Полнота корневых элементов несамосопряженных операторов и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

2 ü Uta <•: л

АЛЫ ЕВ ФАХРАДДИН ГУРБАН оглы

УДК 517 — 98

ПОЛМОТА КОРНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ — 1994

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Азербайджана.

Научные руководители:

академик АН Азербайджана, доктор физико-математических наук,

профессор Ф. Г. МАКСУДОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент И. В. АЛИЕВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор О. А. ВЕЛИЕВ

(БГУ им. М. А. Расул-задо),

кандидат физико-математических наук Э. С. ПАНАХОВ

(ИММ АН Азербайджана).

Ведущая организация — Азербайджанский технический университет.^ ^

Защита диссертации состоится « «Ц » йуКНШ г. в « |f»

часов на заседании специализированного совета Н. 004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте математики и механики АН Азербайджана.

Адрес: 370602, г. Баку-ГСП, 602, ул. Ф^ Агаева, 553 квартал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан « [•-(-» V^C-^V^I^y4^? '994 г-

Ученый секретарь /1 II

специализированного совета, ////// \

доктор физико-математических наук- Щ- А. САДЫГОВ

- 3 -ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акг/аяьность теми. В настоящее время одним иэ направлений в исследованиях уравнений с частичными производными стало сведение этих уравнений к дифференциальным уравнениям о неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве. К задачам для дифференциально-операторных уравнений приводят также многие задача для бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, интегро-двффе- . рендиальных уравнений и ясевдодафферешшальшх уравнений. Важную роль при исследовании дифференциально-операторных уравнений играют спектральные свойства операторных коэффициентов, в частности, характер убывания норм ах резольвенты при больших значениях аргумента.

Изучение дифференциальных уравнений, коэффициентами которых служат неограниченные' операторы в гильбертовом или банаховом пространстве, целесообразно не только потоку, что они содержат в себе мног е уравнения с частными производными, но и потому, что оно дает возможность взглянуть о единой точки зрения, как на обыкновенные дифференциальные операторы с частными повзводными.

Дня скалярного уравнения Штурма-Лиувилля обычно рассматриваются два случая - конечного и бесконечного внтерваг-ла, т.е. регулярный и сингулярный. Они, как известно, отличаются постановками задач, методами исследования а сферами применений. При исследовании операторных уравнений приходится учитывать не только конечность или бесконечность интервала, -но и вид неограниченности потенциала.

Спектральная -еория дифференциально-операторных урав-

~ 4 -

нений с несамосопряженнши операторными коэффициентами стала интенсивно развиваться после основополагающей работе М.В.Келдыша.

Некоторые спектральные задачи для дифференциально-операторных уравнений изучены в работах М.Г.Гасымова, Ф.Г.Максудова, А.Г.КЬстюченко, В.Б.Лидского, М.Л.Горбачука, Дк.Э.Аллахвердиева, С.Я.Якубова, А.С.Маркуса, Г.В.Радзиевс-кого и Других.

В диссертации исследуется полнота системы корневых векторов неограниченных операторов, коэрцитивность как обыкновенных, так и дифХеренциально-олераторных .уравнений с г.аюго-точечными краевыми условиями.

Полученные абстрактные результаты позволяют исследовать краевые задачи, как для обыкновенных да$ферянциашшх уравнений с полиномиальным спектральным параметром, как и для уравнений в частных производных.

Цель работы. Исследование полноты корневых функций опе-раторно-дифференциальннх уравнений-и указать их разные приложения.

