Сепаратрисное отображение в задаче Мезера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

□П344С36

Пифтанкин Геннадий Николаевич

Сепаратрисное отображение в задаче Мезера

01 02 01 - 1еоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кап д и дата ф и з и ко- м ат ем ати <

имени М В Ломоносова Меха! 1 и ко- м а гемати чески и факул ы е г

На правах рукописи

2 2 СЕН 2003

Москва 2008

003446362

Работа выно шена на кафедре теоретической механики и мехатроники механнко-матемашческого фак>льтеш МГУ им M В Ломоносова

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Д В Трещев

Официальные оппоненты

доктор физико-матема1ических наук, профессор

С В Болотн

док юр физико-математических наук, профессор

Л M Лерман

Ведущая организация.

Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики при Ниже! ородском государственном jHiiBeparreTe имени H II Лобачевскою

Защита состоится 10 октября 2008 юда в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 22 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова но адресу 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, а\д 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математическою фак> чьтета МГУ

Автореферат разослан 3 сентября 2008 юда

Ученый секретарь диссертационного совета, канд физ -мат наук, доцент,

В А Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность работы Как известно, в классической механике существует лишь немного задач, в которых удастся onncaib динамику системы на всем фазовом пространстве Поэтому одной из основных задач является nocí роение специальных решений, динамику которых можно проанализировать на достаточно большом интервале времени, и выявление с помощью них интересных динамических свойств систем Одним из таких явлений является диффузия Арнольда в сис1емах близких к интегрируемым Это явление было открыю В И Арнольдом в его знаменитой статье1, где он построил пример гамильтоновой системы близкой к интегрируемой, имеющей траектории, у которых переменные действия изменяются на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении исходной интегрируемой системы Однако до с их пор остается открытым вопрос о типичности этого явления в системах близких к интегрируемым Дж Мезер в качестве модельного примера к проблеме о диффузии Арнольда предложил рассмотреть задачу об эволюции энергии при возмущении геодезического потока (движения по инерции) на двумерном торс неавтономным потенциалом Он показал, что в типичной ситуации существуют траектории с неограниченым ростом энергии Полные доказательства утверждения Мезера были получены в работах С В Болотина и Д В Трещева2, А Дельшамса, Р де ла Яве и Т Сеары3 и

'Арнольд В И , О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы Докл АН СССР, 1964, Т 156, N 1, С 9-12

2Bolotin S , Treschev D , Unbouded growth of energy in nonautonomous Hamiltonian systems Nonlmeanty, 12(2) 365-388, 1999

3Delshams A , de la Llave R , Seara T M , A geometric approach to the existence of orbits with unbounded energy in generic periodic perturbations by potential of generic geodesic flows on T2, Comm Math Phys, 209(2) 353-392, 2000

В Ю Калошина4 Основным результатом диссертационной работы является построение траекторий задачи Мсзера, на которых энергия неогра-ничено растет в среднем как линейная функция времени, что является оптимальной оценкой максимальной скорости роста энергии на траекториях Аналогичные результаты имеются в препринте Р де ла Яве5 и в недавней работе В Г Гельфрейха и Д В Тураева6

Для исследования траекторий задачи Мезера в диссертационной работе применяется методы сепаратрисного отображения и антиинтегриру-емого предела

Из работ А Пуанкаре, Дж Биркгофа, С Смейла, Л П Шильникова и других авторов известно, что в окрестности пересечения асимптотических многообразий к периодическим решениям или неподвижным точкам системы присутствует достаточно хаотическая динамика, надежды на полное описание которой в ближайшем будущем даже в простейших ситуациях, по мнению многих специалистов, ничтожно малы Сепара-трисное отображение было придумано7'8 как удобное средство для изучения этой динамики Назовем решение, порождающее асимптотические многообразия, базовым Траектории, не выходящие из окрестности сепаратрис, стартуют в некоторой "фундаментальной" области, приближаются к базовому решению и затем возвращаются в фундаментальную область При этом большую часть времени траектория проводит около

4Kaloshin V, Geometric proofs of Mather's connecting and accelerating theorems Proc (Katsively)(Cambridge University Press)(2003)

5de la Llave R , Orbits of unbounded energy in perturbations of geodesic flows by periodic potentials, Preprint, 2004

eV Gelfreich, D Turaev, Unbounded energy growth in Hamiltonian systems with a slowly varying parameter, Coram Math Phys (2008), DOI10 1007/s00220-008-0518-l

7Шильников Л П Об одном случае существования счетного множества периодических движений - ДАН СССР, 1965, т 160, 3, с 558-561

83аславский Г М , Филоненко Н Н , Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного приближения ЖЭТФ 1968, Т 54, С 1590-1602

базового решения Естественная идея состоит в том, чтобы пропустим, динамичен ки неинтересную часть движения, расположенную около базового решения, и рассмотреть лишь индуцированное отображение на себя фундаментальной области в случае дискретною времени или некоторого сечения Пуанкаре для непрерывного времени Это отображение и называется сепаратприспым

Несмотря па то, что метод сепаратрисного отображения был открыт в середине прошлого века, его широкие применения появились не так давно Это связано с развитием новых мегодов исследования сепаратрисного отображения, в основном благ одаря работам Д В Трещева и нижегородской школы динамических систем Одним из таких методов является метод антиинтегрируемого предела9 Метод ангиинтегрируемого предела диаметрально противоположен методам классической теории возмущений, КАМ-теории, теории Пуанкаре-Мельникова и другим методам, имеющим дело с системами близкими к интегрируемым, и по духу близок к методам гиперболической динамики, связанным с построением кодирования траекторий системы Системы, для которых работает метод антиинтегрируемого предела, в некотором смысле близки к недетерминированным, случайным системам

Отметим, что задача Мезера актуальна не только в контексте проблемы о диффузии Арнольда Недавно методы, применяемые в задаче Мезера, успешно применены для построения траекторий с неограниченным ростом энергии и оценки его скорости в таких механических моделях, как многомерное обобщение модели Ферми-Улама (биллиард с колеблющийся границей)10 и модель Литтлвуда (гамильтонова система с

9Aubry S , Abramovici G , Chaotic trajectories in the standard шар the concept of anti-mtegrability Physica 43 D, 1990, P 199-219

10V Gelfreich, D Turaev, Fermi acceleration in non-autonomous billiards, J Phys A 41 (2008) 1-6

iieatsioiioMiibiM возмущением однородного потенциала)11 В диссертации также приводится пример механической системы, представляющей собой некоторое обобщение двойного маятника с колеблющейся точкой подвеса, для которой удается проверить условия общего положения системы Мезера, и, тем самым, доказать существование решений с неограниченным линейным по времени ростом энергии

