Задачи устойчивости нелинейно-упругих сред при кручении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

од

• I • >

2 -

На правах рукописи

Сумин Виктор Александрович

ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ СРЕД ПРИ КРУЧЕНИИ

01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Воронеж-1998

Работа выполнена в Воронежском.государственном университете Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Спорыхин

Официальные оппоненты:

Защита состоится 25 июня 1998г. в 10 часов на заседании диссертационного совета К.063.48.13. при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 23 мая 1998г..

доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААиС М.И. Ерхов

доктор физико-математических наук, профессор А.Д. Чернышев

Ведущая организация:

Конструкторское бюро химавтоматики, г. Воронеж

Ученый секретарь

I'

диссертационного совета

Ковалев А.В.

Общая характеристика работы

Настоящая диссертационная работа посвящена постановке и решению задач устойчивости кручения стержней эллиптического и кругового поперечных сечений из нелинейно-упругого материала, описываемых потенциалами Муни, Трелоара и двухконстантным. Для решения поставленных задач предложен подход, связанный с применением общей теории устойчивости движения. Установлены области устойчивости относительно конечных, начальных возмущений.

Фундаментальный вклад в развитие теории устойчивости упругих сред при малых и конечных докритических деформациях по отношению к малым возмущениям внесли Бабич И.Ю., Болотин В.В, Гузь А.Н., Ершов Л.В., Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Лурье А.И., Новожилов В.В., Спорыхин А.Н., Толо-конников Л.А., Адкинс Дж., Веселовский 3., Грин А., Ривлин Р., Спенсен А. и другие отечественные и зарубежные ученые. Задачи устойчивости нелинейно-упругих сред при конечных возмущениях рассматривались в работах Болотина В.В., Спорыхина А.Н., Сумина А.И.

Вопросы устойчивости нелинейно-упругих сред в "большом" при неоднородном докритическом состоянии практически не рассматривались. Следовательно, вопросы устойчивости деформирования нелинейно-упругих сред при малых и конечных возмущениях для неоднородного начального состояния являются актуальной задачей теории устойчивости.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач течения и деформирования сред сложной структуры" (код по ГАСНИТИ 50.53/08).

Цепь работы заключается:

- в применении идей теории конечных возмущений к решению задач устойчивости нелинейно-упругих сред при неоднородном докритическом состоянии;

- в решении задач кручения цилиндра круглого и эллиптического поперечных сечений при малых и конечных возмущениях для частных видов упругого потенциала;

- в определении, аналитическим путем, напряженно-деформируемого до-критического состояния поставленных задач кручения;

- в получении графических зависимостей между параметрами нагрузки цилиндра для малых возмущений; моментом и модулем начальных возмущений для конечных возмущений.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что для сжимаемого и несжимаемого нелинейно-упругого материала на основе идей теории возмущений:

- приведены основные уравнения, с использованием несимметричного тензора напряжений Кирхгофа, определяющие деформирование нелинейно-упругих тел, описываемых потенциалами Муни, Трелоара и двухконстантным;

- дано обобщение метода возмущений применительно к задачам из нелинейно-упругого материала для указанных потенциалов;

- дана постановка задач устойчивости для неоднородного начального состояния (кручение цилиндра круглого и эллиптического поперечного сечений);

- аналитическим путем, в основном состоянии, определена связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций для поставленных задач;

- проведен вычислительный эксперимент для конкретных материалов. Построены графические зависимости между моментом М и безразмерной круткой 14/ в случае исследования устойчивости в "малом" и зависимости максимального модуля возмущений \/\ от крутящего момента М при исследовании устойчивости по отношению к конечным возмущениям.

Практическая ценность Полученные в диссертационной работе резуль-аты могут быть использованы в задачах точного машиностроения, в задачах ■еофизики, а также в тех областях практической деятельности, где необходимо ■честь неоднородность докритического состояния или оценить уровень начать-¡ых возмущений.

