Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БАГДЕРИНА ЮЛИЯ ЮРЬЕВНА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ СИММЕТРИИ И РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2003

Работа выполнена в Уфимском государственном авиационном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Рафаил Кавыевич Газизов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Анатолий Васильевич Жибер,

доктор физико-математических наук, доцент Сергей Сергеевич Титов

Ведущая организация: Институт математического моделирования

РАН

Защита состоится " £4-» отил^А 2003 г. в часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан "АА-" 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

С.В. Попёнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Необходимость разработки методов группового анализа, позволяющих строить симметрии, устойчивые относительно малых возмущений дифференциальных уравнений, неоднократно отмечалась Л.В. Овсянниковым. В качестве возможного подхода к решению этой задачи в 1980-х годах В.А. Байковым, Р.К. Газизовым и Н.Х. Ибрагимовым была предложена теория приближенных групп преобразований, объединившая в себе два подхода: теорию возмущений и групповой анализ дифференциальных уравнений. Как и для точных уравнений математической физики, для дифференциальных уравнений с малым параметром актуален вопрос получения аналитических частных решений, с некоторой заданной точностью инвариантных относительно приближенной группы преобразований. С этой целью на основе аналога теоремы Ли для приближенных групп было развито инфинитезимальное описание однопараметрических приближенных групп преобразований, доказан критерий приближенной инвариантности, строились решения некоторых классов дифференциальных уравнений, инвариантные относительно однопараметрических приближенных грухш преобразований.

При построении решений, инвариантных относительно многопараметрических приближенных групп преобразований, возникает проблема нахождения всех функционально независимых инвариантов таких групп. Теория многопараметрических приближенных групп преобразований и их инвариантов разрабатывалась Р.К. Газизовым. В его работах также исследовались алгебраические свойства приближенных симметрии. При этом остается открытым вопрос теоретического обоснования методов, применяемых в приближенном групповом анализе для построения частных решений уравнений в частных производных, и методов понижения порядка и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (оду) с малым параметром.

Цель работы; построение теории приближенно инвариантных решений дифференциальных уравнений с малым параметром. В частности.

получение достаточных условий полноты и совместности системы уравнений на инвариант приближенной группы преобразований; доказательство теоремы о представлении уравнений с малым параметром, допускающих приближенную группу симметрий, с помощью функций инвариантов группы; обоснование методов нахождения приближенно инвариантных решений уравнений в частных производных, понижения порядка ОДУ, построения интегралов систем ОДУ с малым параметром; применение их к интегрированию конкретных уравнений, обыкновенных и в частных производных.

Методы исследования. Используются методы теории приближенных групп преобразований, сочетающей методы классического группового анализа и теории возмущений.

Научная новизна. В работе установлено новое достаточное условие совместности системы линейных уравнений в частных производных первого порядка на инвариант приближенной группы преобразований. Достаточное условие полноты такой системы переформулировано в форме, требующей проверки меньшего числа условий, чем в критерии, полученном ранее Р.К. Газизовым. Доказаны теорема об инвариантном представлении уравнений с малым параметром и теорема о редукции числа независимых переменных в задаче построения приближенно инвариантного решения уравнений в частных производных. Для ОДУ, инвариантного относительно приближенной группы симметрий, удовлетворяющих определенным условиям разрешимости, показано, что понижение порядка уравнения достигается методом, аналогичным применяемому в классическом групповом анализе. Для системы ОДУ, допускающей широкую группу симметрий Ли-Беклунда, получена формула её интеграла, содержащая координаты симметрий и их производные. К новым результатам также можно отнести проведение групповой классификации нелинейного (2+1)-мерного диффузионного уравнения с малой конвекцией и построение его инвариантных решений типа мгновенного точечного источника в случае степенной зависимости коэффициента диффузии.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные теорс-

тические результаты могут быть применены для построения решений дифференциальных уравнений с малыми возмущениями, справедливых в некоторой малой области изменения независимых переменных задачи. Наличие частных решений дифференциальных уравнений позволяет судить о возможном поведении реальных физических явлений, описываемых этими уравнениями. Полученные в работе явные решения могут использоваться при математическом моделировании нелинейных диффузионных процессов, для обоснования численных методов решения задач математической физики.

^ Апробация работы. Результаты, приводимые в диссертации, до-

4 кладывались

- на международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998 г.);

- на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998 г.);

- на международной конференции "Современный групповой анализ" (Уфа, 2000 г.);

- на 32-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2001 г.);

- на третьей международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 2001 г.);

- на XVI международном симпозиуме по нелинейной акустике " 16th ISN А" (Москва, 2002 г.);

- на семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Бай-кова (Уфа, 2000 г., 2003 г.);

на семинаре института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров JI.A. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. Из работ [1, 2, 3, 7, 8], выполненых совместно с научным руководителем, на защиту выносятся только результаты, полученные автором лично.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, содержащего 63 наименования. Объём диссертации 108 страниц.

