Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

(и!

Калашников Виталий Владимирович

□03053 ЮО

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ РАСТЯЖЕНИЯ, КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2007

003053100

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Карякин Михаил Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович

кандидат физико-математических наук, доцент Зеленина Анастасия Александровна

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится «20» февраля 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «18» января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета / БоевН.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Интерес исследователей к учету нелинейности в задачах деформирования упругих тел вызван несколькими причинами. Во-первых, с помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально при деформировании этих тел и могут играть важную роль при их практическом использовании. Во-вторых, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязко-упругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов.

Создание адекватных математических моделей таких материалов при полном учете нелинейности и их апробация должны основываться, прежде всего, на моделировании классических экспериментов, а, следовательно, на решении основополагающих задач теории упругости, описывающих простую деформацию тел (растяжение, кручение, изгиб и т.д.). В то же время решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, приводящие к существенно нелинейным уравнениям, решение которых не удается отыскать в аналитическом виде. Использование же численных методов решения краевых задач может оказаться слишком трудоемким. В таких случаях достаточно близкое приближение к решению можно получить, учитывая «эффекты второго порядка», т.е. квадратичные слагаемые относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. В связи с этим актуальным становится тщательный и корректный анализ эффектов второго порядка в задачах нелинейной теории упругости.

Цель работы состоит в качественной и количественной оценке эффектов второго порядка, получаемых при построении решения основных («классических») задач теории упругости о растяжении, кручении и изгибе методом разложений в ряд, а также в изучении вопросов определения констант второго порядка упругих материалов на основе анализа этих задач.

Научная новизна. Выяснена причина несовпадения двух широко известных формул, описывающих эффект Пойнтинга (удлинение скручиваемого стержня при отсутствии осевой силы) при кручении цилиндра из нелинейно-упругого сжимаемого материала. Показ ано,ЧГо статическая эквивалентность в интегральном смысле1 двух систем нагрузок на торцах цилиндра,-имеющего свободней боковую поверхность, не гарантирует совпадения в этих двух случаях интегральных деформационных характеристик (например, полного удлинения цилиндра).

В плоской задаче чистого изгиба прямого нелинейно-упругого бруса, решаемой ранее методом разложений в ряд тЬлько для предварительно изогнутых тел, построено решение, полностью учитывающее эффекты второго порядка. Проблема перехода в недеформированное состояние решена с помощью выделения особенности в полуобратном представлении деформации тела. С исполь-

зованием нового полуобратного представления с точностью до эффектов второго порядка для ряда общеупотребимых моделей сжимаемых нелинейно-упругих тел построены аналитические выражения для изменения толщины стержня при изгибе и положения нейтральной линии.

Построены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе классических статических экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб бруса.

Достоверность полученных результатов обусловлена несколькими причинами. В ряде частных случаев, проводилось сравнение найденных решений с результатами других авторов; линейные слагаемые получаемых разложений соответствуют хорошо известным формулам линейной теории упругости; полученные асимптотические выражения сопоставлялись с результатами численных расчетов; в некоторых случаях для решения одной и той же задачи использовались различные методы и подходы, и проводилось сравнение результатов.

Методика исследования. В работе использовались тензорный аппарат механики сплошной среды, полуобратный метод теории упругости, метод разложений в ряд (метод возмущений), методы компьютерной алгебры, метод конечных элементов, метод однородных решений, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных алгебраических уравнений и их систем.

Научно-практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы углубляют понимание ряда проблем нелинейной теории упругости и могут быть использованы при их решении. Результаты задачи о кручении и учет эффекта Пойнтинга важны при проектировании и калибровке некоторых высокопрецизионных устройств, например стержневых динамометров. Решения, описывающие эффекты второго порядка, могут служить тестовым эталоном при разработке новых конечно-элементных пакетов в определенном диапазоне деформаций. Новые результаты применения метода разложений в ряд в плоской задаче изгиба могут быть использованы для развития нелинейной теории пространственного изгиба. Аналитические выражения параметров материала Мурнагана могут быть использованы при экспериментальном определении или проверке значений констант второго порядка материалов различной природы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международных конференциях «Advanced problems in mechanics» (С.- Петербург (Репино), 2004) и «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2004), на III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004), на Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дюрсо, 2005), на XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005,

2006), на научных семинарах по проблемам ,механики сплошной среды в Ростовском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 96 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и xf атко описано ее содержание.

Полуобратный метод, в рамках линейной теории впервые введенный Сен-Венаном, был распространен на задачи нелинейной теории упругости в работах Дж. Адкинса, А. Грина, Л.М. Зубова, А.И. Лурье, К. Трусделла, и широко применялся в работах В.А. Еремеева, A.A. Зелениной, М.И. Карякина, P.C. Ривлина, Дж. Эриксена, A.C. Вайнемана и многих других ученых. Метод разложений в ряд (или, как его еще называют, метод возмущений) был предложен А. Синьорини и применялся в различных задачах нелинейной теории упругости в работах P.C. Ривлина, Ю.И. Кадашевича, С.П. Помыткина, P.C. Батра, М. Чен, 3. Чен, Ф. Дель Изола, П.М. Хаутона, К.А. Линдсея, Дж.С. Рута и других ученых. Метод однородных решений подробно описан и развит в работах А.И. Лурье, И.И. Воровича, Ю.А. Устинова и других. Задачи о растяжении, кручении и изгибе призм, решенные в рамках линейной теории упругости Сен-Венаном, обобщались в различных постановках на нелинейный случай в работах Дж. Адкинса, Л.Ю. Богачковой, А. Грина, Т.В. Гавриляченко, Ю.В. Захарова, A.A. Зелениной, Л.М. Зубова, М.И. Карякина, А.И. Лурье, К.Г. Охоткина, P.C. Ривлина, М. Чен, 3. Чен, A.C. Вайнемана, В.К. Валдрона и других авторов.

В первой главе «КРУЧЕНИЕ КРУГОВОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ» на основе сравнения метода возмущений при учете эффектов второго порядка с полуобратным методом на примере задачи кручения кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами изучается влияние способов реализации интегральных граничных условий на торцах на величину эффекта Пойнтинга.

Проблема учета эффектов второго порядка в задаче кручения может считаться классической, однако до сих пор в литературе известны две различающиеся между собой формулы для осевого удлинения стержня с произвольным поперечным сечением. Первая из них, с использованием метода разложений в ряд Синьорини, получена Р. Ривлиным (1953 г.); вторая - на основе другого варианта метода возмущений - приведена в монографии А.И. Лурье (1980 г.). Кроме того, в диссертации Т.В. Гавриляченко (2000 г.) было указано на несовпадение осевого удлинения цилиндра, приведенного в работах А.И. Лурье, и

решения, полученного на основе полуобратного метода нелинейной теории упругости.

Удельная потенциальная энергия деформации материала Мурнагана имеет вид

Г = + -2Ц/2 + 1(/ + 2ЯУ,3+ щ, (1)

где X, константы Ламе линейной теории упругости, 1,т,п - константы второго порядка, у„ = 7„(К), п-1,2,3 - главные инварианты тензора деформации Коши-Грина К = ]/2(С-Е) (в - мера деформации Коши, Е-единичный тензор).

Формула А.И. Лурье осевого удлинения стержня при кручении при учете эффектов второго порядка в случае материала Мурнагана (для стержня круглого поперечного сечения), имеет вид

АЬ _ у2г2 I ~ 4

1

(2)

_(1 + уД 4ц. 211)

где у - погонный угол закручивания стержня, гу - радиус цилиндра до деформации. Формула Ривлина отличается от (2) первым слагаемым в круглых скобках: в ней 2у , а не V.

Анализ различных моделей материалов показал, что разница в количественном выражении эффекта Пойнтинга при использовании этих двух формул может быть существенна (до 25%). В связи с этим, определение причин расхождения результатов имеет большое значение.

