дуплий С.А. Нильпотентная механика и суперсимметрия. Про-бл. ядер, физики и косм, лучей, Вып. 30. Харьков: Выща школа, 1988. С. 41-48.

16. Ефимов Д. Б. Матричные группы над ассоциативной алгеброй с нилыютентными коммутативными образующими. Международный семинар по теории групп, Екатеринбург, 2001. С. 73-76.

17. Ефимов Д. Б. Инволюции алгебры Пименова и связанные с ними линейные группы. Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения. Труды Коми научного центра УрО РАН, №174, Сыктывкар, 2003. С. 32-40.

18. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М: Мир, 1986.

19. Решетихин Н.Ю., Тахтадэюян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантование групп и алгебр Ли. Алгебра и анализ, 1989, Т1, №1. С. 178206.

20. Розенфелъд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955.

21. Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения классических ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами. Изв. вузов. Математика, 1994, №10, С. 66-74.

22. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел. Изв. вузов. Математика, 1995, №6, С. 74-81.

23. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

24. Супруненко Д.А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.

25. Хамфри Дою. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.

26. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментельные направления, Т. 11. М. ВИНИТИ, 1986.

27. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 2. М. Наука, 1988.

28. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969.

29. Aghamohammadi A. The 2-parametric extension of h deformation of GL(2), and the differential calculus on its quantum plane. Modern Physics Letters, A8, (1993) 2607.

30. Manin Yu.I. Quantum groups and non-commutative geometry. Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Monreal, 1988.

31. Study E. Geometry der Dynamen. Leipzig, 1901, 1903.

32. Woronovich S.L. Compact matrix pseudogroups. Com. Math. Phys., 1987, Vol. 11, P. 613-665.

33. Zakrzewski S. A Hopf star-algebra of polynomials on the quantum SL(2, R) for 'unitary' Д-matrix. Lett. Math. Phys. V. 22, C. 287289. 1991.