Групповая классификация и точные решения уравнений двух моделей гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

□03452499

Степанова Ирина Владимировна

ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВУХ МОДЕЛЕЙ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2008

003452499

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г.Красноярск)

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В.К. Андреев

доктор физико-математических наук, профессор А.П. Чупахин

доктор физико-математических наук, профессор О.Н. Гончарова

Институт математики Сибирского федерального университета, г. Красноярск

Защита диссертации состоится " </ " 2008 г. в на заседании

диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " " ^^^2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н. ^ НИ Макаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию уравнений движения в турбулентном пограничном слое, а также уравнений конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии и сил плавучести с помощью методов группового анализа.

Актуальность проблемы. Очень многие технически важные течения являются турбулентными. В таких течениях на главное движение налагается нульсационное движение, в результате чего возникает перемешивание отдельных частей жидкости. Это пульсационное движение в своих деталях настолько сложно, что возможность его теоретического расчета является затруднительной. Между тем перемешивание жидкости, вызываемое пуль-сационным движением, придает турбулентному течению особенности, резко отличающие его от ламинарного течения. Наблюдения позволяют обнаружить, что при турбулентном течении скорость и давление в фиксированной точке пространства не остаются постоянными во времени, а очень часто и очень неравномерно изменяются. Такие изменения скорости и давления, называемые пульсациями, являются наиболее характерным признаком турбулентности. Так как вследствие сложности пульсационного движения чисто теоретический расчет турбулентного течения до настоящего времени невозможен, то закономерности развитого течения приходится искать лишь для осредненных по времени величин, характеризующих это движение. Появление в уравнениях осредненного турбулентного течения членов, содержащих произведение пульсационных компонент скорости, входящих в функцию турбулентного трения, делает их незамкнутыми. На этой почве возникли полуэмпирические теории турбулентности, содержащие как правило две эмпирически определяемые "константы турбулентности". Плодотворное развитие; этого направления связано с работами Л. Прандтля (1925), К. Тейлора (1915, 1932), А.Н. Колмогорова (1941). Фундаментальное значение в дальнейшем развитии теории турбулентности имели работы Л. Лойцянского, М.Д. Мил-лионщикова, Г. Шлихтинга. Классические опыты И. Никурадзе дали обоснование полуэмпирическим теориям и способствовали их развитию. Тем не менее до последнего времени теория турбулентности не могла обойтись при количественном анализе без опытных коэффициентов, далеко не всегда ясной природы. В настоящей работе сделана попытка исследования основных закономерностей осредненного пристенного турбулентного течения жидкости без привлечения эмпирических коэффициентов. А именно, предлагается использовать метод группового анализа для исследования уравнений модели плоского турбулентного пограничного слоя.

В последнее время расширился круг задач, связанных с так называемы-

ми естественно- или свободноконвективными течениями. Естественная конвекция — один из видов макроскопического движения, который интенсивно изучается в современной фундаментальной механике жидких сред. Это связано с развитием математического аппарата и средств вычислительной техники. А также с тем, что данный вид течений, возникающий под действием сравнительно малых сил плавучести, вызванных малыми градиентами плотности жидкости, часто встречается в природных условиях и технологических процессах, имеющих широкое применение и познавательную ценность. Именно термоконцентрационной конвекцией вызывается образование пространственно-регулярной по глубине тонкой структуры океана, атмосферы планет и звезд, мантии Земли и других геофизических систем. Конвективные течения часто упорядочены и в горизонтальном направлении. Развитие экспериментальных и теоретических исследований естественной конвекции привело к ее выделению в самостоятельный раздел механики жидкости и газа. Изучению моделей конвекции посвящено множество работ. Результаты исследований в этой области применяются в теплоэнергетике, металлургии, метеорологии, химии, кристаллофизике и т. д. Действительно, такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования таких моделей с помощью методов группового анализа.

Отметим, что групповой анализ является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений независимо от их типа. Точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве тестовых задач для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Цель диссертационной работы заключается в изучении групповых свойств уравнений двух моделей гидродинамики: турбулентного пограничного слоя Прандтля и термодиффузии с учетом сил плавучести, зависящих от давления, температуры и концентрации; построении инвариантных подмоделей, их интегрировании и физической интерпретации найденных решений.

Методы исследования. В работе используются техника группового анализа и методы общей теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Впервые проведен групповой анализ модели турбулентного пограничного слоя: найдены преобразования эквивалентности и

решена задача групповой классификации относительно функции, определяющей касательное напряжение, при условии, что она зависит от двух переменных. Выписаны некоторые инвариантные подмодели, часть которых проинтегрирована в квадратурах. Для случая, когда касательное напряжение зависит произвольно только от одной из переменных, построена оптимальная система подалгебр ©1. На операторе растяжения, вошедшем в оптимальную систему, рассмотрена инвариантная подмодель, описывающая автомодельное решение. Для этой подмодели поставлена краевая задача, которая решена численно, решению дана физическая интерпретация. Также впервые проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси с учетом сил плавучести: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно функции, определяющей силу плавучести. Использование введенной замены переменных позволило существенно упростить исследуемую систему уравнений. Для некоторых полученных специализаций функции, определяющей силу плавучести, на операторах, допускаемых исследуемой системой уравнений, построены фактор-системы, найдены их точные решения. Для двух из полученных решений поставлены граничные условия, решены краевые задачи, дана их физическая интерпретация.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование течений в турбулентном пограничном слое и конвективных течений, групповой анализ дифференциальных уравнений. Проведенное в работе исследование уравнений моделей термодиффузии бинарной смеси и турбулентного пограничного слоя вносит вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данных моделей, а также в теорию описываемых этими моделями явлений. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах: ХЬУ Международной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2007), VII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006), VIII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2007, 2008 гг.), Конференции молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2007, 2008 гг.), международной научной конференции "Совре-

менные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008" (Красноярск, 2008 г.), семинаре под руководством академика J1.B. Овсянникова в ИГиЛ СО РАН, семинарах под руководством профессора В.К. Андреева в ИВМ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который содержит 67 наименований. Общий объем диссертации 98 страниц, включая 9 рисунков и 8 таблиц, вынесенных в приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности работы, приведен обзор литературы по теме исследования и основные понятия, использующиеся в дальнейшем, описана структура диссертации и изложены ее основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию групповых свойств уравнений плоского турбулентного пограничного слоя:

Ut + UUx + VUy + р~грх = VUyy + Ty, Ру — 0, ux + vy- 0, (1)

где u(t,x,y), v(t,x,y) — проекции вектора осредненной скорости на оси х и у, p{t, х) — давление, т — дополнительное турбулентное напряжение, v -кинематическая вязкость, р — плотность жидкости. Плотность жидкости и ее кинематическая вязкость считаются постоянными величинами.