Цель диссертационной работы. Основной целыо диссертационной работы является исследование задачи Мезера о возмущении геодезического потока неавтономным потенциалом с помощью метода сепара-триспого отображения

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми Также в работе имеются известные результаты, но доказанные новыми методами

Достоверность результатов Все результаты диссертационной работы обоснованы, они базируются на общих теоремах динамики, теории гамильтоновых систем, функционального анализа, теории функций комплексного переменного

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть применены в задачах классической механики и общей теории динамических систем

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

— Семинар "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад РАН В В Козлова, чл -корр РАН Д В Трещева и

!1Delshams A, de la Llave R and Seara T 2008 Geometric approaches to the problem of instability m Hamiltonian systems An informal presentation In Hamiltoman Dynamical Systems and Applications, Springer, 285-336, 2008

проф С В Бологина, 2Ü0G [

— Семинар "Избранные задачи классической и квантовой механики" иод рук чл -корр РАН Д В Трещева, 2005 г

— Семинар имени В В Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости иод руководством чл -корр РАН В В Белецкого и проф А В Карапсгяна, 2007 г

— Семинар'The Applied Math - PDEseminar at University of Wisconsin", 2006 г

— IV Международная конференция по динамическим системам, г Суздаль, 2006 г

— Конкурс имени Августа Мебиуса, 2005 г

Публикации Основные результаты диссертации изложены в трех печатных работах, входящих в перечень ВАК Список работ приведен в конце автореферата

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 47 наименований Общий объем диссертации — 97 страницы

Содержание работы

Во Введении сделан краткий обзор литературы, обоснована актуальность диссертационной работы, описаны методы исследования, приведено краткое содержание и сформулирован основной результат диссертации

Рассмотрим следующую гамильтонову систему

q = дН/др, р = -ÖH/dq, (1)

H(q, р, t) = T(q, p) + V{q,t), q € M, p£T*M, t € T = K/Z, (2)

где М - гладкое компактное двумерное многообразие, Т(д, р) - кинетическая энергия (риманова метрика на М), — периодическая по времени потенциальная энергия

Кинетическая энергия Т порождает геодезический поток на М, те поток гамильтоновой системы с гамильтонианом Т на инвариантной поверхности Т = 1 Пусть род М положителен, тогда в любом нетривиальном гомотопическом классе замкнутых кривых на М можно выбрать кривую с минимальной длиной Эта кривая является геодезической Пуанкаре показал, что если она невырождена, то она является гиперболической, те экспоненциально неустойчивой К тому же, если минимальная геодезическая единственна, то существует гомоклиническая к ней геодезическая <77(£), те существуют числа а±, определенные по модулю а периода qrт, такие что <?7(£) —» + а±) при £ —> ±оо Гиперболическая траектория имеет инвариантные асимптотические многообразия устойчивое, которое состоит из всех решений стремящихся к ней при £ —» +оо и неустойчивое, состоящее из решений стремящихся к нему при £ —» —оо В интегрируемых системах обычно асимптотические многообразия совпадают или, как говорят, сдвоены В общем же случае они пересекаются по гомоклиническим траекториям Гомоклиническая траектория называется трансверсальной если асимптотические поверхности пересекаются вдоль нее под ненулевым углом

Без ограничения общности можно считать, что У(да(з),1) = О Тогда для каждого £ € Т существует и не зависит от выбора а± следующий предел

в

в+а+

в

-в+а_

который называется интегралом Пуанкаре-Мельникова

Cm 1ема (1)-(2) неавтономна и энергия Н можег и шеиятся на траекториях Мезер12 показал, что в такой системе существуют траектории с неограниченным ростом энергии Основным результагом диссертационной работы является следующее обобщение утверждения Мезера

Теорема 1 Пусть система (1)-(2) удовлетворяет следующим условиям Мезера

(Т) Геодезический поток, заданный кинетической энергией Т, имеет гиперболическое периодическое решение, cr(t) = {qa{t),pa(t)) и гпрансвер-сальное гомоклиническое к нему решение 7(£) = {qy(t),p~f(t)) (V) Интеграл Пуанкаре-Мельникова I(t) непостоянная функция Тогда существует решение r](t) системы (1)-(2), на котором энергия неограничено растет в среднем линейно по времени при всех t > О

H(r](t),t)>At + B, (4)

для некоторых констант А > 0 и В

Поскольку j-tH = §-tV < А, то на любом решении H(t) < At + В, А,В = const Таким образом, рост энергии более быстрый, чем линейный по времени, невозможен ни на каком решении В этом смысле оценка (4) точна

В первой главе приводится пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы, удовлетворяющей условиям Мезера (Т) и (V) Мы рассматриваем систему, состоящею из двух материальных точек в вертикальной плоскости с массами т и ц в поле силы тяжести, жестко связанных стержнем длины I, при этом первая материальная точка массы т движется по гладкой замкнутой кривой Г, которая

12 Mather J N , Talk gxven at the conference tn dynamical systems, Oberwolfach (1997)

совершает вертикальные периодические колебания Если кривая Г является окружностью, то система является обычным двойным маятником с вибрирующей точкой подвеса Поэтому эту систему мы называем обобщенным двойным маятником с вибрирующей точкой подвеса

Пусть Г является эллипсом с малым эксцентриситетом В этом случае геодезический поток порожденный кинетической энергией, те движение в отсутствие силы тяжести и колебаний кривой Г, близок к интегрируемому случаю —

движению по инерции двойного маятни-

г-. Рис 1 Обобщенный двойной ма-

ка Это дает, во-первых, проверить уело-

тятник

с помощью стандартного метода Пуанкаре-Мельникова расщепления сепаратрис и, во-вторых, с точностью до малого параметра возмущения вычислить выражения для периодической и гомоклинической к ней орбит С этой же точностью мы вычисляем интеграл Пуанкаре-Мельникова 1(1), что достаточно для проверки условия (V) Для простоты вычислений мы считаем, что отношение масс ^ мало и полуось эллипса близка к длине стержня I Теорема 1 дает следующий результат

Теорема 2 Пусть отношение масс ^ мало Тогда для любого эллипса Г с достаточно малым отличным от нуля эксцентриситетом и полуосью достаточно близкой к I, существует решение обобщенного двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса, на котором энергия неограничено растет в среднем линейно по времени

На самом деле, как показывается в диссертации, это же утверждение верно почти для любой кривой достаточно близкой к окружности

