Методы преобразований уравнений типа Гаусса и Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

2 3 АПР Шз

Кормилицына Татьяна Владимировна

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УРАВНЕНИЙ ТИПА ГАУССА И ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степепени кандидата физико-математических наук

Самара -1996

Работа выполнена в Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е.Евсевьева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф.Зайцэв

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. В.Малышев

кандидат физико-математических наук, доцент Л.М.Бвркович

Ведущая организация: Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева

Защита диссертации состоится "ЛЛ 11 1998 г.

в 17~ часов на заседании диссертационного совета

К 113.17.02 Самарского государственного педагогического университета по адресу: 443090, г.Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского

государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "/■?■" 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тепы.Точные решения дифференциальных уравнения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания, поэтому проблема интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в замкнутом виде была и остается одной из наиболее актуальных задач теории дифференциальных уравнения. В последнее время потребности прикладных наук в точных решениях имеют тенденцию к возрастанию. Это объясняется рядом причин, из которых можно выделить следующие: широкое распространение задач моделирования многопараметрических процессов, необходимость оптимизации численных алгоритмов введением разрешимых промежуточных уравнения с целью повышения точности и снижения трудоемкости за счет структурной близости исходного и промежуточных уравнений, дальнейшее развитие симметрийных исследований, растущая актуальность обратных задач для дифференциальных уравнений, двойственность структурно близких дискретных и непрерывных описаний динамических процессов.

Немаловажным обстоятельством является также бурное развитие группового анализа дифференциальных уравнений с частными производными. При этом поиск решений специального вида с заданными свойствами нередко приводит к обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнениям.

Для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений эффективным оказывается поиск и изучение свойств преобразований исследуемых дифференциальных уравнений. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений: если известно разрешимое в конечном виде дифференциальное уравнение, то, применив к нему всевозможные преобразования, можно получить достаточно широкий класс также разрешимых уравнений. Однако получение первоначально исследуемого уравнения в качестве элемента полученного класса совершенно необязательно.

Группы преобразований широко используются в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Это, например, ляпуновские группы преобразований, рассматриваемые в работах

—з—

Воскресенского Е.В. (Группы преобразований Ляпунова // Укр. мат. журнал. 1993, т.45, н 12-, ¿1япуиовскио группы преобразования //Изв. вузов. Математика. 1994, т.7.; Группы преобразования Ляпунова // Укр.мат.журнал. 1993, т.45, н 12) и его учеников.

Многочисленные работы исследованию преобразования обыкновенных дифференциальных уравнения посвятил Беркович Л.М.(Метод точной линеаризации нелинеяных автономных дифференциальных уравнений 2-го порядка //Прикл. мат. и мех, т.43, и 4, 1979; Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. Саратов, изд-во ун-та, 1989. 192 с.)

В настоящее время предложены новые дискретно-групповые методы исследования указанной проблемы. Формулировка основных целей и задач принадлежат Зайцеву В.Ф. Новое направление было отмечено на международном коллоквиуме по групповому анализу, посвященном юбилею Л.В.Овсянникова, что свидетельствует о его достаточном развитии и актуальности.

Цель работы. I) Проведение полного дискретно-группового анализа гипергеометрического уравнения Гаусса,

с12и Г -. с1и

хС1 - хЭ - + с - Са + Ь •+ 13 - - аЬи » О (I)

ах2 1- ^ <1х

его частных случаев и обобщений, включающего доказательство теорем существования и построение дискретных груш преобразования, допускаемых уравнениями класса (I), в результате чего получены новые интегрируемые случаи уравнений класса (I).

2) Разработка нового подхода к постановке и решению обратных дискретно-групповых задач.

3) Реализация нового подхода для уравнений типа Штурма-Лиувилля

-^[кСхЭ^-чСхЗу + ХрСхЭу - О, (2)

решение обратной дискретно-групповой задачи дня уравнения класса (2) и исследование свояста решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, полученных как уравнения сдвига спектра параметра.

