Осесимметричные течения вязко-пластической среды с застойными зонами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



На правах рукописи

Кузнецов Сергей Федорович

ОСЕСПММНТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С ЗАСТОЙНЫМИ ЗОНАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1998

Работа выполнена в Воронежской государственной технологической академии (ВГТЛ)

Нау-жмП руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Д. Чернышов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор 1!. М. Матченко,

кандидат физико-математических наук, доцент Ю. М Мяснянкии

Ведущая организация: Воронежский государственный

технический университет

Защита состоится '' О/сХ&^ъ^ \998 г. в /@ на заседании диссертационного совета К 063.48.18 при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного унй6ерси*етё.

Автореферат разослан

Ученый секретарь /,

диссертационного совета , 1\ \ ■ ] . А.В.Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Данная работа посвящена решению задач установившегося течения вязко-пластической среды между двумя осесимметричнымн поверхностями, которое возникает вследствие вращения одной из поверхностей с постоянной угловой скоростью. Другая поверхность при этом остается неподвижной.

Актуальность темы исследования. Для изучения поведения многих материале», находящих широкое применение в различных отраслях промышленности, используется модель вязко-пластического тела. К таким материалам относятся строительные растворы, смазочные Масла, краски, топливные, пищевые и кондитерские смеси, эмульсии. Кроме того, нефти и густые нефтепродукты ( мазут, пластичные смазки - литол, солидол и т.д.) могут быть отнесены к вязко-пластическим средам. Как вязко-пластические среды ведут себя п процессе обработки при высоких температурах и давлении многие металлы. Исследования свойств вязко-пластических сред находят применение в нефтяном деле, в химической и перерабатывающей промышленностях, в фармацевтике И медицине, при обработке металлов давлением. Не менее актуален расчет технологических процессов, в которых обрабатываемым материалом является вязко-пластическое тело.

В производственных процессах, связанных с перемещением вязко-пластических материалов, при определенных условиях могут возникать застойные зоны - области, где среда остается в жестком состояний. Это явление нежелательно, когда нриходтся иметь дело с перемешиванием пищевых масс. В других случаях образовавшаяся застойная зона может защитить стенки от чимичсски агрессивных сред. Информация о распределении скоростей и грантах возникающих застойных зон, а также механических характеристиках терния необходима для выбора оптимальных режимов обработки материалов, эбладающнх вязко-пластическими свойствами..

Именно с этих позиций задача разработки и использования методов нс-¡ледования деформирования вязко-иластических сред является актуальной и федставляет не только теоретический, но и практический интерес.

Диссертационная работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с науч-шм направлением ВГТА " Теоретические и прикладные задачи уравнений магматической физики " ( Гос. per. №.01870057404) .

Цель работы. Целью работы является исследование течения несжимаемой вязко-пластической среды между двумя осесимметричнымн поверхностями, одна из которых неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой :коростью, и получение качественного и количественного описания процесса сформирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1)пыбор математической модели, описывающей поведение вязко-пластической среды;

2) формулировка краевой задачи для данной модели, учитывая наличие застойных зон;

3) применение специального метода для решения полученной краевой задачи, позволяющего сделать упрощения и получить решение дифференциальною уравнения в частных производных в области с неизвестной г раницей;

4) определение неизвестной границы, отделяющей область течения от области жесткого состояния среды (застойной зоны).

Метод исследования. Для исследования процесса деформирования вязко-пластической среды были использованы методы механики сплошной среды. Получено уравнение течения и сформулированы соответствующие граничные условия. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных было сведено эвристическим методом к специальному итерационному процессу, на каждом шаге которого осуществлялось решение обычными численными методами краевой задачи для обыкновенно! о дифференциального уравнения.

Научная новизна. На основе модели Бингама-Шведова проведено исследование ряда конкретных случаев установившегося осеснмметричного течения вязко-пластической среды с застойными зонами, не встречающееся в публикациях других авторов. Рассмотрены задачи деформирования вязко-пластического материала между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Для отыскания неизвестной границы, отделяющей область течения от области жесткого состояния, предложен прием, основанный на упрощении дифференциального уравнения, описывающего течение среды. Показан способ нахождения характерных значений параметра среды, связанных с процессом возникновения и развития застойных зон.

