Численный анализ деформирования нелинейно-упругих тел с использованием средств компьютерной алгебры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА И АВТОМАТИЗАЦИЯ ПОЛУОБРАТНОГО МЕТОДА НЕЛИНЕЙНОЙ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

1.1. Автоматический вывод и численный анализ краевых задач равновесия.

12. Исследование устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ,

СВОДИМЫХ К ОДНОМЕРНЫМ.

2.1. Винтовая дислокация в круговом цилиндре из материала Блейтца и Ко.

2.2. Кручение подкрепленного тела из материала

Блейтца и Ко.

ГЛАВА 3. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ СЖИМАЕМЫХ ТЕЛ.

3.1. Напряженное состояние кругового цилиндра при кручении.

3.1.1. Упрощенная модель Блейтца и Ко.

3.1.2. Гипотетические материалы.

3.1.3. Физически - линейные материалы.

3.1.4. Пятиконстантная модель Мурнагана.

3.2. Эффект Пойнтинга.

3.3. Анализ устойчивости скручиваемого вала из материала Блейтца и Ко.

На современном этапе развития механики сплошной среды интерес к проблемам нелинейной теории упругости объясняется несколькими причинами. Во-первых, различные тела на практике испытывают конечные деформации, в области которых многие материалы обладают существенно упругими свойствами. При этом их поведение значительно отличается от предсказаний линейной теории. Правильный учет нелинейности особенно важен при расчетах изделий из высокоэластичных, полимерных и некоторых других материалов. Во-вторых, ряд явлений, экспериментально наблюдаемых при некоторых (не обязательно больших) деформациях (например, при кручении) не удается описать теоретически, удерживая в решении только линейные относительно градиента перемещения слагаемые. В-третьих, появление новых материалов и нелинейное поведение уже известных требует разработки новых математических моделей, адекватно описывающих их свойства. Поэтому решение (в рамках нелинейной теории упругости) задач для некоторых основных экспериментов (растяжение, кручение, изгиб ит. д.) с использованием различных определяющих соотношений позволяет проверить пригодность последних, экспериментально выяснить их характеристики при больших деформациях, а также сравнить между собой поведение различных материалов.

В то же время, большинство исследуемых нелинейно-упругих потенциалов представляет собой достаточно громоздкие выражения, что делает аналитический вывод краевой задачи равновесия даже в случаях простого нагружения чрезвычайно трудоемким и не всегда надежным делом. К тому же, изменение вида функции удельной потенциальной энергии часто приводит к необходимости выводить все уравнения заново. Однако процесс вывода краевых задач равновесия является строго алгоритмизуемым. Поэтому с появлением таких программных продуктов как системы аналитических вычислений появилась реальная возможность освободить исследователя от рутинных и громоздких выкладок, поручив этот труд компьютеру. Использование средств компьютерной алгебры также позволило расширить круг моделей, численный анализ поведения которых становится отныне вполне доступным.

В настоящее время распространено несколько мощных и развитых систем аналитических вычислений: Axyom, Derive, Macsyma, Maple V, Mathematica, Reduce и др. Сравнительные обзоры этих пакетов, приведенные в статьях [18, 95], показывают, что Maple V является одним из лидеров среди универсальных систем. Описанию Maple и различных его приложений для научных исследований посвящены книги [1, 2, 20, 65, 69, 80 и др.]. Имеется даже специальный журнал «Maple Technical Newsletter», публикующий статьи о возможностях и применении этого пакета.

Среда Maple V for Windows была выбрана для создания специального комплекса программ, который реализует все этапы полуобратного метода теории упругости и позволяет полностью автоматизировать процесс генерации и численного анализа нелинейной краевой задачи равновесия с представлением результатов в наглядной и удобной форме, а также исследовать вопросы устойчивости найденных форм равновесия. Следует отметить, что моделирование и расчет нелинейных деформируемых тел в рамках систем конечноэле-ментного анализа (ANSYS и др.) представляется не менее трудоемким делом, чем написание соответствующей Мар1е-программы.

