Математическое моделирование колебаний полюса возмущенных движений Земли относительно центра масс тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕРЕПЕЛКИН Вадим Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСА ВОЗМУЩЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ЗЕМЛИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Специальность 01 02 01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2007

00306В5Т8

003066578

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель

Член-корр РАН, доктор физико-математических наук, профессор

Веретенников Виктор Григорьевич, МАИ

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Сиротин Андрей Николаевич, МАИ

кандидат физико- математических наук, доцент

Зленко Александр Афанасьевич, МАДИ

Ведущая организация Институт астрономии РАН

Защита диссертации состоится « » ОК-ТД.^<Я 2007 г в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212125 14 при Московском авиационном институте (Государственном техническом университете) по адресу

125993, Москва, Волоколамское ш, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (Государственного технического университета)

Автореферат разослан «_»_2007 г

Учёный секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Высокоточные данные экспериментальных наблюдений за траекториями движения полюсов Земли свидетельствуют о весьма сложных динамических процессах, происходящих в системе Земля-Луна-Солнце В основе многих астрометрических исследований лежит динамическая теория вращения Земли относительно центра масс Известно из астрономических наблюдений (с конца XX в проводились регулярные наблюдения и измерения), что ось вращения Земли с течением времени изменяет свою ориентацию как по отношению к связанной, так и инерциальной системам координат Тщательное исследование этой проблемы на основе модели деформируемой Земли было проведено в работах С Ньюкома, А Пуанкаре, Г Джеффриса, А Лява, П Мельхиора, У Манка и Г Макдональда, Ф А Слудского, М С Молоденского и многих других

Создание адекватной данным Международной службы вращения Земли (МСВЗ) математической модели, позволяющей описывать реальные траектории оси вращения (мгновенного положения вектора угловой скорости) в некоторой удобной системе координат, связанной с Землей, является актуальной и содержательной проблемой теоретической и небесной механики Ее решение имеет важные технические приложения в навигации, геодезии и геофизике В связи с модернизацией и развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС актуальным оказывается достижение высоких точностей координатно-временного обеспечения наземных, а также движущихся в околоземном пространстве объектов Эта прикладная задача непосредственно связана с фундаментальной проблемой определения параметров вращения Земли, тес колебанием полюса и прогнозом его движения как на длительном, так и на относительно коротком (30-100 суток) интервалах времени

Цель работы

1 Создание математических моделей колебательного движения полюса Земли, адекватных данным наблюдений и измерений МСВЗ

2 Построение надежных высокоточных прогнозов как на длительные, так и на относительно короткие интервалы времени

3 Разработка комбинированных небесно-механических стохастических моделей

Методы исследования. Для построения математической модели первого приближения использовалась динамическая теория вращения твердого тела Математическое

моделирование проводилось на основе метода наименьших квадратов С помощью асимптотических методов нелинейной механики и метода нормальной аппроксимации изучались флуктуации колебаний полюса Земли Для построения спектрально-корреляционной модели колебаний полюса использовалась теория стохастических систем

Научная новизна. Показано, что чандлеровская и годичная компоненты колебаний полюса имеют небесно-механическую природу и обусловлены гравитационно-приливным воздействием Солнца и Луны Математическим моделированием на основе данных измерений параметров вращения Земли построены высокоточная интерполяция колебаний полюса и дан прогноз, качественно и количественно согласующиеся с данными наблюдений и измерений МСВЗ

Установлено влияние гравитационно-приливных возмущений Луны с месячным и двухнедельным периодами на колебания полюса Получена оценка амплитуды и дано объяснение относительной малости высокочастотных гармоник

Обнаружен эффект существования устойчивых автоколебаний полюса Земли на чандлеровской частоте и с амплитудой, зависящей от параметров рэлеевского механизма диссипации

Построена спектрально-корреляционная модель флуктуаций вращательного движения деформируемой Земли, вызванных изотропными и анизотропными флуктуационно-диссипативными возмущениями

Достоверность. Достоверность построенных математических моделей и сделанных выводов обеспечена корректной математической постановкой задач и подтверждается хорошим согласованием с данными наблюдений и измерений МСВЗ

Практическая ценность. Возникающие научные задачи, как известно, непосредственно

I

связаны с фундаментальной астрометрической проблемой вращения Земли вокруг центра масс Одной из основных является исследование колебаний полюса и прогноза его движения Анализ траектории полюса и прогноз его движения представляют существенный интерес в естественнонаучном и прикладном аспектах Построение высокоточной теоретической модели колебательного процесса для вектора угловой скорости на основе данных ГЛОНАСС и Международной службы вращения Земли (МСВЗ) и надежный прогноз движения весьма важны при решении современных задач астрометрии, навигации, геодинамики, океанологии, метеорологии и мн др.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и симпозиумах 8 Международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» 2002, Донецк, JOURNEES 2003 Astrometry,Geodyn amies and Solar Systçm Dynamics from Milliarcseconds to Microarcseconds, 2003, St Petersburg, Russia, Международный симпозиум по классической и небесной механике, 2004, Великие Луки, Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной» МГУ, ГАИШ, 2004, Москва, JOURNEES 2004, Pans, на семинаре по небесной механике, МГУ, ГАИШ, 2005, Международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», 2005, Донецк, на семинаре по небесной механике, МГУ1» ГАИШ, 2006, на семинаре по небесной механике, МГУ, ГАИШ, 2007, Международная конференция, посвященная трехсотлетию Леонарда Эйлера «Классические задачи динамики твердого тела» 2007, Донецк

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13]

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы Полный объем работы, включая 15 рисунков и список литературы, насчитывающий 63 наименования, содержит 110 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы и кратко излагается структура и содержание диссертации

В первой главе диссертации приводятся основные положения, связанные с уточнением тензора инерции вращающейся деформируемой Земли и с вычислением вектора кинетического момента и его производной по времени вследствие важности этой проблемы на этапе построения математической модели движения системы Земля-Луна.

