Симметрия уравнений нечётных порядков

Хоанг Нгы Хуан

Симметрия уравнений нечётных порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Хоанг Нгы Хуан АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Симметрия уравнений нечётных порядков»

Автореферат диссертации на тему "Симметрия уравнений нечётных порядков"

На правах рукописи

ХОАНГ НГЫ ХУАН

СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЧЁТНЫХ ПОРЯДКОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

пз ДПР 20Н

Воронеж - 2014

005546766

Работа выполнена в

Российском государственном педагогическом университете

им. А. И. Герцена

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович.

Официальные оппоненты:

Калитвин Анатолий Семенович, доктор физико-математических наук, Липецкий государственный педагогический университет, кафедра математики, заведующий Кусюмов Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева, кафедра аэрогидродинамики, профессор

Ведущая организация:

Смоленский государственный университет

Защита состоится 20 мая 2014 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ^^ марта 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор ф.-м. наук, профессор Гликлих Ю. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Известно, что под симметрией понимается свойство объекта оставаться инвариантным под действием какого-либо преобразования. Симметрия широко распространена в природе, исследуется во всех областях естественных наук, и её изучение во многих случаях является эффективным методом исследования. В математическом моделировании симметрия, наряду с законами сохранения, играет роль фундаментального закона природы.

В области дифференциальных уравнений (ДУ) симмстрийные методы возникли в XIX веке, когда Софус Ли (1842 - 1899), наиболее известные работы которого опубликованы в конце XIX века, предложил регулярный алгоритм группового анализа для классификации и поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). К сожалению, в начале XX века широкая научная общественность не проявила должного внимания к идеям С. Ли, хотя известно несколько содержательных работ в этой области. Однако подлинный расцвет симметрий-ного подхода к ДУ произошёл полвека спустя, когда Л. В. Овсянников успешно применил групповой анализ к исследованию нелинейных уравнений с частными производными, что позволило пайти в явном виде большое число физически значимых решений модельных уравнений в различных областях прикладной науки (механика, гидродинамика, нелинейная оптика и др.). В теории ОДУ была найдена глубокая связь между различными типами симметрий - непрерывными группами преобразований (группами Ли) и первыми интегралами (законами сохранения): смысл теоремы Нётер в теории ОДУ состоит в том, что при определённых условиях симметрия исходного уравнения "наследуется" первым интегралом, и наличие одной вариационной симметрии позволяет понизить порядок уравнения сразу па две единицы.

Однако вариационная симметрия определена лишь для уравнений чётного порядка, и попытки ввести гамильтонову структуру на ОДУ нечётных порядков не привели к положительному результату (с точки зрения интегрируемости). Поэтому с временем сложилось впечатление, что аналогичной структуры симметрии для уравнения нечётных порядков не существует. Очевидно, это не так - в качестве контрпримера мож-

но привести простое уравнение 3-го порядка

У'" = 2 уу',

(0.0.1)

которое автономно и имеет автономный первый интеграл

у" = у2 + С,

(0.0.2)

т. е. симметрия этого уравнения абсолютно аналогична вариационной в том смысле, что первый интеграл её "наследует", позволяя с её помощью понизить порядок исходного уравнения сразу на две единицы.

В данный момент известны 2 работы, носвящённые аналогам вариационной симметрии. В 1989 г. С. П. Царёв опубликовал статью, где была разработана теория вариационной симметрии для механической системы нечётных порядков. В работе получены интересные результаты и приведены строгие доказательства сформулированных теорем. Однако все содержательные выводы касаются уравнений и систем уравнений с частными производными, для обыкновенных дифференциальных уравнений существенных результатов получить не удалось.

Более интересные результаты получил П. П. Аврашков, который в своей кандидатской диссертации, защищённой в 2004 г. в Казани, указал нетривиальные примеры уравнений 3-го порядка, имеющие аналог вариационной симметрии. Следует отметить, что Аврашков успешно использовал прямой метод, опирающийся на определяющее уравнение и определение первого интеграла.

Заметим, что полномасштабные исследования уравнений нечётных порядков до определённого времени вообще не проводились - сколько-нибудь общая групповая классификация уравнений 3-го порядка была проведена М. Я. Ланкеровичем и имела вспомогательное значение (темой исследования были уравнения в частных производных). Поэтому в работах Аврашкова не ставилась цель полномасштабного исследования подклассов уравнений 3-го порядка, имеющих аналоги вариационных симмстрий. В настоящей работе мы будем искать широкие классы таких уравнений, удовлетворяющие некоторым априорным условиям -как по структуре самих уравнений, так и по структуре первого интеграла (за немногими исключениями рассматриваются первые интегралы, являющиеся полиномами по второй производной).