Использованный при разработке упомянутого Мар1е-пакета полуобратный метод состоит в построении решений, на которых исходная задача сводится к проблеме с меньшим числом независимых переменных. Он был предложен в работах Сен-Венана [52] в середине XIX в. и со временем обобщен на случай больших деформаций в монографиях Дж . Адкинса, А. Грина, Л. М. Зубова, А. И. Лурье и др. Публикации [25, 27] посвящены разработке различных новых вариантов полуобратного метода в теории конечных деформаций. Статьи [29, 35] содержат разработку полуобратных методов в нелинейной механике тонкостенных конструкций, а в [17] полуобратный метод Сен-Венана распространен на упругие среды с моментными напряжениями, испытывающие большие деформации. Актуальность этого метода по-прежнему велика, поскольку непосредственное численное решение многих нелинейных задач как трехмерных сильно затруднено даже при использовании современных вычислительных средств.

С помощью Мар1е-системы в настоящей диссертации изучается влияние выбора модели сжимаемого материала на поведение механических полей, создаваемых в цилиндре простыми преобразованиями (свободное и «стесненное» кручение, винтовая дислокация), а также дается качественная и количественная оценка возникающих нелинейных эффектов. При этом задача о винтовой дислокации в стержне рассматривается главным образом для демонстрации возможностей созданного пакета. Исследуется также вопрос об устойчивости скручиваемого вала из материала Блейтца и Ко.

Практическая значимость проблемы кручения призматических тел связана с тем, что этот вид деформации наряду с изгибом и растяжением является одним из основных типов деформирования деталей самых разнообразных конструкций и механизмов. Результаты данной задачи находят свое применение в строительстве, машино- и приборостроении, авиационном деле и т. д. Испытания на кручение также используются для экспериментального построения определяющих соотношений упругих сред при больших деформациях (см. работы Ривлина, Ривлина и Сондерса [87], Ривлина и Джента и др.).

В точной трехмерной постановке линейной теории упругости проблема кручения призматических тел была решена Сен-Венаном [52]. Позже теория кручения была распространена на анизотропные, упруго-пластические, вязкоупругие и хрупкоупругие тела, на составные стержни и т. д. В монографии [55] рассматривается кручение валов переменного сечения, а в [48] - кручение многосвязных тонкостенных конструкций. Решению многочисленных задач о скручивании стержней посвящена работа [3].

Обобщение задачи кручения на случай конечных деформаций для кругового цилиндра связано с именами Р. Ривлина, А. Грина, Дж. Адкинса, Дж. Эриксена, Трусделла, Нолла и др. В середине XX века было получено строгое универсальное (т. е. не требующее конкретизации упругого потенциала) решение для несжимаемых материалов [85], а также показано отсутствие такого решения при использовании сжимаемых сред [67, 92]. Общая теория кручения призм была развита Л. М. Зубовым [31, 32, 103]. В этих публикациях дано обобщение полуобратного метода в задаче кручения на случай больших деформаций и сформулирована двумерная нелинейная краевая задача, решение которой точно удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на боковой поверхности бруса.

В работе [30] содержится численное решение нелинейных краевых задач, возникающих в проблеме кручения круговых цилиндров. Использование теории функции комплексного переменного при расчетах скручиваемых валов было развито в монографии [101]. Применение вариационных методов к анализу проблемы кручения описано в работе Канторовича [38] и в монографии [44]. Для решения задач о сильном скручивании цилиндров произвольного поперечного сечения в [5, 41] использован метод Ритца, а в [90] - вариационная теорема Рейсснера. Методы конечных и граничных элементов применялись к задаче кручения в [76, 91].

В статье [36] описана теория сопряженных решений нелинейной эластостатики, позволяющая строить новые точные решения (в том числе и решения нелинейных задач кручения). Точные формулы, выражающие поле поворотов сплошной среды через поле перемещений при больших деформациях и имеющие непосредственное применение в задачах кручения, получены в [37].

Задачей о свободном кручении в нелинейной постановке дается также описание необъяснимого в линейной теории и наблюдаемого экспериментально эффекта Пойнтинга, состоящего в изменении длины стержня при его кручении. Учет этого эффекта, даже в области малых деформаций, важен для изготовителей высокоточных измерительных устройств, например, стержневых динамометров.

Нелинейные эффекты при кручении упругих тел наблюдались Кулоном (уменьшение периода колебаний крутильного маятника под действием растягивающей нагрузки, 1784), Вертгеймом (изменение объема скручиваемых трубок, 1857), Кельвиным (1865), Томплинсо-ном (1883) и, наконец, Пойнтингом [83, 84], сделавшим попытку теоретического описания удлинения стержня при кручении. Удовлетворительное объяснение этих явлений стало возможным лишь с развитием нелинейной теории упругости [86, 88 и др.]. Обзор способов учета эффектов второго порядка содержится в докладе Трус-делла [97]. В статье [64] обсуждается их влияние на аналитическое решение задачи кручения. В публикациях [21 и 71] рассматривается задача о закручивании предварительно растянутых проволок. Экспериментальным исследованиям их поведения посвящены работы [56, 61, 66, 93].

