Нелинейные интегрируемые уравнения в динамических задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Г б од

О ДПР й95САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Землянухин Александр Исаевич

НЕИИНЕЙНУЕ ИНТВД>ИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ В ДШАММЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1995

Работа выполнена в Саратовском ордена Трудового Красного Знамени государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор, технических наук, профессор

Могклэеич Л.И.

официальные ошоненты: доктор .физико-математических наук, " доцент Александров С.Е.

кандидат физшсо-матсматических наук, доцент Гуляев Ю.П. Ведущая организации г Воронузк"кий' 1'У''\'Дар!"'Твняш1й

университет •

Защита диссертации состоится " " г. в час.

на заседании шс-с«ртаийонного ■ совета К 063.74.04 в Саратовском государственном университете.по адресу: г. Саратов, ул. Астраханская, 83 , СГУ,. IX корпус, в уд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СТУ.

Автореферат разослав -' 11 " 1^05 г.

Снгаывы на автореферат прост? направлять по адресу: . 4Ю0Т1,. г.Саратов, ул. Астраханская, 63, СТУ, Учений совет.

- Ученый секретарь мссерт&шюнного ' совета кандидат фиаико-матемзтических наук, доцннт НеДируаов ПД>. ■ '

ОБЩАЯ 'ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность, темы. „Вопросы нелинейной динамики-деформиру---------------

емых систем составляют один из наиболее важник классов задач механики деформируемого твердого тела. Динамические задачи теории упругости являются недостаточно изученными как количественно, когда рассматривается динамическая устойчивость упругих и, тем более, неупругих систем, так и качественно, когда исследуется нелинейный волновой процесс в тонкостенных конструкциях. Классический математический аппарат теории упругости ь значительной степени исчерпал свои возможности для получения принципиально новых знаний о предмете. Между тем, три последние десятилетия отмечены усилением интереса к решению нелинейных эволюционных уравнений. Эта тенденция связана с созданием нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), а также с развитием теории солитонов. Солитон -- это бегущая уединенная волна неизменной формы, упруго взаимодействующая с другими такими же волнами. Будучи решениями нелинейных волновых уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являют собой модельное воплощение корпуекулярно - волнового дуализма.

Оказалось, что многие эволюционные уравнения, обладающие солитонными решениями, имеют очень простую внутреннюю структуру и могут быть проинтегрированы методами линейной теории. Кроме того, выяснилось, что подобные уравнения естественно возникают в качестве моделей физических явлений в различит областях естествознания, подчеркивая материальное единство мира. Все это привело к тому, что расширился список классических уравнений математической физики: к уравнениям теплопроводности, Лапласа и волновому добавились уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), синус - Гордона (СГ) и нелинейное уравнение Шредингерэ (КПП. Эволюционные уравнения, к которым применим МОЗР, выделились в класс нелинейных интегрируемых уравнений.

Современное состояние ммх&ники деформируемого твердого тела характеризуется значительным отставанием от механики жидкости и газа, акустики и других смежных дисциплин в вопросах анализа динамических процессов с позиций теории солитонов.

Тем не менее, важным стимулом на пути создания самой теории солитонов явились численные эксперименты Ферми, Паста и Улама в классической задаче теории упругости о нелинейных поперечных колебаниях струны, когда на макроуровне было выявлено квантование энергии. Кроме того, в работах отечественных авторов имеются результаты экспериментального наблюдения солитонов в тонких упругих стержнях, причем все параметры солитонов определяются физико - геометрическими параметрами стержней. Таким образом, проблема вывода и анализа нелинейных интегрируемых уравнений в динамических задачах теории упругости является актуальной.

Целью работы является исследование нелинейного волнового процесса в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках и стержнях, вывод и анализ нелинейных интегрируемых уравнений, приложения теории солитонов к решению динамических задач теории упругости.

- Научная новизна работы заключается в следующем:

- выявлены особенности эволюции нелинейных продольных волн в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках;

- проведен учет влияния анизотропии 'материала оболочки на волновой процесс;

- получены и проанализированы нелинейные интегрируемые и близкие к ним уравнения, моделирующие нелинейный волноеой процесс в цилиндрических оболочках' и стержнях;

- предложен модифицированный критерий устойчивости для деформируемых систем, описываемых солитонными уравнениями;

- на основе предложенного критерия устойчивости решены задачи статической и динамической устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня, определены скорости продольного и из-гибного солитонов,.оценена скорость нелинейно-упругого солито-на деформации.