Цель работы. Целью исследования являются некоторые направления симметрийного анализа ОДУ 3-го порядка. В соответствие с этим мы будем решать следующие задачи.

1. Разработать технику, позволяющую эффективно решать обратные задачи и находить подклассы уравнений 3-го порядка, допускающие аналог вариационной симметрии.

2. Найти группы эквивалентности для различных подклассов ОДУ 3-го порядка.

3. Провести поиск уравнений класса у1" = /(у), имеющих автономный первый интеграл, который обладает определённой структурой

- в виде полиномов относительно старшей производной (линейный, квадратичный и кубичный).

4. Провести поиск уравнений класса у'" = /(у, у'), имеющих автономный первый интеграл, который обладает определённой структурой

- в виде полиномов относительно старшей производной (линейный, квадратичный и кубичный).

5. Провести поиск уравнений класса у'" = /(у, у") (в случае, когда /(у> У") является полиномами относительно у"), имеющих автономный первый интеграл, который также обладает полипоминалыюй структурой по старшей производной.

Научная новизна. Все результаты исследования являются новыми. Впервые найдены классы уравнений 3-го порядка заданной структуры, имеющие первый интеграл, удовлетворяющий априорным условиям, причём доказаны теоремы о единственности этих классов при этих условиях с точностью до найденных групп эквивалентности.

Методы исследования. При решении поставленных задач были исиользованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, классического группового анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также аппарат теории первого интеграла.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные подходы и полученные результаты могут использоваться для решения ряда задач математического моделирования, а найденные конкретные классы уравнений - в качестве модельных (эталонных) для ряда физических задач и тестирования систем аналитических вычислений на ЭВМ.

Регулярность и "прозрачность" разработанных алгоритмов позволяет использовать полученные результаты и в педагогической практике, при чтении курсов обыкновенных дифференциальных уравнений и математического моделирования, спецкурсов современного группового анализа.

Апробация работы. Результаты исследований прошли апробацию на научных конференциях "Герценовскис чтения" РГПУ им. А. И. Герцена (ЬХ1У-ЬХУ1, 2011-2013 гг.) и на научных семинарах кафедры математического анализа математического факультета РГПУ им. А. И. Герцена.

Достоверность и обоснованность полученных результатоа

Все результаты, полученные в работе, строго доказаны.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 6], из которых [1] и [6] - в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [2], [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 8 параграфов, заключения и списка цитируемой литературы из 43 наименований. Общий объём работы составляет 109 страниц текста.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы: симметрия широко распространена в природе и является фундаментальным свойством, поэтому её необходимо учитывать при моделировании в различных областях естественных наук; в частности, модельные дифференциальные уравнения должны обладать симметрийными свойствами изучаемого

объекта или процесса. До настоящего времени аналоги нётеровых симметрии для обыкновенных дифференциальных уравнений не рассматривались. Указаны примеры, подтверждающие существование уравнений нечётных порядков, допускающих аналог вариационной симметрии, а также приводится обзор основных работ других авторов по исследуемому нами направлению. Излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первой главе содержится 3 параграфа, соответствующих трём классическим симметрийным теориям: групповому анализу, первым интегралам и вариационной симметрии, которые являются теоретической основой данной работы. Первый параграф посвящён групповому анализу, в начале параграфа приводится краткий обзор истории возникновения группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, как аналога теории Галуа для алгебраических уравнений, а также изложена главная идея Ли и особенность точечных преобразований Ли. Далее, введён ряд понятий: однопараметрические точечные преобразования

х = ф, у, а), у = ф{х,у,а), (1.1.1)

д<р\ дф\

гДе = х, — = у, образующие группу, инфшштезимальный

Ш 1а=0 оа 1а=0

оператор в "геометрической" и канонической формах

X = £(х,у)дх + г)(х,у)ду, X = т)(х,у,у')дю (1.1.6)

а также понятие инвариантности функции относительно группы и необходимое и достаточное условие, при которым функция Е(х, у) инвариантна относительно группы

Э.Р дР

На основе этих понятий строится продолжение п-го порядка инфините-зималыюго оператора

X = £дх + фу + С^ + ... + (пдуЫ

п "а

гДе Сг = Аг(Сг-1 ) — (о = Ц, а также критерий инвариантности

дифференциальных функций относительно группы. Центральное место

занимает понятие и критерий допускаемости точечной группы обыкновенными дифференциальными уравнениями = у,у',...,

х(Уп)-^)| =0. (1.1.20)

Изложен также метод расщепления, позволяющий эффективно решать определяющее уравнение (1.1.20).