Достоверность установленных в работе результатов базируется на корсетной математической постановке задач устойчивости и их решений в рамках -очных трехмерных .уравнении. Полученные в.работе численные результаты югласуются с общими физическими представлениями. В случае малых возму-цений, полученные теоретические результаты совпадают с результатами, Полуниными в рамках трехмерной линеаризированной теории. Правильность рабо-'ы комплекса программ проверена путем решения тестовых задач.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- обобщение метода конечных возмущений А.Н. Спорыхина - на неоднородное докритическое состояние нелинейно-упругих тел описываемых, потенциалами Муни, Трелоара и двухконстантным;

- решение задач устойчивости кручения стержней кругового и эллиптического поперечных сечений для малых и конечных возмущений;

- выявление влияния геометрических и механических параметров (для конкретных материалов), внешних нагрузок на величину крутки в зависимости от допустимых начальных возмущений;

■ построение области возмущений и оценка трехмерной линеаризированной теории.

Апробация работы Отдельные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретиче-кой и прикладной механики Воронежского государственного университета в 994 - 1998 гг, на научных конференциях ВГТА 1994 - 1996 г, на Всероссий-кой конференции информационные технологии и системы 1995 г, на Воро-[ежской зимней математической школе 1995 г.

Публикации Основные результаты диссертации представлены в 7 публикациях.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (13 параграфов), приложения, заключения и списка литературы, включающего 105 наименований. Работа содержит 105 листов машинописного текста, включая 9 рисунков.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ, касающихся темы диссертации, обоснована актуальность темы рассматриваемой работы и изложено ее краткое содержание.

Первая глава данной работы посвящена исследованию устойчивости деформирования нелинейно-упругих сред при малых и конечных возмущениях для неоднородного начального состояния.

Приведены соотношения, определяющие напряженно-деформируемое состояние нелинейно-упругого тела:

- уравнения движения в напряжениях

V,rv +XJ-pÜJ-0 (1)

- связь между компонентами тензора деформаций и перемещениями

+ (2)

В предположении существования функции энергии деформации

W = W(IX,I2,I3), W=fT(Al,A1,A3).. (3)

- связь между компонентами тензора обобщенных напряжений и перемещениями:

для сжимаемого тела

■ BW ■ dW 5W

S* = 2 g'J — + 2BV — +2I}G'J —. (4)

а/, dl2 5/3

для несжимаемого тела

• ■ д\У

+ 2 В^ + РС\ (5)

¿7/) 0/2

где

В'к=1^к-ё"8*кСГ!, (6)

<?я=2£„. (7)

- связь между тензором обобщенных напряжений и тензором напряжений Кирхгофа

Т'' +УГ[/7) (9)

Граничные условия в напряжениях на части поверхности и в перемещениях на части поверхности 5, записываются в форме.

^«Ь =/»(*1.*2»*эД (И)

Для несжимаемого тела имеет место условие несжимаемости

/3 =1;или &-5ЕЧ =0, _ (12)

где /3 - квадрат относительного изменения объема

Уравнения (1) -(12) будут представлять собой, при соответствующем выборе упругого потенциала, замкнутую систему уравнений, описывающую движение деформируемой сплошной среды.

Приведем частные формы упругого потенциала, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

а) потенциал Трелоара

Ж = с1й(1,- 3). (13)

б) потенциал Муни

К^С^-З^С^-З). (14)

в) двухконстантный потенциал

В соотношениях (13)- (15) Х,ц - постоянные Ламе, а С01 и С10 постоянные, характеризующие свойство материала.

Потенциалы (13), (14) описывают поведение несжимаемого материала. Потенциал (15) описывает поведение сжимаемого материала.

Система уравнений (1) - (12), описывающая напряженно - деформируемое состояние деформ*!руемого твердого тела, представляет собой сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку аналитические решения возможны только лишь в некоторых частных случаях, то одним из широко применяемых приближенных методов решения задач является разложение компонент перемещения в основном состоянии в ряд по малому параметру е.