Практическая значимость. Полученные результаты могут найти применение для вычисления значений реологических констант среды при экспериментальных определениях этих величин в ротационных вискозиметрах, при инженерных расчетах различных случаев течения сред (теория смазок, процессы, связанные с перемешиванием масс и т.д.) и при разработке Проектов различных технологических процессов. Представленный алгоритм решения краевой задачи может быть развит как метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Достоверность и обоснованность результатов работы базируется на аргументированности исходных предпосылок и корректной математической постановке задачи деформирования вязко-нластичсской среды. Полученные в ра-

боте результаты согласуются с физическими представлениями. Правильность функционирования элементов программы проверена путем решения тестовых задач.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- прием для нахождения неизвестной заранее границы, разделяющей область течения.и область жесткого состояния среды;

- решение ряда ранее не исследованных задач установившегося течения вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, которое возникает вследствие вращения одной из поверхностей;

- нахождение характерных значений параметра среды, связанных с возникновением и процессом развития застойных зон;

- выявление влияния геометрических параметров и параметра среды на форму застойной зоны и величину механических характеристик течения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Воронежской государственной технологической академии и Воронежском государственном университете, на региональном межвузовском семинаре "Процессы теплообмена в энергомашиностроении" (г. Воронеж, 1996), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (1997), а также на научных конференциях ВГТА (1993, 1994, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы представлены в 6 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, а также списка литературы из 118 наименовании и содержит 87 страниц текста. Работа включает 20 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определены научная новизна и практическая значимость, аннотированы основные положения работы по главам, дан обзор работ, касающихся темы диссертации.

Первичные представления о модели вязко-пластической среды связаны с работами Ф. Шведова и Е. Бингама, которые обнаружили комбинацию вязких и пластических свойств у некоторых материалов. Г. Генки и А. Ильюшин обобщили гипотезу Шведова-Бннгама. Ими же предложены дифференциальные уравнения движения вязко-пластических сред. В обзоре приведены задачи, для которых было проинтегрировано уравнение вязко-пласшческою течения, и задачи, для которых получены точные аналитические решения. Проанализированы задачи, связанные с пограничным слоем. 1\к_смо]рени за мчи праща-

тельного движения ни зко-пластических сред и тип задач, где течение среды вызвано вращением одной из поверхностей (соосные цилиндры). Отмечено, что основная трудность при решении задач течения вязко-пластической среды связана с возникновением застойных зон - областей, где среда остается в жестком состоянии, т. е. не деформируется. При этом граница застойной зоны заранее неизвестна.

Вариационный принцип вязко-пластических течений был сформулирован Дж. Олдройдом, П. Прагером и А. Ильюшиным. Но возможность вариационной постановки задач долгое время не использовалась. В обзоре рассмотрен ряд работ Г! Мосолова и В. Мясникова, в которых обоснована эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок задачи и применены вариационные методы к исследованию движения вязко-пластических сред.

Наличие жестких областей при дифференциальной постановке приводит к" краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений в частных ироизиодных и облас1ях с неизвестными границами. При вариационной постановке и этом случае получают задачу ошскания минимума нелинейного не-дифференцируемого функционала. 11оэтому для решения задач вязко-Пластического течения разрабатывают н используют приближенные методы. В обзоре обсуждается применение некоторых приближенных методов к'решению задач в рамках как вариационной, так и дифференциальной постановок.

В первой главе рассмотрено течение вязко-пластической среды между двумя осееимметричными поверхностями. Приведены основные соотношения для вязко-пластических сред, получено уравнение движения несжимаемой вязко-пластической среды и сформулирована краевая задача для случая течения без застойных зон и с застойными зонами.

Для изучения математическими методами материалов, обладающих вязко-пластическими свойствами, используется модель вязко-пластического тела Ьингама-Шнедова, реологическое уравнение которого.имеет вид

т = То + Ц у • 0)

Течение возникает, если интенсивность касательных напряжений превосходит предел текучести То.

При отсутствии внешних сил и сил инерции уравнения движения произвольной несжимаемой сплошной среды запишем в виде

о,/,-0, ' (2)

П. = 0 ((=1,2,3). (3)

Уравнения (2) - уравнения равновесия, а (3) -. условие несжимаемости.

Область течения вязко-пластической среды ограничена двумя осеспм-мсфнчнымн поверхностями. Одна из поверхностей неподвижна, другая вра-ииеич с постоянной угловой скоростью о,,. В сферической системе координат

отличной, от нуля будет лишь одна (окружная) компонента скорости течения

среды

V*=V=V(pfi). (4)

Контуры сечений подвижной и неподвижной поверхностей, между которыми заключена вязко-пластическая среда , обозначим Г0 и Г| соответственно и зададим уравнениями

р = Л,,(О), р = Я|(0). (5)

. Скорость течения среды V связана с угловой скоростью со следующим

соотношением:

(''- р oi(p,0) sin 9 (6)

Для случая течения без застойных зон имеем граничные условия

co|f. =(.)„, со|Г( - 0. (7)

Из уравнений равновесия для вязко-пластической среды останется лишь одно, которое в сферической системе координат имеет вид

Р(У 1 до. 1

™ 1 ti.- 1,

+ --

-(3aM + 2a„ctg0) = o. (8)

гр р сО р *

Подставив значения компонент тензора напряжений и перейдя к безразмерным переменным

и - с1/(0о, >' ~ рЧ, получим следующую краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных:

/ . 4 -л

4 ü3B1+3üJ„clg0 1

Ш + -ТП ^----------Т---------+ --— ——

/• ' г' Н sin 0

Ш„Шг, f-t3JrTOe + tnrrom + 3rTOr-

- 2 Щ Ш,_ГО„ + г1 (л! ГОв)с1В9

= (9)

• 4-. = «. 4,=°. ■ (,0)

где Н = рсо0/То - безразмерный параметр. Величина = // носит название параметра Сен-Венана.

