Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АВРАШКОВ ПАВЕЛ ПЕТРОВИЧ

УДК 517.9

АЛГОРИТМЫ СИММЕТРИЙНОГО АНАЛИЗА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

01.01.02. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Орловского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Фёдорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Титов Сергей Сергеевич

Ведущая организация -

Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится 9 июня 2004 г. в 1700 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 5" " мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н., доцент

Липачев Е.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для современного этапа развития науки характерно стремление к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение.

К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрийный принцип в различных отраслях науки, в том числе и в теории дифференциальных уравнений (ДУ). Использование симметрийного подхода в теории ДУ позволяет значительно разнообразить и дополнить существующий набор традиционных методов исследования ДУ и, тем самым, получать о них качественно новую информацию, что особенно важно для тех из них, которые не имеют регулярных методов решения.

В работе рассматриваются ОДУ 3-го порядка. Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и сим-метрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры и, насколько известно, попытки расширения для них понятия га-мильтоновости не привели к осязаемым результатам.

Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметрия ми, чем уравнения четных порядков. В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя).

К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Вместе с тем, растущий интерес к прогнозированию результатов исследования, а также существующая проблема классификации и систематизации изучаемых объектов и их свойств требуют нового подхода к самой постановке задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах, позволяющих найти все ДУ выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида (обратная задача группового анализа), причём наряду с точечными симметриями представляют интерес их нелокальные аналоги, в частности, нелокальные симметрии экспоненциального типа. При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью, давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.

Актуальна постановка обратной задачи и при поиске законов сохранения, поскольку не существует общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и для уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл "наследует" точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).

Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.

Дели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и экспоненциальных нелокальных операторов (ЭНО).

2. Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.

3. Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).

4. Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой заданной структуры.

5. Исследование взаимодействия лиевских симметрий и первых интегралов.

Методика исследования. В работе применяются основные методы современного группового анализа, основанные на совместном применении теории ОДУ и общей алгебры (теория непрерывных групп преобразований).

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

На зашиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрий и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.

2. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мернуЮ алгебру Ли и 12.

3. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами.

4. Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей оту.

5. Доказательство необходимых и достаточных условий существования перво-

го интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида у =Дд:, у). В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по /' первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором Х = гдх + (г1 + а)уду (г * 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.

6. Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида У" =ЛХ>У'У)> допускающих ЭНО вида X = -г\(х,у,у')е^(х'У'У)^ ду.

Теоретическая и тактическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Проведён симметрийный анализ ОДУ 3-го порядка, доказаны основополагающие теоремы о взаимодействии симметрий (теоретический аспект). Выявлены структуры ОДУ 3-го порядка (без предстаршей производной), допускающих понижение порядка с помощью точечных преобразований за счёт допускаемой алгебры Ли соответствующей размерности или имеющихся первых интегралов, найдены новые интегрируемые уравнения, встречающиеся в приложениях (прикладной аспект).

Апробация работы. Основные материалы диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах кафедры высшей математики Орёл ГТУ;

- ежегодных конференциях "Герценовские чтения", С.-Петербург, 1994-99;

- Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", Орёл, 1996;

- Международной конференции "Средства математического моделирования", С.-Петербург, 1997.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6]. В публикациях [1,4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 66 наименований, и 1 приложения. Материал изложен на 109 страницах, включая 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обосновывается актуальность темы исследования, излагается постановка задачи, определяется цель и задачи исследования, вводятся основные понятия, определения теории непрерывных групп и первых интегралов. Определяются понятие дифференцируемого многообразия (позволяющее всякое ОДУ и-го порядка рассматривать как (и+2)-мерное многообразие в продолженном пространстве) и инфинитезимальный оператор, соответствующий точечной однопараметрической локальной группе, а также понятие

экспоненциального нелокального оператора. Формулируется алгоритм решения прямой задачи классического группового анализа (теория Ли). Определение 8 . Пусть V<z R2 — открытое множество. Линейный дифференциальный оператор

Х = ^х,у)дх + ц(х,у)ду, (0.4)

действующий на дифференцируемое отображение F: V-* R2 по формуле

X[F]= ^(х,у)~ + ф,у)^- = 4Fy, (0.5)

ох ду

называется инфинитезимальным оператором группы Ли £ (или, кратко, оператором группы). Определение 17. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю.

Определения, носящие частный характер и необходимые для освещения конкретного материала, приводятся в соответствующих главах.

Первая глава посвящена лиевским симметриям ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной и состоит из двух параграфов. В § 1 рассматривается обратная задача группового анализа — поиск уравнений, априори допускающих некоторую точечную симметрию. Для уравнений указанного класса конструктивно (решением определяющего уравнения относительно функции f) доказана основополагающая

Теорема 1.1. Уравнение вида У" = Ах, У, У) допускает однопараметриче-скую группу Ли £, если и только если её оператор имеет вид

X = + [(r-(x) + а)у + b(x)}dy, (1.9)

а функция /

а) при rix) Ф 0 имеет вид / = r'2E-[0(u,w)+wA+r2r'"u+(ai +аД +rV")K] +Ф0, где г(х) и Ь(х) — произвольные функции, а — произвольная постоянная,

Ф(н,и>) — произвольная функция своих аргументов, Е = Е(х) = е"^ *,

V =V{x)=\r-2bE'xdx, u = r~sE~ly- V, w = £"V -r'r^y-r^b)-aV,

A(x) = Irr" - r'\ Ф0(х) = (r"b - r'b' + rb")r~2 + a(rb' - r'b + ab)r~3;

б)приг(*) = 0иа*0 имеет вид /в ф(х + Ь) -

в) при г(рс) = 0 и а = 0 имеет вид / = Ф(х,у' - ^у) + ^у.

В § 2 рассматривается вопрос о структуре уравнений, допускающих двумерную алгебру Ли точечных преобразований. В соответствии с теоремой 1.1 поставленный вопрос решался отдельно для каждого из трех существующих подклассов уравнений рассматриваемого класса. Доказанные в § 2 теоремы 2.1-2.3 (и следствия из них) показывают, что в классе уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, разрешимых относительно У", существует только 15 подклассов уравнений, допускающих понижение порядка на 2 единицы за счёт допускаемой 2-мерной алгебры Ли Li-

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) ii + Зам + 3а2 и + а3м = Ф(цм + аи) допускает 2-мерную алгебру Ли с операторами Т, = д, и

Т2 = p(i)ö, + Mo + Р - АР)" + ßWK, (2.2)

если и только если функция Ф(и, и) имеет одну из 9 форм, представленных в таблице 1 (см. страницу 8).

