Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах

Штейнберг, Евгений Ильич

Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Штейнберг, Евгений Ильич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах"

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Штейнберг Евгений Ильич

Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Работа выполнена на кафедре МТУ и БМ Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. И Землянухин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Ерофеев доктор технических наук, профессор Г.Н. Белосточный

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения PAF (Санкт-Петербург)

Защита диссертации состоится сМ&аЯ 2004 г. в )£ 1га заседа-

нии диссертационного совета Д 212.243.10 в Саратовском государственном университете (410026, г. Саратов, ул. Московская, 155).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Шевцова Ю.В

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической физики. Значительные успехи, достигнутые на рубеже 70-х годов прошлого века в области аналитических методов решения нелинейных УЧП, позволили эффективно использовать нелинейные теории механики деформируемых тел, которые выявляют и адекватно описывают явления, невозможные в рамках линейного анализа.

Основным эффектом, породившим целое направление современной науки, стал эффект существования устойчивых стационарных импульсов - "солитонов" в нелинейных средах с дисперсией, первые опыты научного наблюдения которых в виде волн на воде восходят еще к середине 19 века. Численные эксперименты, связанные с исследованием солитонов привели Крускала, Забусского и Миуру к созданию нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния и теории солитонов. Будучи решениями нелинейных уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являются воплощением корпускулярно-волнового дуализма.

В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейден Г.В., Самсонова A.M., Семеновой И.В., Сокурин-ской Е.В. (1988) Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым А.В., Самсоновым А.М, Семеновой A.M., Дрейден Г.В. (1996) Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С. (1987).

Основы нелинейной волновой динамики были заложены в работах Островского Л.А., Весницкого А.И., Ерофеева В.И. (80-е - 90-е гг). Для тонких цилиндрических оболочек эта теория получила свое развитие в работах Землянухина А.И., Могилевича Л.И. (1999).

/ОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I 3 БИБЛИОТЕКА I

'. .¿TBfciж

интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. Точные аналитические решения некоторых неинтегрируемых эволюционных уравнений были впервые получены Кудряшовым Н.А. (90-е гг). В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании решения и нащупать пути для построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга,позволяют обеспечить корректность решения поставленной задачи.

Многочисленные практические применения оболочечных конструкций в технике обуславливают актуальность проблемы моделирования и исследования нелинейных волновых процессов в средах на основе теории тонких оболочек.

Цель работы: Целью работы является моделирование и исследование нелинейных волновых процессов в деформируемых системах на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

• Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке.

• Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

• Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы.

Научная новизна работы: Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

• Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейных неоднородных тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява:

Щт + + С2и\и# + + С4 щ^ш = сьит- (1)

• Для выведенного уравнения (1) построено преобразование Бэклунда и найдены классы точных солитоноподобных решений.

• Исследовано обобщение выведенного уравнения на случай нелинейности пятого порядка:

описывающее волновое движение в среде, где зависимость интенсивности напряжений а, от интенсивности деформаций имеет вид полинома пятой степени. Для него построено преобразование Бэк-лунда, классы точных уединенно-волновых решений, и установлена его эквивалентность паре связанных уравнений Риккати.

• На основе проведенного анализа основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 3-го порядка явных конечно -разностных, а для уравнений 5-го порядка псевдоспектрального численных методов.

• Численно исследованы солитоноподобные решения для выведенного уравнения и его обобщения. Численно промоделированы явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных решений выведенного уравнения.

• Разработана и реализована программа исследования аналитической структуры нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа автоматизирует процесс тестирования уравнений на обладание свойством Пенлеве и позволяет автоматически строить преобразования Бэклунда и точные волновые решения.

• Разработана и реализована программная оболочка для интеграции различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных.

Достоверность результатов: Анализ волнового процесса проводился на основе классической модели оболочки Кирхгофа-Лява. Упрощение получившихся уравнений проводилось с помощью метода многих масштабов. Численное моделирование проводилось на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых была теоретически обоснована. Достоверность результатов численного моделирования модельных уравнений и уравнений полученных в работе подтверждается совпадением поведения численной модели и аналитически построенных точных

решений.

Практическая значимость: Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими методами диагностики поврежденности материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам. Точные решения неинтегрируемых эволюционных уравнений могут применяться для тестирования различных численных методов решения УЧП. Программа anstruct может применяться для автоматического исследования нелинейных УЧП на удовлетворение свойству Пенлеве и для построения их точных волновых решений.

Апробация работы: Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте Проблем Машиноведения имени Благонравова (Нижний Новгород, 2001, 2002), на коллоквиуме "Евромех-439" (Саратов, 2002), на международной конференции "Нелинейные Колебания Механических Систем" (Санкт-Петербург 2003), на научном семинаре в Институте проблем машиноведения РАН (рук. Индейцев Д.А.) (Санкт-Петербург, 2004), на научном семинаре кафедры теории упругости и биомеханики (рук. Коссо-вич Л.Ю.) (Саратов 2003, 2004).

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

• Выведенные новые нелинейные уравнения в частных производных, описывающие волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява.

• Преобразования Бэклунда и точные решения полученных неинте-грируемых эволюционных уравнений.

• Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в выведенных уравнениях.

• Программа автоматического исследования аналитической структуры нелинейных УЧП.

Публикации: Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 7 научных статьях и учебном пособии.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и содержит 136 страниц наборного текста.

Рис. 1: Структура диссертационного исследования

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность избранного направления исследований на основе обзора теоретических, экспериментальных и прикладных работ. Сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложено основное содержание диссертации. Каждая глава предваряется кратким обзором рассматриваемых проблем.

В главе I изложены основные современные аналитические методы, позволяющие точно решать нелинейные уравнения в частных производных.

В пункте 1.1 представлено введение в проблематику исследований,

касающихся аналитической структуры дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Пункт 1.2 посвящен изложению метода Хироты, который исторически стал первым нетрадиционным методом прямого построения точных решений нелинейных УЧП. В качестве примера построено 3-х солитон-ное решение уравнения КДВ.

В пункте 1.3 описывается метод гиперболических функций, предоставляющий достаточно простой способ получить решение УЧП при условии, что последнее возможно записать в терминах гиперболических функций. С помощью этого метода строится ударно-волновое решение уравнения МКДВ.

Далее в пункте 1.4 подробно изложена идеология метода сингулярного многообразия, разработанного в 1983 году Вейсом, Тэйбором и Корневелом. Применение метода описывается в формулировке Конте на основе уравнения МКДВ, для которого находится ударно-волновое решение.