Мйтод исследований. В Диссертации применяется теория полугрупп линейных операторов, теория интерполяции линейных пространств и линейных операторов, метод мультипликаторов Фурье, теория дробных степеней позитивных операторов. •

Научная новизна.В диссертации получены следувдие новые результаты:

- доказаны разные абстрактные теоремы о полноте системы корневых векторов несамоеопряяенных операторов;

доказаны коэрцитивные разрешимости и полноты системы

• - 5 -

корневых векторов краевых задач для дифференциально-операторных уравнений о, нелокальными краевыми'условиями;

- доказали теоремы кратной полноты многоточечных задач для обыкновенного дифференциального уравнения с полиноми-нальнш спектральным параметром на отрезке;

- для сильно позитивных операторов установлена теорема о коэрцитивной разрешимости на всей оси и доказана полнота корневых векторов функций.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены в механике, физике, математической физике, теории дифференциальных, интегральных, псевдодифференциальных уравнений и т.д.

Результаты работы могут быть использованы в МГУ, ИМ АН Украинской Республики, Казахстанской Республики,'Азербайджанской Республики, Азербайджанском Техническом Университете и др.

Апробация работа. Результата диссертации бшш изложены на общеинститутском сешнарэ Института Математика и Механики АН Азербайджана на семинарах кафедры "Высшая математика" Азерб. Индустриального института, а также на XI Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике в Баку 16-17 июня 1994 года.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора.

Об"ем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Об"ем работы -117 страниц, список литературы - 120 наименований.

... 6 -СОДВШЖВ РАБОТЫ.

Долгое время в творш jjhhoJíhhx операторов с дискретным спектром основой ;.:агавдимй результатами можно было <5ы считать лишь теоры кардана о базисности корневых векторов линейно го оператор., увдйствуодего в конечномерном пространстве, а результаты Д.Гильберга об ортогональной базисности ; собственных векторов компактного самосопряженного оператора, действующего в гильбертовом пространстве. Лишь в 1951 году М.В.Келдаш доказал, полноту $сорнавых векторов для одного класса несамосопряяенных компактных операторов. Наряду с этим Калдыш ввел важное понятое п. -кратной полноты корневых векторов и доказал фундаментальную теорему об tu -кратной полноте для полиномиального операторного пучка с главной частью, порожденной само со сраженный оператором. Эта работа породила целую серию публикаций других авторов. Однако, эти абстрактные результата нельзя считать полносты> пригодными в полном об"ем для эффективного приложения к да^фервнгдаальдац уравнениям как обыкновенным, так и в част-.ннх производных, ■ Начиная с работы Я.Л.Тамаркина, в течении почти 100 ' лет интенсивно развивается теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных ураьнеюй с полиномиальным спектральным параметром. Что касается теории краевых задач для Эллиптических уравнений в частных производных с полиноминальным спектральным параметром, что сна оставлена почти на уровне 60-х годов.

Здесь в первую очередь идет речь о работах М.С.Агроно-

- 7 -

вича, М.И.Вишша, С.Агмона и Л.Ниренбэрга, где дм регулярных эллиптических краевых задач с параметром была доказана коэрцитивность как по спектральному параметру, так и по пространственным переменным в пространствах Соболева. Что касается таких градационных задач, как кратная полнота корневых функций, разложение по корневым функциям, асимптотика собственных значений и др. стали интенсивно исследоваться не только для регулярных по Биркгофу-Тамаркину краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, но а для некоторых нерегулярных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи не исследованы для регулярных эллиптических краевых задач с параметром, или ко исследование в рамках применимости теории 14.В. Келдыша. '

При исследовании 1фаевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, ввиду простоты строения резольвенты задачи, удается использовать теорию аналитических функций. Что касается краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, т">, ввиду сложного строения резольвенты, не удастся получи.'ь ничего аналогичного.

В первой главе доказываются теоремы о полноте корневых векторов абстрактны» операторов. ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть:

1. При некотором р>0 &еб(Н) '> ( ^ (Н) -класс , Нейиана-Шаттена);

2. Существуют лучи £к("а) , о углами медпу соседними лучами не больше Ш. , и целое число такие, что

Р

НСГ-ЛВУ'КЗС/ЛГ ,./Л1-со ;

~ 8 -

Тогда система корневых векторов, соответствующих нонулевым собственным значениям оператора ' В полна в множество £(Вп**) пространства Л . ТЕОРША 1.3.1. Дуст*,:

1. Оператор ^ в Л имеет плотью область определения

ОД ;

2. При некотором р>0 к Я(Л„Л) 6 (И) ;

3. Существуют лучи с углам мезду соседили лу-

чама не больые — и цело о число такие, что

Р

ими , Л е 4(я) , а/-"«0 •

Тогда спектр оператора Л дискретен и система корневых векторов'оператора ^ ' полна в пространство Н(Л") , оо , где ^(Л) резольвентное множество оператора Л .

