Численно-аналитическое исследование напряженно-деформированного состояния крепей выработок с учетом собственного веса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Плотников Лаврентий Геннадьевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРЕПЕЙ ВЫРАБОТОК С УЧЕТОМ СОБСТВЕННОГО ВЕСА

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 МАИ 2013

005058993

Воронеж - 2013

005058993

Работа выполнена в Воронежском государственном университете на кафедре теоретической и прикладной механики

Научный руководитель: заслуженный деятель науки Российской Федерации

доктор физико-математических наук, профессор Спорыхин Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: Сумин Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Военно-воздушной академии имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина

Горбенко Олег Данилович

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры Воронежского государственного

университета

Ведущая организация: Воронежский государственный архитектурно-

строительный университет

Защита состоится «29» мая 2013 года в 17-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете, адрес: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, тел.: (473) 220-83-22.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «22» апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чеботарев А. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена возможностью применения результатов полученных в рамках метода малого параметра в мероприятиях по укреплению глубоких горных выработок различной конфигурации для обеспечения безопасности труда и находящихся в сооружениях сырья, оборудования и т.п. Получение с большей степенью точности напряженно-деформированного состояния рассмотренных задач, в свою очередь, дает возможность оценить погрешность и определить возможности применения результатов найденных без учета собственного веса крепи.

Моделированию процесса деформирования крепей подземных сооружений, которое включало в себя определение и анализ начального (докритического) напряженного состояния, посвящены работы О. Г. Быкова, С.И. Капылова, B.C. Лесникова, Г.С. Мавианова, В. Трифоновой-Геновой, Б.В. Евтушенко и др.

К этому направлению можно отнести работы выполненные М.Т. Алимжановым, Ж.С. Акопяном, И.Ю. Бабичем, А.Н. Гузь, Д.В. Гоцевым, JI.B. Ершовым, В.М. Назаренко, А.Н. Спорыхиным, A.C. Чеботаревым, А.И. Шашкиным и др., где наряду с определением начального (основного) состояния исследована устойчивость горных выработок и крепей. Однако влияние собственного веса крепи на напряженно-деформированное состояние и критические параметры в рассмотренном классе задач не учитывалось.

Влияние собственного веса на распределение напряжений в идеальном сыпучем материале дано А. Надаи, а в задачах упруго-пластического состояния «тяжелых» тел ослабленных отверстиями, C.B. Матвеевым.

Анализ отмеченных работ показывает, что до последнего времени мало исследованным остался класс задач, в которых бы учитывалась сила тяжести крепи подземных сооружений. Безусловно, что, когда действуют незначительные внешние нагрузки или давления на поверхность крепи выработки неглубокого заложения, то местные массовые силы будут давать лишь небольшую добавку к основным напряжениям. Очевидно, в случае выработок глубокого заложения, что характерно для задач механики горных пород, необходимо создание более массивных крепей, и как следствие, наряду с действием массива горных пород, требует также учета влияния собственного веса крепи на напряженно-деформируемое состояние, что является актуальной и практически значимой задачей механики сплошных сред.

Наряду с этим существенный научный и практический интерес представляет использование моделей сложных сред, в которых учитываются одновременно свойства, как пластичность, упругость, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных сред.

Однако, использование уточненных постановок и усложненных моделей сред с учетом собственного веса, как наиболее полно описывающих поведение

реальных тел, влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения, что является в настоящее время актуальной задачей.

Цель работы. Основным направлением диссертационного исследования является численно-аналитическое исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических труб с различной геометрией поперечного сечения, которые моделируют собой крепи выработок глубокого заложения.

Методы исследования. Напряженно-деформированное состояние в рассматриваемых задачах определяется с помощью метода возмущений, который нашел широкое распространение при решении плоских упруго-вязко-пластических задач.

Достоверность полученных результатов работы обеспечивается согласованием полученных результатов с физическими представлениями и известными решениями.

Научная новизна. Впервые получены новые теоретические результаты в рамках метода возмущений по деформированию «тяжелых» цилиндрических труб с учетом силы тяжести для модели среды, учитывающей упрочняющиеся упруго-вязко-пластические свойства.

Выявлено влияние силы тяжести, физико-механических характеристик (пластичность, упрочнение, вязкость), формы поперечных сечений толстостенных цилиндрических труб и включения, находящееся в пластическом состоянии на форму и размер упруго-пластической границы.

Практическая ценность. Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений, а также вид и положение границ упругой и пластических зон в толстостенных трубах с поперечным сечением в форме эллипса и многоугольника со скругленными углами содержащих включения с учетом силы тяжести.

Выявлены характерные эффекты для напряженно-деформированного состояния с учетом силы тяжести и сложной реологии среды.