В пункте 1.5 рассматривается одна из модификаций метода гиперболических функций - метод функций перегиба. Применение этого метода основано на использовании функции "перегиба", описывающей форму решений типа бегущего фронта. Преимуществом метода является возможность одновременного построение комплексно-сопряженных решений.

Пункт 1.6 посвящен обзору основных концепций символьных вычислений и перспектив применения систем компьютерной алгебры для автоматизации исследования уравнений в частных производных.

В пункте 1.7 подробно описан алгоритм, позволяющий автоматически проверять необходимое условие удовлетворения свойства Пенлеве для дифференциальных уравнений.

В пункте 1.8 алгоритм исследования на обладание свойством Пен-леве дополнен методикой построения точных волновых решений на основе метода сингулярного многообразия.

В пункте 1.9 представлена реализация обоих алгоритмов в виде программы для системы компьютерной алгебры Maple, производящей все аналитические вычисления в пакетном режиме. Показан пример применения программы для анализа уравнения МКДВ. С помощью разработанной в диссертации программы anstruct автоматически продемонстрировано свойство Пенлеве для уравнения МКДВ и найдены точные ударно-волновые решения.

Глава II посвящена обзору основных численных методов, применяющихся в настоящее время при моделировании нелинейных УЧП. В введении рассматриваются основные типы существующих на данный момент численных методов: конечно-разностные методы, метод конечных элементов и спектральные методы. Все эти методы характеризуются и классифицируются в рамках единого подхода: способом минимизации невязки и выбором модельной функции.

В пункте 2.1 рассматривается модельная задача получения картины долговременной эволюции достаточно гладкого импульса в нелинейной дисперсионной неограниченной среде, описываемой уравнением МК-ДВ. После математической постановки задачи рассматриваются основные подходы к моделированию бесконечной среды.

Пункт 2.2 посвящен вопросам верификации численных алгоритмов. Рассматриваются различные способы введения понятия погрешности и методики ее вычисления. Показывается, каким образом с помощью точного решения можно вычислить асимптотику метода и получить оценки погрешности метода.

В пункте 2.3 рассматриваются разностные методы решения уравнений в частных производных. В качетсве примера, на котором демонстрируются методики анализа различных разностных схем, приводится простейшая разностная схема типа "чехарда" для уравнения МКДВ.

Пункт 2.4 описывает понятия устойчивости, сходимости и аппроксимации разностных методов. Приводится теорема Лакса об устойчивости, а также вводится понятие практической сходимости, которым приходится руководствоваться при отсутствии точного решения исследуемой задачи.

В пункте 2.5 освещены основные методики генерации конечно-разностных формул. С пяти различных точек зрения показываются механизмы генерации численных аналогов оператора дифференцирования, подчеркивается внутренне единство этих различных подходов. Предлагается простая программа на языке символьной математики Maple, генерирующая конечно-разностную формулу для производной заданного порядка с заданным порядком аппроксимации. Также рассматривается алгоритм Форнберга генерации явных и неявных конечно-разностных формул и приводится соответствующий Maple-код.

Пункт 2.6 посвящен Фурье-анализу конечно-разностных формул, который является основным инструментом в практическом нахождении критериев устойчивости конечно-разностных методов. Данный метод из-

вестен в литературе также как метод разделения переменных и анализ фон Неймана.

В пункте 2.7 методика Фурье-анализа конечно-разностных формул демонстрируется на примере конечно-разностной формулы для уравнения МКДВ. Приводятся результаты численного моделирования распространения солитона МКДВ и дезинтеграции гауссова импульса в цуг солитонов.

В пункте 2.8 конечно-разностные алгоритмы рассматриваются с точки зрения теории цифровых фильтров. С помощью этого подхода можно точно подобрать характеристики разностного метода в смысле соответствия физике задачи и прояснить механизмы устойчивости разностного алгоритма.

Пункт 2.9 описывает неявные конечно-разностные методы, приводящие к решению систем линейных уравнений. Обладая большей устойчивостью, неявные методы могут допускать большие шаги по времени, за счет чего можно достигнуть высокой производительности численных расчетов, несмотря на гораздо большее количество операций на каждом шаге. Циклические полосовые матрицы, к которым приводят задачи с периодическими краевыми условиями, могут быть сведены к обычным полосовым матрицам незначительной модификацией алгоритма, что позволяет на порядок сократить необходимое количество операций. На примере уравнения МКДВ описывается соответствующая полностью неявная разностная схема.

Пункт 2.10 посвящен идеологии спектральных численных методов. Конечно-разностные методы основаны на локальной аппроксимации решения, как правило, полиномами низких порядков. В отличие от них, спектральные методы используют глобальное представление функции на всем интервале изменения зависимой переменной. Результатом этого является точность представления, недостижимая с помощью разностных методов. Далее показан способ спектрального представления дифференциального оператора, лежащий в основе спектральных методов.

В пункте 2.11 рассматривается псевдоспектральный метод, который был предложен Орзагом в 1971 году как полноценная замена методам Галеркина в тех случаях, когда наличие нелинейных членов приводит к необходимости производить свертки в фурье-пространстве.

Пункт 2.12 посвящен проблемам устойчивости спектральных методов. Рассматриваются основные препятствия, возникающие при практическом применении этих методов для нелинейных уравнений - алиасинг

(явление ложной частоты) и блокирование спектра. Рассмотрены различные подходы к преодолению этих трудностей на основе идей Филипса и Орзага.

Пункт 2.13 демонстрирует неявный псевдоспектральный метод, основанный на идее гибридизации точности спектральных методов и устойчивости неявных методов. На примере уравнения МКДВ показана процедура построения численного алгоритма приводящего к решению на каждом шаге по времени системы нелинейных алгебраических уравнений, которое производится методом простой итерации.

В главе III исследована эволюция нелинейных продольных волн в геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках на основе модели Кирхгофа-Лява. Уравнения движения элемента оболочки, записанные в перемещениях, содержат четыре малых параметра

_ А . у/т h А 0 = 7' 1 = Д ' 3 = Д'

(3)

характеризующих соответственно нелинейность волнового процесса, его дисперсию, тонкостенность оболочки и слабую угловую расходимость квазиплоской волны.

Здесь Л - характерный масштаб амплитуды возмущения, I - характерная длина волны. Д - радиус кривизны оболочки, Л - толщина оболочки.