Полагая, что дополнительное касательное напряжение т = д(у, иу). а также проводя в (1) замену переменных по формулам

t — tjv^ х = х/и, y = y/v, й — и, v = v, f = r, р = р/р,

перепишем систему (1) в виде (ниже черта над переменными опущена)

щ + иих + vuy +рх = иуу(1 + дПу) +9У, ру- 0, ux + vy — 0. (2)

Появление в модели турбулентного течения в пограничном слое функции д, отвечающей за дополнительное касательное напряжение, делает их незамкнутыми, что, естественно, и затрудняет исследование. Возникает задача групповой классификации: получить ядро основной алгебры Ли допускаемых системой (1) операторов при произвольном выборе функции д и выделить спецификации функции, при которых ядро алгебры Ли расширяется. При вычислениях предполагается, что классифицируемая функция д может быть и нулевой. Это означает, что система описывает движение в ламинарном

пограничном слое. Такой подход позволяет сравнить результаты группового анализа для ламинарного слоя, полученные Л.В. Овсянниковым, с результатами данной главы.

В первой части главы 1 исследуется случай нестационарного течения. Вычислена основная алгебра Ли и доказана

Лемма 1. Базис ядра операторов основных алгебр Ли £0 для уравнений (2) образован операторами вида

г0 = ди я„(ВД) = я^едн^й + ^А-^а^, (з)

С двумя произвольными функциями £ —>■ ^ ~~*

Оператор Р§(1)др соответствует тому факту, что уравнениями (2) давление р определяется с точностью до слагаемого, равного произвольной функции времени. Оператор, образованный функцией -Р^), соответствует преобразованиям перехода в систему координат, поступательно движущуюся со временем по произвольному закону. Примечательной особенностью полученного ядра основных алгебр Ли при произвольном значении функции д является то, что оно бесконечномерно: ее операторы зависят от двух произвольных функций времени.

Для системы (2) также найдена группа преобразований эквивалентности и доказана

Лемма 2. Преобразование эквивалентности уравнений (2) состоит из всех преобразований, соответствующих операторам ядра основных алгебр Ли (3) и из преобразований, зависящих от шести произвольных постоянных т, п, к, с, 5, д, которые даются формулами

I = тЦ х = кх; у = пу + с\ й = кт~1щ й — пт~1ю\ р = к2тГ2р + эх. (4) При этом произвольный элемент д преобразуется так:

д = кт~2пд -)- зу + д. (5)

В результате решения задачи групповой классификации были выделены некоторые дополнительные алгебры операторов: при произвольной зависимости д только от иу выделена алгебра Ь^ = {¿о, Z^¡, я))}, где

г5 = + Зхдх + уду + иди ~ + 2рдр, Я2(^>(г, х)) = х)ду + (фхи +

с произвольной гладкой функцией х). Еще одна дополнительная алгебра была выделена в случае, когда д — -иу + а(у) с некоторой произвольной

нелинейной функцией а(у): Ь$ — {¿о, Хд}, где

Хд = 2хдх + иди — удп + 2рдр.

Итогом решения задачи групповой классификации стала

Теорема 1. Набор специализаций произвольного элемента д(у,иу) для системы (2) и допускаемых операторов преобразований для соответствующих специализаций представляет собой 17 специализаций, 12 конечномерных и 5 бесконечномерных операторов, представленных в таблице 1.1 приложения 1.

Во второй части главы 1 решается задача групповой классификации для установившегося течения в турбулентном пограничном слое, описываемое уравнениями

иих + ущ + рх = иуу{ 1 + диу) + ЯУ, РУ = 0, их + уу = 0. (6)

Также как и для уравнений, описывающих нестационарное течение, решена задача групповой классификации: найдена основная алгебра Ли Ьо при произвольных значениях функции д, а также выделены спецификации этой функции, при которых Ьо расширяется. Основная алгебра Ли в случае установившегося течения уже является конечномерной: Ьо = {дх, др}. Результатом решения задачи групповой классификации является

Теорема 2. Набор специализаций произвольного элемента д[у,иу) для системы (6) и допускаемых операторов преобразований для соответствующих специализаций представляет собой 17 специализаций, 12 конечномерных и 4 бесконечномерных операторов, представленных в таблице 1.2 приложения 1.

Необходимо заметить, что при составлении таблиц 1.1, 1.2 существенно использовались преобразования эквивалентности, которые для уравнений нестационарного течения имеют вид (4), (5), а для уравнений установившегося течения задаются равенствами

х ~1х + Ь] у — ку + а; й = тщ у = кт1~1у\ р = т2р + еж + с; д ~ кгтг?1~1д + ву 4- й.

Здесь а, Ь, с, к, I, тп, в — вещественные параметры, причем, если полагать Ъ = 1, а остальные постоянные равными нулю или с = 1, а остальные — нули, получим операторы основной алгебры Ли, порождающие преобразования, входящие в (7).

Заметим также, что при д = 0 групповой анализ систем (2), (6) уже проводился Л.В. Овсянниковым в зависимости от того, является функция

давления произвольной или заданной. Результаты, полученные Л.В. Овсянниковым, согласуются с результатами, полученными в данной главе, как в случае нестационарного, так и в случае установившегося течения.

В третьей части главы 1 построено несколько инвариантных подмоделей на вычисленных операторах для соответствующих специализаций классифицируемой функции. К сожалению, далеко не все полученные фактор-системы удается проинтегрировать аналитически. Для случая, когда исходная система описывает стационарное течение и функция турбулентного напряжения зависит лишь от одной переменной, а именно д — д(иу), вычислена оптимальная система подалгебр первого порядка. Доказано

Утверждение 1. Оптимальная система подалгебр 01 образована операторами

Х\ + кХ2 = дх + кдр, кХ2 + ^(^(х)) = кдр + Н1(х)ду + к^иду, Хь = Ъхдх + уду + иди - ьдъ + 2рдр.

Здесь к — произвольная постоянная, ^(х) — произвольная гладкая функция.

На операторе растяжения Х&, вошедшем в оптимальную систему подалгебр, построена фактор-система

и{и- + гУЩ + 2Р - 3(1 + д')Щ( = О, Р{ = 0, ЭУ(-£ие + и = 0, (8) где

^ = и = их~1'\ У = ухх'3, Р = рх-У\

штрих означает дифференцирование по 11^.