Следствие (из теоремы 2.2): Уравнение у'" = у допускает 2-мернуго

алгебру Ли с операторами X, =уду и Х2 = ф(х)Зл + [ф'_у + р(х)]8у (где фир — произвольные функции), если и только если это уравнение имеет одну из 3-х форм:

1) если <р(х) = 0 и р(х) — const * 0, то у'" =у,х¥(х);

о'"

2) если ф(х) = 0 и р(х) t const, то у'" = ^-уу' + (р'у - ру')Ч/(х);

3) если ф(х) Ф 0, то р(х) = 0, а у'" = укр "'[^(w) + ф"'ф2 + (2ф"ф - ф'2)^], где инвариант w = (р/у~] - ф'.

Следствие (из теоремы 2.3): Среди уравнений класса у"' = три (и только 3) подкласса допускают 2-мерную алгебру Ли с операторами X, = Ых)ду и Х2 =[С2 +(С, -C)Jr'A]i(x)Sx +\cy+bh+{c2 +(С, -С) j^'A^'j^:

а) если С, = С, С2 = 0 и h(x) = const* 0, то С * 0, a У" = (у-^y^Vix) + ~~у;

б) если С, = С, С2 = 0 и h(x) Ф const, то

У"'Ц{У'-%У)-[С{У-£ьу)+ЬН]¥{Х)+^У-, (2.61)

(в этом случае Х2 = {Су + bh)dy)\

в) если |С, - С| + |С21 * 0, то

У'" = ¿¿fV'[y(W) + w\f2gdx - - f2g\h'zdx)dx\, (2.62)

где функции Т, b(x), h(x) и постоянная С — произвольны, инвариант w = (y' -jyj^-e- jh'zdx, а функции g, fb f2 и e определяются формулами:

g=i(*)[c2 +(С, -С) Jb~xdx\, fx = А'" + Ц A" + 3^ A',

/а = Я'" + - 3(f)' Е=£(х)не"С| У*.

Вторая глава, состоящая из трёх параграфов, посвящена первым интегралам ОДУ 3-го порядка и их взаимодействию с точечными симметриями.

В § 3 формулируется алгоритм решения обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у". Его применение позволило полностью выявить структуру уравнений, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. (С помощью применённого алгоритма могут быть найдены структуры уравнений, обладающих первыми интегралами полино-

Таблица 1

Уравнения вида и + 3ай + 3а2й + а3и = Ф(и,й + аи), допускающие 2-мерную алгебру Ли

№ Условие на а Вид функции Ф 2-й допускаемый оператор Т2 Коммутатор [ТРТ2]

■ аФ 0 Ф{и,й)-41й+Ъаи~:А + а\зй + Заи 28) 12{3au-2bf3) 12v ' Т2 = е^Цд, + (25 - ЗаиЮ в т ~2 12

2 а — любое Ф(ц и) = ¥(w - kü) + {а+ к)3 и Т2 = еьди кТ2

3 а = 0 Ф{цй) = Ч,[(Зи + 2ку2/3й) Т2 = га, + (Зи + 2к)ди т,

4 в = 0 Ф(и,и) = к2й + (и - 2Ь)'г - ки) |>Э, +(и- 26)5. при * = 0, 2 ~ [ек'[д, + к(и- 26)0.] при к Ф 0. ГТ, при к = 0, [Л Т2 при к Ф 0.

5 а — любое Ф(м, к) = еитЧ>{е-иПЪ(н + За5)) + а3 (и - 65) + агй х _к'(0,-3л5д„) при (/<?, -365 „ при а=0 ГаТ2 при аФ 0, (Т, при а = 0

6 а — любое Ф(цй) = й3л¥{и) + а3и + a2ú т _(е"д, при аФО, 2 |гд, при а = 0 ГаТ2 при а * 0, (Т, при а = 0

7 а — любое 2 Ф(м, и) = ^«""(и + & и)) + + аи) 1е~0,/2(2д,-3аид„) при аФО, [<8, +3иди при а=0 Г-£Т2 при а*0, [Т, при а = 0

8 а — любое Ф(и,й) = йЧ>(^)-а35 т2=(И+5)а„ 0

9 а — любое 1*2т / sL \ „3 ф(ци) = и'-' и1"'(ü+av)J +ау 2«+р--[у2у-(1+2у)б] -у)м + (1 +2у)5 т _[е1Г"{д1 ~а)/д») ПРИ 1 [уГЭ,-Уд„ при а=0 ГауТ2 при }> Т, при а = 0

миальной структуры более высоких степеней, однако трудоёмкость их поиска быстро растёт с ростом степени полинома).

Теорема 3.1. ОДУ 3-го порядка mj&y'" = fix, у, У, у") обладает линейным по/' первым интегралом Р(х,у,у',у") = Q(x,у,у')у" + R(x,у,у'), если и только если функция / является полиномом не выше 2-й степени по у" следующего вида:

fix,У,У,У ) = -"-^-У-----У--Q-•

Теорема 3.2. ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной вида У" =fix, У, У) обладает линейным по У первым интегралом, если и только если Q = ßfoy)» R =U -Qxy' - \Qyya, а функция/является полиномом не выше 3-й степени по У следующего вида:

,, „ Qyy ,3 JQV а , Q» -иу , их

fix,у,у) s -^-у' +-'-у' +-'-у'--—

yv %У,У) lQy 2Q Q Q

(где Qixy) и U= U{x,y) — произвольные функции указанных аргументов).

Теорема 3.3. ОДУ 3-го порядка без промежуточных производных вида У" = fix, у) обладает линейным по У первым интегралом, если и только если Q = Ay + b(x), R=c + b"y - b'y' -jy'2, а функция/дробно-линейна по у и имеет вид:

f(x,y) = - / , Ay+b

где А — произвольная постоянная, а Ь(х) и с(х) — произвольные функции.

Теоремы 3.1-3.3 полностью исчерпывают вопрос об ОДУ 3-го порядка, разрешённых относительно старшей производной и обладающих линейными по У первыми интегралами.

Далее, в лемме 3.1 и теоремах 3.4-3.11 выясняется структура уравнений, обладающих квадратичными по у" первыми интегралами. В частности, для уравнений без промежуточных производных справедлива

Теорема 3.11. Уравнение у'" =fix, у) имеет квадратичный по У первый интеграл

р = ах, У, У)у"2 + Rix, у, у')у" + six, у, У), (3.7)

если и только если Q = Ay2 + b{x)y + с(х), R=U -Qxy' - \Qyy'2,

S * H(x,y) - iUx + 2Qf)y' + \iQxx - Uy)y'2 + }<2хуу'3 +1 ß^y4, где А — произвольная постоянная, Ь(х) и с(х) — произвольные функции, U(xj>) = ий(х) + ut(x)y + b"y2 и вместе с Н(ху) удовлетворяет системе:

\Ну =UXX +3Q f+2Qf, [Hx+Uf = О,

а функция fixy) имеет вид

- rj-5/4

Из теоремы 3.11 вытекает следующий алгоритм поиска уравнений вида у"' =ßx,y), имеющих квадратичный по У первый интеграл (3.7):

1). Задаём функции b и с, определив тем самым функции Q и U;

2). Если известна структура функции / по переменной у, то из 1-го уравнения системы (3.18) находим

Hy=Uxx + 3QJ+2Qfx (3.22)

(если известна структура функции / по переменной х, то из 2-го уравнения системы (3.18) находим Нх = -Uf);

3). Интегрируя полученное выражение по соответствующей переменной, находим функцию Я;

4). Подставляя найденную функцию в другое уравнение, расщепляем его по соответствующей переменной и получаем систему для определения функций Kj(х) и конкретизации функции/.