Рассматривается случай, когда возмущение распространяется с постоянной скоростью вдоль образующей оболочки, медленно эволюционирует в окружном направлении и медленно меняет свои параметры во времени. Согласно методу многих масштабов, вводятся в рассмотрение разложения зависимых и независимых переменных по степеням малого параметра , соответствующие рассматриваемому случаю:

Здесь и, V, Ж - безразмерные перемещения точек серединной поверхности в направлениях х, у, г соответственно, С - неизвестная "базовая" скорость возмущения, значение которой определяется в результате первого шага метода многих масштабов.

Исследуется случай, когда параметры нелинейности, дисперсии и

тонкостенности имеют одинаковый порядок малости.

Рассматривается упругая геометрически и физически нелинейная оболочка. Доказано существование двумерных и одномерных солитонов продольной компоненты деформации, описываемых следующим уравнением:

(м( + С\иих + С2и211х + Сзиххх + С^иххххх)х — Сьиуу.

(6)

В пункте 3.3 показано применение программы anstruct для автоматического исследования аналитической структуры и нахождения точных волновых решений выведенного уравнения. Показано, что уравнение удовлетворяет условному свойству Пенлеве. Построено преобразование Бэклунда в виде:

~ ^ (7)

позволившее получить тотттто

и = гл/^есЛ2!.

2 V с2

(8)

Параметры имеют значения:

с ^

и о = с До3 - к^сг —

£ -— л_ 1^,01_л

5 и С5М

А*

л/-10С43/2С2 (-2 С3С2л/^ + с1Ч/Тбл/^с4)

ко = 1/10-*---^---

са\ (10)

(П)

В пункте 3.4 расматривается уравнение Кавахары-Петвиашвили, возникающее при наличии только геометрической нелинейности:

(щ + С\иих + С2ПХХХ + С$иххххх)х — С^Цуу

(12)

С помощью программы anstruct исследуется аналитическая структура и строятся точные солитоноподобные решения. Преобразование Бэклунда:

280,

С1

' (СЗ (1пр)хххх + с2 (М)и) •

(13)

Точное уединенно-волновое решение:

и =

1680 4 схр(2£) 169 с1с3(1 + ехр(0)4'

Параметры имеют значения: ^о =

(16)

(17)

В пункте 3.5 рассматривается обобщение выведенного уравнения на случай, если зависимость напряжений от деформаций имеет форму полинома пятого порядка. В одномерном случае:

Программа anstruct применяется для для автоматического исследования аналитической структуры и нахождения точных волновых уравнения (18).

Для этого уравнения построены преобразования Бэклунда и ударно-волновые решения. Преобразование Бэклунда имеет вид:

щ - Схи2их — с2и4их + с3иххх + с4иххххх = 0.

(18)

(19)

Точное ударно-волновое

£ 2'

(20)

где параметры имеют значег"

ко — 1/ои

(22)

(23)

сгс4

Далее демонстрируется эквивалентность уравнения паре связанных уравнений Рикатти следующего вида:

и* ±

о,

л/120^ 2У с2

щ + аи2+0= 0.

(24)

(25)

где

В случае, когда коэффициент нелинейности С1 положительный, то есть уравнение имеет вид

Щ + С1П2их — С2и4их + С$ИХХХ 4- С4иххххх — 0.

получено солитоноподобное решение в виде:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

16 и 4

Глава IV посвящена численному анализу распространения уединенных волн в деформируемых средах. Численное исследование рассматриваемых уравнений проводилось следующими методами:

1. Явная разностная схема типа "чехарда" (LF),

Рис. 2. Слена Распространение солитона в (6) Справа дезинтеграция гауссова импульса

2. Обобщенная неявная разностная схемы ( 0-метод)

3. Явная разностная схема с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты ^К),

4. Явный псевдоспектральный метод (ASD)

5. Неявный псевдоспектральный метод (WGMS)

Пункт 4.1 посвящен численному исследованию выведенного уравнения (6).

Схема LF для уравнения имеет следующий вид:

Схема (34) имеет порядок аппроксимации О( т2,Н2). Условие устойчивости фон Неймана при малых значениях к выглядит следующим образом:

Л5

г < 0 24—, с4

(35)

На рис.2 слева представлены результаты моделирования распространения солитона Расчет проводился по схеме (34) со следующими

значениями параметров:

Солитоноподобные импульсы в форме точного решения распространяются с сохранением своей формы с дозвуковой скоростью (см. 2 слева) Начальные гауссовы импульсы дезинтегрируют в последовательность солитонов с линейно убывающей амплитудой (см. 2 справа) , которые взаимодействуют упруго подобно классическим солитонам КДВ.

Моделирование дезинтеграции гауссова импульса, результаты которого представлены па рис.2 справа, проводилось явным псевдоспектральным методом с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты 4-го порядка и фильтрацией спектра по Орзагу при следующих значениях параметров:

При достаточно малых значениях дисперсии в картине эволюции гауссова импульса возникает качественное изменение- на переднем фронте возмущения возникает бризер (см рис.3). Моделирование проводилось явным псевдоспектральным методом с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты 4-го порядка и фильтрацией спектра по Орзагу при следующих значениях параметров:

Моделирование уравнения Кавахары, как частного случая уравнения (6) при ^ = О подтвердило, что солитоны уравнения Кавахары распространяются со сверхзвуковой скоростью без изменения своей формы. При моделировании гауссова импульса были выявлены режимы, при которых начальный импульс распадался на цуг сверхзвуковых солитонов с линейно убывающей амплитудой, которые распространялись и упруго взаимодействовали подобно классическим солитонам КДВ.

Сравнение результатов моделирования уравнений (6) и уравнения Кавахары лишний раз подтверждает тот факт, что упругие волны рас-пространяюся быстрее нелинейно-упругих волн.

Пункт 4.2 посвящен численному исследованию уравнения (29).

Моделирование уравнения (18) выявило неустойчивый характер

—'—I-'-1—1—I—'—I—■—I-1—I—'—I—■—|—'—|—>—|

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Рис. 3: Бризер в (б)

его солитоноподобных точных решений. Численные алгоритмы, основанные на конечно -разностных моделях не позволили с достаточной степенью точности проследить эволюцию солитоноподобного решения уравнения (18). Небольшие отклонения, связанные с погрешностями дискретизации разностных методов, приводили к дезинтеграции солитоноподоб-ного решения в пакет осцилляций и к расхождению соответствующей разностной схемы.

В связи с этим моделирование уравнения (18) было проведено с применением псевдоспектрального метода, обладающего более высокой точностью. Это позволило проследить распространение солитоноподобного решения уравнения (18). Кроме того, был исследован процесс быстрой дезинтеграции слабо искаженного решения.