Рис 2 Сепаратрисное отображение Шилышкоиа

радиуса I

Вторая глава посвящена основному методу, применяемому нами при доказательстве теоремы 1 — методу сепаратрисного отображения

В параграфе 2.1 в качестве примера приведен вывод формул для сепаратрисного отображения Шильникова Это отображение определяет динамику отображения с гиперболической неподвижной точкой в окрестности гомоклинической траектории Рассмотрим гладкий симплектомор-фнзм Т D —> D, D С R2, который а) имеет гиперболическую неподвижную точку сг, б)устойчивая Г" и неустойчивая Г" сепаратрисы точки а пересекаются в точке 7 Таким образом, система имеет гомоклиническое решение {Тп(j)}n£Z, те Тп(7) —» а при тг —> ±оо Обозначим через \i > 0 — мультипликатор неподвижной ючки и и положим Л = In ц Пусть nr{z) = min{n > 0 Tn(z) е Д} и Дг = {z 6 А пт < +оо}, те множество Дг состоит из точек окрестности Д, которые под действием Т возвращаются в эту окрестность Сепаратрисное отображение SM Дг -> Д имеет вид SM(z) = Tn-(z)

Теорема 3 Существует (достаточно малая) окрестность Д точки 7 и симплектические координаты (х, у) такие, что

1 Д = {(х,у) £ Т х Е X, у малы}13,

2 7 = (х = 0,у = 0), {у = 0} = Г"П Д,

3 существуют констпаиты а, Ь,с1 и гладкое отображение (х, у) »—> (х+, у+)

х+ =х + <1+\\пу+ +01{у+\пу+)+01(х,у),

Л (5)

у+=ах + Ьу +02(х,у),

<

которое совпадает с сепаратрисным отображением ¿Л4 на счетном наборе Д1 областей накапливающихся к кривой {у+ = 0} =РПД

Д1 = {(а;,2/)еД (х+,у+) £ А, > 0}, 5Л4|д, = (5)к,

4 сепаратрисы Г" и Г8 пересекаются трансверсальпо в точке 7 тогда и только тогда, когда а ф 0,

5 для г = (х, у) £ Д1 количество итераций до первого возвращения в Д равно

где [X] обозначает округление числа X до целого

Это отображение применяется в третьей главе для построения хаотических траекторий в окрестности гомоклинической точки

В параграфе 2.2 приведено определение и формулы для сепаратрис-ного отображения в задаче Мезера Оно представляет собой обобщение сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2 1 Рассмотрим систему (1)-(2) Обозначим через

*•/.(«) = у/Кр^у/Кг)), 7Л(0 = (?7(>/Л*)» у/К^у/Кь))

периодические и гомоклинические решения системы с гамильтонианом Т, лежащими на поверхности Т = Н В расширенном фазовом простран-

13Переменная х — угловая, выражение "х мало" следует понимать как близость к точке х = 0 на окружности

ъ(0-

С

-~т=и

<т(г)-

— Т=1

Рис. 3. Сепаратрисное отображение в задаче Мезера.

стве Т*М х Т, выберем гиперповерхность 2, трансверсальную гамиль-тонову векторному полю и проходящую через точки (^(О), ¿).

Сепаратрисное отображение БМ определим как отображение Пуанкаре этой четырехмерной поверхности О.. Точнее, выберем произвольную точку 2 на этой поверхности. Пусть ФА — фазовый поток и и(2) = гшп{* > 0 : Ф'2 £ 2} и 2Г = {2 в Я : и < +оо}. Тогда:

На самом деле, вместо 2Г используется меньшая область <2», ограничение БМ на которую является гладким отображением. Пусть V — 1/1 — частота и А — положительный показатель Ляпунова решения Положим д = и(а+—а_). Далее точками ... будем обозначать несущественные члены, которые явно можно оценить.

Теорема 4 На поверхности 2 существуют координаты (х,у^,/г):

БМ : Яг 2, БМ{2) = Ф('2.

2 = {(я, у, К) е Т х К3 : у, Н1 - малы]

такие, что:

1. í совпадает с исходным временем;

2 T = h+ ,

3 на области < у, х,у — малыj С Q существует гладкая функция

Y(x, y,t, h) = ах + by + , a, b — константы (6)

такая, что Q, = j (i, у, i, h) € Q < y, -щ < Y, x, y — малы j , и ce-паратрисное отображение имеет вид

SM Q. - Q, SM(x, y, t, h) = {x\ p\ t\ h+),

Л

У+ = Y + ,

1 (7)

t+ = t--= 1пГ + ,

Xy/h

h+ = h + -5=I'{t) + ,

y/h

5 гомоклиническое решение 7(t) системы с гамильтонианом Т является трансверсальным тогда и только тогда, когда а ф О

Не трудно видеть, что в главном приближении первые два уравнения отображения (7) отделяются и совпадают с уравнениями сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2 1

В третьей главе мы описываем метод антиинтегрируемого предела В параграфе 3.1, в качестве примера применения метода антиинтегрируемого предела для построения хаотических траекторий в окрестности сепаратрис, строиться хаотическое множество в окрестности гомо-клинической траектории к гиперболической неподвижной точке двумерного симплектоморфизма

В параграфе 3.2 методом антиинтегрируемого предела строятся хаотические траектории сепаратрисного отображения задачи Мезера (7) и из них выбираются те, на которых энергия растет линейно по времени

Рис 4. Быстрая траектория Мезера к интеграл Пуанкаре-Мельникова

Для построения хаотических траекторий сепаратрисного отображения (7) строится сжимающий оператор на пространстве последовательностей {(хп, уп, £„, /ггг)}„е2 с экспоненциально взвешенными нормами Таким образом, строится инвариантное множество сепаратрисного отображения, на котором динамика сопряжена со сдвигом Бернулли на множестве ограниченных снизу и сверху целочисленных последовательностей Для выбора нужной из построенных траекторий анализируются формулы (7) для координат £ и к Пусть {(хп, уп, 1п, кп)}пеЖ траектория сепаратрисного отображения (7) Мы хотим выбрать такую траекторию, что /гп > АЬп + В, для некоторых констант А, В Обозначим, 5кп = /гп+1 — /г„ и 5Ьп = ¿п+1 — £п В главном приближении получаем

опп = —;-Ып + ,

-1пу„+1

где 5кп, 6Ьп — малы при большом к и периодическая функция /'(£) имеет нулевое среднее Таким образом, последовательность кп, характеризующая энергию, возрастает или убывает вместе с интегралом Пуанкаре-Мельникова /(¿) Выбирая из построенных хаотических траекторий такую, что величины насколько можно, велики (соответственно,

