Существование, устойчивость, пространственные и временные асимптотики решений системы Навье-Стокса во внешних областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южный федеральный университет

САЗОНОВ Леонид Иванович

СУЩЕСТВОВАНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

05201351571

На правах рукописи

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2013

Оглавление

Введение ................................. 5

0.1 Общая характеристика работы................... 5

0.2 Краткое содержание диссертации.................. 12

1 Фундаментальное решение и гидродинамические

потенциалы системы Озеена 31

1.1 Фундаментальное решение системы Озеена в

пространстве М3 ........................... 31

1.2 Ьр — Ьч - оценки оператора объемного потенциала........ 34

1.3 Формулы Грина и гидродинамические потенциалы системы Озеена со спектральным параметром ...............42

1.4 Интегральные уравнения для системы Озеена

в многосвязной внешней области.................. 48

1.5 Оценки оператора прямого значения потенциала

двойного слоя для системы Озеена с параметром......... 55

1.6 Оценки оператора потенциала двойного слоя

для системы Озеена с параметром................. 63

2 Оператор Озеена во внешней области 67

2.1 Разложение Гельмгольца - Вейля ................. 68

2.2 Гидродинамический проектор во внешней области........ 76

2.3 Существование обобщённого решения .............. 89

2.4 Ьр-оценки обобщённого решения.................. 91

2.5 Спектр оператора Озеена......................103

2.6 Интегральное представление резольвенты

оператора Озеена...........................106

2.7 Обращение граничного оператора .................110

2.8 (Lp —> Lq)~ оценки резольвенты оператора Озеена........130

2.9 Оценки резольвенты в окрестности точки А = 0.........138

3 Полугруппа Озеена и ее возмущение 144

3.1 Полугруппа Озеена в пространстве Rn...............144

3.2 Оценки норм преобразования Лапласа

объемного потенциала и потенциала двойного слоя .......148

3.3 Оценки полугруппы Озеена......................155

3.4 Алгебра функций Aa,/3 .......................167

3.5 Алгебра оператор-функций Ла;/з(Епс1 X).............171

3.6 Возмущенная полугруппа Озеена в Мп..............175

3.7 Оценки производных для возмущенной полугруппы Озеена в Rn185

3.8 Оценки возмущенной полугруппы Озеена

во внешней области .........................201

4 Пространственные асимптотики стационарных

решений системы Навье-Стокса 218

4.1 Lp - оценки решения задачи обтекания..............220

4.2 Асимптотическое поведение решения задачи

обтекания вдали от обтекаемых тел................224

4.3 Асимптотика двумерного обтекания................234

5 Устойчивость стационарных и периодических

решений системы Навье-Стокса 243

5.1 Устойчивость стационарных решений системы

Навье - Стокса во внешних областях................244

5.2 Устойчивость периодических решений системы

Навье-Стокса в трехмерной внешней области ..........259

6 Некоторые результаты о существовании решений системы Навье—Стокса 275

6.1 Существование симметричного решения двумерной задачи о протекании жидкости..........................275

6.2 О существовании переходов между стационарными режимами системы Навье - Стокса во внешних областях ..........285

6.2.1 Задача о переходах в!"...................286

6.2.2 Переходы между стационарными режимами задачи обтекания ............................299

6.3 Возникновение автоколебаний при обтекании...........309

6.4 Существование слабого решения задачи линейного сопряжения 320

6.4.1 Вспомогательные предложения...............321

6.4.2 Существование слабых решений задачи сопряжения . . . 330

7 Система Навье-Стокса при малых

числах Рейнольдса 349

7.1 Трехмерная стационарная задача обтекания

при малых числах Рейнольдса...................349

7.1.1 Обобщенное решение системы Озеена: существование и единственность........................352

7.1.2 Оценки решений однородной линеаризованной системы Озеена (/ = 0) ........................355

7.1.3 Оценки решений неоднородной линеаризованной системы Озеена ..........................358

7.1.4 Сходимость рядов ......................363

7.1.5 Сила сопротивления.....................366

7.1.6 Обтекание вращающегося шара...............371

7.2 Асимптотическое разложение двумерной задачи обтекания . . 379 ЛИТЕРАТУРА .............................381