В рассмотренных классах задач напряженно-деформируемого тела выявлены характерные эффекты (в частности установлено, что с ростом коэффициентов упрочнения и вязкости, а также при увеличении предела текучести пластическая область уменьшается), позволяющие при проектировании правильно назначать прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузкой, с учетом силы тяжести.

Полученные результаты в виде аналитических и приближенных решений могут быть использованы при определении напряженно-деформированного состояния крепи, а также для определения оптимальных критических параметров при учете более широкого спектра физико-механических характеристик моделируемых процессов.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории

функций и смежные проблемы» (Воронежский государственный университет совместно с Математическим институтом им. В.А. Стеклова РАН и Московским государственным университетом, г.Воронеж, 2011г.) и на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2011г.).

Содержание диссертации соответствует п.2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п.7 «Постановка и решение краевых задач для тел различной конфигурации и структуры при механических, электромагнитных, радиационных, тепловых и прочих воздействиях, в том числе применительно к объектам новой техники» И П.8 «Математические модели и численные методы анализа применительно к задачам, не допускающим прямого аналитического исследования» области исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ, из них четыре в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.

Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 189 наименований. Материал изложен на 129 страницах машинописного текста и содержит 26 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор исследований по проблемам решения плоских упруго-пластических задач с неизвестной упруго-пластической границей, сделан анализ существующих направлений и методов, применяемых в этих исследованиях. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается постановка и решение задач напряженно-деформированного состояния цилиндрических толстостенных труб различной формы поперечного сечения с учетом силы тяжести.

В §1 первой главы приведены основные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние упруго-вязко-пластических сред, в рамках геометрически-линейной теории, с помощью которых моделировались процессы деформирования цилиндрических толстостенных труб некругового поперечного сечения с учетом силы тяжести: уравнения равновесия

V+ Х;=0, соотношения Коши г/ +У^м'в), граничные условия в

напряжениях Л^сг^ = Р] (на части поверхности 5,) и в перемещениях ир=ир

(на части поверхности 5'2). На поверхности 5, разделяющей упругую и пластическую зоны, все компоненты тензора деформаций и напряжений предполагаются непрерывными, следовательно [и,]=0, =

Напряжения и деформации связаны законом Гука

Для несжимаемой упруго-вязко-пластической среды рассмотрена модель тела с трансляционным упрочнением Д. Д. Ивлева - А. Н. Спорыхина с поверхностью нагружения

р р V р р \

-к2= 0.

р р яд~с ££!

Индексы <ф» и «е» обозначают принадлежность величин к пластической или упругой области соответственно; с - коэффициент упрочнения; к - предел

текучести; т] - коэффициент вязкости; ^ - компоненты девиатора тензора

р

напряжений; е1 - компоненты тензора пластических деформаций.

Для несжимаемой среды выполняется условие = 0.

В пластической зоне полная деформация слагается из упругой и ' р

пластической е^ = е^+е^ . При этом в упругой зоне выполняется закон Гука

для упругих компонент деформаций.

Скорости пластических деформаций определяются на основании ассоциированного закона пластического течения:

."я dF

Во §2 рассматривается моделирование плоского деформированного состояния на основе линеаризированных соотношений с учетом силы тяжести. Описываются общие идеи линеаризации основных уравнений, которые определяют процесс деформирования упруго-вязко-пластических сред.

Линеаризация по параметру 8 состоит в том, что все искомые соотношения раскладываются в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях 5, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при 5 = О является известным. Таким образом, решение ищется в виде

л=0

где Хк " физико-механические параметры материала.

Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид да Эг Эг Э<т

——^ = 0,—21+—-=у, где у - объемная сила.

дх ду д.Х ду

Частное решение системы уравнений равновесий согласно работе C.B. Матвеева выбрано в виде crx-gy, оу = уу, гч, = 0, где g, y-const.

Влияние силы тяжести учтено в первом приближении, положив g = Sct,y=Sc2, где с,,с2 - const, ô - малый параметр.

В §3 крепь выработки глубокого заложения, то есть значительно удаленной от земной поверхности, моделировалась горизонтальной бесконечной цилиндрической толстостенной трубой с внутренним радиусом а и внешним b (a<b). На внутреннем контуре трубы приложена равномерно-распределенная нагрузка интенсивностью Р0, моделирующая собой давление жидкости или газа, на внешнем контуре - нагрузка интенсивностью Р. Очевидно, в этом случае решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе может быть выполнено в рамках плоского деформированного состояния, используется цилиндрическая система координат (рис.1).

р

Рис. 1. Модель крепи в поперечном сечении Решение приводится в безразмерных величинах, отнеся все величины, имеющие размерность напряжения к величине предела текучести к, а все

линейные размеры к радиусу пластической зоны в исходном нулевом приближении Р' .