С помощью этого алгоритма в § 4 проводится исследование уравнений без промежуточных производных на совместное наличие точечной симметрии и первых интегралов, квадратичных по У-

Теорема 4.1. При г{х) Ф 0 среди нетривиальных уравнений класса

У"=Л*,У), (4-1)

допускающих группу Ли с оператором

X = rdI + (rJ + а)уду (4.19)

и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q = Ay2, существует 2 и только 2 подкласса — уравнения вида у'" = Хг~хЕ2у~' и/" = Ъ-шЕ1йу~512, причём первый из них содержит 8 типов уравнений, а второй — 3 типа уравнений.

Теорема 4.2. При r(x) ф 0 среди нетривиальных уравнений класса (4.1), допускающих группу Ли с оператором (4.19) и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q~y2 + D(x), существует 2 и только 2 семейства уравнений — уравнения вида у'" = к]^С^х(к22у2 +С,2х4)~5'4, имеющие первый интеграл

Р=(уу"-12У2)2+к;2\с2(2у-2ху'+хгу")2 +2кх ^{2у-ху'\к2гу2 +C,V)-,/4]

и допускающие лиевский оператор X = х2дх + 2худу,

и уравнения вида у'" = к ¡{к2у2 + \)~Щ, имеющие первый интеграл

P={yy"-\y'2^+k22^y''1-2ki(k2y2+\)~my'^ и допускающие лиевский оператор

Х = дх (здесь и далее: кь к2, С, — произвольные ненулевые постоянные).

Теорема 4.3. При г(х) Ф 0 среди нелинейных уравнений класса (4.1), допускающих группу Ли с оператором (4.19) и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q = Ь(х)у, существует 2 и только 2 подкласса — уравнения вида

У" = к1а(х)ущ, (4.55)

имеющие первый интеграл

Р = (Ь"у - Ъ'у' + Ьу")[у"у -\у'г) + *,[А(ЗЬ'ст + 2Ьо')уМ ~ 2Ьау'шу'] (4.56)

(в котором Ь'" - 0, а а(х) = ЕМг~ш), и уравнения вида

у"' = кх<5(х)у™ ~к2г~1у, (4.57)

причём первый подкласс содержит 7 типов уравнений (собранных в таблице 4*'), а второй — 4 типа уравнений, два из которых имеют вид

/" = к]х~9у12гЮу~т у~ш + (4.58)

обладают первым интегралом Р = Ьуу"2 + (Ь"у2 - Ъ'уУ -\Ьу'2}у" -\Ъ"уу'2 + \Ъ'у'ъ -

-±у8>х 2"г">-3у2[гу' - (г' + 2у5)у] + кхх -^У(ЗН)/4[(г' - уЬ)у - гу')у-у4 и допускают точечный оператор

X = + (г' -уЬ)уду,

а два других имеют вид

у'" = + £у53/--3>>, (4.60)

обладают первым интегралом

Р = ¿у/'2 + (¿У - - -\Ъ"уу'2 + ^у3 -

и допускают точечный оператор X = 9г(х)дх + (9/ - уб)уду (здесь г(х) = Схх2 + &е, 8 * 0, у = ±^3/7, Ь(х) = х^г'^).

Теорема 4.4. При г(х) Ф 0 уравнения класса (4.1) допускают группу Ли с оператором (4.19) и имеют первый интеграл (3.7), в котором Q-c{x), если и только если эти уравнения являются линейными вида у'" = кг~3у+ %(рс).

Теоремы 4.1—4.4 исчерпывающим образом выделяют в классе уравнений без промежуточных производных 24 подкласса нелинейных уравнений, допускающих точечную симметрию и обладающих квадратичными по /' первыми интегралами.

В § 5 рассматривается вопрос о нелинейных уравнениях без промежуточных производных, первые интегралы которых (квадратичные по у"), допускают те же точечные операторы, что и исходное уравнение.

Предварительно доказывается, что (с точностью до группы эквивалентности) нелинейные ОДУ вида у'"=Л.х,у), обладающие квадратичными по у" первыми интегралами (3.7), допускают точечную симметрию с оператором (0.6), если и только если этот оператор имеет вид

X = г(х)д, + (г' + а)уду, (5.1)

где функция г либо имеет вид г(х) = С,*2 + 5х, либо г(х) = 1 и, следовательно,

** Таблица 4 помещена в диссертации и не приводится здесь из-за чрезмерного объёма.

удовлетворяет условию г"' = 0.

Затем, в леммах 5.1 и 5.2 формулируются необходимые и достаточные условия, при которых указанные первые интегралы нелинейных уравнений класса /" = Дх, у) „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Далее, применением леммы 5.2 к выявленным в § 4 подклассам уравнений, в теоремах 5.1-5.4 выделяются 10 подклассов уравнений, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию самого уравнения.

В частности, в теореме 5.1 доказывается, что только для 4-х видов уравнений класса у'" = Хг')Е2у~1 первые интегралы наследуют группу Ли с оператором (5.1) (в котором а*0), причем все квадратичные первые интегралы являются точными квадратами линейных (см. теорему 4.1). Они приведены в таблице 5.

Таблица 5

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

у'^Хе^у'1 (уу"-\Уг-^+С о)2 дх + ауду

у"' = хдг + (\ +у)уду

х2дх + (2х + а )уду

,„ А*2-1 7 ~(С}Х+Ь)^1у [ууну2-^:^ (С,*2 + 8х)дх + + (2С,х + 5 + ду)уду,

Теорема 5.2. При 0=у2 среди уравнений класса у'" = ХгтЕ712у~5П существует 2 (и только 2) вида уравнений (см. таблицу 6), первые интегралы которых наследуют допускаемую самими уравнениями группу Ли с оператором (5.1), причём в этих операторах а = 0.

Таблица 6

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

У" = Хху~5П Х]=х2дх + 2худу

у'" = Хут (уу"-\У2)2-2Ху'у-т+С <ок и ><

Теорема 5.3. При Q=yl + D(x) (где Б = к'2г2) оба вида уравнений класса у'" = Хгт(к?у2 + г2Г — уравнения (4.33)у'" = Хх{1?уг + х4)~™ и уравнения (4.36) у'" = Х(1^у2 + I)"5'4 — имеют первые интегралы (4.34)

Р = ()У"-^У'2)2 +к-2[(2у-2ху' + х2у")2 +2Ц2у-ху'){к2у2 +х*Гш] + С

и (4.37) Р =(уу"-%у'2)2 + *~2[/'2-Щк2у2 + 1)~|ЛУ]+С соответственно, которые наследует допускаемую самими уравнениями группу Ли с операторами (4.35) Х = х*дх + 2худу и (4.38) X = дх соответственно.