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории системы Навье-Стокса во внешних областях. К их числу относятся: обоснование метода линеаризации в исследованиях устойчивости стационарных и периодических по времени решений системы Навье-Стокса во внешних областях, исследование пространственных и временных асимптотик решений, а также асимптотик стационарных решений задачи обтекания при малых числах Рейнольдса и вопросы о существовании некоторых классов решений системы Навье-Стокса. Исследования по устойчивости выполнены в рамках общего полугруппового подхода, применяемого к исследованию эволюционных уравнений с выделенной главной линейной частью. При этом подходе эволюционное уравнение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение в подходящем банаховом пространстве. Основное требование, предъявляемое к выделенному оператору, состоит в том, что в стационарном случае оператор должен порождать сильно непрерывную или аналитическую полугруппу, а в случае оператора, зависящего от времени, это условие должно выполняться в любой его момент. Это позволяет применить теорию полугрупп операторов Хилле-Филлипса-Иосиды или в нестационарном случае теорию эволюционных операторов Като, Соболевского и др. Различные аспекты полугруппового подхода развивались в работах Т. Като, М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, П.Е. Соболевского, М.З. Соломяка, Д. Хенри и многих других авторов.

Проблеме обоснования метода линеаризации в исследовании устойчивости стационарных и периодических решений системы Навье - Стокса и параболических уравнений в ограниченных областях посвящена монография В.И. Юдовича [153]. Идеи и методы этой работы определили направление

исследований для данной диссертации. Напомним, что под обоснованием метода линеаризации (например, для стационарных решений) понимается доказательство утверждения о том, что расположение спектра оператора линеаризованного на стационарном решении уравнения строго в левой полуплоскости влечет ляпуновскую устойчивость данного решения. Следует отметить, что случай внешних областей отличается наличием у оператора Стокса или Озе-ена непрерывного спектра, расположенного в левой полуплоскости, причем точка ноль является точкой спектра. Применительно к проблеме устойчивости этот факт можно истолковывать как критический случай. Для соответствующих полугрупп убывание с ростом времени не является экспоненциальным. Тем не менее, как показано в диссертации, при определенных условиях на нелинейные члены обоснование линеаризации возможно.

Полугрупповой подход к исследованию системы Навье-Стокса во внешних областях стал развиваться около 40 лет назад. В первую очередь это были работы, посвященные оценкам резольвенты оператора Стокса и полугруппы Стокса ( В.А. Солонников, П. Маремонти, W. Borchers, Y. Giga, R. Farwig, М. McCracken, Н. Sohr и др .) Обзор этого направления содержится в работе В. А. Солонникова [140]. Применение полугруппы Стокса к исследованию разрешимости системы Навье-Стокса в различных функциональных пространствах для внешних областей, к вопросам устойчивости и оценкам убывания решений развивалось многими авторами. В одной только работе Борхерса и Миякавы [6] приведены ссылки на исследования более 30 авторов за период 1985-1995 гг.

Аналогичные исследования, связанные с оператором Озеена во внешних областях, были начаты позднее (Т. Miyakawa [51], Л.И. Сазонов [110], [113], Т. Kobayashi, Y. Shibata[37], Р. Biler, М. Cannone, G. Karch [4] и др.) Следует отметить, что для получения Lp — Lq - оценок полугруппы Озеена потребовались новые подходы. Впервые эти оценки были получены в [110], [113] методом гидродинамических потенциалов. Позднее другим методом они были установлены Т. Kobayashi, Y. Shibata [36], [37]. В дальнейшем эти оценки существенно использовались для исследования устойчивости стационарных и периодических решений, для оценок сходимости нестационарных решений к стационарным, для оценок возмущенной полугруппы Озеена [24], [4], [29], [13], [113], [117], [124], [127], [131], [135].