Для описания вращательного движения деформируемой Земли и колебаний ее полюса рассматривается упрощенная механическая модель вязкоупругого тела Планета представляется двухслойной, состоящей из абсолютно твердого ядра (шара) и вязкоупругой мантии Предполагается, что на внутренней границе ядро-мантия

относительные перемещения среды отсутствуют, а внешняя граница мантии (поверхности Земли) свободна Какое-либо усложнение модели фигуры Земли и детальный учет геофизических характеристик, в частности многослойность внутреннего строения, не является оправданным на этапе построения модели первого приближения, поскольку определение требуемых физико-механических характеристик планеты на основе измерений не может быть проведено с требуемой точностью и полнотой Влияние упругой податливости мантии на вращение Земли вокруг центра масс имеет существенное значение и связано с уточнением тензора инерции вращающейся деформируемой Земли и с вычислением вектора кинетического момента и его производной по времени

Считается, что деформируемая планета (Земля) и точечный спутник (Луна) совершают взаимное поступательно-вращательное движение вокруг общего центра масс (барицентра), который перемещается по эллиптической орбите вокруг Солнца

Записываются уравнения поступательно-вращательного движения системы Земля-Луна в поле притягивающего центра (Солнца) в форме Рауса Для уравнений невозмущенного движения системы Земля-Луна приведено решение, являющееся порождающим для использования метода усреднения при учете возмущающих моментов сил различной физической природы

Во второй главе рассматривается основная математическая модель колебаний полюса Земли первого приближения, адекватная астрометрическим данным МСВЗ Весьма сложный процесс колебаний полюса содержит составляющие с сильно различающимися частотными и амплитудными характеристиками Так в колебательном движении полюса выделяются чандлеровская составляющая, амплитуда которой достигает величины 0,20" - 0,25", а период равен приблизительно 430—440 зв сут, годичная составляющая с амплитудой 0,20" - 0,25" и периодом равным одному году, а также тренд полюса'Земли Наблюдаемые колебания полюса имеют характер биений Траектория движения полюса на поверхности Земли представляет собой свертывающуюся и развертывающуюся спираль с периодом, близким к 6-ти годам (рис 1)

)(") — >

Рис 1 Полодия 2000 г - 2005 г

Годичные нутационные колебания могут быть объяснены и вычислены на основе дополнительного учета суточных гравитационных приливов, происходящих в деформируемой Земле Совместный анализ динамических и кинематических уравнений Эйлера для периодически деформируемого с суточным периодом тензора инерции в связанной системе координат с учетом орбитального движения и наклона оси фигуры к плоскости эклиптики позволяет установить наличие силомоментного воздействия от Солнца с годичным периодом относительно экваториальных осей инерции

Структура выражений для компонент момента сил гравитации от Солнца имеет

вид

mq = М(У)[{а' +&Í- (с- + SC%pYr + &JqrYpyq + <5jjñ - 0)

"V/- J

yp = sin в sin <p, yq = sin в cos <p, yr = eos в Для вычисления Mp г в (1) делается циклическая перестановка индексов р, q, г

Упрощенные дифференциальные уравнения движения полюса Земли получаются из классических динамических уравнений Эйлера-Лиувилля и записываются следующим образом

p, + Npq + app = Mp, д' - N^q + a^q - 0 = coot (2)

Здесь p,q- проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения Земли на связанные оси, штрих означает производную по аргументу в, <?рл »«г - коэффициент суммарной диссипации, Npf¡ = N - чандлеровская частота, Мрч - основные возмущающие

гравитационно-приливные моменты сил, вызывающие нутационные колебания полюса

Вводя переменные x(r)-p(t), y{i)~q{t), где v=t!Th - время, измеряемое годами, приведем выражения координат полюса для модели первого приближения с учетом коэффициентов тренда с,, чандлеровской а"х-'у и годичной d',Jy компонент

х(т) = с® + с\т - асх cos 2nNr + а*х sin 2лЫг -

-Ndx cos2ят-¿¿¡¡sin7.лт, ^

у(т) -с°+ сгут + ау cosítiNt + ау sm 2жЫт -- Ndy cos 2ят + dsy sm 2ят, N = 0 845-0 850

Величина N выбирается на основе дисперсионного анализа Неизвестные асх~'у, dc''

- вычисляются с помощью метода наименьших квадратов по результатам измерений МСВЗ, причём следует иметь в виду равенства

г,.с s,c JC,S _ J s,c ("41

ax- «ay , dx' «rfy , W

отражающие структурные свойства модели Это также означает, что процессы х и у связаны, что следует учитывать при статистической обработке измерений

Введенные параметры могут в пределах достаточно длительного интервала 0 < г < 0 (где, например, в~ 10-20 лет) подвергаться коррекции согласно выражениям сх,у~сх,у+с\,ут+ и аналогично dcx'*y Вековые члены должны учитывать

медленную эволюцию основных параметров системы для улучшения интерполяции процесса колебаний

Расчеты проводились на основе упрощенной процедуры метода наименьших квадратов, который применялся независимо к каждой из переменных х(т) и у(г) в виде шестимерных аппроксимаций согласно модели (3)

*«=(£/«), Яг)=(?,/«),

/(г) = (l, г, cos IkNt, sin 2пМ г, cos 2ят, sm 2ят)г, JV « 0 845 - 0 85

7 1

На рис 2 приводятся результаты интерполяции наблюдаемого процесса и пропюз на 2 года (до конца 2005г ) колебаний полюса на основе 8-летних ежедневных данных наблюдений МСВЗ (1996-2003г г) посредством шестипараметрической модели Сравнение с экспериментальными точками подтверждает эффективность модели, те высокую точность интерполяции и уверенный прогноз

Рис 2 Интерполяция траектории полюса на 8-летнем интервале 1996-2003 гг и прогноз на 20042005 гг (сплошная линия), точки - данные МСВЗ

у

Рис 3 Интерполяция траектории полюса на 5-летнем интервале 2001-2005 гг и прогноз на 20062007 гг (сплошная линия), точки - данные МСВЗ

На рис 3 приводятся результаты интерполяции посредством ежесуточных измерений с начала 2001 г до конца 2005 г и прогноз на два года 2006 и 2007 гг

Наряду с основными характерными свойствами колебательного процесса представляет интерес учет и анализ мелкомасштабных высокочастотных колебаний на более коротких интервалах времени