Данная фактор-система, в отличие от исходной системы, уже является системой обыкновенных дифференциальных уравнений, описывает автомодельное решение и становится проще для интегрирования. Для решения данной системы поставлены граничные условия в инвариантных переменных: равенство нулю скоростей на стенке (условия прилипания) и равенство нулю турбулентного напряжения на границе и вне пограничного слоя. Задача решалась в безразмерных переменных численно с использованием метода стрельбы и метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Следует особо отмстить, что в силу произвольности функции д(иу) она была выбрана согласно эмпирической формуле Прандтля: д = аоиу, где ао = р12 (р — плотность среды, I — длина пути смешения — некоторая положительная постоянная, введенная Прандтлем). Для сравнения найденных характеристик турбулентного течения с характеристиками ламинарного течения на том же операторе растяжения построено автомодельное решение уравнений ламинарного пограничного

слоя в случае, когда р = рох2/3. При сравнении турбулентного и ламинарного слоя для одинакового давления видно, что характерным признаком турбулентного пограничного слоя является увеличение толщины пограничного слоя и касательного напряжения. Что касается распределения скоростей, то в турбулентном пограничном слое оно более равномерное, чем при ламинарном течении. Эту особенность турбулентного течения обычно связывают с перемешиванием жидкости, чего в ламинарном слое нет. Кроме того, следует отметить, что и в турбулентном и в ламинарном пограничном слое на внешнем крае имеется составляющая скорости, направленная перпендикулярно к поверхности тела; таким образом, пограничный слой создает во внешнем потоке поперечные токи, объяснимые торможением жидкости о поверхность тела.

Во второй главе рассматривается модель конвекции бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии и сил плавучести. Уравнения естественной конвекции достаточно сложны, поскольку необходимо учитывать зависимость плотности от градиентов давления, температуры и концентрации, т. е. уравнение состояния жидкости. Существует целый ряд форм представления уравнения состояния, определяющих с достаточной точностью плотность через температуру, давление и минерализацию в широком диапазоне значений этих параметров. Из недостатков этих уравнений можно отметить то, что почти все они получены экспериментально и представляют собой, как правило, сложные алгебраические выражения.

В данной работе смесь предлагается считать трехпараметрической средой с параметрами состояния Т — температура, р — давление, с — концентрация. Плотность жидкости определяется уравнением состояния р — poR(T,p: с). Искать эту зависимость будем с помощью методов группового анализа. Движение смеси описывается системой уравнений

^ = -—Vp + vAu + R{p,T,c)g, div u = О,

at po ^

^-XAT, J = DAc + aDAT, at at

где x = (ж1, ж2, ж3) — вектор координат, и = (и1, и2, и3) — вектор скорости, d/dt = d/dt + ц • V — символ полной производной, р — давление, Т — малое отклонение температуры от среднего значения, с — малое отклонение концентрации легкой компоненты от среднего значения, po = const — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, g = (0,0, —д) -вектор массовых сил, и — кинематическая вязкость, х — коэффициент температуропроводности, D — коэффициент диффузии, а — коэффициент Соре, R(p,T,c) — функция, определяющая силу плавучести. Предполагается,

что и ф 0, х х Ф А & Ф О) а 0- Если сделать замену

-» р, Яд Я, можно считать, что ра = 1, д = 1. После введения новых переменных для температуры (Т = (х — 0)Т/(а0)) и концентрации (с—Т + с) система упрощается:

^ = -Ур + иАи + Я(р,Т,с)к, и = О,

£ л? * „Л- (Ю)

^ = ХАТ, ^ = ОДс,

здесь к = (0,0,-1). Для системы (10) поставим задачу групповой классификации относительно функции Я. Необходимо получить ядро основной алгебры Ли допускаемых системой (10) операторов при произвольном выборе функции Я и выделить спецификации функции, при которых ядро алгебры Ли расширяется. Все вычисления проводились в индексных переменных:

= и4 =р, и5 — Т, ие = с. (11)

В результате реализации алгоритма поиска основной алгебры Ли была доказана следующая

Лемма 3. Базис ядра операторов основных алгебр Ли Ьо уравнений (10) образован операторами вида

Г д „ , д 2д х д 2 д

(12)

В работе также найден оператор эквивалентности для системы (10), из представления которого следует, что преобразование эквивалентности для Я возможно в двух случаях: на операторе растяжения

1 9 2 д з д ^ с? х д 2 & о __

* д^+х д^+х д^+2х д^~6Ндя

получим группу растяжений

в1-.{х1=еа1х\ й' = е~а1и\ г = 1,2,3; х1=е^х\йА=е~2а>и\ Я=е~3а1Я}. (13) На операторе

3_а___д_

Х ди4 дЯ

получим группу сдвигов

G2 : {ж3 = z3, й4 = и4 + а2х3, R = R- а2}, (14)

здесь ai, а2 — групповые параметры.

При решении полученных классифицирующих уравнений возникают случаи R — const, R ф const. Если R = const, то к системе уравнений применим преобразование

ж4 = х\ хг = х3 + Д(5!4)72, и3 = й3 4- Rx4.

Это преобразование перехода в инерциальную систему координат по третьему направлению исключает из уравнений (10) R = const. Можно считать R — 0, тогда уравнения (10) являются уравнениями Навьо- Стокса (их исследование уже проводилось В.О. Бытевым), дополненные уравнениями тепло- и массо-переноса. Результаты, полученные в данной работе при R = 0, совпадают с ранее полученными результатами. Если R ф const, то из классифицирующего уравнения следует, что нужно рассматривать отдельно три случая: 1) функция R не зависит от давления, 2) функция R зависит от давления линейно, 3) R зависит от давления нелинейно. В каждом из этих случаев выделены дополнительные ядра операторов и доказаны следующие леммы:

Лемма 4. Базис ядра операторов в случае R — uijr Ф(и5, и6) имеет вид Li1 = jxo, Хи, 1), Н{(х4), i — 1,2,

В этом случае ядро (12) Lq С Lq1.

Лемма 5. Базис ядра операторов основных алгебр Ли Lq уравнений (10) в случае, когда R = iZ(u5,u6), образован операторами вида

L!0 = Х12, Н0(ф4)) = Ф*)-^,

ЩЩх*)) = + - , i = м},

причем, ядро (12) Lq С Lq.

В случае нелинейной зависимости функции R от ы4 базис ядра операторов совпадает с Lq.

Результат решения задачи групповой классификации представлен в следующей теореме.

Теорема 3. Результат групповой классификации произвольного элемента iZ(ii4,u5, tt6) для системы (10) представляет собой набор специализаций и соответствующих конечномерных и бесконечномерных операторов, представленных в таблицах 2.1, 2.1*, 2.2, 2.3 приложения 2.

В следующей части второй главы проведено построение некоторых инвариантных подмоделей и их решений для системы (10). В работе изучены 7 инвариантных подмоделей, описывающих стационарные и автомодельные решения. Все эти подмодели проинтегрированы в явном виде, при этом найдены новые точные решения, а также обобщения ранее известных решений. В качестве примера рассмотрим подмодель, построенную на операторах

= Я2(1) = Нг( 1) + Я0(А) - А + А^.