. ' ТЕОРЕМА 1.4.1. Пусть:

1. Оператор Л в И имеет плотную область ййроделеюш

Ш) ;

2. Бри некотором р > {? и у (А) Я(Хй,А)£ 5р(Н) \

3. Существуют лучи ^(и) с углами мезду соседними лучами больше ~ в число % 6 ^ такие, что

г

^' ЦйМК^О/Д/"1. Ле 4Са) , (Л1 ;

4. В оператор в Я 5(В) Э 511 Для любого £ >0

ивиц«<£тя1 ии1~г +

Тогда спектр оператора Л^В ДЕскрэтзн в скстема корневых векторов оператора А* В полна в пространстве

НМ .

- 9 -

В главе И исследуются красиво задачи для ¡одштпссках лаИерешв'.плыю-опьряторних :*¿звнокчЗ на коночном отрьзхо. Разреи'г.кост! <раешх замач дал дв^Торошкалыкьоперэторинх ураыкягеЯ в -асишх еду чаях мзученн в работах А.А.Лэзакп, СД'.Кро&ги,. ,Г.Кро:';т'гг I',I), "аитега, ХГ.Гасых.'оаа, С.Я.Яку-¡302«, ¡Т.^,Оо<5'.>:.-'-'с::-.их-о, 9.Л.&&Ш.0ГО, П.И.^-

т/ул л ;;]). 'Ъпда » вррекк уйтотг* якч.тя'сд

.■и'гаРрааа оп^раторт! подобзко зйдччи :?сследогп-«г я рзботах З.АЛЬькня '' Э.С.Дялипиоаа, чаС,1!ои>-Гс;;саго1а1, 5$л;.ГорО:1чу-:са ;; И.Я.Горбпчука, И.В. ^«ч»«. Снм.^лл^ныо загдчя дет з'.з-.;'>";рс!>и1'!плы;о-01!и;:а','0р1!1г< у;аач:.".;н а оаучио, шгд^ ^¡мерко уоасааа содор/лт ¡К'сарапаааа оператор!.' льучоит; а работах 3,И.Горбачу /.-<, М.Л.Гоу^ачуаа, ^рл,

^аЗ.Аааока

Б лот'гспара; а'--о .'. -а-а II ;а аа! г^аггоаа: аа,;'а; аа-а= РЛ" :аа;ао -.п ■.-.^■■^¡¡•а.м г-; за:"; а а■■■¡а а аааа-раа"'" 1 аарагорса.. '.акаа /^чача-а^аа-; с'Г ¡У г: ■ -.-агЛДЛ

-.-■у/'•¡КГ :,'.'а .-.'ЛССОй ,

1' аа-*. Iа.- ;.а ! .-о.ж ¡¿-л, а.;',:1а аага а-а ас о-

I

В "¡уа о" :!ура:'р'-";'-.! "'лд.-и И аау'аюгча; гоапота с,'стаа.; а.аанаа.х а; -лоров Думах,п-; ^гаснаа гаат-рда". р-а-а^а'гааг-;^-чс-спорагарьсао

- и Ь) + Я и (л) + иЫ + ¿г(х)и&) ® Я и С/) ,

- 10 -

Пусть Е - банахово пространство и Л замкнутый линейный оператор с плотной областью определения и со значениями такке из £ . Оператор Л называется позитивным, если интервал /'-со,о)' лринадяеяит резольвентно^ множеству и сущоству.1п' число С?О такое, что

• ¡(А-лу1!* — , .