В дальнейшем уравнения класса (2) рассматриваются в виде

у"+ ЙСХ, хЭу - О. (3)

Методика исследований. В работе используются метода дискретно-группового анализа, основанные на комплексном применении методов теории обыкновенных дифференциальных уравнения, спектральной теории , теории конечных групп и теории графов.

Научная новизна.I. Впервые предлагается и реализуется новый подход к решению задачи о нахождении множества значений параметра, входящего в дифференциальные уравнения класса (2) с помощью дискретных групп преобразований из некоторого фиксированного класса, действующих на множестве уравнения (2).

2. Впервые формулируется в общем виде обратная дискретно-групповая задач и приводится ее решение для уравнения класса (2) з некотором фиксированном классе преобразовании .

3. При решении обратной дискретно-групповой задачи найдены достаточные условия для функция, входящих в уравнения класса (2), обеспечивающее сдвиг спектра на наперед заданную величину.

4. Предлагается новый подход к проблеме интегрирования некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, полученых как уравнения сдвига спектра параметра уравнений класса (2).

5. Построены общие дискретные группы преобразований, допускаемые уравнениями класса (I), его частными случаями и обобщениями в классе преобразований

6. Описаны представления построенных дискретных групп преобразований в виде графов дискретных решеток в пространствах параметров исследуемых уравнения, позволяющие построить сетку разрешимых случаев уравнения рассматриваемого класса, что существенно увеличивает множество разрешимых в конечном вида дифференциальных уравнен/.?.

7. Получены новые интегрируемые случаи гипергеометрического уравнения Гаусса.

Практическая ценность. Диссертационная работа НОСИТ теоретический характер. Ее результаты могут бьггь применены к исследованию различных классов дифференциальных уравнений, содержащих существенный параметр и играющих важную роль как

в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях (физика, астрономия, технические науки).

Апровацвя работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинаре по групповым методам математической физики (Москва, ВЗМИ, 1985), на семинаре кафедры математического анализа РГПУ им.А.И.Герцена (1985 - 1989 гг), на семинаре кафедры прикладной математики МГУ им.Н.П.Огарева под руководством профессора Воскресенского Е.В. (Саранск, 1994 -1995 гг), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета (сентябрь 1995 года), на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Волкодавова В.Ф. в Самарском государственном педагогическом университете и на семинаре по групповому анализу под руководством кандидата физико-математических наук Берковича Л.М. в Самарском государственном университете.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 работах. Все результаты получены автором самостоятельно.

Структура и объел диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, общего списка литературы, включающего 47 наименований. Объем диссертации составляет юв страниц машинописного текста. Имеются 4 таблицы и приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы и основные задачи, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту, кратко охарактеризована каждая из трех глав.

Основными научными результатами диссертации являются:

соразработка и осуществление нового подхода к постановке и решению спектральных и обратных дискретно-групповых задач на примере уравнений типа Штурма-Лиувилля (2) и, в итоге, получение нового метода нахождения решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, называемых в даль-

нейтем уравнениями сдвига спектра параметра;

2) исследование полученных уравнений сдвига спектра параметра: получение достаточных условий, обеспечивающих получение нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с решениями, свободными от подвижных критических точек;

3) проведение полного дискретно-группового анализа для классов широко известных в приложениях обыкновенных дифференциальных уравнений: гипергеометрического уравнения Гаусса (I), его частных случаев (классов уравнений Лежандра

С1-ХЭ— - 2х2 — + пСп+1)и-0, (4)

<1х с!х

Лагерра, вырожденного гипергеометрического уравнения), и обобщений.

Первая глава посвящена изложению основных теоретических положений и идей дискретно-группового анализа и содержит полный дискретно-групповой анализ перечисленных выше классов обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В параграфе ' первом приведены основные исторические сведения о преобразованиях исследуемых в настоящей работе дифференциальных уравнений, поиск этих сведении в математической литературе достаточно затруднен.