Подход А. И. Лурье основан на замене решения задачи о равновесии нелинейно-упругого тела вида

У-Б + р0А = 0; (3)

п-Ъ(1о = /<Ю, (4)

о

где V - оператор градиента в отсчетной конфигурации; р^ — плотность тела в отсчетной конфигурации; к - вектор массовых сил; п - внешняя нормаль к поверхности; йо, <10 - элементарные площадки поверхности в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно; В - тензор напряжений Пиолы; / - отнесенная к деформированной поверхности внешняя нагрузка, которая предполагается «мертвой»:

= (5)

последовательностью двух задач:

— линейной задачи

У-о(у) + р0А = 0, п- <т(у) = /°; (6)

— задачи об эффектах второго порядка

У-в(иО + р0А*=0, л-«(>«>) = /.,

основанной на уже известном решении предыдущей задачи.

В (6), (7) зависимость тензора о от вектора перемещений соответствует классическому закону линейной теории упругости

о о о

с(и) = XV- и Е + ц(Ун+ Уи1), а роль массовых и поверхностных сил в (7) играют векторы

о г0

Ро А. = У-

Уу с(» + С'0)

/.—И-

о

Уу о(У) + о'^)

Задачи (6), (7) получаются из (2), (3) в результате разложения вектора перемещений и = и>, в котором V - предполагаемое известным решение линейной задачи, а ь> компенсирует слагаемые второго порядка (конкретное выражение тензора о' зависит от вида нелинейно-упругого потенциала IV).

В ряде случаев постановка (7) позволяет найти некоторые характеристики деформации без определения вектора и>, т.е. без решения краевой задачи. В случае кручения такой характеристикой является осевое удлинение цилиндра, которое в задаче о кручении упругого призматического стержня торцевыми моментами находится по формуле (2).

Для сопоставления данного подхода с полуобратным методом в работе рассмотрена задача деформирования сплошного цилиндрического вала равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения, а длина до деформации достаточно велика. Для материала цилиндра использовалась модель Мурнагана (1).

Процесс кручения цилиндра описывается следующим преобразованием отсчетной конфигурации в актуальную:

Я = Р(г), Ф = ср + 1|/г, 2 = а.1, (В)

где 0</•</[, -1/2<г<Ь/2, Р{г) - неизвестная функция изменения радиуса стержня, а - удлинение стержня при кручении, I - длина стержня до деформации. Цилиндрические координаты отсчетной конфигурации обозначены г,(р,г, соответствующие им векторы ортонормированного базиса - ег,с^,ег.

Координаты стержня после деформации обозначены соответствующий

им ортонормированный базис - ек, еф, ег.

о

Уравнения равновесия V- Б = 0 сводятся в рассматриваемой задаче к одному соотношению вида

ЛО-о 1 / \

-~+-(Д,/г-Арф)-у£>2ф=о, (9)

аг г

а граничное условие незагруженности боковой поверхности цилиндра имеет вид

ОгД1г=_ =0 (10)

Граничные условия на торцах выполняются в интегральном смысле, обеспечивая отсутствие осевой растягивающей силы и совпадение суммарного момента действующих на торце напряжений с заданным крутящим моментом.

В случае материала Мурнагана краевая задача (9), (10) приводит к очень громоздкому уравнению для определения Р(г), однако если учесть в нем слагаемые не выше второго порядка, т.е. представить соотношение (8) в виде

R = r + g(r)\y2, Ф = cp + ц/z, Z = (l + 6\y2)z, то линейное уравнение для определения g(r) решается в явном виде / >._(-8ш + 6я + 24ц)у + 4т-Зи-8ц 3_ 8(Г)~ 64jLl(v — l)

(- 16m + An - 16ц)у2 + (16m + 56ц)у - 4m - п - 24ц 2

г, + 5v

г.

64ц(у-1)

Вычисленное с его использованием относительное удлинение с точностью до квадратичных слагаемых имеет вид

(8 -1)\|/2 = — =

L 4

1

nv /, - \ т

. 2v---(1 - 2v)—

(1 + v)^ 4ц У2ц

-1

(П)

т.е. совпадает с формулой Ривлина.

В то же время, в работе показана корректность подхода А.И. Лурье к описанию эффектов второго порядка на примере задачи об одноосном растяжении стержня из материала Мурнагана. Полуобратное представление деформации имеет вид (8), где у = 0. Выражение функции Р(г) в этом случае получено в аналитическом виде

где обозначено

А = {1- 2у)(4(з - 52) / + (1 -52) и + 2(1 + б2) от - 4ц), В = (2у -1)2(б2 -I)2 (4т2 + и2 - 4тп - 24т/ + 8и/)+ + (б2 - 1)(з2т/(2у -1)2 + 8|д(и(у -1) + 2ш(4у ~ 1)))+ 16ц2

Из условия £>гг —<7 = 0, где у — величина внешней нагрузки, найдено разложение параметра а по степеням д в виде

где

CL = \. + a.xq + a.2q +1

а1

'2ц(1 + у)'

а квадратичное относительное удлинение стержня, налагаемое на «линейное удлинение» ег=щд, имеет вид

«2<72 = ~е23 - ^-^[/(1 - 2vf + 2т(\ + у)(1 -V - 2у2)+ Зт,2]. (12)

Формула (12) совпадает с аналогичной формулой, приведенной в монографии А.И. Лурье (после устранения в последней опечатки).

Приведенное в работе точное решение нелинейной задачи кручения стержня из упрощенного материала Блейтца и Ко позволяет установить причину различия при использовании двух подходов к определению величины эффекта Пойнтинга. Для этого постановка задачи кручения в эффектах второго порядка записана в явном виде двумя способами:

1. Рассмотрена постановка задачи (7). Используя явные выражения решения задачи кручения для материала Блейтца и Ко, уравнения и краевые условия в (7) переписаны в виде

о

У-оЦ)+р0 А.= О, ег-в(п>1) = -2г2^.Ц12ег-2г^1\\12ег при г-г,х (13)

ег-а(>»'1)=Щ|/2(г2-г2)ег при г = ±£/2.

2. С помощью явного выражения решения задачи кручения построено сначала выражение добавочного вектора н>2 в задаче о кручении, затем записана постановка задачи в форме (7):

о

У-с(и'2)+роА, =0, " ег-<5(ы2)--=-222\х.\\)2 ег-гг\\\у2 е„ при г = гх, , . (-14)

е2-о(и>2)=-2Г11\\12ег-11у21г2 ~^г2)е1 ПРИ * = ±£/2.

2

Краевые задачи (13), (14) записаны в координатах отсчетной конфигурации и отличаются краевыми условиями на торцах. Именно это отличие и вызывает несовпадение в величине относительного удлинения стержня в целом.

Для оценки влияния граничных условий на величину относительного удлинения рассмотрена задача о разности £ = у*2- н>! решений линейных краевых задач (13), (14)

ег о(£) = 0 при г = /р (|5)

ег-а(Л) = -2г^\]12ег-цу2^г2 ПРИ ^ = + 1/2.

Задача (15) имеет следующий недостаток: граничные условия противоречат условию симметричности тензора напряжений на окружностях, ограничивающих торцы цилиндра, и, следовательно, приводят к несимметричности тензора в некоторой области, охватывающей эти окружности. Аналогичное нару-

шение симметричности присуще и задаче (13), иными словами, постановка (7) в задаче кручения приводит к несимметричности тензора напряжений.

При выводе основных уравнений теории эффектов второго порядка существенно использовалось предположение о «мертвом» характере внешней нагрузки. Подобное допущение, естественное для задачи растяжения стержня, не представляется столь же оправданным для задачи кручения.

Действительно, если в исходной нелинейной постановке (3), (4) при выводе краевой задачи об эффектах второго порядка (7) вместо граничного условия типа (4), (5), означающего «мертвый» характер внешней нагрузки, взять достаточно естественное граничное условие / = цп|/еф, то после перехода от координат текущей конфигурации к принятым в задаче координатам отсчетной конфигурации краевые условия становятся симметричными, и решение такой задачи совпадает с решением полуобратным методом.

В работе рассмотрен вопрос о количественном влиянии разницы между способами приложения нагрузки на торцах на величину относительного удлинения стержня. Линейное представление касательных напряжений i2r в (15) заменено кусочно-линейным распределением, которое согласовано с требованием симметричности а:

IP/soC'i -OOi -Е0). re[ri-e0,Ai]'

Показано, что в линейной задаче (15) нормальные напряжения на торце не вызывают удлинения стержня в целом, поэтому рассматриваются только касательные напряжения на торце. В связи с этим задача (15) переписывается в виде

V-<*(<?) = 0,

L W

er-o(f)=0 при r = rx, ez-<s{Z)=x,rer при z = ±-.