Для нулевого приближения поля напряжений и перемещений приняты согласно работы А.Н. Спорыхина.

В §4 строятся первые итерации первого приближения для напряженно-деформированного состояния толстостенных цилиндрических труб с учетом силы тяжести, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений.

Уравнение для функции Эри с учетом силы тяжести имеет вид

где т. =

Эр2 р др р2 Ъв2

(1 - е4'), <7 = ^^- ¿Чип 0 - 5Ш 30) . 2р+с 2 Н

Компоненты тензора напряжений в рамках первой итерации первого приближения в пластической области (а< р<\) определяются в виде соотношений

тмк 'рт ~~

тЛ 1 1

Н« Р

-21п— +

Р1. 5С2-С,

, Р--81110 +

4 Г р}

3(С1-С2> ^ . 1

р+—((-8Д + -Лл2) С05( >/81п р) + (-78 Л, - 84) з1п(л/81п „,., т. ( 1 1 . |7с,-Зс, с.-5с, а1 | . .

0«п =—1 + —Г-2-21П— + —2-!-/? + -!-2-- 51110 +

в(1) 2\аг р1 а) ^ 4 4 р)

3(С2~С|) р + ^ ((-8/1, + 784) 1п Р)- 84) 8ш(78

1)

3(с,-сЛ 1

с, Сл С\ ~ ог I Л

-!---!-- |СОЭ0 +

4 4/7

/3 -—(зТ8 (4 соя(ч/81п /7) - 4 8111(781п сое 30.

В упругой области (1 <р<р) компоненты напряжений будут следующими

Р 1 4/й(/3 +1) Р ръ /?4-11' хР\Р р3)

+-!-{[з(2-Зр2+р^)р+3(4-Зр2-р6)р-5+(4-Зр-2-Р^р,+ +5(2-Зр-2+р6)р-,]ь;-[(-10 + 9р2+р-б)р + (4 + 5р6-9р2)р-5 +

+(-4 + 5/Г2 -р^)рг + (10-5/Г2 -5/Г6)р г]о,"} sin30,

а0-а„~ 1+

Р 1 4ñi(/? +l) ' Я Зм-- * - 1

Í + 1 /7 р

+3 (-4+3 Рг + Р") р-5 + 5 (-4 + 3 /Г2 + p-r) р + (-2+3 /Г2 - Р") p-¡]b] -[(10-9/72-р^)р + {-Л + 9р2-5/?>"5 + (20-25/Г2 + 5 p*)f? + +(-2+p-1+/?)p-y~\a]}smW,

:{b"\+a"\)

V«( і)

£ (3« + l)

3/ñ + l /з p 1

где

P"[ Am{p2+\y

(4-9/?2+5/?л)р-Ч(12-15/Г2 + 3/Г)р3+(б- З/?"2 - 3/?") sin 30.

Радиус упруго-пластической границы p^J определяется уравнением

ps <¡> = Л/0 + M, sin в + М, sin 30,

2// +с 2a¿/32

М„=-

8Ml-e"ír)/?2-l

М.= —

2/1 + с 7с2 -Зс,

4

-3

л/,=-

2/1+с 3(с2 - с,)

4

2ЛГ

+-1-(24-24/Г2-4/Г+4/Г>;

Результаты численного эксперимента представлены на рис.2 - рис.5. На этих рисунках показана зависимость радиуса упруго-пластической границы рг от угла 0 в толстостенной трубе, с учетом силы тяжести. При этом значение безразмерных характеристик принимались следующими: <7„ = 0.9, (/ = 0.2, 5 = 0.3, /і = 1, /3 = 1.32, с, =0.1 и с2 = 6. На рис.2 - рис.5 замкнутая кривая 1 соответствует внутреннему контуру трубы, замкнутые кривые 2-5

характеризуют положение упруго-пластической границы р1 в первом приближении первой итерации для случаев:

рис.2 - различных моментов времени /=0.00007, / = 0.0001, / = 0.1, соответственно (при этомс = 0.2; 77 = 0.0001);

рис.3 - различных значений коэффициента упрочнения с = 0.7, с = 0.2, с = 0.01 соответственно (при этом / = 0.1; 77 = 0.0001);

рис.4 - различных значений коэффициента вязкости 77 = 0.00015, 7 = 0.0001 и г] = 0.00005 соответственно (при этом / = 0.1; с = 0.2);

рис.5 - различных значениях с, и с2. Кривые 2 - с, =0.1, с2 = 6; 3 - с, =0.1,

с2 =15 и 4- с, = 0, с2 = 0. Случай с, =0, с2 =0 соответствует положению упруго-

пластической границы без учета силы тяжести. При этом коэффициент

упрочнения - с = 0.2, коэффициент вязкости - 7 = 0.001.

