Метод возмущений в задачах деформируемых сложных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РТА Ой

на правах рукописи

Горбачева Наталья Борисовна

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СЛОЖНЫХ СРЕД

пециальность:

01.02.04 — механика деформируемого твердого тепа.

штореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Воронеж -1998

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Л.Спорыхин

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор член корреспондент РААиС М.И. Ерхов

кандидат фттожо-математттагских наук, доцент А. И. Шашкин

Ведущая организация:

Конструкторское бюро химавтоматики г. Воронеж

Защита состоится 26 июня 1998 ¿ода, в 10 часов на заседании сов К 063.48.13 при Воронежском государственном университете по адресу: 39Ф г. Воронеж, Университетская площадь, I.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского госуд ственного университета.

Автореферат разослан 24 года .

Общая характеристика, работы

Настоящая диссертационная работа посвящена построению приближен-ого решения задач типа JI.A. Галина-Д.Д. Ивлева для модели упруго-вязко-ластического тела при произвольном упрочнении. Предложенный метод ос-овывается на идее разложения всех функции по малому параметру, если такой ходит в математическую модель рассматриваемого процесса.

Актуальность темы. При обработке металлов давлением и исследовании оведения конструкции из металлов, грунтов и т.д. необходимо для повышения эчиости предсказания использовать более сложные математические модели, эторые описывали бы. с достаточной степенью точности процессы и явления, настоящее время нет универсальных методов решения задач упрочняющегося труго-вязко-пластического тела. Если в теории идеальной пластичности раз-зботан ряд эффективных методов решения задач, то в теории упрочняющегося труго-вязко-пластического тела соответствующие методы развиты в значи-льно меньшей мере.

Несмотря на имеющиеся в настоящее время средства вычислительной хиикн. позволяющие решать многие задачи численным методом тем не менее. 1жпое значение имеют разработки методов приближенных решений для ог-■льных классов задач, которые давали бы решения в виде сравнительных эостых аналитических выражений. Развитие исследований в этом направлена связано с именами: Б.Д. Аннина, М.Т. Алимжанова, М.А. Артемова, Г.И. лкоицева, М. Ван Дайка, С.А. Вульман, ЛА. Галина, А.Н. Гузя. Г.Д. Деля, А. Друянова, Л.В. Ершова. Д.Д. Ивлева, АЛ. Илыошина, А.Ю. Ишлинско-, Д.Д. Клюшникова, A.B. Ковалева, А.Х. Найфс, В. Прагера, А.Н. Спорыхи-1, Г.П. Черепанова, Ю.Д. Цветкова и др.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-ис-едовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воро-жского государственного университета в рамках темы «Разработка фунда-:нтальных математических моделей и эффективных численных методов реше-

ния статических и динамических задач течения и деформирования сред ело» ной структуры» (код по ГАСНИТИ 50.53/08).

Цель работы. Разработка метода приближенного решения плоских зада теории течения анизотропно упрочняющихся упруго-вязко-пластических тс; Определение в рамках выбранной модели сложной среды полей напряжений перемещений в задачах ЛА. Галина-Д.Д. Ивлева с круговым, эллиптически?, близким к правильному многоугольнику отверстием и в эксцентричной трубе.

Научная новизна состоит в том, что для упрочняющегося упруго-вязкс пластического тела на основе идей теории возмущений

- получены линеаризированные уравнения;

- выработан подход, позволяющий свести решения сложных задач тео рии течения упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела к по слсцовательному менее сложному решению задач этой теории:

- построен алгоритм решения класса упруго-вязко-пластически.х задач;

- решены в двух приближениях задачи Л.А. Галина-Д.Д. Ивлева о двух оси ом растяжении толстых пластин ослабленных круговым, эллиптичс ским, близким к правильному многоугольнику отверстием и задача о( эксцентричной трубе:

- получены формулы, .характеризующие напряженно-деформированно' состояние в эгих задачах.

Практическое значение. Развитый алгоритм позволяет определить гюл< напряжений и перемещений в упругой и пластической зонах, положение упру го-пластической границы при решении упруго-вязхо-пластичных задач анизо тронного упрочняющегося тела; оценить различие в решениях этих задач, I рамках теории течения простейшей модели сложной среды и известных моде лей теории течения.

