Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Аврашков, Павел Петрович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Орел МЕСТО ЗАЩИТЫ
2004 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка»
 
Автореферат диссертации на тему "Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка"

На правах рукописи

АВРАШКОВ ПАВЕЛ ПЕТРОВИЧ

УДК 517.9

АЛГОРИТМЫ СИММЕТРИЙНОГО АНАЛИЗА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

01.01.02. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Орловского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Фёдорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Титов Сергей Сергеевич

Ведущая организация -

Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится 9 июня 2004 г. в 1700 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 5" " мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н., доцент

Липачев Е.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для современного этапа развития науки характерно стремление к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение.

К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрийный принцип в различных отраслях науки, в том числе и в теории дифференциальных уравнений (ДУ). Использование симметрийного подхода в теории ДУ позволяет значительно разнообразить и дополнить существующий набор традиционных методов исследования ДУ и, тем самым, получать о них качественно новую информацию, что особенно важно для тех из них, которые не имеют регулярных методов решения.

В работе рассматриваются ОДУ 3-го порядка. Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и сим-метрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры и, насколько известно, попытки расширения для них понятия га-мильтоновости не привели к осязаемым результатам.

Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметрия ми, чем уравнения четных порядков. В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя).

К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Вместе с тем, растущий интерес к прогнозированию результатов исследования, а также существующая проблема классификации и систематизации изучаемых объектов и их свойств требуют нового подхода к самой постановке задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах, позволяющих найти все ДУ выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида (обратная задача группового анализа), причём наряду с точечными симметриями представляют интерес их нелокальные аналоги, в частности, нелокальные симметрии экспоненциального типа. При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью, давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.

Актуальна постановка обратной задачи и при поиске законов сохранения, поскольку не существует общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и для уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл "наследует" точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).

Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.

Дели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и экспоненциальных нелокальных операторов (ЭНО).

2. Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.

3. Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).

4. Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой заданной структуры.

5. Исследование взаимодействия лиевских симметрий и первых интегралов.

Методика исследования. В работе применяются основные методы современного группового анализа, основанные на совместном применении теории ОДУ и общей алгебры (теория непрерывных групп преобразований).

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

На зашиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрий и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.

2. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мернуЮ алгебру Ли и 12.

3. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами.

4. Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей оту.

5. Доказательство необходимых и достаточных условий существования перво-

го интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида у =Дд:, у). В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по /' первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором Х = гдх + (г1 + а)уду (г * 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.

6. Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида У" =ЛХ>У'У)> допускающих ЭНО вида X = -г\(х,у,у')е^(х'У'У)^ ду.

Теоретическая и тактическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Проведён симметрийный анализ ОДУ 3-го порядка, доказаны основополагающие теоремы о взаимодействии симметрий (теоретический аспект). Выявлены структуры ОДУ 3-го порядка (без предстаршей производной), допускающих понижение порядка с помощью точечных преобразований за счёт допускаемой алгебры Ли соответствующей размерности или имеющихся первых интегралов, найдены новые интегрируемые уравнения, встречающиеся в приложениях (прикладной аспект).

Апробация работы. Основные материалы диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах кафедры высшей математики Орёл ГТУ;

- ежегодных конференциях "Герценовские чтения", С.-Петербург, 1994-99;

- Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", Орёл, 1996;

- Международной конференции "Средства математического моделирования", С.-Петербург, 1997.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6]. В публикациях [1,4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 66 наименований, и 1 приложения. Материал изложен на 109 страницах, включая 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обосновывается актуальность темы исследования, излагается постановка задачи, определяется цель и задачи исследования, вводятся основные понятия, определения теории непрерывных групп и первых интегралов. Определяются понятие дифференцируемого многообразия (позволяющее всякое ОДУ и-го порядка рассматривать как (и+2)-мерное многообразие в продолженном пространстве) и инфинитезимальный оператор, соответствующий точечной однопараметрической локальной группе, а также понятие

экспоненциального нелокального оператора. Формулируется алгоритм решения прямой задачи классического группового анализа (теория Ли). Определение 8 . Пусть V<z R2 — открытое множество. Линейный дифференциальный оператор

Х = ^х,у)дх + ц(х,у)ду, (0.4)

действующий на дифференцируемое отображение F: V-* R2 по формуле

X[F]= ^(х,у)~ + ф,у)^- = 4Fy, (0.5)

ох ду

называется инфинитезимальным оператором группы Ли £ (или, кратко, оператором группы). Определение 17. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю.

Определения, носящие частный характер и необходимые для освещения конкретного материала, приводятся в соответствующих главах.

Первая глава посвящена лиевским симметриям ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной и состоит из двух параграфов. В § 1 рассматривается обратная задача группового анализа — поиск уравнений, априори допускающих некоторую точечную симметрию. Для уравнений указанного класса конструктивно (решением определяющего уравнения относительно функции f) доказана основополагающая

Теорема 1.1. Уравнение вида У" = Ах, У, У) допускает однопараметриче-скую группу Ли £, если и только если её оператор имеет вид

X = + [(r-(x) + а)у + b(x)}dy, (1.9)

а функция /

а) при rix) Ф 0 имеет вид / = r'2E-[0(u,w)+wA+r2r'"u+(ai +аД +rV")K] +Ф0, где г(х) и Ь(х) — произвольные функции, а — произвольная постоянная,

Ф(н,и>) — произвольная функция своих аргументов, Е = Е(х) = е"^ *,

V =V{x)=\r-2bE'xdx, u = r~sE~ly- V, w = £"V -r'r^y-r^b)-aV,

A(x) = Irr" - r'\ Ф0(х) = (r"b - r'b' + rb")r~2 + a(rb' - r'b + ab)r~3;

б)приг(*) = 0иа*0 имеет вид /в ф(х + Ь) -

в) при г(рс) = 0 и а = 0 имеет вид / = Ф(х,у' - ^у) + ^у.

В § 2 рассматривается вопрос о структуре уравнений, допускающих двумерную алгебру Ли точечных преобразований. В соответствии с теоремой 1.1 поставленный вопрос решался отдельно для каждого из трех существующих подклассов уравнений рассматриваемого класса. Доказанные в § 2 теоремы 2.1-2.3 (и следствия из них) показывают, что в классе уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, разрешимых относительно У", существует только 15 подклассов уравнений, допускающих понижение порядка на 2 единицы за счёт допускаемой 2-мерной алгебры Ли Li-

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) ii + Зам + 3а2 и + а3м = Ф(цм + аи) допускает 2-мерную алгебру Ли с операторами Т, = д, и

Т2 = p(i)ö, + Mo + Р - АР)" + ßWK, (2.2)

если и только если функция Ф(и, и) имеет одну из 9 форм, представленных в таблице 1 (см. страницу 8).