На рис. 1 представлено распределение нормальных напряжений ст2 по боковой поверхности стержня, построенное методом конечных элементов с применением пакета FlexPDE и методом однородных решений с использованием пакета Maple при значениях v = 0.25, L\rx = 12, vj/r, = 0.3.

При удалении от торца напряжения быстро убывают и практически обращаются в нуль на расстоянии, равном диаметру вала. Это означает, что принцип Сен-Венана в смысле отсутствия напряжений в зоне, достаточно далекой от области приложения самоуравновешенной нагрузки, в данной задаче выполняется.

(¿/г, =12).

В работе определена зона стержня, удлинение которой пренебрежимо мало и, следовательно, относительное удлинение которой в исходной задаче кручения зависит лишь от интегральных характеристик граничных условий, а не способа их реализации. Для этого рассмотрен цилиндр длиной Ь = Ь - 25, расположенный на расстоянии 5 от торцов стержня, и построено выражение относительного удлинения такого цилиндра е- АЪ/ь при увеличении значения 5. Полученная зависимость приведена на рис. 2.

Рис. 2. Определение зоны стержня, удлинение которой не зависит от способа реализации граничных условий на торце, зависимость относительного удлинения е от параметра 6.

Расчеты для сгержней разной геометрии показали, что зоной, свободной от влияния способа задания граничных условий на торце, будет область стержня, для которой 5¡L > 1/6.

Полученный результат означает, что принцип Сен-Венана применим и к интегральным деформационным характеристикам, но не для тела в целом, а для его некоторой части, достаточно удаленной от областей приложения нагрузок.

w Во второй главе «ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ЧИСТОГО ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ» методом разложений в ряд исследована плоская задача чистого изгиба прямого стержня для трех видов моделей нелинейно-упругого поведения: полулинейного материала, материала Блейтца и Ко, материала Мурнагана. /

Исследование эффектов второго порядка при изгибе .призматических тел до настоящего времени было представлено в литературе лишь работами, рассматривающими предварительно изогнутые тела. Это «невнимание» к задачам изгиба прямого стержня связано с наличием некоторой особенности, которая кроется в соотношениях, описывающих деформацию при изгибе.

В работах A.A. Зелениной, Л.М. Зубова (2000,j:,),построено новое полуобратное соотношение, позволяющее свести пространственную задачу о чистом изгибе прямого нелинейно-упругого бруса к двумерной краевой задаче на его сечении. В то же время, предложенное полуобратное Соотношение не позволяет провести линеаризацию по параметру изгиба (кривизне изогнутой оси) поскольку не допускает предельного перехода в недеформированное состояние прямого стержня.

С целью понимания и устранения проблемы полуобратного представления для возможности дальнейшего применения метода последовательных приближений, вместо пространственной задачи рассмотрена более простая плоская задача изгиба нелинейно-упругого прямоугольника (рис. 3).

У

х

а

h

Рис. 3. Представление деформации при чистом изгибе.

Через х, у, z обозначены прямоугольные декартовы координаты отсчет-ной конфигурации, цилиндрические координаты текущей конфигурации обозначены Я, Ф, 2. Деформация стержня описывается представлением

Я = Р(х), Ф = Ву, 1 = 2. (17)

Здесь В - кривизна стержня, при малых изгибах и являющаяся малым параметром задачи.

Из (17) видно, что при В 0 координата Ф -> 0, и стержень вырождается в отрезок: Ле[-/г/2,/г/2], Ф = 0. Кроме того, как показано далее, функция Р(х) зависит еще и от параметра В, причем эта зависимость является сингулярной в точке В = 0, что делает невозможным прямое применение метода возмущений.

Задача плоского изгиба нелинейно-упругой полосы из полулинейного материала, удельная потенциальная энергия деформации которого имеет вид

Ж = 1/2 Х1г2 (и - Е) + цйг[(и - Е)2 ], (где II - левый тензор искажения), была решена А. И. Лурье с помощью комплексного преобразования координат отсчетной конфигурации через гармонические функции комплексного переменного. При решении этой краевой задачи полуобратным методом, основывающимся на представлении (17), уравнения равновесия без учета массовых сил и граничные условия на боковой поверхности

У-В = 0, (18)

*хЦх*Ю/2 =0

сводятся к системе уравнений определения функции Р(х) вида

(Ьс ^ (19)

°*д|*=±а/2 =0>

которая в случае полулинейного материала может быть решена в явном виде, и разложение ее решения в ряд по степеням В содержит особенность в окрестности нуля

_/ч 1 \'(4х2 - а2) „ (4х2-За2}с „г /п3\

Ддг) = — + х + -г—<В + *-1-:-В1+0\ВЧ (20)

4 ' В 8(у-1) 24 к ' к '

Слагаемое 1/В = р определяет положение линии, проходящей через центр тяжести прямоугольника после деформации, иными словами, оно выражает смещение начала координат при увеличении угла изгиба.

С целью выделения особенности в (20), модифицируем полуобратное представление (17), положив

Р(х)=1/В + А(х). (21)

С математической точки зрения, замена (21) означает, что мы выделяем особенность при выводе основных уравнений относительно А(х). С геометриче-

ской точки зрения, мы разделяем расстояние до точки деформированной конфигурации на расстояние от начала координат до центра тяжести прямоугольника и функцию А(х), геометрический смысл которой - изменение толщины стержня.

При использовании замены (21) не возникает проблем с переходом к начальному состоянию тела: в случае отсутствия деформации, В -> 0, при этом Ф —> 0, а Л —> да. Предельное состояние является прямоугольником конечной высоты, а начало координат находится на бесконечности. При этом решение исходной краевой задачи относительно функции А(х) уже не содержит особенности.

Идея выделения особенности (21) была использована для построения асимптотической схемы решения методом разложения в ряд задачи об изгибе для произвольной модели материала. Эта схема базируется на геометрически оправданной гипотезе об аналитичности функции А(х) по параметру В в окрестности точки В = 0, которая оказалась применима, в частности, для описания эффектов второго порядка при использовании упрощенного варианта материала Блейтца и Ко и материала Мурнагана.

, , Метод разложения в ряд основан на замене исходного решения отрезком ряда вида

А(х) = А0 (х) + А1 (х)В + А2 (х)В2 +..., в результате которой получается набор линейных краевых задач вида Шх)=Е{А'„,Ап,х),

[Я«(а/2) = 0, 0М(-а/ 2) = 0, »1 = 0,1,2,... при решении которых определяются слагаемые ряда.

Оказывается, для всех трех рассмотренных материалов при такой итерационной схеме возникает проблема с определением констант интегрирования, поскольку система краевых условий на боковой поверхности после линеаризации становится линейно-зависимой. Таким образом, после каждого шага определения неизвестных функций остается по одной неопределенной константе. В работе предложено два способа их определения. Неопределенную константу /го приближения можно найти:

1.:да условия разрешимости краевой задачи для (г+2)-го приближения, т.е. из условия совместности системы граничных условий, получаемых на (г+2)-м • шагё; "' .

2. из условия отсутствия продольной силы при учете в ней слагаемых порядка (/+1), т.е. из условия равенства нулю коэффициента при В'+1 в разложении продольной силы.

Первый способ нахождения является недостаточно эффективным, поскольку может требовать решения хотя и линейных, но весьма громоздких краевых; задач. Заметим, что использование современных программных комплексов компьютерной алгебры не всегда является панацеей: например, в случае использования модели материала Мурнагана, при попытке решить краевую

задачу, соответствующую четвертой степени В (для определения константы второго приближения), в пакете Мар1е не удается даже проинтегрировать уравнение при имеющемся наборе неопределенных постоянных. Более надежным и удобным, поэтому, представляется второй способ.