Теорема 5.4. При Q = Ь{х)у среди уравнений класса у'" = Хг'У4Е у'514 существует 2 (и только 2) вида уравнений, первые интегралы которых наследуют допускаемую самим уравнением группу Ли с оператором (5.1):

___Таблица 7

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

II <5. Р, =у"(у"у-±у'2)-2\у-1Ну+С X, = Зхдх + 4уду, Х2 = ох

/" = А*-3У5'4 Р,=(хгу"-2ху+2у){у"у-{у1)+ +2Х(2х-1ПуУ4-хту-му)+С X, = 3 хдх + 2уду, Х2 = х2дх + 2ху8у

Из теорем 5.1-5.4 следует, что „наследование" точечных симметрий первыми интегралами уравнений 3-го порядка оказывается не таким уж редким явлением, как можно было ожидать.

В третьей главе (состоящей из двух параграфов) рассматривается решение обратной задачи группового анализа уравнений 3-го порядка без пред-старшей производной, допускающих нелокальную симметрию с оператором, имеющим экспоненциальную структуру.

Сначала, в § 6, вводятся определения канонической формы оператора (0.4) и канонического ЭНО, формулируются их основные свойства и выводится развёрнутая форма определяющего уравнения для канонического ЭНО уравнения 3-го порядка.

Определение 6.2. Оператор

Х = ф,у,у')е> 8у

(6.3)

(в котором г)(х, у,/) и фс, у, У) — гладкие функции) будем называть каноническим ЭНО (1-го порядка).

Затем в § 7 рассматривается вопрос о структуре уравнений без предстар-шей производной, априори допускающих группу Ли с каноническим ЭНО (6.3).

Лемма 7.1. ОДУ 3-го порядка вида у" =Дх, у, у') допускает нелокальную симметрию с оператором (6.3), если и только если функция

г\(хуУ) = а(ху)у2 + Ь(ху)У + с(хУ), ' (7.2)

а функция

А(х,у)У + В(х,у)

А(х,у)цг +В[х,у)-ЬуЬ'гц

Л(х,у) . В(х,у) , ауЬ ауу' +1ах +Ьу

Л л" 4«

А(х,у)Цу В(х,у)(11-2Д)

2а

при Г\у а О,

при т\уФО, Луу=0, при т)уу, Ф О, Д = О,

(7.3)

2я"У

Д"У

+^г[(^-^)(8А2-4Дл-Л2)-^Лу(8Д2 + П2)] при т^Д^О,

(здесь Д = Д(х, у) г (4ас~Ь2)/4а). При этом функции .ДхуУ), а(ху\ Ь(ху\ А(х,у\ В(ху) связаны уравнениями С^'У) - г\/у, + Злу/= О,

(ХЧ'У)ЦуУ'Уу3(Т1УС+ +ту/)]/= о, где

СКхгУУ) = + + 3[лсд + ЛуС2 + + + Ч + + Л* + Пч/] +

+ РлС^ + 3(4^ + ЛуС, + + Г]уу + 2Цхуу,)]у' + Г]т,у'2, (7.6)

а у, /) = л(С3 + 3«, + С„) + 3 лд(С2 + У + Зт^ + ти +

+

{2 + 3[лСС, + П/С2 + д + + 2л^ + л + + [лС^+З(л^+V; + л,»,)]/2 + л„/3-

Теорема 7.1. ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной вида у'" =Дх, у, у') допускает канонический ЭНО (6.3), в котором если и

только если функции л. С и/ удовлетворяют условиям леммы 7.1 и функция/ имеет вид:

Ф(х,у)+¡0{х,у,у')т]-}с1у' при л,у3 0. Ях,у,у') = \ ' . (7.12)

р(х,у,у')Цуф>^ при Т]уу Ф О,

где Ф(х,у) — произвольная функция своих аргументов, а функция (7 определяется формулой (7.6).

Теорема 73. ОДУ 3-го порядка вида у"' у,у') допускает нелокальную симметрию с оператором (6.3), в котором Л/ 3 0, если и только если этот

оператор имеет вид X = а~'(ау + Р)е°' ^<а>,+11) а функция / определяется формулой

/(*,»/), (ау + Р)Ф(х,и) - ^ - - ^^ -4а?2и +

ау + р За(ау + Р)

| (баа'а"- 2а'3- а2а"')у + Заа'р" + 3(аа"- 2а'2)Р' - а2р"' ^ +

а3

3(2а'2-аа")у -Заа'у' + а2у" |2у(а'у-ау') 10у3

За3 (ау + Р) + За2(ау + Р)4 27а(ау + Р)7'

где Ф(х,и), а(х), Р(х), у(х) — произвольные функции указанных аргументов

у' а'у+р' и=—— + —-——+-

(а Ф 0), а инвариант »- . , .

ау+Р а(ау+р) За(а>-+р)

Исследование нелокальных симметрий, таким образом, даёт нам ещё несколько (существенно отличных от найденных в главе 1) классов уравнений,

обладающих непрерывными симметриями. В частности, если в уравнении вида у" =/(х, у, у') с правой частью (7.24) функция Ф(х,и) является алгебраической, то мы имеем принципиально новый вид уравнений 3-го порядка с рациональной правой частью, обладающих нетривиальной симметрией.

В заключении диссертации подводятся итоги и формулируются основные результаты.

В приложение вынесено доказательство теоремы 4.3, поскольку оно принципиально не отличается от доказательства теорем 4.1-4.2 и помещение его в основной текст диссертации перегрузило бы его излишними подробностями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аврашков П.П. Лиевские симметрии и первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.44-49.

2. Аврашков П.П. Об одном алгоритме третьего поколения поиска первых интегралов одного класса дифференциальных уравнений. / Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.50-53.

3. Аврашков П.П. О нелокальных симметриях одного класса дифференциальных уравнений 3-го порядка. Тезисы доклада. / Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений: Сборник трудов международной конференции. -ОГУ-Орёл, 1996. С.58-59.

4.Аврашков П.П. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, допускающих двумерную алгебру Ли. / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // Сборник научных трудов, том 13, -Орел: ОрелГТУ, 1998. С.8-14.

5. Аврашков П.П. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих линейным по у" первым интегралом. / Известия ОрелГТУ. Математика. Механика. Информатика. -Орел: ОрелГТУ, 2000. - № 3. С.5-7.

6. Аврашков П.П. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, обладающих лиевскими симметриями и первыми интегралами / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // "Дифференциальные уравнения и процессы управления", No.4, 2003, С.1-25. - Эл.ж. Рег.н.: П23275 от 07.03.1997. - http://www.neva.ru/ journal.

Подписано к печати 30 апреля 2004 Объем 1 печ. л. Тираж 70 экз. Заказ №

Отпечатано в типографии ОрелГТУ 302020, г. Орёл, ул. Московская, 65

i - p A 1

РНБ Русский фонд

2005-4 5070

Введение.