При выборе в качестве начального импульса точного солитонного решения в форме (20) профиль эволюционировал без изменений неограниченно долгое время, что соответствовало ожиданиям и подтверждало

адекватность выбора и реализации численного метода (Рис. 4 слева). Результат моделирования графически неотличим от точного решения.

Однако, при внесении даже очень слабых искажений профиля решения последний терял устойчивость и быстро дезинтегрировал в волновой пакет (Рис. 4 справа).

Моделирование проводилось явным псевдоспектральным методом с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты 4-го порядка и фильтрацией спектра по Орзагу при следующих значениях параметров:

3 Основные результаты работы и краткие выводы

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической нелинейности и дисперсии приводит к выявлению эффектов невозможных в рамках линейной теории, а именно: уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Вывод нового эволюционного уравнения, его аналитическое и численное исследование с использованием разработанною программного комплекса является основным результатом работы.

В диссертационной работе разработана программа anstruct для системы символьной математики Maple. Программа anstruct полностью автоматизирует процесс исследования ОДУ и УЧП на обладание свойством Пенлеве. С помощью информации, полученной на этапе теста Пенлеве, автоматически строятся преобразования Бэклунда и классы точных вол-

новых решений для исследуемого уравнения.

Приложения содержат исходные коды программного обеспечения, разработанного в диссертационной работе:

• ANSTRUCT - программа для системы символьной математики Maple. Автоматизирует исследования ОДУ и УЧП на обладание свойством Пенлеве. Строит преобразования Бэклунда и точные волновые решения в замкнутой форме.

• ESL - пакет программ, реализующих явные и неявные конечнораз-ностные методы, явные методы типа Рунге-Кутты, явные и неявные псевдоспектральные методы для исследуемых в диссертации уравнений. Программы написаны на языке С с использованием свободно распространяемой библиотеки научных вычислений GSL.

• SOLITONLAB - Программная оболочка на кросс-платформенном скриптовом языке TCL(TK/BLT). Программа визуализации и документирования численных экспериментов, интегрирующая реализованные в пакете ESL численные методы.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Штейнберг Е.И. Неявный псевдоспектральный метод в численном моделировании неинтегрируемого эволюционного уравнения пятого порядка. //Механика деформируемых сред. СГУ, Саратов 2004 (в печати)

2. Штейнберг Е.И. Волновое решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка. //Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред., СГТУ Саратов 2003 с. 146-148

3. Zemlyanukhin A, Steinberg E. "Existence, propagation and interaction of solitary waves in deformable systems"// XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (2003, June 22 - July 2) St. Petersburg (Repino), Russia.

4. Землянухин А.И., Штейнберг Е.И. Генерация солитонов для нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка// Механика деформируемых сред Вып. 14 с. 55-58. Саратов, 2002.

5. Землянухин А.И., Штейнберг Е.И. Теория и практика разностных методов решения уравнений с частными производными. Учебное пособие. ВолгГАСА. Волгоград 2002. 52 с.

6. Zemlyanukhin A. Steinberg E. Solitons and shock-waves in non-linear disperse media// EuroMech Colloquium 439 "Mathematical modeling of the dynamic behavior of thin elastic structures."(2002, 24-27 July) Saratov, Russia.

7. Землянухин А.И., Штейнберг Е И. Распространение солитонов в сильно нелинейных деформируемых системах. // Труды Акустической Конференции, Нижний Новгород 2002. с. 206-208

8 Землянухин А.И. Штейнберг Е.И. Моделирование волновых процессов в нелинейно-упругих диспергирующих средах// Труды 2 научи -техн. конф. "Проблемы машиноведения "Нижний Новгород, 2001

ШТЕЙНБЕРГ ЕВГЕНИЙ ИЛЬИЧ

Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах

Автореферат

Подписано в печать 15.04.2004 г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать трафаретная. Объем 1,0 усл.печ.л.;

_Тираж 100 экз. Заказ 34_

Типография «Саратовский источник» Лиц. ПД № 7-0014 от 29.05.2000 г. г. Саратов, ул. Университетская, 42, оф. 22 Тел.: (8452) 520-593

oüö 8S

Введение диссертация по механике, на тему "Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах"

В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова A.M., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. (1988) Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым A.B., Самсоновым А.М, Семеновой A.M., Дрейденом Г.В. (1996) Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С. (1987)

Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании решения и нащупать пути для построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга,позволяют обеспечить корректность решения поставленной задачи.

История вопроса

Впервые термин "солитон" появился благодаря вычислительному эксперименту, проведенному Ферми, Паста и Уламом в 1953 году, которые сформулировали приводящую к этому понятию проблему. В результате численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски определил солитоны как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).

В результате этих пионерских численных исследований последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство, если не все, ла-гранжевы системы являются вполне интегрируемыми. Однако, эти надежды были развенчаны в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленг-мюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона. Оказалось что "малого" изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неинтегрируемым. В связи с этим возникло понятие "почти интегрируемых" уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решения. Однако, даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.

В настоящее время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о "почти интегрируемых" системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны - "бионы" в рамках уравнений Клейна-Гордона, Хиггса и синус-Гордона.

Трансформация физической системы, описывающей взаимодействие ленгмю-ровских и ионно-звуковых волн в плазме, от "сильно неинтегрируемой" (при малых скоростях солитоны могут сливаться) вплоть до вполне интегрируемой была впервые прослежена на компьютере.

В результате значительных усилий, приложенных в этой области, одномерные солитоны сейчас относительно хорошо изучены. Обнаружены солитоны с весьма экзотическими свойствами: возвращающиеся "бумероны" (Калоджеро и Дегасперис), расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов)

Одним из первых уравнений решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом: ut + их + auvux + иххх = 0. (1)

При v = 1, 2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При v = 3 уравнение теряет это свойство и становится "почти интегрируемым". [1] Легко можно получить солитоноподобные решения (1) и = | A seek ( —7= ^ =(х — vt — ж0) ] ] , (2)

V 2 д/(г/ + l)(i/ + 2) V/

2аА2 v =--Н1. и + \){v + 2)

Уравнение (1) описывает очень широкий спектр физических явлений - от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно уравнение Буссинеска (1872 г) д2-д2х-%)и-дхи2 = 0. (3)

Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду: dt + дх + д2х)и + дхи2 = const. (4)

Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0. Уравнение (3) является интегрируемым [2] и для него были получены Хиротой многосолитонные формулы [3].