то

с/, = ]Г ¿¡"с/,1"*. (16)

При этом, подставляя (16) в (1) - (12) и учитывая три члена этого ряда, получена система уравнений для определения решения в основном состоянии. Рассматривалась устойчивость основного процесса деформирования по отношению к конечным возмущениям. Линеаризация уравнений не проводилась и краевая задача в возмущениях записана в виде

У,Г (17)

Т,ти\ =Рт. (18)

Т'т =Г""(\) + Т'т(2) + Т,т(3) + ... (19)

( оо

где Г™ = Г"" ии.,...,Я,-

здесь величины с ноликом соответствуют основному состоянию, возмущениям не приписан никакой индекс. Р' ,Рт - возмущения массовых и поверхностных

сил, л, - параметры среды. Соотношение (19) задает нелинейную реологическую связь между возмущениями тензора напряжений Кирхгофа и тензором деформаций, в предположении существования функции энергии деформации. Величины в скобках показывают порядок слагаемого относительно возмущений перемещений.

Решение нелинейной краевой задачи (17) - (19) выбиралось в виде ряда

со

(« = 1.2,3,4) (20)

ы

где /,(/) - неопределенные коэффициенты, зависящие от времени, а

" функции, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям для Ь'т(х1). По повторяющимся индексам осуществляется суммирование. Если размерность индекса не оговаривается, то он изменяется от 1 до 3. Записано вариационное уравнение метода Бубнова-Галеркина, соответствующие нелинейной краевой задаче (17) - (19), откуда, с учетом (20), получена система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. В отсутствии возмущений массовых и поверхностных сил эта система имеет вид

+ с*л + ^и^ь^ии, +...=0. (21)

р, к, с!, г = 1,2,3,.... где коэффициенты уравнения в общем виде представили в форме

4 = Ро скр = ¡Г^^у-

г 1' (22)

ВЫ = [г-му^у; ь^г =

V V

Количество нелинейных членов в системе уравнений (21) и вид коэффициентов (22) конкретизируется заданием формы упругого потенциала.

Таким образом, вопрос об устойчивости основного процесса деформирования нелинейно-упругой среды свелся к вопросу об устойчивости нулевого

решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (21), (22) с постоянными коэффициентами.

Показано, что если функция

будет положительно определенной для тех значений координат и скоростей, которые не превосходят значений, найденных из соотношений

то согласно первой теореме Ляпунова об устойчивости, невозмущенное состояние будет устойчиво в этой области, так как производная от функции по времени, в силу системы (21), не положительна.

Для потенциалов (13) - (15) получен конкретный вид системы уравнений (21), а также коэффициенты этой системы

Обсуждается условие положительности функции П для возмущений, не превосходящих значений, найденных из соотношений (24), выполнимость которых позволяет для каждого значения параметра нагрузки, входящего в коэффициенты системы уравнений (21) и геометрии тела, получить области возмущений, в которых нулевое решение системы (21), а следовательно и основной процесс деформирования будет устойчив. Сделан переход от соотношений теории конечных возмущений к соотношениям трехмерной линеаризированной теории устойчивости при малых возмущениях.

В главе II решаются задачи об устойчивости кручения цилиндра круглого поперечного сечения из нелинейно-упругого материала при малых и конечных возмущениях для различных форм упругого потенциала: Муни, Трелоара и двухконстантного.

Рассматривается цилиндр постоянного поперечного сечения Я, образующие которого параллельны оси г, а плоские торцы определяются уравнениями г = 0, а к поверхности г = Ъ приложена пара сил с моментом М. Основание ци-

1

(23)

(24)

линдра жестко закреплено. Предположено что при равномерном простом кручении плоскости перпендикулярные оси цилиндра поворачиваются в своих собственных плоскостях на угол тг, г обозначает расстояние от одного конца цилиндра до сечения.

Решение задачи об определении напряженно-деформируемого состояния построено в криволинейных координатах х,

хх = х + 1у = хг=х-1у = С\ хг=г. (25)

где х, у, г - декартовы координаты для недеформируемого тела.

Предполагается, что в основном состоянии перемещения можно представить в виде (16). В качестве £ выбирался угол кручения на единицу длины не-аеформируемого тела.

Получена с точностью до членов порядка С>(.г3) неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно

и.

о <*)

Решение этой системы для потенциала Муни найдено в форме

I 2 -Э 2 2 -

и\2) рт ~~(ро -ь2С0|)г2 -ЗС0 (26)

2ь 3(р0+2С01) 2 2^ 3(р0 + 2С0,)

= Р0) = 2(Ро + 2С0|)/г: +6С0|/^Г. .