Рис. 4.

Рис. 5.

На рис.6 замкнутая кривая 1 соответствует внутреннему контуру трубы, замкнутая кривая 2 - положению упруго-пластической границы р1 для первой итерации, а замкнутая кривая 3 - положению упруго-пластической границы рг с учетом второй итерации.

В §5 рассмотрено решение задачи о напряженном состоянии трубы с контуром поперечного сечения в форме эллипса с учетом собственного веса. Следуя работам С.В.Матвеева, Д.Д. Ивлева, Л.В. Ершова величины <5с,,

¿сг, Зс1[ и Зс12 характеризуют отклонения от исходного невозмущенного состояния.

На рис.7-рис.8 показаны зависимости радиуса упруго-пластической границы р, от угла в в толстостенной трубе.

На рис.7 кривая 1 соответствует невозмущенному контуру трубы, кривая 2 соответствует случаю с, *0,с2 = </2 =0, кривая 3 - случаю с, = сг = ОД ф 0, ф 0, кривая 4 - случаю с, * 0,с2 * ОД * ОД * 0. Значения физико-механических геометрических параметров рассматриваемой задачи приведены

8 Яо Ч М С! С2 4 Лг а Р

0.3 1.8 0.1 1 0.1 6 0.1 0.1 0.66 1.32

На рис.8 замкнутая кривая / соответствует внутреннему невозмущенному контуру трубы, а замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упруго-пластической границы р, для различных моментов времени / = 0.0006, / = 0.008, / = 0.1 соответственно (при этом с = 0.2; т] = 0.001).

В §6 рассмотрена задача о влиянии силы тяжести на напряженное состояние цилиндрической трубы с внешним и внутренним контурами поперечного сечения в форме правильных пит-угольников со сглаженными углами соответственно, находящейся под действием радиальных внешней и

внутренней нагрузок.

На рис.9-рис.10 показаны зависимости радиуса упруго-пластической границы р, от угла в в толстостенной трубе.

На рис.9 кривая 1 соответствует невозмущенному состоянию, т.е. 5 = 0, кривая 2 соответствует случаю с, *0,с2 *0Д =Л2 =0, кривая 3 - случаю с, = с2 = ОД *0Д2 *0, кривая 4-случаю с, *0,с2 *0Д *0Д2

Рис. 6.

Значения физико-механических и геометрических параметров рассматриваемой задачи приведены в таблице ниже. _____

S Я И С1 С2 4 4 т п а ß в,

0.3 1.8 0.1 1 0.1 6 0.9 0.2 2 6 0.66 1.32 0 0

• •

Рис. 7. Рис. 8.

На рис.10 замкнутая кривая 1 соответствует внутреннему невозмущенному контуру трубы, а замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упруго-пластической границы для различных моментов времени

Рис.9 Рис.10

В §7 параграфе подводятся итоги, полученные в первой главе.

Вторая глава посвящена исследованию влияния силы тяжести на напряженно-деформированное состояния цилиндрических труб с круговым и многоугольным со скругленными углами поперечными сечениями с включением, находящемся в пластическом состоянии. Проведен анализ полученных результатов.

В §1 второй главы, следуя работам A.B. Ковалева, А.Н. Спорыхина, А.Ю. Яковлева, исследуется решение задачи об осесиметричном состоянии толстостенной трубы, содержащей круговое цилиндрическое включение. В качестве модели крепи с включением рассматривается круговая цилиндрическая толстостенная труба с внутренним радиусом Ь0 и внешним А,,

содержащую круговое цилиндрическое включение с внешним радиусом Ь0 и внутренним а0. При этом физико-механические параметры уравнений состояний для материалов трубы и включения различны. На внутреннем контуре включения приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Р„, а на внешнем трубы - нагрузка

Рис. 11

контуре интенсивностью Рг.

Величины Р0 включение целиком

Р2 предполагаются

такими, что цилиндрическое пластическом состоянии, а в трубе

находится в

пластическая зона полностью охватывает внутренний контур (рис. 11).

Во §2 построена математическая модель и определено напряженно-деформированное состояние цилиндрической трубы с круговым цилиндрическим включением при совместной работе составной конструкции с учетом собственного веса и разномодульности материалов трубы и включения.

В §3 моделируется процесс деформирования состояния цилиндрической трубы с включением с учетом собственного веса и некруговой формы поперечных сечений трубы и включения.

Результаты численного эксперимента представлены на рис.12-рис.13.