малы) при Г(и) > 0 (соответственно, при /'(£„) < 0) получим траекторию с неограниченным линейным по времени ростом энергии (рис 4)

В заключении приведены основные результаты работы

1 Получена неулучшаемая оценка скорости роста энергии в задаче Мезера

2 Получены формулы для сепаратрисного отображения в задаче Мезера и ее многомерного обобщения

3 Получен новый способ применения метода антиинтегрируемого предела в системах со слабой гиперболичностью

4 Приведен пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы, периодически зависящей от времени, у которой существуют решения с неограниченным ростом энергии, в среднем линейным по времени

В приложениях доказываются технические утверждения, используемые в работе В приложении А приведен вывод сепаратрисного отображения для многомерной версии задачи Мезера В частности, доказывается теорема 4 В приложении Б доказывается лемма из параграфа 3 2 о сжимаемом операторе

В заключение хочу поблагодарить моего научного руководителя профессора Д В Трещева за постановку задачи и постоянное внимание к работе, профессора С В Болотина — за ценные указания, профессора В Ю Калошина — за большой интерес к работе, моего отца Н А Пифтанкина, доцента А П Комбарова и всего преподавательского состава механико-математического факультета МГУ — за воспитание математической культуры

Список публикаций

1 Г Н Пифгапкин, Скорость диффузии в задаче Мезера // Доклады АН Т 408,№06, 736-737, 2006

2 Piftankiri G N , Diffusion speed in the Mather problem // Nonlinearity 19, 2617-2644, 2006

3 Г H Пифгапкин, Д В Трещсв, Сспаратрисное оюбражение в га-мильтоновых системах // УМН, 62 2(374), 3-108, 2007

Подписано в печать 02 09 2008 Формат 60x88 1/16 Объем 1 0 п л Тираж 100 экз Заказ № 729 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102

Введение

Глава 1. Обобщенный двойной маятник с вибрирующей точкой подвеса

1.1. Гамильтонова система.

1.2. Интеграл Пуанкаре-Мельникова геодезического потока

1.3. Интеграл Пуанкаре-Мельникова потенциального возмущения

Глава 2. Сепаратрисное отображение.

2.1. Сепаратрисное отображение Шильникова

2.2. Сепаратрисное отображение в задаче Мезера

Глава 3. Антиинтегрируемый предел.

3.1. Хаотические траектории Биркгофа-Смейла-Шильникова

3.2. Рост энергии в задаче Мезера

Как известно, в классической механике существует лишь немного задач, в которых удается описать динамику системы на всем фазовом пространстве. Поэтому одной из основных задач является построение специальных решений, динамику которых можно проанализировать на достаточно большом интервале времени, и выявление с помощью них интересных динамических свойств систем. Одним из таких явлений является диффузия Арнольда в системах близких к интегрируемым. Это явление было открыто В.И.Арнольдом в его знаменитой статье [1], где он построил пример гамильтоновой системы близкой к интегрируемой, имеющей траектории, у которых переменные действия изменяются на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении исходной интегрируемой системы. Таким образом, если на небольших интервалах времени эволюцию возмущенной системы можно описывать уравнениями интегрируемой задачи, то на больших интервалах времени возможно качественное изменение движения. Однако до сих пор остается открытым вопрос о типичности этого явления в системах близких к интегрируемым. Дж.Мезер в качестве модельного примера к проблеме о диффузии Арнольда предложил рассмотреть задачу об эволюции энергии при возмущении геодезического потока (движения по инерции) на двумерном торе неавтономным потенциалом. Он показал, что в типичной ситуации существуют траектории с неограниченым ростом энергии[35]. Полные доказательства утверждения Мезера были получены в работах С.В.Болотина и Д.В.Трещева[20], Дельшамса, де ла Яве и Сеары[22] и В.Ю.Калошина[39]. Основным результатом диссертационной работы является построение траекторий задачи Мезера, на которых энергия неограничено растет в среднем как линейная функция 1 времени, что является оптимальной оценкой максимальной скорости роста энергии на траекториях. Аналогичные результаты имеются в препринте де ла Яве [25] и в недавней работе В.Г.Гельфрейха и Д.В.Тураева [30].

Ниже во введении мы более подробно остановимся на основных аспектах, затрагиваемых в данной работе, дав соответствующий обзор литературы.

Диффузия Арнольда

В [1] предложен пример гамильтоновой системы вида х = дН/ду, у = -дН/дх, Н = Н0(у) + £Нг(х, у, t, е), (1) хетп = Rn/Zn, у е Mn, te Т, eG (-е0, е0) с п = 2 и выпуклым по действиям у невозмущенным гамильтонианом Hq, в которой переменные у могут измениться вдоль траектории на величину порядка единицы. Позднее это явление получило название диффузии Арнольда. В [1] был также предложен механизм, порождающий такую диффузию. В возмущенной задаче должен существовать набор гиперболических торов (переходная цепочка). Соответствующая цепочка устойчивых и неустойчивых асимптотических поверхностей должна быть соединена гетероклиническими траекториями. Тогда на траектории, следующей этой цепочке, имеет место дрейф переменных действие.

Основной вопрос, связанный с диффузией Арнольда в системах (1), звучит так. Является ли диффузия типичным свойством? При этом важно, в каком классе гладкости лежит Н. Обычно наиболее интересным считается вещественно-аналитический случай. Он же является технически наиболее сложным.

Согласно теории Нехорошева [7], в вещественно-аналитических системах, удовлетворяющих довольно слабым условиям (так называемым, условиям крутизны), средняя скорость дрейфа действий вдоль траектории оценивается сверху экспоненциально малой величиной е~а£ Р с положительными а, /3. Экспоненциально малые эффекты представляют основную трудность для анализа диффузии. Другая трудность связана с тем фактом, что торы в переходной цепочке образуют, как правило, не непрерывное, а канторово семейство. Оно содержит дыры. Если эти дыры велики, то асимптотическим поверхностям двух торов, разделенных дырой, трудно дотянуться друг до друга. Оценки ширины дыр используют теорию КАМ и поэтому весьма громоздки.

При построении своего примера Арнольд не преодолел этих трудностей, а обошел их с помощью некоторых трюков. В примере Арнольда переходная цепочка образована гладким семейством гиперболических торов, С экспоненциально малыми эффектами удается справиться благодаря тому, что возмущение зависит от двух малых параметров: е и 6 ~ с > 0. Параметр г несет ответственность за появление гиперболических торов, а 5 — за существование гетероклинических связей между ними. Так как 5 экспоненциально мал относительно е, то существование этих связей можно установить с помощью метода Пуанкаре-Мельникова.