Второй параграф посвящен первым интегралам ОДУ. Кратко пояснена роль первых интегралов в математике и физике: тесная связь с законами сохранения и средство понижения порядков уравнения (метод первых интегралов). Подробно изложены 2 алгоритма поиска первых интегралов: метод Эйлера и прямой алгоритм. Первый алгоритм основан на "укороченном"операторе Эйлера

где Ох = дг + у'ду + ..., который обладает уникальным свойством -аннулирует полную производную. Иными словами, действие оператора Эйлера на функцию, являющуюся полной производной другой функции даёт тождественный нуль. Из определения первого интеграла

ОхР = [у{п)~1] Я (1-2-4)

мы можем выписать систему уравнений для поиска интегрирующих множителей Я(х, у, у',..., г/"-1'), в которой центральное место занимает уравнение

Еп[{у^-т]= о. (1.2.59)

Далее, с помощью каждого найденного Я можно выделить все частные производные от первого интеграла по всем его переменным

РХ1 Ру> Ру*1 • • • 5 Ру<."~1)-И, наконец, сам первый интеграл восстановится с помощью криволинейного интеграла

Р = I [рхйх + Руйу + Ру.(1у' + ... + Ру^йу{п~1)], (1.2.11) с

где С - произвольная кривая из точки (^х, у, у',..., у*""1)^ в точку

В работе алгоритм Эйлера (во избежание излишней абстракности) обоснован сначала для двух конкретных случаев тг = 1,2, затем - для общего случая, когда п является произвольным натуральным числом.

Второй алгоритм (прямой метод) прямо следует из определения первого интеграла (1.2.4). Он оказывается существенно проще и эффективнее алгоритма Эйлера: одновременно позволяет найти и первые интегралы и интегрирующие множителя. В ходе поиска решения поставленной обратной задачи мы использовали именно прямой метод. В обоих алгоритмах необходимо принять некоторый "анзатц", т. е. заранее предположить вид искомого первого интеграла (или интегрирующего множителя), например, первый интеграл линеен по старшей производной

Р = Q(x, у,у',..., у(п-2))у{п-^ + S{x, у,у',..., t/n~2'), (1.2.9) или квадратичен но у(п~1'>

Р = Q(x, у, у',..., г/"~2') (У""1')2 + S(x, у, у',...,

+ Т(х, у,у',..., i/n~2'). (1.2.10)

Далее процесс поиска продолжается с помощью метода расщепления.

Третий параграф посвящен вариационной симметрии. В рамках данной диссертации все результаты теории вариационной симметрии непосредственно не использованы, однако необходимо дать четкое представление о сё свойствах и использовании при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, после чего строить аналог для уравнений нечётных порядков. Даётся понятие вариационной формулировки для дифференциальных уравнений

F(x,y,y',...,yM)=0, (1.3.1)

и показано, что вариационной симметрией обладают только уравнения четных порядков в том случае, когда они в точности являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для какого-либо лагранжиана

F(x,y,y',...,y^) = En[L(x,y,y',..:,yW)\. (1.3.4)

Подробно изложен в виде теоремы с доказательством способ понижения порядка уравнения Эйлера-Лагранжа на 2 единицы с помощью её

вариационной симметрии. Центральное место в параграфе занимает теорема Нётер, в которой доказывается критерий, при выполнении которого первый интеграл уравнения чётного порядка "наследует" его группу сим-метрий.

Во второй главе содержатся новые результаты, представленные в 3-х параграфах. В начале определяется понятие аналога вариационной симметрии. Далее осуществляется поиск широких классов уравнений 3-го порядка, допускающих аналог вариационной симметрии и удовлетворяющих некоторым априорным условиям - как по структуре самих уравнений, так и по структуре первого интеграла.

Для того, чтобы максимально эффективно решить поставленную задачу, предлагается новый подход, идея которого заключается в использовании группы эквивалентности, существенно упрощающей решение обратной задачи: сначала задача решается её для самого простого случая -первые интегралы наследуют группу параллельных переносов, затем (с помощью группы эквивалентности) полученный результат распространяется на весь класс.

В первом параграфе 2.1 вводится определение группы эквивалентности. Доказывается, что соответствующие точечные преобразования группы эквивалентности |5] для класса у"1 = F(x,y,y') должны удовлетворять условиям

[ X = f{t),

J v (2.1.24)

\y = Cf'(t)u + h(t),

для класса у'" = F(x, у) условия сохранения подклассов становятся следующими

Ci , п

X = —рг + Сз,

* + (2.1.31)

И, наконец, аналогичные условия для класса у"' — F(x, у, у") представлены подобными же преобразованиями

i + °2 (2.1.42)

Во втором параграфе 2.2 ведётся поиск линейных, квадратичных и кубичных по старшей производной автономных первых интегралов, т. е.