Также важно упомянуть нелинейное уравнение Шредингера iut + ихх + р\и\"и = 0. (5) солитоноподобные решения которого имеют вид, аналогичный солитонам КдВ: ti = Л0 ехр {г [(^ + JjL^45)* + £(*-*) 0О] } seek2/"

• (6)

При и = 2 уравнение (5) является вполне интегрируемым [4], а его уединенные волны огибающей - истинными солитонами. При других значениях и решения уравнения Шредингера уже квазисолитоны.

В нелинейной оптике часто возникает уравнение, кратное синус-Гордон: т . тп

Пи = У-5т-и, П = д2-д2х. (7) пп г X \ /

171=1

Солитоноподобные решения этого уравнения численно подробно исследованы в [5], а при п = 2 в [6] и [7]

Еще одно уравнение, часто встречающееся в литературе щ + их + и"их - иХХ1 = 0. (8)

При и = 1 это уравнение было предложено Перегрином [8] для описания приливных волн. Оно обладает солитонным решением и = весЛ (^д [{и + 1)(1/ + 2) + 2А2] ~1/2 (х-Ы- х0)) | ' , (9) 2 А2

V = 1 Ч--. (и + 1)(и + 2)

Уравнение Бенджамина - Оно [9,10] используется для описания внутренних волн в слоистых жидкостях где Н - оператор Гильберта

В [11] дано его решение: щ + 6иих + Нихх = 0. (10) Я и = 2/3--г.-гг. (12)

Вначале исследования, вдохновленные машинными экспериментами по проблеме Ферми-Паста-Уламы, вращались вокруг динамики формирования и взаимодействия солитонов вполне интегрируемых систем. Первые результаты полученные при исследовании этих систем показывали, что взаимодействие солитонов в этих системах приводит лишь к сдвигу положения и фазы, оставляя форму и скорость волн неизменной. Именно из-за этого свойства многие исследователи ассоциировали солитоны с частицами. Так продолжалось до тех пор, пока в 1976 году не были открыты возвращающиеся солитоны - "бумероны" и солитоны, осциллирующие вокруг некоторого положения - "траппоны". [12]. Наконец, в 1978 году появилась работа, которая демонстрировала распад и взаимопревращения солитонов интегрируемых моделей [13]. Эта работа показывала, что первоначальное определение солитона оказывалось слишком узким даже для интегрируемых систем.

В 1978 году Дж.Эйлбек отметил, что в области численного моделирования уравнений в частных производных вообще, и исследовании солитонов в частности, численный анализ является в той же мере искусством что и наукой. В этом смысле за истекшие десятилетия мало что изменилось. Вопрос о "наилучшем" численном методе для каждого нового уравнения является самым спорным. В середине 80-х годов традиционно применяющиеся разностные методы начали отходить на второй план, уступая место спектральным методам с использованием недавно открытого в то время Быстрого Преобразования Фурье (БПФ) [14]. Эти методы были с успехом использованы в [15,16].

С точки зрения численного эксперимента динамика формирования солитонов как для интегрируемых, так и для близких к ним уравнений практически одинакова. В зависимости от энергии первоначального импульса образуются один, два и т.д. солитонов и осцилляторный хвост. Именно это свойство ввело исследователей в заблуждение, и была потрачена масса усилий на то чтобы показать что все эти уравнения интегрируемые. Распад начального условия на солитоны вообще говоря является характерной особенностью квазиинтегрируемых систем.

Однако, когда исследование доходит до взаимодействия солитонов, картина качественно меняется. Солитоны КдВ и модифицированного КдВ являются истинными в том смысле что претерпевают лишь фазовый сдвиг при столкновении [17], в то время как солитоны остальных КдВ-подобных уравнений взаимодействуют неупруго [16,18]. При этом степень неупругости обычно мала, но растет с увеличением и и при V = 4 становится явной. Это хорошо прослеживается на примере уравнения 1ШУ: щ + их + иих — иххг = 0. (13)

Разностные схемы для него были исследованы Эйлбеком и Макгиром [19], а также X. Абдуллоевым, И. Боголюбским и В. Маханьковым в [18]. В этих работах было обнаружено слабое, на уровне долей процента "дыхание", солитонов. Была разработана изощренная вычитательная процедура которая позволила выявить эффект неупругого взаимодействия солитонов.

Аналогичные результаты были получены в процессе численного исследования улучшенного уравнения Буссинеска (IBq). [19]. Несмотря на внешнюю схожесть уравнений ШАУ и IBq поведение их солитонов при взаимодействии существенно различно. Это связано с тем, что солитоны ШЛ¥ догоняют один другой, а солитоны IBq могут испытывать встречные соударения. Последний тип столкновений приводит к большей неупругости соударения.

Более того, в результате численной работы с квазисолитонами КдВ-подобных уравнений было установлено, что неупругость взаимодействия увеличивается с ростом их амплитуды и степени нелинейности. Бона, Причард и Скотт разработали весьма совершенный вычислительный алгоритм [20], который позволил им детально изучить взаимодействие солитонов ШЖ.

Численные исследования нелинейного уравнения Шредингера впервые были проведены Яджимой и Оутой [21] в 1971г. Они обнаружили упругое взаимодействие солитонов огибающей уравнения Шредингера с кубической нелинейностью. Объяснение этого факта было дано Захаровым и Шабатом [4] которые показали интегрируемость этой системы.

Наиболее полно нелинейное уравнение Шредингера было исследовано (в том числе численно) в применении к описанию ленгмюровских волн в плазме. В [15] проведен подробный анализ солитонных явлений в применении к теории плазмы. Проведены сравнения результатов при различных параметрах плазмы, амплитуды и скорости солитонов. Детали сравнения различных кодов вычисления можно найти например в [22]. Также большой объем вычислительных исследований ленгмюров-ской турбулентности в плазме при наличии поля накачки или электромагнитного поля была проделана калифорнийскими группами [23].

Французская группа, исследовавшая взаимодействие квазисолитонов в рамках возмущенных вариантов уравнения КдВ-Бюргерса

В этом случае, как и следовало ожидать, отклонение от интегрируемости заключается в появлении осциллирующих хвостов в процессе эволюции квазисолитона и при их взаимодействии [24].

Большая вычислительная работа была проделана в Манчестере для исследования кратных БО-уравнений. В частности, уравнение БЭС: было изучено в [5,25] Авторам удалось показать что система весьма близка к интегрируемой. При определенных условиях начальные импульсы распадаются на цуг солитонов, взаимодействие которых практически упруго при достаточно больших скоростях. При малых скоростях неупругость становится существенной а при очень малых образуется связанное состояние кинк-антикинк. щ + 6 иих + иххх = цихх

14) и = т[зти+1 /2А вт и/2].