Достоверность результатов. Используются известные классические и неклассические модели оболочек и стержней. Упрощение уравнений движения и вывод нелинейных интегрируемых уравнений проводятся методом многих масштабов. Корректность этого метода для получения эволюционных уравнений обоснована в литературе по асимптотическим методам. Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически. Выводы, расширяющие еущест-

- о -

Буши* представления о характере исследуемых процессов, согласуются с результатами фундаментальных исследований по нелинейной динамике деформируемых твердых тел.

----------Практическая значимость1.- Результаты—исследования ~зволю--

цш солитонов в акустических волноводах могут найти применение в задачах о передаче и сохранении информации на Оолышх расстояниях, а также в расчетах на устойчивость одномерных деформируемых систем большой протяженности. Работа выполнена в рамках проблемы "Математические модели систем твердых и упруги тел, взаимодействующих через слой жидкости" (16В.03) вузовской программы СГТУ на 1991-1995 гг. "Математическое моделирование и параметрический синтез приборов и машин" (16В).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), на Второй Международной научно -технической конференции " Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994), на' ежегодных научно - технических конференциях Саратовского государственного технического университета (Саратов, 1993, 1994), на научном семинаре кафедрн математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета и на семинаре Саратовского филиала института машиноведения РАН под руководством члена-корреспондента АКН РФ, д.т.н., профессора Резчикова А.Ф.

На_защту_выносятся следующие результаты работы:

- исследование эволюции нелинейных продольных волн в упругих и нелинейно-упругих изотропных и анизотропных цилиндрических оболочках;

- полученные нелинейные интегрируемые и близкие к ним уравнения, моделирующие волновой процесс;

- модифицированный критерий устойчивости для деформируемых систем, описываемых нелинейными интегрируемыми уравнениями;

- решение задач статической и динамической устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня;

- определение скоростей продольного и изгибного солитонов в тонком стержне, оценка скорости продольного нелинейно-упругого солитона.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и

результаты исследований опубликованы в 5 научных работах.

Структура и объем.работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 100 наименований и содержит 117 страниц наборного текста.

. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении кратко изложена идеология Метода Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР). Этот метод позволяет выявить нелинейные эволюционные уравнения, связанные с обыкновенными дифференциальными уравнениями типа стационарного уравнения Шредингера и аналитически получить некоторые их частные решения (например, солитонные). Далее приводится обзор литературных источников, посвященных исследованию нелинейного волнового процесса в деформируемых твердых телах, форулируются цель работы и ее научная новизна.

В работвх У.К.Нигула и Ю.К.Энгельбрехта изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости. Рассматривая процесс распространения нелинейных волн деформаций в сплошных средах, эти авторы обосновали необходимость совместного учета эффектов геометрической и физической нелинейностей. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах рассматривали Л.А.Островский и Е.Н.Пелиновский, Л.К.Зарембо и В.А.Красильников. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Л.Н.Давыдовым и 3.А.Стольником. Проблеме распространения нелинейных волн в средах с дисперсией посвящены работы В.И.Карпмана.

Первой работой интересующего нас направления применительно к конкретным тонкостенным конструкциям является статья Л.А.Островского и А.М.Сутина, в которой изучались нелинейные упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольная скорость частиц стержня удовлетворяет уравнению КдВ. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне.

Продольные вибрационные колебания в тонкой пластине исследовались А.В.Мартыновым. Распространение слаборасходящегося пу-

чка продольных волн в пластине изучали А.И.Потапов и И.Н.Солда-тов, получив для компоненты'продольной деформации уравнение Кадомцева - Петвиашвили. Таким образом, было доказано существование двумерных солитонов в тонких пластинах. А.И.Потаповым написана книга, обобщающая результаты исследований о распространении нелинейных волн деформаций в стержнях и пластинах.

Значительный вклад в решение динамических проблем прикладной упругости и пластичности внесли Л.Я.Айнола, Н.А.Алумяэ', В.В.Болотин, А.С.Вольмир, Ш.У.Галиев, М.П.Галин, А.Л.Гольденвейзер, Э.М.Григолюк, В.К.Кукуджанов, Ю.Н.Новичков, Ю.Н.Работ-нов, С.П.Тимошенко, Б.А.Фельдштейн, Г.С.Шапиро и другие ученые.