В третьей главе на базе рассмотренной выше б-ти параметрической модели, содержащей чандлеровскую, годичную составляющие и нерегулярный медленный дрейф (тренд) среднего полюса Земли, исследуется расширенная теоретическая модель колебаний полюса Земли, учитывающая воздействия с более высокими частотами - это лунные, полугодичные и, возможно, комбинационные гармоники гравитационно-приливных сил Обобщение модели осуществляется на основе небесно-механических подходов, с учетом спектрального анализа временных рядов МСВЗ проводится идентификация параметров модели методом наименьших квадратов

При построении математических моделей движения полюса Земли с целью получения долгосрочного прогноза (3-5 лет) моменты сил гравитации от Луны не учитывались из-за относительной малости их влияния на годичные нутационные колебания Хотя амплитуда лунных гравитационно-приливных воздействий существенно больше, но анализ приводит к меньшей амплитуде колебаний вследствие значительного различия частот Влияние Луны приводит к месячным и двухнедельным колебаниям с амплитудой в 15-20 раз меньшей, чем амплитуда годичных колебаний Эти воздействия оказываются заметными только при детальном исследовании экстремумов отклонений полюса по каждой из компонент Но наглядно проявляется влияние возмущений с месячным и двухнедельным периодами во время биений Во время резких изменений регулярного характера возмущения практически незаметны Надежное определение их параметров и учет с целью прогноза представляют принципиальные и технические трудности

Проведено моделирование и получены графические результаты расчетов на основе упрощенной процедуры согласно методу наименьших квадратов Установлено, что наибольший вклад в высокочастотные колебания полюса вносят колебания с двухнедельной частотой На рис 4 приводятся теоретические кривые с учетом двухнедельной составляющей, построенные на основе данных измерений на 60-ти суточном интервале времени (с 01 10 2005 по 30 11 2005)

0.075

0,065 ■

х

0,055

31

время, сух

61

0,42 V

0,4

0,38

31

*р емя, сут

61

Рис 4 Интерполяция траектории полюса на 60-ти суточном интервале времени (с 01 102005 по 30 11 2005) с учётом двухнедельного колебания (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия), точки -данные МСВЗ

Дальнейшее повышение точности на коротком интервале времени связано с уточнением данных МСВЗ я математической модели

В четвертой главе изучаются колебания полюса Земли на чандлеровской частоте с учетом нелинейных флуктуационно-диссипативных моментов сил Сложная динамика взаимодействия в гидросфере мелко и крупномасштабных движений, включающая широкий спектр турбулентных флуктуаций с учетом диссипативных свойств вязкоупругой мантии Земли позволяет говорить о нелинейном характере момента сил диссипации

Примем во внимание обобщенную релеевскую нелинейную модель флуктуационно-диссипативных моментов сил

М?д = <л(г,р,д) = <(г)+Л/,л (?,<?) = -(о/; +А^2+А?<72)р-(Л'1 +Л,З<?2+АТР2}?. МТ = = (?,<?) =

= К2 - + + £>£?' )р - К + ЩгЧ1 + )?,

где У12- нормальные (гауссовские) коррелированные широкополосные возмущения с известными спектрально-корреляционными харатеристиками, п др . коэффициенты диссипации, учитывающие асимметрию и анизотропию диссипативных моментов

Учтем гравитационно-приливные моменты сил на чандлеровской частоте N Из выражений для компонент гравитационно-приливного момента получаются многочастотные выражения с существенно различающимися периодами близким к суткам, годичному и шестилетнему Применение асимптотических методов разделения движений (усреднения) для приближенного вычисления относительно медленных колебаний полюса, обусловленных лунно-солнечной прецессией, приводит к выражениям вида

= (7)

где и Ррч - квазипостоянные параметры, определяющие амплитуду и начальную фазу колебаний

С учетом принятых допущений уравнения движения полюса Земли имеют следующий вид

р + Щ = М?я+М™, Я-Ыр = М*д +М™ (В)

Уравнения (8) представляют собой нелинейную стохастическую дифференциальную систему с аддитивными шумами Для ее исследования в рамках спектрально-корреляционной теории стохастических систем могут быть использованы как прямые методы статистического моделирования, так и спектрально-корреляционные методы аналитического моделирования, основанные на нормальной аппроксимации распределений

Для изучения автоколебаний на чандлеровской частоте И, перейдем к новым переменным

р = асоб^, р = -аЫыпу/, ц/ = № + А*// (9)

Пренебрегая членами с квадратами и произведениями диссипативных коэффициентов, а также моментами М®2, М[", с помощью асимптотических методов нелинейной механики для стационарного режима колебаний получаются два решения

о*=о, а; ~ СТ1++ - ~ +\

2 V щ Щ / (10)

отвечающие покою (а,' = 0) и автоколебаниям (а'2 > 0) соответственно При этом решение а' - 0 (покой) асимптотически устойчиво при Д^ + > 0, а решение а'2 > 0

(автоколебания) устойчиво только при условиях D^ + D\, < 0, 3Df} + ВЦ - + 3 D^ > О В последнем случае имеет место поправка в частоту

Д/ = [(AT - А?)+з(д'3-Z)£)-4(d2"i -Д?,)]а'2/8 (")

Таким образом для обобщенного релеевского несимметричного и анизотропного механизма затухания больших колебаний на чандлеровской частоте N и раскачивания малых колебаний возможно существование асимптотически устойчивых стационарных автоколебаний полюса Земли с амплитудой а\ (10) При этом вследствие анизотропии диссипативных моментов появляется поправка в частоту автоколебаний (11)

Далее изучаются ровместное влияние симметричных и изотропных флуктуационно диссипативных моментов сил и гармонических гравитационно-приливных моментов на чандлеровской частоте В этом случае уравнения метода нормальной аппроксимации, разрешенные относительно р имеют следующий вид

mp + N2{l + 4D,N-'Kpl,}np +

фх +D, \{т] +o-p)+N~2(/rtp +3^1 т„ = °2)

= -N[nq cos (Nt sin(Mr - Pp)}

p°+Ni\ + 4D3N->{mpmp+Kppp+ (13)

+ 2{z), + d3[k + + p° = Vt-NV2

Здесь mp и mp- математические ожидания p и p, a2, а2 и Kpp- дисперсии и

ковариационный момент р" и р" Выражения а2р/1 и Крр получаются путем обработки

результатов измерений или аналитически на основе известных формул для спектрально-корреляционных характеристик линейных уравнений или численно методом статистического моделирования