Содержание работы

Первая глава посвящена задаче отыскапия всех функционально независимых инвариантов многопараметрической приближенной группы преобразований.

В §1.1 вводятся необходимые для дальнейшего изложения определения из теории приближенных групп и формулируется критерий приближенной инвариантности функции. Предполагается, что все функции с некоторой заданной точностью представимы в виде рядов по неотрицательным степеням малого параметра е. Равенство /(г, е) = о(ер), где р > 0,2 6

,• /М „

означает, что 1ш —5-- = 0.

£-»0 £Р

В соответствии с первой теоремой Ли для приближенных групп преобразований, г-параметрическая группа Сг приближенных преобразований

г| = /'(2,а,е) = /^(г,а)+е//1)(2|а)+ ... + е%,(л,а) + «(е"), 1 = 1, аеНг,

однозначно определяется своими касательными векторными полями £п(г,е) с координатами

, _ df'(z,a,e) W ' да"

+ о(е*).

о=0

Поэтому изучение группы (3, заменяется рассмотрением дифференциальных операторов

образующих базис приближенной алгебры Ли Ьг. В зависимости от структуры разложения функций е) в ряд по степеням с эти операторы под-

разделяются на операторы нулевого , первого , ... , р-го порядков:

Ха„ = ^ао,(0) + eX^i) + ■ ■ • + + о{ер), а0 — 1, ... , г0,

Ха, =eXQli(0) +e2^Ql,(i) + ••• (,>-i> + о(ер), £*i = г0+1,...,гь ^

Xttp = ср^ар,(о) + о(ер), о;р — rp_i +1, ... , гр,

где гр = г, ХаМ) = £1^ы{г)дг>. Определение 1.2. Функция

I(z,e) = 1ф) + е1(ф) + ... + еЧф) + о(£»)

называется инвариантом приближенной группы преобразований G,, если

. /(z>s)=/(z,£) + o(e")

для любого z € ft" и достаточно малых а € Юг.

Группа GT может иметь инварианты различных порядков. Инварианты группы Gr

I-(z,е) = + elftiz) +...+ £'Ifc(z) + o(e"), s0 = l,...,t0,

J*(z,e) = elfa(z) + £%)(z) + ... + + o(e'),

Sl = i0+l, ... ,ib (2)

I°>{z,c) = e%)(z) + о(е"), sp = «,,-1 + 1, ... ,tp. называются функционально независимыми, если независимы функции

• - • ' ^(OjW-

Теорема 1.1. Функция /(г, е) является инвариантом приближенной r-параметрической группы Gr преобразований, если и только если она удовлетворяет уравнениям

XaI(z,e) = o(ev), a~l,...,r,

где Ха - базисные операторы (1) соответствующей приближенной алгебры Ли.

Таким образом, задача построения инвариантов приближенной группы преобразований сводится к решению уравнений

(^a„,(û) + + • • • + £рХавЫ) I(z,e) = о(ер), а0 = 1, ... ,г0,

+ е2^аь(1) + ■ • ■ + £рХаи{р_ц) I[z,e) = о(е"), = г0+1, ... ,гъ

£pXc.PmI(Z'£) = °(£Р)' аР = rP-1 + 1' •■• >ГР> (ГР = г)

которые являются линейными уравнениями в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от е. Их расщепление по степеням е приводит к р + 1 системам линейных уравнений на компоненты I(g)(z) инварианта I[z,e)

fin

ftt

Xa¡i(o)^u) = О,

Xap,(0)I{Ü) = О, ^ao.(O)Al) + ^о,(1)/(0) = О,

(0)41)

Im + ^а,, (1)^(0) — 0

Хаг-и (0)^(1) + ^«„-,,(1)^(0) = 0,

fîp_i :

+ (1)^-2) + • - • + ^«„.(р-1)^(0) = 0, {■^"ao,(0)^) + ^a„,(l)-f(p-l) + ■ • ■ + Xao¡{p)I{v¡) = 0.

Система По является системой однородных уравнений на функцию I(q)(z). Каждая из систем Í2q, q = 1, ... рассматривается как система неоднородных уравнений для определения функции I(q)(z) при условии, что функции /(о)(-г), ••• , I(4-i){z) уже известны и являются решением систем fi0,... , С1ч-\. В качестве первого шага решения систем fio, • • • , Цр проверяются условия их полноты и совместности. Для этого недостаточно

того, что операторы (1) образуют приближенную алгебру Ли. Соответствующие примеры приведены в конце параграфов 1.2 и 1.3.

В §1.2 доказывается достаточное условие полноты систем По, ... , Г!;<. При этом используется представление операторов (1) в форме

е'Уа,, а< = г1_1 + 1, ... ,г„ г = О, ... ,р, (г_х = 0)

at = r.-x + l, ... ,r„

... >(JM, +o(£p~1).