В работе при учете слагаемых второго порядка получены следующие решения:

— полулинейный материал:

ч у(4х2-а2)0 (4Х2-Зя2ЪСо2 /3\

8(v-l) 24

- упрощенный вариант материала Блейтца и Ко:

А(х)=х- л ' ' ~ 113

v6 9

в-И-,3-5

54

27

ха2 Ь2 +о(в3);

-материал Мурнагана:

Л(х) = x + A¡ (х)В + Л2 (х)В2,

(22)

(23)

(24)

где

Ж*)=

vx

Л2(*) = -

4 С,

2(v-l) C,v(v-l)+ia2(2v-l)

(v-1)2

(- цу3 +1 Оцу2 + 4mv2 -1 Зцу - 6mv + 2т + 4v)

У (v-1) 6|i(v — l)3 а константа Cj определена выражением

(4от + 8/)v3 - (12/ + бот + 6ц)у2 + (б/ + 9ц + 6m)v - Зц - 2от - / ?

Cj=------а . (25)

24ц(у -1)

График функции А(х) для материала Блейтца и Ко при значении кривизны Ва = 0.2 и отношении длины стержня к толщине А/а = 10 представлен на

рис. 4 (это соответствует углу изгиба а = Bh = 2 я 115°).

Величина изгибающего момента определяется формулой

а/2

М = ¡a0P(x)P'(x)dx (26)

-а/2

(оф - компонента тензора напряжений Коши). При учете эффектов вплоть до третьего порядка выражение (26) принимает вид — для полулинейного материала

М = -

1Ш"

: В +

Ц"

6(v-l) 30(v-l)

В'

(27)

--численное решение

соо»«о - квадратичное решение

Рис. 4 Функция искажения формы поперечного сечения

— для материала Блейтца и Ко

М = -аъВ~ — аъВъ\ (28)

9 1215 4

— для материала Мурнагана

М = --^В +-(29)

где обозначено

М(з) =40(4/2 + т2 +41тУ -12(13т2 + 8/ц+52//«+4тц+52/2+

+12(19т2 +4ц2 +80/2+78/т+28/ц+14/яц)у4 -

-4(55тг Ч-190/2 +187/т+60тц+114/ц+42ц2)у3 +

+2(174/т+90/яц+150/ц+165/2 +75от2 +111ц2)у2 -

-з(20т2 +44|л2 +25/2 +301т+321ц-24ггц^+(Ют+12\1){т+1)+712 +30|л2 Линейное слагаемое в выражениях (27)-(29) совпадает с хорошо известным выражением линейной теории упругости, если осуществить в нем переход от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию, т.е. заменить у->у/(у + 1). Отсутствие в выражении для момента квадратичных слагаемых подтверждает высокую степень точности линейной теории упругости при его вычислении.

Относительное изменение толщины стержня при изгибе выражается формулой

ь_А(а/2)-А(-а/2)-а_ (30)

Если рассматривать случай А(х) = х +А1{х)В, то 5 = 0 (поскольку - четная функция), что, вообще говоря, соответствует линейной теории. При учете квадратичных слагаемых 6*0, иными словами, относительное изменение толщины стержня (наряду с эффектом Пойнтинга) является эффектом второго порядка.

С точностью до слагаемых второго порядка относительное изменение толщины примет вид (к = А/а, а = ВИ - угол изгиба)

— для полулинейного материала

Ъ = -а2 ¡\2к2; (31)

— для материала Блейтца и Ко

6 = -а2/8*2; (32)

— для материала Мурнагана

а2 (4ТЯ + 8/)У3-(12/ + 6/» + 5ц)У2 +(6/ + 6Ц + 2М)У-2Ц-/

~к2 24ц(у-1)2 ' ( }

В формулах (31) и (32) при любых значениях параметров 5 <0, т.е. стержень становится тоньше при изгибе. Из формулы (33) видно, что без конкретизации значений констант второго порядка сказать, становится стержень толще или тоньше, нельзя. Зависимость относительного изменения толщины стержня от угла изгиба для материала Блейтца и Ко представлены на рис. 5 при геометрии стержня А/я = 10.

При изгибе стержня в полукольцо (на угол а = я) толщина стержня уменьшается на 1.2%. Большое количество проведенных расчетов для разных моделей материалов показало хорошее совпадение численных решений и построенных асимптотических формул в широком спектре деформаций.

В работе предложено использовать полученные решения задач об эффектах второго порядка (эффект Пойнтинга, относительное изменение толщины стержня при изгибе), а также выражение для относительного удлинение стержня при одноосном растяжении с учетом слагаемых второго порядка, для экспериментального определения констант второго порядка материала Мурнагана. Аналитические выражения констант записаны в виде

'" = + 1 К -12^ + 1)^ -(У-1)2Са +Ц(7У2 — 6У -2)],

п = -[2ц(у + 1)С. - 4Ц(ЗУ2 + 4У + 1Ъ, - (У - 1)2СН + Ц(7У2 - 2У - б)].

V р (45)

+ (У4 - Зу3 + 4у2 - ЗУ + 1)сц - |Л(7У4 - 13У3 - У2 + 8У - 2)], где обозначено

Ср=Аг/е} -1/е3 +3/2, Си=А,*2/а2, (46)

а Ар, Ак — определяемые экспериментально значения относительного удлинения стержня при растяжении и кручении соответственно; Аи - относительное изменение толщины стержня при изгибе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. . Проведено сравнение решения задачи о кручении кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами методом последовательных приближений при учете эффектов второго порядка с решением той же задачи полуобратным методом.

. Установлено, что причиной расхождения двух известных подходов к определению осевого удлинения при кручении является предположение о «мертвом» характере нагрузки в первом из них.

. Показана возможность применения принципа Сен-Венана при изучении некоторых интегральных эффектов второго порядка, например, эффекта Пойнтинга.

. Предложена, модификация полуобратного представления деформации плоского^ чистого, изгиба прямого нелинейно-упругого стержня, пригодная для применения метода последовательных приближений.

• С использованием предложенного представления с точностью до эффектов второго порядка задача об изгибе решена для трех моделей нелинейно-упругого поведения; подтверждена высокая степень точности линейной теории упругости при вычислении зависимости кривизны от изгибающего момента; получено аналитическое выражение относительного изменения толщины стержня при изгибе.

• Предложены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб стержня.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Kalashnikov V.V., Karyakin M.I. Second Order Effects in a Problem of Torsion of Nonlinear Elastic Shaft // Advanced problems of mechanics. June 24-July 1,

2004, St. Peterburg (Repino), Russia. Book of abstracts. P. 57-58.

2. Калашников B.B. Эффекты второго порядка в задаче кручения упругого вала // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том X. - Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 2004. С. 28-30.

3. Калашников В.В. Сравнительный анализ нелинейных моделей кручения упругого вала // Математические модели физических процессов. Труды X Международной научной конференции. Таганрог, 2004. С. 96-99.

4. Калашников В.В. Анализ эффектов второго порядка в моделях кручения упругого вала // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2004. С. 86-88.

5. Калашников В.В. Об определении характеристик нелинейно-упругих материалов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды международной школы-семинара. Ростов н/Д: Издательство НПК «Гефест», 2005 г. С. 14-15.

6. Калашников В.В., Карякин М.И. Некоторые аспекты применения принципа Сен-Венана в нелинейной теории упругости // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН,

2005. С. 143.

7. Калашников В.В., Карякин М.И. Об использовании полуобратного метода для определения интегральных деформационных характеристик // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX Международной конференции. Т.1. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2005. С. 98-102.

8. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // Прикладная механика и техническая физика. 2006, Т. 47, №6. С. 129-136.

9. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка в задаче плоского изгиба нелинейно-упругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Т.1. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР», 2006. С. 148-152.

Издательство ООО «ЦВВР» Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08 99 г. Сдано в набор 16 01 07 г Подписано в печать 16 01 07 г Формат 60*84 1/16 Заказ № 804. Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ Лист 1, Услпечл 1,0 Типография Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 28/2, корп 5 «В», тел (863)247-80-51 Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09 02 98 г

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КРУЧЕНИЕ КРУГОВОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО

СТЕРЖНЯ.

1.1. Нелинейные эффекты при кручении.

1.2. Способы определения величины эффекта Пойнтинга.

1.2.1. Метод разложения в ряд.

1.2.2. Полуобратный метод теории упругости.