Рассматривая флуктуации колебаний на чандлеровской частоте N при известных фиксированных или медленно меняющихся на интервале времени 2я/N дисперсиях а2р,

а2 и ковариации Крр, с помощью асимптотических методов нелинейной механики при К'№ = 0, и'2р = const уравнения для стационарных амплитуды и поправки в частоту имеют вид

D^a+D^-м/2 = 0, Ао = Di + DM+N~1<tI\

tg(fi+Ay'^pJft,, {И)

В режиме стационарных флуктуаций в среднем за период чандлеровских колебаний 2я/n появляется окрашенный чандлеровской частотой широкополосный фон случайных некоррелированных колебаний с постоянными дисперсиями erj и aj Это

подтверждает спектрально-временной анализ колебаний, показывающий, что чанддеровский пик размыт и довольно расширен по сравнению с годичной компонентой колебаний полюса

В пятой главе на основе рассмотренной выше 6-параметрической основной модели и данных МСВЗ строится комбинированная небесно-механическая стохастическая корреляционная модель, ограничиваясь статистическими моментами до второго порядка включительно Детерминированная компонента модели отражает основные регулярные динамические эффекты, а стохастическая часть - нерегулярные эффекты, подчиняющиеся статистическим закономерностям

В качестве модели удельных моментов параметрических флуктуационно-диссипативных сил примем следующую

р2 =г„-(а+а° +цуи)р,-(d;2+d?2+d;2v2X -

(15)

Q2 = Vv - (А, + А°, + АЛ )р, - (А + А° + D[V„ -

-{D^+D^+D^r.+ôr,)

R2 = vi, - (a', + A0, + D'„vu)p, - {d;2 + z>°2 + d'32v2, V, -

-(d; + + d'3v3l\r. + Sr,)

(16)

(17)

Здесь p,y qt r, - проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения Земли на связанные оси, г, - осевая скорость вращения Земли, D'ijj и D0/ 2з > Оцз коэффициенты, определяющие регулярную и нерегулярные (постоянную и переменную) составляющие удельных моментов сил диссипации, D',, и D°tl , D,j (ij=l, ,3) -перекрестные коэффициенты регулярных и нерегулярных составляющих удельных моментов диссипации, учитывающих анизотропию моментов сил диссипации, Vlh Va и Уз, - гауссовские широкополосные процессы типа белого шума с матрицей интенсивностей V=ll v,j{f) Il

Учитывая моменты флуктуационно-диссипативных сил (15)-(17) и принимая во внимание моменты гравитационных сил со стороны Солнца, уравнения вращательного движения Земли (понимаемые в смысле Стратоновича) примут вид

=Р,+ Рг, р,о = р0,

В выражениях для Р,, О,, Я, учтены осевые и центробежные моменты инерции деформируемой Земли

Система (18) в форме стохастического дифференциального уравнения в смысле Ито, имеет вид

Ч к. 1 } (1У)

у

Для построения корреляционной модели флуктуации вращательного движения деформируемой Земли, вызванных флуктуационно-диссипативными возмущениями используется теория моментов Уравнения для математических ожиданий запишутся следующим образом

от, = -П'т, - Щтг - (+ 2иАг. )от3 -2и,т\ + Р'

т2 = ~ и\тг - (1>23 - 2щг. )тг + 2щт1 + д' ^

тъ = -£>зе,от, -Щгтг -В'3т} + Щ

В силу громоздкости уравнений для дисперсий кц, к22, кзз и ковариаций кц, к/з, к?з приведем выражения в изотропном случае параметрических флуктуационно-диссипативных моментов сил

"11 = ^22 = у33 = = ^13 = ^23 = 0> А = А = А =

= ц = о, А'2 = Аз = Аз = А, = = А1 =о

кп ки 4* Сц)

с« = -А^ц -4ц,(г. + т3)к13 -2V + V + т*ОгУ, к22 — — 21), - 2£)23Л33 +С22,

с22 = Вгук1г + 4ы8(г. + т3)к23 - 2т,/) v + v +

Кг = ~2ОД, -2- 2D^33 + с3'3, (21)

с*3 = D1 vfc33 + (mjö2 - 2m3(l - Z)r.)ö + (l - ßn)2Ьз>

ii2 — ~ ^2*^11 ~ (A A 2 ~ Аз^1Э ^1^22 ~~ Аэ^23 ^12 ' 4 =2«8(r. +OT3)fc13 -2a4(r. +m3)kn,

*13 = ^31 = —Al^ll ~ — (А* + АХЗ — - Аз^зз + C13>

с,'3=-2и4(г.+т3)*33,

^23 = ^32 = —АЛ2 — Nl.ku - {pi + Dl)jk2} - Dlykn + c|3,

C23 = 2"в(П + m3^33.

В рамках приближенной линейной теории флуктуации принято в уравнениях (18) пренебрегать нелинейными членами При этом система (18) распадается на независимые систему стохастических уравнений для движения полюса Земли У=(р<, q!)T и уравнение для Sr, Линейные корреляционные модели флуктуаций вращательного движения Земли получаются согласно (18) на основе знания весовых функций и интенсивностей белых шумов В частности, для дисперсий, ковариации и спектральных плотностей получаются следующие выражения

2 А(А+А) ' 2Д(А+А) (22)

Д-W - АЦ -Ад*-^

М(Ц + 02)' 2 А

iw(e>) = ^[(А +СА

А®)=£,Д2=А2+®2

д2 » (а\2 - ©2 У + ®2 (в, + £>2)2 Динамические гауссовские линейные и нелинейные спектрально-корреляционные модели флуктуаций вращательного движения Земли применимы для анализа точности и идентификации базовых динамических параметров на основе обработки результатов измерений Модели не только сохраняют качественные черты флуктуаций движения деформируемой Земли, но и обеспечивают достаточную точность

ОСНОВНЫЕ ыводы

1 На основе модели вязкоупругого тела близкого к осесимметричному исследованы возмущённые движения Земли в рамках задачи трёх тел Показано, что чандлеровская и годичная компоненты колебаний полюса имеют небесно-механическую природу и обусловлены гравитационно-приливным воздействием Солнца и Луны С помощью численного моделирования получена траектория полюса (интерполяция и прогноз), качественно и количественно согласующаяся с данными наблюдений и измерений Международной службы вращения Земли