15)

Весьма интересные объекты, возникающие в теории солитонов - это их связанные состояния. По-видимому впервые такие состояния описаны в [26], где анаг литически было найдено бисолитонное решение типа кинк-антикинк для уравнения синус Гордона. и = 4 arctg | y/l/u2 - 1 sechC sin (С" + } ,

С' = 7VI — ш2(х — vt — xo), (16)

С" = yu>(vx - t); 7-2 = 1 — v2.

Интересно отметить, что в настоящее время появление таких систем во вполне интегрируемых уравнениях типа КдВ считается невозможным, так так из решения обратной задачи рассеяния следует, что каждому дискретному уровню соответствует лишь один солитон.

Бионное решение (16) обладает двумя важными особенностями. Во-первых, состояние, описываемое им нельзя получить как результат взаимодействия отдельных кинков и антикинков, так как в силу интегрируемости уравнения синус Гордона в момент взаимодействия не возникает излучения. Во вторых, время жизни биона, благодаря все тому же отсутствию излучения, бесконечно. Наконец, взаимодействие бионов является упругим.

Указания на возможность существования связанных состояний содержались уже в ранних работах по численному исследованию динамики начальных пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредингера. В работах [27,28] в результате эволюции начального пакета было получено решение, весьма напоминающее связанное состояние. В работе [27] было исследовано образование биона нелинейного уравнения Шредингера: л it/2 ch Зж + 3 ch ж е~ы и — Ае t ,¿-. (17) ch 4.т + 4 ch 2ж + 3 eos 4f v ' из начального пакета и = 2sech(x).

С полной очевидностью был обнаружен бион в численных экспериментах Кудрявцева по исследованию взаимодействия кинков и антикинков в модели Хиггса [29]. Оказалось, что окончательное состояние зависит от скорости v сталкивающихся ква-зисолитонов. Если скорость v больше некоторого критического значения, то кинк и антикинк отталкиваются друг от друга, теряя некоторую долю энергии на излучение. Причем эта доля падает с ростом скорости, так что в релятивистской области столкновение становится квазиупругим. При скоростях меньших критической картина качественно меняется и в результате образуется осциллируещее во времени решение описывающее связанное состояние кинка-антикинка. Этот новый объект продолжат ет слабо излучать энергию в виде линейных вон малой амплитуды. Тем не менее, время его жизни является весьма значительным.

Эти результаты навели исследователей на мысль, что связанные состояния не являются прерогативой лишь интегрируемых моделей. Системы, близкие к интегрируемым тоже должны обладать решениями, описывающими долгоживущие связанные состояния. Это предположение было подтверждено в работах [7,30]. Таким образом особенно интересным становится факт возникновения устойчивых долгожи-вущих состояний из неустойчивых квазисолитонов.

Одним из важнейших вопросов солитонной теории является устойчивость солитонов. Можно говорить о двух типах устойчивости солитонов: 1) по отношению к возмущению начальных данных 2) по отношению к структурным возмущениям определяющего эволюционного уравнения. С вычислительной точки зрения обе проблемы можно исследовать в рамках единого подхода - начальной задачи. В первом случае изучается эволюция возмущенного начального состояния, заданного в виде исследуемого на устойчивость начального состояния. Во втором случае эволюция начального состояния подчиняется возмущенному уравнению.

В первом случае под устойчивым решением понимают решения для которого возмущение не нарастает лавинообразно с течением времени. Также устойчивыми считаются слабоизлучающие солитонные решения не теряющие своей структурной целостности под действием возмущения. При моделировании на компьютере такая устойчивость особенно важна так как не позволяет накапливаться ошибкам округления, связанным с конечной точностью компьютерных вычислений.

Под структурной устойчивостью понимают решения, достаточно долго (с точки зрения физики задачи) сохраняющие свою форму. Некоторые из невозмущенных решений при этом могут разрушаться весьма быстро, при этом возможно появление вместо них совершенно других типов решений.

В одномерном случае большинство исследованных систем обладает устойчивыми солитонами, во всяком случае по отношению к возмущениям не изменяющим симметрию системы. Устойчивость истинных солитонов вытекает из интегрируемости соответствующих систем [4]. Однако, существует весьма поучительный контрпример, который привел Берриман в [31]. Второй контрпример был обнаружен Сатсу-мой и Яджимой [27] в численном эксперименте которых бион нелинейного уравнения Шредингера распадался на составляющие его солитоны под воздействием начального возмущения с ассиметричной мнимой частью.

В самых современных работах особое внимание уделяется гибридным методам различной природы, а также вопросам реализации их на векторной и массивнопараллельной архитектуре. В работе [32] сравнивались различные численные методы для решения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза. В статье предложен метод численного моделирования уравнения за счет последовательного решения двух составляющих уравнения задач - гиперболического закона сохранения и дисперсионного соотношения. Все численные методы были протестированы на одно и двусолитон-ных решениях КдВ. Саттингер [33] рассматривал взаимодействие солитонов в ионно-акустической плазме. Уравнения описывающие динамику системы, были сведены к уравнению КдВ. С помощью неявного псевдоспектрального метода был прослежен эффект почти упругого взаимодействия солитонов. В результате взаимодействия за солитонами оставался дисперсионный хвост малой амплитуды. А.В.Вухановский и А.М.Самсонов [34] решали задачи численного моделирования распространения и фокусировки уединенных нелинейных волн упругой деформации в твердотельных волноводах с переменным поперечным сечением, в том числе, составных. Исследован процесс трансформации солитонов в волноводах с периодически меняющейся площадью сечения. Алгоритмы численного моделирования реализованы на векторном CONVEX С3820 и массивном параллельном HP SPP 1600 суперкомпьютерах.

В работе [35] исследуется другое обобщение уравнения КдВ - с периодически изменяющимся коэффициентом дисперсии. Авторы упрощают обобщенное уравнение, сводя его к интегрируемому аналогу, солитонное решение которого используется в качестве начальных условий для численного моделирования полного уравнения. Обсуждаются эффекты различных законов изменения коэффициента дисперсии и введения дисперсии пятого порядка.

Другой класс обобщений КдВ рассматривался в работе [36]. Для достаточно широкого класса КдВ-подобных уравнений построены точные волновые решения и проведено численное исследование распространения и взаимодействия солитонов, в том числе и для неинтегрируемых уравнений.