Р = 11(у,у')у" + Я(у,у'), (2.2.2)

Р = Щу, у'){у")2 + <5(у, у')у" + У), (2.2.5)

Р = Щу, у')(уУ + Я(у, у')(у"? + 5(2/, </>" + у') (2.2.27)

для класса автономных уравнений

у"' = Р(у). (2.2.1)

Всс результаты сформированы во виде 3-х теорем с доказательством.

Теорема 2.2.1 Не существует нетривиального уравнения (2.2.1) (т. е. с Е{у) ф 0), имеющего автономный первый интеграл вида (2.2.2). Теорема 2.2.2 Уравнение

у'" = (ау2 + 6у + с)"5/4, (2.2.6)

где а,Ъ,с- произвольные константы, является единственным уравнением класса (2.2.1), имеющим квадратичный по старшей производной автономный первый интеграл (2.2.5).

Соответствующий первый интеграл имеет вид

Р = Щу'Т ~ \пЦз/)2у" + ¡ЯЪУ - 2Д-1/у, (2.2.25)

где И(у, у) = ау2 + Ьу + с.

Теорема 2.2.3 Уравнение

у'" = (ау + Ь)~^2 (2.2.26)

является единственным уравнением класса (2.2.1), имеющим кубичный по старшей производной первый интеграл (2.2.27).

Соответствующий первый интеграл может быть подставлен в виде линейной комбинации двух кубичных и одного квадратичного но старшей производной выражений

Р = сцРх + а0Ро + <5, (2.2.54)

где

{ау + Ь)2у з _ {Зау + Ь){ау + Ь)^2^2

б2

(Зау + _

2Ь2

3 У

АЪ2

(ау + Ьу/2 Ъ\

I II а I, I

УУ +

9а3у3 + 26а V + 2ЬаЬ2у + 863 3 2аЬу + Ь2 ^ 2 ^

6(ау + Ь)7/2&2

2а2Ь3(ау + Ь)2'

Ра =

(2ау-Ь)(ау + Ь)% „ 3 За2у(ау + Ъ) р {у ' + Ь3

(г/)2(у")2

3^ б3

•аг(2ау + Ь), , 3 _ Чау - Ь

4 ^ ' {ау + Ь)У2

' " I а а, '\б 2/2/ "

а(6а3у3 + 17а2Ьу2 + 16аЬ2у + 5Ь3) г , 3 3 4ау + Ь . , --2Ь3(ау + Ьу!2 {У) 2аЬ3{ау + Ь)2' { ' ' >

д = {ау + Ь)\уУ-а{ау + Ъ){уЪ" + \а\у)1-^У + Ъ)-11У- (2-2.57)

Интересно, что все функции Р0,Р\,Я являются первыми интегралами уравнения (2.2.26). Однако вместе они функционально-зависимы - их

якобиан равен пулю.

В третьем параграфе изложены результаты поиска полиномиальных автономных первых интегралов (2.2.2, 2.2.5, 2.2.27) для класса уравнений

у'" = р(у,у'). (2.3.1)

Доказаны 2 теоремы.

Теорема 2.3.1 Уравнение

Я"(у')3 - 25У

У =

2Я

(2.3.3)

где Я и 5 - произвольные функции переменной у, является единственным подклассом уравнений (2.3.1), имеющих линейный по у" первый интеграл (2.2.2).

Найденный первый интеграл имеет следующий вид

(2.3.7)

Теорема 2.3.2 Уравнение

п-з/2 ^т / х , '2ПЛ"~(П')\ 2ЯТ'-Я'Т, у = Я у Ф(и) +-8Д2У (уО3--^-2/', (2.3.9)

где и — К 1</2(у')2 + ^ ТН~У2<1у, й и Г - произвольные функции переменной у, Ф - произвольная функция переменной и, является единственным подклассом уравнений (2.3.1), имеющих квадратичный по у" первый интеграл (2.2.5).

Искомый первый интеграл имеет следующий вид

р = я(Л2 +

~Я'(У')2 + Т(у)} у"+

Рассматриваются также кубичный первый интеграл (2.2.27) для класса (2.3.1). Здесь не удастся выписать конкретный результат в явном виде, по доказано, что решение задачи сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных производных

д {1 \ о

дР (^У ~ 2ду{ЯСу,) ~ У'Бт = (2-3'49)

В третьей главе мы рассматриваем поиск автономных первых интегралов для класса уравнений, содержащих в явном виде вторую производную. Здесь мы проводим поиск аналогов вариационной симметрии не для общего класса, а только для некоторых специфических подклассов, так как в общем случае затруднительно использовать метод расщепления. При этом алгоритм решения обратной задачи, изложенный в доказательстве, существенно отличается от вышерассмотренных задач.