Рис. 12 Рис. 13

На рис.12 кривая 1 соответствует внутреннему контуру трубы, кривая 2 -случаю с, *0,с2 *0,</2 (учет силы тяжести и некруговой геометрии контуров трубы и включения), 3 - случаю с, *0,с, = с/2 =0 (учет силы тяжести), а кривая 4 - случаю с, = с2 = (Ы, * (Ы2 * 0 (учет некруговой геометрии

контуров трубы и включения).

На рис.13 замкнутая кривая 1 соответствует внутреннему контуру трубы, а замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упруго-пластической

границы рг для различных моментов времени / = 0.00007, / = 0.00009, / = 0.1 соответственно (при этомс,,, = 0.2; т]ш = 0.0001);

Значения физико-механических геометрических параметров

3 Чо Чг Р. Я, С2, си С2„ с. аа А А

0.05 1.8 0.1 0.5 1 0.1 3 0.3 6 0.01 0.58 0.72 1.12

§4 параграф посвящен анализу и обсуждению полученных во второй главе результатов.

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту. Для принятых математических моделей крепей получено и проанализировано приближенное аналитическое решение методом возмущений. Приведены аналитические решения для полей напряжений и деформаций а) для круговой трубы из упруго-вязко-пластического материала при действии внешней и внутренней нагрузок с учетом собственного веса (первая и вторая итерации); б) для цилиндрической трубы с контурами поперечного сечения в форме эллипса при учете собственного веса и сложной реологии материала; в) для цилиндрической трубы с контурами поперечного в форме многоугольника со скругленными углами при учете собственного веса и сложной реологии материала; г) для цилиндрической трубы с включением при совместной работе составной конструкции с учетом собственного веса и разномодульности материалов трубы и включения; д) для цилиндрической трубы с включением с учетом собственного веса и некруговой формы поперечных сечений трубы и включения.

Проведен теоретический и численный анализ полученных решений. Результаты представлены в виде графиков.

Дано сопоставление полученных решений с решениями аналогичных задач, когда в пластической зоне материал трубы моделируется идеально-пластической средой и отсутствует включение.

Выявлено влияние силы тяжести, коэффициентов вязкости, упрочнения и других характеристик материалов цилиндрических труб, включения, внешних нагрузок и геометрии контуров на распределение полей напряжений и перемещений, а также на поведение радиусов упруго-пластических границ.

Проведенное численное исследование результатов решений задач процессов деформирования толстостенных труб с учетом собственного веса и сложной реологии позволило сделать следующие выводы:

• учет силы тяжести оказывает влияние на форму упруго-пластической границы до 12% (относительно круговой);

• влияние на форму и размер упруго-пластической границы оказывают как физико-механические, так и геометрические параметры конструкций;

• при увеличении коэффициентов упрочнения (от 0.01 до 0.7) и вязкости (от 0.00005 до 0.00015) материала трубы пластическая область сужается на 69%;

• с ростом времени (в пределах от 0.00005 до 0.1) упруго-пластическая граница увеличивается до определенного значения, которое соответствует упрочняющейся упруго-пластической модели среды;

• включение оказывает влияние на положение упруго-пластической границы в трубе, при этом с уменьшением толщины включения (в пределах, когда внутренний контур близок к нулю и до случая, когда включение отсутствует) пластическая область в трубе увеличилась до 48,6%.

Публикации автора

Автором опубликовано 6 работ по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Гоцев Д.В., Плотников Л.Г., Спорыхин А.Н. О влиянии силы тяжести на напряженно-деформированное состояние толстостенных цилиндрических труб // Журнал: Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. № 1(9). 2011, С. 73-81.

2. Спорыхин А.Н., Гоцев Д.В., Плотников Л.Г Напряженное состояние толстостенных цилиндрических труб с учетом силы тяжести для материалов со сложной реологией // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 1. С. 110-115.

3. Гоцев Д.В., Плотников Л.Г. Влияние силы тяжести на напряженно-деформированное состояние некруговых толстостенных цилиндрических труб/ Итоги диссертационных исследований . Том. 1. - Материалы III Всероссийского конкурса молодых ученых. - М.: РАН, 2011. С. 137 - 148.

4. Гоцев Д.В., Плотников Л.Г. О влиянии силы тяжести на напряженно-деформированное состояние толстостенных цилиндрических труб с включением. // Вестник ВГУ Серия: Физика, Математика. 2012. №2 С. 93-100.

Статьи и материалы конференций:

5. Плотников Л.Г. Цилиндрической трубы с учетом силы тяжести для материалов со сложной реологией // Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ 2011, С. 262-263.

6. Плотников Л.Г. Влияние силы тяжести на напряженно-деформированное состояние толстостенных цилиндрических труб с эллиптическими контурами // Сборник трудов Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». — Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. — 2011. — С. 310-314.