Достоверность. Исследования, проведенные в диссертационной работе базируются на корректной математической постановке задач и их решений I рамках метода возмущений показавшем высокую эффективность при решечт задач теории пластичности.

Достоверность полученных автором результатов подтверждается апро-бированностью используемых моделей механики сплошных сред, а так же сопоставлением полученных решений с уже известными решениями.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- в рамках метода малого параметра развит подход к решен™ плоских задач типа Л. Галина-Д. Ивлева для упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела.

- решены в двух приближениях задачи о растяжении пластин с круговым, эллиптическим н многоугольным отверстиями, а также задача об эксцентричной трубе, находящейся под действием внутреннего давления.

- разработан алгоритм решения задач, который может служить апробацией метода и ориентиром для сравнения различных теорий.

- выявлено влияние вязкости, упрочнения и других характеристик материала, внешних нагрузок и геометрии контура отверстия на распределение поля напряжений и поведения радиуса упруго-пластической границы с учетом времени.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались 1а семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского осударственного университета 1995-1997гт.; на научных сессиях Воронежско-о государственного университета а 1995-1998гг.; на школе проводимой Во-юнежским государственным университетом совместно с институтом математи-и РАН им. В.Л. Сгеклова в 1996г.; на Белорусском учредительном конгрессе о теоретической и прикладной механики «Механика-95», г. Минск, Беларусь, -11 февраля 1995 г.; на 14-й Межреспубликанской конференции по численным етодам решения задач теории упругости и пластичности, г. Волгоград, 25 сен-чбря-1 октября 1995 г.; на Первой международной конференции Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза» МО'96, г. Солигорск, Беларусь, 7-10 октября 1996 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 пе-тшх работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, дву глав (13 параграфов), заключения и списка литературы, включающих 144 н; именования. Работа содержит 87 листов машинописного текста, включая 1 рисунков.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ, касающихся темы диссертацш обоснована актуальность темы рассматриваемой работы и изложено кратко ее содержание.

Первая глава посвяшена разработке метода решения задач для упроч няющегося упруго-вязко-пластического тела.

Приведены основные соотношения, которые используются при олмсани механического поведения упруго-вязко-пластпческого тела в рамках теорш течения:

- Уравнения равновесия в напряжениях

<*,, = « . • П

где <гч - компоненты тензора напряжении.

- Соотношения, связывающие полные деформации, упругие и пластиче ские

и

где е„ - компоненты тензора полных деформации, компоненты тензор;

упругих деформаций, <■ - компоненты тензора пластических деформаций.

- Соотношения закона Гука, связывающие напряжения и упругие де формации

Ощ (3

где ц- модуль сдвига, и-коэффициент Пуассона, дельта Кронекера.

- Уравненне поверхности нагружения

.....л,М=0, (4,

где хк- параметр упрочнения, является постоянным при фиксированных кг постоянные материала.

- Соотношения ассоциированного закона пластического течения

Л1-

(5)

еде 'ЛХ - скалярный положительный множитель.

- Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и вектора перемещений.

е?=2 К/+ "/,.>> (б)

- Граничные условия в напряжениях

т = (?)

на части поверхности, где заданы усилия Р, (п1 - компоненты вектора норма-гп1), и граничные условия для перемещений

ц=ц\ (8)

на части поверхности, где известны перемещения ц*.

- Условия непрерывности вектора напряжений и перемещений на упруго-пластической границе

[»^„1 = 0 ; [«,] = О (9)

Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений выражений заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической областям. По индексам, повторяющимся два раза, предполагается суммирование от 1 № 3, если не оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой, указывает на дифференцирование по координате, соответствующей этому индексу.

Уравнения (!) — (9) при учете условия пластической несжимаемости представляют систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела.

Проведена линеаризация уравнений (1) -(9). Все функции представля-ся в виде рядов по степеням малого параметра (5«1).