Следствие (из теоремы 2.2): Уравнение у'" = у допускает 2-мернуго

алгебру Ли с операторами X, =уду и Х2 = ф(х)Зл + [ф'_у + р(х)]8у (где фир — произвольные функции), если и только если это уравнение имеет одну из 3-х форм:

1) если <р(х) = 0 и р(х) — const * 0, то у'" =у,х¥(х);

о'"

2) если ф(х) = 0 и р(х) t const, то у'" = ^-уу' + (р'у - ру')Ч/(х);

3) если ф(х) Ф 0, то р(х) = 0, а у'" = укр "'[^(w) + ф"'ф2 + (2ф"ф - ф'2)^], где инвариант w = (р/у~] - ф'.

Следствие (из теоремы 2.3): Среди уравнений класса у"' = три (и только 3) подкласса допускают 2-мерную алгебру Ли с операторами X, = Ых)ду и Х2 =[С2 +(С, -C)Jr'A]i(x)Sx +\cy+bh+{c2 +(С, -С) j^'A^'j^:

а) если С, = С, С2 = 0 и h(x) = const* 0, то С * 0, a У" = (у-^y^Vix) + ~~у;

б) если С, = С, С2 = 0 и h(x) Ф const, то

У"'Ц{У'-%У)-[С{У-£ьу)+ЬН]¥{Х)+^У-, (2.61)

(в этом случае Х2 = {Су + bh)dy)\

в) если |С, - С| + |С21 * 0, то

У'" = ¿¿fV'[y(W) + w\f2gdx - - f2g\h'zdx)dx\, (2.62)

где функции Т, b(x), h(x) и постоянная С — произвольны, инвариант w = (y' -jyj^-e- jh'zdx, а функции g, fb f2 и e определяются формулами:

g=i(*)[c2 +(С, -С) Jb~xdx\, fx = А'" + Ц A" + 3^ A',

/а = Я'" + - 3(f)' Е=£(х)не"С| У*.

Вторая глава, состоящая из трёх параграфов, посвящена первым интегралам ОДУ 3-го порядка и их взаимодействию с точечными симметриями.

В § 3 формулируется алгоритм решения обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у". Его применение позволило полностью выявить структуру уравнений, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. (С помощью применённого алгоритма могут быть найдены структуры уравнений, обладающих первыми интегралами полино-

Таблица 1

Уравнения вида и + 3ай + 3а2й + а3и = Ф(и,й + аи), допускающие 2-мерную алгебру Ли

№ Условие на а Вид функции Ф 2-й допускаемый оператор Т2 Коммутатор [ТРТ2]

■ аФ 0 Ф{и,й)-41й+Ъаи~:А + а\зй + Заи 28) 12{3au-2bf3) 12v ' Т2 = е^Цд, + (25 - ЗаиЮ в т ~2 12

2 а — любое Ф(ц и) = ¥(w - kü) + {а+ к)3 и Т2 = еьди кТ2

3 а = 0 Ф{цй) = Ч,[(Зи + 2ку2/3й) Т2 = га, + (Зи + 2к)ди т,

4 в = 0 Ф(и,и) = к2й + (и - 2Ь)'г - ки) |>Э, +(и- 26)5. при * = 0, 2 ~ [ек'[д, + к(и- 26)0.] при к Ф 0. ГТ, при к = 0, [Л Т2 при к Ф 0.

5 а — любое Ф(м, к) = еитЧ>{е-иПЪ(н + За5)) + а3 (и - 65) + агй х _к'(0,-3л5д„) при (/<?, -365 „ при а=0 ГаТ2 при аФ 0, (Т, при а = 0

6 а — любое Ф(цй) = й3л¥{и) + а3и + a2ú т _(е"д, при аФО, 2 |гд, при а = 0 ГаТ2 при а * 0, (Т, при а = 0

7 а — любое 2 Ф(м, и) = ^«""(и + & и)) + + аи) 1е~0,/2(2д,-3аид„) при аФО, [<8, +3иди при а=0 Г-£Т2 при а*0, [Т, при а = 0

8 а — любое Ф(и,й) = йЧ>(^)-а35 т2=(И+5)а„ 0

9 а — любое 1*2т / sL \ „3 ф(ци) = и'-' и1"'(ü+av)J +ау 2«+р--[у2у-(1+2у)б] -у)м + (1 +2у)5 т _[е1Г"{д1 ~а)/д») ПРИ 1 [уГЭ,-Уд„ при а=0 ГауТ2 при }> Т, при а = 0

миальной структуры более высоких степеней, однако трудоёмкость их поиска быстро растёт с ростом степени полинома).

Теорема 3.1. ОДУ 3-го порядка mj&y'" = fix, у, У, у") обладает линейным по/' первым интегралом Р(х,у,у',у") = Q(x,у,у')у" + R(x,у,у'), если и только если функция / является полиномом не выше 2-й степени по у" следующего вида:

fix,У,У,У ) = -"-^-У-----У--Q-•

Теорема 3.2. ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной вида У" =fix, У, У) обладает линейным по У первым интегралом, если и только если Q = ßfoy)» R =U -Qxy' - \Qyya, а функция/является полиномом не выше 3-й степени по У следующего вида:

,, „ Qyy ,3 JQV а , Q» -иу , их

fix,у,у) s -^-у' +-'-у' +-'-у'--—

yv %У,У) lQy 2Q Q Q

(где Qixy) и U= U{x,y) — произвольные функции указанных аргументов).

Теорема 3.3. ОДУ 3-го порядка без промежуточных производных вида У" = fix, у) обладает линейным по У первым интегралом, если и только если Q = Ay + b(x), R=c + b"y - b'y' -jy'2, а функция/дробно-линейна по у и имеет вид:

f(x,y) = - / , Ay+b

где А — произвольная постоянная, а Ь(х) и с(х) — произвольные функции.

Теоремы 3.1-3.3 полностью исчерпывают вопрос об ОДУ 3-го порядка, разрешённых относительно старшей производной и обладающих линейными по У первыми интегралами.

Далее, в лемме 3.1 и теоремах 3.4-3.11 выясняется структура уравнений, обладающих квадратичными по у" первыми интегралами. В частности, для уравнений без промежуточных производных справедлива

Теорема 3.11. Уравнение у'" =fix, у) имеет квадратичный по У первый интеграл

р = ах, У, У)у"2 + Rix, у, у')у" + six, у, У), (3.7)

если и только если Q = Ay2 + b{x)y + с(х), R=U -Qxy' - \Qyy'2,

S * H(x,y) - iUx + 2Qf)y' + \iQxx - Uy)y'2 + }<2хуу'3 +1 ß^y4, где А — произвольная постоянная, Ь(х) и с(х) — произвольные функции, U(xj>) = ий(х) + ut(x)y + b"y2 и вместе с Н(ху) удовлетворяет системе:

\Ну =UXX +3Q f+2Qf, [Hx+Uf = О,

а функция fixy) имеет вид

- rj-5/4

Из теоремы 3.11 вытекает следующий алгоритм поиска уравнений вида у"' =ßx,y), имеющих квадратичный по У первый интеграл (3.7):

1). Задаём функции b и с, определив тем самым функции Q и U;

2). Если известна структура функции / по переменной у, то из 1-го уравнения системы (3.18) находим

Hy=Uxx + 3QJ+2Qfx (3.22)

(если известна структура функции / по переменной х, то из 2-го уравнения системы (3.18) находим Нх = -Uf);

3). Интегрируя полученное выражение по соответствующей переменной, находим функцию Я;

4). Подставляя найденную функцию в другое уравнение, расщепляем его по соответствующей переменной и получаем систему для определения функций Kj(х) и конкретизации функции/.