Решение (10) с учетом обозначений (11) для R = R(u5,u6) ищем в виде

u^uV), и2 = и\х3), u3 = uV), u4 = Р(х3) + Ах1, и5 = и5(х3), и6 = и6(х3). Фактор-система запишется так:

u3ulz + А = VU1^, и\\з = VU2X зхз,

и3и3з + Р*з = 1/и3згз - R(u5, U6), (15)

и3з = 0, u3u% = Dul3x3.

После решения системы (15) в случае и3 = wq = 0 решение (9) находится в виде:

и — ^-z2 + faz + k2, v = h$z + k4, w = 0, 2 v

+ (16) c — {k 5 + k7)z + k6 + k$,

P = Po j -JRfaz + h,h* + h)dz + k9 + Az j,

где ki, i — 179, А — произвольные постоянные, а также введены физические обозначения переменных:

х = х1, у = х2, z = ж3, и = иг, v = и2, w = и3,

р = роu4, Т = —тс = u6 + u5, Rg~x Д. aD

При интерпретации найденных решений, вообще говоря, можно рассматривать различные постановки задач. Например, движение между двумя плоскими стенками, со свободной границей или с границей раздела. Для решения

(16) была поставлена краевая задача, описывающая течение смеси между двумя твердыми стенками г = 0, г = Ь. Граничные условия сформулированы в виде

2 = 0: и = у = т = 0; Т = в0; сг + аТг = 0, г = Ь : и = г; = ш = 0; Т = всг + аТг = 0.

Равенство нулю скоростей выражает условие прилипания к твердым стенкам, 80, в\ — заданная температура на стенках, последнее условие означает отсутствие потока вещества через стенки. Используя данные граничные условия, получаем решение нашей задачи в виде

т в1~9° (#о — 61)01 , аР Т = —-—гг + в0, с =-+-рА + Ь,

ь ь х — о

Г _1 [ „\(01-60)аР воаБ

Если к тому же задать массовый расход жидкости <Эо через поперечное сечение слоя <5о = /0 и(г)с1г, можно вычислить градиент давления Л = -12иС}о/Ь3. Таким образом,

6<2о 2 , 6(5о

° = "Ж + и''1'

/ -1 / л«1! -<>'•'}"[> ,

а

а

Заметим, что данное решение представляет собой обобщение течения Пуазейля, возникающего в горизонтальном слое под действием постоянного градиента давления при линейно распределенных температуре и концентрации. Профиль скорости, как и в течении Пуазейля, параболический.

Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы:

1. Проведен групповой анализ модели плоского турбулентного пограничного слоя в случаях нестационарного и установивишегося течений. Най-

дены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно функции, определяющей дополнительное турбулентное напряжение. Показано, что уравнения модели в случае нестационарного течения допускают бесконечномерную алгебру Ли операторов, для установившегося течения основная алгебра Ли конечномерная, причем обе алгебры отличаются от известных для классических уравнений Прандтля.

2. Для некоторых специализаций функции дополнительного касательного напряжения выписаны инвариантные подмодели течения жидкости в турбулентном пограничном слое, часть из которых проинтегрирована в явном виде. Численно найдено одно новое автомодельное решение уравнений модели, ему дана физическая интерпретация.

3. Решена задача групповой классификации трехмерных уравнений термодиффузии относительно функции Я, определяющей силу плавучести и произвольно зависящей от трех параметров: температуры, давления и концентрации. Указана замена переменных для температуры и концентрации, с помощью которой уравнение диффузии можно привести к однородному, в результате чего исходная система существенно упрощается. При решении классифицирующих уравнений выделяются три случая зависимости функции И от давления: 1) Я зависит от давления линейно, 2) Я не зависит от давления, 3) Я зависит от давления нелинейно. Каждый этот случай был исследован отдельно, получены различные специализации классифицируемой функции и операторы, расширяющие основную алгебру Ли. Найденные преобразования эквивалентности позволяют существенно упростить вид функции К.

4. Выделены интегрируемые в квадратурах инвариантные подмодели уравнений термодиффузии для некоторых специализаций функции В., определяющей силу плавучести. Для двух подмоделей, в которых функция Я произвольно зависит от температуры и концентрации, поставлены и решены краевые задачи. В случае течения жидкости между двумя твердыми стенками под действием постоянного градиента давления одна из подмоделей описывает обобщение течения пуазейлевского типа с параболическим профилем скоростей при линейном распределении температуры и концентрации в зависимости от поперечной координаты. При задании граничных условий на твердой стенке и свободной поверхности другая подмодель описывает состояние покоя жидкости под воздействием линейно распределенных температуры и концентрации.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи и внимание к работе, а также к.ф.-м.н. A.A. Родионову за обсуждение и полезные замечания.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. СТЕПАНОВА И.В. Групповая классификация уравнений стационарного плоского турбулентного пограничного слоя// Вестник КрасГУ, 2006, № 1. С. 114-119.

2. СТЕПАНОВА И.В. Инвариантная подмодель уравнений плоского стационарного турбулентного слоя// Материалы конф. молодых ученых ИВМ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2007, С. 30-36.

3. СТЕПАНОВА И.В. Групповая классификация уравнений плоского нестационарного пограничного слоя// Вычислительные технологии, Новосибирск, 2007, Т. 12, № 6. С. 101-108.

4. СТЕПАНОВА И.В. Об инвариантных моделях термодиффузионных течений// Сборник трудов конференции молодых ученых Красноярского научного центра. Красноярск: КНЦ СО РАН, 2008. С. 44-45.

5. РОДИОНОВ A.A., СТЕПАНОВА И.В.Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести// Вычислительные технологии, Новосибирск, 2008, Т. 13, № 5, С. 61-69.

6. СТЕПАНОВА И.В. О некоторых точных решениях модели конвекции с учетом сил плавучести// Материалы конф. молодых ученых ИВМ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2008, С. 10-17.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты НШ 5873.2006.1, НШ 2260.2008.1, грант РФФИ №08 - 01 - 00762), интеграционного проекта СО РАН №2.15 и Красноярского краевого фонда науки (проекты 17G088 и 18G015 ).

Подписано в печать 21.10.2008 г.

Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 120 экз.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Академгородок, Красноярск

Введение

Глава 1. Групповые свойства уравнений двумерного турбулентного пограничного слоя

1.1 Описание системы уравнений

1.2 Определяющие уравнения.

1.3 Групповая классификация системы (1.4).

1.4 Групповая классификация уравнений стационарного турбулентного пограничного слоя

1.5 Построение фактор-систем и инвариантных решений

1.6 Об одном стационарном автомодельном решении.

Современный этап развития науки характеризуется стремлением к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение приобретают фундаментальные свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение.

К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрийный принцип в различных отраслях науки и объединять общим подходом казалось бы совершенно разные направления научных исследований.