В пространстве ¿3((b,í) ,}})

рассмотрим оператор »

определенный равенствами:

«JP.tt—tttx) + JU(x)

1Ш - щ'Оьо ; к \d)U-o, i,2) ,

^ (%) f J5 U(%) + «¿> +ДU(t)-0

•ГЕОРЕМА 2.2.1. Пусть Л сильно - позитивный оператору в И , йе+ВФО .

Тогда при некотором Z > О все точки комплексной плоскости из угла ¡fíz^Aj sí по модулю больше г принадлежат резольвентному множеству оператора и л®1 решения уравнения

справедлива оценка:

ци'в, ' i-IMil, ' +МШ,, .

" ¿Z(P,S),H) ¿МЮ ЩЮ

где

4йи= ¿^цУ^Ц +

г ~ 1 в

+ «Ц, И , (4.2.4)

где $=1,2,.; Г*г1 , т9>,пу 1 е(о^) ТЕОРЕЛА 4.2.3. Пусть

1. и задача (4.2.4) р.-регулярна;

2. Операторы Зк из Щ\%1) в 1,(0,1) я из Ж^М

Р-т У * ' « Т

в ~ компактны, где целое /и,

Ч<? О , + еО ;

3. При некотором ^ го) функционалы Т!^ в !) . непрерывны.

. Тогда для любого 3 сущэствуот .> Г! такое, что при всех комплексных числах Л , дяя которых" /Д/;> и которое принадлежат углу:,

7--Й? < ---00~£

Л ' д 2. \

очсраторн на Щ

изоморфен я при этпх Л для решинпя задачи (4.2.4) имеет место оценка:

к-с X С, О сьо • г .

Рассмотрим таоготочечную задач-/ дет обккноьенного ди?-

•.:о:к?Н1".*агы®го уравнения с переценим! гаглоксшт дгэф-

- 20 -

Фвднентами, полшномаад. jhm скектраяьны.4 параметром:

+ itrK(a¿x)U(%) , (4.3.1)

kzi

,.*r.¡ 4f0*t-*)Mg

= ±:<'-rMrAÍ(m'-% + Д//^ «) +- (4.3.2)

"i" ^ ■!,

гда -H19.JI , } «., , %}¡c(!<¿(t>,i),4)K,P ,¿fxc > -íi? - KOÍ-:~

/ ' V ^ Í4 /

плексные числа,

. TEOPE.'vIA 4.3.1. Пусть

1. Uj e Се'™Са,1] где целое вътпах-jm ,m¡+:

0-t W * 0, ft) - % W = ^) ;

2. Задача (4.3.I)-(4,3.2) разномерно p -регулярна;

3. Операторы , из Щк(п,0 в и из 1 tf'oC'J в W/~m(о,!) Ko.vriaicTiш fíe О,о) ;

' ' Í-M

4. При- некотором ^ £ (i,Фтгаашшалы в (a,i) непрерывны.

Тогда для любого S>0 существует íl£ > о такое,что

при всех комплексных числах Л , лдя ксторк,:

где

О) = й./ а^-^¡(Ф - t -

ПР2Ч?М ¿J-tí < , опора гор (á(a)u, .. , ¿h (>\)u) и при этой для решения задачи (4.S.I)-(4.3.?.) моего оценка:

"i V' А.

+ 2 ш ''*"">'№)

Ü-Í

- 21 -

Рассмотрим многоточечную задачу для однородного обыкновенного доИюрвдцгачьиого уравнения с переменными коэффици-ентага, когда спектральный парш.к'гр полиномиально входит кал з урпвне.гсо, так п в функциональные усяовкл, т.е..

¿т-л"т + ¿¿""*(акс»)и% + г-У) , (4.4.1)

гдо , щ^п* (0,1) .