С помощью этого алгоритма в § 4 проводится исследование уравнений без промежуточных производных на совместное наличие точечной симметрии и первых интегралов, квадратичных по У-

Теорема 4.1. При г{х) Ф 0 среди нетривиальных уравнений класса

У"=Л*,У), (4-1)

допускающих группу Ли с оператором

X = rdI + (rJ + а)уду (4.19)

и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q = Ay2, существует 2 и только 2 подкласса — уравнения вида у'" = Хг~хЕ2у~' и/" = Ъ-шЕ1йу~512, причём первый из них содержит 8 типов уравнений, а второй — 3 типа уравнений.

Теорема 4.2. При r(x) ф 0 среди нетривиальных уравнений класса (4.1), допускающих группу Ли с оператором (4.19) и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q~y2 + D(x), существует 2 и только 2 семейства уравнений — уравнения вида у'" = к]^С^х(к22у2 +С,2х4)~5'4, имеющие первый интеграл

Р=(уу"-12У2)2+к;2\с2(2у-2ху'+хгу")2 +2кх ^{2у-ху'\к2гу2 +C,V)-,/4]

и допускающие лиевский оператор X = х2дх + 2худу,

и уравнения вида у'" = к ¡{к2у2 + \)~Щ, имеющие первый интеграл

P={yy"-\y'2^+k22^y''1-2ki(k2y2+\)~my'^ и допускающие лиевский оператор

Х = дх (здесь и далее: кь к2, С, — произвольные ненулевые постоянные).

Теорема 4.3. При г(х) Ф 0 среди нелинейных уравнений класса (4.1), допускающих группу Ли с оператором (4.19) и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q = Ь(х)у, существует 2 и только 2 подкласса — уравнения вида

У" = к1а(х)ущ, (4.55)

имеющие первый интеграл

Р = (Ь"у - Ъ'у' + Ьу")[у"у -\у'г) + *,[А(ЗЬ'ст + 2Ьо')уМ ~ 2Ьау'шу'] (4.56)

(в котором Ь'" - 0, а а(х) = ЕМг~ш), и уравнения вида

у"' = кх<5(х)у™ ~к2г~1у, (4.57)

причём первый подкласс содержит 7 типов уравнений (собранных в таблице 4*'), а второй — 4 типа уравнений, два из которых имеют вид

/" = к]х~9у12гЮу~т у~ш + (4.58)

обладают первым интегралом Р = Ьуу"2 + (Ь"у2 - Ъ'уУ -\Ьу'2}у" -\Ъ"уу'2 + \Ъ'у'ъ -

-±у8>х 2"г">-3у2[гу' - (г' + 2у5)у] + кхх -^У(ЗН)/4[(г' - уЬ)у - гу')у-у4 и допускают точечный оператор

X = + (г' -уЬ)уду,

а два других имеют вид

у'" = + £у53/--3>>, (4.60)

обладают первым интегралом

Р = ¿у/'2 + (¿У - - -\Ъ"уу'2 + ^у3 -

и допускают точечный оператор X = 9г(х)дх + (9/ - уб)уду (здесь г(х) = Схх2 + &е, 8 * 0, у = ±^3/7, Ь(х) = х^г'^).

Теорема 4.4. При г(х) Ф 0 уравнения класса (4.1) допускают группу Ли с оператором (4.19) и имеют первый интеграл (3.7), в котором Q-c{x), если и только если эти уравнения являются линейными вида у'" = кг~3у+ %(рс).

Теоремы 4.1—4.4 исчерпывающим образом выделяют в классе уравнений без промежуточных производных 24 подкласса нелинейных уравнений, допускающих точечную симметрию и обладающих квадратичными по /' первыми интегралами.

В § 5 рассматривается вопрос о нелинейных уравнениях без промежуточных производных, первые интегралы которых (квадратичные по у"), допускают те же точечные операторы, что и исходное уравнение.

Предварительно доказывается, что (с точностью до группы эквивалентности) нелинейные ОДУ вида у'"=Л.х,у), обладающие квадратичными по у" первыми интегралами (3.7), допускают точечную симметрию с оператором (0.6), если и только если этот оператор имеет вид

X = г(х)д, + (г' + а)уду, (5.1)

где функция г либо имеет вид г(х) = С,*2 + 5х, либо г(х) = 1 и, следовательно,

** Таблица 4 помещена в диссертации и не приводится здесь из-за чрезмерного объёма.

удовлетворяет условию г"' = 0.

Затем, в леммах 5.1 и 5.2 формулируются необходимые и достаточные условия, при которых указанные первые интегралы нелинейных уравнений класса /" = Дх, у) „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Далее, применением леммы 5.2 к выявленным в § 4 подклассам уравнений, в теоремах 5.1-5.4 выделяются 10 подклассов уравнений, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию самого уравнения.

В частности, в теореме 5.1 доказывается, что только для 4-х видов уравнений класса у'" = Хг')Е2у~1 первые интегралы наследуют группу Ли с оператором (5.1) (в котором а*0), причем все квадратичные первые интегралы являются точными квадратами линейных (см. теорему 4.1). Они приведены в таблице 5.

Таблица 5

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

у'^Хе^у'1 (уу"-\Уг-^+С о)2 дх + ауду

у"' = хдг + (\ +у)уду

х2дх + (2х + а )уду

,„ А*2-1 7 ~(С}Х+Ь)^1у [ууну2-^:^ (С,*2 + 8х)дх + + (2С,х + 5 + ду)уду,

Теорема 5.2. При 0=у2 среди уравнений класса у'" = ХгтЕ712у~5П существует 2 (и только 2) вида уравнений (см. таблицу 6), первые интегралы которых наследуют допускаемую самими уравнениями группу Ли с оператором (5.1), причём в этих операторах а = 0.

Таблица 6

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

У" = Хху~5П Х]=х2дх + 2худу

у'" = Хут (уу"-\У2)2-2Ху'у-т+С <ок и ><

Теорема 5.3. При Q=yl + D(x) (где Б = к'2г2) оба вида уравнений класса у'" = Хгт(к?у2 + г2Г — уравнения (4.33)у'" = Хх{1?уг + х4)~™ и уравнения (4.36) у'" = Х(1^у2 + I)"5'4 — имеют первые интегралы (4.34)

Р = ()У"-^У'2)2 +к-2[(2у-2ху' + х2у")2 +2Ц2у-ху'){к2у2 +х*Гш] + С

и (4.37) Р =(уу"-%у'2)2 + *~2[/'2-Щк2у2 + 1)~|ЛУ]+С соответственно, которые наследует допускаемую самими уравнениями группу Ли с операторами (4.35) Х = х*дх + 2худу и (4.38) X = дх соответственно.