2 Математическим моделированием на основе данных измерений параметров вращения Земли построены высокоточная интерполяция колебаний полюса на восьмилетнем интервале времени (1996-2003гг) и прогноз (2004-2005г г) Приведена обновлённая интерполяция движения полюса на интервале 20012005г г и дан прогноз на 200б-2007г г

3 Рассмотрена модель, учитывающая колебания, вызванные лунным воздействием Установлено влияние гравитационно-приливных возмущений Луны с месячным и двухнедельным периодами на колебания полюса Получена оценка амплитуды и дано объяснение относительной малости высокочастотных гармоник Проведен сравнительный анализ моделей, учитывающих месячную и двухнедельную частоты

4 Дан амплитудно-частотный анализ колебаний полюса Земли на чандлеровской частоте на базе теоретической модели автоколебательной смешанной системы с учетом нелинейного (рэлеевского) механизма затухания колебаний большой амплитуды и раскачивания колебаний малой амплитуды Обнаружен эффект существования устойчивых автоколебаний полюса Земли на чандлеровской частоте и с амплитудой, зависящей от параметров рэлеевского механизма диссипации

5 Построена спектрально-корреляционная модель флуктуации вращательного движения деформируемой Земли, вызванных изотропными и неизотропными флуктуационно-диссипативными возмущениями Получен алгоритм аналитического моделирования и анализа спектрально-корреляционных характеристик вращения Земли Приведены оценки уровня возмущений, приводящих к значимым уточнениям

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Марков Ю Г, Синицын И H, Перепелкин В В , Дасаев Р Р Стохастические корреляционные модели движения полюса деформируемой Земли //Тезисы докладов 8 Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (3-7 сентября 2002г) - Донецк Изд Института прикладной математики и механики HAH Украины 2002 С 99-200

2 Perepelkin V .Belousov V Nonlinear stochastic correlation model of the Earth Pole // JOURNEES 2003 Astrometry.Geodynamics and Solar System Dynamics from Milliarcseconds to Microarcseconds St Petersburg, Russia September 22-25,2003 P 54

3 Перепелкин В В Влияние моментов флукгуационно-диссипативных сил на вращение Земли// Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной» МГУ, ГАИШ, 3-10 июня 2004г -Москва ИздГАИШ МГУ С 237

4 Перепелкин В В Диссипативный фактор во вращательном движении Земли // Международный симпозиум по классической и небесной механике 2004г Великие Луки

5 Perepelkin V Translational rotational motion as a new method in the astrometncal problem of the Earth's motion around the center of mass // JOURNEES 2004 Pans

6 Марков Ю Г , Дасаев P P , Перепелкин В В , Синицын И H , Синицын В И Стохастические модели вращения Земли с учетом влияния Луны и планет // Космические исследования 2005 Т 3 № 1, С 54-66

7 Акуленко Л Д, Кумакшев С А, Марков Ю Г , Перепелкин В В Гравитационно-приливная модель колебаний полюса деформируемой Земли // Космонавтика и ракетостроение 2005 №4(41) С 103-111

8 Перепелкин В В Вращение деформируемой Земли с учетом флуктуационно-диссипативных моментов сил //МТТ 2006 №4 С 119-130

9 Перепелкин В В Моделирование и анализ вращательно-колебательных движений деформируемой Земли // Труды МАИ №26

10 Перепелкин В В Амплитудно-частотный анализ колебаний полюса Земли с учетом высокочастотных воздействий //Тезисы докладов Международной конференции посвященной трехсотлетию Леонарда Эйлера «Классические задачи динамики твердого тела» (9-13 июня 2007г ) - Донецк С 62

11 Бондаренко В В, Перепелкин В В Моделирование и анализ колебательного процесса полюса Земли //МТТ 2007 №2 С 28-35

12 Bondarenko V, Perepelkin V The analysis of high-frequency oscillations of the Earth's pole // JOURNEES 2007 France

13 Акуленко Л Д , Кумакшев С А, Марков Ю Г, Перепелкин В В Многочастотный процесс колебаний полюса Земли // Космонавтика и ракетостроение 2007 №3(48) С 122-134

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от Об 03 2007 г Тираж SO Экз

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕБЕСНО-МЕХАНИЧЕСКА МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ

ЛУНА В ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА.

§1.1 Небесно-механические модели системы Земля-Луна в поле притяжения

Солнца.

§1.2 Модель вязкоупругой планеты.

§ 1.3 Пространственный вариант задачи "деформируемая планета-спутник" в поле притягивающего центра.

§1.4 Невозмущенное движение системы.

ГЛАВА II. ГРАВИТАЦИОННО-ПРИЛИВНОЙ МЕХАНИЗМ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСА ДЕФОРМИРУЕМОЙ ЗЕМЛИ.

§2.1 Постановка задачи. Предварительные замечания.

§2.2 Основная математическая модель колебаний полюса Земли первого приближения.

§2.3 Годичная компонента колебаний полюса Земли.

§2.4 Чандлеровская компонента колебаний полюса.

§2.5 Результаты численного моделирования.

ГЛАВА III. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА КОЛЕБАНИЯ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ.

§3.1 Расширенная модель колебаний полюса Земли.

§3.2 Численное моделирование высокочастотных колебаний: интерполяция и прогноз.

§3.3 Колебательный процесс на периодах биений.

§3.4 Аномальные явления в колебательном процессе на периодах биений земного полюса.

ГЛАВА IV. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ НА ЧАНДЛЕРОВСКОЙ ЧАСТОТЕ.

§4.1 Теоретическая модель флуктуационно-диссипативных моментов сил.

Уравнение колебательного движения полюса.

§4.2 Колебания полюса Земли на чандлеровской частоте.

§4.3 Влияние гравитационно-приливных возмущений на частоте близкой к чандлеровской.

§4.4 Спектрально-корреляционная модель флуктуаций колебаний полюса.

ГЛАВА У. ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЫХ МОМЕНТОВ СИЛ НА КОЛЕБАНИЯ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ.

§5.1 Постановка задачи.

§5.2 Приведение системы уравнений к форме Ито.