Задачи о распространении волн деформации в оболочках вращения исследовались Л.Ю.Коссовичем. В работах М.Д.Мартыненко и его коллег рассмотрены задачи об условиях существования солитонов в нелинейно - упругих телах, а также исследовано распространение упругих волн в движущихся цилиндрических оболочках с учетом нелинейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил. Отсутствие других работ, изучающих нелинейную динамику тонких оболочек с позиций теории солитонов является основанием для проведения подобного исследования.

В первой, главе исследуется процесс распространения нелинейных продольных волн в упругих цилиндрических оболочках. Используются модели Кирхгофа - Лява и Тимошенко. Проблема заключается в упрощении уравнений движения в перемещениях для указанных моделей оболочек с тем, чтобы рассматривать волновой процесс через упрощенные уравнения вместо исходных.

Безразмерные уравнения движения моделей Кирхгофа - Лява и Тимошенко содержат четыре малых параметра, характеризующих нелинейность и дисперсию волнового процесса,- тонкостенность оболочки и дифракционную расходимость волнового пучка:

£ - -г ' V -г» 2 ~ н * з ~н ' (1) где А - амплитуда возмущения, 1 - длина волны, й. - толщина оболочки, К - радиус кривизны.

Предполагается, что возмущение распространяется с постоянной скоростью вдоль образующей, медленно эволюционирует в окружном направлении и медленно изменяет свои параметры во времени.

Рассматривается случай, когда параметры нелинейности, дисперси и тонкостенности являются величинами одного порядка 61Л. 5а а расшивание амплитуды в окружном направлении происходит- бьют рее, чем в направлении распространения возмущения (6 ~ е1/2).

Для редукции уравнений движения используется метод многи масштабов. В рассмотрение вводятся новые независимые переменны, и разложения зависимых переменных по степеням малого параметр е:

5 = X - "Л, = е У, г = е 1:, и = и + с и , V = е' ^¡У + € V }, V? = V + ( Я , (?.

О 1 ' (.О lj' О 1 '

<Р = ь [ю0+ е у = ? [«;0+ с

где и,У,Ж - перемещения точек срединной поверхности, $ и у -углы поворота нормали (в модели Тимошенко), X, 7 - продольная I окружная координаты, { - время.

Метод многих масштабов позволяет провести последовательно« упрощение исходных уравнений движения. Так, нулевое приближение доставляет выражение для скорости распространения возмущения С. Эта скорость оказывается равной так называемой стержнево! скорости (скорость распространения продольных волн в стержне). В следующем приближении возникает уравнение Кадомцева - Петвиа-швшш (КП) для компоненты продольной деформации

где а = 0.5( 1-д2)1/2 , р = 0.5 д2{1-/^2)1/2 Йг/(е12) ,

у = 0.5 с (1-до2)1/212/( )+2ц)В.г, у - коэффициент Пуассона. В пространственно-одномерном случае (случай цилиндрической симметрии, игнорирующий зависимость от окружной координаты), компонента удовлетворяет уравнению КДВ:

П01Х + « ^ои + " = 0 <4>

Заметим, что к уравнениям КП (3) и КдВ (4) приводятся и модель Кирхгофа - Лява, и модель Тимошенко. Таким образом, для исследования нелинейных продольных волн в оболочках эти модели равноправны, то есть гиперболичность уравнений Тимошенко не является преимуществом, как и параболичность уравнений Кирхгофа -- Лява не является недостатком. Это объясняется тем, что рас-

сматриваемые волны в тонких оболочках являются дисперсионными.

Решения уравнений КП и КдВ в виде бегущих волн обладают солитонными свойствами, то есть они "упруго" взаимодействуют с другими такими решениями. Следовательно, в упругих цилиндрических оболочках существуют двумерные солитоны деформаций уравнения КП и одномерные солитоны деформаций уравнения КдВ.