Задача о кручении подкрепленного по боковой поверхности цилиндра для нелинейно-упругих изотропных сред в различных постановках рассматривалась А. И. Лурье, Н. X. Суюншкалиевым, L. Тао, Р. М. Haughton, К. A. Lindsay, J. G. Simmonds, P. Warne и др. Приближенное решение для нескольких моделей сжимаемых упругих сред было получено в работе [79] путем разбиения цилиндра фиксированной толщины на конечное количество тонких коаксиальных трубок и в [73] с применением концепции теории упругости «второго порядка». J. G. Simmonds и Р. Warne [94] изучали эту задачу для материалов с различными свойствами, включая несжимаемость и ор-тотропию. В [89] проблема кручения стержня, подкрепленного изнутри, и стержня, подкрепленного снаружи, рассмотрена для орто-тропного материала с использованием преобразования Ханкеля. Наблюдаемый при «стесненном» кручении эффект «самозатягивания» [58] в зоне контакта упругой среды с опорой как результат возникновения радиальных перемещений в образце, также существен при малых деформациях и должен учитываться при проектировании некоторых прецизионных соединений.

Теория дислокаций в кристаллах находит свое применение в различных областях материаловедения (пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение и др.). Вопросы физики дислокаций затрагиваются в монографиях Ван Бюрена, А. X. Коттрелла, Л. И. Миркина, Дж. Хирта, И. Лоте, и др.

Классическая теория упругих дислокаций в рамках линейной теории упругости была создана В. Вольтерра [98] и А. Лявом [47], а задача обобщения ее на нелинейный случай впервые была поставлена Р. де Витом [6].

Различным аспектам нелинейной задачи об изолированных дефектах посвящены многочисленные исследования. В работах [43, 57, 103] рассмотрены вопросы больших деформаций тел с дислокациями. Изолированные дефекты с конечными величинами их характеристик (вектор Бюргерса), возникающие, например, в нитевидных кристаллах, описаны в [4]. Учет нелинейности в некоторых случаях позволяет устранить сингулярность полей напряжений вблизи оси дислокации, вычисляемых в теории малых деформаций [40]. Необходимость привлечения методов нелинейной теории упругости для описания зависимости макроскопической плотности кристаллов от наличия дефектов была впервые отмечена А. Зегером [22].

Содержание работы изложено в трех главах.

В первой из них описывается структура разработанной Мар1е-системы для реализации всех этапов полуобратного метода теории упругости. Для того чтобы получить нелинейную краевую задачу равновесия, пользователю достаточно задать системы координат для отсчетной (недеформированной) и актуальной (деформированной) конфигураций среды, вид геометрического преобразования, конкретное выражение нелинейно-упругого потенциала, а также вид нагрузки на поверхности деформируемого тела. Численный анализ полученной краевой задачи осуществляются посредством специально написанных процедур, а графическое представление результатов -при помощи стандартных средств Maple.

Для анализа устойчивости найденных форм равновесия в рамках Maple-системы используется метод возмущений [46]. При этом линеаризованная система уравнений «нейтрального равновесия» выводится по общей схеме. Затем методом разделения переменных она сводится к линейной краевой задаче для трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент вектора добавочных смещений. Условие ее нетривиальной разрешимости дает возможность определить значения параметров деформации, при которых происходит потеря устойчивости, а также соответствующие им (критические) значения нагрузок. Аналогичный подход применялся в [24, 26, 28] при анализе устойчивости равновесия несжимаемых тел, а также тел из материала с потенциалом Джона.

Тестирование всех блоков Мар1е-программы проводилось с использованием задач, имеющих уже известные решения.

Вторая глава диссертации посвящена изучению (с помощью Maple-системы) задач об образовании винтовой дислокации в нелинейно-упругом теле (использованной в качестве базовой при отладке и тестировании Мар1е-системы) и о кручении подкрепленного по боковой поверхности цилиндра.