Использование симметрийного подхода в теории дифференциальных уравнений позволяет значительно разнообразить и дополнить существующий набор традиционных методов их исследования и, тем самым, получить о них качественно новую информацию. Таким образом, с одной стороны, проблема изучения дифференциальных уравнений может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли, взгляды на дифференциальные уравнения стали развиваться в новых направлениях. Предметом интереса стала структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью операций дифференцирования и продолжения. Важно отметить, что методы, направленные на проведение качественных исследований уравнений, т. е. аналитические методы, по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориентированы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравнении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса, моделируемого дифференциальными уравнениями, возможность замены математической модели процесса более простой моделью или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме, в некоторых случаях возможность получения точных решений.

В настоящее время изучение симметрий дифференциальных уравнений проводится в рамках современного группового анализа, объединяющего в себе три научных направления — метод первого интеграла, классический групповой анализ С. Ли и дискретно-групповой анализ. Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Позднее Биркгоф привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости [8]. Однако в данном случае использование групповых свойств дифференциальных уравнений для поиска частных решений было использовано в единичных случаях и носило, в основном, иллюстративный характер.

Систематические исследования по применению методов группового анализа для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым и его учениками в конце 50-х годов прошлого столетия [33,34]. Применительно к уравнениям механики жидкостей и газа, эти работы продолжаются Л.В. Овсянниковым, его научной школой по настоящее время. В аналитической механике теоретико-групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Четаева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [37], В.В. Пухначевым [39], С.В. Хабировым [57]. В работах этих авторов показано, каким образом групповые свойства можно использовать для решения физически важных задач. В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Бытевым, О.В. Капцовым, С.В. Мелешко, С.И. Сенашовым, А.П. Чупахиным, С.В. Головиным и др. [1,2,10,31,46,58,65]. Из работ зарубежных авторов следует отметить монографию П. Олвера [36].

В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике JI.B. Овсянниковым была предложена концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленная на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды [35]. Под руководством JI.B. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. Что касается исследования других моделей, то здесь следует отметить работы [65,66], которые посвящены систематическому изучению уравнений Навье-Стокса с помощью теоретико-групповых методов.

Определим основные понятия, использующиеся далее.

Рассматривается пространство Z — W1 х Rm = X х U. Переменные разделяются на два типа: х = (а;1,., хп) — независимые переменные, и = (it1,., ит) — функции от х.

Система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G. Здесь группа G есть локальная од-нопараметрическая группа Ли с каноническим параметром а е А с 1, которая задана преобразованиями Та : х — /(ж,а), х £ Мп. Фиксируя точку х и изменяя параметр а, получаем кривую в пространстве Шп, касательный вектор £ к которой имеет компоненты df(x,a) ем = а=О да

Инфинитезимальным оператором группы G называется дифференциальный оператор

Пространство „ дх1' г=1

Z = X х U х U х . х U, и = ( n °Sua . I к Iks I. OXJl.X^ J называется к-м продолжением пространства Z. Независимыми переменными в продолженном пространстве Z являются переменные х, функк ции и и все производные и^ ^ до к-го порядка включительно.

Пусть в пространстве Z действует локальная группа Ли G с инфинитезимальным оператором X = u)dxi -\-rja(x, и)диа. Действие группы

G естественным образом распространяется на пространство Z. При этом к преобразования производных вычисляются по обычным правилам математического анализа. Продолженной группе G отвечает продолженный к оператор

X = ?дх< + 7fdu* + Cfdu? + . + Cl.iAt.ik> а = 1,га; i, ii, .Ли — 1,., n, по повторяющемуся индексу производится суммирование. Координаты продолженного оператора X вычисляютк ся по формуле - + «Ч-агде Di — оператор полного дифференцирования по переменной %\

Di = dxi + ufdua + . 4- ufj^jdu?^, + ••••

Важно помнить, что во всех этих формулах координаты х,и и их производные и% • должны рассматриваться как независимые переменные.

J1 • • 4 J s

В случае, когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Такую систему обозначим через Е(А), а через GE{A) — группу, допускаемую системой Е(А). Тогда ядром основных групп называется группа GEq, равная пересечению всех групп GE(A). Задача групповой классификации заключается в следующем: для системы Е(А) найти ядро основных групп GEq и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы

GE0.

Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя дифференциальную структуру Е(А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.

Каждая подгруппа Н С G имеет инварианты. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Н выделяет из множества всех решений Е определенный класс точных частных решений, называемых Н-решениями. Такие решения выражаются через новые искомые функции(инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, называемой фактор-системой Е/Н. Обычно фактор-система является более простой по сравнению с исходной системой Е, в частности, из-за того, что содержит Е/Н меньшее число независимых переменных. Поэтому фактор-система Е/Н называется подмоделью исходной системы Е. Число независимых переменных в Е/Н называется рангом подмодели.

Два решения системы уравнений Е называются несущественно различными относительно группы G, если одно переводится в другое некоторым преобразованием, принадлежащим группе G, и существенно различными относительно группы G, если такого преобразования не существует. Тем самым перечисление неподобных iJ-решений сводится к задаче перечисления всех подгрупп данной группы G. В силу взаимно однозначного соответствия между группами Ли и алгебрами Ли последнюю задачу удобнее решать как задачу классификации подалгебр данной алгебры Ли (с точностью до подобия). Совокупность представителей классов подобных подалгебр алгебры Ли (по одному из каждого класса) называется оптимальной системой подалгебр. До настоящего времени задача построения оптимальной системы подалгебр не получила окончательного решения в смысле формирования определенного алгоритма, по которому оптимальные системы выстраивались бы однозначно.

Перечисленные выше определения касаются различных подходов к методам и формулировкам понятия симметрии систем дифференциальных уравнений. Что касается использования симметрии, то здесь также существуют различные подходы. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений наличие однопараметрической группы симметрии позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Кроме того, наличие симметрии у системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет определять первые интегралы системы. Для уравнений в частных производных одно из направлений использования симметрии — построение новых решений системы уравнений по уже известным решениям. При этом группа симметрии позволяет классифицировать множество всех решений системы. Возможна также классификация в зависимости от произвольных параметров или функций, входящих в систему. Как уже было упомянуто выше, найденные в результате проведения группового анализа симметрии системы уравнений используются для понижения размерности пространства независимых переменных при построении инвариантных и частично-инвариантных решений. В частности, таким образом молено получать автомодельные решения систем дифференциальных уравнений. Недостаток данного подхода к использованию сим-метрий — ограничения по постановке граничных условий, для которых могут быть получены решения исходной системы уравнений.

Актуальность проблемы. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению уравнений двух важных моделей движения жидкости: течения в турбулентном пограничном слое и конвективного течения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии и сил плавучести.