Основная особенность для вязко-пластических течений связана с наличием областей, где среда остается в жестком состоянии. Внутренней границей области вязкого течения будет вращающаяся поверхность. Внешняя граница заранее неизвестна и определяется в ходе решения. Контур этой границы обозначим Г и зададим уравнением

г = Я(9).

Краевые условия для случая течения с застойными зонами запишем й

виде

ra|lu = 1, ra|r - 0, ■ ды/дп[ = 0, (И)

где п - нормаль к границе застойной зоны.

Таким образом, для случая течения с застойными зонами функция га будет решением краевой задачи (9), (11) для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с частными производными и с граничными условиями, частично заданными на неизвестной границе.

Во второй главе представлен процесс приближенного решения оеесим-метричных задач вязкопластпчности.

Для решения полученной краевой задачи (9), (10) используется эврисги-ческий метод, предложенный А.Д. Чернышевым ( Об одном эвристическом методе решения нелинейных задач эллиптического типа для двусвязных областей // 1IMM. 1978. Т. 42, вып. 2. С.321-326). Идея метода заключается в использовании информации об искомом решении при постановке задачи с целью ее упрощении.

Запишем приближенное уравнение кривых, на которых искомая функция тп(/\0) постоянна, в виде

(12)

11а границах области течения среды функция га постоянна, поэтому

(13)

Рассматривается случай, когда имеющаяся информация о поведении искомой функции ra(r,U) позволяет приближенно записать уравнение линий уровня функции га, на которых функция ш изменяется мало.

В задаче (9), (1Ü) от переменных (г, 0) перейдем к переменным (^,>1). Уравнение (9) и граничные условия (10) в новых переменных запишем в форме

(И)

ш15.о = °> Ч-.= |-

Здесь F-аналитическая функция всех своих переменных.

В общем случае функция та будет зависеть не только от £,> по и от неременной т|. Но согласно способу введения переменной ^ изменение га вдоль кривой ' £ = const должно быть малым. Поэтому при нахождении нулевого приближения га" положим

гоп=топп=го4п=0.

После замены переменных (г, 0) -* Ц,->]) уравнение (9) с учетом равенства пулю производных функции га по переменной i] примет внд обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка

1

■ X

ЯапЭ

Ш- + (г1+ 4ГI + ^ + ' Щ. +

• 05)

с граничными условиями

Ш1 =0, Ш1 =1. (16)

к-о 14-1

При интегрировании уравнения (15) переменная г) играет роль параметра.

Обозначим функцию 0) из (12) через г, 0), так как эта функция была использована при получении нулевого приближения. После нахождения ш"( с", т]) предположим, что более точное уравнение кривой, вдоль которой решение га( г, 0 ) не изменяется, имеет вид Ъ, = та°( т])- Введем переменную

Делая замену переменных ( г, в) —> (£', т|) и повторяя рассуждения, подобные проведенным при получении уравнения (15), придем к краевой задаче для первого приближения, которая аналогична задаче (15), (16):

(та;,,, га;,, £,71)=о,

(17)

га'| =о, га'| =1.

Для нахождения к-го приближения необходимо сделать замену пере-= гаы( 5*"', п)> 08)

менных (/•, 0) -> (¡;*, т])! где

и положить

ЭШ1 д2 Ш* д! Ш*

511 Л]3 Щ'«?!] В результате получим краевую задачу

= 0.

та' =о, га1 =1.

Ц'.о Ч'-и

Для равномерно сходящегося итерационного процесса выполняется

к со

В работе А. Д. Чернышова доказано, что если последовательность приближений {в/} вместе со всеми своими первыми и вторыми частными производными равномерно сходится в области течения к некоторой функции га, дважды непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных, то предел этой последовательности будет решением исходной задачи (9), (10).

Наиболее легко реализуемый итерационный процесс получается, если для каждого к положить г\=0.

При таком выборе переменной 11 уравнение (15) после обратной) перехода от переменных п) к переменным (г. 0) останется линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

til +

£ Т,-5оо "5- jpil ' ' -5г) //si„0

= 0 . (20) с граничными условиями

=1; 4, =°- . ' t-l) Переменная 0 входит в (20) в качестве параметра.

При переходе от переменных (г, 0) к переменным (с, т0 функция п будет решением краевой задачи для линейного обыкновенного.дифференциального уравнения вида (15).

Обозначим через А оператор, соответствующий процедуре решения этой краевой задачи

ю = Л(5). .