Подписано в печать 19.04.13. Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 100 экз. Заказ 1045.

Отпечатано с готового оригинал-макета

в репроцентре ООО РИФ «Кварта» 394000, Воронеж, ул. Плехановская, 30

см ^

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Плотников Лаврентий Геннадьевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРЕПЕЙ ВЫРАБОТОК С УЧЕТОМ СОБСТВЕННОГО ВЕСА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация

^^ на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

со

м °

4 / Научный руководитель - доктор

СО

О физико-математических наук,

профессор Спорыхин А. Н.

Воронеж - 2013

Содержание

Введение.......................................................................................4

Глава 1. Моделирование напряженно-деформированного состояния толстостенных труб с учетом собственного веса и сложной реологии материала.....................................................................................................15

§ 1. Уравнения, определяющие процесс деформирования упруго-вязко-

пластических сред....................................................................15

§ 2. Моделирование плоского деформированного состояния на основе

линеаризированных соотношений с учетом силы тяжести..................17

§ 3. Упруго-вязко-пластическое состояние круговой цилиндрической трубы, находящейся под действием внутреннего и внешнего

давления................................................................................22

§ 4. Математическая модель напряженно-деформированного состояния круговой трубы из упруго-вязко-пластического материала при действии внешней и внутренней нагрузок с учетом собственного веса (первая и

вторая итерации)......................................................................24

§ 5. Определение напряженного состояния цилиндрической трубы с контурами поперечного сечения в форме эллипса при учете

собственного веса и сложной реологии материала...................................66

§ 6. Определение поля напряжений в цилиндрической трубе с контуром поперечного сечения в форме многоугольника со скругленными углами при учете собственного веса и сложной реологии

материала...................................................................................75

§ 7. Обсуждение полученных результатов......................................83

Глава 2. Моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрических тел с включениями при учете собственного веса и

сложной реологии материалов........................................................$5

§ 1. Упруго-вязко-пластическое состояние круговой цилиндрической трубы с включением находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений....................................................................85

§ 2. Определение напряженного состояния цилиндрической трубы с включением с учетом собственного веса и разномодульности материалов

трубы и включения............................................................................88

§ 3. Моделирование напряженного состояния цилиндрической трубы с включением с учетом собственного веса и некруговой формы

поперечных сечений трубы и включения.......................................96

§ 4. Обсуждение полученных результатов....................................108

Заключение................................................................................110

Литература................................................................................112

Введение

Одним из приложений классических теорий упругости и пластичности является механика горных пород. Основная цель механики горных пород как науки - это объяснение происшедших и предсказание развития предстоящих процессов изменения напряженно-деформированного состояния разных участков земной коры.

Механика горных пород зародилась как раздел геофизики на рубеже 19 и 20вв. на стыке геологии и механики и особенно тесно связана с инженерной геологией, механикой сплошной среды, гидро- и газомеханикой, термодинамикой. Методы этих наук широко используются в геомеханических исследованиях. В период бурного развития горнодобывающей промышленности в 40-60-х гг. 20 в., горная геомеханика создала научные основы для резкого повышения безопасности горных работ и роста производительности труда.

В задачах о горных выработках можно выделить следующие направления: вертикальные горные выработки, горизонтальные горные выработки, подземные полости, крепи горных выработок.

Задачи в каждом классе различаются как по принятой модели для описания свойств горных пород (упругое, упруго-пластическое, вязко-упругое и т.д.), так и по форме поперечного сечения выработки, по виду граничных условий на поверхности выработки и по ряду других специфических особенностей.

Остановимся более подробно на вопросах о крепях, где главной задачей является определение минимальной (оптимальной) толщины монолитной крепи, обеспечивающих безаварийное функционирование выработок.

Проанализируем известные решения данной проблемы, основанные на использовании теории устойчивости деформируемых тел.

Важно отметить, что в задачах устойчивости подкрепленных подземных сооружений первым этапом решения является нахождение

напряженно-деформированного состояния в массиве возле выработок, а так же в области крепей.

До настоящего времени в исследованиях [1,6,161] использовался приближенный подход Лейбензона-Ишлинского, а сами постановки задач являлись приближенными. Давление на внешнюю поверхность крепи (давление горных пород) в большинстве работ не определяется и считается независящим от физико-механических свойств горного массива и глубины. Таким образом, задача определения оптимальной толщины крепи выработки в существующих исследованиях сходны с задачей связанной с задачей устойчивости толстостенной оболочки, находящейся под действием постоянной внешней нагрузки [46, 47]. Однако, как показывают исследования [71] нагрузка на крепь в первую очередь определяется перемещениями горной породы и образованием зоны неупругого деформирования. Здесь остановимся на работах, выполненных в такой постановке.