§5.3 Анализ стохастических характеристик системы.

§5.4 Простейшая модель стохастической диссипации. Симметричный случай

§5.5 Аналитическое моделирование.

Диссертационная работа посвящена фундаментальной астрометрической проблеме изучения колебательного процесса полюса Земли. Анализ траектории полюса как одной из существенных характеристик вращения деформируемой Земли представляет научный и практический интерес. Высокоточные данные экспериментальных наблюдений за траекториями движения полюсов Земли свидетельствуют о весьма сложных динамических процессах, происходящих в системе Земля-Луна-Солнце. В этом сложном колебательном движении выделяется основная составляющая, амплитуда которой достигает величин 0.20"-0.25", а период экспериментально оценивается в пределах 433±2 звездных суток. Ее открытие (1892г.) связано с наблюдениями С. Чандлера; в объяснении явления принимали участие С. Ньюком, А. Пуанкаре, Г. Джеффрис, А. Ляв, П. Мельхиор, У. Манк и Г. Макдональд, Ф. А. Слудский, М. С. Молоденский и мн.др. [32, 39, 46, 48]. Указанное движение принято называть свободной нутацией деформируемой Земли, или чандлеровским движением полюса. В движении полюса обнаруживается также составляющая колебаний с амплитудой около 0.07"-0.08" и периодом, равным 1 году (365 звездных суток), которая обусловлена сложным движением барицентра системы Земля-Луна вокруг Солнца. Эту систему вследствие уникальности ее кинематических и динамических характеристик в Солнечной системе можно считать двойной планетой. На движение полюса Земли заметное влияние могут оказывать возмущающие факторы различной физической природы.

Создание адекватной данным Международной службы вращения Земли (МСВЗ) математической модели, позволяющей описывать реальные траектории оси вращения (мгновенного положения вектора угловой скорости) в некоторой удобной системе координат, связанной с Землей, является актуальной и содержательной проблемой теоретической и небесной механики. Ее решение имеет важные технические приложения в навигации, геодезии и геофизике. В связи с модернизацией и развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС актуальным оказывается достижение высоких точностей координатно-временного обеспечения наземных, а также движущихся в околоземном пространстве объектов. Эта прикладная задача непосредственно связана с фундаментальной проблемой определения параметров вращения Земли, т.е. с колебанием полюса и прогнозом его движения как на длительном, так и на относительно коротком (30-100 суток) интервалах времени.

В работе [40] рассматривается поступательно-вращательное движение системы "деформируемая планета-спутник" в поле притягивающего центра. Даются качественные выводы об эволюции характеристик системы.

Влияние упругой податливости мантии на вращение планеты вокруг центра масс изучалось в работах [16, 17, 19-25, 31, 33, 35]. Вследствие важности этой проблемы на этапе построения математической модели движения системы Земля-Луна в диссертационной работе приводятся основные положения, связанные с уточнением тензора инерции вращающейся деформируемой Земли и с вычислением вектора кинетического момента и его производной по времени.

В [5, 8] на основе уравнений Рауса с помощью асимптотических методов разделения движений получены аналитические выражения чандлеровского движения полюса и суточного вращения деформируемой Земли. С помощью приближенных методов нелинейной механики построена теоретическая модель движения полюса, адекватная данным наблюдений и измерений МСВЗ.

На основе данных МСВЗ и динамических уравнений Эйлера с учетом приливных деформаций в [40, 42-45] построена комбинированная стохастическая корреляционная модель движения полюса деформируемой Земли.

В первой главе диссертации рассматривается небесно-механическая постановка задачи "деформируемая планета-спутник" в поле притягивающего центра и описывается модель вязкоупругой планеты, состоящей из абсолютно твердого ядра (шара) и вязкоупругой мантии. Предполагается, что на внутренней границе ядро-мантия относительные перемещения среды отсутствуют, а внешняя граница мантии (поверхности Земли) свободна. Какое-либо усложнение модели фигуры Земли и детальный учет геофизических характеристик, в частности многослойность внутреннего строения, не является оправданным на этапе построения модели первого приближения, поскольку определение требуемых физико-механических характеристик планеты на основе измерений не может быть проведено с требуемой точностью и полнотой. Приведено решение уравнений невозмущенного движения системы Земля-Луна, являющееся порождающим для использования метода усреднения при учете возмущающих моментов сил различной физической природы.

Во второй главе рассматривается основная математическая модель колебаний полюса Земли первого приближения, адекватная астрометрическим данным МСВЗ. Показано, что модель позволяет рационально объяснить наблюдаемые характеристики сложного колебательного процесса, совершаемого вектором угловой скорости относительно связанной с Землей системы координат. Подчеркивается, что чандлеровская и годичная компоненты колебаний имеют небесно-механическую природу и обусловлены гравитационно-приливным воздействием Солнца и Луны. Показано, что причиной незатухающего колебания полюса является резонансная гармоника внешнего возмущения с частотой, близкой к частоте свободной нутации. На основе данных МСВЗ методом наименьших квадратов определены параметры системы, построена траектория и дан прогноз движения полюса. Проведено сопоставление теоретических кривых (прогноза) и реализовавшегося движения на основе приведенных данных измерений и наблюдений МСВЗ. Установлено, что динамическая модель удовлетворительно описывает суммарное движение и его основные колебания (свободную нутацию), вынужденные колебания (годичную нутацию) и нерегулярный медленный дрейф оси фигуры Земли (тренд); она допускает дальнейшее уточнение при учете второстепенных факторов.

В третьей главе диссертации на основе рассмотренной 6параметрической модели, содержащей чандлеровскую, годичную составляющие и тренд полюса Земли, исследуется расширенная теоретическая модель колебаний полюса, учитывающая воздействия с более высокими частотами. Проведен сравнительный анализ моделей, учитывающих месячную и двухнедельную частоты. Получена оценка амплитуды и дано объяснение относительной малости высокочастотных гармоник. Исследованы аномальные эффекты в движении полюса, наиболее наглядно проявляющиеся при биениях с шестилетними интервалами. На основе небесно-механической модели колебаний с вынужденной частотой лунно-солнечной прецессии и параметрических возмущений с удвоенной чандлеровской и комбинационной частотами приведены соотношения для анализа нерегулярных движений полюса Земли. Установлено, что аномальным явлениям подвержены компоненты колебаний с чандлеровской, т.е. основной частотой.