Глава 1. Лиевские симметрии ОДУ 3-го порядка.

§ 1. ОДУ 3-го порядка, допускающие однопараметрическую группу Ли.

§ 2. ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли.

Глава 2. Первые интегралы ОДУ 3-го порядка.

§ 3. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих первым интегралом.

§ 4. ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускающие лиевские симметрии.

§ 5. ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские симметрии.

Глава 3. Нелокальные симметрии.

§ 6. Нелокальные операторы: общие свойства.

§ 7. Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка.

Работа посвящена исследованию симметрийных свойств гладких многообразий, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.

Для современного этапа развития науки характерно стремление к всесто роннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение. К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям.

В широком смысле слова симметрия означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т.е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики.

Большинство современных моделей в прикладных науках описываются дифференциальными уравнениями, и одним из наиболее перспективных направлений для изучения симметрийных свойств дифференциальных уравнений, построения точных решений и получения нечисловой информации о дифференциальном уравнении является современный групповой анализ, включающий в себя как классический подход С. Ли, так и исследование законов сохранения, дискретных симметрий и (в последнее время) нелокальных аналогов классических симметрий.

Для целей группового анализа оказывается существенной и удобной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Понятие многообразия (впервые предложенное Риманом) является многомерным обобщением понятия поверхности без особых точек. Его первоначальное появление было вызвано потребностями геометрии и топологии. В настоящее время фундаментальное значение (не только в геометрии, но и в анализе) приобрели гладкие многообразия — локально евклидовы пространства, наделённые дифференциальной структурой.

Следуя работам Овсянникова JI.В. [50] и Ибрагимова Н.Х. [39-40], приведем (в формулировках, достаточных для данного исследования) основные понятия, определения и алгоритм классического группового анализа, разработанного в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли.

Определение 1 [48]. Топологическим многообразием размерности п называется хаусдорфово (т.е. отделимое) топологическое пространство М, в котором каждая точка х еМ обладает окрестностью U, гом;еоморфной открытому множеству пространства R". Для использования на многообразии понятий математического анализа на нём вводят дополнительную структуру. !

Определение 2 [9,48]. Топологическое многообразие М вместе с; (конечным I или счётным) набором подмножеств UaczM и взаимно однозначных функций фа: £/а—» фа( Uа) (называемых локальными координатами) называется дифференцируемым (или гладким) многообразием, если

1) совокупность всех Ua покрывает М: [jUa = М; а

2) для пересечения любой пары окрестностей UafWp Ф 0 композиция отображений

Фр ° фа-1: фа(£4П£/р) -» Фр(£4П£/р) является гладкой функцией (принадлежит классу С^). Далее под многообразием будем понимать гладкое связное многообразие. Определение 3 [17]. Общим решением ОДУ п-то порядка

F(x,y,y',.,/n)) = 0 (0.1) будем называть «-параметрическое семейство функций класса С^ f(x,y,Ci,.tCJ = 0, (0.2) зависящих от п функционально независимых произвольных констант С1? .Сп и обращающих уравнение (0.1) в тождество по х.

Пусть (0.2) — общее решение уравнения (0.1).

Определение 4 Г171. Формальная кривая J:(x,y) = 0, получающаяся из (0.2) произвольной фиксацией констант Съ ., С„, называется частным решением ОДУ (0.1).

Пусть V a R — открытое множество, а А — интервал в R, симметричный относительно нуля, и пусть задана локальная однопараметрическая группа 2

Ли £ [50] точечных преобразований ста: Fx А —> R :

Г x=g{x,y,a\ у = п(х,у,а).

Она определяет касательное векторное поле г|) с координатами да ^ dh да а=о а= О

Определение 5 [50]. Линейный дифференциальный оператор

X = ф, у)дх + ф, у)ду , (0.4) 2 действующий на дифференцируемое отображение F: V —> R по формуле +Щ, (0.5) называется инфинитезималъным оператором группы Ли £ (или, кратко, оператором группы). Переход от группы Ли £ к ее касательному векторному полю г|) (или, что то же самое, к ее оператору X) линеаризует многие задачи, что и создает возможности для эффективного применения группового анализа дифференциальных уравнений. Существует взаимно однозначное соответствие между группой Ли £ и ее оператором X: группа "восстанавливается" [41] по заданным координатам Е, и Г| оператора X с помощью так называемых уравнений Ли: dg da dh

Определение 6 [40]. Функция F: R —> R называется инвариантом группы

Ли L точечных преобразований (0.3), если для любых (х, у; а) е 2 eR хА выполняется т.е. F постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками х,у . Известен (например, [50, 39]) следующий критерий инварианта: Функция F: R —> R класса

C<V является инвариантом группы Ли £ с оператором X = Цх,у)дх + Г|(х, у)ду, если и только если для любых х и у выполняется равенство

X[F] = 0. (0.6)

Из (0.6) следует, что всякая однопараметрическая группа Ли. точечных преобразований плоскости имеет один независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла J(x, у) = С сопряженного с (0.6) ОДУ (уравнения характеристик) dx dy

Ф,У) Л (х,у)' Любой другой инвариант тогда является функцией от J.

Понятие инварианта естественным образом распространяется на дифференциальные выражения F(x,y,y'), F(x,у,у',у") и т.д., если продолжить оператор X на новые переменные у', у",. .

Используя оператор полного дифференг^ирования

Ъх = дх + у'ду + у"ду.+(0.7) запишем формулы преобразования производных у', у", у'",. под действием точечных преобразований (0.3), рассматриваемых как формулы замены переменных: = = (0.8) dx & +

0.9) оЛя] & + gyy dy" Dм ях+дуУ + дуУ" + дуУ" f , „ ,„ ■ dx Vx[g] gx+gyy и так далее. Заметим, что в р, q, г, . входят нелинейные комбинации функций g, h и их производных. Добавление формулы (0.8) к группе L преоб-* разований (0.3) даёт продолженную группу £, действующую в продолженном пространстве 3-х переменных х,у,у'; после добавления формулы; (0.9) получим дважды продолженную группу L, действующую в продолженном пространстве 4-х переменных х, у, у', у", и так далее.

При этом координаты продолженного инфинитезимального оператора

Х = ^дх+Г\ду+ Qdy +. к раз продолженной группы L могут быть найдены по известным [50, 40] рек куррентным формулам продолжения:

C^Dj^-il-^D.M' Со^Л- (0.10)

Вместо (0.10) можно пользоваться явной формулой: C,k = D*[r| - + , в которой Т)кх — к-я степень оператора (0.7)). В частности, у-Ш-£,УУ'2, (0.11)

С2 = Лхг- + - ЫУ + (У]уу ~ 2ЪуУ2 - W'3 + Ob 3t,yy')y", (0.12)

Сз = Л*** + ОЦхху - £ит)У + ЧЦхуу - ЪхуУ2 + (У\ууу - З^суу)у'Ъ - W4 +

3[Сп^ - U + (тъ, - з^у - Ц»У2 1У" - з^У'2 + 0v - 3^ - 4^УУ". (0.13) т Очевидно, что координаты продолженного оператора X выражаются линейк н о через Т| и их частные производные.