Далее выявлены особенности эволюции нелинейных продольных волн в деформируемых твердых телах. Показано, что временной масштаб, соответствующий устойчивому поведению продольных соли-тонов уравнений'КП (3) и КдВ (4.), характеризуется образованием ггродольно-едвм^'йчх (о пространственной координатой х (5)) простых волн, описываемых уравнением

I/ г + а и I/ =0 (б)

о*Т 1 ох охх

или солитонов соответствующего уравнения КдВ

и _ + а У У + У = 0 . (7)

ОхТ 2 ОХ ОХХ ОХХХХ

Обе эти возможности равновероятны. Можно сказать, что с этого

момента волновой процесс перестает быть однозначно определенным и в системе появляются элементы хаоса. В любом случае, результатом взаимодействия солитонов уравнений КП (3) и КдВ (Д) с опрокидывающимися волнами уравнения (6) или солитонами уравнения (7) является их опрокидывание и разрушение. В этом состоит отличие рассматриваемых солитонов деформации от гидродинамических солитонов, разрушающихся постепенно вследствие естественной диссипации.

Во_второй_главе рассматривается процесс распространения нелинейных продольных волн в нелинейно - упругих цилиндрических оболочках. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций принята в форме

о = Е е{ - т е* . (8)

Упрощение уравнений движения в перемещениях проводится методом многомасштабных разложений, описанным в первой главе.

Для компоненты продольной деформации получено модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвшш (мКП)

где « = 2Е (1-й-й2-йэ)(1-раГ1,'2/т ,

0 = 0.5р2(1-до2)1/2й2/(е12) , у = - 0.5 е(1-р2)1/212/(1+2д)И2 В пространственно-одномерном случае компонента Ло удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега - де Бриза (мКдВ):

V -«ЗД» +' "в«« =0 <10>

Уравнение мКП (9) не имеет еолитонных решений, но уравнение мКдВ (10) обладает солитонными решениями и(£) = Щ^-Сх).

Таким образом показано, что в нелинейно - упругих цилиндрических оболочках существуют одномерные продольные солитоны уравнения мКдВ (10).

Эволюция нелинейных вилн здесь аналогична имеющей место в упругих оболочках. Отличие состоит в том. что нелинейно-упругие солитоны уравнения /10) разрушаются вследствие нваимодействк* с

ПрОЬоЛЪНО-СДВйГО&НМ'й <д в Р -с >;\ ВОЛЙ8МВ УрьВн*мМ

и _ + а Угп Л = 0 (11)

охХ з ох охх

ИЛИ ' 17 _ - а £72 и +и =0 (12)

о х £ л о х о х х о т. х х х

Заметим, что уравнения (11) и (6) эквивалентны. В самом

деле, преобразованием эквивалентности между уравнениями

17т + Ш = 0 и 7Т + 7г7 = 0 является замена переменных

рЛ2. 5 5

Уравнения КдВ иг+ 6ДО + 17,. = О и мВДВ 7Т+ 6727 + Уве, = О

Я С С ? с ? 5 5 С

также эквивалентны. Мх решения переходят друг в друга при помощи преобразования Миуры 77 = V2 + 7? .

Указанная математическая тождественность уравнений, моделирующих нелинейный волновой процесс, подтверждает внутреннее единство задач динамики упругих и нелинейно-упругих оболочек.

В. третьей главе анализируется процесс распространения нелинейных продольных волн в неоднородных цилиндрических оболочках. Сначала изучается вопрос о влиянии на волновой процесс учета изменения геометрических параметров от слоя к слою по толщине оболочки. Показано, что в данном случае нелинейные продольные волны описываются теми же уравнениями КДВ и КП, которые были получены для однослойной изотропной оболочки. Это объясняется тем, что в уравнениях движения члены, возникающие вследствие учета изменения геометрии оболочки, имеют более высокий по-

рядок малости, чем те, которые составляют получаемые эволюционные уравнения.

Известно, что когда характерная длина возмущения значительно превосходит масштаб неоднородности, динамика конструкции описывается свойствами энергетически эквивалентной анизотропной среды. Поэтому объектом дальнейшего исследования стала орто-тропная оболочка, к модели которой сводится широкий класс обо-лочечных конструкций.