Если в качестве переменной \ выбрать саму неизвестную функцию га, то . tu = А(тп). (22)

Функция то является неподвижной точкой оператора А, и решение краевой задачи (9), (10) эквивалентно задаче отыскания такой невырожденной в области течения замены переменных

га=го(г,в), Л=Л('-0),

чтобы функция то(г,0) была решением операторного уравнения (22).

Процесс (18) соответствует решению уравнения (22) методом простой ш ерацни. Вместо метода простой итерации для ускорения сходимости последовательности приближений к решению используется схема, основанная на комбинации метода Эйткена-Стеффенсена и простейшего однопараметриче-ского итерационного процесса.

Для решения краевой задачи (9), (11), которая описывает случай течения с застойными зонами, перейдем к > • , сменным (£, ц) и к уравнению (20) добавим граничные условия (11), последнее из которых заменим

ч|г=о.

Исходную замену переменных для нахождения нулевого решения возьмем в виде

5°= у-' п = 0, (23)

где г - Л,(0) - уравнение "начальной" формы Гн контура Г, то есть контура границы, отделяющей область течения от застойной зоны, форма которой, как было отмечено выше, заранее неизвестна. Для ее определения в уравнении (9) положим

Ио = таад = та,у = 0. В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение

га + — га---^т-7-0 (24)

"г ' Нг'ь ¡п0 с граничными условиями

та|г> = 1, та), „ = 0, га,|г=0. (25)

Решая краевую задачу (24), (25), найдем формулу распределения скоростей

.п =--!-С-—+ 31п —-1!, (26)

ЗЯбнМ/-' Л. ) где радиус зоны распространения течения Я, является решением трансцендентного уравнения

^-31п—= 1 + ЗЯ5Н10. (27)

< К*

В качестве "начальной" формы контура внешней границы области teчe-ния Г можнонрннять Л.-решение уравнения (27).

Выражение (26) дает аналитический вид приближенною решения, соответствующего одной простой итерации.

Решение задачи (20), (11) при фиксированных значениях 6 находится с помощью метода конечных.'разностей. Полученная система линейных алгебраических уравнений, учитывая трехдпагоналытость ее матрицы, решается методом прогонки.

Получив распределение скоростей, необходим > на границе области течения проверить выполнение условия

и для уточнении формы границы провести деформацию контура Г°. После чего повторить вычисления.

Используя найденное распределение угловых скоростей, можно вычислить некоторые механические характеристики, которые имеют практическое значение при расчетах различных случаев вязко-пластического течения: момент сил трения, действующих на вращающейся поверхности, и объем среды, увлекаемой н движение вращением поверхности.

В третьей главе проведено исследование ряда задач установившегося вращательного движения вязко-пластической среды между двумя осесиммет-ричными поверхностями. Рассмотрены задачи о течении в области между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Внешняя поверхность (сфера) остается неподвижной, а внутренняя вращается с постоянной угловой скоростью.

Для решения вышеперечисленных задач был использован метод, описанный во второй главе. В соответствии с представленным алгоритмом сделан переход к новым переменным (!;,г|). Для случая течения с застойными зонами получена краевая задача (20), (II). На первом шаге итерационного процесса сделана замена (23). Для нахождения "начальной" формы контура границы застойной зоны использовано уравнение (27). Найдено численное решение для данных задач при определенных значениях параметров, характеризующих геометрию области течения.

Анализируя полученные решения, можно сделать следующее описание застойной зоны, заметив, что форма ее поверхност и зависит от величины параметра //.

1. Концентрические сферы.

При малых угловых скоростях, когда II меньше критического значения //", область течения среды находится между внутренней сферой и поверхностью застойной зоны, которая не касается внешней сферы. При увеличении значения параметра Н поверхность застойной зоны приближается к внешней сфере и при //= //' касается сферы на эква торе. При //>//'застойная зона разделяется на две симметричные относительно плоскости экватора части.

Область застойной зоны при любом значении параметра Я всегда примыкает к внешней сфере и имеет конусообразную форму, обращенную острой вершиной от внешней сферы к внутренней. Вершина этого конуса касается полюса внутренней сферы. В данном случае застойная зона сушестнует при любом значении параметра Я и находится в окрестности полюсоп подвижной и неподвижной сфер.

2. Сфера и эллипсоид.

Сфера и эллипсоид касаются друг друга в полюсах.

Зарождение застойной зоны происходит на экваторе сферы н виде точки при некогором критическом значении Я параметра Я. При уменьшении значения Я застойная зона увеличивается в размерах и распространяется в направлении полюсов. Крайние точки застойной зоны не достигают полюсов ни при каких значениях Я. В окрестности полюсов вязко-нластическая среда находится в состоянии течения.

3. Сфера и параболическое тело.

Параболическое тело образовано двумя параболоидами вращения, касающимися своими вершинами полюсов сферы и симметричным» относительно экваториальной плоскости.