Строгое решение задачи о равновесии стержня с дислокацией было найдено Л. М. Зубовым [34] для несжимаемых сред. Среди методов анализа дефектов в сжимаемой упругой среде распространены различные варианты метода последовательных приближений [23, 59], непригодные для описания механических полей вблизи оси дислокации. В [39] построено аналитическое решение для «гипотетического» варианта модели Блейтца и Ко, а при использовании «упрощенного» ее варианта получены численные результаты для полого цилиндра и построена асимптотика решения при стремлении радиуса полости к нулю. В п. 2.1 изучается напряженное состояние тела из материала с потенциалом Блейтца и Ко общего вида. Установлено, что образование в сплошном цилиндре винтовой дислокации приводит к возникновению полости вдоль его оси для большинства вариантов рассматриваемой модели (исключая «гипотетическую»).

Полученные для «упрощенной» модели численные результаты согласуются с построенной в [40] асимптотикой.

Задача о кручении полого подкрепленного стержня для материла Блейтца и Ко общего вида рассматривается в п. 2.2 в трех вариантах: А) цилиндр скреплен изнутри с жестким неподвижным валом и заключен в обойму, которая, не двигаясь радиально, поворачивается на заданный (не обязательно малый) угол; Б) к свободной внутренней поверхности цилиндра приложено скручивающее касательное напряжение, а внешняя поверхность жестко скреплена с неподвижной обоймой; В) внутренняя поверхность цилиндра скреплена с жестким неподвижным валом, а к свободной внешней поверхности приложено скручивающее касательное напряжение.

Для перечисленных вариантов постановки задачи найдено решение линейной теории и определены механические поля, возникающие в скручиваемых цилиндрах для нескольких вариантов материала Блейтца и Ко. Показано, что поведение деформируемого образца существенно зависит от модели нелинейно-упругого материала, а также от способа его закрепления. При этом возникающие в стержне нормальные напряжения (эффект Кельвина) в ряде случаев сравнимы по величине с касательными.

Проблема А) для несжимаемого материала изучена в [96]. Точное ее решение для материала Джона содержится в [58]. Некоторые аспекты этой проблемы для материала Блейтца и Ко были рассмотрены в [99, 102]. Расчеты показывают, что для некоторых вариантов потенциала Блейтца и Ко (в отличие от несжимаемой среды) вблизи внутренней поверхности стержня наблюдается зона сжимающих напряжений. Размер ее зависит от выбора материала, а также от толщины исследуемого образца. Смена знака около внешней поверхности цилиндра при определенных значениях констант присуща также окружным нормальным напряжениям. У толстостенных цилиндров (гь/гх< 1/20) нормальные и касательные напряжения стремятся к нулю вблизи жесткой обоймы, причем область пренебрежимо малых напряжений может достигать 50% толщины цилиндра.

Упрощенная» модель Блейтца и Ко является нетипичной в том смысле, что численное решение задачи невозможно при больших (более я/7) углах закрутки. Такая особенность может быть связана [102] с нарушением условий сильной эллиптичности. Значения крутящего момента для этой модели уже при небольших углах закручивания заметно отличаются от результатов линейной теории. Для других вариантов потенциала Блейтца и Ко такое отличие составляет 5-30% при повороте обоймы на угол <р0=90°в зависимости от значений констант материала.

Задача Б) для сжимаемого гармонического материала рассматривалась в [58]. Ее численные результаты для малосжимаемого материала Левинсона-Берджесса [77] приведены в [72]. Расчеты для материала Блейтца и Ко показывают, что возникающие в подкрепленном по внешней боковой поверхности цилиндре из касательные напряжения мало отличаются от линейных, а нормальные напряжения неотрицательны. Радиус полости скручиваемого стержня уменьшается.

Численное решение задачи В) для модели Левинсона-Берджесса представлено в [68]. При использовании потенциала Блейтца и Ко в подкрепленном изнутри цилиндре касательные напряжения близки к линейным, а радиальные напряжения неположительны и обращаются в нуль на внешней поверхности цилиндра. Знак радиальных перемещений, как и в задаче А), зависит от значений констант.

В третьей главе диссертации рассматривается задача о кручении цилиндра (вала) равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Длина цилиндра до деформации считается достаточно большой.