Динамические процессы в анизотропных средах обязательно сопровождаются определенными потерями энергии. Для учета этих потерь в уравнение движения для нормального перемещения вводится дополнительный член £.д? У ¿В, (так называемое конструктивное демпфирование). Тогда упрощение уравнений движения, проводимое методом многих масштабов, приводит к уравнениям Кадомцева-Пет-виашвили-Бюргерса (КПБ) и Кортевега- де Вриза - Бюргерса (КДВБ) для компоненты продольной деформации

И0ЬТ + « *Уо5Е + *Во«5 + * С« = ' <13>

ип>1 + « + * + Р ^05 5 55 = 0 '

где « = 0.5(1-р1^а)1/г , Р = - 0.5 М1йа(1-/'1/>2)1/2Е1/Е2 ,

х = - 0.5 ц^/Еа, у = - 0.5(1-^Д2)1/2С12/(Е1- С^).

Заметим, что для получения уравнений (13) и (14) необходимо следующее условие, связывающее коэффициент демпфирования с малым параметром задачи: ед ~ е1/а.

Полученные эволюционные уравнения относятся к классу уравнений, близких к интегрируемым. Нелинейные продольные волны,в ортотропной нелинейно-упругой оболочке описываются модифицированными вариантами уравнений (13) и (14):

ио* + ° Щои + * + ' и0Ш* В ' и0ПП ' (15) П«г + * Що» + * Пош + ' иош* * 0 ' (16)

Уиавнвшй •15) и 116Ч> также являются <5лй&кнми к интегрируемым нелинейными волновыми уравнениями. Их аналитическое и численное исследование представляет самостоятельный интерес.

Четвертая, глава посвящена приложениям теории солитонов к динамическим задачам теории упругости. До сих пор математическая теория солитонов является в значительной степени академи-

ческой дисциплиной. Использование оптических солитонов для передачи информации на основе создания волоконно оптической связи представляет собой единственный пример выхода теории, на практические задачи. Поэтому проблема приложений теории солитонов является важной.

Рассматривается нелинейный волновой процесс, возникающий в тонком цилиндрическом стержне. Простота выбранного объекта исследования объясняется большим числом механических аналогий в поведении стержней и цилиндрических оболочек.

Обсуждаются существующие модели продольных и изгибных колебаний стержней. Продольные волны в стержнях анализируются на базе одномодовых и двухмодовой моделей колебаний. Для одномодо-вых моделей характерна гипотеза о пропорциональности поперечных смещений продольной деформации:

и = ия=-»уПх, П3^-игих, (17)

где \> - коэффициент Пуассона, и = аИ/'вх .

Уравнение продольных колебаний в этом случае имеет вид

и - С%и + и}и - Уаг2[и - ср } = 0 , (18)

^ £> xJ хх И I хх^х

где. Е - модуль Юнга, Са=^Е/р0]1/2 - скорость распространения продольных волн в стержне, Сг =[м/р0]1/3 ~ скорость сдвиговых волн, г = а/уТГ - полярный радиус инерции стержня, а - радиус, а - коэффициент нелинейности.

Для двухмодовой модели типично следующее распределение смещений:

п1=и(х,г), и^-^-тхл), из=жх,г) (19)

В данном случае продольные волны описываются системой связанных уравнений для продольного и нормального перемещений.

Упрощение моделей колебаний проводилось с помощью метода многих масштабов. Вводились новые независимые переменные и разложения зависимых переменных по степеням малого параметра:

I = X - сг, х = и = ио+ е Я = е(1о+ е 1Г4) (20)

Оказалось, что обе модели колебаний в первом приближении редуцируются к одному и тому же уравнению КдВ для и

то есть продольная бегущая волна деформации распространяется

как солитон.

Взаимодействие продольных и изгибных волн в тонком стержне описывается следующей системой уравнений

П - С\ и = 0.5 С* ( й'2] ,

^ 3 УН 8 I X

о о Г 1

И1 + г Гг = С2, ! и К" + 0.5 И"3 ] ,

И о у х-ххх ¿> ^ х х х ]х

где г - осевой радиус инерции.

Метод многомасштабных разложений позволил' получить для компоненты УГ уравнение мКлВ

"о* - 6 + = 0. <23)

значит, изгибные волны в стержне распространяются как солитоны уравнения мКдВ.

Далее рассматривались продольные волны в стержне с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций а = е - а ек (а - напряжение, е - деформация, к - степень нелинейности). Переход в систему координат бегущей волны и медленного времени 5=1- С!, ' - 1к',1 позволяет свести задачу к исследованию эволюционного уравнения вида

- « ио\\и + " ио>Ш = 0 • (24)

где а и (5 - коэффициенты нелинейности и дисперсии.