где Уа, = + £^а„(1) + • ■ • -го -т-

Теорема 1.3. Если для любой пары операторов

у0 = хт + £Хт + ■ ■ ■ + ^"^(р-ч) + Р = »4-1+1, ...,»■„

Г7 = Х7,(0) + еХъ(1) + ... + £Р-кХъ^к) + о{е*>-к), 7 = г*_! +1, ... ,гь д = ... ,р, к<д,

их коммутатор с точностью о(ер_?) представим в виде линейной функции

операторов Yaa, ... , Yav

i=0

из

: некоторыми коэффициентами вида

е) = +...+ W*) + о(е?~ч),

Oii = г,_1 + 1, ... ,г„ г = 0, ... ,q,

= г-ч^-Л*) + • ■ ■ + +°(£Р *).

а, = r,_i + l, ... ,г,, г = д+1,...,р, то системы П0, ... , iip полны.

В §1.3 рассматривается задача исследования совместности систем Q,q, ... , Пр. Вводятся матрицы x,i(îJ = ¡£('UJ|, <*; = r,_!+l, ..., rf, I = 1, ..., N, из координат операторов (1). Из них составляются блочные матрицы

Л0 = ||хо,<о)||. Ai =

Х0,(11) Xi(0)

1 ■ ■ ■ ) Ар ■■

Хо,(о) Xi,(о)

ХР,( 0)

В0 = 1x0,(1)1. В! =

Х0,(2) Хо,(1)

,д

'р-1

Х0,(р) Хо,(р-1)

XI,(Р-1)

Хо,(1)

М0 = Л0, М! =

Л/0 А)

О Л!

Ранги матриц А, и М, обозначаются

, • ■ • , Мр =

Хр—1,(1) Мр-1 5р_1

О

Ар

Д, = гапкЛ,, Д, = гапкМ;, г = 0, ... ,р.

Теорема 1.4. Условие совместности систем Ор, ... , ^ выполняется после добавления к каждой из систем Пр_?, д = 1, ... ,р,

Дд — (Д</-1 + Яд)

некоторых независимых уравнений на 7(р_?)(г).

Следствие 1.1. Если Нч = + Д," д = 1, ... ,р,» то системы По, ..'. , Яр совместны.

Если системы По, ... , П7, полны и совместны, то соответствующая приближенная группа Сг имеет N — До функционально независимых инвариантов вида (2), где 4, = N — й;,_,. То есть группа Сг имеет N — Я,, инвариантов нулевого порядка, Др — Др_1 инвариантов первого порядка, ... , Д1 — До инвариантов р-го порядка.

Во второй главе рассматриваются методы решения дифференциальных уравнений с малым параметром, часть из которых основывается на теореме об инвариантном представлении уравнений, допускающих приближенную группу преобразований.

В §2.1 эта теорема доказывается для уравнений

Г"(г,е) = + + ... + - о(е"), ' «/ = 1, ... ,т, (3)

инвариантных относительно приближенной группы GTp преобразований, порождаемой операторами (1).

Пусть для систем Uq, ... , Пр уравнений на инвариант группы Gr(, не выполняется свойство полноты или совместности и после добавления некоторого числа уравнений они превращаются в полные и совместные системы По, - • ■ j Пр. Показано, что уравнения (3) кроме операторов (1) допускают также операторы, соответствующие уравнениям, добавляемым в системы По, ... , Пр при их исследовании на полноту и совместность. Для каждого g — 0, ... ,р вводится Я, -- {Ха,(0) + • • • +£gXa,(<i) + о(еч), а = 1, ... ,fp_?,fp_g > Гр.д} - множество операторов, уравнения с которыми на I(q){z) входят в систему Ùq. Для координат операторов Ха из Нч используется обозначение

Яр_? = rank |g,(Q)(z)I, а = 1, ... , fp_„ к=1, ... ,N.

Тогда группа Gr„ имеет N — Rо инвариантов (2), где U = N — Rp-i, to > т.

Теорема 2.1. Пусть приближенные уравнения (3) инвариантны относительно Гр-параметрической приближенной группы GTp преобразований, порождаемой операторами (1) и имеющей tp = N — Rq функционально независимых инвариантов (2). Пусть, кроме того, соответствующие (3) невозмущенные уравнения

*»)(*) = 0, * = (4)

определяют регулярно заданное многообразие, т.е.

rank m,

и для операторов из множеств Hq, q = 0, ... ,р, выполнено условие

«и* fêUMl 1(4) = «=!.■•■. Гр-ч> k=l,...,N.

Тогда существует система уравнений

Ф"(/, е) = (Jfo + ... + ...,/*+...+ е"/*) +

+еФ(!) (4) + --I)' • • • > 7(0) + ■ ■ ■ + £р +

+ ... + е^) (ifa,... ,4) = оИ, ^ = 1.....m,

связывающая инварианты группы решение которой (с точностью о{ер)) совпадает с решением уравнений (3).