Также построены решения для потенциалов Трелоара и двухконстантно-го. Решение задачи типа (17) - (19) в возмущениях выбиралось в виде ряда (20). При этом в качестве полной системы базисных функций выбирались функции,

удовлетворяющие геометрическим граничным условиям на поверхности цилиндра.

Выбор базисных' функций, при заданных геометрических параметрах скручиваемого цилиндра и физических характеристиках материала, позволил в конкретной форме вычислить коэффициенты (22), и, следовательно, записать в явном виде функцию Ляпунова (23), а также и систему алгебраических уравнений (21) из которой определяются величины начальных возмущений /(. При этом учитывалось полученное,решение в основном состоянии (26).

Предложен алгоритм поиска критических параметров для численной реализации задач устойчивости в "большом" и в "малом". В первом случае (при фиксированных геометрических и физических характеристиках) задача определения критических параметров сведена к минимизации значений начальных возмущений / = гшп|/,|,...,|/у|}, определенных из (21), для которых выполняется условие положительной определенности функционала П типа (23). Во втором случае задача определения критических параметров сводится к многомерной минимизации соответствующего характеристического уравнения. В обеих случаях принималось во внимание, что отличными от нуля компонентами момента М является Мъ (&) (к=1,2, 3).

Результаты вычислительного эксперимента выполнены для материала резина 2959 (потенциалы Муни (14), Трелоара (13)), полистирола (двухконстант-ный потенциал (15)) и представлены на рис.1 и рис.2.

Графические зависимости в случае исследования устойчивости в "малом" представлены для потенциала Трелоара - на рис.1 кривой 4, для потенциала Муни на рисунке 1 кривая 5, а для двухконстантного потенциала на рис.1 кривая 6. Здесь представлена зависимость между моментом М и безразмерной

1 1 о

круткой при отношении длины цилиндра к радиусу — = 3. В случае исследо-

У?

вания устойчивости в "большом" зависимость максимального модуля возмущений |/| от крутящего момента М представлена для Муни на рис.2 кривая 2,

Значение Л/, рис. 2 кривая 2 соответствует точке бифуркации, найденной по линеаризированной теории, что согласуется с результатами, приведенными на рис. 1 кривая 5 — точка Мм . Как следует из рисунка 2, область устойчивости относительно возмущений сужается при приближении к точке бифуркации и растягивается вблизи ее в точку, что согласуется с результатами Спорыхина \.Н.. Если возмущения превысят определенный для каждого М предел, то функция П станет отрицательной, и согласно первой теореме Ляпунова, нуле-юе решение будет неустойчиво. Из графиков следует, что цилиндр может по-•ерять устойчивость раньше критического момента, определяемого по линеари-ированной теории, если только возмущения превосходят по абсолютной вели-ине некоторое значение, найденное из условия положительности функционала 1, для величин возмущений, определяемых из (21).

Получается, что исследование устойчивости при конечных возмущениях отличие от линеаризированной теории, позволяет оценивать величины допус-имых возмущений, ■ действующих на деформированные элементы энструкций, что согласуется с выводами в работе Спорыхина А.Н..

Глава III посвящена решению задачи об устойчивости кручения цилиндра шиггтического поперечного сечения, описываемого потенциалами Муни, Тре->ара и двухконстантным, при малых и конечных возмущениях.

Для решения задачи выбирается система координат (25). Алгоритм поис-1 решений в основном состоянии и вычислительный эксперимент производит-по алгоритму, предложенному в главе И. В случае малых возмущений зави-мость между моментом М и безразмерной круткой ц/ представлена на рис. 1 ивая 1,2,3 для потенциалов Трелоара, Муни и двухконстантного соответст-нно. Для конечных возмущений зависимость между максимальным модулем

¿2

змущений ¡/| и моментом М для ■ ,, . -1 представлена на рис. 2

л](а2 + Ь2)аЬ

ивая 1 для Муни. Значение М. соответствует результату трехмерной линеа-

ризированной теории и определяет точку бифуркации. На рис.2 точка М. соот ветствует точке Ми.