В работе [1] определена оптимальная толщина цилиндрической крепи для случая, когда материал частично перешел в пластическое состояние. Докритическое напряженно-деформированное состояние считалось симметричным, а прочность материала, перешедшего в предельное состояние, оценивалась по прямолинейной огибающей кругов Мора. Решение определялось в рамках плоского и трехмерного осесимметричного подходов. Приведены значения толщины крепи, при которых на ее внутренней поверхности возникает предельное состояние. В работе [2] в качестве условия пластичности принималось условие Треска, а в работе [1] -уравнение состояния среды с внутренним трением и сцеплением.

В работах [6,37] отмечается, что наиболее достоверные результаты исследования устойчивости горных выработок получаются при привлечении более сложных моделей, как наиболее полно отражающих реальное поведение горных пород. Для сложных моделей сред, с учетом существования границы раздела зон упругого и пластического

деформирования горного массива, решению задач горной механики в рамах трехмерной теории устойчивости посвящены работы [29-30,142-143,145146,150].

Следует отметить, что одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является пространственная упруго-пластическая (упруго-вязко-пластическая) задача. Сложность задачи заключается в том, что в таких задачах граница раздела областей пластического и упругого заранее неизвестна и ее необходимо определить в ходе решения. Одним из методов позволяющих получить приближенное аналитическое решение подобных задач является метод возмущений, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми исходными данными [108].

Метод возмущений нашел широкое применение в различных разделах механики, физики, математики, а именно таких, как небесная механика, теория колебаний, устойчивость движения. Относительно недавно этот метод стал использоваться для решения краевых задач деформируемых тел со сложными физико-механическими свойствами. Начало его применения положили работы Пуанкаре [126], посвященные задаче о трех телах в небесной механике.

Применение метода возмущений в механике деформируемого твердого тела посвящены монографии Д.Д. Ивлева, JI.B. Ершова [59] и А.Н. Спорыхина, A.B. Ковалева, Ю.Д. Щегловой [147], в которых авторы, основываясь на схеме Ивлева-Ершова получили приближенные решения ряда задач для материалов со сложной реологическими свойствами. В рамках такого подхода в публикациях [3,7,24-26,59,75,80,86,87,139] и некоторых других было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач.

Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков [19-21] применили общий подход к решению задачи нахождения упруго-пластической границы, когда пластическая зона носит локальный характер, т.е. не охватывает весь контур.

В рамках предложенной ими схемы в работах [19,158] была решена задача об определении положения границы раздела упругой и пластической зон при кручении стержня эллиптического поперечного сечения.

Соколов А.П. первым применил метод малого параметра для решения упруго-пластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластины с круглым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана в первом приближении [140].

В обзорных статьях и монографиях М.Т. Алижманова, А.Н. Гузь, А.Н. Спорыхина [5,6,38] отражены результаты исследований в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел с использованием метода возмущений. Применение метода возмущений в задачах газа и гидромеханики отражено в работе Ван-Дайка [23].

Исследование полей напряжений и деформаций в пластинах с некруговыми отверстиями было проведено в работах Калужского И.И, Скрипачева A.B., Кузнецова В.В. [69,84] и других. В работах Артемова М.А. [12,13] найдены приближенные решения задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым и эллиптическим отверстием, а также об эксцентрической трубе, подверженной действию внутреннего давления. Аналогичным образом, малый параметр, характеризующий геометрию тела, использовался при изучении образования шейки в образцах [111], правки листов [39], кручения валов различной поперечной формы [92]. Решения некоторых упругопластических задач, полученных методом малого параметра, изложены в монографии Савина Г.Н. [131]. В работах [75,149] определялось напряженно-деформированное состояние в упрочняющихся упругопластических пластинах с отверстиями различных очертаний. В частности, были рассмотрены круговое отверстие, отверстие в виде эллипса и отверстие близкое по форме к правильному многоугольнику. Авторы работ [79,80,121] и др. рассматривали подобную по геометрии задачу, но в рамках сложной упруго-вязко-пластической среды.

Исследованию напряженно-деформированного состояния

пластинчатых конструкций с запрессованными включениями в рамках теории возмущений посвящены работы [76,165].

Метод возмущений в задачах о двухосном растяжении упруго-пластического пространства с включением нашел применение в работах Марушкей Ю.М. [96-97].

Для метода возмущений играет важную роль вопрос о сходимости приближений. Применяя метод возмущений ко многим задачам математики, механики, физики А. Найфе [108,7с.] отметил, что «В соответствии с методом возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения». В свою очередь Ван-Дайк отмечал в работе [23]: «Можно вычислить только несколько членов возмущенного разложения, обычно не больше, чем два или три, и почти никогда не больше, чем семь. Получающиеся ряды часто медленно сходятся или даже расходятся. Тем не менее, эти несколько членов содержат значительную информацию, из которой исследователь должен извлечь все, что возможно».