{,<>„.....л,Хк, ...}=£*■ {,ё**>,....*•>,...} (10)

»0

В общем виде представлены уравнение поверхности нагруження и ассоциированный закон течения для этого случая при п=0:

Л.....Л) = 0 ; = <1^ (11)

при пг1:

^ (</"'«, ¿'Л,..., .¿П ......¿""Л..........^ Л)=0

= £ л ¿т)

сР

(12)

Конкретизация соотношений (11) и (12) проведена для функции нагруження вида.

= (13)

где с - коэффициент упрочнения, т] - коэффициент вязкости.

Далее для упрощения все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к пределу пластичности к при чистом сдвиге, а величины, имеющие размерность донны - к некоторому масштабу длины (он определяется при рассмотрении конкретных задач).

В цилиндрической системе координат для случая плоско-деформированного состояния для функции нагруження (13) выведены согласно (11) и (12) линеаризированные уравнения (г^ = 0).

Линеаризированная функция нагруження

ф.п) (14)

где № = + 2ф«" ; к = 1 ; ФЛ- + ;

=2се*м +2ф?*> - (сг1/1 -ст,'"1 -2се>(м) - - ¿Г"1 -

^ т-1

) + 4(ГМ-се** -г^-'Х^Г'-ое*"*]

Соотношения ассоциированного закона пластического течения

гае ^ =0 ; =

42 - - »«¡П^Ег - - "Г1 -2^»)-

Вводится функция напряжений Эри соотношениями

' л «а- г2 ¿%?г ' " а-1 ' " ¿>Дг ^ ; и ; и функцию тока

_ IV»

Цг <17>

Используя соотношения (14) и (16) получим

—----_!__— = ф <»> П8)

0гг т дг г2 ав1 и ;

Переходя от Э"° к по формулам (16), получим выражения для напря-•кений в пластической области. Константы определяются из граничных условий, сносимых на невозмушенную границу.

Введенную функцию тока подставляем в соотношения (6) с учетом(2), тогда первое уравнение (15) получится следующим

¿?У"> I 7 „. „го, I

дг1 г дг

(19)

о "

Решения этого уравнения позволят определить перемещения в пластиче-;кой зоне. Условие несжимаемости (15), выполняется автоматически, согласно сравнениям (17). Решения в упругой зоне определяются, следуя Д. Ивлеву.

С помощью построенного алгоритма можно получить решение упруго-зязко-пластической задачи для каждого приближения.

Вторая глава посвящена решению, в рамках разработанного алгоритма ¡адачи типа Л. Галина и Д. Ивлева о двухосном растяжении толстой пластины, ослабленной круговым, эллиптическим или близким к правильному много-

угольнику отверстием, об эксцентричной трубе. Эти задачи решены для случа плоского деформируемого состояния.

В качестве «нулевого» приближения (невозмущенное решение) выбир; лось известное решение задачи об осесимметричном состоянии трубы, осла£ ленной круговым отверстием рис.1. Материал в пластической области опись вался уравнениями упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела.

Решение для нулевого приближения в пластической зоне имеет вид (а <. г ь 1):

х4р

2 р+с

с + 2(]е~°1 I 1 „ г

-Т— (—--т)+0-е

4// а г а

хЬц

с+Ъие-* 11 г

. (—+-)+о - ^ XI+ь-;

4 ¡1 а г

рис.1 В упругой зоне

л 1

2/х +с

-0 ; * = - д)

х 1

а

2/2 +-П

(2( (2

Радиус упруго-пластической границы описывается уравнением

кь - -е")-= 0 (2!

Решение для каждого из вариантов задач строится в рамках активног процесса нагружения. т.е. пластическая зона полностью охватывает контур о верстия.

Малый параметр для рассматриваемых задач вводится так: — для кругового отверстия

А-Л

2 к

- для эллиптического отверстия с полуосями а(1+а) и а(1-ф

Я-Л

2к

= <5?

где ди ограниченные величины;

для правильного многоугольника со сглаженными углами

Я~ А - л , .

-^ = ¿7 , = 7 , Х<\

для эксцентричной трубы

ie гj - радиус упруго-пластической границы при 6-0

На бесконечности все исследуемые задачи, за исключением задачи об ссцентричной трубе имеют одинаковые граничные условия.