В §2.2 рассматривается метод построения приближенно инвариантных решений системы дифференциальных уравнений

F"(x,u,p,e) = F[0){x,u,p) +eF('i)(xIu,p) + ... + е^^х^р) =

v = l ,...,т (5)

(ж 6 1R.", it € 1R"\ pf = du"/дх1), допускающих приближенную группу преобразований GTp, порождаемую операторами вида (1), в которых Х°М = €а,(я)(х,и)дх, H- г)°м(х,и)ди*. Если rank (0)(х, и) г£о (п)(х,м)|| = До, то группа Grp имеет tp = п + m — Ro функционально независимых инвариантов

и, е) - и) + elf^x, «)+...+ е»Г^(х,и) + о(ер), 50 = 1, ... , i0, и, е) = £l^(x,u) + е2ГЦ}{х,и) + ... + £р1%_г){х, и) + о(е"),

SI = ¿0+1, - • • ,¿1, ^

1"1-(х, и, е) = е"1(щ{х, и) + о(е"), sr, = tp-} +1, ... ,tp, где числа tl удовлетворяют неравенствам га < to < t\ < ... < tp-i < tp.

Необходимым условием существования решения уравнений (5), приближенно инвариантного относительно группы GTp, является выполнение равенства

rank Цз/^/ди"! = т. (7)

Теорема 2.2. Пусть уравнения (5) инвариантны относительно гр-параметрической приближенной группы Grp преобразований, для инвариантов (6) которой выполнено условие (7). Тогда существует система вида

w (1,9, дФ/дг, е) S w^ (/(";;, +... + <% + ...+ д$°/дг°) ч

I)(nS) + • • • + ^i^-iy '+■■■+ £P'lrS(v-^ Ф?0) + ... + е'-'Ф^.,,, 9(Ф&, + . • • H- eT^^/dl«, (8)

5(Ф(1} + ... + ег-Ч^/д^ + ... + + ■ - ■ +

+e>Wfa (l*. ... ,, Фf0),ЭФ^/в/,^,¿ttfo/a/fo,...,дФудГ&) = о(е»),

и = 1, ... ,т,

связывающая инварианты /1(ж, и,е),... , Itp(x, и, с), функции инвариантов Ф1(1,е),... , Фт(/,е) и их производные по I (индекс sq при переменной I означает зависимость от всех инвариантов (6) q-то порядка). При этом, если какое-либо решение

Ф"(/,е) = Ф?0) (ll0) + ... + ePIfo, ... ,1$, + ... + +

-1). • • • . + ■ • • + еР + (9) + . . . + £*Ф fa (., • • ■ , = о(£% V ~ 1, ... , 771,

системы (8) удовлетворяет условию rank ЦдФ^/^и"! — т, то функции и" = <р"(х,£), а ~ 1, ... ,т, получаемые решением (9) относительно и, являются решением уравнений (5), инвариантным относительно группы

Grp.

Замечание 2.2. Уравнения (8) принимают более простой вид, если функции Ф"(/,е) в (9) записать в разрешенном относительно т переменных Is" виде

Г = ф"(1т+\ ... , /п+т-яь, с) + о(ер), I/ = 1, ... , т.

Тогда в уравнениях (8) функции Wfa зависят от tp — га = п — Яц независимых переменных, т.е. происходит редукция числа независимых переменных задачи.

В §2.3 рассматривается метод понижения порядка обыкновенного дифференциального уравнения

F(x, у, ..., у <»>, е) = F(a){x, у,у',..., у(п)) +£Fm(x, у,у',..., </">}f + ...+e'F(p)(x,y,r/,...tyM)=o{eP), 11

где дР^щ /ф 0, используя его представление через инварианты допускаемой приближенной группы преобразований С?г.

При редукции уравнения (10) применяются только базисные операторы (1) соответствующей Ог приближенной алгебры Ли Ьг, являющиеся существенными. То есть в (1) операторы -Х^ц), ... , -^г,,,(()), гр < г, линейно независимы, а базис Ьг образуют операторы (1) вместе с операторами, получаемыми из (1) умножением на е, е2, ... , ер (с отбрасыванием членов порядка о(е'')). Предполагается, что для соответствующих (1) операторов Уа, (А"а1 — £'Уа,) выполнено следующее условие разрешимости. Для всех 9 = 0, ... ,р имеют место соотношения

К», Уа,1 = Е1 СП0аУ, + о(ер_?)> = + 1, ... , Г„ /3 = 1, .. - , а, - 1,

7=1

в-которых С&, могут зависеть от е, т.е. С}^ = С^(0) + еСр^щ + ... + £Р~ЧС1а„(р-чУ

Используя операторы Ух, ..., У,0 задача интегрирования уравнения (10) сводится к интегрированию ОДУ (п — го)-го порядка

Ф(и,ь,у', ... с) = о(ЕГ)

и го квадратурам. Здесь и, и, и', ... , г)("~Г°' являются дифференциальными инвариантами симметрии Ух, ... , УГ„.