Теорема 5.4. При Q = Ь{х)у среди уравнений класса у'" = Хг'У4Е у'514 существует 2 (и только 2) вида уравнений, первые интегралы которых наследуют допускаемую самим уравнением группу Ли с оператором (5.1):

___Таблица 7

Уравнение Первый интеграл Р Наследуемый оператор X

II <5. Р, =у"(у"у-±у'2)-2\у-1Ну+С X, = Зхдх + 4уду, Х2 = ох

/" = А*-3У5'4 Р,=(хгу"-2ху+2у){у"у-{у1)+ +2Х(2х-1ПуУ4-хту-му)+С X, = 3 хдх + 2уду, Х2 = х2дх + 2ху8у

Из теорем 5.1-5.4 следует, что „наследование" точечных симметрий первыми интегралами уравнений 3-го порядка оказывается не таким уж редким явлением, как можно было ожидать.

В третьей главе (состоящей из двух параграфов) рассматривается решение обратной задачи группового анализа уравнений 3-го порядка без пред-старшей производной, допускающих нелокальную симметрию с оператором, имеющим экспоненциальную структуру.

Сначала, в § 6, вводятся определения канонической формы оператора (0.4) и канонического ЭНО, формулируются их основные свойства и выводится развёрнутая форма определяющего уравнения для канонического ЭНО уравнения 3-го порядка.

Определение 6.2. Оператор

Х = ф,у,у')е> 8у

(6.3)

(в котором г)(х, у,/) и фс, у, У) — гладкие функции) будем называть каноническим ЭНО (1-го порядка).

Затем в § 7 рассматривается вопрос о структуре уравнений без предстар-шей производной, априори допускающих группу Ли с каноническим ЭНО (6.3).

Лемма 7.1. ОДУ 3-го порядка вида у" =Дх, у, у') допускает нелокальную симметрию с оператором (6.3), если и только если функция

г\(хуУ) = а(ху)у2 + Ь(ху)У + с(хУ), ' (7.2)

а функция

А(х,у)У + В(х,у)

А(х,у)цг +В[х,у)-ЬуЬ'гц

Л(х,у) . В(х,у) , ауЬ ауу' +1ах +Ьу

Л л" 4«

А(х,у)Цу В(х,у)(11-2Д)

при Г\у а О,

при т\уФО, Луу=0, при т)уу, Ф О, Д = О,

(7.3)

2я"У

Д"У

+^г[(^-^)(8А2-4Дл-Л2)-^Лу(8Д2 + П2)] при т^Д^О,

(здесь Д = Д(х, у) г (4ас~Ь2)/4а). При этом функции .ДхуУ), а(ху\ Ь(ху\ А(х,у\ В(ху) связаны уравнениями С^'У) - г\/у, + Злу/= О,

(ХЧ'У)ЦуУ'Уу3(Т1УС+ +ту/)]/= о, где

СКхгУУ) = + + 3[лсд + ЛуС2 + + + Ч + + Л* + Пч/] +

+ РлС^ + 3(4^ + ЛуС, + + Г]уу + 2Цхуу,)]у' + Г]т,у'2, (7.6)

а у, /) = л(С3 + 3«, + С„) + 3 лд(С2 + У + Зт^ + ти +

+

{2 + 3[лСС, + П/С2 + д + + 2л^ + л + + [лС^+З(л^+V; + л,»,)]/2 + л„/3-

Теорема 7.1. ОДУ 3-го порядка без предстаршей производной вида у'" =Дх, у, у') допускает канонический ЭНО (6.3), в котором если и

только если функции л. С и/ удовлетворяют условиям леммы 7.1 и функция/ имеет вид:

Ф(х,у)+¡0{х,у,у')т]-}с1у' при л,у3 0. Ях,у,у') = \ ' . (7.12)

р(х,у,у')Цуф>^ при Т]уу Ф О,

где Ф(х,у) — произвольная функция своих аргументов, а функция (7 определяется формулой (7.6).

Теорема 73. ОДУ 3-го порядка вида у"' у,у') допускает нелокальную симметрию с оператором (6.3), в котором Л/ 3 0, если и только если этот

оператор имеет вид X = а~'(ау + Р)е°' ^<а>,+11) а функция / определяется формулой

/(*,»/), (ау + Р)Ф(х,и) - ^ - - ^^ -4а?2и +

ау + р За(ау + Р)

| (баа'а"- 2а'3- а2а"')у + Заа'р" + 3(аа"- 2а'2)Р' - а2р"' ^ +

а3

3(2а'2-аа")у -Заа'у' + а2у" |2у(а'у-ау') 10у3

За3 (ау + Р) + За2(ау + Р)4 27а(ау + Р)7'

где Ф(х,и), а(х), Р(х), у(х) — произвольные функции указанных аргументов

у' а'у+р' и=—— + —-——+-

(а Ф 0), а инвариант »- . , .

ау+Р а(ау+р) За(а>-+р)

Исследование нелокальных симметрий, таким образом, даёт нам ещё несколько (существенно отличных от найденных в главе 1) классов уравнений,

обладающих непрерывными симметриями. В частности, если в уравнении вида у" =/(х, у, у') с правой частью (7.24) функция Ф(х,и) является алгебраической, то мы имеем принципиально новый вид уравнений 3-го порядка с рациональной правой частью, обладающих нетривиальной симметрией.

В заключении диссертации подводятся итоги и формулируются основные результаты.

В приложение вынесено доказательство теоремы 4.3, поскольку оно принципиально не отличается от доказательства теорем 4.1-4.2 и помещение его в основной текст диссертации перегрузило бы его излишними подробностями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аврашков П.П. Лиевские симметрии и первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.44-49.

2. Аврашков П.П. Об одном алгоритме третьего поколения поиска первых интегралов одного класса дифференциальных уравнений. / Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.50-53.

3. Аврашков П.П. О нелокальных симметриях одного класса дифференциальных уравнений 3-го порядка. Тезисы доклада. / Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений: Сборник трудов международной конференции. -ОГУ-Орёл, 1996. С.58-59.

4.Аврашков П.П. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, допускающих двумерную алгебру Ли. / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // Сборник научных трудов, том 13, -Орел: ОрелГТУ, 1998. С.8-14.

5. Аврашков П.П. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих линейным по у" первым интегралом. / Известия ОрелГТУ. Математика. Механика. Информатика. -Орел: ОрелГТУ, 2000. - № 3. С.5-7.

6. Аврашков П.П. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, обладающих лиевскими симметриями и первыми интегралами / Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. // "Дифференциальные уравнения и процессы управления", No.4, 2003, С.1-25. - Эл.ж. Рег.н.: П23275 от 07.03.1997. - http://www.neva.ru/ journal.

Подписано к печати 30 апреля 2004 Объем 1 печ. л. Тираж 70 экз. Заказ №

Отпечатано в типографии ОрелГТУ 302020, г. Орёл, ул. Московская, 65

i - p A 1

РНБ Русский фонд

2005-4 5070

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Аврашков, Павел Петрович

Введение.