При к = 2 последнее уравнение является уравнением КдВ, а при к = 3 - уравнением мКдВ, то есть в стержнях с квадратичной и кубической нелинейностью могут распространяться солитоны продольной деформации. Выло показано, что при к > 3 уравнение (24) не обладает бесконечным набором законов сохранения и не имеет солитонных решений (не является интегрируемым).

Полученные солитонные уравнения для продольных и изгибных волн в стержне используются для решения задачи об устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня, сжимаемого продольной силой. Стержень считается полубесконечным вследствие неучета эффектов отражения волн.

Предлагается следующая модификация динамического метода определения критической силы. Считается, что в стержне сгенерирована нелинейная изгибная волна, описываемая уравнением (23). Действие продольной сжимающей силы приводит к ее постепенному угасанию. В результате изгибная волна трансформируется в про-

дольную волну уравнения (21). Другими словами, изгибный-солитон трансформируется в продольный солитон. При этом энергия изгиб-ного солитона перекачивается в энергию продольного солитона. Тогда критическая нагрузка соответствует моменту трансформации изгабной волны в продольную.

Солитонные решения уравнений КдВ (21) и мКдВ (23) соответственно имеют вид:

£1 /и

V

где Си, Сп - неизвестные скорости изгибного и продольного соли-тонов.

В соответствии с предлагаемым критерием устойчивости нужно приравнять сумму кинетической и потенциальной энергии изгибной волны соответствующей сумме для продольной волны. Такое равенство, отражающее сохранение энергии системы, доставляет выражение для критической силы Р

+ СО +00

? = | »0« ^ / | "о? 6,1 • (27)

+ 00

при выполнении равенства | с2£ = Ди^ + и*г] . (28)

Интегрирование в правой части (27) приводит к формуле

* « -4" °н • (29)

то есть безразмерная критическая сила равна трети безразмерной скорости изгибного солитона.

Для определения неизвестных скоростей солитонов Си и Сп требуется дополнить равенство (28) подобным интегральным выражением. Такое выражение легко получается из преобразования Миуры, связывающего уравнения КдВ (21) и мКдВ (23):

и01 - »„« + ^ (30) Интегрирование (30) в бесконечных пределах дает второе уравнение для нахождения двух скоростей солитонов:

+ С0 +С0

+ (31)

Решая систему-уравнений (28),(31), определяем скорости Сп и Си: Сп = Си = 2,618 (продольный и изгибный солитоны движутся

с равными скоростями). Подстановка найденного значения Си в (29) позволяет найти искомое значение критической силы Р = 0,373.

Формула (27) для критической силы типична при использовании энергетического метода С.П.Тимошенко решения задач устойчивости. Поэтому найденное значение Р является статической критической силой, а рассмотрение динамики процесса необходимо для определения скоростей солитонов.

Далее рассмотрена задача динамической устойчивости стержня. Теория динамической устойчивости изучает колебания, возникшие под действием вибрационной параметрической нагрузки. В работе определяется динамическая критическая сила, возбуждающая стержень с частотой продольных колебаний. Частоты продольных и поперечных колебаний находятся из отношений соответствующих энергий (отношения Рэлея). Динамическая критическая сила определяется из известного уравнения теории динамической устойчивости, имеющего в данном случае вид

ап = в = 20 = 2аи [ 1 - ] , (32)

где «и, ип - частоты изгибных и продольных колебаний, Р - статическая критическая сила. Из (32) найдено значение Рд = 0,623. Динамический коэффициент равный отношению Рд к Р, в данном случае принимает значение 0,714.

В заключение оценены скорости нелинейно-упругих солитонов продольной деформации в стержнях. Известно, что минимальная длина солитон8 достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Это позволяет из условия е1 - екр оценить снизу скорости солитонов. В результате получены следующие оценки: для стержня с квадрата- ■ чной нелинейностью С а 1,078 , для стержня с кубической нелинейностью С & 0,291.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Проведенный анализ показал, что взаимодействие эффектов нелинейности и дисперсии, являющейся следствием тонкостенности рассматриваемых конструкций, приводит к образованию устойчивых стационарных импульсов - солитонов деформации.