Результаты вычислительного эксперимента выполнены для материала ре зина 2959 (потенциалы Муни (14), Трелоара (13)), полистирола (двухконстант ный потенциал (15)) и представлены на рис.1 и рис.2.

Рис.1

1/1 £

0,2

0,1

/ /

/ / /

к /

V

V \

\ \

\ ч |\

ч ч рч

\ ч 11

0,2 М, 0,4 0,6 М, 0,8 1,0 Рис. 2

— = 3 К

у/ = 0.3

у]аЬ[а2 + Ь2)

м

Основные результаты и выводы по работе

В заключении приведем основные результаты, полученные в

диссертации.

- для частных видов упругого потенциала выписана замкнутая система уравнений для решения задач кручения при разложении компонент перемещения в основном состоянии в ряд до третьего порядка.

- в рамках метода малого параметра в трех приближениях для потенциалов Муни, Трелоара и двухконстантного получено решение задач о докритиче-ском (основном) состоянии для цилиндра круглого и эллиптического поперечных сечений. Дано, следуя А.Н. Спорьгагну, обобщение метода конечных возмущений на неоднородные докритические состояния применительно к задачам из нелинейно-упругого материала, описываемого потенциалами Муни, Трелоара и двухконстантным. При этом использовался тензор напряжений Кирхгофа.

- показано, что в случае малых возмущений полученные краевые задачи переходят в соответствующие линеаризированные задачи трехмерной теории устойчивости при конечных докритических деформациях.

- получено решение и выполнена численная реализация задач устойчивости кручения цилиндра круглого и эллиптического поперечного сечения для потенциалов Муни, Трелоара и двухконстантного потенциала при малых и конечных возмущениях. Вычислительный эксперимент проведен для конкретных материалов (резины 2959 и полистирола).

- построены графические зависимости между моментом М и безразмерной круткой в случае исследования устойчивости в "малом" и зависимости максимального модуля возмущений |/| от крутящего момента М в случае исследования устойчивости при конечных возмущениях. Выявлено влияние геометрических и механических параметров и внешних нагрузок.

- установлено, что цилиндр может потерять устойчивость раньше критического момента, определяемого по линеаризированной теории, если только начальные возмущения превосходят по абсолютной величине некоторое

значение, найденное из условия положительности функционала Ляпунова.

1. Спорыхин А.Н., Сумин В.А. К устойчивости кругового цилиндра из неоднородного нелинейно-упругого материала при конечном растяжении и кручении. Современные проблемы механики и математической физики./ Тез докл. ВГТА. Воронеж. 1994,х. 91.

2. Спорыхин А.Н., Сумин В.А. Исследование устойчивости цилиндра при конечных возмущениях с учетом эффектов второго порядка. Воронсжска; зимняя математическая школа1995.(Современные методы теории функций \ смежные проблемы прикладной математики и механики)./ Тез. докл. 1995, с

3. Спорыхин А.Н., Сумин В.А. Кручение цилиндра круглого поперечного се чения при конечных деформациях. Материалы всероссийского молодежной научного симпозиума. ВГТА Воронеж, 1996, 6 - 10 с.

4. Сумин В.А. Об устойчивости цилиндра под действием растяжения и круче ния при конечных возмущениях. Материалы XXXIV отчетной научно] конференции за 1994 г./ Тез. докл. ВГТА. Воронеж. 1994, с. 295.

5. Сумин В.А. Кручение сжимаемого цилиндра при конечных возмущения? Всероссийская конференция информационные технологии и системы./ Те: докл. Воронеж, 1995, с. 37.

6. Спорыхин А.Н., Сумин В.А. Кручение цилиндра круглого поперечного се чения при больших деформациях. Вестник факультета ПММ. Воронеж 1998, 161 - 163 с.

7. Спорыхин А.Н., Сумин В.А. Об устойчивости кручения цилиндра эллигт ческого поперечного сечения при конечных возмущениях. Воронежска школа. "Современные проблемы механики и прикладной математики"/ Те

1с и Ms -iM-6 от 13. OS 9Нг. Тир. жх Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ-

Построены области устойчивости относительно возмущений для \f \ и М.

Публикации по теме диссертации

218