Очень многие технически важные течения являются турбулентными. В таких течениях на главное движение налагается пульсационное движение, в результате чего возникает перемешивание отдельных частей жидкости. Это пульсационное движение в своих деталях настолько сложно, что возможность его теоретического расчета является затруднительной. Между тем перемешивание жидкости, вызываемое пульсационным движением, придает турбулентному течению особенности, резко отличающие его от ламинарного течения. Наблюдения позволяют обнаружить, что при турбулентном течении скорость и давление в фиксированной точке пространства не остаются постоянными во времени, а очень часто и очень неравномерно изменяются. Такие изменения скорости и давления, называемые пульсациями, являются наиболее характерным признаком турбулентности. Так как вследствие сложности пульсационного движения чисто теоретический расчет турбулентного течения до настоящего времени невозможен, то закономерности развитого течения приходится искать лишь для осредненных по времени величин, характеризующих это движение. Появление в уравнениях осредненного турбулентного течения членов, содержащих произведение пульсациоииых компонент скорости, входящих в функцию турбулентного трения, делает их незамкнутыми. На этой почве возникли полуэмпирические теории турбулентности, содержащие как правило две эмпирически определяемые "константы турбулентности". Плодотворное развитие этого направления связано с работами Л. Прандтля (1925) [38], К. Тейлора (1915, 1932), А.Н. Колмогорова (1941). Фундаментальное значение в дальнейшем развитии теории турбулентности имели работы JI. Лойцянского [28], М.Д. Миллионщико-ва [32], Г. Шлихтинга [63]. Классические опыты И. Никурадзе [26] дали обоснование полуэмпирическим теориям и способствовали их развитию. Но тем не менее до последнего времени теория турбулентности не могла обойтись при количественном анализе без опытных коэффициентов, далеко не всегда ясной природы. В настоящей работе сделана попытка исследования основных закономерностей осредненного пристенного турбулентного течения жидкости без привлечения эмпирических коэффициентов. А именно, предлагается использовать метод группового анализа для исследования уравнений модели плоского турбулентного пограничного слоя.

В последнее время расширился круг задач, связанных с так называемыми естественно- или свободноконвективиыми течениями. Естественная конвекция — один из видов макроскопического движения, который интенсивно изучается в современной фундаментальной механике жидких сред. Это связано не только с развитием математического аппарата и средств вычислительной техники, но и, возможно, с тем, что этот характерный вид течений, возникающий под действием сравнительно малых сил плавучести, вызванных малыми градиентами плотности жидкости, находящейся в поле массовых сил, часто встречается в природных условиях и технологических процессах, имеющих широкое применение и познавательную ценность. Именно термоконцентрационной конвекцией вызывается образование пространственно-регулярной по глубине тонкой структуры океана, атмосферы планет и звезд, мантии Земли и других геофизических систем [24]. Конвективные течения часто упорядочены и в горизонтальном направлении. Развитие экспериментальных и теоретических исследований естественной конвекции привело к ее выделению в самостоятельный раздел механики жидкости и газа. Изучению моделей конвекции посвящено множество работ. В качестве примера следует привести исследование модели микроконвекции [41], конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [12], а также стоит отметить монографии [1, 2], в которых наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры. Что касается исследования явления термодиффузии или, так называемого эффекта Соре, то его изучению посвящены работы [17,42,60-62,64]. Результаты исследований в этой области применяются в теплоэнергетике, металлургии, метеорологии, химии, кристаллофизике и. т. д. Действительно, такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования таких моделей с помощью методов группового анализа.

Отметим, что групповой анализ является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений независимо от их типа. Точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве тестовых задач для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Цель диссертационной работы заключается в изучении групповых свойств уравнений двух моделей гидродинамики: турбулентного пограничного слоя Прандтля и термодиффузии с учетом сил плавучести, зависящих от давления, температуры и концентрации; построении инвариантных подмоделей, их интегрировании и физической интерпретации найденных решений.

Методы исследования. Используются методы группового анализа дифференциальных уравнений: алгоритм вычисления допускаемой алгебры операторов и соответствующей группы преобразований, алгоритм групповой классификации, метод построения оптимальной системы noдалгебр, а также алгоритм построения инвариантных решений и соответствующих факторсистем (подмоделей). Кроме того, используются методы общей теории дифференциальных уравнений и численного анализа.

Научная новизна. Впервые проведен групповой анализ модели турбулентного пограничного слоя: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации относительно функции, определяющей касательное напряжение, при условии, что она зависит от двух переменных. Выписаны некоторые инвариантные подмодели, часть которых проинтегрирована в квадратурах. Для случая, когда касательное напряжение зависит произвольно только от одной из переменных, построена оптимальная система подалгебр ©i. На операторе растяжения, вошедшем в оптимальную систему, рассмотрена инвариантная подмодель, описывающая автомодельное решение. Для этой подмодели поставлена краевая задача, которая решена численно, решению дана физическая интерпретация. Также впервые проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси с учетом сил плавучести: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно функции, определяющей силу плавучести. Использование введенной замены переменных позволило существенно упростить исследуемую систему уравнений. Для некоторых полученных специализаций функции, определяющей силу плавучести, на операторах, допускаемых исследуемой системой уравнений, построены факторсистемы, найдены их точные решения. Для двух из полученных решений поставлены граничные условия, решены краевые задачи, дана их физическая интерпретация.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование течений в турбулентном пограничном слое и конвективных течений, групповой анализ дифференциальных уравнений. Проведенное в работе исследование уравнений моделей термодиффузии бинарной смеси и турбулентного пограничного слоя вносит вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данных моделей, а также в теорию описываемых этими моделями явлений. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертации.

Первая глава посвящена исследованию групповых свойств уравнений плоского турбулентного пограничного слоя. Исследованы случаи нестационарного и установившегося течения. Появление в модели турбулентного течения в пограничном слое членов, отвечающих за дополнительное касательное напряжение, делает их незамкнутыми, что, естественно, затрудняет исследование. В работе предлагается считать, что дополнительное касательное напряжение д есть функция продольной пространственной координаты у и производной от продольной компоненты скорости по у. иу. Задача групповой классификации уравнений турбулентного пограничного слоя решалась относительно этой функции: д(у,иу). Была найдена основная алгебра Ли, которая оказалась бесконечномерной в случае нестационарного течения и конечномерной в случае установившегося течения. Выделены ядра основной алгебры Ли в случаях, когда классифицируемая функция д зависит только от иу или д = — иу + а(у), где а(у) ф const — произвольная нелинейная гладкая функция. Результат групповой классификации представлен в виде таблиц, где указаны специализации классифицируемой функции и операторы, расширяющие основную алгебру Ли для найденных специализаций. Нужно особо отметить, что при составлении этих таблиц существенно использовались преобразования эквивалентности, также найденные в работе. Заметим также, что когда классифицируемая функция д = О, исследуемая система описывает движение в ламинарном пограничном слое. Групповой анализ такой системы уже проводился Л.В. Овсянниковым в зависимости от того, является функция давления произвольной или заданной. Результаты, полученные JI.B. Овсянниковым, согласуются с результатами, полученными в данной главе, как в случае нестационарного, так и в случае установившегося течения [34].