В четвертой главе диссертации изучаются колебания полюса Земли на чандлеровской и близкой к ней частотам с учетом нелинейных флуктуационнодиссипативных моментов сил. Обнаружен эффект существования устойчивых автоколебаний полюса Земли на частоте Чандлера и с амплитудой, зависящей от параметров релеевского механизма. Изучено влияние гравитационноприливных и флуктуационных моментов сил на параметры автоколебаний полюса Земли. Получены основные соотношения для приближённой нелинейной спектрально-корреляционной модели флуктуаций амплитудночастотных характеристик чандлеровских автоколебаний полюса. Изучается чувствительность параметров модели к асимметрии и анизотропии флуктуационно-диссипативных моментов сил и к воздействию гармонических гравитационно-приливных моментов сил на чандлеровской и близкой к ней частотам. Установлено, наличие окрашенного чандлеровской частотой широкополосного фона случайных некоррелированных колебаний. Это подтверждает спектрально-временной анализ колебаний, показывающий, что чандлеровский пик размыт и довольно расширен по сравнению с годичной компонентой колебаний полюса.

Пятая глава диссертации посвящена построению спектрально-корреляционной модели флуктуаций вращательного движения Земли, вызванных изотропными и анизотропными флуктуационно-диссипативными возмущениями. Получен алгоритм аналитического моделирования и анализа спектрально-корреляционных характеристик вращения Земли. Приведены результаты аналитического статистического моделирования - интерполяция (1990-1995г.г.) и прогноз (199б-2000г.г.). Получены оценки уровня возмущений, приводящих к значимым уточнениям.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [7, 11, 18, 40,44,51-55,60-62].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1) На основе модели вязкоупругого тела близкого к осесимметричному исследованы возмущённые движения Земли в рамках задачи трёх тел. Показано, что чандлеровская и годичная компоненты колебаний полюса имеют небесно-механическую природу и обусловлены гравитационно-приливным воздействием Солнца и Луны. С помощью численного моделирования получена траектория полюса (интерполяция и прогноз), качественно и количественно согласующаяся с данными наблюдений и измерений Международной службы вращения Земли.

2) Математическим моделированием на основе данных измерений параметров вращения Земли построены высокоточная интерполяция колебаний полюса на восьмилетнем интервале времени (1996-2003г.г.) и прогноз (2004-2005г.г.). Приведена обновлённая интерполяция движения полюса на интервале 2001-2005 гг. и дан прогноз на 2006-2007 гг.

3) Рассмотрена модель, учитывающая колебания, вызванные лунным воздействием. Установлено влияние гравитационно-приливных возмущений Луны с месячным и двухнедельным периодами на колебания полюса. Получена оценка амплитуды и дано объяснение относительной малости высокочастотных гармоник. Проведён сравнительный анализ моделей, учитывающих месячную и двухнедельную частоты.

4) Дан амплитудно-частотный анализ колебаний полюса Земли на чандлеровской частоте на базе теоретической модели автоколебательной смешанной системы с учётом нелинейного (рэлеевского) механизма затухания колебаний большой амплитуды и раскачивания колебаний малой амплитуды.

Обнаружен эффект существования устойчивых автоколебаний полюса Земли на чандлеровской частоте и с амплитудой, зависящей от параметров рэлеевского механизма диссипации.

5) Построена спектрально-корреляционная модель флуктуаций вращательного движения деформируемой Земли, вызванных изотропными и неизотропными флуктуационно-диссипативными возмущениями. Получен алгоритм аналитического моделирования и анализа спектрально-корреляционных характеристик вращения Земли. Приведены оценки уровня возмущений, приводящих к значимым уточнениям.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 04-0216303, №07-02-01010.

1. Авсюк Ю.Н. Приливные силы и природные процессы. М.: Изд-во ОИФЗ РАН, 1996,188 с.

2. Аксёнов Е.П., Гребеников Е.А., Дёмин В.Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли. Сб. "Искусственные спутники Земли", 1961, вып.8, С.64.

3. Аксёнов Е.П., Гребеников Е.А., Дёмин В.Г. Обобщённая задача двух неподвижных центров и её применение в теории движения искусственных спутников Земли. Астрономии, журнал, 1963, т.40, вып.2, С.363.

4. Аксёнов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

5. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Моделирование движения полюса деформируемой Земли. // ДАН. Т. 379 №2 2001 С. 191-195.

6. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Движение полюса Земли. // ДАН. Т. 3 82 №2 2002 С. 199-205.

7. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Перепелкин В.В. Гравитационно-приливная модель колебаний полюса деформируемой Земли // Космонавтика и ракетостроение 2005 №4(41) С. 103-111

8. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В Модель движения полюса деформируемой Земли. // Астрономический журнал. Т. 79 №1 2002 С.81-89.

9. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В Модель движения полюса деформируемой Земли. // Астрономический журнал. Т. 79 №10 2002 С.952-960.

10. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Колебания полюсов под действием гравитационных приливов для модели деформируемой Земли. //ДАН. Т. 377 №5 2001 С.618-620.

11. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Перепелкин В.В. Многочастотный процесс колебаний полюса Земли // Космонавтика и ракетостроение 2007 №3(48) С. 122-134.

12. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1975, 308 с.

13. Белецкий В. В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. Препринт Ин-та прикл. математики АН СССР № 43, 1978.

14. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965, 199 с.

15. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.

16. Бондаренко В.В., Веретенников В.Г., Марков Ю.Г. Математическое моделирование некоторых задач динамики деформируемых тел // Тезисы докладов международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Донецк. 1996. С. 13.

17. Бондаренко В.В., Веретенников В.Г., Марков Ю.Г. Нелинейный динамический анализ механических систем с диссипацией энергии. // Тезисы докладов Симпозиума IUTAM/lFToMM "Синтез нелинейных динамических систем".- Рига. Латвия. 1998. С.21.

18. Бондаренко В.В., Перепелкин В.В. Моделирование и анализ колебательного процесса полюса Земли //Изв. РАН МТТ 2007 №2 С. 2835.

19. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем М.: Наука, 1984.