1.3. Причины расхождения методов. Влияние способа реализации граничных условий на решение.

1.3.1. Метод разложения в ряд в задаче об одноосном растяжении стержня.

1.3.2. Влияние способа приложения нагрузки в задаче кручения.

1.3.3. Однородные решения.

1.3.4. Об использовании принципа Сен-Венана при определении интегральных деформационных характеристик.

ГЛАВА 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ЧИСТОГО ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНО

УПРУГОГО СТЕРЖНЯ.

2.1. Особенности полу обратного представления деформации чистого изгиба стержня.

2.2. Решение для полулинейного материала и модификация полу обратного представления.

2.3. Решение методом разложения в ряд.

2.3.1. Полулинейный материал.

2.3.2. Упрощенная модель Блейтца и Ко.

2.3.3. Пятиконстантная модель Мурнагана.

2.4. Исследование эффектов второго порядка.

2.4.1. Изгибающий момент.

2.4.2. Относительное изменение толщины стержня.

2.4.3. Положение нейтральной линии.

2.4.4. Об определении констант материала Мурнагана.

В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой обширную и стремительно развивающуюся область знаний. Опираясь на фундаментальные результаты линейной теории, эта наука стала интенсивно развиваться в середине прошлого века. Интерес исследователей к нелинейным проблемам был вызван несколькими причинами. В первую очередь, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязкоупругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов. В настоящее время, именно биомеханика является одним из приоритетных направлений развития нелинейной теории упругости, в области которой имеется огромное количество не рассматриваемых ранее материалов, свойства которых еще предстоит описать. В общем случае, для того, чтобы выяснить характеристики материалов с некоторыми определяющими соотношениями на основе основных экспериментов, требуется создавать модели, способные учитывать их нелинейное поведение. С помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально и вполне описываются нелинейной теорией: удлинение стержня при кручении, изменение толщины стержня при изгибе и другие.

В то же время, как показывает практика, решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, что приводит к необходимости решения существенно нелинейных краевых задач, решение не удается отыскать в аналитическом виде. В таких случаях, в зависимости от целей поставленной задачи, решение может быть проведено численно или найдено асимптотически методом разложений в ряд (A. Signorini, 1930). Некоторое неудобство численных методов заключается в многократном, зачастую длительном по времени выполнения, пересчете выражений при изменении параметров материалов. С другой стороны, в условиях не очень больших деформаций, достаточно близкое приближение к нелинейному решению доставляет учет «эффектов второго порядка», т.е. квадратичных слагаемых относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. Обзор способов учета эффектов второго порядка содержится в докладе Трусделла [91]. Общая теория эффектов второго порядка построена в монографии А. И. Лурье [43], решение некоторых задач приведено в работе Р. Ривлина [81]. В статье [59] рассмотрены эффекты второго порядка при изгибе предварительно изогнутого стержня, в работе [62] обсуждается их влияние на аналитическое решение задачи кручения.

При решении краевых задач нелинейной теории упругости часто удобно применять полуобратный метод. Этот метод был предложен в середине XIX века в работах Сен-Венана [51] и позже обобщался на случай больших деформаций Дж. Адкинсом и А. Грином [10], Л. М. Зубовым [26], А. И. Лурье [43, 44] и другими учеными. Суть метода заключается в построении решений, на которых исходная задача сводится к проблеме с меньшим числом независимых переменных. Его актуальность по-прежнему велика, поскольку непосредственное решение (численное, либо аналитическое) многих нелинейных задач как трехмерных сильно затруднено. При рассмотрении эффектов второго порядка полуобратный метод применяют в комбинации с методом возмущений (разложений в ряд) по некоторым независимым переменным.

Задачи о растяжении, кручении и изгибе упругих тел имеют большое практическое значение, поскольку эти три вида деформации являются основными типами деформирования самых разнообразных элементов конструкций. Испытания на кручение и изгиб используются для построения определяющих соотношений различных материалов в условиях больших деформаций. Кроме того, при разработке многих современных высокопрецизионных устройств необходимо учитывать эффекты физической и геометрической нелинейности с достаточно большой степенью точности. К примеру, при проектировании и калибровке стержневого динамометра требуется учитывать эффект Пойнтинга - удлинение стержня в процессе кручения.

В рамках линейной теории упругости трехмерная задача растяжения, кручения и изгиба призматических тел была решена Сен-Венаном [51] в 1856 г. С тех пор «задача Сен-Венана» обобщалась в разных направлениях: рассматривались анизотропные и неоднородные тела [14], упруго-пластические, вязкоупругие, хрупкоупругие тела, составные стержни, слоистые стержни [2, 88], псевдоцилиндры [55]. При постановке задачи учитывались моментные напряжения [9], температурные напряжения [86] и прочее.

Постановка задачи кручения и задачи плоского изгиба в рамках теории больших деформаций несжимаемых материалов допускает универсальное решение, т.е. решение, не зависящее от конкретного вида нелинейно-упругого потенциала. Этот результат был получен в середине XX века Рив-линым [80]. Позже в работах Дж. Эриксена [64] и Шилда [87] было показано отсутствие такого решения для сжимаемых сред.

Значительный вклад в обобщение задачи Сен-Венана внес Л. М. Зубов. Им была развита общая теория кручения призм [19, 24]. В соавторстве с А. А. Зелениной им разработана пространственная теория чистого изгиба призматического бруса в условиях больших деформаций [14, 15]. В этих публикациях дано обобщение полуобратного метода на случай больших деформаций и сформулирована двумерная нелинейная краевая задача, решение которой точно удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на боковой поверхности бруса; при этом граничные условия на торцах выполняются в интегральном смысле.

Среди задач, связанных с изгибом нелинейно-упругих тел, значительное место занимают задачи изгиба оболочек. Методы нелинейной теории упругости при расчете оболочек описаны в [17, 23], различные задачи изгиба оболочек с подкреплениями решены в [71, 74, 88], в [93] рассматривается изгиб цилиндрических оболочек, в [70] для расчетов применяется метод конечных элементов.

Множество работ посвящено исследованию устойчивости стержней при различных видах нагружения: в [28] рассмотрены некоторые аспекты потери устойчивости прямоугольного бруса при различных видах нагружения, в [29] оценивается влияние кручения на устойчивость цилиндра при растяжении, в [69] изучаются вопросы потери устойчивости круглых труб при изгибе.

Одним из плодотворных методов, используемых в теории деформирования тел цилиндрической формы является метод «однородных решений», т.е. решений, оставляющих боковую поверхность стержня свободной от напряжений. Термин «однородные решения» был введен А. И. Лурье, в его монографии [43] построены явные выражения для однородных решений в функциях Бесселя, с помощью однородных решений И. И. Воровичем [4] были достигнуты значительные результаты в проблеме приведения (перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам), результаты цикла работ Ю. А. Устинова, исследовавшего однородные решения в операторной форме, представлены в монографии [55].

Нелинейные эффекты при деформации упругих тел наблюдались давно. Так, Кулон отмечал уменьшение периода колебаний крутильного маятника под действием растягивающей нагрузки (1784), Вертгейм указывал на изменение объема скручиваемых трубок (1857), а Пойнтинг впервые обратил внимание на удлинение стержня при кручении. В работах [77, 78] Пойнтинг попытался теоретически описать эффект изменения длины стержня, но строгое объяснение стало возможно лишь с развитием нелинейной теории упругости.

Для описания многих нелинейных эффектов вполне достаточно учета слагаемых второго порядка относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. Поэтому именно эффектам второго порядка посвящена настоящая диссертация. Из таких нелинейных эффектов здесь будут рассмотрены эффект Пойнтинга в задаче о кручении нелинейно-упругого стержня и изменение толщины изначально прямого стержня в плоской задаче чистого изгиба.

Содержание работы изложено в двух главах.

Первая глава диссертации посвящена исследованию некоторых аспектов определения эффектов второго порядка в задаче кручения нелинейно-упругого стержня, в частности, изучается влияние способов реализации граничных условий на торцах на величину эффекта Пойнтинга.