Для системы Навье-Стокса во внешних областях теоремы о существовании решений (Ж. Лере [44], Э. Хопф [30], O.A. Ладыженская [91]) дают мало информации о поведении решения на бесконечности. Далее ограничимся рассмотрением стационарного случая. Пусть скорость жидкости v принимает на бесконечности предписанное значение v^. В трехмерном стационарном случае по теоремам вложения для соболевских пространств для обобщенного решения получается, что разность v — vœ принадлежит пространству L6 и, таким образом, в определенном смысле убывает. В двумерном случае подобного результата нет, более того существуют соленоидальные поля с конечным интегралом Дирихле, растущие на бесконечности (G.P. Galdi [22]). Поэтому вопрос об асимптотическом поведении на бесконечности потребовал самостоятельного исследования. Р. Финн [15], [14], [16], постулируя для трехмерных решений соотношение

v{x) -Voo = 0(\х\~а), а > 1/2 (0.1.1)

(такие решения были названы физически приемлемыми или PR-решениями, так как эти решения описывают появление параболоидального следа за обтекаемым телом), установил асимптотическую формулу

v(x) =vDO + Н(х)а + 0(|ж|"3/2 ln М)- (0-1-2)

Здесь Н(х)- фундаментальный тензор системы Озеена, которая получается при линеаризации системы Навье-Стокса на постоянном векторе а-некоторый постоянный вектор. В дальнейшем Р. Финн установил для течения v(x) —Vqo бесконечность кинетической энергии и существование PR-решения при достаточно малых числах Рейнольдса.

Утвердительный ответ на интригующий вопрос - является ли решение с конечным интегралом Дирихле (существование именно таких решений установлено Лере) PR-решением - был получен К.И. Бабенко [65]. В дальнейшем асимптотика трехмерных стационарных решений рассматривалась в работах К.И. Бабенко и М.М. Васильева [68], М.М. Васильева [73], В.В. Пухначева [106], Л.И. Сазонова [114], Н.И. Яворского [156], G.P. Galdi [21] и др. Заметим, что стационарной системе Навье-Стокса посвящена монография Д. Галди [22].

Двумерная задача обтекания существенным образом отличается от трехмерной задачи. Конечность интеграла Дирихле не влечет убывания решения

на бесконечности. Поэтому неизвестно, является ли решение Лере решением задачи обтекания. Физически это означает, что мы не имеем ответа на вопрос - увлекает ли равномерно движущийся цилиндр за собой всю жидкость или вносит лишь локальные возмущения. О трудностях в двумерном случае свидетельствует также наличие парадокса Стокса: линейная система Стокса, вообще говоря, не имеет решения, которое принимает предписанное значение на бесконечности. Первые результаты по двумерной задаче принадлежат Р. Финну и Д. Смиту [17], которые установили существование решения задачи обтекания для достаточно малых чисел Рейнольдса при ненулевом значении скорости на бесконечности. Этот результат был получен при исследовании нелинейного интегрального уравнения, к которому сводится краевая задача методом функции Грина. Данные решения аналогично трехмерным были названы физически приемлемыми (РЯ-решениями). Они допускают асимптотическое представление на бесконечности, подобное трехмерным РЯ-решениям. Ряд важных результатов, проясняющих суть проблемы, был получен в работах Д. Гилбарга и X. Вайнбергера [77], [28], Ч. Эмика [2]. В случае ненулевого граничного условия была установлена равномерная ограниченность решения и существование постоянного вектора к которому в определенном смысле (равномерно в симметричном случае) сходится решение на бесконечности. Однако вопрос о совпадении этого вектора с предписанным значением остается открытым. В работах Ч. Эмика [3] (для симметричного случая) и Л.И. Сазонова [115] (для общего случая) доказано, что при равномерном стремлении решения к ненулевому предельному значению на бесконечности оно является РЯ-решением. В первоначальном определении РЯ-решения требовалась некоторая квалифицированная степенная оценка. В работе Д. Галди [27], подводящей итоги многолетней истории исследования задачи Лере, изложен ряд упомянутых результатов и приведены некоторые новые, в частности, об условиях существования симметричных решений при больших числах Рейнольдса.