20. Веретенников В.Г., Карпов И.И., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Шаранюк А.В. Современные компьютерные методы решения задач механики М.: Изд-во МАИ, 1999, 144с.

21. Веретенников В.Г., Карпов И.И., Марков Ю.Г. Колебательные процессы в механических системах с упругими и диссипативными элементами.

22. Веретенников В.Г., Марков Ю.Г., Сами Эль-Хафез Динамический анализ эволюционных процессов в движении вязкоупругих небесных тел // Космические исследования РАН. 1997. Т. 35. №5, с. 36-53.

23. Вильке В.Г. О движении упругой планеты в центральном поле сил. // Комические исследования, 1979, т.17, вып.З.

24. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. // Прикладная математика и механика, 1985, т.49, вып.1, стр.25-34.

25. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы.М:Из-во Моск.ун-та, 1986, 192 с.

26. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем., М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971, 507 с.

27. Голдрайх П. Об эксцентриситете спутниковых орбит в солнечной системе. Сборник статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" Под ред. Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, С. 191-206.

28. Голдрайх П., Пил С. Динамика вращения планет. Сборник статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" Под ред. Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, С.130-167.

29. Губанов B.C. Обобщённый метод наименьших квадратов.Теория и применение в астрометрии. С.-Пб.; Наука, 1997, 318 с.

30. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука, 1969.

31. Дёмин В.Г., Марков Ю.Г. О поступательно-вращательном движении деформируемого осесимметричного тела в центральном поле сил. Космические исследования, т.29, вып.2, С. 178.

32. Джеффрис Г. Земля, её происхождение, история и строение. М.: ИЛ, 1960.

33. Джиоева М.И., Марков Ю.Г. К задаче о приливной эволюции вращений вязкоупругой планеты. // Космические исследования Т.28, Вып. 5,1990, с. 787-788.

34. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968,799 с.

35. Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твёрдого тела. // Известия АН СССР, Механика твёрдого тела, 1980, №6, С.43-48.

36. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.:Из-во Московского университета, 1990,310 с.

37. Климов В.Н., Персеев B.C., Почукаев В.Н., Ревнивых С.Г., Сердюков А.И. Единая система навигационно-временного обеспечения // Космонавтика и ракетостроение 2005 №4(41) С. 51-62.

38. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1962. 352с.

39. МанкН., Макдональд Г. Вращение Земли. М.: Мир, 1964,384 с.

40. Марков Ю.Г., Миняев И.С. Пространственный вариант задачи "деформируемая планета-спутник" в поле притягивающего центра. // Космические исследования Т.32, Вып. 6, 1994, С. 89-98.

41. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Нелинейные стохастические корреляционные модели движения полюса деформируемой Земли. // Астрономический журнал. Т. 80 №2 2003 сЛ 86-192.

42. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Влияние параметрических флуктуационно-диссипативных сил на движение полюса Земли // ДАН. 2004. Т. 395 № 1.С. 51-54.

43. Марков Ю.Г., Дасаев P.P., Перепелкин В.В., Синицын И.Н., Синицын

44. B.И. Стохастические модели вращения Земли с учетом влияния Луны и планет // Космические исследования 2005 Т.З № 1, С.54-66

45. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Чандлеровские колебания движения полюса Земли. //ДАН. Т. 407 №4 2006 С.485-488.

46. Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир, 1975, ч.1,2.

47. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981,400с.

48. Мориц Г., Мюллер А., Вращение Земли: теория и наблюдения. Киев: Наук, думка, 1992, 512с.

49. Моррисон Л. Вековые ускорения орбитального движения Луны и вращения Земли. Сборник статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" Под ред. Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, С.274-286.

50. Парийский Н.Н. Земные приливы и внутреннее строение Земли. // Известия АН СССР, серия геофиз. 1963, №2, С. 193.

51. Перепелкин В.В. Влияние моментов флуктуационно-диссипативных сил на вращение Земли// Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004 «Горизонты Вселенной» МГУ, ГАИШ, 3-10 июня 2004г. -Москва. Изд.ГАИШ МГУ С.237

52. Перепелкин В.В. Диссипативный фактор во вращательном движении Земли // Международный симпозиум по классической и небесной механике 2004г. Великие Луки

53. Перепелкин В.В. Вращение деформируемой Земли с учетом флуктуационно-диссипативных моментов сил // Изв. РАН МТТ 2006 №41. C. 119-130

54. Перепелкин В.В. Моделирование и анализ вращательно-колебательных движений деформируемой Земли // Труды МАИ №26

55. Перепелкин В.В. Амплитудно-частотный анализ колебаний полюса Земли с учетом высокочастотных воздействий //Тезисы докладов Международной конференции посвященной трехсотлетию Леонарда

56. Эйлера «Классические задачи динамики твердого тела» (9-13 июня 2007г.)-Донецк. С.62.

57. Почукаев В.Н. Потребительская система навигационно-временного обеспечения // Космонавтика и ракетостроение 2005 №4(41) С. 41-50.

58. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2000. 999с.

59. Черноусько Ф.Л., Шамаев А.С. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твёрдого тела с упругими и диссипативными элементами. Изв. АН СССР, Механика твёрдого тела, 1983, вып. 3, С. 33.

60. Черноусько Ф.Л. О движении вязкоупругого твёрдого тела относительно центра масс. Изв. АН. СССР. Механика твёрдого тела, 1980, № 1, С. 2226.

61. Bondarenko V., Perepelkin V. The analysis of high-frequency oscillations of the Earth's pole II30URNEES 2007 Fiance

62. Perepelkin V.,Belousov V. Nonlinear stochastic correlation model of the Earth Pole // JOURNEES 2003 Astrometry,Geodynamics and Solar System Dynamics: from Milliarcseconds to Microarcseconds. St.Petersburg, Russia. September 22-25,2003. P.54.

63. Perepelkin V. Translational rotational motion as a new method in the astrometrical problem of the Earth's motion around the center of mass // JOURNEES 2004 Paris

64. IERS Annual Reports. 1990 July 1991 bis 1999 July 2000. Central Burea of IERS. Observatoire de Paris. 2000 July 2001 bis 2002 July 2003. Verlag BKG Frankfurt am Mein. http://hpiers.obspm.fr