В параграфе втором первой главы даются определения и понятия, необходимые для дальнейшего изложения результатов.

Основной задачей дискретно-группового' анализа является построение дискретной группы преобразований, допускаемой классом исследуемых уравнений в возможно более широком классе преобразований.

Основными объектами дискретно-группового анализа являются множества дифференциальных уравнений и множества преобразования.

Рассматривается множество дифференциальных уравнений

2>(х, у, у', у", ... , л) = о

Рассматриваются классы преобразований <а - преобразования в квадратурах и <э+ - класс <г, пополненный преобразованиями повышения и понижения порядка уравнений исследуемого класса.

Определение 1.2.1. Множество дифференциальных уравнения

называется адассом'дифференциальных уравнений если каждый его элемент однозначно определяется вектором параметров, входящих в уравнение.

Определение 1.2.3. Параметр называется существенным, если уравнение класса х> не допускает по нему непрерывную группу преобразований эквивалентности.

Определение 1.2.4. Преобразованием будем называть подстановку вида

,... ),у=у<1 ... ,...), (5)

связывающую исходные переменные (х,у) с переменными преобразованного уравнения в дальнейшем будут рас-

сматриваться лишь обратимые преобразования, поэтому предполагается, что в формуле (5) функции риф удовлетворяют соответствующим условиям обратимости.

Определение 1.2.7. Множество ® обратимых преобразований 9£, отображающих класс .® в себя

д.:Я(1)-»Д>(Ь£ ),а,Ь£<=Л(Д>)

называется дискретной группой преобразований (группой преобразований) допускаемой классом х>.

Определение 1.2.8. Множество уравнений

ь£=г.(5), (6)

индуцированное действиями преобразований а£е®, называется алгебраическим представлением группы преобразований

В параграфе третьем строится дискретная груша преобразований гипергеометрической функции Гаусса в классе о.. Связь между исходным и преобразованным уравнениями класса (I) посредством некоторого преобразования, сохраняющего вид рассматриваемого уравнения, записывается в пространстве параметров уравнений класса (I) в виде соответствия

(а,Ь,с) -► (а',Ь',с').

Теорема 1.3.1 содержит алгоритм построения и доказательство существования группы порядка 48 для гигоргеометрического

уравнения Гаусса (2) вклассе преобразований Используются преобразования Куммера.

Теоремы 1.3.2 - 1.3.5 содержат доказательства существования расширений основной конечной группы ® х®,,» допускаемых

классом (I) при использовании квадратичных и кубических преобразований, что приводит к понижению размерности пространства параметров уравнений класса (I). Найдены достаточные условия расширения группы до графа

00

® г сгпа,2па+г-1, гсгпа+2"ЪЭ;

п =-оо

при использовании цепочек квадратичных преобразований. Получен общий граф г = (г ®г[. представленный схемой

1 Р ' я Я41 1 ' О 1 Л 1

Г2чса,|са+1э,|са+13 Ф С0Г2Х §а+§3 • Г^С.д.^д-^

Г Са, ка+1Э, |са+153

2 4 о о

с<г2х ® >с|,§4,§+ §Э

1

2

1 24 3' 6'3

получающийся при применении к гипергеометрическому уравнению Гаусса линейных квадратичных и кубических преобразований (порядок графа равен количеству обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных между собой преобразованиями переменных -линейными, квадратичными, кубическими. Знак ® означает объединение графов посредством указанных образующих).

Четвертый параграф первой главы содержит доказательство теоремы 1.4.1 о существовании общей дискретной группы преобразований, допускаемой классом уравнений (I) в классе преобразований

Теорема 1.4.1. Общая дискретная группа преобразований, допускаемая классом (I) в классе пробразований о*, определяемая образующими а, в, с, р , представляет собой бесконечную

к

к

1

ф

дискретную трехмерную решетку в пространстве параметров, состоящую из звеньев конечной структуры. Здесь образующие задают следующие преобразования гидаргеометрической функции Гаусса

А: Са, Ь, с5 -> Са, Ь, а+Ь-с+1 5 ,

В: С а, Ь, с> -> С а, с-Ь, с),

С: Са, Ь, сЭ -► СЬ, а, сЭ.