В параграфе 1.1. показана актуальность исследования эффектов второго порядка в теории упругости, приведены выражения используемых в диссертации упругих потенциалов. Здесь же описана неоднозначность определения эффекта Пойнтинга в литературе: до сих пор известны две различающиеся между собой формулы для осевого удлинения стержня с произвольным поперечным сечением. Так, в работе А. И. Лурье [43] для учета эффектов второго порядка в задачах о деформации тел различной формы предложен метод разложений в ряд, с помощью которого решена задача о кручении стержня произвольного поперечного сечения торцевыми моментами, и получена формула относительного удлинения в случае материала Мурнагана. Там же отмечено несовпадение, после согласования обозначений, с аналогичной формулой, полученной Ривлиным [81]. Кроме того, в работе [6] указано на несовпадение осевого удлинения цилиндра, приведенного в [43], и решения, полученного на основе полуобратного метода нелинейной теории упругости. Анализ задачи для различных моделей материалов показал разницу в количественном выражении эффекта Пойнтинга при использовании этих двух формул, причем, для некоторых из них, разница может быть существенна, в связи с чем, предложено определить причины расхождения результатов.

В параграфе 1.2. рассмотрены 2 способа определения величины эффекта Пойнтинга.

В пункте 1.2.1. представлена общая теория эффектов второго порядка А. И. Лурье [43] и вывод формулы осевого удлинения в задаче кручения. Достоинство этого подхода состоит, во-первых, в его общности, а во-вторых, в отсутствии необходимости решать дополнительную (по сравнению с линейной теорией упругости) задачу об эффектах второго порядка: зависимости между макро-характеристиками типа осевого удлинения и крутящего момента вычисляются на основе решения лишь линейной задачи. Относительное удлинение стержня находится из построенного усредненного по объему тензора деформации и зависит только от упругих постоянных.

В пункте 1.2.2 рассматривается деформирование сплошного цилиндрического вала равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения, а длина до деформации достаточно велика. Уравнения равновесия в объеме тела записываются при отсутствии массовых сил, граничные условия на боковой поверхности выполняются точно, а на торцах - в интегральном смысле. Решение задачи проводится полуобратным методом теории упругости. В случае материала Мурнагана решение краевой задачи находится с точностью до слагаемых второго порядка и совпадает с формулой Ривлина. В случае упрощенного варианта материала Блейтца и Ко решение краевой задачи находится в явном виде и позволяет проводить дальнейший анализ задачи.

В параграфе 1.3. изучаются причины различия подходов и степень их влияния на решение. В пункте 1.3.1. справедливость общих формул теории эффектов второго порядка А. И. Лурье [43] подтверждается решением задачи об одноосном растяжении стержня и сравнением с аналогичным решением полуобратным методом. Получено выражение среднего относительного удлинения, налагаемого на линейное удлинение, совпадающее с приведенным в [43] выражением.

В пункте 1.3.2. с помощью такого аналитического решения задачи о кручении для материала Блейтца и Ко удается установить несовпадение полей напряжений на торцах, которое и является причиной различия результатов. Иными словами, на величину относительного удлинения стержня в целом влияет способ реализации краевых условий на торцах. Для оценки влияния способа задания граничных условий на величину относительного удлинения рассмотрена задача, представляющая собой разность полученных с использованием двух описанных выше подходов линейных краевых задач об эффектах второго порядка. Показано, что в полученной задаче «о разности» граничные условия противоречат условию симметричности тензора напряжений на окружностях, ограничивающих торцы цилиндра, и, следовательно, приводят к несимметричности тензора в некоторой области, охватывающей эти окружности. Установлено, что причиной возникновения несимметричности и разницы в распределении напряжений на торцах является предположение о «мертвом» характере внешней нагрузки, принятое в [43].

Решение задачи «о разности» проведено двумя методами: методом конечных элементов и методом однородных решений. Построено распределение напряжений по торцу и боковой поверхности вала, показано, что продольная деформация и напряжения быстро убывают при удалении от торцов и практически обращаются в нуль на расстоянии, равном диаметру вала. Это означает, что принцип Сен-Венана в смысле отсутствия напряжений в зоне, достаточно далекой от области приложения самоуравновешенной нагрузки, в данной задаче выполняется. Результаты решения обоими методами различаются лишь вблизи торцов (сказывается краевой эффект).

В пункте 1.3.4. определяется зона стержня, удлинение которой пренебрежимо мало и, следовательно, относительное удлинение которой в исходной задаче кручения зависит лишь от интегральных характеристик граничных ус

Ли/ ловий, а не способа их реализации. Рассматрен цилиндр длиной L=L-2b, расположенный на расстоянии 8 от торцов стержня. Расчеты для стержней разной геометрии показали, что зоной, свободной от влияния способа задания граничных условий на торце, будет область стержня, для которой 6/1 >1/6. Полученные результаты означают, что принцип Сен-Венана применим и к интегральным деформационным характеристикам, но не для тела в целом, а для его некоторой части, достаточно удаленной от областей приложения нагрузок.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию плоской задачи чистого изгиба прямого нелинейно-упругого стержня методом разложений в ряд.

В параграфе 2.1. рассматривается постановка задачи о чистом изгибе пространственного призматического тела торцевыми моментами, которая была исследована в работах [13, 15]. Анализируется предложенное там полуобратное представление деформации и показывается, что для решения такой задачи непосредственно использовать метод возмущений невозможно.

В литературе исследования эффектов второго порядка в задаче изгиба призматических тел сводятся к работам типа [59], рассматривающим деформацию предварительно изогнутых тел.

Для упрощения анализа поставленной задачи предлагается рассмотрение плоской задачи изгиба прямого стержня торцевыми моментами. Для удобства принимается цилиндрическая система координат актуальной конфигурации, и вводятся новые обозначения.

В параграфе 2.2. плоская задача чистого изгиба конечного прямого стержня решается полуобратным методом в случае полулинейного материала Джона. Краевые условия отсутствия напряжений на боковой поверхности выполняются точно, а на торцах - в интегральном смысле Сен-Венана. Краевая задача определения неизвестной функции радиуса точки тела в деформированном состоянии Р(х) оказывается линейной для данного материала и позволяет определить ее в явном виде. Полученное решение совпадает с решением задачи об изгибе нелинейно-упругой полосы с использованием комплексных преобразований, приведенным в [44]. Показано, что зависимость Р(х) от кривизны В является сингулярной в точке В = 0, что и делает невозможным прямое применение метода возмущений (разложений в ряд).

Предлагается модифицировать полуобратное соотношение, выделив из функции Р(х) особенность порядка 1/В, представив ее в виде

Р(х) = 1/В + А(х), где \/В - расстояние от начала координат до центра тяжести деформированного стержня, а функция А(х) имеет геометрический смысл изменения толщины стержня.

Параграф 2.3. посвящен решению исходной краевой задачи с использованием модифицированного полуобратного представления деформации методом разложений в ряд для трех моделей нелинейно-упругих сред: полулинейный материал (п. 2.3.1.); «упрощенный» материал Блейтца и Ко (п. 2.3.2.); материал Мурнагана (п. 2.3.3.).

В ходе решения выявлено несколько особенностей применения метода возмущений при его использовании в задаче изгиба. Одна из них заключается в том, что система краевых условий после линеаризации становится линейно-зависимой, в связи с чем, при решении каждой из задач, соответствующих степеням разложения, остается по одной неопределенной константе. Получено 2 способа нахождения неопределенных констант. Согласно первому способу, константа /-го приближения находится из условия разрешимости краевой задачи для (/+2)-го приближения. Более эффективным оказывается способ отыскания неопределенных констант, который основывается на факте тождественного равенства нулю осевой силы, соответствующей исходному полу обратному соотношению: константу /-го приближения можно определить из условия отсутствия продольной силы при учете в ней слагаемых порядка (/+1). Т.е. необходимо требовать, чтобы в разложении осевой силы по степеням В, коэффициент разложения при В1+х был равен нулю.

С помощью сравнения с аналитическим решением для полулинейного материала и численным решением на основе метода пристрелки для материалов Блейтца и Ко, Мурнагана, установлено довольно точное совпадение решения, найденного полуобратным методом, с решением «второго порядка», в том числе и при довольно больших значениях кривизн. Для материала Мурнагана установлено совпадение полученных аналитически результатов (при специально найденных связях констант материалов с точностью до слагаемых второго порядка) с результатами для материалов Блейтца и Ко, полулинейного материала. Тем самым, подтверждена допустимость применения модифицированного полуобратного представления деформации и в случае других изотропных материалов.