Зарождение застойных зон происходит на сфере в точках, соответствующих углам 0* и л-0 , которые откладываются от оси вращения, при некотором кри тическом значении Я параметра Я. При уменьшении значения Я зоны увеличиваются в размерах и распространяются в направлении полюсов и экватора. При Я = Н"< Я* они смыкаются на экваторе. Дальнейшее увеличение значения // ведет к росту застойной зоны. В окрестности полюсов вязко-пластическая среда пребывает в состоянии течения.

4. Сфера и коническое тело.

Коническое тело состоит из двух симметричных относительно экваториальной, плоскости прямых круговых конусов. Вершины конусов касаются соответственных полюсов сферы.

Застойные зоны возникают на сфере при некотором критическом значении Я* параметра Я в точках, соответствующих углам 0* и л-0', и распространяются в направлении, полюсов и экватора при уменьшении значения Я. При Я= Н"< Я* происходит их смычка на экваторе сферы. При дальнейшем уменьшении значения Я зона продолжает увеличиваться в размерах, приближаясь крайними своими точками к полюсам сферы. В этом случае (при малых значениях параметра Я ) в окрестности полюсов существуют застойные зоны, граница которых имеет конический вид.

По найденному полю скоростей для каждого случая рассчитаны Механические характеристики течения. Припеденм зависимости момента сил тре-

иия, действующих иа вращающейся поверхности, и объема среды, увлекаемого в движение вращающимся телом, от значений параметра Н.

Рассмотрена возможность продолжения решения в жесткую обпас1ь на примере задачи для концентрических сфер.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ •

Основные результаты работы и выводы следующие:

1. Для исследования процесса деформирования вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями получено дифференциальное уравнение течения ¡1 сформулирована краевая задача для случая течения без застойных зон и с застойными зонами.

2. Применительно к случаям осесимметричного течения описан эвристический метод приближенного решения задачи деформирования вязко-пластической среды, в основе которого лежит идея об использовании имеющейся информации о поведении искомого решения для упрощения исходных уравнений. Решение найдено с помощью организованного итерационного процесса, на каждом шаге которого решалась одна краевая задача для линейною обыкновенного дифференциального уравнения. Приближенное решение, соответствующее одной простой итерации, получено в аналитическом виде.

3. Решение задач деформирования (течения) вязко-пластических сред связано с необходимостью отыскания неизвестной границы, отделяющей область вязкого течения от области жесткого состояния. Для определения формы границы предложен простои прием, основанный на некотором, упрощении дифференциального уравнения, описывающего течение среды.

4. Для ускорения сходимости последовательности приближений к решению краевых задач использована схема, комбинирующая метод Эйткена-Стеффенсена и простейший однопараметричсский итерационный процесс.

5. Показан способ нахождения характерных значений параметра среды, связанных с возникновением и процессом развития застойных зон.

6. Проведено численное исследование ряда конкретных случаев установившегося течения вязко-пластической среды с застойными зонами. Рассмотрены задачи деформирования вязко-пластического материала между двумя концентрическими сферами, между сферой и эллипсоидом, между сферой и параболическим телом, между сферой и коническим телом. Для этих задач определены распределение угловых скоростей, форма границы застойной зоны, момент сил трения, действующих на поверхности вращающегося тела; объем среды, увлекаемый вращающейся поверхностью.

7. Выявлено влияние геометрических параметров и параметра среды на форму застойной зоны и величину механических характеристик течения. Информация о распределении скоростей Частиц и механических характеристиках течения необходима для выбора оптимального режима управления технологическими процессами, связанными с обработкой вязко-пластических материалов.

8. Результаты работы можно использовать при инженерных расчетах в теории сМаэок, при изучении вискоэиметрнческих течений, 6 технологических процессах перемешиваний масс. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны При решении других подобных задач, а представленный алгоритм нахождения решений краевой задачи может быть развит как метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Основные материалы, отражающие результаты диссертационной рабо-ц.|, изложены в следующих публикациях:

1. Кузнецов С.Ф., Чернышев А.Д. О движении вязко-пластической среды между двумя сферическими поверхностями // Матер. XXXIII отчет, науч. конф. за 1993 год / Воронеж, технол. МЙ-т. - Воронеж, 1994. - С. 283.

2. Кузнецов С.Ф., Чернышев А.Д. Исследование деформирования вхэ-ко-пластического материала между двуМя сферами II Матер. XXXIV отчет, науч. конф. за 1994 год / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 1994. - С. 290.

3. Кузнецов С.Ф. Образование застойных зон между дйумя вращающимися эллипсоидальными телами // Процессы теплообмена В энергомашиностроении: Тез. докл. регион. межвуз. семинара / Воронеж, гос. *ехн. уя-т. - Воронеж, 1996. - С. 63.

4. Кузнецов С.Ф., ЧёрйЫШов А.Д. Эволюция застойных зон между двумя вращающимися эЛлнптйЧескнмй поверхностями // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Школы I Воронеж. Кос. ун-т. -Воронеж, 1997, - С. 100.