Остановимся еще на одном направлении исследований стационарной задачи обтекания. При малых числах Рейнольдса, несмотря на наличие малого параметра лишь при младших производных, ввиду неограниченности области задача не является регулярной в том смысле, что ее решение нельзя представить в виде степенного ряда по малому параметру, которым является

число Рейнольдса Re (в трехмерном случае этот факт обнаружен Уайтхе-дом). В случае обтекания шара и цилиндра при малых числах Рейнольдса построение асимптотики выполнено в работе И. Праудмена и Дж. Пирсона [56] методом сращиваемых асимптотических разложений: внутреннее и внешнее разложения сращиваются в области перекрытия, где пригодны оба разложения. В дальнейшем появилось большое количество работ (эти исследования продолжаются и в настоящее время), в которых с помощью методики Праудмена-Пирсона изучались различные задачи гидродинамики при малых числах Рейнольдса. В частности, были рассмотрены задачи стационарного обтекания канонических тел: эллиптических цилиндров, ограниченных тел вращения, систем шаров, вращающихся шаров и т. д. Вопросам обоснования получаемых асимптотик, на наш взгляд, не уделялось должного внимания. Отметим в этом направлении работу Т.М. Фишера и др. [18], в которой выполнено обоснование метода сращиваемых асимптотических разложений для обтекания произвольного тела в трехмерном и двумерном случаях.

Иной подход к задачам обтекания развивался в работах Л.И. Сазонова [118] для двумерного случая и Д.А. Мальцева, Л.И. Сазонова [98] для трехмерного случая. Основная идея, использованная в этих работах, состоит в том, что внешнее разложение строится из решений системы Озеена во всем пространстве, имеющих особенность в нуле типа особенности фундаментального решения; такие решения зависят от двух (п = 2) или трех (п = 3) свободных параметров, для выполнения граничных условий к каждому члену внешнего разложения добавляется член внутреннего разложения - решение системы Стокса, из условий разрешимости (условий существования решений системы Стокса с нулевым условием на бесконечности при п = 2 или существования решения, имеющего порядок убывания 0(1/|х|2) при п — 3) определяется зависимость свободных параметров от числа Рейнольдса. Таким образом, сращивание внешнего и внутреннего разложения осуществляется на границе обтекаемого тела. В работе Л.И. Сазонова [131] установлены результаты о представимости решения трехмерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса в виде сходящихся рядов из решений линеаризованной системы Озеена.

В заключение отметим, что приведенный обзор позволяет заключить об актуальности вопросов, исследуемых в диссертации.

Цель работы состоит в построении теории линеаризованной системы Озеена во внешних областях, включающее исследование резольвенты оператора Озеена, развитие метода гидродинамических потенциалов для получения степенных оценок полугруппы Озеена, применение теории обратимости в банаховых алгебрах к оценкам возмущенной полугруппы Озеена. На основе построенной линейной теории в диссертации выполнено исследовании ряда вопросов теории системы Навье - Стокса во внешних областях, к которым относятся обоснование метода линеаризации в проблеме устойчивости стационарных и периодических решений, построение и обоснование пространственной и временной асимптотики решений, доказательство существования решений некоторых задач гидродинамики во внешних областях.

Методика исследования. В диссертации используются методы и результаты функционального анализа и теории уравнений с частных производных.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми. К ним относятся:

1. Построение и оценки фундаментального решения системы Озеена со спектральным комплексным параметром;

2. Применение метода потенциалов к доказательству ограниченности гидродинамического проектора в весовых пространствах суммируемых со степенью р > 1 векторных полей,

3. Развитие метода гидродинамических потенциалов для системы Озеена и его применение к вопросам разрешимости системы интегральных уравнений задачи типа Дирихле для системы Озеена с параметром;

4. Оценки резольвенты оператора Озеена и исследование спектра возмущенного оператора Озеена в Ьр - пространствах соленоидальных полей, интегральное представление резольвенты;

5. Степенные оценки полугруппы Озеена и применение методов некоммутативных банаховых алгебр для исследования возмущенной полугруппы Озеена;

6. Метод регуляриз