В первом параграфе 3.1 рассматривается существование аналогов вариационных симметрии подкласса автономных уравнений вида

у'" = Р(у,у\у")С(у"). (3.1.1)

Найдены первые интегралы для нескольких случаев:

1а. Функция ^ линейна по второй производной, тогда первый интеграл уравнения (3.1.1) имеет вид

[ ¿У" т ^

16. Функция -Г НС зависит от второй производной, тогда первый интеграл уравнения (3.1.1) имеет вид

В этом случае функция ^ линейна по первой производной: ^ = = Н{у)у', где Н - произвольна. 1в. Отметим важный случай степенной зависимости функции С от "нредстаршсй" производной, когда <7 = (у")п. Тогда

\ {у")1-п ~(1-п)Н{у,у'), если пф 1,

\ 1п у"-Н(у,у'), если п= 1.

Во втором параграфе 3.2 ведётся поиск линейного и квадратичного автономных первых интегралов (2.2.2) и (2.2.5) для двух подклассов уравнений

у"' = Г(у)у" + С(у) (3.2.2)

у"' = ^(у)(/)2 + С(у)у" + Я Ы- (3-2-45)

Все результаты представлены в виде 4-х теорем с доказательством. Теорема 3.2.1 Уравнение

у'" = (3.2.3)

ау + Ь

является единственным уравнением вида (3.2.2), имеющим линейный первый интеграл.

Соответствующий первый интеграл уравнения (3.2.3) принимает

вид

Р={ау + Ь)у"-^а(у')>-су'. (3.2.12) Теорема 3.2.2 Уравнение

т = ау" -^--(3.2.13)

У Ьу + с (Ьу + с)5/2

является единственным уравнением вида (3.2.2), имеющим квадратичный но второй производной первый интеграл.

Первый иитеграл уравнения (3.2.13) принимает вид

Р =

{Ъу + с)у" -1-Ъ{у'?-ау'

Шу' + Ш

(3.2.33)

Ьу/Ьу + с

Рассматривался также кубичный первый интеграл (2.2.27) для класса (3.2.2), доказано,что он удовлетворяет переопределенной систе-

'7 91 2 1

—ЯуууС + —-ЯууСу + + = О,

-^щус2 + + с' + ~ \°ууу =

-Зб^ДС2 + Шуу + ^ауув - Щв3 +

3 35 7

+2 ау°у + 24^Я + ЪНуНу =

(3.2.44)

ауС2 + (2 аву + у ПуН + Теорема 3.2.3 Уравнение

в + у Н1Юу = 0.

У"' = а(у")2 +

, . У , Ьу + с

где а, Ь,с,й~ произвольные константы, является единственным уравнением вида (3.2.45), имеющим линейный по старшей производной автономный первый интеграл.

Первый интеграл найденного уравнения (3.2.46) имеет следующий

вид

(3.2.46)

Р =

(Ъу + с)у" +

аЬу' + ас1 + Ь

Теорема 3.2.4 Уравнение

у'" — а(у")2 —

ехр(-ау').

Ъу"

■ +

(3.2.62)

(3.2.63)

а(Ьу + с) (Ьу + с)4' где а, Ь,с,в, - произвольные конста'нты, является единственным уравнением вида (3.2.45), имеющим квадратичный по старшей производной автономный первый интеграл.

Первый интеграл уравнения (3.2.63) имеет вид

{Ъу + с)у" + -у' а

а(Ьу + с)2

ехр(-2оу')-

(3.2.92)

Публикации автора по теме диссертации ;

[1| Хоанг Нгы Хуан. Аналоги вариационных симметрии ОДУ третьего порядка / В. Ф. Зайцев, Хоанг Нгы Хуан // Известия российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.-2013.-№154.-С.ЗЗ-41.

[2] Хоанг Нгы Хуан. Аналоги вариационных симметрии уравнений вида у'" = Г\::.ц") / В. Ф. Зайцев, Хоанг Нгы Хуан // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образование: материалы XVI научной конференции «Герценовские чтения».-СПГ,: РГПУ.-2013.-С.65-69.

[3] Хоанг Нгы Хуан. Аналог вариационной симметрии ОДУ нечётных порядков [электронный ресурс]/ Хоаиг Нгы Хуан // Дифференциальные уравнения и процессы управлсния.-2013.-№3.-С.117-135.-Режим доступа:

http://www.math.spbu.ru/diffjouriial

[4] Хоанг Нгы Хуан. О группах эквивалентности на подклассах уравне-

ний третьего порядка/ Хоанг Нгы Хуан // Препринт НИИ математики ВГУ.-2013.-№45.-9с.