Глава 1. Лиевские симметрии ОДУ 3-го порядка.

§ 1. ОДУ 3-го порядка, допускающие однопараметрическую группу Ли.

§ 2. ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли.

Глава 2. Первые интегралы ОДУ 3-го порядка.

§ 3. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих первым интегралом.

§ 4. ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускающие лиевские симметрии.

§ 5. ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские симметрии.

Глава 3. Нелокальные симметрии.

§ 6. Нелокальные операторы: общие свойства.

§ 7. Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка"

Работа посвящена исследованию симметрийных свойств гладких многообразий, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.

Для современного этапа развития науки характерно стремление к всесто роннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение. К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям.

В широком смысле слова симметрия означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т.е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики.

Большинство современных моделей в прикладных науках описываются дифференциальными уравнениями, и одним из наиболее перспективных направлений для изучения симметрийных свойств дифференциальных уравнений, построения точных решений и получения нечисловой информации о дифференциальном уравнении является современный групповой анализ, включающий в себя как классический подход С. Ли, так и исследование законов сохранения, дискретных симметрий и (в последнее время) нелокальных аналогов классических симметрий.

Для целей группового анализа оказывается существенной и удобной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Понятие многообразия (впервые предложенное Риманом) является многомерным обобщением понятия поверхности без особых точек. Его первоначальное появление было вызвано потребностями геометрии и топологии. В настоящее время фундаментальное значение (не только в геометрии, но и в анализе) приобрели гладкие многообразия — локально евклидовы пространства, наделённые дифференциальной структурой.

Следуя работам Овсянникова JI.В. [50] и Ибрагимова Н.Х. [39-40], приведем (в формулировках, достаточных для данного исследования) основные понятия, определения и алгоритм классического группового анализа, разработанного в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли.

Определение 1 [48]. Топологическим многообразием размерности п называется хаусдорфово (т.е. отделимое) топологическое пространство М, в котором каждая точка х еМ обладает окрестностью U, гом;еоморфной открытому множеству пространства R". Для использования на многообразии понятий математического анализа на нём вводят дополнительную структуру. !

Определение 2 [9,48]. Топологическое многообразие М вместе с; (конечным I или счётным) набором подмножеств UaczM и взаимно однозначных функций фа: £/а—» фа( Uа) (называемых локальными координатами) называется дифференцируемым (или гладким) многообразием, если

1) совокупность всех Ua покрывает М: [jUa = М; а

2) для пересечения любой пары окрестностей UafWp Ф 0 композиция отображений

Фр ° фа-1: фа(£4П£/р) -» Фр(£4П£/р) является гладкой функцией (принадлежит классу С^). Далее под многообразием будем понимать гладкое связное многообразие. Определение 3 [17]. Общим решением ОДУ п-то порядка

F(x,y,y',.,/n)) = 0 (0.1) будем называть «-параметрическое семейство функций класса С^ f(x,y,Ci,.tCJ = 0, (0.2) зависящих от п функционально независимых произвольных констант С1? .Сп и обращающих уравнение (0.1) в тождество по х.

Пусть (0.2) — общее решение уравнения (0.1).

Определение 4 Г171. Формальная кривая J:(x,y) = 0, получающаяся из (0.2) произвольной фиксацией констант Съ ., С„, называется частным решением ОДУ (0.1).

Пусть V a R — открытое множество, а А — интервал в R, симметричный относительно нуля, и пусть задана локальная однопараметрическая группа 2

Ли £ [50] точечных преобразований ста: Fx А —> R :

Г x=g{x,y,a\ у = п(х,у,а).

Она определяет касательное векторное поле г|) с координатами да ^ dh да а=о а= О

Определение 5 [50]. Линейный дифференциальный оператор

X = ф, у)дх + ф, у)ду , (0.4) 2 действующий на дифференцируемое отображение F: V —> R по формуле +Щ, (0.5) называется инфинитезималъным оператором группы Ли £ (или, кратко, оператором группы). Переход от группы Ли £ к ее касательному векторному полю г|) (или, что то же самое, к ее оператору X) линеаризует многие задачи, что и создает возможности для эффективного применения группового анализа дифференциальных уравнений. Существует взаимно однозначное соответствие между группой Ли £ и ее оператором X: группа "восстанавливается" [41] по заданным координатам Е, и Г| оператора X с помощью так называемых уравнений Ли: dg da dh

Определение 6 [40]. Функция F: R —> R называется инвариантом группы

Ли L точечных преобразований (0.3), если для любых (х, у; а) е 2 eR хА выполняется т.е. F постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками х,у . Известен (например, [50, 39]) следующий критерий инварианта: Функция F: R —> R класса

C<V является инвариантом группы Ли £ с оператором X = Цх,у)дх + Г|(х, у)ду, если и только если для любых х и у выполняется равенство

X[F] = 0. (0.6)

Из (0.6) следует, что всякая однопараметрическая группа Ли. точечных преобразований плоскости имеет один независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла J(x, у) = С сопряженного с (0.6) ОДУ (уравнения характеристик) dx dy

Ф,У) Л (х,у)' Любой другой инвариант тогда является функцией от J.

Понятие инварианта естественным образом распространяется на дифференциальные выражения F(x,y,y'), F(x,у,у',у") и т.д., если продолжить оператор X на новые переменные у', у",. .

Используя оператор полного дифференг^ирования

Ъх = дх + у'ду + у"ду.+(0.7) запишем формулы преобразования производных у', у", у'",. под действием точечных преобразований (0.3), рассматриваемых как формулы замены переменных: = = (0.8) dx & +

0.9) оЛя] & + gyy dy" Dм ях+дуУ + дуУ" + дуУ" f , „ ,„ ■ dx Vx[g] gx+gyy и так далее. Заметим, что в р, q, г, . входят нелинейные комбинации функций g, h и их производных. Добавление формулы (0.8) к группе L преоб-* разований (0.3) даёт продолженную группу £, действующую в продолженном пространстве 3-х переменных х,у,у'; после добавления формулы; (0.9) получим дважды продолженную группу L, действующую в продолженном пространстве 4-х переменных х, у, у', у", и так далее.

При этом координаты продолженного инфинитезимального оператора

Х = ^дх+Г\ду+ Qdy +. к раз продолженной группы L могут быть найдены по известным [50, 40] рек куррентным формулам продолжения:

C^Dj^-il-^D.M' Со^Л- (0.10)

Вместо (0.10) можно пользоваться явной формулой: C,k = D*[r| - + , в которой Т)кх — к-я степень оператора (0.7)). В частности, у-Ш-£,УУ'2, (0.11)

С2 = Лхг- + - ЫУ + (У]уу ~ 2ЪуУ2 - W'3 + Ob 3t,yy')y", (0.12)

Сз = Л*** + ОЦхху - £ит)У + ЧЦхуу - ЪхуУ2 + (У\ууу - З^суу)у'Ъ - W4 +

3[Сп^ - U + (тъ, - з^у - Ц»У2 1У" - з^У'2 + 0v - 3^ - 4^УУ". (0.13) т Очевидно, что координаты продолженного оператора X выражаются линейк н о через Т| и их частные производные.