о - операция дифференцирования пшергеометрической функции Гаусса

О: Са,Ь, с) -► Са+1,Ь, сЗ.

В приложении приведены 25 новых интегрируемых случаев гипергеометрического уравнения Гаусса, полученных при построении только основной конечной группы преобразований для интегрируемых в конечном виде случаев исследуемого уравнения, приведенных в справочнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям Э.Камке.

Исследование дискретных груш преобразований на основе построенных ранее групп для класса гипергеометрического уравнения Гаусса в применении подобных преобразований к уравнениям класса Лежандра, Лагерра, построение дискретных групп преобразований для функции Лауричеллы, изучение цепочки последовательных расширений от общего уравнения с решением в виде функции Лауричеллы до частных случаев гипергеометрического уравнения Гаусса приводится в параграфе пятом.

Теорема 1.5.1 Класс вырожденных гипергеометрических уравнений вида (7)

<12и с1и

- + Сс - --аи • О (7)

<12 <¡2

допускает в классе о. дискретную группу преобразований ®2х«2~ £>2 порядка 4.

Теорема 1.5.2. Груша преобразований вг2хсс2"'»2 может быть получена из конечной подгруппы дискретной группы преобразований гипергеометрического уравнения Гаусса в^х®, предельным переходом при ь -> » .

Теорема 1.5.3. Класс дифференциальных уравнений (7) допускает общую дискретную группу преобразований, определяемую

-ю-

тремя образующими к, т, которая может быть задана бесконечной двумерной решеткой в пространстве параметров уравнения класса (7).

Здесь С а, сЗ -► С а, с-ИЭ,

Т : Са, с. -► С1-а,2-с .Э ,

к : Са,с ) -► Сс-а,с .

В параграфе шестом рассматривается класс уравнений Лежандра

С1-х)±-!± - 2х2 — + пСп+13и=0. (8)

с1х <1х

Теорема 1.6.1. Класс уравнений Лежандра (8) в классе « допускает нерегулярную структуру, которую можно задать графом шестого порядка г .

Теорема 1.6.2. В классе преобразований о. класс уравнений Лежандра (8) при п=-| допускает граф порядка 24 со структурой

Г = г ® г в г .

24 в 12 в

Теорема 1.6.3. В классе преобразований о. при п —? класс

уравнений Лежандра (8) допускает бесконечный граф

00

• г2 Ггк-я,2к-а+г-1,гк-1+1].

Теорема 1.6.4 содержит построение и исследование дискретных групп преобразований в классе о. функции Лауричеллы , являющейся решением обобщения уравнения Гаусса на случай п комплексных переменных.

Знание дискретной группы преобразований, допускаемой ис-ледуемым классом дифференциальных уравнений, позволяет установить симметрию класса з> в фиксированном классе преобразований, описываемую множеством алгебраических зависимостей вида (6); разбить класс я на непересекающиеся подклассы эквивалентности по построенной группе; получить орбиту разрешимого элемента, каждый элемент.которой будет разрешим.

Во второй главе изложены основные положения дискретно-группового подхода к теории обратных задач для уравнений типа Штурма-Лиувилля (2) в общем виде.

Параграф первый содержит теоретические обоснования для применения дискретно-группового анализа к уравнениям класса (2).

Уравнения типа Штурма-Лиувилля можно отнести к классу задач, исследуемых даскретао-групповыми методами, т.к. уравнения типа (3) содержит существенный параметр х, и соблюдая известные условия на функции, входящие в уравнения класса (2), можно получить дискретный спектр значений параметра х.