Определение 7 [50]. Инварианты продолженной группы £ называются к дифференциальными инвариантами группы £.

Если обозначить через Z& пространство алгебраически независимых переменных х,у,у',.,у(/с) (оно называется к-м продолжением пространства R2(x,у)), то дифференциальные инварианты представляют собой отображения ^Z^PCR.

Определение 8 [50]. Инвариант группы £, фактически зависящий от у{к\ нак зывается дифференциальным инвариантом к-го порядка группы L. (В этом смысле все инварианты группы L являются её дифференциальными инвариантами нулевого порядка).

В силу приведенного выше критерия (0.6) все дифференциальные инварианты F не выше k-то порядка группы £ являются решениями дифференциального уравнения в частных производных

X[F]= 0. к

Введенное понятие продолженного пространства позволяет рассматривать ОДУ Аг-го порядка х,у,У,-,Л = 0 (0.14) как многообразие Т в пространстве Zk (т.е. множество тех точек пространства Z&, для которых выполняется равенство (0.14). В этом случае равенство (0.14) называют уравнением многообразия VF1). Если ранг отображения. ц>: Zk -» RJ равен s во всех точках пространства Z^ то уравнение вида (0.14) называют регулярным, а задаваемое им многообразие Т —регулярно заданным многообразием.

Справедлив [50] следующий критерий инвариантности: многообразие ¥ cz Zk, регулярно заданное уравнением (0.14), инвариантно относительно группы £, если и только если

1 Так называемый неявный способ задания многообразия.

Х[\1/]|ч>=0, (0.15) где X — оператор группы £, а знак | заменяет слова „на многообразии и означает, что равенство верно для точек (х, у, у',., y^eW. Определение 9 [50]. Говорят, что ОДУ п-го порядка (0.1) допускает группу jС точечных преобразований (0.3), если многообразие Ф czZn, заданное этим уравнением, инвариантно относительно п раз продолженной группы £, т.е. если п

F(x,у,У\.,) = F(x,y,у', .,yin)) (при этом многообразие Ф называют дифференциальным инвариантным многообразием группы £, а про саму группу X и её оператор X говорят, что они допускаются уравнением (0.1)).

В связи с этим определением возникает одна из основных задач классического группового анализа: найти все группы £ точечных преобразований плоскости (все операторы X), допускаемые заданным ОДУ.

Решение этой задачи вытекает из определения 8 и критерия (0.15) инвариантности многообразия: ОДУ (0.1) допускает группу £, если и только если

X[F] 0, (0.16)

F=0 причем условие инвариантности (0.16) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля (£, Г|). Структура этого уравнения полностью определена алгоритмом его построения и зависит только от заданного уравнения (0.1).

Определение 10 [40]. Уравнение (0.16) называется определяющим уравнением.

Таким образом, процесс формирования определяющего уравнения (0.16) состоит из 3-х этапов: (а) вычисление (по формулам продолжения) координат продолженного оператора X; (Ь) действие полученным оператором на функп цию F; (с) переход на многообразие, заданное уравнением F - 0 (для.ОДУ в явной форме: у{п)=Лх,У,У',:.,У(п-])) (0.17) достаточно заменить у(п> на правую часть уравнения — функцию fix,у,у',.,У""1-1)); после чего результат приравнивается к нулю.

Из-за своего происхождения определяющее уравнение обладает рядом свойств, делающих его самостоятельным объектом исследования.

Во-первых, в силу алгебраической независимости переменных/,., у^'1\ оно (при п > 1) всегда "расщепляется" по одной из них, распадаясь на несколько независимых уравнений, становясь переопределенной системой дифференциальных уравнений (в частных производных) для и г\.

Во-вторых, все уравнения этой системы линейны и однородны относительно Н, и г), что существенно облегчает её решение.

В-третьих, из линейности и однородности этих уравнений вытекает, что множество решений определяющего уравнения образует линейное векторное пространство, причем оказывается, что это векторное пространство L обладает структурой конечномерной алгебры Ли [40]. Нам потребуется определение разрешимой алгебры Ли.

Определение 11 [40]. Алгебра Ли Lr называется разрешимой, если существует ряд Lrz^Lr-x id . zdLy подалгебр размерностей г, г - 1, ., 1 соответственно, в котором каждая подалгебра Zsj является идеалом в Ls

Поскольку знание оператора X, допускаемого ОДУ порядка п, позволяет понизить порядок этого уравнения на 1 (путем перехода к так называемым каноническим переменным t и и, для которых Х[/] = 1, X[w] = 0, а допускаемая группа Ли L является группой переноса: 7=t + a, и = и), то для интегрируемости такого уравнения в квадратурах (методом понижения порядка) нужно, чтобы оно допускало разрешимую и-мерную алгебру Ли.

Таков (схематично) алгоритм решения прямой задачи группового анализа для ОДУ п-то порядка, позволяющий (при наличии «-мерной разрешимой алгебры Ли) решить уравнение (0.1) в квадратурах, последовательно понижая порядок.

Другой путь изучения симметрий ОДУ предоставляют первые интегралы.

Определение 12 [48]. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для ОДУ 1-го порядка первый интеграл есть функция Ф(х,у), находящаяся в левой части общего решения Ф(х, у) = С, где С — произвольная постоянная.

Для ОДУ 72-го порядка вида (0.17) первый интеграл есть функция Ф(х, у, у',.У"-1),С), удовлетворяющая уравнению

В,[Ф]|,<.)=/ = <> (0.18) с частными производными 1-го порядка.

Первый интеграл определяется не единственным образом (так как любая функция от первого интеграла есть снова первый интеграл) и может не существовать во всей области задания уравнения (0.17), однако в любой окрестности точки, в которой функцияДх,у,у',.,У'непрерывно дифференцируема, он всегда существует [9, 48].

Порядок ОДУ может быть понижен на к единиц, если известны к независимых первых интегралов этого уравнения, путем исключения старших производных из системы г -\,к, к < п.

Функцииfvf2,.,fk от п переменных каждая называются фунщиоиалъно незаd(ff f) висимыми, если матрица Якоби 1 2)" имеет ранг к).

Расширение понятия точечных преобразований (0.3) приводит к касательным (или контактным) преобразованиям: х = <р(х,у,у';а), у = ц/(х,у,у';а), у' = %(х,у,у';а), действующим в пространстве VxA (где V dZx), и к преобразованиям Ли— Беклунда (порядка к): z = g(x,y,y',.,yik)), у = h(x,y,y',.,yw) (0.19) с соответствующими условиями обратимости. В общем случае обращением локального преобразования (0.19) будет нелокальное преобразование, которое, наряду с переменными х,у,у',.,у^ продолженного пространстваZk, будет содержать нелокальные переменные, возникающие при нелокальной операции — интегрировании.