Упрощенная» модель материала Блейтца и Ко допускает строгое аналитическое решение этой задачи [63]. Подход к ее решению, основанный на представлении упругого сжимаемого тела совокупностью поверхностей, предложен в работе [100]. В п. 3.1 изучено напряженно-деформированное состояние скручиваемого цилиндра для нескольких моделей нелинейно-упругих сжимаемых сред. Определены поля внутренних усилий и перемещений, возникающих в стержне при отсутствии удлинения. Установлено, что для тонкостенных цилиндров (г,,/^ =0.99) величина крутящего момента и осевой силы существенно меньше (в 25-30 раз), чем для стержней с малой полостью. Численное решение (в рамках Мар1е-программы) нелинейных краевых задач в окрестности оси вала проводится для полого цилиндра с малым внутренним радиусом, который приближенно считается сплошным.

В п. 3.2 дана качественная и количественная оценка эффекта Пойнтинга для рассмотренных в п. 3.1 материалов. Здесь же получена приближенная (с сохранением лишь квадратичных относительно угла закручивания слагаемых) формула для относительного удлинения скручиваемого вала. При ее выводе использовалась теория последовательных приближений, развитая в работах А. Синьорини, Р. Ривлина [86], М. Мишику и др. Представлено сравнение результатов численного и асимптотического исследования.

Установлено, что в тонкостенных трубках величина эффекта Пойнтинга почти в два раза больше, чем в толстых цилиндрах. Показана неприменимость т. н. «физически-линейного» материала (полученного подстановкой тензора конечных деформаций в функцию энергии линейно-упругого тела) при исследовании поведения нелинейно-упругих сжимаемых сред.

Для «гипотетической» и «упрощенной» модели Блейтца и Ко дана также оценка «обратного эффекта Пойнтинга», состоящего в изменении углов поворота точек предварительно скрученного вала при его дополнительном растяжении или сжатии. Показано, что при неизменной величине приложенных к торцам моментов цилиндр слегка «раскручивается» при сжатии и «закручивается» при растяжении.

В п. 3.3 проведено сравнение критических значений параметра кручения у для вала из материала с «упрощенным» потенциалом

Блейтца и Ко для двух вариантов постановки задачи. В первом из них предполагается наличие осевой силы, препятствующей удлинению, а во втором - ее отсутствие. Установлено, что для тонких валов (г0//} =0.99) разницы в критических значениях ц/^ для этих задач практически нет. Для цилиндров же с малой полостью (Л = 0.9) она гораздо заметнее: вал с закрепленными торцами теряет устойчивость почти в сто раз быстрее свободного. Для несжимаемых материалов задача устойчивости скручиваемого вала была рассмотрена в [28].

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты работы докладывались на II, III и V Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 1996, 1997, 1999), на Международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства» (г. Таганрог, 1997), на Международных научно-практических конференциях «Строительство-97» и Строительство^» (г. Ростов-на-Дону, 1997, 1998), на 1-st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, Canada, 1999), на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механи-ка-99» (г. Минск, 1999), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском госуниверситете и в Ростовском государственном строительном университете.

По теме диссертации опубликованы статьи [7-16 и 70]. Работы [7-9, 11, 13-15, 70] были написаны в соавторстве с М. И. Каряки-ным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования.

Автор выражает глубокую благодарность М. И. Карякину и Э. Н. Потетюнко за внимание и помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

1. В рамках системы аналитических вычислений Maple V создан комплекс программ, реализующий все этапы полуобратного метода теории упругости. Указанный комплекс содержит также блок анализа устойчивости форм равновесия деформируемых тел.

2. Для различных видов нелинейно-упругого потенциала Блейтца и Ко изучена задача о кручении стержня, подкрепленного по боковой поверхности. Численно проанализированы поля напряжений и перемещений, а также нелинейные эффекты, возникающие в цилиндре при больших деформациях. Найдено точное решение для одного из вариантов потенциала Блейтца и Ко. Проведено сравнение полученных результатов с решением линейной теории. Сделан вывод о том, что поведение вала существенно зависит от способа его закрепления и от констант материала.

3. Для различных типов нелинейно-упругих сжимаемых сред изучены механические поля, возникающие при свободном кручении цилиндра, а также дана качественная и количественная оценка эффекта Пойнтинга. Проанализировано влияние выбора материала на этот эффект. Показана непригодность т. н. «двухконстантной» («физически-линейной») модели для изучения деформирования сжимаемых тел.