Примеры прямых задач дискретно-группового анализа - задач восстановления спектра - приводятся в параграфе втором. Прямая дискретно-групповая задача, считается решенной, если найдена дискретная груша преобразований (или в общем случае множество преобразования), элементы которой при действии на некоторое известное значение параметра позволяют восстановить часть дискретного сшктра параметра или дискретный спектр полностью (это определяется мощностью получившегося множества преобразований).

Приведен алгоритм метода цепочек преобразований, позволяющий построить дискретные группы преобразований в классе а+ с помощью стандартных преобразований из множества х » <а, г, м, со>, где а - преобразование аргумента вида х»асо; г -преобразование функции у-игсхэ; м - почленное дифференцирование по х исходного уравнения, разрешенного относительно у, с последующим понижением порядка у'- г, у" - г'. Преобразование, приводящее уравнение после преобразований перечисленного вида к исходному виду .обозначено со.

Параграф третий посвящен постановке и решению обратных дискретно-групповых задач.

Под обратной дискретно-групповой задачей будем понимать задачу восстановления вида дифференциального уравнения класса (2), т.е. описания классов функций, входящих в уравнение класса (2), обеспечивающих в случае известной дискретной группы преобразований заранее заданный сдвиг параметра х на величину V* 0.

Показано, что решение обратной дискретно-групповой задачи эквивалентно решению некоторого дифференциального уравнения, называемого в дальнейшем уравнением сдвига спектра параметра или просто уравнением сдвига сшктра, получающегося всякий раз при сравнении коэффициентов при искомой функции исходного и преобразованного с помощью преобразований постро-

енной группы дифференциальных уравнения.

Преобразования,составлены как всевозможные трехзвенье-вые цепочки х.х2-хд ,где х^из указанного выше множества х, замкнутые на рассматриваемом классе дифференциальных уравнений. Замкнутость достигается при хэ=со. Для каждого случая составляется соответствующее уравнение сдвига спектра параметра.

Все уравнения сдвига сведены в таблицу 4.Приведены примеры решения обратной дискретно-групповой задачи.

Теоретически возможно рассмотрение цепочек стандартных преобразований произвольной длины.

Описывается важное соответствие между подмножеством множества нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка и подмножеством множества преобразований, применяемых для решения обратной задачи дискретно-группового анализа, что позволило предложить новый подход к рассмотрению проблемы отыскания решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка: если решена задача сдвига спектра для уравнения класса (2), т.е. найден конкретный вид каждого 1-го звена - вид каждого стандартного преобразования в цепочке

преобразований х1............хп, х. «е<э+ , то функции, задающие

стандартные преобразования, будут решениями некоторого нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, вид которого определяется всякий раз выбором конкретной цепочки преобразований из класса х.

Третья глава посвящена исследованию свойств решений полученных нелинейных дифференциальных уравнений сдвига спектра параметра и содержит решение обратной дискретно-1рупповой задачи для класса (2) при условии отсутствия в решениях исследуемых уравнений подвижных критических точек.

Айнсом указано 50 канонических форм уравнений, решения которых свободны от подвижных критических точек,' к которым можно привести все." уравнения вида .2

^ = (9)

с)2

где р - рациональная относительно и локально аналити-

ческая относительно г,

В параграфе первом эти нелинейные дифференциальные уравнения приводятся к стандартному виду.

В параграфе втором исследуются условия, при выполнении которых рассматриваемые дифференциальные уравнения имеют решения, свободные от подвижных критических точек, т.е. являются уравнениями р - типа.

Условия получены в виде описания классов функция ксхз, р<хэ, чсхэ, изначально входящих в уравнения класса (2) и определяют вид применяемых преобразования:

кС?Э - сХ. р£|^ЭкС?Э - 2*рС?Э, (Ю)

где

РС?Э - ХрС?Э- ,

ксез - —— ,

кС?Э

• (И)

' <ХхЭ - е\ (12)

кСхЭ " . , , \\>рС хЭ '

где есхэ определяет преобразование г.