Дуади [26] построил С°°-гладкие гамильтоновы системы с тремя степенями свободы, имеющие формально устойчивые, но неустойчивые по Ляпунову эллиптические положения равновесия, причем неустойчивость порождается диффузией Арнольда. Более гладкая (Жевре-а, а > 1) ситуация рассмотрена в [36]. В [36] также содержится вариант теории Нехорошева для квазивыпуклых гамильтоновых систем класса Жевре.

В [28] в духе идей Арнольда построен широкий класс вещественно-аналитических систем (весьма вырожденных) с диффузионными траекториями. Возмущения, зависящие от двух малых параметров, рассмотрены в [29]. В отличие от исходного примера Арнольда второй параметр 5 не экспоненциально мал относительно е, а имеет вид 5 = ер, где постоянная р достаточно велика. Вариационный подход в примере Арнольда используется в [17]. В [42] произведен численный анализ примера Арнольда с г = 5.

Мезер [34] анонсировал вариационное доказательство типичности диффузии Арнольда в системах (1) с положительно определенным гессианом д2Но/ду2 в случае двух с половиной степеней свободы. Однако полного доказательства пока не появилось.

Существует несколько более простых задач, где явления типа диффузии (т.е. дрейф медленных переменных вдоль переходных цепочек) происходят без экспоненциально малых эффектов. К ним относятся задача Мезера и априори неустойчивые системы. С помощью метода сепаратрисного отображения в таких системах удается не только доказывать существование диффузионных траекторий, но и оценивать максимальную скорость изменения медленных переменных [8, 47].

Сепаратрисное отображение

Из работ Пуанкаре, Биркгофа, Смейла, Шильникова и других авторов известно, что в окрестности пересечения асимптотических многообразий к периодическим решениям или неподвижным точкам системы присутствует достаточно хаотическая динамика, надежды на полное описание которой в ближайшем будущем даже в простейших ситуациях, по мнению многих специалистов, ничтожно малы. Сепаратрисное отображение было придумано как удобное средство для изучения этой динамики. Назовем решение, порождающее асимптотические многообразия, базовым. Траектории, не выходящие из окрестности сепаратрис, стартуют в некоторой "фундаментальной" области, приближаются к базовому решению и затем возвращаются в фундаментальную область. При этом большую часть времени траектория проводит около базового решения. Естественная идея состоит в том, чтобы пропустить динамически неинтересную часть движения, расположенную около базового решения, и рассмотреть лишь индуцированное отображение на себя фундаментальной области в случае дискретного времени или некоторого сечения

Пуанкаре для непрерывного времени. Это отображение и называется сепара-трисным.

Удобство сепаратрисного отображения как средства исследования возмущенной динамики объясняется следующими обстоятельствами

• существуют координаты, в которых сепаратрисное отображение принимает универсальный и относительно простой вид: "главная часть" плюс "малые ошибки",

• главная часть сеиаратрисного отображения вычисляется явно в терминах невозмущенной системы и возмущения,

• "ошибки" явно оцениваются.

Существует два идеологически и технически различных класса систем, в которых сепаратрисное отображение позволило получить интересные динамические эффекты.

Первый класс — это системы близкие к интегрируемым. В невозмущенной интегрируемой системе асимптотические многообразия оказываются сдвоенными, а формулы для сепаратрисного отображения — очень простыми. При малом возмущении в главном приближении по возмущающему параметру (традиционно, е) в О (е)-окрестности асимптотических многообразий удается получить явные универсальные формулы для сепаратрисного отображения. Сепаратрисное отображение такого типа впервые возникло в работе Г.М.Заславского и Н.Н.Филоненко [5], где было применено для оценки ширины стохастического слоя.

Для систем второго класса не требуется близости к интегрируемости. Здесь объектом исследования служит динамика, сосредоточенная в малой окрестности одной гомоклинической (т.е. двоякоасимптотической к базовой) траектории. Окрестности указанного типа, как правило, не инвариантны, но целиком содержат достаточно большой набор траекторий. Сепаратрисное отображение позволяет получить довольно подробное описание этой динамики. Подобный подход был предложен в [13] и далее был успешно применен для построения символической динамики, исследования гомоклинических бифуркаций, исследования хаотических аттракторов и т.п.

Задача Мезера принадлежит ко второму классу систем. В параграфе 2.2 мы представим формулы для сепаратрисного отображения в случае двух с половиной степеней свободы. В приложении соответствующие формулы выводятся в многомерной ситуации. Более подробное изложение различных типов сспаратрисных отображений и их применений имеется в [8].

Антиинтегрируемый предел

Несмотря на то, что метод сепаратрисного отображения был открыт в середине прошлого века, его широкие применения появились не так давно. Это связано с развитием новых методов исследования сепаратрисного отображения, в основном благодаря работам Д.В.Трещева и нижегородской школы динамических систем. Одним из таких методов является метод антиинтегри-руемого предела. Метод антиинтегрируемого предела диаметрально противоположен методам классической теории возмущений, КАМ-теории, теории Пуанкаре-Мельникова и другим методам, имеющим дело с системами близкими к интегрируемым, и по духу близок к методам гиперболической динамики, связанным с построением кодирования траекторий системы. Системы, для которых работает метод антиинтегрируемого предела, в некотором смысле близки к недетерминированным, случайным системам.

Метод антиинтегрируемого предела был впервые применен в работе Обри и Абрамовича [15] для построения хаотических траекторий стандартного отображения Чирикова [11], когда присутствующий в нем параметр е, обычно считаемый малым, достаточно велик. В антиинтегрируемом пределе е = оо стандартное отображение вырождается. Его траекториями, в некотором г 7 смысле, являются только произвольные последовательности вида {ftkn}n€Z с кп G Z. Оказывается, что при конечном (достаточно большом) в можно построить орбиты близкие к таким случайным траекториям. Основным приемом для этого служит построение сжимающего оператора на пространстве последовательностей из фазовых точек системы, неподвижные точки которого являются траекториями.

Метод был обобщен на большой класс дискретных [10, 33] и непрерывных [19] лагранжевых систем. В работе [46] метод антиинтегрируемого предела был применен для построения хаотических траекторий многомерного сепа-ратрисного отображения в системах близких к интегрируемым. Сложность применения метода антиинтегрируемого предела в этом случае, заключается в том, что гиперболичность, т.е. экспоненциальная неустойчивость по начальным данным, имеется лишь по части переменных. Тогда соответствующий оператор является сжимающим лишь.на множестве конечных последовательностей. Идея построения траекторий на бесконечном интервале времени заключается в модификации сжимающего оператора на каждом шаге увеличения размерности пространства последовательностей. В задаче Мезера мы сталкиваемся с аналогичной сложностью. Однако, здесь соответствующий оператор сделан сжимающим за счет выбора специальных норм на пространстве последовательностей.