5. Кузнецов С.Ф. Движение вязко-пластической среды между сферой и коническим телом внутри сферы // Матер. XXXV отчет. науЧ. конф. за 1996 год. В 2 ч. / Воронеж, гос. техйол. акад. - Воронеж* 1997.- Ч. 2. - С. 41. :

6. Кузнецов С.Ф., Чернышов А.ДВращение сферического тела в неограниченной вязко-пластической среде // Современные проблемы механики ■ прикладной математики: Тез. Докл. шкоЛЫ / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1998.-С. 153.

Воронежская государственная технологическая академия

На правах рукописи

Кузнецов Сергей Федорович

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

С ЗАСТОЙНЫМИ ЗОНАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Чернышов А.Д.

Воронеж - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

С.

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................3

1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ................................................................................................................................................................................................................19

1.1. Основные соотношения для вязко-пластических сред............................................19

1.2. Постановка задачи....................................................................................................................................................................21

1.3. Уравнение течения несжимаемой вязко-пластической среды....................22

1.4. Застойные зоны............................................................................................................................................................................25

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ..........................................................................................................................................................28

2.1. Метод решения..............................................................................................................................................................................28

2.2. Реализация процесса решения для случая течения с застойными зонами............................................................................................................................................................................................................35

2.3. Механические характеристики течения..............................................................................................41

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ............43

3.1. Установившееся течение вязко-пластической среды между двумя концентрическими сферами................................................................................................................................43

3.2. Течение вязко-пластической среды между сферой и эллипсоидом 54

3.3. Течение вязко-пластической среды между сферой и параболическим телом..............................................................................................................................................................................................59

3.4.Течение вязко-пластической среды между сферой и коническим телом..............................................................................................................................................................................................................65

3.5. Продолжение решения в жесткую область..................................................................................70

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................................................74

ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................................................................77

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе исследуются задачи установившегося течения вязко-пластической среды между двумя осесимметричными поверхностями, которое возникает вследствие вращения одной из поверхностей с постоянной угловой скоростью. Другая'поверхность остается неподвижной.

Модель вязко-пластического тела используется для изучения поведения многих материалов, находящих широкое применение в различных отраслях промышленности. К таким материалам относятся строительные растворы, смазочные масла, краски, топливные, пищевые и кондитерские смеси, эмульсии. Кроме того, нефти и густые нефтепродукты (мазут, пластичные смазки - литол, солидол и т. п.) могут быть отнесены к вязко-пластическим средам. Как вязко-пластические среды ведут себя в процессе обработки при высоких температурах и давлении многие металлы. Исследования в области вязко-пластичности находят применение в нефтяном деле, в химической и перерабатывающей промышленностях, в фармацевтике и медицине, при обработке металлов давлением. Не менее актуален расчет технологических процессов, в которых обрабатываемым материалом является вязко-пластическое тело.

В производственных процессах, связанных с перемещением вязко-пластических материалов, при определенных условиях могут возникать застойные зоны - области, где среда остается в жестком состоянии. Это явление нежелательно, когда приходиться иметь дело с перемешиванием пищевых масс. В других случаях застойная зона может защитить стенки от химически агрессивных сред. Информация о распределении скоростей и границах возникающих застойных зон, а также механических характеристиках течения необходима для выбора оптимальных режимов обработки материалов, обладающих вязко-пластическими свойствами.

Именно с этих позиций задача разработки и использования методов исследования деформирования вязко-пластических сред является актуальной и представляет не только теоретический, но и практический интерес.

С позиции механики сплошной среды материалы, у которых наряду с пластическими обнаруживается присутствие и вязких свойств, с достаточной степенью точности для инженерных расчетов могут быть описаны упруго-вязко-пластичной моделью. Ознакомиться с теорией вязкопластичности и примерами использования вязко-пластических сред, найти обширную библиографию и обзоры полученных результатов можно в работах [14, 24, 53, 55, 61, 66, 77, 78, 88].

Сен-Венаном [82] была отмечена возможность получения уравнений для изучения движений жидкости, в которой существуют касательные напряжения двух типов: одни - зависящие от скорости (вязкие) и другие - не зависящие от скорости (жесткопластические), путем прибавления к компонентам напряжений для жесткопластической среды слагаемых, пропорциональных компонентам тензора скоростей деформации и соответствующих трению в вязких жидкостях.

Однако, интерес к вязко-пластической модели возник на рубеже XIX-XX столетий как в связи с запросами промышленной технологии, так и с интересами коллоидной химии и биологии. В работах Ф. Н. Шведова [115], Е. Бин-гама и Г. Грина [101] было показано, что ряд реальных материалов обладает свойствами не только вязкой жидкости, но и упруго-пластического тела. К такому выводу пришел Шведов в 1889 году, исследуя поведение коллоидных дисперсий. В 1919 году Бингам и Грин обнаружили комбинацию пластичности и вязкости у масляной краски.