Далее построено несколько примеров инвариантных систем на вычисленных операторах для соответствующих специализаций классифицируемой функции. К сожалению, далеко не все полученные факторсисте-мы удается проинтегрировать аналитически. Для случая, когда исходная система описывает стационарное течение и функция турбулентного напряжения зависит лишь от одной переменной, а именно д = д(иу), вычислена оптимальная система подалгебр первого порядка. На операторе растяжения, вошедшем в оптимальную систему подалгебр, построена факторсистема, которая, в отличие от исходной системы, уже является системой обыкновенных дифференциальных уравнений, описывает автомодельное решение и становится проще для интегрирования. Для численного решения этой задачи с использованием метода Рунге-Кутта удалось поставить следующие граничные условия: условия равенства нулю скоростей на стенке (условия прилипания) и равенства нулю турбулентного напряжения вне пограничного слоя. Поскольку граничные условия сформулированы в таком виде, то помимо метода Рунге-Кутта использовался метод пристрелки для поиска начального условия на стенке для турбулентного трения. Следует особо отметить, что в силу произвольности функции д(иу) она была выбрана согласно эмпирической формуле Прандтля: д = ozoUy, где ао = pi2 (р — плотность среды, I — длина пути смешения) — некоторая положительная постоянная, введенная Прандт-лем. Для сравнения найденных характеристик турбулентного течения с ламинарным, на том же операторе растяжения построено автомодельное решение для ламинарного пограничного слоя и сделаны некоторые выводы относительно поведения скоростей, касательного напряжения и толщины пограничного слоя в случае турбулентного и ламинарного течения.

Во второй главе рассматривается другая не менее значимая модель современной гидродинамики: модель конвекции бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии и сил плавучести. После введения новых переменных для температуры (Т = (x~D)T/(aD), где х ф D ф 0 — коэффициент температуропроводности, D ф 0 — коэффициент диффузии, а ф 0 — коэффициент Соре) и концентрации (с = Т+с) система упростилась: уравнения для температуры и концентрации стали иметь одинаковую дифференциальную структуру. Для данной системы была решена задача групповой классификации относительно функции Я, определяющей силу плавучести, с учетом, что она зависит от трех параметров: давления, температуры и концентрации. После построения классифицирующего уравнения стало ясно, что нужно исследовать отдельно три случая: 1) функция R не зависит от давления, 2) функция R зависит от давления линейно, 3) R зависит от давления нелинейно. Результат исследования представлен в виде таблиц, где выписаны специализации классифицируемой функции и операторы, допускаемые исследуемой системой в зависимости от найденных специализаций. Следует отметить, что при составлении этих таблиц существенно использовались преобразования эквивалентности, найденные в работе.

Далее с использованием полученных таблиц групповой классификации были построены некоторые инвариантные решения. Нужно сказать, что инвариантные решения, в основном, строились для функции R, зависящей произвольно лишь от температуры и концентрации, то есть на операторах из ядра. Это позволяет в дальнейшем подставлять выражения для конкретной функции, определяющей силу плавучести, в решения и использовать их в качестве начальных-для каких-либо экспериментов или в качестве тестовых для проверки корректности численных методов. При интерпретации найденных решений можно рассматривать различные постановки задач. Например, движение между двумя плоскими стенками, со свободной границей или с границей раздела. Для одного из найденных стационарных решений была поставлена краевая задача, описывающая течение смеси между двумя твердыми стенками. Граничными условиями для скоростей являлись условия прилипания, для температуры — нагрев стенок до разных температур, для концентрации — отсутствие потока вещества через твердые стенки. Оказалось, что при таких условиях, данное решение описывает некоторое обобщение хорошо известного течения Пуазейля с параболическим профилем скорости. Для другого найденного решения была поставлена задача течения жидкости между твердой стенкой и свободной границей, например, воздухом. Естественно, что граничные условия в данном случае были уже другие. В результате решения задачи с этими граничные условиями оказалось, что решение описывает состояние покоя жидкости при линейной зависимости температуры и концентрации от поперечной координаты.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты групповой классификации уравнений плоского нестационарного турбулентного пограничного слоя.

2. Результаты групповой классификации уравнений плоского стационарного турбулентного пограничного слоя.

3. Точные решения некоторых инвариантных подмоделей уравнений плоского турбулентного пограничного слоя, физическая интерпретация некоторых решений.

4. Результаты групповой классификации трехмерных уравнений конвекции с учетом эффекта термодиффузии и сил плавучести.

5. Точные решения инвариантных подмоделей уравнений термодиффузии и их физическая интерпретация.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

XLV Международной конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2007),

VII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006),

VIII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007),

Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2007, 2008 гг.),

Конференции молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2007, 2008 гг.),

Международной научной конференции "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008" (Красноярск, 2008 г.),

Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике" под руководством профессора В.К. Андреева.

Семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика Л.В. Овсянникова.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [43,48-55].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, который содержит 67 наименований. Общий объем диссертации 98 страниц, включая 9 рисунков и 8 таблиц, которые вынесены в конец соответствующих глав.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. Проведен групповой анализ модели плоского турбулентного пограничного слоя в случаях нестационарного и установивишегося течений. Найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно функции, определяющей дополнительное турбулентное напряжение. Показано, что уравнения модели в случае нестационарного течения допускают бесконечномерную алгебру Ли операторов, для установившегося течения основная алгебра Ли конечномерная, причем обе алгебры отличаются от известных для классических уравнений Прандтля.

2. Для некоторых специализаций функции дополнительного касательного напряжения выписаны инвариантные подмодели течения жидкости в турбулентном пограничном слое, часть из которых проинтегрирована в явном виде. Численно найдено одно стационарное автомодельное решение уравнений модели, ему дана физическая интерпретация.

3. Решена задача групповой классификации трехмерных уравнений термодиффузии относительно функции R, определяющей силу плавучести и произвольно зависящей от трех параметров: температуры, давления и концентрации. Указана замена переменных для температуры и концентрации, с помощью которой уравнение диффузии можно привести к однородному, в результате чего исходная система существенно упрощается. При решении классифицирующих уравнений выделяются три случая зависимости функции R от давления: a) R зависит от давления линейно, b) R не зависит от давления, c) R зависит от давления нелинейно.