В работе [37] с помощью явного псевдоспектрального метода с высокой точностью рассматривается детальная картина формирования солитона КдВ из синусоидального начального пакета. Изучаются спектральные свойства генерируемых солитонов в широком диапазоне параметров.

Уравнения механики ДТТ являются удобным предметом исследований нелинейных волновых явлений, поскольку они естественным образом содержат пространственные производные высокого порядка. Изначальная сложность этих уравнений оборачивается возможностью сведения их к хорошо исследованным интегрируемым и близким к ним моделям нелинейной динамики. Исследование нелинейных волн деформации имеет более чем 30-летнюю историю.

Первыми подошли к новой проблеме У.К.Нигул и Ю.К.Энгельбрехт в [38,39]. В этих работах изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости и были получены важные качественные результаты о процессе распространения нелинейных волн деформации в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах рассматривали Л.К.Зарембо и В.А.Красильников [40], JI. А. Островский, Е. Н. Пелиновский [41], Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Я.Н.Давыдовым и З.А. Спольником [42]. В книге В.И.Карпмана [43] изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах. Общие закономерности нелинейного волнового движения в свете последних исследований обсуждаются в статье Энгель-брехта [44].

По-видимому, первой работой интересующего нас направления применительно к конкретным тонкостенным конструкциям можно назвать статьи Naxiboli и Sedov [45,46] , в которых изучались продольные диспергирующие волны в упругих и вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольной деформации были получены уравнения Кортевега - де Вриза и Кортевега - де Вриза -Бюргерса.

Отечественные исследования начинаются со статьи Л.А.Островского и A.M. Сутина [47], в которой анализировались нелинейные упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольные колебания стержня удовлетворяет уравнению Кортевега - де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром 1 мм. Кроме того, показано, что минимальная длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости "поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитонов).

И.А.Молотков и С.А.Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга [48]. С использовалием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину "хвост". В работах А.М.Самсонова и Е.В.Сокуринской [49-52] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс, Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочнении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.

В работе [53] тем же коллективом авторов были впервые описаны эксперименты по наблюдению продольных солитонов деформации в упругом стержне. В качестве экспериментальной установки использовался канал, предназначенный для генерации волн деформации в твердом теле с помощью малой ударной волны в жидкости. Ударная волна генерировалась с помощью вызванного лазерным излучением взрывного вскипания элемента металлической мишени, расположенной в жидкости в непосредственной близости от торца исследуемого прозрачного полистиринового стержня диаметром 1 см. Процесс генерации и распространения солитона регистрировался с помощью метода топографической интерферометрии. На расстоянии 7-12 см от начала стержня формировался солитон продольной деформации, который распространялся вдоль стержня без наблюдаемых изменений формы. В отличие от него, ударные волны деформации, связанные с начальным воздействием, очень быстро разрушались под действием диссипации и дисперсии.

A.В.Мартынов [54] рассматривает продольные вибрационных колебания в тонкой пластине. Исследуются уравнения нелинейных продольных колебаний пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности, полученные вариационным методом. В случаи плоской продольной волны, распространяющейся вдоль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущенным уравнениям синус-Гордона (для неограниченного пространства). В общем случае исследовано качественное поведение решения уравнения, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с неизменной скоростью.

B.И.Потапов, И.Н.Солдатов [55] исследовали распространение слаборасходя-щегося пучка нелинейных продольных волн в пластине, показав, что компонента продольной деформации удовлетворяет уравнению Кадомцева - Петвиашвили. Таким образом, было показано, что в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. Заметим, что уравнения продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической нелинейностей проводился путем использования пятиконстантной теории упругости [56]. Результаты исследований о распространении ударных волн деформации в стержнях и пластинах были обобщены

Потаповым в [57].

В статье Ю.С.Кившаря и Е.С.Сыркина [58] рассматриваются сдвиговые соли-тоны в упругой пластине. Проанализировано влияние нелинейности на чисто сдвиговые волны. Выведено эффективное нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), описывающее динамику огибающих таких волн. Показало, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться "светлые"или "темные"сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины. Важно отметить, что сдвиговые солитоны в упругой пластине недавно наблюдались экспериментально [59].

В работах В.И.Ерофеева [60-65] рассмотрен широкий спектр проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой. На основе теоретического анализа показано, что в средах с микроструктурой могут наблюдаться резонансные взаимодействия продольной волны с волнами продольного вращения и волнами сдвига - вращения, формирование нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов деформации), и другие эффекты, не имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность использования перечисленных эффектов для акустического зондирования твердых тел. При исследовании распространения упругих волн в поврежденной среде определены зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.

Практически все авторы, исследующие нелинейный волновой процесс в стержнях и пластинах, исходят из неклассических теорий колебаний [66]; Это закономерно в силу того, что все классические теории продольных и изгибных колебаний являются одномодовыми аппроксимациями задач трехмерной динамической теории, упругости, в основе которых лежит модель обобщенного "плоского напряженного состояния (ОПНС). Модель ОПНС не учитывает связи продольных и поперечных движений (в теориях оболочек эта связь возникает автоматически за счет наличия в соотношениях "деформации - перемещения "слагаемых вида кхУ/, ку\У, то есть является следствием криволинейности) и потому применима лишь при невысоких частотах. Из сказанного следует, что никакие уточнения не улучшат качественно классические теории, если эти уточнения не увеличивают числа мод (форм колебаний по толщине). К таким уточнениям относятся поправка Лява, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Рэлея, учитывающая инерцию вращения элемента балки при изгибных колебаниях. Таким образом, не выходя за рамки ОПНС, невозможно адекватно описать нелинейный волновой процесс, возникающий в деформируемом твердом теле.

Значительный вклад в решение динамических проблем теории упругости внесли. Л. А.Айнола, Н.А.Алумяэ, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, Ш.У. Гали-ев, М.П.Галин, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, Л.Ю.Коссович, В.Н.Кукуджанов, Ю.Н.Новичков, Ю.Н.Работнов, С.П. Тимошенко, В.А.Фельдштейн, Г.С.Шапиро и другие ученые.

Книга Л. Ю. Коссовича [67] посвящена разработке асимптотических методов исследования важного класса нестационарных задач теории упругих тонких оболочек - задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием торцевых нагрузок. Асимптотический подход используется в двух направлениях: проводится построение асимптотической модели волнового процесса, включающее выявление характерных типов напряженно - деформированного состояния, расчленение его на составляющие с различными показателями изменяемости и выяснение зон применимости приближенных теорий, а также разрабатываются аналитические методы описания волнового процесса во всех участках фазовой плоскости.