Параграф 2.4. посвящен исследованию количественного и качественного проявления эффектов второго порядка в задаче изгиба.

В п. 2.4.1. строится зависимость изгибающего момента от кривизны. Показано, что нелинейность проявляется лишь в эффектах третьего порядка, в связи с чем, линейная теория дает достаточно близкое приближение изгибающего момента при довольно больших деформациях. Для полулинейного материала указывается на наличие падающего участка диаграммы зависимости момента от кривизны (построенной по аналитическому решению нелинейной задачи) при очень больших значениях кривизн, связанному, видимо, с потерей устойчивости стержнем при изгибе [69].

В п. 2.4.2. исследуется относительное изменение толщины стержня при изгибе. Показано, что при учете в решении лишь линейных слагаемых, изменение толщины отсутствует, что согласуется с линейной теорией. Установлено, что величина относительного изменения толщины для материала Мурнагана полностью определяется константами второго порядка, в связи с чем, ее можно использовать для определения констант Мурнагана. Для всех исследованных в работе материалов стержень становится тоньше при изгибе.

В п. 2.4.3. определены величины смещений нейтральной линии (не меняющей длины при деформации). Показано, что смещение нейтральной линии есть эффект третьего порядка.

В п. 2.4.4. предлагаются аналитические зависимости для экспериментального определения констант материала Мурнагана. Константы второго порядка выражаются через константы линейной тории упругости (v,|j,), измеренные экспериментально значения эффектов второго порядка и прочие известные параметры задач (угол закручивания, угол изгиба, длина стержня, величина внешней нагрузки и т.д.). Для их построения используются полученные в первой главе выражения для эффектов второго порядка при растяжении и кручении стержня, а также величина относительного изменения толщины стержня при изгибе.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Advanced problems in mechanics» (г. Санкт-Петербург (Репино), 2004), на Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2004), на III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004), на Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дюрсо, 2005), на XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете.

По теме диссертации опубликованы статьи [33-40, 68]. Работы [37-40, 68] были написаны в соавторстве с М. И. Карякиным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Автору в [37, 38, 40, 68] при решении задачи о кручении принадлежит определение причин расхождения результатов двух подходов к учету эффектов второго порядка, исследование влияния касательных напряжений на торцах на распределение напряжений и удлинение упругого цилиндра методом конечных элементов и однородных решений; при решении задачи об изгибе [39] - построение схемы решения и ее реализация при использовании модифицированного полуобратного представления, а также численные результаты.

Автор выражает глубокую благодарность М. И. Карякину и JI. М. Зубову за внимание и помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

• Проведено сравнение решения задачи о кручении кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами методом последовательных приближений при учете эффектов второго порядка с решением той же задачи полуобратным методом. Установлено, что причиной расхождения двух известных подходов к определению осевого удлинения при кручении является предположение о «мертвом» характере нагрузки в первом из них.

• Показана возможность применения принципа Сен-Венана при изучении некоторых интегральных эффектов второго порядка, например, эффекта Пойнтинга.

• Предложена модификация полуобратного представления деформации плоского чистого изгиба прямого нелинейно-упругого стержня, пригодная для применения метода последовательных приближений. С использованием предложенного представления с точностью до эффектов второго порядка задача об изгибе решена для трех моделей нелиней-но-упругош поведения; подтверждена высокая степень точности линейной теории упругости при вычислении зависимости кривизны от изгибающего момента; получено аналитическое выражение относительного изменения толщины стержня при изгибе. Предложены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб стержня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

2. Ахметов Н. К., Устинов Ю. А. О принципе Сен-Венана в задаче кручения слоистого цилиндра. ПММ, 1988, т. 52, вып. 2, с. 264-268.

3. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М. ГИТТЛ. 1958, 856 с.

4. Ворович И. И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. // Материалы I Всес. школы по теории и числен, методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси, 1975. С. 51-149.

5. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. О нелинейных эффектах в задаче кручения // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды III международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997, Т. 1, Ростов н/Д: МП «Книга», 1997, С. 92-96.

6. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // Прикладная механика и техническая физика. 2000, Т. 41, №2, С. 188-193.

7. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Изд-во «Мир». 1984, 428 с.

8. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

9. Горский Б.В. Кручение и изгиб бруса парами с учетом моментных напряжений // Труды Ленингр. политехи, ин-та. 1969, № 307, С. 59-70.

10. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965, 456 с.

11. Железнов JI. П., Кабанов В. В., Бойко Д. В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением // Прикладная механика и техническая физика, 2006, № 3, Т. 47, С. 119-125.

12. Захаров Ю. В., Охоткин К. Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней // Прикладная механика и техническая физика, 2002, № 5, С. 124-131.

13. Зеленина А. А., Зубов Л. М. Обобщение нелинейной теории чистого изгиба на неупругие анизотропные и неоднородные тела // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Междунар. конф. Т. 1, Ростов-на-Дону, Изд-во «Новая книга», 2003, С. 69-73.

14. Зеленина А.А., Зубов Л.М. Нелинейная теория чистого изгиба призматических упругих тел // ПММ. 2000, Т. 64, № 3, С. 416-424.

15. Зубов Л. М. К теории чистого изгиба упругих призматических тел при больших деформациях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 3-й международной конференции. Т.1, Ростов-на-Дону, МП «Книга». 1997, С.189-192.

16. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та. 1982, 143 с.

17. Зубов Л. М. Нелинейная теория изгиба и кручения упругих тел // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с междунар. участием. Ростов-на-Дону. Изд-во «Новая книга», 2004, С. 180-182.

18. Зубов JI. М. Нелинейная теория кручения некруговых цилиндров // Труды Всесоюзн. конф. «Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов». Рига, 1983, С. 10-12.

19. Зубов Л. М. О больших деформациях пространственного изгиба призматических тел // Прикладная математика и механика. 2004, Т. 68, Вып. 3,С. 507-515.

20. Зубов Л. М. О прямом и обратном эффектах Пойнтинга в упругих цилиндрах // Доклады РАН. 2001, Т. 380, № 2, С. 194-196.

21. Зубов Л. М. Проблемы общей нелинейной теории тонких оболочек // VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М. 1991, С. 166.

22. Зубов Л. М. Теория кручения призматических стержней при конечных деформациях // Доклады АН СССР. 1983, Т. 270, №4, С. 827-831.

23. Зубов Л. М. Точная нелинейная теория растяжения и кручения винтовых пружин // Доклады РАН. 2002, Т. 385, № 5, С. 628-630.

24. Зубов Л. М. Уравнение изгиба предварительно напряженной плиты из нелинейно-упругого изотропного материала // Теория оболочек и пластин. Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, С. 293-296.

25. Зубов Л. М., Овсеенко С. И. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982, Вып. 40, С. 109-147.

26. Зубов JI. М., Рудев А. Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993, Т.57, Вып.З, С.65-83.

27. Зубов Л. М., Шейдаков Д. Н. О влиянии кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении // ПММ. 2005, Т. 69, Вып. 1, С. 53-60.

28. Зубов Л.М. Линеаризованная задача изгиба и принцип Сен-Венана // Изв. Сев.-Кавказ. науч. Центра высш. шк. Естеств. н., 1985, №4, С. 3438.

29. Зубов Л.М., Карякин М.И. Тензорное исчисление. Основы теории. М.: Вузовская книга, 2006.

30. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Описание эффектов второго порядка при учете конечных деформаций // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003, №19, с. 163-164.

31. Калашников В.В. Анализ эффектов второго порядка в моделях кручения упругого вала // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III Школы-семинара. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2004, с. 86-88.

32. Калашников В.В. Об определении характеристик нелинейно-упругих материалов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды международной школы-семинара. Ростов-на-Дону: Издательство НПК «Гефест», 2005 г. с. 14-15.

33. Калашников В.В. Сравнительный анализ нелинейных моделей кручения упругого вала // Математические модели физических процессов. Труды X Международной научной конференции. Таганрог, 2004, С. 9699.