Определение 7 [50]. Инварианты продолженной группы £ называются к дифференциальными инвариантами группы £.

Если обозначить через Z& пространство алгебраически независимых переменных х,у,у',.,у(/с) (оно называется к-м продолжением пространства R2(x,у)), то дифференциальные инварианты представляют собой отображения ^Z^PCR.

Определение 8 [50]. Инвариант группы £, фактически зависящий от у{к\ нак зывается дифференциальным инвариантом к-го порядка группы L. (В этом смысле все инварианты группы L являются её дифференциальными инвариантами нулевого порядка).

В силу приведенного выше критерия (0.6) все дифференциальные инварианты F не выше k-то порядка группы £ являются решениями дифференциального уравнения в частных производных

X[F]= 0. к

Введенное понятие продолженного пространства позволяет рассматривать ОДУ Аг-го порядка х,у,У,-,Л = 0 (0.14) как многообразие Т в пространстве Zk (т.е. множество тех точек пространства Z&, для которых выполняется равенство (0.14). В этом случае равенство (0.14) называют уравнением многообразия VF1). Если ранг отображения. ц>: Zk -» RJ равен s во всех точках пространства Z^ то уравнение вида (0.14) называют регулярным, а задаваемое им многообразие Т —регулярно заданным многообразием.

Справедлив [50] следующий критерий инвариантности: многообразие ¥ cz Zk, регулярно заданное уравнением (0.14), инвариантно относительно группы £, если и только если

1 Так называемый неявный способ задания многообразия.

Х[\1/]|ч>=0, (0.15) где X — оператор группы £, а знак | заменяет слова „на многообразии и означает, что равенство верно для точек (х, у, у',., y^eW. Определение 9 [50]. Говорят, что ОДУ п-го порядка (0.1) допускает группу jС точечных преобразований (0.3), если многообразие Ф czZn, заданное этим уравнением, инвариантно относительно п раз продолженной группы £, т.е. если п

F(x,у,У\.,) = F(x,y,у', .,yin)) (при этом многообразие Ф называют дифференциальным инвариантным многообразием группы £, а про саму группу X и её оператор X говорят, что они допускаются уравнением (0.1)).

В связи с этим определением возникает одна из основных задач классического группового анализа: найти все группы £ точечных преобразований плоскости (все операторы X), допускаемые заданным ОДУ.

Решение этой задачи вытекает из определения 8 и критерия (0.15) инвариантности многообразия: ОДУ (0.1) допускает группу £, если и только если

X[F] 0, (0.16)

F=0 причем условие инвариантности (0.16) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля (£, Г|). Структура этого уравнения полностью определена алгоритмом его построения и зависит только от заданного уравнения (0.1).

Определение 10 [40]. Уравнение (0.16) называется определяющим уравнением.

Таким образом, процесс формирования определяющего уравнения (0.16) состоит из 3-х этапов: (а) вычисление (по формулам продолжения) координат продолженного оператора X; (Ь) действие полученным оператором на функп цию F; (с) переход на многообразие, заданное уравнением F - 0 (для.ОДУ в явной форме: у{п)=Лх,У,У',:.,У(п-])) (0.17) достаточно заменить у(п> на правую часть уравнения — функцию fix,у,у',.,У""1-1)); после чего результат приравнивается к нулю.

Из-за своего происхождения определяющее уравнение обладает рядом свойств, делающих его самостоятельным объектом исследования.

Во-первых, в силу алгебраической независимости переменных/,., у^'1\ оно (при п > 1) всегда "расщепляется" по одной из них, распадаясь на несколько независимых уравнений, становясь переопределенной системой дифференциальных уравнений (в частных производных) для и г\.

Во-вторых, все уравнения этой системы линейны и однородны относительно Н, и г), что существенно облегчает её решение.

В-третьих, из линейности и однородности этих уравнений вытекает, что множество решений определяющего уравнения образует линейное векторное пространство, причем оказывается, что это векторное пространство L обладает структурой конечномерной алгебры Ли [40]. Нам потребуется определение разрешимой алгебры Ли.

Определение 11 [40]. Алгебра Ли Lr называется разрешимой, если существует ряд Lrz^Lr-x id . zdLy подалгебр размерностей г, г - 1, ., 1 соответственно, в котором каждая подалгебра Zsj является идеалом в Ls

Поскольку знание оператора X, допускаемого ОДУ порядка п, позволяет понизить порядок этого уравнения на 1 (путем перехода к так называемым каноническим переменным t и и, для которых Х[/] = 1, X[w] = 0, а допускаемая группа Ли L является группой переноса: 7=t + a, и = и), то для интегрируемости такого уравнения в квадратурах (методом понижения порядка) нужно, чтобы оно допускало разрешимую и-мерную алгебру Ли.

Таков (схематично) алгоритм решения прямой задачи группового анализа для ОДУ п-то порядка, позволяющий (при наличии «-мерной разрешимой алгебры Ли) решить уравнение (0.1) в квадратурах, последовательно понижая порядок.

Другой путь изучения симметрий ОДУ предоставляют первые интегралы.

Определение 12 [48]. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для ОДУ 1-го порядка первый интеграл есть функция Ф(х,у), находящаяся в левой части общего решения Ф(х, у) = С, где С — произвольная постоянная.

Для ОДУ 72-го порядка вида (0.17) первый интеграл есть функция Ф(х, у, у',.У"-1),С), удовлетворяющая уравнению

В,[Ф]|,<.)=/ = <> (0.18) с частными производными 1-го порядка.

Первый интеграл определяется не единственным образом (так как любая функция от первого интеграла есть снова первый интеграл) и может не существовать во всей области задания уравнения (0.17), однако в любой окрестности точки, в которой функцияДх,у,у',.,У'непрерывно дифференцируема, он всегда существует [9, 48].

Порядок ОДУ может быть понижен на к единиц, если известны к независимых первых интегралов этого уравнения, путем исключения старших производных из системы г -\,к, к < п.

Функцииfvf2,.,fk от п переменных каждая называются фунщиоиалъно незаd(ff f) висимыми, если матрица Якоби 1 2)" имеет ранг к).

Расширение понятия точечных преобразований (0.3) приводит к касательным (или контактным) преобразованиям: х = <р(х,у,у';а), у = ц/(х,у,у';а), у' = %(х,у,у';а), действующим в пространстве VxA (где V dZx), и к преобразованиям Ли— Беклунда (порядка к): z = g(x,y,y',.,yik)), у = h(x,y,y',.,yw) (0.19) с соответствующими условиями обратимости. В общем случае обращением локального преобразования (0.19) будет нелокальное преобразование, которое, наряду с переменными х,у,у',.,у^ продолженного пространстваZk, будет содержать нелокальные переменные, возникающие при нелокальной операции — интегрировании.