В работах М.Д. Мартыненко и его коллег [68-70] рассматриваются задачи об условиях существования солитонов в нелинейно упругих телах, а также задачи об упругих волнах в движущихся цилиндрических оболочках с учетом нелинейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил. Отметим, что в первой работе, где были экспериментально обнаружены солитоны в твердом деформируемом теле [71], описаны солитоны огибающей изгибной волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера, в тонкой металлической цилиндрической оболочке.

Число публикаций, посвященных решению задач динамики оболочек огромно. Можно выделить два основных подхода к решению таких задач. Первый подход (классический) базируется на гипотезах Кирхгофа - Лява, а соответствующие модели оболочек называют моделями первого приближения. Второй подход, связываемый с именем С.П.Тимошенко, в дополнение к "классическим"деформациям, учитывает деформации, связанные с поперечными силами и инерцией Модели, основанные на таком подходе, называют моделями второго приближения [72]. Альтернативный путь построения моделей состоит в разложении перемещений или напряжений в ряды по нормальной координате и удержании определенного отрезка этого ряда в зависимости от требуемой точности.

Известно, что уравнения движения элемента оболочки для модели Кирхгофа-Лява имеют параболический тип, что предсказывает бесконечные скорости распространения фронтов возмущений. Уравнения движения для модели типа Тимошенко имеют гиперболический тип, что выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде. Однако указанные различия в математических формулировках и физических следствиях несущественны при анализе распространения квазиплоских пучков продольных и сдвиговых волн [73], т.к. уравнения для перемещений ¿7 и V в обоих случаях совпадают [72]. Другими словами, в данном случае параболичность уравнений модели Кирхгофа - Лява не является недостатком, как и гиперболичность уравнений модели Тимошенко не является преимуществом. Тонкостенность рассматриваемых конструкций привносит особый вид дисперсии, обеспечивающий формирование нелинейных волн деформации различной структуры. Таким образом, нелинейные волны в стержнях, пластинах и оболочках являются, по классификации Уизема, диспергирующими. Поэтому в каждом конкретном случае при выборе исходной системы уравнений необходимо опираться на физические представления о волновом движении.

В работах Ковригина [74,75] изучались нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических волн различных типов в тонкостенной цилиндрической оболочке: 1) параметрическое взаимодействие осесимметрической волны с изгибны-ми волнами, распространяющимися попутно в продольном направлении и бегущими встречно в поперечном направлении. 2) кросс-взаимодейсвие осесимметричных и неосесимметричных волн, приводящее к состоянию стационарной волны. 3) самомодуляция осесимметричной волны в продольном направлении. Было показано, что как и в прямолинейном стержне, в оболочке могут формироваться трехчастот-ные солитоны огибающих, представляющие собой модулированные волны, бегущие в продольном направлении.

Приведение уравнений динамики оболочек (а также стержней и пластин) к нелинейным эволюционным уравнениям производилось в диссертации Човнюка Ю.А. [76].

Широкий круг вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Землянухина А.И, Могилевича Л.И., сведенных в монографию [77]. Рассмотренные ими задачи включают в себя:

• вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в нелинейно-упругих, нелинейно вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках.

• нахождение классов точных солитонных и ударно-волновых решений

• выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния

• теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных и механическую интерпретацию инвариантных решений.

Многочисленные практические приложения оболочечных конструкций в различных отраслях техники обуславливают актуальность проблемы моделирования и исследования нелинейных волновых процессов в цилиндрических оболочках.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

• Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

• Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы.

Щт + Ъщи^ + с2и\и^ + с3иШ£ + с4и(((((( = с5ищ. (18)

• Для выведенного уравнения (18) построено преобразование Бэклунда и найдены классы точных солитоноподобных решений.

• Исследовано обобщение выведенного уравнения на случай нелинейности пятого порядка:

Щ — С\и2их — С2-и}их + с$иххх + с4иххххх = 0. (19) описывающее волновое движение в среде, где зависимость интенсивности напряжений Ох от интенсивности деформаций имеет вид полинома пятой степени. Для него построено преобразование Бэклунда, классы точных уединенно-волновых решений, и установлена его эквивалентность паре связанных уравнений Риккати.

• На основе проведенного анализа основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 3-го порядка явных конечно-разностных, а для уравнений 5-го порядка псевдоспектрального численных методов.

Достоверность результатов: Анализ волнового процесса проводился на основе классической модели оболочки Кирхгофа-Лява. Упрощение получившихся уравнений проводилось с помощью метода многих масштабов. Численное моделирование проводилось на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых была теоретически обоснована. Достоверность результатов численного моделирования модельных уравнений и уравнений, полученных в работе, подтверждается совпадением поведения численной модели и аналитически построенных точных решений.

Практическая значимость: Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими методами диагностики поврежден-ности материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам. Точные решения неинтегрируемых эволюционных уравнений могут применяться для тестирования различных численных методов решения УЧП. Программа ат^пкй может применяться для автоматического исследования нелинейных УЧП на удовлетворение свойству Пенлеве и для построения их точных волновых решений.

На защиту выносятся: следующие основные результаты работы:

• Преобразования Бэклунда и точные решения полученных неинтегрируемых эволюционных уравнений.

• Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в выведенных уравнениях.

• Программа автоматического исследования аналитической структуры нелинейных УЧП.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической

Рис. 15: Дезинтеграция искаженного солитона уравнения (190) нелинейности и дисперсии приводит к выявлению эффектов, невозможных в рамках линейной теории, а именно: уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Вывод нового эволюционного уравнения, его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса является основным результатом работы.

В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан программный комплекс SolitonLab, интегрирующий средства проведения, визуализации и документирования численных экспериментов. Комплекс реализует следующие численные методы:

1. Явная разностная схема типа "чехарда" (LF),

3. Явная разностная схема с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты (RK),

4. Явный псевдоспектральный метод (ASD),

5. Неявный псевдоспектральный метод (WGMS).

Проведенное численное исследование показало устойчивость солитоноподоб-ных решений выведенного неинтегрируемого уравнения (188). Солитоноподобные решения этого уравнения при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит о его близости к интегрируемым моделям.

Исследованное в работе уравнение (190) напротив, обладает неустойчивыми солитоноподобными решениями. Однако, это уравнение обладает удивительно простой аналитической структурой - оно эквивалентно двум связанным уравнениям Рик-кати.