Проведенный анализ дает возможность сделать вывод о составе цепочек преобразований вида • ха. хд, приводящих к уравнениям сдвига спектра с решениями, свободными от подвижных критических точек.

Теорема 3.2.1. Пусть в (2) функции ксхэ, рСхэ, ^схэ удовлетворяют одному из условий (10), (II), (12) и класс дифференциальных уравнений (2) замкнут относительно цепочки преобразований Х1 .х2 , где х. принадлежит множеству <а, г, м, со>, V - 17^, причем в качестве стандартного звена в °х2*х3 содержится преобразование а. Тогда дифференциальные уравнения класса (2) порождают уравнения сдвига спектра параметра с решениями, свободными от подвижных критических точек.

В теореме 3.2.2 указано, что при выполнении условий теоремы 3.2.1 составленные уравнения сдвига спектра интегрируется в известных функциях.

Все полученные результаты конструктивны, приведены с полным доказательством с привлечением результатов общей

теории дифференциальных уравнения, теории конечных груш и теории графов.

В заключении диссертации дана общая'характеристика полученных результатов, намечены перспективы их применения к проблеме нахождения решения нелинеяных дифференциальных уравнений высших порядков.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.3аяцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Построение одноя дискретной группы преобразований гипергеометрического уравнения Гаусса //Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев: Куйбышев, гос. пед. ин-т. 1984. С. 43-44.

2. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В., Кравченко Г.Ф. Дискретно-групповой анализ гипергеометрического уравнения Гаусса

/ Лен. гос. пед. ин-т им.А.И.Герцена. Л., 1984. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 09.07.84, N 4857-84.

3. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповые методы теории дифференциальных уравнений.4.2.Лен.гос.пед.ин-т им.А.И.Герцена.Л., 1985.150 с. Деп. в ВИНИТИ 29.05.85, N 372085.

4. Зайцев В.Ф., Кормиливдна Т.В. Об одной дискретной группе преобразований вырожденного гипергеометрического уравнения // Качественная теория сложных систем. Л.: ЛГПИ им.А.И. Герцена. 1986. С. 128 - 132.

5. Кормилицына Т.В. Об одной обратной дискретно-групповой задаче //Дифференциальные уравнения в частных производных . Л., ЛГПИ им.А.И.Герцена. 1986. С. 8 - 12.

6. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповой подход к спектральным и обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений / Лен.гос. пед. ин-т им. А.И.Герцена. Л., 1988 . 30 с. Деп. в ВИНИТИ 15.05.86, N 3529-В86.

7. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповой подход к задаче Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.Тула,Тульский политех, ин-т.1987. СЛ1 - 14.

8. Кормилицына Т.В. О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка, связанных с решением обратной дискретно-групповой задачи //Дифференциальные уравнения с частными производными. Л.,ЛГПИ им.А.И.Герцена. 1987. С.138 - 142.

9. Кормилицына Т.В. Р-свойство решений нелинейных диффе-

рендаальных уравнения сдвига спектра // Тезисы зо-оя научной кэференции МГПИ им.М.Е.Евсевьева, Саранск, 1994, с.62,63.

10. Кормилицына Т.В. Классификация нелинейных дифференциальных уравнения сдвига спектра /Труды математического семинара Мордовского гос.дад.ин-та им.М.Е.Евсевьева.Саранск, 1994. 57 с. Деп. в ВИНИТИ 05.07.94. м 1677 - В94. С. 27 - 36.

11. Кормилицына Т.В. Исследование уравнений сдвига спектра параметра при решении обратной дискретно-групповой задачи // Дифференциальные уравнения и их приложения /Международная научная конференция (22-24 декабря 1994 г., г.Саранск): 1езисы докладов. С. 145.

12. Кормилицына Т.В.Исследование уравнений сдвига спектра параметра при решении обратной дискретно-групповой задачи //Математическое моделирование, т.7, к 5. 1995. С. 72.