Нелокальные переменные не представимы в виде конечной суммы натуральных степеней оператора полной производной D "[>>], но могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Dx[y]. Более удобным, однако, часто оказывается интегральное представление нелокальных переменных, эквивалентное отрицательным степеням оператора полной производной Бл.[у]: f(x,.У,у',.,yw)dx s d;1 [f(x,y,у',.,yw)], Dx[d;1 [/]] EE /. Определение 13. Преобразование вида = g(x,y,y',.,y(k\ f/;(*,у,y(l))dx),

0.20) у = Цх> У, У', ■ - •> Уw ,\f2(x,y,y',., y(l} )dx) называется нелокальным преобразованием.

Частным случаем нелокального преобразования (0.20) является преобразование, характеризуемое экспоненциальным нелокальным оператором. Определение 14. Оператор вида

X = е№(&х,у)дх + Ц(х,у)ду), (0.21) где С> = С,(х,у,у',.,у{к)), будем называть экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО) /с-го порядка.

Очевидно, что ЭНО является линейным дифференциальным оператором, действующим по формуле, аналогичной формуле (0.5) для точечного оператора (0.4). Отличие его от точечного состоит в том, что оператор (0.4) действует на плоскости (х,у), а оператор (0.21) — в продолженном пространстве Zk переменных х, у, у',., у{к).

С момента появления ЭНО в научной литературе эффективность их применения ставилась под большое сомнение. В известных работах Н.Х. Ибрагимова [40, 41] на примере поясняется один из путей возникновения ЭНО и кратко обсуждаются его свойства. При этом Ибрагимов называет неудачной попытку понижения порядка, приведшую к появлению ЭНО.

В монографии П. Олвера [51] имеются конструктивные идеи по использованию ЭНО для понижения порядка и интегрирования дифференциальных уравнений, но высказана опрометчивая мысль, что с ЭНО можно обращаться так же, как и с операторами точечных преобразований.

Своё дальнейшее развитие теория ЭНО получила в работах В.Ф. Зайцева [23, 24, 30, 31]. В частности, показано, что наличие ЭНО позволяет факторизо-вать ОДУ к системе специального вида, что позволяет классифицировать случаи интегрируемости, не прогнозируемые классическим алгоритмом Ли.

Известно [39-41], что теория Ли позволяет классифицировать классические случаи интегрируемости ОДУ. В то же время существуют [41] интегрируемые уравнения, не подпадающие под классификацию Ли, причём поиск первых интегралов и симметрий более высокого порядка также не приводит к интегрированию таких уравнений. В соответствии с общим симметрийным принципом [23, 24] они должны обладать некоторыми симметриями, отличными от классических (точечных, касательных, Ли-Беклунда). Поэтому вопрос о применимости неклассических симметрий можно начать с исследования ЭНО как (простейшего) нелокального аналога классических симметрий.

Актуальность темы. В работе изучаются свойства гладких многообразий, заданных ОДУ 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.

Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и симметрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры [51] и, насколько известно, попытки расширения для них понятия гамильтоновости не привели к осязаемым резуяьта-. там.

Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметриями, чем уравнения четных порядков. Например, Ланкеровичем М.Я. [46] показано, что существует един

3 и"2 ственное (с точностью до эквивалентности) ОДУ 3-го порядка: и'" =--, не

2 и' эквивалентное уравнению и'" = 0 и допускающее 6-мерную алгебру Ли L6 (на 1 меньше максимально возможной размерности); 5-мерную же алгебру Ли L5 допускают лишь ОДУ 3-го порядка, эквивалентные линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.

В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя [34]). Поэтому для симметрийного анализа необходимо использовать все возможные методы, которые доступны в современной математической практике.

К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах 3-го поколения, которые позволяют найти все дифференциальные уравнения выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида {обратная задача группового анализа). При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью, давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.

Так как задача поиска первых интегралов, описывающих законы сохранения, для уравнения (0.17) сводится к решению уравнения (0.18) в частных-производных, то, как известно, не существует общих методов его решения и, соответственно, общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и для уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл "наследует" точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).

Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.

Цели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и ЭНО.

2. Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.

3. Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).

4. Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой заданной структуры. 5. Исследование взаимодействия лиевских симметрий и первых интегралов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрий и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.

2. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мерную алгебру Ли Lx и L2- j I

3. Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го i порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. i I

4. Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей от у".

5. Доказательство необходимых и достаточных условий существования первого интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида у'" -fix, у). В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по у" первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором X = гдх + (г' + а)уду (г Ф 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых „наследуют" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.

6. Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих ЭНО вида X = г\(х,у,у')е^х'У'У )скду.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах кафедры высшей математики ОрёлГТУ;

- ежегодных конференциях'Терценовские чтения", С.-Петербург, 1994-99;

- Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений", Орёл, 1996; - Международной конференции "Средства математического моделирования", С.-Петербург, 1997.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6]. В публикациях [1, 4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.

 
Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение обратной задачи группового анализа уравнений вида У" =fix> У, У) позволило исчерпывающим образом описать все уравнения этого класса, допускающие 1- и 2-мерную алгебру Ли. В частности, показано, что существует только 15 подклассов уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих понижение порядка на 2 единицы с помощью точечных преобразований.

Решение обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у", выявило структуру всех уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами.

С помощью разработанного алгоритма изучено взаимодействие квадратичных по у" первых интегралов и классических (лиевских) симметрий для уравнения вида у'" =fix, у). Выявлены все подклассы уравнений без промежуточных производных (среди них 24 подкласса нелинейных уравнений), одновременно допускающих точечную симметрию (с . оператором X = гдх + (г' + о1)уду, где г(х) Ф 0) и первый интеграл вида Р = Qy"2 + Ry" + S.

Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях, при которых нелинейные уравнения вида у'" = fix, у) обладают квадратичными по у" первыми интегралами, „наследующими" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Порядок таких уравнений (их оказалось 10 из 24) может быть понижен на 2 единицы с помощью точечного преобразования. Два из этих уравнений (у'" = Ху~514 и У" = ЪГ3/2у~5/4) имеют первые интегралы, наследующие обе точечные симметрии, допускаемые самими уравнениями, и, следовательно, интегрируются в квадратурах с помощью точечных преобразований.

Получено полное решение обратной задачи симметрийного анализа уравнений вида у'" = fix, у, у'), допускающих канонический ЭНО 1-го порядка. Наличие нелокальной симметрии позволяет нам факторизовать уравнения этого класса к системе 2-х уравнений специального вида. Если решается именно 1-е уравнение такой системы, то мы получаем понижение порядка исходного уравнения, принципиально не сводящееся к лиевскому понижению порядка с помощью точечного (и вообще локального) преобразования.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Аврашков, Павел Петрович, Орел

1. Авраппсов П.П., Зайцев В.Ф. Лиевские симметрии и первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений / Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.44-49.

2. Аврашков П.П. Об одном алгоритме третьего поколения поиска первых интегралов одного класса дифференциальных уравнений./ Сборник научных трудов, том 8, -Орел: ОрелГТУ, 1996. С.50-53.

3. Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, допускающих двумерную алгебру Ли./ Сборник научных трудов, том 13, -Орел: ОрелГТУ, 1998. С.8-14.