34. Калашников В.В. Эффекты второго порядка в задаче кручения упругого вала // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том X. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 2004, С. 28-30.

35. Калашников В.В., Карякин М.И. Некоторые аспекты применения принципа Сен-Венана в нелинейной теории упругости // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. с. 143.

36. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка в задаче плоского изгиба нелинейно-упругого стержня // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Т.1. Ростов н/Д, изд-во ЦВВР, 2006, С. 148-152.

37. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // Прикладная механика и техническая физика. 2006, Т. 47, №6. С. 129-136.

38. Колесник. И.А., Коробко А.В. Кручение упругих призматических стержней с сечением в виде параллелограмма // Проблемы Машиностроения. 1991. №36. С. 34-39.

39. Колпак Е.П. Полый цилиндр из несжимаемого материала при больших деформациях // Нелинейн. пробл. мех. и физ. деформир. тверд, тела. С.Петербург. гос. ун-т. 1998, №1, с. 96-117.

40. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 312 с.

41. Лурье А.И. Теория упругости. М.; Наука, 1970. 940 с.

42. Ляв А. Математическая теория упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

43. Новожилов В. В. Теория упругости. JL: Судпромгиз. 1958. 370 с.

44. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Изд-во «Мир». 1976. 464 с.

45. Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз. 1939.

46. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

47. Седов JI. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

48. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз. 1961.

49. Соляник-Красса К. В. Кручение валов переменного сечения. М: Гос-техиздат. 1949.

50. Степаненко Ю. П. Эффект Пойнтинга. Схемы расчета и эксперимента // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды III международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997. Т. 1. Ростов н/Д: МП «Книга». 1997.

51. Трусделд К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М: Мир. 1975. 592 с.

52. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003.

53. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1986. 512.С.

54. Хан Н.Г. Теория упругости. М.: Мир, 1988, 343 с.

55. Alwar R. S., Thiagarajan S. Influence of crack closure for geometrically nonlinear plates bending problem // Engineering Fracture Mechanics. V. 37, I. 5, 1990, P. 915-920.

56. Batra R.S., Dell'Isola F., Ruta G.C. Second-order solution of Saint-Venant's problem for an elastic bar predeformed in flexture // International Journal of Non-Linear Mechanics. V. 40 (2005), P. 411-422.

57. Blatz P. J., Ко W. L. Applications of finite elasticty theory to deformation of rubbery materials // Trans. Soc. Rheol. 1962, V. 6, P. 223-251.

58. Boyle J. T. The finite bending of curved pipes // International Journal of Solids and Structures. V. 17,1. 5, 1981, P. 515-529.

59. Chen M., Chen Z. Second-Order Effect of an elastic circular shaft during torsion // Appl. Math, and Mech. 1991, V. 12, № 9, P. 769-776.

60. Dell Isola F, Ruta G.C., Batra R.C. Generalized Pointing Effects in Predeformed prismatic Bars // J. of Elasticity. 1998, V. 50, P. 181-196.

61. Ericksen J. L. Deformations possible in every isotropic uncompressible perfectly elastic body // Zeitsch. angew. Math, und Phys. 1954, №5, P. 466-486.

62. Gavrilyachenko Т. V., Karyakin M. I. On an application of semi-inverse method to the nonlinear problem of torsion // Proc. 1-st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. Victoria, British Columbia, Canada. June 16-20, 1999, Vol. 2, P. 690-697.

63. Green A., Shield R. Finite Extension and Torsion of Cylinders. Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A 244. 1951.

64. Haughton P. M„ Lindsay K. A. The second-order deformation of a finite compressible isotropic elastic annulus subjected to circular shearing // Proc. Roy. Soc. London. 1993, 442, № 1916, P. 621-639.

65. Kalashnikov V.V., Karyakin M.I. Second Order Effects in a Problem of Torsion of Nonlinear Elastic Shaft // Advanced problems of mechanics. June 24-July 1, 2004, St. Peterburg (Repino), Russia. Book of abstracts. P. 57-58.

66. Karamanos S.A. Bending instabilities of elastic tubes // International Journal of Solids and Structures. V. 39 (2002) P. 2059-2085.

67. Kwon Y. W. Material nonlinear analysis of composite plate bending using a new finite element formulation // Computers & Structures. V. 41,1. 5, 1991, P. 1111-1117.

68. Li L., Kettle R. Nonlinear bending response and buckling of ring-stiffened cylindrical shells under pure bending // International Journal of Solids and Structures. V. 39,1. 3, 2002, P. 765-781.

69. Lim S. P., Lee К. H., Chow S. T. and Senthilnathan N. R. Linear and nonlinear bending of shear-deformable plates // Computers & Structures. V. 30,1. 4, 1988, P. 945-952.

70. Ma L. S., Wang T. J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings // International Journal of Solids and Structures. V. 40,1. 13-14, 2003, P. 3311-3330.

71. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid. Second Edition. N. Y.1967.

72. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. Mineola, New York. Dover publications, inc. 1997.

73. Poynting J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. London. 1909, ser. A. V. 82, P. 546-559.

74. Poynting J. H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted and on the pressure of distortional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London, 1912, ser. A, V. 86, P. 534-561.

75. Reddy J. N., Haung C. L. Nonlinear axisymmetric bending of annular plates with varying thickness // International Journal of Solids and Structures. Y. 17,1. 8, 1981, P. 811-825.

76. Rivlin R. S. Large elastic deformation of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory. Phil. Trans. Roy. Soc. V. A241, London, 1948, P. 489-511.

77. Rivlin R. S. The solution of problems in second order elasticity theory //J. Rational Mech. Anal. 1953, V. 2, P. 53-81.

78. Rivlin R. S., Saunders D. W. Large elastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deformation of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1951, V. A243, P. 251-288.

79. Rivlin R. S., Topakoglu C. A Theorem in the Theory of finite elastic deformation // J. Rational Mech. and Anal. 1954, V. 2, P. 53-81.

80. Sharitt M. Linear finite element equations for nonlinear deformation of slightly compressible material // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1992, 45, №2, P. 169-181.

81. Shen H. Nonlinear bending of shear deformable laminated plates under transverse and in-plane loads and resting on elastic foundations // Composite Structures. V. 50,1. 2, 2000, P. 131-142.

82. Shen H. Nonlinear bending response of functionally graded plates subjected to transverse loads and in thermal environments // International Journal of Mechanical Sciences. V. 44,1. 3, 2002, P. 561-584.

83. Shield R. Т. Deformations possible in every compressible, isotropic, perfectly elastic material // J. Elasticity. 1971, V. 1, № 1.

84. Sokolinsky V.S., Shen H., Vaikhanski L., Nutt S.R. Experimental and analytical study of nonlinear bending response of sandwich beams // Composite Structures. V. 60,1. 2, 2003, P. 219-229.

85. Striz A.G., Jang S.K., Bert C.W. Nonlinear bending analysis of thin circular plates by differential quadrature // Thin-Walled Structures. V. 6,1. 1, 1988, P. 51-62.

86. Taber L.A. Nonlinear Theory of Elasticity. Applications in Biomechanics. World Scentific Publishing, 2004.

87. Truesdell C. Second order effect in the mechanics of materials // Proc. Int. Symp. Second-Order Effects. Haifa. 1962, P. 1-47.

88. Winemann A. S., Waldron Jr W. K. Normal stress effect induced during circular shear of a compressible non-linear elastic cylinder // Int. J. Nonlinear Mech. 1995, 30, №3, P. 323-339.

89. Wu C., Chi Y. Three-dimensional nonlinear analysis of laminated cylindrical shells under cylindrical bending // European Journal of Mechanics -A/Solids. V. 24,1. 5, 2005, P. 837-856.

90. Yeh M., Lin M., Wu W. Bending buckling of an elastoplastic cylindrical shell with a cutout // Engineering Structures. V. 21,1. 11, 1999, P. 996-1005.

91. Zubov L. M., Bogachkova L. U. The Theory of torsion of elastic noncircu-lar cylinders under large deformations // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995, V. 62, №2, P. 373-379.

92. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York. 1997.