Диффузия в задаче Мезера

В задаче Мезера рассматривается следующая гамильтонова система: q = дН/др, р = -dH/dq, (2)

H(q,p,t)=T(q,p) + V(q,t), qeM, р G Т*М, t е Т = R/Z, (3) где М — гладкое компактное двумерное многообразие, Т(д,р) - кинетическая энергия (риманова метрика на М), V(q, t) — периодическая по времени

Рис. 1. Периодическая и гомоклиническая геодезические. потенциальная энергия.

Кинетическая энергия Т порождает геодезический поток на М, т.е. поток гамильтоновой системы с гамильтонианом Т на инвариантной поверхности Т = 1. Пусть род М положителен, тогда в любом нетривиальном гомотопическом классе замкнутых кривых на М можно выбрать кривую с минимальной длиной. Эта кривая является геодезической. Пуанкаре показал, что, если-она невырождепа, то она является гиперболической, т.е. экспоненциально неустойчивой. К тому же, если минимальная геодезическая qa(t) единственна, то существует гомоклиническая к ней геодезическая q-y(t) [37], т.е. существуют числа а±, определенные по модулю а периода qay такие что q^{t) —> qa{t-{-Cb±) при t —> ioo (см. рис. 1). Гиперболическая траектория имеет инвариантные асимптотические многообразия: устойчивое, которое состоит из всех решений стремящихся к ней при t —» +оо, и неустойчивое, состоящее из решений стремящихся к нему при t —>■ —оо. В интегрируемых системах обычно асимптотические многообразия совпадают или, как говорят, сдвоены. В общем же случае они пересекаются по гомоклиническим траекториям. Гомоклиническая траектория называется трансверсальной, если асимптотические поверхности пересекаются вдоль нее под ненулевым углом.

Без ограничения общности можно считать, что

V{qa{s),t) ds = 0.

Тогда для каждого /; Е Т существует и не зависит от выбора а± следующий предел: в в+а+

I(t)= lim ( \vfa(s),t)ds- [ (4) в—»оо \ J J /

-в -в+акоторый называется интегралом Пуанкаре-Мельникова1 [6, 41].

Система (2)-(3) неавтономна, и энергия Н может изменятся на траекториях. Мезер [35] показал, что в такой системе существуют траектории с неограниченным ростом энергии. Основным результатом диссертационной работы является следующее обобщение утверждения Мезера.

Теорема 1 Пусть система (2)-(3) удовлетворяет следующим условиям Мезера:

Т) Геодезический поток, заданный кинетической энергией Т, имеет гиперболическое периодическое решение <j(t) = (qa(t):pa(t)) и трансверсальное гомоклиническое к нему решение 7(£) = (q^(t),p7(t)). (V) Интеграл Пуанкаре-Мельникова lit) непостоянная функция. Тогда существует решение r](t) системы (2)-(3), на котором энергия неограничен растет в среднем линейно по времени: при всех t > 0

H(ri(t),t)>At + B, (5) для некоторых констант А > 0 и В.

Поскольку jjjH = V < А, то на любом решении H(t) < At + В, где А, В = const. Таким образом, рост энергии более быстрый, чем линейный по времени, невозможен ни на каком решении. В этом смысле оценка (5) точна.

1 Функцию I(t) называют также интегралом Пуанкаре или потенциалом Мельникова, а ее производную интегралом или функцией Мельникова

В задаче Мезера отсутствует малый параметр е, который обычно имеется в задачах о диффузии медленных переменных. Однако, он появляется как отношение V/T при условии, что полная энергия достаточно велика. Действительно, поскольку потенциальная энергия ограничена, рост полной энергии происходит за счет возрастания кинетической энергии. Поэтому система (2)-(3) при больших Н представляет собой возмущение системы с гамильтонианом Т неавтономным потенциалом V. При этом роль медленной переменной играет сам гамильтониан Н.

Геометрический механизм роста энергии на решении 77(t) состоит в следующем. Так как возмущение V неавтономно, время естественно считать фазовой переменной. Тогда гиперболическая периодическая траектория а порождает в невозмущенной системе с гамильтонианом Т однопараметрическое семейство гиперболических двумерных торов. Проекцией каждого из этих торов на пространство положений MxTt является qa хТ^, где Тt — окружность, соответствующая времени. Семейство параметризовано значением гамильтониана Т. Большинство из торов для достаточно больших Т выживают при возмущении, при этом появляются гетероклинические связи между их асимптотическими многообразиями и, следовательно, переходные цепочки. Соответствующие доказательства, использующие методы теории КАМ, имеются в [20] и [22]. Доказательство, частично использующее вариационные идеи Мезера, содержится в [39]. В работах [20, 23] получены различные многомерные обобщения этого результата.

В [25, 30] предложен другой геометрический механизм роста энергии. Пусть геодезический поток имеет равномерно инвариантное гиперболическое транзитивное множество. Например, такое множество существует в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к гиперболической периодической орбите. Тогда из этого множества можно выделить две периодические гиперболические геодезические а\ и 02, соединенные гетероклиническими связями. В расширенном фазовом пространстве получаем двухпараметри-ческое семество гиперболических периодических решений, параметризованных кинетической энергией Т и временем t. Используя теорию сохранения нормально-гиперболических слоений [25, 32], можно показать, что при возмущении существует близкое к исходным семейства гиперболических решений и гетероклинических связей. Обычные методы теории усреднения позволяют оценить в главном приближении изменение энергии для траекторий, находящихся в окрестности этих семейств гиперболических периодических решений:

H = Vj(t), Vj(t) = -I1

L3 dt Lj где ,7 = 1,2 — номер семейства, Lj — период <Jj(r). Заметим, что если соответствующие гиперболические решения лежат в окрестности гомоклинической траектории, то в главном приближении функции Vj(t) выражаются через интеграл Пуанкаре-Мельникова I(t). Используя методы символической динамики, можно построить траектории, которые в заданные моменты времени перескакивают из окрестности одного семейства периодических решений к другому. Тогда можно построить траекторию, на которой изменение энергии в главном приближение описывается дифференциальным уравнением:

H = v(t), v(t) = max{vi(t),v2(t)} .

Если Vj не совпадают, то среднее v — Jq v(t) dt положительно, и энергия на таких решениях растет как vt. Отметим, что в работе [30] рассматривается более общий случай дифференциальных уравнений со слабой зависимостью от времени, хотя идеологически он несущественно отличается от задачи Мезера.