аГ^-$70082«»: £ = г?ал20; <Г■ (23)

На контуре отверстия граничные условия сносятся на невозмущенную заницу г=а и определяются для каждой задачи отдельно.

Согласно разработанному в главе 1 алгоритму, для нахождения решения первом приближении используется итерационный процесс и определяются зе итерации. Выражения для поля напряжений и перемещений находятся в эрме:

- в пластической зоне

а, =с/„(гЩ +f3fa(j.t)/„.(Q + cff,(r.4.t)hl,(20) (24)

Ц = с/, (л/) + f,Jq,г,1)й(10) ь fha(с,г,!)fi:a (#) (25)

- в упругой зоне

<т_ = ch»(г.0,4 + Л,,.(с?,rMfa(20) + (c^j)^, (в) . (26)

Ц =chil(nt) + hJl(q.r.tW0) ; (27)

¡е все функции / , h , Н известны и определены; а -указывает на номер задачи рутовое-1, эллиптическое-2, близкое к многоугольному-3 - отверстия, зксцен-

тчная труба-4); i , J =1,2; А.(с,л/) = 0; /«„(с.г.1) = О, при

Дг,д,/) = 0 для первой итерации.

Из (24) следует, что напряжения в пластической области для первой ите-.ции не зависят от нагрузки на бесконечности - это является следствием ста

тнческой определимости задач в пластической зоне и, что граничные услови формулируются на свободной границе. Из анализа решения следует, что в слу чае а = Г поле напряжений в пластической зоне оссссиметрично гг<^! = 0 это яв ляется следствием граничных условий; для а = 2 и 3 г,1;',,, * г;'Ц(й(с'''), и тогда (25 для перемещений в пластической зоне будут одинаковыми в случае их нахож дения по теории течения и в случае использования деформационной теории. В< второй итерации соотношения для определения полей напряжений и перемете ний имеют вид (24)-(27), но в правую часть (24) добавляется /т\,(<7,г,;), опреде ленное влиянием внешней нагрузки.

Во всех четырех задачах найдены уравнения для определения радиус: упруго-пластической границы. Для отверстия близкого по форме к правильно му многоугольнику выражения для радиуса упруго-пластической границь имеет вид

г" = 1+<з( ^^^ -(дсоав+тАаеГъяякятЪ 1, (28

где гп: - , ^ ^(-^г -1 -2ка] , = .

Откуда при с=0, 7=0 и т-\ приходим к результатам Д. Ивдева, соответствующим растяжению пластины с эллиптическим отверстием. Это верно также и при а-1. Во второй итерации радиус упруго-пластической границы имеет вид

- 1 + ^{аМаЛ) - с+ Л,, (од,1л,'Л7,/)сок2£-1 /^.(одЬа.Оеоя^й] , (29! где Л3(>(с.гз,1па,/) = 0 при а = \.

Из полученных выражений для полей напряжений (24) - (27) и контура упруго-пластической границы следует, что они содержат слагаемые, обусловленные влиянием модуля сдвига, коэффициента упрочнения и вязкости так и влиянием внешних нагрузок.

Полученные аналитические решения вида (24) - (27) рассмотренных во второй главе задач при с=0 и 77 = 0 переходят в известные решения Д. Ивлева-Л. Ершова, соответствующим идеально упруго-пластическому материалу; при

; = 0 к результатам А. Ковалева с произвольным упрочнением; а при 77 = 0 и ■«I к результатам М. Артемова, соответствующим идеально пластическому материалу с малым упрочнением.

.X ' У* "у*''Г-Г1:///--Vе

■! / }'

: . : , ..)

• ■ - - —

¿/Л .

: ■ / • !

ч

Ж

.....'

\

ГйН--i-.1T---Г>ггз—

Ч V

/

У

•V-•••-•/•

"езультаты численного ■эксперимента для рассмотренных задач Л. Галина-Д. 1влева представлены на рис.2 (а = 1), рис.3 (а =2), рис.4 (а-3) и рис.5 (а =4). десь показана зависимость радиуса упруго-пластической гранимы г, от упта При этом значения безразмерных характеристик принимались следующими: ис.2 (а = !) - внутреннее давление на контуре <?0=1.7; малый параметр 5=0,17; оэффициентупрочнения с=0,2 и вязкости 77 =0,00!; модуль сдвига // = 1; радиус тверстия а=0,7.

Замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упруго-пластической раницы г, для моментов времени 2 - 1=1 • 10 4, 3 -1=2« 10 4, 4 -1=3« Ю 4. Кривая вычислена при I -> м и соответствует упруго-пластической границе в случае деально упруго-пластического материала (решение Д. Ивлева-Л. Ершова), 'исленный расчет для задачи а-1 выполнен при а=0,7; 5=0,06; для задачи

а-У. а=0,8; <5=0,035 (сглаженный четырехугольник); и для задачи а- 4: а=0,7 £=0,17. Время выбиралось следующее: кривая 2 - /-4» 104, кривая 3 - /=5» 10 л кривая 4 - 1=6• 104. Замкнутая кривая I (рис.2 - рис.5) соответствует контура отверстия. Результаты численного счета задач показали, что на конфигурации упруго-пластичсской границы существенное влияние оказывает возмущён»» границы внутреннего контура. При этом с ростом времени вязкость оказывае стабилизирующую роль на поведение упруго-пластической границы.

Основные результаты и выводы по работе

В рамках теории возмущении предложен подход, позволяющий получит] приближенное решение ряда задач теории течения упрочняющегося упруго вязко-пластического материала.

♦ Показано, что использование метода малого параметра в теории течени; сложных сред позволяет свести решение исходных нелинейных систем уран пении к последовательному решению линейных систем уравнении (кроме нулевого приближения).

♦ Показано, что в случае простейших сложным сред использование малого параметра при рассмотрении плоской задачи позволяет перейти от решенш статически неопределимой задачи к последовательному решению статичесю определимых задач.

♦ Обнаружено, что интегрирование линеаризированных соотношений ассоциированного закона пластического течения можно выполнить при условии если производная от невозмущенной функции нагружения не зависит от па раметра нагружения.

♦ Приведены линеаризированные уравнения модели для упрочняющегося уп руго-вязко-пластического тела простейшей сложной среды.

♦ Изложен алгоритм решения задачи теории течения упрочняющегося упруго вязко-пластического тела, при этом за нулевое приближение принимало« осесимметричное состояние трубы или плоскости с круговым отверстием.

► Впервые для сложной модели среды решены задачи типа Л. Галина - Д. Ив-лева о двуосном растяжении пластины с круговым отверстием, эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику, а также об эксцентричной трубе (Построено два приближения).

► Дано сопоставление полученных решений с решениями аналогичных задач для идеального пластического и упрочняющего упруго-пластического материала и выявлены особенности влияния механических параметров на поведение контура упруго-пластической границы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Ковалев A.B., Подболотова(Горбачева) Н.Б. Об одном методе решения задач Галина / Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике 'Механика-95' : Тез. докл. -ИИМС АНБ. Инфотрибо. - Гомель. 1996. -С. 122-123.

2. Подболотова(Горбачева) Н.Б., Спорыхин А.Н. Метод возмущений в решении плоских задач для сложной среды. / 1 -я международная конференция «ЭМО в условиях техногенеза» : Тез докл. -Солюпрск. Беларусь. 1996 -с.147

3. Подболотова(Горбачева) Н.Б. К решению упруго-вязко-пластического состояния тонких пластин с отверстиями при двуосном нагружении / Современные методы теории функций и смежных проблем : Тез. докл. Воронежская зимняя математическая школа. Воронеж, ун-т. - Воронеж. 1997. -с.132

4. Ковалев A.B., Подболотова(Горбачева) Н.Б. Метод возмущений в решении задачи Галина для упруго-вязко-пластического тела / Воронеж, ун-т. -Воронеж, 1997. - 11 с. - Деп. В ВИНИТИ 26.03.97 № 9I9-B97

5. Ковалев A.B., Горбачева Н.Б., Спорыхин А.Н. К определению напряженно-деформируемого состояния в задаче Галина для сложной модели среды. ! Вестник ВГУ. Серия 2, Естественные науки. 1998. №3 - с.245-249.