4. Аврашков П.П. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих линейным по у" первым интегралом. / Известия ОрелГТУ. Математика. Механика. Информатика. -Орел: ОрелГТУ, 2000. № 3. С.5-7.

5. Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. О дифференциальных уравнениях 3-го порядка, обладающих лиевскими симметриями и первыми интегралами // "Дифференциальные уравнения и процессы управления", No.4, 2003, С. 1-25.

6. Эл.ж. Рег.н.: П23275 от 07.03.1997. -http://www.neva.ru/journal.

7. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Харьков, ОНТИ, 1939.-719 с.

8. Аладьев В.З., Тупало В.Г. Алгебраические вычисления на компьютере. — М.: 1993.-248 с.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3-е изд. М.: Наука, 1984. -272 с.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1986. -544с.

11. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. -М.: Мир, 1971.-247 с.

12. Гурин Н.И., Скоморохов А.Г. Аналитические вычисления в системе REDUCE: Справочное пособие. -Мн.: Наука и техника, 1989. -119 с.

13. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра / Пер. с франц. -М.: Мир, 1991. -352 с.

14. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. -176 с.

15. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений: изд. 3-е, переработанное и дополненное. —Минск: Наука и техника, 1979.-74-4 с.

16. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Группы преобразований на плоскости. Учебное пособие к спецкурсу. 4.1. -СПб., 1996. -40 с.

17. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы. Учебное пособие к спецкурсу. 4.2. -СПб., 1996. -40 с.

18. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. дис. .докт. ф.-м.наук. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1992.-24 с.

19. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989, т.25, № 3. С.379-387.

20. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. -Л.: ЛГПИ, 1989. -80 с.

21. Зайцев В.Ф. Дискретно—групповые методы теории дифференциальных уравнений, ч.1. -Л.: ЛГУ. ВИНИТИ № 5739-82 Деп. 22.11.82. -120 с.

22. Зайцев В.Ф. К вопросу о конечных группах преобразований нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Дифференциальные уравнения, сборник трудов матем. кафедр пединститутов РСФСР, вып.7. -Рязань, 1976.-С.57-62.

23. Зайцев В.Ф. Нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений // Моделирование процессов управления и обработки информации. -М.: МФТИ, 1994. -С. 190-199.

24. Зайцев В.Ф. Обобщения и аналоги уравнения Ермакова. Межведомств, сб.

25. Моделирование процессов управления и обработки инф.", -М., МФТИ, 1996, с.170-173.

26. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений//ДАН СССР, 1988, т. 299, № 3.-С.542-545.

27. Зайцев В.Ф. Построение точной модели, обладающей некоторой точечной симметрией // Математическое моделирование, 1995, т.7, № 5. -С.12-14.

28. Зайцев В.Ф., А. Перес Лопес, Хакимова З.Н. и др. Современный групповойанализ: методы и приложения. Дискретно-групповой анализ, препринт № 107.-Л.: ЛИИАН, 1989.-58 с.

29. Зайцев В.Ф., Исина Н.К. О нелокальных преобразованиях и инвариантах дискретных групп преобразований //Дифференциальные уравнения и их приложения. -Тула: ТулПИ, 1988. -С.21-27.

30. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповые методы теории дифференциальных уравнений, ч. 2. -Л.: ЛГПИ. ВИНИТИ № 3720-85 Деп. 29.05.85.-150 с.

31. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. К теории экспоненциальных нелокальных симметрий дифференциальных уравнений //Сборник научных трудов. -Т.8.-Орел: ОрелГТУ, 1996.-С.З8-43.

32. Зайцев В.Ф., Павлюков К.В. Теорема о факторизации и синтез дифференциальных уравнений./ Рос. гос. пед. ун-т им. А.И. Герцена, СПб., 1997 -6с. -Рус. Деп. в ВИНИТИ. №3069 -В 97.

33. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики, препринт № 339. -М.: ИПМ АН СССР, 1988. -44 с.

34. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. -М.: Международная про* грамма образования, 1996. -496 с.

35. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике, точные решения. -М.: Наука, 1993.-464 с.

36. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения. —М.: Физматлит, 1995. -560 с.

37. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы, препринт № 84. -Л.: ЛИИАН, 1988.-66 с.

38. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. —Л.: Изд-во ЛИИАН, 1991.-240 с.

39. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В., Хакимова З.Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений, препринт № 105.-Л.: ЛИИАН, 1989.-61 с.

40. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. -М.: Знание, 1989. -48с.

41. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН РАН, 1992. -Т.47, вып.4 (286). С.83-144.

42. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Знание, 1991. -48 с.

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер с нем. Под ред. Н.Х. Розова: Изд. 5-е. —М.: Наука, 1976. -576с.

44. Кострикин А.И. Введение в алгебру. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1977. -496с.

45. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. -М.: Наука, 1973. -400 с.

46. Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. -М.: Наука, 1974.-160 с.

47. Ланкерович М.Я. Об одном классе дифференциально-инвариантных решений. Автореф. дис. .канд. ф.-м.наук. -Л.: ЛГУ, 1984. -19с.

48. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Изд.З-е. -М.: Высшая школа, 1967. -564 с.

49. Математическая энциклопедия / Гл. ред. Виноградов. -М.: Советская Энциклопедия. т.2, 1979. 1103 стб.; т.4, 1984. 1216 стб.

50. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. -М.: Мир,1981. -342с.

51. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -400 с.

52. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям /Пер. с англ. Под ред. А.Б. Шабата. -М.: Мир., 1989. -639 с.

53. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А.Д. Мышкиса, О.А. Олейник. -М.: изд-во МГУ, 1984. -296с.

54. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.-М.: Гостехиздат, 1954.

55. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 5-е изд. -М.: Наука, 1982.-331 с.

56. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. -М.: Наука, 1982. -447 с.

57. Синцов Д.М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. -Харьков, 1913. 388 с.

58. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. —М.: Гостехиздат, 1953.-468 с.

59. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. -М.: изд-во МГУ, 1989. -353с.

60. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых дифференциальных уравнений. -Изд. "Факториал", . изд. Удмуртского гос. ун-та "Просперус", 1995. -448 с.

61. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. —М., —Л.: Гостехиздат, 1940. -396 с.

62. Эйлер Л. Интегральное исчисление / Пер. с латинского С.Я. Лурье и М.Я. Выгодского. Т.1. -М.: Гостехиздат, 1956. -415 с.

63. Hearn А.С. REDUCE. User's Manual (version 3.2). -Santa Monica: The Rand Corporation, 1985.

64. Lie S. Vorlesungen uber continuierliche Gruppen. -Leiptzig: Teubner, 1893. -805 s.

65. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Discrete group methods for integrating equations of non-linear mechanics. -Boca Raton, CRC Press, 1994. -312 p.

66. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. -Boca Raton, CRC Press, 1995. -721 p.

67. Schwarz F. Automatically Determining Symmetries of Partial Differential Equations //Computing, 34, 1985, p.91-106.