В диссертационной работе при построении траекторий с линейным ростом энергии мы следуем работе [40], где основными инструментами выступают методы сепаратрисного отображения и антиинтегрируемого предела. Мы представим формулы сепаратрисного отображения, которое описывает динамику в окрестности семейства гомоклинических решений к периодическим гиперболическим решениям. Сепаратрисное отображение задачи Мезера представляет собой возмущение по малому параметру V/T сепаратрисного отображения невозмущенной системы. В невозмущенной системе оно представляет собой прямое произведение сепаратрисного отображения Шильникова, которое имеет инвариантное гиперболическое множество, и тождественного (сохранение энергии). Методом антиинтегрируемого предела мы докажем, что соответствующие хаотические траектории сохраняются и для сепаратрисного отображение возмущенной системы. Для доказательства теоремы 1 необходимо выбрать среди построенных траекторий траектории с максимально возможным ростом энергии, что не трудно сделать, имея явные формулы сепаратрисного отображения. В главном приближении изменение энергии на траекториях сепаратрисного отображения описывается интегралом Пуанкаре-Мельникова I(t). В терминах геометрического механизма, описанного в предыдущем абзаце, среди хаотических траекторий выбираются два периодических семейства: одно с периодом насколько можно меньше, другое — насколько можно больше. Соответствующие функции v\ и г>2 тогда выражаются через интеграл Пуанкаре-Мельникова: где Lj - периоды соответствующих гиперболических периодических решений невозмущенной задачи, лежащих на единичном уровне Т. Таким образом, если I(t) непостоянная функция и L2 > L\, то среднее v функции оказывается положительным. Таким образом, если траектория при возрастании интеграла Пуанкаре-Мельникова I(t) находиться в окрестности семей

Vl{t) = TJtI{t)' V2{t) vi (£), при /'(£) > О v2{t), при /'(*) < О ства периодических решений с меньшим периодом, а при убывании I(t) в окрестности решения с большим периодом, то на ней энергия растет как линейная функция времени.

В заключение отметим, что задача Мезера интересна не только в контексте проблемы о диффузии Арнольда. Недавно методы, применяемые в задаче Мезера, успешно применены для построения траекторий с неограниченным ростом энергии и оценки его скорости в таких механических моделях, как многомерное обобщение модели Ферми-Улама (биллиард с колеблющийся границей) и модель Литтлвуда (гамильтонова система с неавтономным возмущением однородного потенциала) [24, 30, 31]. В диссертации также приводится пример механической системы, представляющей собой некоторое обобщение двойного маятника с колеблющейся точкой подвеса, для которой удается проверить условия общего положения системы Мезера, и, тем самым, доказать существование решений с неограниченным линейным по времени ростом энергии.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из трех глав, заключения и двух приложений."

В первой главе приводится пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы, удовлетворяющей условиям Мезера (Т) и (V) теоремы 1. Несмотря на то, что условия Мезера являются условиями общего положения, при построении соответствующего примера возникает сложность, заключающаяся в следующем. С одной стороны, для расчета интеграла Пуанкаре-Мельникова /(£), фигурирующего в условии (V), необходимы явные выражения для геодезических qa(t) и g7(t), которые почти всегда можно получать только в интегрируемых случаях. С другой стороны, геодезический поток кинетической энергии Т системы должен удовлетворять условию (Т), что, как известно, влечет его неинтегрируемость. Мы рассматриваем обобщение двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса, при котором первая материальная точка движется не по окружности, а по некоторой гладкой кривой. Если эта кривая близка к окружности, например, является эллипсом с малым эксцентриситетом, то система порожденная кинетической энергией оказывается близкой к интегрируемой. Это дает, во-первых, проверить условие (Т) с помощью стандартного метода Пуанкаре-Мельникова расщепления сепаратрис и, во-вторых, с точностью до малого параметра возмущения вычислить выражения для периодической и гомоклинической к ней орбит. С этой же точностью мы вычисляем интеграл Пуанкаре-Мельникова I(t), что достаточно для проверки условия (V).

Вторая глава посвящена основному методу, применяемому нами при доказательстве теоремы 1, — методу сепаратрисного отображения.

В параграфе 2.1 приведен вывод формул для сепаратрисного отображения Шильникова. Это отображение определяет динамику двумерного отображения, сохраняющего площадь, с гиперболической неподвижной точкой в окрестности гомоклинической траектории. На этом простейшем примере мы показываем основные шаги, типичные при выводе формул любого другого сепаратрисного отображения:

• построение нормальных координат в окрестности базового решения (гиперболической периодической траектории или неподвижной точки);

• продолжение координат вдоль асимптотических поверхностей базового решения;

• вычисление отображения склейки, возникающего из-за неоднозначности продолжения координат вдоль устойчивой и неустойчивой асимптотических поверхностей;

• вычисление сепаратрисного отображения, как композиции отображения склейки и отображения, порожденного динамикой в нормальных координатах.

В параграфе 2.2 приведено определение и формулы для сепаратрисного отображения в задаче Мезера. Оно представляет собой обобщение сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2.1. Вывод соответствующих формул приведен в приложении А. Здесь, в отличие от сепаратрисного отображения Шильникова, термины "базовое решение" и "асимптотические поверхности" относятся только к невозмущенной автономной системе. Мы не пользуемся тем фактом, что некоторые из них сохраняются при возмущении, хотя и делаем один шаг классической схемы теории возмущений, чтобы вычислить их деформацию в первом приближении.

В третьей главе мы описываем метод антиинтегрируемого предела.

В параграфе 3.1, в качестве примера применения метода антиинтегрируемого предела в сепаратриспых отображениях, строиться хаотическое множество в окрестности гомоклинической траектории к гиперболической неподвижной точке двумерного симплектоморфизма. Для этого используются формулы сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2.1.

В параграфе 3.2 методом антиинтегрируемого предела строятся хаотические траектории сепаратрисного отображения задачи Мезера (2.15). Для построения хаотических траекторий сепаратрисного отображения (2.15) строится сжимающий оператор на пространстве последовательностей из фазовых точек с экспоненциально взвешенными нормами. Доказательство сжимаемости соответствующего оператора приводится в приложении Б. Таким образом, строится инвариантное множество сепаратрисного отображения, на котором динамика сопряжена со сдвигом Бернулли на множестве ограниченных снизу и сверху целочисленных последовательностей. Затем из этих траекторий выбираются те, на которых энергия растет линейно по времени, и тем самым доказывается теорема 1.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, состоят в следующем.