Каждый этот случай был исследован отдельно, получены различные специализации классифицируемой функции и операторы, расширяющие основную алгебру Ли. Найденные преобразования эквивалентности позволяют существенно упростить вид функции R.

4. Выделены интегрируемые в квадратурах инвариантные подмодели уравнений термодиффузии для некоторых специализаций функции R. определяющей силу плавучести. Для двух подмоделей, в которых функция R произвольно зависит от температуры и концентрации, поставлены и решены краевые задачи. В случае течения жидкости между двумя твердыми стенками под действием постоянного градиента давления одна из подмоделей описывает обобщение течения пуазейлевского типа с параболическим профилем скоростей при линейном распределении температуры и концентрации в зависимости от поперечной координаты. При задании граничных условий на твердой стенке и свободной поверхности другая подмодель описывает состояние покоя жидкости под воздействием линейно распределенных температуры и концентрации.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с.

2. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. 352 с.

3. Барренблатт Г.И. Турбулентные пограничные слои при очень больших числах Рейнольдса// Успехи математических наук, 2004, Т. 59, № 1. С. 45-62.

4. Бекежанова В.Б. Об устойчивости плоского слоя в модели микроконвекции: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноясрк, 2003.8. биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. 244 с.

5. Бочаров О.Б., Васильев О.Ф., Овчинникова Т.Э. Приближенное уравнение состояния пресной воды вблизи температуры максимальной плотности// Известия АН, 1999, Т. 35, №4, С. 556-558.

6. БЫТЕВ В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса// Численные методы механики сплошной среды. 1972. Т. 3, N2 5. С. 13-17.и. бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. м.: Мир, 1973. 760 с.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1972. 392 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1989. 320 с.

9. ГИЛЛ А. Динамика атмосферы и океана. Т.2, М.: Мир, 1986. с.

10. ГРЮ К.Э., ИВБС T.JL Термическая диффузия в газах. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. 184 с.

11. Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Гидрогазодинамика. М.:Энергоиздат, 1984. 384 с.

12. ЗАЙЦЕВ В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

13. ИБРАГИМОВ Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-.Знание, 1991. 47 с.21. ибрагимов н.х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

14. ИБРАГИМОВ Н.Х. Азбука группового анализа. М.:3нание, 1989. 45 с.

15. Компаниец ji.a., Якубайлик Т.В., Гаврилова Л.В., Гуре-вич К.Ю. Модели экмановского типа в задачах гидродинамики. Новосибирск:Наука, 2007. 156 с.26. кутателадзе С.с. Пристенная турбулентность. Новоси-бирск:Наука, 1973. 228 с.

16. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 734 с.28. лойцянский Л.г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

17. ЛоЙЦЯНСКИЙ Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962. 480 с.

18. Овсянников JI.B. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, Вып. 4. С. 30-55.

19. ОлВЕР П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 639 с.

20. ПУХНАЧЕВ В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации// Моделирование в механике. 1992.Т. 6(23),№ 4. С. 4756.42. рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.:Атомиздат, 1981. 142 с.

21. Родионов А.А., степанова И.В. Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести// Вычислительные технологии, Новосибирск, 2008, Т. 13, № 5,С. 61-69.

22. РЫЖКОВ И.И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005.

23. Рыжков И.И., Андреев В.К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 4. С. 508-517.

24. Сенашов С.И., Киряков П.П., Яхно А.Н. Приложение симмет-рий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск, 2001. 192 с.

25. СЛЕЗКИН Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1995. 520 с.

26. СТЕПАНОВА И.В. Групповая классификация уравнений стационарного плоского турбулентного пограничного слоя// Вестник КрасГУ, 2006, № 1. С. 114-119.

27. СТЕПАНОВА И.В. Инвариантная подмодель уравнений плоского стационарного турбулентного слоя// Материалы конф. молодых ученых ИВМ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2007, С. 30-36.

28. СТЕПАНОВА И.В. Групповая классификация уравнений плоского нестационарного пограничного слоя// Вычислительные технологии, Новосибирск, 2007, Т. 12,№ 6. С. 101-108.

29. СТЕПАНОВА И.В. Групповые свойства уравнений турбулентного пограничного слоя// Тезисы докладов VII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. С. 70.

30. СТЕПАНОВА И.В. Групповая классификация уравнений одной модели конвекции// Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2007. С. 75.

31. СТЕПАНОВА И.В. Об инвариантных моделях термодиффузионных течений// Сборник трудов конференции молодых ученых Красноярского научного центра СО РАН. Красноярск: КНЦ СО РАН, 2008. С. 44-45.

32. СТЕПАНОВА И.В. О некоторых точных решениях модели конвекции с учетом сил плавучести// Материалы конф. молодых ученых ИВМ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2008, С. 10-17.

33. СТЕПАНОВА И.В. Об инвариантных свойствах уравнений модели конвекции// Тезисы докладов XXXIII Дальновосточной математической школы-семинара им. академика Е.В.Золотова, Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2008, С. 99-100.

34. УИТТЕКЕР Э.Т., ВАТСОН Дж.Н. Курс современного анализа. Т.2. М.:Физматлит, 1963. 516 с.

35. ХАБИРОВ С.В. Классификация нелинейных волновых уравнений// Труды института метематики и механики УрО РАН, 2007, Т. 13, № 2. С.1-15.

36. ЧЕРЕВКО А.А, Чупахин А.П. Стационарный вихрь Овсянникова. Препринт №1, Новосибирск: ИГиЛ, 2005, 52 с.

37. ШАШИН В.М. Гидромеханика. М.:"Высшая школа", 1990. 384 с.

38. Шерстянкин П.П., Куимова Л.Н., Толоконцева О.Ю., Хохлов В.В. Потенциальная температура в и плотность р* глубоких персных вод на примере озера Байкал// ДАН, 2001, Т. 378, № 1. С. 98-102.

39. Шерстянкин П.П., Куимова Л.Н., Потемкин В.Л. Основные закономерности термохалинного режима глубинной зоны озера Байкал на основе Т, S-анализа// ДАН, 1997, Т. 355, № 5. С. 638-687.

40. ШЕРСТЯНКИН П.П. Равновесные процессы в природных водах// ДАН, 1998, Т. 360, № 6. С. 819-822.63. шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Издательство иностранной литературы, 1956. 528с.

41. Gebhart В., Mollendorf J.С. Buoyancy-induced flows in water under cjnditions in which density extrema may arise // J. Fluid Mechanics, 1978, V. 89, part 4, P. 13-17.

42. Fushchych W., Popowych R. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. I // Nonlinear mathematical physics. 1994. V. 1, № 1. P. 75-113.

43. Fushchych W., Popowych R. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. II // Nonlinear mathematical physics. 1994. V. 1, № 2. P. 158-188.

44. TRITTON, D.J. Physical Fluid Dynamics. Oxford University Press, 1988. 519 p.