[5] Хоанг Нгы Хуан. Об алгоритмах поиска первых интегралов диффе-

ренциальных уравнений/ Хоанг Нгы Хуан // Препринт НИИ математики ВГУ.-2013.-№46.-11с.

[6] Хоанг Нгы Хуан. Аналоги вариационных симметрии уравнений вида у'" = Р(у,у',у") / В. Ф. Зайцев, Хоанг Нгы Хуан // Известия российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.-2013.-№163.-С.7-16.

Работы [1] и [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки

РФ.

Подписано в печать 12.03.14. Формат 60*84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 222.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Хоанг Нгы Хуан, Санкт-Петербург

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

04201457271

На правах рукописи

ХОАНГ НГЫ ХУАН

СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЧЁТНЫХ

ПОРЯДКОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управнение

диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

профессор Зайцев В. Ф.

Санкт-Петербург - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................................................................3

Глава 1. Классические симметрийные теории......................................12

1.1. Групповой анализ (теория Ли)..............................................................12

1.2. Первые интегралы......................................................................................22

1.3. Вариационная (нётерова) симметрия..................................................44

Глава 2. Аналог нётеровой симметрии класса уравнений 3-го порядка, не содержащих "предстаршей" производной у".........

2.1. Группа преобразований эквивалентности........................................51

2.2. Аналог нётеровой симметрии уравнения вида у"' = Р{у)— 62

2.3. Аналог нётеровой симметрии уравнения вида у'" = F(y, у') . 73

Глава 3. Симметрия расширенного класса уравнений 3-го поряд-

ка...............................................................

3.1. Некоторые уравнения с правой частью, содержащей все про-

межуточные производные......................................

3.2. Уравнения с правой частью, не содержащей первой производ-

ной..............................................................

Заключение..................................................... 102

Список литературы ........................................... 105

Введение

Работа посвящена решению обратной задачи группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка, причём ищутся подклассы уравнений, имеющих первый интеграл, который "наследует" симметрию самого уравнения. Иными словами, проводится поиск подклассов уравнений, обладающих аналогом нётеровой (или вариационной) симметрии.

В области дифференциальных уравнений (ДУ) симметрийные методы возникли в XIX веке, когда Софус Ли (1842 - 1899), наиболее известные работы которого [40], [41] опубликованы в конце XIX века, предложил регулярный алгоритм группового анализа для классификации и поиска решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). К сожалению, в начале XX века широкая научная общественность не проявила должного внимания к идеям С. Ли, хотя известно несколько содержательных работ в этой области [36], [38]. Однако подлинный расцвет симметрийного подхода к ДУ произошёл полвека спустя, когда Л. В. Овсянников [24], [25] успешно применил групповой анализ к исследованию нелинейных уравнений с частными производными, что позволило найти в явном виде большое число физически значимых решений модельных уравнений в различных областях прикладной науки (механика, гидродинамика, нелинейная оптика и др.). В теории ОДУ была найдена глубокая

связь между различными типами симметрий - непрерывными группами преобразований (группами Ли) и первыми интегралами (законами сохранения): смысл теоремы Нстер в теории ОДУ состоит в том, что при определённых условиях симметрия исходного уравнения "наследуется" первым интегралом, и наличие одной вариационной симметрии позволяет понизить порядок уравнения сразу на две единицы.

у"' = 2уу\ (0.0.1)

которое автономно и имеет автономный первый интеграл

у" = у2 + с, (0.0.2)

В данный момент известны 2 работы, посвящённые аналогам вариационной симметрии. В 1989 г. С. П. Царёв опубликовал статью [35], где была разработана теория вариационной симметрии для механической системы нечётных порядков. В работе получены интересные результаты и приведены строгие доказательства сформулированных теорем. Однако все содержательные выводы касаются уравнений и систем уравнений с частными производными, для обыкновенных дифференциальных уравнений существенных результатов получить не удалось.

Более интересные результаты получил П. П. Аврашков, который

в своей кандидатской диссертации [6], защищённой в 2004 г. в Казани, указал нетривиальные примеры уравнений 3-го порядка, имеющие аналог вариационной симметрии. Следует отметить, что Аврашков успешно использовал прямой метод, опирающийся на определяющее уравнение (1.1.21) и определение первого интеграла (1.2.4).

Всего П. П. Аврашкову [2], [3], [5], [6] удалось найти 26 нетривиальных уравнений 3-го порядка, симметрии которых "наследуются" первым интегралом. Например, уравнение

= (С^ (0'°'3)

допускает оператор симметрии

X = {С\х2 + 6х)дх + (2Сгх + £ + 6-у )уду (0.0.4)

и имеет первый интеграл

(0.0.5)

который, в свою очередь, также допускает оператор симметрии (0.0.4). Более того, среди таких примеров существует уравнение, которое имеет первый интеграл, наследующий даже две его симметрии, что в конечном итоге позволяет полностью проинтегрировать исходное уравнение в квадратурах.