1. Получена неулучшаемая оценка скорости роста энергии в задаче Мезера.

2. Получены формулы для сепаратрисного отображения в задаче Мезера и ее многомерного обобщения.

3. Получен новый способ применения метода антиинтегрируемого предела в системах со слабой гиперболичностью.

4. Приведен пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы периодически зависящей от времени, у которой существуют решения с неограниченным ростом энергии, в среднем линейным по времени.

Заключение

1. Арнольд В. И., О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Докл. АН СССР, 1964, Т. 156, N. 1, С. 9-12.

2. Арнольд В.И., А.Авец, Эргодические проблемы классической механики, РХД, 1999

3. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И., Математические аспекты классической и небесной механики. В кн. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т. 3. М.: Наука, 1978. 304 стр.

4. Биркгоф Г. Д., Динамические системы. M.-JL: Гостехиздат. 1941.

5. Заславский Г. М., Филоненко Н. Н., Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного приближения. ЖЭТФ 1968, Т. 54, С. 1590-1602.

6. Мельников В. К., Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях. Тр. Моск. Матем. общества, 1963, 12, 3-52.

7. Нехорошев Н. Н., Экспоненциальная оценка времени устойчивости га-мильтоновых систем близких к интегрируемым. Успехи мат. наук, 1977, Т. 32, Вып. 6, С. 5-66.

8. Пифтанкин Г. Н. , Трещев Д. В. , Сепаратрисное отображение в гамиль-тоновых системах // УМН, 62:2(374), 3-108, 2007.

9. Синай Я. Г., Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы Функц. анализ и его прил., 1968, том 2, выпуск 1, страницы 64-89

10. Трещев Д. В. Введение в теорию возмушрний гамильтонових систем (Фазис: Москва 1998)

11. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс 1977

12. Шильников Л.П., О проблеме Пуанкаре-Биркгофа, Мат. сб., 3, 1967, 415-443.

13. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества, периодических движений. ДАН СССР, 1965, т. 160, 3, с. 558—561.

14. Aubry S., The concept of anti-integrability: Definition, theorems and applications to the standard map. Twist mappings and their applications, Ed R.McGehee, K.R.Meyer, P. 7-54, 1992.

15. Aubry S., Abramovici G., Chaotic trajectories in the standard map: the concept of anti-integrability. Physica 43 D, 1990, P. 199-219.

16. Banyaga A., de la Llave R., Wayne С. E., Cohomology equations

17. Bessi U., An approach to Arnold's diffusion through the calculus of variations. Nonlin. Anal. TMA 20, 1303-1318 (1996)

18. Birkhoff G.D., On periodic motions of dynamical systems, Acta Mathematica, 50, 359-379, 1927

19. Bolotin S.V., MacKay R., Multibump orbits near the anti-integrable limits for Lagrangian systems. Nonlinerity, 1997, 10, 1015-1029.

20. Bolotin S., Treschev D., Unbouded growth of energy in nonautonomous Hamiltonian systems. Nonlinearity, 12(2):365-388, 1999.

21. Chirikov В. V., A universal instability of many-dimensional oscillation systems. Phys. Rep., 1979, V. 52, No. 5, P. 263-379.

22. Douady R., Stabilite ou instability des points fixes elliptiques, Ann. Sci. Ec. Norm. Super. IV Ser. 21, 1-46 (1988)

23. Elliasson L. H., Perturbations of stable invariant tori, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. IV Ser. 15, 1988, P. 115-147.

24. Fontich E. and Martin P. 2001 Arnold diffusion in perturbations of analytic integrable Hamiltonian systems Discrete and continuous dynamical systems, 7 (1) : 61-84. ISSN: 1078-0947

25. Gallavotti G., Gentile G., Mastropietro V. Hamilton-Jacobi equation and existence of heteroclinic chains in three time scales systems. Nonlinearity 13 (2000) 323-340

26. V.Gelfreich, D.Turaev, Unbounded energy growth in Hamiltonian systems with a slowly varying parameter, Comm. Math. Phys. (2008), D01:10.1007/s00220-008-0518-l

27. V.Gelfreich, D.Turaev, Fermi acceleration in non-autonomous billiards, J. Phys. A. 41 (2008) 1-6

28. M.W.Hirsch, C.C.Pugh and M.Shub, Invariants manifolds

29. MacKay R. S., Meiss J. D., Cantori for symplectic maps near the anti-integrable limit. Nonlinearity V. 5, V. 149, 1992, P. 1-12.

30. Mather J. N., Arnold duffision I: Announcement of Results Journal of Math. Sciences 2004 V. 124, N. 5, P. 5275-89

31. Mather J. N., Talk given at the conference in dynamical systems, Oberwolfach (1997)

32. Marco J.-P. and Sausin D. Stability and instability for Gevrey quasi-convex near-integrable Hamiltonian systems. Publ. Sc. IHES vol. 96 (2003) 199-275.

33. Morse M., A fundamental class of geodesies in any closed surface of genus greater than one // Trans. Amer. Math. Soc., Ser. 2., 1924, V.26, P.25-61.

34. Moser J., The analytical invariants of an area-preserving mapping near hyperbolic point. Comm. Math. Phys., 1956, V. 9, No. 4, P. 673-692.

35. Kaloshin V., Geometric proofs of Mather's connecting and accelerating theorems Proc. (Katsively) (Cambridge University Press) (2003)

36. Piftankin G.N. 2006 Diffusion speed in the Mather problem Nonlinearity 19 2617-2644

37. Poincare H., Les metodes nouvelles de la m6canique celeste. V. 1-3. Paris: Gauthier-Villars, 1892, 1893, 1899.

38. Sim6 C. and Vails C., A formal approximation of the splitting of separatrices in the classical Arnold's example of diffusion with two equal parameters, Nonlinearity 14 (2001) 1707-1760.

39. С. Simd and D. Treschev, Stability islands in the vicinity of separatrices of near-integrable symplectic maps.

40. Smale S., Diffeomorphism with many perodical points. In: Differential and combinatorial topology, S.S, Chairns (ed.) Princeton University Press, Princeton (1965), 63-80

41. Treschev D., Multidimensional symplectic separatrix maps J. Nonlinear Sci 12 27-58, 2002.

42. Treschev D.,Trajectories in a neighborhood of asymptotic surface of a priori unstable Hamiltonian systems Nonlinearity 15 2033-52, 2002.

43. Treschev D., Evolution of slow variables in a priori unstable Hamiltonian systems Nonlinearity 17 1803-1841, 2004.