Модель вязко-пластической среды впервые была предложена Шведовым [116] и, независимо от него, Бингамом [102] для описания движения структуро-образующих суспензий в условиях чистого сдвига.

Кроме того, возрождение интереса к модели вязко-пластической среды было обусловлено технологическими задачами обработки металлов давлением при достаточно высоких температурах [19, 36, 37]. Г. Генки [19] и А. А. Ильюшин [37] обобщили гипотезу Шведова-Бингама, предложенную для случая чистого сдвига. Ими были предложены дифференциальные уравнения движения несжимаемых вязко-пластических сред. А. А. Ильюшиным [37], Дж. Олдрой-дом [107] и В. Прагером [111] был сформулирован вариационный принцип вязко-пластических течений. В работе [39] с применением условий пластичности Мизеса получены уравнения пространственного деформирования вязко-пластичных сред. Различные формы уравнений движения даны в [53]. В [5] получены дифференциальные уравнения движения сжимаемых вязко-пластических сред с использованием уравнения состояния Г. Н. Ляхова. В работе [72] с использованием кусочно-линейных потенциалов производится линеаризация уравнений движения вязко-пластической среды. Уравнение пространственного движения при кусочно-линейных потенциалах, соответствующих максимальному напряжению, рассмотрено в [33]. Физическая теория вязкопластичности развита в работах [40, 73, 74]. В [52] предложена вязко-пластическая модель для описания поведения грунтов. В [88] обсуждаются различные обобщения реологического уравнения Шведова-Бингама. Полная система уравнений осе-симметричной задачи для вязко-пластичной среды, вязкое сопротивление которой описывается законом Ньютона, получено в работе [18].

Известно небольшое число задач, для которых было проинтегрировано уравнение стационарного вязко-пластического течения вещества [102] и получено точное решение. Как правило, при их решении отличной от нуля является лишь одна компонента скорости. В основном решены одномерные стационарные и нестационарные задачи для вязко-пластических сред, приводящиеся к линейным уравнениям. Основная сложность, возникающая при решении задач деформирования вязко-пластических сред связана с тем, что в области, заполненной средой, часть среды не деформируется и все время остается в жестком

состоянии. Эту часть называют застойной зоной. В жестких зонах касательные напряжения ниже предела текучести. Уравнение границ застойных зон заранее неизвестно и определяется в процессе решения задачи.

Задача об установившемся течении в круглой трубе под действием перепада давления была решена в [103], а позднее в [36]. Было получено распределение скоростей, выведена формула для расхода среды, найдены размеры жесткого ядра. В работе [12] получено точное решение задачи о течении вязко-пластической среды под действием постоянного перепада давления в трубах некругового сечения.

В [15] решена задача о стационарном движении через щелевой и кольцеобразный капилляры. В работе [109] приведены некоторые точные решения о прямолинейном установившемся течении вязко-пластической среды между двумя цилиндрическими поверхностями.

В [113] найдено соотношение между крутящим моментом и угловой скоростью вращения внешнего цилиндра при установившемся течении в зазоре между двумя вращающимися соосными круговыми цилиндрами. Другие примеры точных решений для стационарных течений вязко-пластического материала в трубах и между вращающимися коаксиальными цилиндрами приведены в [68].

Продольное движение в вязко-пластической среде круглого цилиндра под действием постоянной приложенной к нему силы исследовано в [87]. В [62] линеаризовано уравнение движения при помощи преобразования Лежанд-ра и получены точные решения задачи о продольном установившемся движении бесконечно длинного цилиндра в безграничной вязко-пластической среде. Решение задачи о вращении круглого цилиндра в вязко-пластичной среде приведено в [53].

В [16] найдено решение задачи о течении вязко-пластического материала по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Определена толщина слоя, при которой течение не возникает.

Задачи о течении вязко-пластической среды в условиях сложного сдвига представлены в [9, 63, 112]. Рассмотрены задачи о течении в плоском зазоре и между двумя коаксиальными круговыми цилиндрами. Причинами течения являются: для первого случая - перепад давления и движение одной из плоскостей, и перепад давления и вращение внутреннего цилиндра для второго. Характер возникающего течения исследован в зависимости от соотношения между этими параметрами.

Одномерные стационарные течения вязко-пластической среды при нелинейной вязкости изучались в работах [49, 93]. Рассмотрено течение, вызываемое продольным движением цилиндра [49] и течение в области, клинообразной в плане [93].

Установившееся течение внутри двугранного угла исследовано в работах [95, 96]. В [95, 97] решена задача о деформировании вязко-пластического материала между соосными конусами.

Вращательное движение вязко-пластичных сред рассмотрено в [53, 78]. Формулирование граничных условий при вращательном движении вязко-пластических сред и задачи, связанные с теорией ротационных вискозиметров, даны в монографии [1].