TEOPS.ÍA 4.4.1. Пусть m^i , 0 & « «i-í ,

'•mox-^m,; i= Л2,.. - « «-i •

1. OСг(0,0 , .....прицелом 2-<¡ ,

vt[n{m-nt ,tnfj , если -тах^щ s tn-i

и £ е [таx-jni?: <) = i,..m - muf,т'^пу-я^ если

щ, /,...,м/ >. «т; a).^ = ffjfi) ; ат(х) п<-о ;

2. Условия (4.4,2) равгшерко -регулярны относительно функций /,...,я» и равномерно регулярны отмо-сительно функций > где корни характеристического уравнения

3. Условия «/

3 Гт)

- <4,Л) + +g «цУ Ь^г^м,.^

Р -регулярны относительно некоторых чисел :

4. Операторы из в Лниз 'l^^í^i? в "V/J~(o,l)' компактны;

- 22 -

5. Функционалы »¡¡к непрерывны и _ ирп некото-

ром %€&,<*>) Тогда спектр задачи (4.4.1)~(4.4.2) дискретен к система корневых функций т -кратно полна в пространстве.

Щ = .¿Л,, У=о ,

4 КХ9 1С* О "'"'-К

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Двухкратная полнота системы собственных и присоединенных функций многоточечных задач для дайференцпальномзператорных уравнений. Тезисы докладов У всесоюзной конференции по <2$У 1985г., г.Баку (совместно с Алиевым И.В.).

2. Полнота системы собственных и присоединенных функций нелокальных краевых задач. Депонировано в ШЛТИ 19.12.88г.

В 8346-1388 журналом "Дифференциальное уравнение", 1988г.

3. Полнота корневых векгоррв системы неограниченных линейных операторных пучков. Тезисы докладов XI-республиканской конференции молодых ученых по математике и механике г.Баку часть I, 1994 г. стр.17-19 (совместно с Алиевым И.В.).

4. Полнота корневых функций многоточечных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейным параметром. Тезисы докладов XI Республиканской конференции молодых ученых по ыатекагако -и механике. Г.Баку 16-17 июня 1994г., часть I, стр.27-30.

•AJttJEU GyJPdAflWt 1'*№ÍH ÜfJi/

Os - озтиэ гваиа eiwajea оперзгеруа нэхсуоа *э гваулмун елеиенмэркняи танльггы вэ «вуп тэтбягя.

X У Л А О Э

Тогдви елупаа щ; ааагадахц нэтнчв«р ааыимыпиыр:

- эз-вэтко rtcus илиаJSH. епгратэрларая иэхсуся хэ гапул-нув едегеетлтргавп тамяыгы Ьаггьшда абстракт те»р:ы£э-рвн всбаты lepajömmap.'

- диференсим - операмр тэялшиэр ттгя" гв;}ря~аака!Т cap-has вгсэязяэряяэ салато^мооэлэап. иэхсусв гэ г-шул-нуа егекеетяэраявн гештгы «¿рэявдмиаднр;

- спекграя саракегр пвжавэивал двхвд вяан Ьад т«пгн чох-ввгтэав *в}ереяогаи - эиератврдаран .опектрал йэвмэмр о^рэлетнявдир.Ллыяаа ггэтачэхэрзя ада аэ хгсуса тврэяэ-лгэрв двфвренокал мвяюслэрэ тэтбкгяара зерялииадир.

Fachraddin Gurban oglu flliyev

Completeness of root elements of non self-adjoint operators and Its applications

. ft B S T ft C T

In the present paper. , ' ■ - .

The foilowing ibruits are ubtaineii in tha present work: -Some abstract theoreas on the completeness of root vector systems of non-selfadjoint operators;

-Solvability Res&iveliua and the Coinpletness of root vector systems of boundary problesss for differential- operator eguati-ons uith non-local boundary value conditions. '

-Theorems of nultiple coapleteness for uultipoint probleias for an ordinary differential efiiiation with polinoaial spectral parameters in sesEent.

Applications of the obtained results; to ordinary and partial differential equations are discussed.