Заметим, что полномасштабные исследования уравнений нечётных порядков до определённого времени вообще не проводились - сколько-нибудь общая групповая классификация уравнений 3-го порядка была проведена М. Я. Ланкеровичем [22] и имела вспомогательное значение (темой исследования были уравнения в частных производных). Поэтому в работах Аврашкова не ставилась цель полномасштабного исследования подклассов уравнений 3-го порядка, имеющих аналоги вариационных симметрии. В настоящей работе мы будем искать широкие классы таких уравнений, удовлетворяющие некоторым априорным условиям -

как по структуре самих уравнений, так и по структуре первого интеграла (за немногими исключениями рассматриваются первые интегралы, являющиеся полиномами по второй производной).

Следует также отметить работы В. Н. Горбузова и его школы (Гродно) [7], [8], [9], [10], однако в них рассматриваются, в основном, системы ОДУ и задачи в несколько иной постановке.

Если абстрагироваться от механических аналогий, то становится очевидным, что последовательное разыскание и описание подклассов подобных уравнений весьма актуально, учитывая востребованность ОДУ 3-го порядка в качестве эталонных и промежуточных моделей. Некоторые уравнения этого типа уже приведены в известных справочниках по ОДУ В. Ф. Зайцева и А. Д. Полянина [16], [17], хотя в сколько-нибудь общем виде соответствующие обратные задачи до сих пор не решались.

Постановка и решение обратных задач восходит ещё к исследованиям самого Софуса Ли. Например, легко построить общий класс уравнений п-го порядка, допускающих конкретный точечный инфинитезималь-ный оператор: если его инвариантами являются функции /о = 1о{х,у) и 1\ = 1\(х,у,у'), таким классом будет множество уравнений

Подобные обратные задачи (назовём их ограниченными обратными задачами) решаются довольно просто даже для заданной нелокальной симметрии.

Однако растущие потребности ряда прикладных наук и проблемы поиска модельных уравнений в математическом моделировании привели к появлению общих обратных задач. В них, как правило, конкретный вид допускаемого оператора не задаётся, известен лишь вид симметрии (например, точечная). При этом общий вид искомого уравнения также ограничивается некоторыми априорными условиями. Так для уравнений

второго порядка, не содержащих первой производной

у" = F(x, у)

задача поиска всех уравнений, допускающих хотя бы какую-нибудь точечную симметрию, была решена независимо друг от друга и двумя различными методами П. Личем [39] и В. Ф. Зайцевым [12], причём интересно, что Лич подошёл к решению этой задачи, используя квадратичный по у' первый интеграл. В данном случае оказалось, что подкласс таких уравнений, имеющих квадратичный первый интеграл, строго вложен в подкласс уравнений, имеющих точечную симметрию, и состоит из интегрируемых в квадратурах уравнений. Похожая структура подкласса наблюдается и для уравнений произвольного высшего порядка, не содержащих "предстаршей" производной [1], [4], однако связь между ин-финитезимальными операторами и первыми интегралами с повышением порядка становится всё менее и менее очевидной. Тем не менее, для уравнений чётных порядков эта связь вполне объяснима (с учётом введения гамильтоновой структуры и теоремы Нётер).

Следует отметить, что для уравнений чётных свойство вариационной симметрии является вполне обычным, например, любое уравнение вида

У{2п) = F(y)

имеет квадратичный по у277,-1 автономный первый интеграл, тогда как для уравнений нечётных порядков это свойство оказывается очень "редким", и требуются специальные исследования, чтобы найти примеры уравнений типа

y{2"-l) = F(y), п^2, обладающих подобным свойством.

Цели работы. Целью исследования являются некоторые направления симметрийного анализа ОДУ 3-го порядка. В соответствие с этим

мы будем решать следующие задачи.

2. Найти группы эквивалентности для различных подклассов ОДУ 3-го порядка.

3. Провести поиск уравнений класса у'" = /(у), имеющих автономный первый интеграл, который обладает определённой структурой

- в виде полиномов относительно старшей производной (линейный, квадратичный и кубичный).

4. Провести поиск уравнений класса у"' = /(у, у'), имеющих автономный первый интеграл, который обладает определённой структурой

- в виде полиномов относительно старшей производной (линейный, квадратичный и кубичный).

5. Провести поиск уравнений класса у'" = Лу,у") (в случае, когда /(у, у") является полиномами относительно у"), имеющих автономный первый интеграл, который также обладает полиноминальной структурой по старшей производной.