Аналогично, при произвольном д = 1, ... ,р — 1, рассматривал уравнение (10) и операторы Ух, ..., УГд с точностью о(ер~ч), задача интегрирования ОДУ п-го порядка (10) сводится к интегрированию некоторого ОДУ (п — гд)-го порядка

ф(й,й,?5', ... , й("~г,),е) = о(ер~ч)

и гч квадратурам.

Приведен пример редукции обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка, допускающего одну симметрию нулевого и одну симметрию первого порядка.

В §2.4 рассматривается система т обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка

</<"> = Fj (x,yi, ... ,ут, ... , у(Г1], • • • , УГ1'. е) + l}

j = 1, ... ,m,

инвариантная относительно г = тп + 1 симметрий, представленных для краткости обозначений в канонической форме симметрий Ли-Беклунда.

= Л1 (г,уь • • • , е) 02/1 + ... + ir (*, уь ..., í/(r1), е) 9у,„ + о(г").

г = 1, ... ,г.

Из координат операторов ... ,Хг+1, ... ,Хг составляются определители тп-го порядка (в Дг отсутствует строка, соответствующая оператору Xi)

fi ••• /Г -D/í .... Df? ... Dn~lf\ ... Dn_1/im

Д.

Л1 ... f? Df} ... D/rm ... D"-1/,? ... Dn'lf¡n

, i = 1, ... , r.

т (п—IX

где Б = дх + {у']ду] + • • ■ + *) - онератор полной производной в

.7=1

силу системы (11). Пусть

Д, = А,,(о) + £А,,(1) + • ■ • + + о(ер), » = 1, ..., г.

Предложение 1. Если из координат г = тп + 1 операторов Ли-Беклунда, допускаемых системой (11), можно составить два таких определителя Д„, Д,2, что Д;ь(0) ^ О, А,2,(о) ^ 0, то их отношение Д^/Д,, является интегралом системы (11).

Предложение 2. Если система (11) инвариантна относительно тп операторов Ли-Беклунда и её правые части удовлетворяют равенству

дРг/ду{Г'] + - + дРт/ду%-1) =о(е"),

то определитель

Si ... /{" ... Dn~1f¡ ... Dn-7f

fm r)n-l xl /m

J mn ' * * j mn • »• J mn • • • J mn

является интегралом системы (11).

Приведены два примера нахождения интегралов систем, состоящих из двух уравнений второго порядка.

В третьей главе исследуется двумерное диффузионное уравнение с малыми конвективными членами

щ = (<р{и)их)т + (1р{и)и„)у + с/(и)их + ед{и)иу + о(е). (12)

В §3.1 решается задача групповой классификации уравнения (12) по допускаемым приближенным симметриям. Базис основной алгебры Ли Ьр образуют операторы

Х\ = ди Хг = Х3 = ду, ХМ = еХ„ ¿ = 1,2,3, Х7 = е( Ш + хдх + уду)

и оператор Хц — г.(удх Т тду) в случае, если ф — ±<р. Если, кроме того, ф = —1р и д = /, то базис Ьр расширяется за счет оператора

Х9 = Ий + (х + у)дх + (х + у)ду.

Результат групповой классификации представлен в 9 таблицах для случаев:

1) <р(и) = ет, ф(и) гг ±е"и, а ¿13; '

2) ф) = е", ф(и) = ±е";

3) <р{и) = е", ф(и) = ±1;

4) <р(и) = и", ф{и) = ±ир, а ф р\

5) <р{и) = и", ф{и) = ±и°]

6) ¡р(и) = и"1, ф(и) = ±и

7) 1р(и) = и", ф{и) =■ ±1;

8) <р{и) = и-4'3, ф(и) = ±1;

9) <р(и) = 1, ф{и) = ±1.

Для каждого из перечисленных сл}гчаев в соответствующей таблице приведены спецификации функций /(и), д(и), при которых расширяется допускаемая группа.

В §3.2 рассматривается уравнение (12) со степенным коэффициентом диффузии. Симметрии, полученные в §3.1, применяются для построения его приближенно инвариантных решений типа мгновенного точечного источника.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Багдерина Ю.Ю., Газьзов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности с конвекцией // Тезисы докладов междунар. конференции "Симметрия в естествознании". - Красноярск: КГУ, 1998. - С. 15-16.

2. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенная инвариантность и решения уравнений типа нелинейной диффузии с конвекцией // Сборник науч. трудов междунар. конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (часть 1). - Стерлитамак: СГПИ, 1998. - С. 123 -125.

3. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии и решения уравнений типа нелинейной диффузии с конвекцией // Межвуз. науч. сборник "Актуальные проблемы математики. Ма-тем. методы в естествознании". - Уфа: УГАТУ, 1999. - С. 5-15.

4. Bagderina Yu. Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the Int. conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium". - Ufa: USATU, 2001. - P. 16-20.

5. Багдерина Ю.Ю. Алгебраический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с широкой группой приближенных симмет-рий // Труды 32-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 82-86.

6. Багдерина Ю.Ю. Приближенно инвариантные решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения // Труды III Междунар. конференции "Средства матем. моделирования". - СПб: Изд. СПбГТУ, 2001. -С. 208-211.

7. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Инвариантное представление уравнений с малым параметром: случай алгебры симметрия максимального ранга // Межвуз. науч. сборник "Актуальные проблемы математики. Матем. модели современного естествознания". - Уфа: УГАТУ, 2002. - С. 13-20.

8. Bagderina Yu. Yu. and Gazizov R.K. Invariant representation of equations with a small parameter //in Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century, edited by O.V.Rudenko and O.A.Sapozhnikov. - Moscow: MSU, 2002. - V. 1. - P. 567-570.

9. Bagderina Yu. Yu. Solution of ordinary differential equations with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. - 2002. - V. 30. - P. 287-294.

10. Bagderina Yu. Yu. Approximate Lie group analysis and solutions of 2D nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. - 2003. -V. 36. - P. 753-764.

11. Bagderina Yu. Yu. Invariants of multi-parameter approximate transformation groups // J. Math. Analysis Appl. - 2003. - V. 281. - P. 539-551.

Багдерина Юлия Юрьевна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ СИММЕТРИИ И РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 04.09.2003 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ. л. 0,85. Уч.-изд.л. 0,92. Тираж 100 экз. Заказ 564.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

13 960

'¿Lo о g - M

! <

Введение

Глава 1. Инварианты многопараметрических приближенных групп преобразований

§1.1. Критерий инвариантности

§1.2. Полнота систем уравнений на инвариант приближенной группы

§1.3. Совместность систем уравнений на инвариант приближенной группы

Глава 2. Редукция дифференциальных уравнений с малым параметром

§2.1. Инвариантное представление уравнений с малым параметром

§2.2. Редукция дифференциальных уравнений в частных производных

§2.3. Понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения

§2.4. Интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с широкой группой симметрий

Глава 3. Приближенные симметрии и решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией

§3.1. Групповая классификация по приближенным симметриям диффузионно-конвективного уравнения

§3.2. Приближенно инвариантные решения диффузионно-конвективного уравнения.

Несмотря на развитие ЭВМ, аналитические методы до сих пор остаются эффективным способом исследования дифференциальных уравнений, возникающих в прикладных задачах. Групповой анализ представляет собой один из таких методов, позволяющий, в частности, находить отдельные классы точных решений изучаемых дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных). Ценность точных частных решений линейных и нелинейных уравнений в частных производных состоит в том, что они позволяют судить о возможном поведении реальных физических процессов, описываемых этими уравнениями. Также они могут быть полезны при построении и обосновании численно-аналитических методов решения уравнений математической физики, могут использоваться как модельные при сравнительном анализе численных методов.

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в 1870-90 гг. в работах С. Ли. К тому времени были развиты многочисленные частные приёмы интегрирования отдельных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. С. Ли в своих трудах систематизировал их, используя созданную им теорию непрерывных групп преобразований [58]. Он дал классификацию всех обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по допускаемым группам и тем самым описал всю совокупность уравнений, понижение порядка или полное интегрирование которых возможно осуществить групповыми методами.

Благодаря теоремам С. Ли о соответствии между группами и алгебрами Ли стало возможным сводить сложные нелинейные задачи к линейным. Для решения этой проблемы была создана инфинитезимальная техника исследования [30, 39, 41, 58]. Группе преобразований однозначно соответствует алгебра Ли дифференциальных операторов первого порядка. При таком переходе полностью сохраняется структура изучаемых объектов и удается получить инфинитезимальные критерии инвариантности.

Помимо интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, применение группового анализа связано с нахождением инвариантных решений уравнений в частных производных [13, 14, 28, 36, 42]. Большинство известных точных решений имело групповую природу (например, автомодельные решения), но при их отыскании методы группового анализа дифференциальных уравнений не использовались. В работах 1958-1962 гг. JI.B. Овсянников показал возможности применения допускаемых групп преобразований при построении точных частных решений и качественном анализе уравнений математической физики.