4. Для «упрощенной» модели Блейтца и Ко изучен вопрос об устойчивости скручиваемого вала при наличии удлинения, а также при возникновении осевой силы, препятствующей удлинению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Аладьев В. 3., Богдявичюс М. А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V // Вильнюсский техн. ун-т им. Гедими-наса. Вильнюс: Техника, 1999.685 с.

2. Аладьев В. 3., Ваганов В. А., Шишаков М. Л., Хунт Ю. Я. Автоматизированное рабочее место математика. Ititern.acad.of noosphere. Таллинн, 1999. 607 с.

3. Арутюнян H. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

4. Бережкова Г. В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158 с.

5. Богачкова Л. Ю., Зубов Л. М. Энергетический метод в нелинейной теории кручения упругих призматических тел Н Изв. сев.-кавказ. научн. центра высш. школы. Естеств. науки. 1988. №3. С. 63-68.

6. Вит Р. де Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

7. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Стесненное кручение нелинейно-упругого полого цилиндра // Математические модели физических процессов и их свойства: Тезисы докладов международной конференции. Таганрог, 30 мая -2 июня 1997. Таганрог, 1997. С. 29-30.

8. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. О нелинейных эффектах в задаче кручения // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды III международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997. Т. 1. Ростов н/Д: МП «Книга», 1997. С. 92-96.

9. Гавриляченко Т. В. Компьютерная автоматизация полуобратного метода нелинейной теории упругости // Материалы международной научно-практической конференции: Тезисы докладов. Ростов н/Д: РГСУ, 1997. С. 51-52.

10. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Кручение подкрепленного цилиндра из нелинейно-упругого материала // Известия Ростовского государственного строительного университета. 1998. №3. С. 58-65.

11. Гавриляченко Т. В. Об эффектах второго порядка при кручении сжимаемого цилиндра // Международная научно-практическая конференция «Стоительство-98»: Тезисы докладов. Ростов н/Д: РГСУ, 1998. С. 87.

12. Гавриляченко Т. В., Карякин М. И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41, №2. С. 188-193.

13. Гавриляченко Т. В. О пятиконстантной модели Мурнагана // Известия Ростовского государственного строительного университета.2000. №5. С. 56-61.

14. Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

15. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

16. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998.399с.

17. Зволинский Н. В., Риз П. М. О некоторых задачах нелинейной теории упругости. Прикл. мат. и мех. 1939, т. 2, № 4.

18. Зегер А. Некоторые нелинейные упругие эффекты вблизи дислокации // Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: Изд-во ИЛ, 1960. С. 353-356.

19. Зегер А., Веселовски 3. Анализ винтовых дислокаций с помощью конечной упругости // Физика прочности и пластичности. М.: Металлургия, 1972. С. 19-31.

20. Зеленин А. А., Зубов Л. М. Устойчивость и послекритическое поведение упругого цилиндра с дисклинацией//МТТ 1989, №1. С. 101-108.

21. Зубов Л. М. Универсальные квазистатические деформации для изотропных несжимаемых тел с памятью // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №3. С. 57-62.

22. Зубов Л. М., Руденко Г. Г. Устойчивость тонкостенных стержней замкнутого профиля // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1980, Ks2. С. 30-33.

23. Зубов Л. М. Полуобратный метод в квазистатических задачах нелинейной термовязкоупругости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 556-559.

24. Зубов Л. М., Моисеенко С. И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР, МТТ. 1981, №5. С. 78-84.

25. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та. 1982. 143 с.

26. Зубов Л. М., Овсеенко С. Ю. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. 1982. Вып. 40. С. 109-117.

27. Зубов Л. М. Теория кручения призматических стержней при конечных деформациях//Доклады АН СССР. 1983. Т. 270. №4. С. 827-831.

28. Зубов Л. М. Нелинейная теория кручения некруговых цилиндров // Труды Всесоюзн. конф. «Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов». Рига. 1983. С. 10-12.

29. Зубов Л. М. Дислокации в нелинейной теории оболочек // Труды Всесоюзного симпозиума «Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика». Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1985. С. 206-210.

30. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах// Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1987. №5. С. 140-147.

31. Зубов Л. М. Проблемы общей нелинейной теории тонких оболочек // VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М. 1991. С. 166.

32. Канторович Л. В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР. 1933. № 5. С. 647-652.

33. Карякин М. И. Изолированная винтовая дислокация в сжимаемом нелинейно-упругом теле // Рост. Ун-т. Ростов н/Д, 1988. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 27. 10. 88, №7715-В88.