История и опыт применения метода возмущений показала, что как правило два приближения во многих случаях определяют решение задачи, пригодное для практики. Сходимость метода была исследована Ивлевым на основе двух примеров, имеющих точные решения. Точное решение задачи о растяжении пластины с круглым отверстием дано Л.А. Галиным [28] для случая плоской деформации и Т.П. Черепановым [159] - для случая плосконапряженного состояния. Д.Д. Ивлевым [59] было проведено разложение точных решений по малому параметру, представляющему собой разность между растягивающими усилиями, и их сравнение с решениями, полученными методом малого параметра. В результате выяснилось, что

четыре члена первого разложения в точности совпадают с четырьмя приближениями, полученными Д.Д. Ивлевым.

В работе Г.П. Черепанова [149] показано, что для описания точного решения достаточно четырех приближений, а для описания решения JI.A. Галина - двух.

В работе [50] на основе теоремы о неявных функциях рассмотрен вопрос о существовании и единственности решении задачи для цилиндрической трубы, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений с границами близкими к круговым.

Исследования А. Надаи охватывают широкий круг вопросов теории пластичности и ползучести, уделено большое внимание проблемам теории упругости, статики сыпучих тел и геомеханики. Исследования [107] о распределении напряжений в сыпучем грунте, находящемся под действием собственного веса, дали уточнения существующим результатам для задач о равновесии идеально сыпучих материалов.

Далее, исследования Матвеева C.B. [95,98-100] показали, что сила тяжести оказывает влияние на напряженно-деформированное состояние, форму и размер упруго-пластической границы в задачах упруго-пластического состояния тяжелых тел, ослабленных отверстиями, и позволили сделать уточнения результатов полученных ранее, когда массовые силы не учитывались в уравнениях равновесия. В рамках метода возмущений в настоящее время получено достаточно результатов по общим вопросам и по решению отдельных классов задач с использованием сложных моделей сред актуальных для различных областей естествознания, в том числе и для механики горных пород.

Анализ отмеченных работ показывает, что до последнего времени мало исследованным остался класс задач, в которых бы учитывалась сила тяжести крепи подземных сооружений. Безусловно, что, когда действуют незначительные внешние нагрузки или давления на поверхность крепи выработки неглубокого заложения, то местные массовые силы будут давать

лишь небольшую добавку к основным напряжениям. Очевидно, в случае выработок глубокого заложения, что характерно для задач механики горных пород, необходимо создание более массивных крепей, и как следствие, наряду с действием массива горных пород, требует также учета влияния собственного веса крепи на напряженно-деформируемое состояние, что является актуальной и практически значимой задачей механики сплошных сред.

В настоящей работе исследуется ' напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы с учетом собственного веса в случае, когда в пластической зоне материал трубы и включения описывается соотношениями упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела [142], которая моделирует собой крепь горной выработки. Сложные модели среды, учитывающие такие свойства, как пластичность, вязкость, упрочнение при этом наиболее полно описывают поведение реальных материалов и горных пород [148] и позволяют получить более точные решения в конкретных задачах о напряженно-деформированном состоянии.

Актуальность темы и направленность исследования.

Исследование напряженно-деформированного состояния сред с учетом влияния силы тяжести дает уточненные и более достоверные результаты, отражающие реальное поведение горных пород в геомеханики и представляет существенный научный и практический интерес.

Однако, использование уточненных постановок и усложненных моделей сред, как наиболее полно описывающих поведение реальных тел, влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения.

Этим и определяется выбор темы диссертации как актуальной для механики сплошной среды.

Основным направлением диссертационного исследования является численно-аналитическое исследование напряженно-деформированного

состояния некруговых цилиндрических тел с включениями с учетом собственного веса конструкции сложной реологии материалов.

Методы исследования.

Напряженно-деформированное состояние в рассматриваемых задачах определяется с помощью метода возмущений, который нашел широкое распространение при решении плоских упруго-вязко-пластических задач.

Научная новизна.

Впервые получены новые теоретические результаты в рамках метода возмущений по деформированию «тяжелых» цилиндрических труб с учетом силы тяжести для модели среды, учитывающей упрочняющиеся упруго-вязко-пластические свойства.

Выявлено влияние силы тяжести, физико-механических характеристик (пластичность, упрочнение, вязкость), формы поперечных сечений толстостенных цилиндрических труб и включения, находящееся в пластическом состоянии на форму и размер упруго-пластическо