Методы классического группового анализа позволяют выделить среди всех уравнений математической физики уравнения, обладающие широкой группой симметрий, которая даёт возможность находить их решения. Однако такие уравнения, как правило, описывают реальные физические процессы лишь в первом приближении. Добавление в уравнения малого возмущения, отражающего дополнительные факторы, обычно ухудшает их групповые свойства. В качестве одного из возможных решений проблемы построения симметрий, устойчивых относительно малых возмущений дифференциальных уравнений, в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова была предложена теория приближенных групп преобразований [8]. Другой подход к решению этой проблемы разрабатывался В.И. Фущичем и его коллегами [54].

В рамках теории приближенных групп преобразований на основе теоремы Ли для приближенных групп преобразований было развито их ин-финитезимальное описание и доказан критерий приближенной инвариантности, который используется для вычисления приближенных симметрий уравнений с малым параметром [9, 11, 12, 15]. Метод поиска частных решений, аналогичный существующему в точном групповом анализе, применялся для построения примеров приближенно инвариантных решений уравнений с малым параметром [10, 11]. Для построения инвариантных решений была развита теория приближенных инвариантов: доказан инфи-нитезимальный критерий приближенной инвариантности функции, позволяющий сводить задачу нахождения инвариантов приближенных групп преобразований к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от е. Доказана теорема о числе независимых инвариантов и предложена формула представления общего инварианта приближенной группы преобразований через известные инварианты [55].

Основной целью настоящей работы является построение теории приближенно инвариантных решений дифференциальных уравнений с малым параметром. А именно, получение достаточных условий полноты и совместности системы уравнений на инвариант приближенной группы, доказательство теорем об инвариантном представлении уравнений с малым параметром, о редукции числа независимых переменных системы уравнений в частных производных, о понижении порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих приближенную группу симмет-рий, а также групповая классификация и построение некоторых приближенно инвариантных решений двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией.

В работе используются методы классического группового анализа (такие, как представление уравнений с помощью инвариантных функций допускаемой группы, групповая классификация с применением преобразований эквивалентности уравнения) в сочетании с методами теории возмущений. Все утверждения доказываются с произвольным порядком точности по малому параметру.

Полученные теоретические и прикладные результаты являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов, и заключения.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

• доказательство достаточных условий полноты и совместности системы линейных уравнений в частных производных первого порядка на инвариант приближенной группы преобразований;

• доказательство теоремы о представлении уравнений с малым параметром, допускающих приближенную группу преобразований, с помощью функций инвариантов группы;

• доказательство теоремы о редукции числа независимых переменных в задаче построения решения системы уравнений в частных производных, инвариантного относительно допускаемой системой приближенной группы преобразований;

• доказательство утверждения о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости;

• метод построения интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, инвариантных относительно приближенных симметрий Ли-Беклунда;

• проведение групповой классификации двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малыми конвективными членами по допускаемым приближенным симметриям;

• примеры построения приближенно инвариантных решений диффузионного уравнения с малой конвекцией со степенным коэффициентом диффузии.

1. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. - М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. - С. 3-83.

2. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности с конвекцией // Тезисы докладов междунар. конференции "Симметрия в естествознании". Красноярск: КГУ, 1998. - С. 15-16.

3. Багдерина Ю.Ю., Газизов Р.К. Приближенные квазилокальные симметрии и решения уравнений типа нелинейной диффузии с конвекцией // Межвуз. науч. сборник "Актуальные проблемы математики. Матем. методы в естествознании". Уфа: УГАТУ, 1999. С. 5 15.

4. Багдерина Ю.Ю. Приближенно инвариантные решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения // Труды III Междунар. конференции "Средства матем. моделирования". СПб: Изд. СПбГТУ, 2001. - С. 208-211.

5. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. М.: Препринт № 150 Института прикл. математики АН СССР, 1987. - 28 с.

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435-450.

7. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенный групповой анализ нелинейного уравнения ии — (f(u)ux)a: + etр{и)щ = 0 // Диф. уравнения. 1988. - Т. 24, № 7. - С. 1127-1138.

8. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения".- Т. 34. С. 85-147.

9. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 10. - С. 17121732.

10. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. - Т. 16, вып. 1. С. 67-78.

11. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. - 244 с.

12. Газизов Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром // Межвуз. науч. сб. "Акт. проблемыматематики. Мат. методы в естествознании". Уфа: УГАТУ, 1999. -С. 66-75.

13. Гелъфанд И.М., Шилов Т.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.

14. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. M.-JL: ОНТИ, ГТТИ, 1934. - 360 с.

15. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства нелинейного уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. М.: Препринт № 79 Института прикл. математики АН СССР, 1982. - 24 с.

16. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Диф. уравнения. 1983. - Т. 19, № 7. С. 1215 1223.

17. Дородницын В.А., Свирщевский С.Р. О группах Ли-Беклунда, допускаемых уравнением теплопроводности с источником. М.: Препринт № 101 Института прикл. математики АН СССР, 1983. 28 с.

18. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

19. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

20. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. -48 с.

21. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к150.летию со дня рождения Софуса Ли) // УМН. 1992. - Т. 47, № 4.- С. 83-144.

22. Ибрагимов Н.Х. Семь миниатюр по групповому анализу // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 10. - С. 1739-1750.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

24. Кулабухова И.И., Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившейся фильтрации при неполной насыщенности грунта // Изв. АН СССР, сер. Механика и машиностроение. 1959. - № 2. - С. 57-63.

25. Овсянников JI.B. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118, № 3. С. 439-442.

26. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, № 3. С. 492-495.

27. Овсянников Я.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. 240 с.

28. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

29. О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. -М.: Мир, 1989. 640 с.

30. Роде А.А. Основы учения о почвенной влаге, Т. 1. Л.: Гидрометео-издат, 1965. - 664 с.

31. Саламатин А.Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников. В сб.-"Исследования по прикл. математике". Казань, 1979. - Вып. 7. - С. 131-139.

32. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 480 с.

33. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 432 с.

34. Тонконог С.Л. Об уравнениях динамики неньютоновской жидкости, движущейся с проскальзыванием относительно ложа // Изв. вузов, сер. Математика. 1997. - № 10. - С. 67-74.

35. Тонконог С.Л., Эскин Л.Д. О некоторых симметриях и инвариантных решениях уравнения динамики неньютоновской жидкости // Изв. вузов, сер. Математика. 1998. - № 3. - С. 55-62.

36. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 396 с.

37. Чугунов В.А. О групповых свойствах уравнения, описывающего течение ледников // Изв. вузов, сер. Математика. 1982. - № 10. -С. 84-87.

38. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. - 359 с.

39. Ames W.F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering. New York: Academic Press, 1972. 436 p.

40. Bagderina Yu. Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the Int. conference "MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium". Ufa: USATU, 2001. - P. 16-20.

41. Bagderina Yu. Yu. Solution of ordinary differential equations with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. 2002. - V. 30. - P. 287294.

42. Bagderina Yu. Yu. Approximate Lie group analysis and solutions of 2D nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. -2003. V. 36. - P. 753-764.

43. Bagderina Yu. Yu. Invariants of multi-parameter approximate transformation groups //J. Math. Analysis Appl. 2003. - V. 281. - P. 539-551.

44. Bagderina Yu. Yu. and Gazizov R.K. Invariant representation of equations with a small parameter / / in Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century, edited by O.V.Rudenko and O.A.Sapozhnikov. Moscow: MSU, 2002. - V. 1. - P. 567-570.

45. Bluman G. W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 81. Berlin: Springer, 1989. - 412 p.

46. Cohen A. An Introduction to the Lie Theory of One-Parameter Groups, with Applications to the Solution of Differential Equations. New York: D. C., Heath & Co., 1911. - 248 p.

47. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, (N.H. Ibragimov, Ed.), Vol. 3. Boca Raton: CRC Press, 1996. - 536 p.

48. Edwards M.P. and Broadbridge P. Exact transient solutions to nonlinear diffusion-convection equations in higher dimensions //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. - P. 5455-5465.

49. Fokas A.S. and Yortsos Y.C. On the exactly solvable equation St — (/Зб1-!-l)~2Sx]x + ot(0S + 7)~2SX occuring in two-phase flow in porous media // SIAM J. Appl. Math. 1982. - V. 42. - P. 318-332.

50. Forsyth A.R. A Treatise on Differential Equations. New York: Dover, 1956. - 583 p.

51. Fushchich W.I. and Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter //J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - V. 22. - P. 887-890.

52. Gazizov R.K. Representation of General Invariants for Approximate Transformation Groups //J. Math. Analysis Appl. 1997. - V. 213. - P. 202-228.

53. Gilding B.H. and Kersner R. The characterization of reaction-convection-diffusion processes by travelling waves //J- Diff. Equations. 1996. -V. 124. - P. 27-79.

54. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. Chichester: Joh,n Wiley, 1999. 347 p.

55. Lie S. Vorlesungen iiber Differentialgleichungen mit Bekannten Infmitesi-malen Transformationen, Bearbeitet und herausgegeben von Dr. G. Schef-fers. Leipzig: B.G. Teubner, 1891. 568 p.

56. Oron A. and Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations // Phys. Lett. A 1986. - V. 118. P. 172-176.

57. Philip J.R. and Knight J.H. Redistribution of soil water from plane, line, and point sources // Irrig. Sci. 1991. - V. 12. - P. 169-180.

58. Sophocleous C. Potential symmetries of nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. 1996. - V. 29. - P. 6951-6959.

59. Stephani H. Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. -Cambridge University Press, 1989. 260 p.

60. Yung C.M., Verburg K. and Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the non-linear diffusion-convection equation ut = {D(u)ux)x-K'{u)ux // J. Non-Linear Mechanics 1994. - V. 29. - P. 273278.