В диссертационной работе методом многих масштабов выводятся и анализируются нелинейные интегрируемые и близкие к ним уравнения, моделирующие нелинейный волновой процесс в деформируемых твердых телах. Предложены и обоснованы приложения теории солито-нов к решению некоторых динамических задач теории упругости. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Исследован процесс распространения нелинейных продольных волн в упругих цилиндрических оболочках. Доказано равноправие моделей Кирхгофа-Лява и Тимошенко для анализа нелинейного волнового процесса. Показано, что в упругих оболочках существуют пространственно-одномерные и двумерные солитоны деформаций, описываемые уравнениями КдВ и КП.

2. Проанализирован процесс распространения нелинейных волн в нелинейно-упругих цилиндрических оболочках. Выявлены пространственно-одномерные продольные солитоны нелинейно-упругих деформаций, удовлетворяющие уравнению мВДВ. Показано, что двумерное возмущение эволюционирует согласно модифицированному уравнению КП, не имеющему солитонных решений.

3. Изучен нелинейный волновой процесс в неоднородных цилиндрических оболочках. Показано, что учет изменения геометрических параметров от слоя к слою по толщине оболочки приводит к тем же модельным уравнениям КдВ и КП для компоненты продольной деформации, которые были получены для однослойной изотропной оболочки. На основе модели ортотропной оболочки проведен учет анизотропных свойств ее материала. Изучено влияние диссипативных эффектов при анализе неоднородных деформируемых систем. Получены и проанализированы уравнения, близкие к интегрируемым.

Выявлены особенности эволюции нелинейных продольных волн в деформируемых твердых телах. Показано, что в отличие от гидродинамических солитонов, разрушающихся вследствие естественной диссипации, причиной разрушения исследуемых солитонов деформации является их взаимодействие с продольно-сдвиговыми простыми волнами или солитонами, образующимися на том же временном масштабе, что и рассматриваемые.

5. С позиций теории солитонов проанализированы существующие модели колебаний стержней. Показано, что использование метода многомасштабных разложений позволяет свести исследование процес-

сов распространения продольных и изгибных волн к интегрируемым уравнениям КдВ и мКдВ соответственно.

6. Предложен модифицированный критерий устойчивости для деформируемых систем, описываемых нелинейными интегрируемыми уравнениями. Использование данного критерия предполагает наличие, у рассматриваемой механической системы двух свойств, а именно:

- отсутствие потерь энергии ;

- существование преобразования эквивалентности (замены переменных) между эволюционными уравнениями, моделирующими процесс .

7. На основе предложенного критерия устойчивости решены задачи статической и динамической -устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня. Определены скорости продольного и из-гибного солитонов, оценены скорости нелинейно - упругих продольных солитонов.

Результаты работы позволяют сделать вывод о том, что дальнейшие исследования динамических задач теории упругости с использованием теории солитонов могут проводиться по следующим направлениям:

- нахождение солитонных решений близких к интегрируемым уравнений, моделирующих волновые процессы;

- групповой анализ получаемых эволюционных уравнений; получение решений, инвариантных относительно группы симметрии, их механическая интерпретация;

- численный анализ нелинейных волновых уравнений, создание соответствующих программных продуктов;

- выявление уравнений, между которыми существуют преобразования эквивалентности.

Решение указанных задач, каждая из которых имеет самостоятельное значение, позволит получить новые знания о нелинейной динамике деформируемых твердых тел.

Основное содержание диссертации отражено в ол^ующих публикациях:

1. Землянухин A.M., Могилевич Л.И. Нелинейные продольные волны в цилиндрических оболочках / Тезисы докл. Весенней Воронежской матем. школы "Понтрягинские чтения - IV" 3-8 мая '993 г, Воронеж, п. 83.

2. ЗвМЛЯНуХЙН А.И., мигКЛвВИЧ Л.и. ЭВОЛЮЦИЯ НйлпНейНЫХ проДОЛЬНЫХ' волн ь дклиндрических оболочках/ Сьрат. гос. техн. ук-т.Саратов, 1993.- 45 с. - Деп. в БмНЬПТС 22,06.9?., 17 1737 - В93.

3. Землянухин А.И. Нелинейные волны деформаций в неоднородных цилиндрических оболочках / Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов, 1994.- 16 с. -Деп. В ВИНИТИ 20.07.94, N 1899 - В94.

4. Землянухин А.И. Солитоны и устойчивость тонких стержней / Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов, 1994.- 37 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.94, N 1900 - В94.

5. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изз. вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. т.З, N 1, 1995, в печати.