Нелокальные переменные не представимы в виде конечной суммы натуральных степеней оператора полной производной D "[>>], но могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Dx[y]. Более удобным, однако, часто оказывается интегральное представление нелокальных переменных, эквивалентное отрицательным степеням оператора полной производной Бл.[у]: f(x,.У,у',.,yw)dx s d;1 [f(x,y,у',.,yw)], Dx[d;1 [/]] EE /. Определение 13. Преобразование вида = g(x,y,y',.,y(k\ f/;(*,у,y(l))dx),

0.20) у = Цх> У, У', ■ - •> Уw ,\f2(x,y,y',., y(l} )dx) называется нелокальным преобразованием.

Частным случаем нелокального преобразования (0.20) является преобразование, характеризуемое экспоненциальным нелокальным оператором. Определение 14. Оператор вида

X = е№(&х,у)дх + Ц(х,у)ду), (0.21) где С> = С,(х,у,у',.,у{к)), будем называть экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО) /с-го порядка.

Очевидно, что ЭНО является линейным дифференциальным оператором, действующим по формуле, аналогичной формуле (0.5) для точечного оператора (0.4). Отличие его от точечного состоит в том, что оператор (0.4) действует на плоскости (х,у), а оператор (0.21) — в продолженном пространстве Zk переменных х, у, у',., у{к).

С момента появления ЭНО в научной литературе эффективность их применения ставилась под большое сомнение. В известных работах Н.Х. Ибрагимова [40, 41] на примере поясняется один из путей возникновения ЭНО и кратко обсуждаются его свойства. При этом Ибрагимов называет неудачной попытку понижения порядка, приведшую к появлению ЭНО.

В монографии П. Олвера [51] имеются конструктивные идеи по использованию ЭНО для понижения порядка и интегрирования дифференциальных уравнений, но высказана опрометчивая мысль, что с ЭНО можно обращаться так же, как и с операторами точечных преобразований.

Своё дальнейшее развитие теория ЭНО получила в работах В.Ф. Зайцева [23, 24, 30, 31]. В частности, показано, что наличие ЭНО позволяет факторизо-вать ОДУ к системе специального вида, что позволяет классифицировать случаи интегрируемости, не прогнозируемые классическим алгоритмом Ли.

Известно [39-41], что теория Ли позволяет классифицировать классические случаи интегрируемости ОДУ. В то же время существуют [41] интегрируемые уравнения, не подпадающие под классификацию Ли, причём поиск первых интегралов и симметрий более высокого порядка также не приводит к интегрированию таких уравнений. В соответствии с общим симметрийным принципом [23, 24] они должны обладать некоторыми симметриями, отличными от классических (точечных, касательных, Ли-Беклунда). Поэтому вопрос о применимости неклассических симметрий можно начать с исследования ЭНО как (простейшего) нелокального аналога классических симметрий.

Актуальность темы. В работе изучаются свойства гладких многообразий, заданных ОДУ 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.

Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и симметрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры [51] и, насколько известно, попытки расширения для них понятия гамильтоновости не привели к осязаемым резуяьта-. там.

Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметриями, чем уравнения четных порядков. Например, Ланкеровичем М.Я. [46] показано, что существует един

3 и"2 ственное (с точностью до эквивалентности) ОДУ 3-го порядка: и'" =--, не

2 и' эквивалентное уравнению и'" = 0 и допускающее 6-мерную алгебру Ли L6 (на 1 меньше максимально возможной размерности); 5-мерную же алгебру Ли L5 допускают лишь ОДУ 3-го порядка, эквивалентные линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.

В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя [34]). Поэтому для симметрийного анализа необходимо использовать все возможные методы, которые доступны в современной математической практике.

К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах 3-го поколения, которые позволяют найти все дифференциальные уравнения выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида {обратная задача группового анализа). При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью, давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.

Так как задача поиска первых интегралов, описывающих законы сохранения, для уравнения (0.17) сводится к решению уравнения (0.18) в частных-производных, то, как известно, не существует общих методов его решения и, соответственно, общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и для уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл "наследует" точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).

Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.

Цели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и ЭНО.

2. Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.

3. Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).

4. Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой заданной структуры. 5. Исследование взаимодействия лиевских симметрий и первых интегралов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрий и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.

2. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мерную алгебру Ли Lx и L2- j I

3. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го i порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. i I

4. Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей от у".

5. Доказательство необходимых и достаточных условий существования первого интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида у'" -fix, у). В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по у" первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором X = гдх + (г' + а)уду (г Ф 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.

6. Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих ЭНО вида X = г\(х,у,у')е^х'У'У )скду.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах кафедры высшей математики ОрёлГТУ;

- ежегодных конференциях'Терценовские чтения", С.-Петербург, 1994-99;

- Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", Орёл, 1996; - Международной конференции "Средства математического моделирования", С.-Петербург, 1997.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6]. В публикациях [1, 4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение обратной задачи группового анализа уравнений вида У" =fix> У, У) позволило исчерпывающим образом описать все уравнения этого класса, допускающие 1- и 2-мерную алгебру Ли. В частности, показано, что существует только 15 подклассов уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих понижение порядка на 2 единицы с помощью точечных преобразований.

Решение обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у", выявило структуру всех уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами.

С помощью разработанного алгоритма изучено взаимодействие квадратичных по у" первых интегралов и классических (лиевских) симметрий для уравнения вида у'" =fix, у). Выявлены все подклассы уравнений без промежуточных производных (среди них 24 подкласса нелинейных уравнений), одновременно допускающих точечную симметрию (с . оператором X = гдх + (г' + о1)уду, где г(х) Ф 0) и первый интеграл вида Р = Qy"2 + Ry" + S.

Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях, при которых нелинейные уравнения вида у'" = fix, у) обладают квадратичными по у" первыми интегралами, „наследующими" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Порядок таких уравнений (их оказалось 10 из 24) может быть понижен на 2 единицы с помощью точечного преобразования. Два из этих уравнений (у'" = Ху~514 и У" = ЪГ3/2у~5/4) имеют первые интегралы, наследующие обе точечные симметрии, допускаемые самими уравнениями, и, следовательно, интегрируются в квадратурах с помощью точечных преобразований.

Получено полное решение обратной задачи симметрийного анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих канонический ЭНО 1-го порядка. Наличие нелокальной симметрии позволяет нам факторизовать уравнения этого класса к системе 2-х уравнений специального вида. Если решается именно 1-е уравнение такой системы, то мы получаем понижение порядка исходного уравнения, принципиально не сводящееся к лиевскому понижению порядка с помощью точечного (и вообще локального) преобразования.

1. Авраппсов П.П., Зайцев В.Ф. Лиевские симметрии и первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений / Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.44-49.

2. Аврашков П.П. Об одном алгоритме третьего поколения поиска первых интегралов одного класса дифференциальных уравнений./ Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.50-53.

3. Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, допускающих двумерную алгебру Ли./ Сборник научных трудов, том 13, -Орел: ОрелГТУ, 1998. С.8-14.

4. Аврашков П.П. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих линейным по у" первым интегралом. / Известия ОрелГТУ. Математика. Механика. Информатика. -Орел: ОрелГТУ, 2000. № 3. С.5-7.

5. Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, обладающих лиевскими симметриями и первыми интегралами // "Дифференциальные уравнения и процессы управления", No.4, 2003, С. 1-25.

6. Эл.ж. Рег.н.: П23275 от 07.03.1997. -http://www.neva.ru/journal.

7. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Харьков, ОНТИ, 1939.-719 с.

8. Аладьев В.З., Тупало В.Г. Алгебраические вычисления на компьютере. — М.: 1993.-248 с.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3-е изд. М.: Наука, 1984. -272 с.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1986. -544с.

11. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. -М.: Мир, 1971.-247 с.

12. Гурин Н.И., Скоморохов А.Г. Аналитические вычисления в системе REDUCE: Справочное пособие. -Мн.: Наука и техника, 1989. -119 с.

13. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра / Пер. с франц. -М.: Мир, 1991. -352 с.

14. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. -176 с.

15. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений: изд. 3-е, переработанное и дополненное. —Минск: Наука и техника, 1979.-74-4 с.

16. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Группы преобразований на плоскости. Учебное пособие к спецкурсу. 4.1. -СПб., 1996. -40 с.

17. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы. Учебное пособие к спецкурсу. 4.2. -СПб., 1996. -40 с.

18. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. дис. .докт. ф.-м.наук. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1992.-24 с.

19. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, № 3. С.379-387.

20. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. -Л.: ЛГПИ, 1989. -80 с.

21. Зайцев В.Ф. Дискретно—групповые методы теории дифференциальных уравнений, ч.1. -Л.: ЛГУ. ВИНИТИ № 5739-82 Деп. 22.11.82. -120 с.

22. Зайцев В.Ф. К вопросу о конечных группах преобразований нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Дифференциальные уравнения, сборник трудов матем. кафедр пединститутов РСФСР, вып.7. -Рязань, 1976.-С.57-62.

23. Зайцев В.Ф. Нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений // Моделирование процессов управления и обработки информации. -М.: МФТИ, 1994. -С. 190-199.

24. Зайцев В.Ф. Обобщения и аналоги уравнения Ермакова. Межведомств, сб.

25. Моделирование процессов управления и обработки инф.", -М., МФТИ, 1996, с.170-173.

26. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений//ДАН СССР, 1988, т. 299, № 3.-С.542-545.

27. Зайцев В.Ф. Построение точной модели, обладающей некоторой точечной симметрией // Математическое моделирование, 1995, т.7, № 5. -С.12-14.

28. Зайцев В.Ф., А. Перес Лопес, Хакимова З.Н. и др. Современный групповойанализ: методы и приложения. Дискретно-групповой анализ, препринт № 107.-Л.: ЛИИАН, 1989.-58 с.

29. Зайцев В.Ф., Исина Н.К. О нелокальных преобразованиях и инвариантах дискретных групп преобразований //Дифференциальные уравнения и их приложения. -Тула: ТулПИ, 1988. -С.21-27.

30. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповые методы теории дифференциальных уравнений, ч. 2. -Л.: ЛГПИ. ВИНИТИ № 3720-85 Деп. 29.05.85.-150 с.

31. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. К теории экспоненциальных нелокальных симметрий дифференциальных уравнений //Сборник научных трудов. -Т.8.-Орел: ОрелГТУ, 1996.-С.З8-43.

32. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. Теорема о факторизации и синтез дифференциальных уравнений./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 -6с. -Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3069 -В 97.

33. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики, препринт № 339. -М.: ИПМ АН СССР, 1988. -44 с.

34. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. -М.: Международная про* грамма образования, 1996. -496 с.

35. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике, точные решения. -М.: Наука, 1993.-464 с.

36. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения. —М.: Физматлит, 1995. -560 с.

37. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы, препринт № 84. -Л.: ЛИИАН, 1988.-66 с.

38. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. —Л.: Изд-во ЛИИАН, 1991.-240 с.

39. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В., Хакимова З.Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений, препринт № 105.-Л.: ЛИИАН, 1989.-61 с.

40. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. -М.: Знание, 1989. -48с.

41. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН РАН, 1992. -Т.47, вып.4 (286). С.83-144.

42. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Знание, 1991. -48 с.

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер с нем. Под ред. Н.Х. Розова: Изд. 5-е. —М.: Наука, 1976. -576с.

44. Кострикин А.И. Введение в алгебру. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1977. -496с.

45. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. -М.: Наука, 1973. -400 с.

46. Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. -М.: Наука, 1974.-160 с.

47. Ланкерович М.Я. Об одном классе дифференциально-инвариантных решений. Автореф. дис. .канд. ф.-м.наук. -Л.: ЛГУ, 1984. -19с.

48. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Изд.З-е. -М.: Высшая школа, 1967. -564 с.

49. Математическая энциклопедия / Гл. ред. Виноградов. -М.: Советская Энциклопедия. т.2, 1979. 1103 стб.; т.4, 1984. 1216 стб.

50. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. -М.: Мир,1981. -342с.

51. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -400 с.

52. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям /Пер. с англ. Под ред. А.Б. Шабата. -М.: Мир., 1989. -639 с.

53. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А.Д. Мышкиса, О.А. Олейник. -М.: изд-во МГУ, 1984. -296с.

54. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.-М.: Гостехиздат, 1954.

55. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 5-е изд. -М.: Наука, 1982.-331 с.

56. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. -М.: Наука, 1982. -447 с.

57. Синцов Д.М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. -Харьков, 1913. 388 с.

58. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. —М.: Гостехиздат, 1953.-468 с.

59. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. -М.: изд-во МГУ, 1989. -353с.

60. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых дифференциальных уравнений. -Изд. "Факториал", . изд. Удмуртского гос. ун-та "Просперус", 1995. -448 с.

61. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. —М., —Л.: Гостехиздат, 1940. -396 с.

62. Эйлер Л. Интегральное исчисление / Пер. с латинского С.Я. Лурье и М.Я. Выгодского. Т.1. -М.: Гостехиздат, 1956. -415 с.

63. Hearn А.С. REDUCE. User's Manual (version 3.2). -Santa Monica: The Rand Corporation, 1985.

64. Lie S. Vorlesungen uber continuierliche Gruppen. -Leiptzig: Teubner, 1893. -805 s.

65. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Discrete group methods for integrating equations of non-linear mechanics. -Boca Raton, CRC Press, 1994. -312 p.

66. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. -Boca Raton, CRC Press, 1995. -721 p.

67. Schwarz F. Automatically Determining Symmetries of Partial Differential Equations //Computing, 34, 1985, p.91-106.