Положения, выносимые на защиту.

1. Регулярный алгоритм поиска автономных классов уравнений 3-го порядка, имеющих автономный первый интеграл.

2. Группы эквивалентности на подклассах уравнений 3-го порядка различной структуры, позволяющие распространить результаты п. 1 на неавтономные уравнения.

3. Теоремы о подклассах уравнений класса у'" = Р(у), имеющих линейный, квадратичный и кубичный по второй производной автономный первый интеграл.

4. Теоремы о подклассах уравнений класса у1" = Г (у, у'), имеющих

линейный, квадратичный и кубичный по второй производной автономный первый интеграл.

5. Теоремы о подклассах уравнений класса у'" = ^(у, у''), имеющих линейный и квадратичный по второй производной автономный первый интеграл.

Методика исследований. При решении поставленных задач были использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, классического группового анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также аппарат теории первого интеграла.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на 8 параграфов, заключения и списка литературы.

В первой главе приводятся основные положения классического сим-метрийного анализа. В первом параграфе излагаются необходимые определения и теоремы, составляющие основу группового анализа С. Ли, во втором - определение и свойства первого интеграла, подробно рассматривается два алгоритма его поиска - прямой и метод операторов Эйлера высших порядков, проводится их сравнение. Так как оба эти алгоритма дают сопоставимые результаты, но алгоритм Эйлера оказывается существенно более трудоёмким, в основной части работы используется прямой метод. Третий параграф посвящён нётеровым (вариационным) симмет-риям.

Вторая глава посвящена формулировке основной задачи работы, обоснованию выбранного метода исследования, поиску групп эквивалентности рассматриваемых подклассов уравнений 3-го порядка и описанию подклассов, не содержащих "предетаршую" производную у", т. е. автономных уравнений вида

У"'= Р(у,у'), (0.0.6)

имеющих аналог вариационной симметрии. В первом параграфе находятся группы эквивалентности на подклассах у"' = Г(х,у), у'" = = Г(х,у,у') и у"' = Г(х,у,у"). Во втором параграфе доказываются теоремы о существовании (или отсутствии) уравнений подкласса у'" = = имеющих автономный первый интеграл, линейный, квадратич-

ный или кубичный относительно у". В третьем параграфе рассматривается такая же задача для более общего подкласса (0.0.6).

В третье главе излагается исследование подклассов, содержащих "предстаршую" производную у". В первом параграфе исследуются уравнения вида у"' = .Р(г/, у', у")0{у"). Во втором параграфе рассматриваются уравнения, не содержащие первую производную, с линейной или квадратичной зависимостью от у".

Апробация работы. Результаты исследований прошли апробацию на научных конференциях "Герценовские чтения" РГПУ им. А. И. Герцена (ЬХ1У-ЬХУ1, 2011 2013 гг.) и на научных семинарах кафедры математического анализа математического факультета РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы работы [29 - 34], две из которых [29], [31] - в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [29], [30], [31] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Глава 1. Классические симметрийные теории

В этой главе будут изложены теоретические материалы, используемые в дальнейшем для получения новых результатов. Речь идёт о трёх теориях: группового анализа, первых интегралов и вариационных симметрий. Все они по разным аспектам посвящены фундаментальному свойству обыкновенных дифференциальных уравнений - симметрии.

1.1. Групповой анализ (теория Ли).

В истории математики основателем группового метода признан Эварист Галуа (1811 - 1832), который за свою короткую жизнь успел совершить переворот в математике. Как известно, на протяжении 3-х веков (с XVI по XIX век) математики сталкивались с вопросом о возможности выразить корни алгебраического уравнения 5-ой и высших степеней через свои коэффициенты с помощью алгебраических операций и радикала. Это удалось решить в общем виде норвежскому математику Н. X. Абелю (1802 - 1829), который доказал, что общие уравнения 5-ой и высших степеней вообще не разрешимы в радикалах. Остался ещё один вопрос: если задано конкретное алгебраическое уравнение, то сможем ли мы получить информацию о его разрешимости в радикалах? Окончательный ответ на него дал французский математик Галуа. Он определил преобразования (автоморфизмы), сохраняющие все алгебраические операции на пространстве расширения поля рациональных чисел и всех корней алгебраического уравнения. Эти преобразования являются, по сути своей, перестановками на множестве корней. Совокупность всех этих преобразований для конкретного алгебраического уравнения образует группу, и на этой основе поставленная задача была решена. Установив преобразования, меняющие только порядок элементов и сохраняющие все объекты в целом, Галуа при этом уже использует геомет-

рическую идею - симметрию. Тем самым были заложены основы одного из востребованных направлений современной алгебры - группового анализа.

Несмотря на ныне признанную все