34. Карякин М. И. Нелинейные эффекты в теории дислокаций Воль-терра: диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. РГУ, Мех.-мат. ф-т. Ростов н/Д, 1989. 129 с.

35. Колесник И. А., Коробко А. В. Кручение упругих призматических стержней с сечением в виде параллелограмма // Проблемы машиностроения. 1991. №36. С. 34-39.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

37. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наук, думка, 1978. 219 с.

38. Литбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Гостехиздат. 1943.

39. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

40. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

41. Ляв А. Математическая теория упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

42. Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз. 1939.

43. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 264 с.

44. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

45. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

46. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз. 1961.

47. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. 295 с.

48. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука. 1971.

49. Соляник-Красса К. В. Кручение валов переменного сечения. М.: Гостехиздат. 1949.

50. Степаненко Ю. П. Эффект ПоЙнтинга. Схемы расчета и эксперимента // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды III международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997. Т. 1. Ростов н/Д: МП «Книга», 1997.

51. Стрельцов В. А. О законах наследования дефектов и их плотностей в кристаллических телах при однородных больших деформациях // ФТТ. 1985. Т. 27, вып. 12. С. 3713-3715.

52. Суюншкалиев Н. X. Некоторые задачи теории конечных упругих деформаций. Ташкент: Изд-во «Фан», 1988. 128с.

53. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

54. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

55. Allen М., Saxl Е. J. Elastic Torsion in Wires under tension // J. of Applied Physics. 1969. v. 40, №6 p. 2505-2509.

56. Blatz P. J., Ко W. L. Applications of finite elasticty theory to deformation of rubbery materials // Trans. Soc. Rheol. 1962, v. 6. P. 223251.

57. Caroll M. M., Horgan C. D. Finite strain solutions for a compressible elastic solid//Quart. Appl. Math. 1990. 48, №4. p. 767-780.

58. Chen M., Chen Z. Second-Order Effect of an elastic circular shaft during torsion // Appl. Math, and Mech. 1991. v. 12, № 9 c. 769-776.

59. Darren Redfern. The Maple Handbook. Springer-Verlag, 1993. 499 p.

60. Dell' Isola F., Ruta G. C., Batra R. C. Generalized Pointing Effects in Preformed prismatic Bars // J. of Elasticity 1998. v. 50 p. 181-196.

61. Ericksen J. L. Deformations possible in every isotropic uncompressible perfectly elastic body // Zeitsch. angew. Math, und Phys. 1954. №5. p. 466-486.

62. Ertepinar A. On the finite circumferential shearing of compressible hyperelas-tic tubes.//Int. J. Engng. Sei. 1990. 28, p. 889-896.

63. Fowkes, N., Mahony, J., An Introduction to Mathematical Modelling. New York: Springer- Verlag, 1996. 379 p.

64. Gavrilyachenko T. V., Karyakin M. I., On an application of semi-inverse method to the nonlinear problem of torsion // Proc. 1-st Canadian Conference on Nonliear Solid Mechanics. Victoria, British Columbia, Canada. June 16-20, 1999. Vol. 2, p. 690-697.

65. Green A., Shield R. Finite Extension and Torsion of Cylinders. Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A 244, 1951.

66. Haughton P. M. Circular shearing of compressible elastic cylinders // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1993. 46, № 3. p. 471-486.

67. Haughton P. M., Lindsay K. A. The second-order deformation of a finite compressible isotropic elastic annulus subjected to circular shearing // Proc. Roy. Soc. London. 1993. 442, Ns 1916. p. 621-639.

68. John F. On finite deformations of elastic isotropic material // Inst. Math. Sei. New York Univ. Report IMM-NYU. 1958. № 250.

69. Knowles J. K., Sternberg E. On the ellipticity of the equation of nonlinear electrostatic for a special material // J. Elasticity 1975, v. 5, p. 341-361.

70. Koczyk S., Weese W. FEM-Lösung des Problems der St. Venantschen Torsion mit Hilfe der Wölbfunktion // Tech. Mech. 1991. V. 12., S. 125-130.

71. Levinson M., Burgess I. W. A comparison of some simple constitutive relations for slightly compressible rubber-like materials // Int. J. Mech. Sei. 1971. 13, 563-572.