Стационарному вращению осесимметричных тел в неограниченной вязко-пластической среде посвящены работы [2, 4, 25]. При этом рассматривались простейшие осесимметричные тела: сфера [4], цилиндр [2], конус [25].

В [48] рассмотрен вопрос о движении вязко-пластичной жидкости в зазоре коаксиальных цилиндров при вращении внутреннего цилиндра. Теоретическое решение задачи течения нелинейной жидкости для аналогичного случая получено в [90]. В [29] рассмотрено плоское осесимметричное вращение линейной вязкопластичной среды над круглым отверстием. В [26] исследовано течение между жесткими вращающимися параллельными дисками. Течение среды на вращающемся конусе, а также в зазоре между соосными конусами одинакового раствора, дано в [27]. В работе [80] рассмотрено течение вязко-

пластической среды, примыкающей к цилидру, вращающемуся с переменной угловой скоростью. Найдены распределение скоростей течения и радиус его распространения.

Если коэффициент вязкости вязко-пластической среды стремится к нулю, то вязко-пластическое течение локализуется внутри сравнительно узких областей, заключенных между жесткой границей и областями жесткого состояния среды. Возникают условия пограничного слоя, который впервые для плоских течений был проанализирован в [108] в задаче об обтекании пластины потоком вязко-пластической среды. Полная постановка задачи обтекания затупленных тел вязко-пластической средой рассмотрена в работе [64]. Теоретические выводы [64] подтверждены экспериментальными исследованиями [10,11]. Показано, что при определенных условиях впереди затупленного тела при его обтекании существует передняя застойная зона, движущаяся как твердое целое вместе с ним. Некоторые задачи, связанные с пограничным слоем на двумерных поверхностях, рассмотрены в [3]. Исследование пограничного слоя при сдавливании вязко-пластической среды жесткими плитами выполнено в работе [65]. Уравнения пограничного слоя нелинейной вязко-пластичной среды на произвольной криволинейной поверхности выведены в [100].

В [41] с использованием приближений, принятых в теории пограничного слоя, исследуется стационарное вращение произвольного выпуклого осе-симметричного тела. Получены общие формулы для толщины зоны сдвигового течения, касательного напряжения на поверхности вращающегося тела, крутящего момента и объема среды, увлекаемого телом. Используя результаты [100] в работе [42] исследовано стационарное вращение твердой сферы в нелинейно-вязкопластической среде методами теории пограничного слоя. Отмечено, что полученные результаты согласуются с [41].

В [79] рассмотрено вращение буровой колонны в глинистом растворе, являющейся нелинейной вязко-пластической средой Гершеля-Балкли. Выявлен критерий существования застойной зоны. В [104] рассчитаны ламинарные осе-

симметричные течения вязко-пластичной жидкости с использованием реологической модели Гершеля-Балкли. Гидродинамика ламинарного изотермического слоя в сферической паре трения рассмотрена в [70].

В работе [37] была отмечена возможность применения метода Ритца к построению приближенного решения для течения вязко-пластической среды. Но, не смотря на это, возможность вариационной постановки соответствующих задач долгое время не использовалась. Основная трудность применения вариационных методов к теории движения вязко-пластических сред состояла в установлении эквивалентности традиционной постановки задачи в терминах дифференциальных соотношений некоторой задаче о минимуме функционала.

Возможность такой связи отмечалась в [37, 107]. Однако в этих работах не рассматривался основной для вязко-пластической среды случай, когда в области, заполненой средой, существуют области жесткого состояния.

С выходом работ [55, 56, 57, 58, 59] положение изменилось. Было показано, что вариационная постановка обладает рядом преимуществ: отпадает необходимость в записи дополнительных краевых условий на неизвестных границах, отделяющих области течения от областей, внутри которых среда не деформируется. Определение этой границы представляет одно из основных затруднений при численном исследовании задачи.

В работе [55] проведено качественное исследование характера установившегося течения несжимаемой вязко-пластической среды в трубах произвольного поперечного сечения, доказаны теоремы существования и единственности решения, установлены необходимые и достаточные условия существования решения с отличной от нуля скоростью. Доказано существование хотя бы одного жесткого ядра внутри области течения. Отмечено, что из-за существования областей жесткого состояния среды функционал является недифферен-цируемым, и переход от вариационного принципа к соответствующим уравнениям Эйлера требует дополнительного исследования. В [54] дано обоснование эквивалентности дифференциальной и вариационной постановок задачи.

В [56] рассмотрено существование застойных зон при течении в трубах. Дана оценка кривизны границ застойных зон и жестких ядер. Сформулированы необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет функция, минимизирующая исходный функционал. Показано, что уравнение Эйлера применимо в областях, для которых градиент скорости отличен от нуля.

В [58, 59] даны примеры использования вариационного асимптотического метода. В [61] содержится последовательное изложение механики жестко- и вязко-пластических сред на основе неклассического вариационного исчисления.

Исследованию течений вязко-пластической среды методом вариационных неравенств посвящены работы