72. Mathematical Genius // PS Magazine, October 1994.

73. Mioduchewski A. and Haddow J. B. Combined torsional and telescopic shear of compressible hyperelastic tube // J. appl. Mech. 1979. 46, p. 223-226.

74. Monagan, M., Geddes, K., Heal, K., Labahn, G., Vorkoetter, S., Maple V Programming Guide for Release 5. New-York: Springer, 1996. 379 c.

75. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid. Second Edition. N. Y. 1967.

76. Podio-Guidugli P., Veegara Cafarelli G., Virga E. G. Discontinuous energy minimizes in nonlinear elastostatics: an example of J. Ball revisited // J. of Elasticity. 1986. v. 16, №1. p. 75-96.

77. Poynting J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. London. 1909, ser. A. V. 82. p. 546-559.

78. Poynting J. H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted and on the pressure of distortional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London. 1912, ser. A. V. 86. p. 534-561.

79. Rivlin R. S. Large elastic deformation of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory. Phil. Trans. Roy. Soc. V. A241, London. 1948. p. 489-511.

80. Rivlin R. S. The solution of problems in second order elasticity theory // J. Rational Mech. Anal. 1953. v. 2. p. 53-81.

81. Rivlin R. S., Saunders D. W. Large elastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deformation of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1951, v. A243. P. 251-288.

82. Rivlin R. S., Topakoglu C. A Theorem in the Theory of finite elastic deformation // J. Rational Mech. and Anal. 1954. v. 2. P. 53-81.

83. Rogowski B. The torsion of a hollow cylinder inverted into a rigid ring or with rigid inclusion // Zesz. Nauk. Mech. 1993. №92 p. 47-57.

84. Sacchi P. L. On the problem of torsion in finite elasticity. Pt. 2. Some general remarks in the case of uniform torsion // Mech. St. and Math. 1989. v. 16. №3. c. 271-281.

85. Sharitt M. Linear finite element equations for nonlinear deformation of slightly compressible material // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1992. 45, №2 p. 169-181.

86. Shield R. T. Deformations possible in every compressible, isotropic, perfectly elastic material//J. Elasticity. 1971. v. 1, №1.

87. Shrivastava S. C., Zonas J. J., Toth L. S. The inverse swift effect in pretwisted and pruly extended wires // IUTAM Symp. «Finite inelast. Déformât. : Theory and Appl. Hannover, Aug. 19-23, 1991. Progkam. AndAbsr. Hannover, 1991. p. 102.

88. Simmonds J. G., Warne P. Azimuthal shear of compressible, non-linearly elastic polar orthotropic tubes of infinite extent // Int. J. nonlinear Mech. 1992. 27, p. 447-464.

89. Simon B. Comparative CAS Reviews // Notices, 1992, 39 № 7, p. 700710.

90. Tao L., Rajagopal K. R. and Winemann A. S. Circular shearing and torsion of generalised neo-Hookean materials // IMA J. Appl. Math. 1992. 48, p. 23-37.

91. Truesdell C. Second order effect in the mechanics of materials // Proc. Int. Symp. Second-Order Effects. Haifa. 1962. P. 1-47.

92. Volterra V. Sur F équilibré des corps élastiques multiplement connexes. // Annales de 1' Ecode Norm. Sup. Ser. 3 1907. V. 24, №3 p. 401517.

93. Waldron Jr W. K. Influence of normal stress effect of finite shear deformations of compressible nonlinear isotropic solids. Ph. D. thesis, University of Michigan, Ann Arbor, and University Microfilms, Inc., Ann Arbor, MI, № 9308474, 1992.131

94. Wang C. Normal configurations and inversion for compressible bodies 11 Arch. Ration. Mech. and Anal. 1991. 144, № 3. p. 195-236.

95. Weber C., Gunter W. Torsionstheorie. Akademie-Verlag, Berlin. 1958.

96. Winemann A. S., Waldron Jr W. K. Normal stress effect induced during circular shear of a compressible non-linear elastic cylinder // Int. J. Non-linear Mech. 1995. 30, №3. p. 323-339.

97. Zubov L. M. Nonlinear Theory of Dislocations in Elastic Bodies. Berlin Heidelberg-New-York: Springer-Verlag. 1997. 205 p.

98. Zubov L. M., Bogachkova L. U. The Theory of torsion of elastic noncircular cylinders under large deformations // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. v. 62. №2. p. 373-379.