Обобщенные вариационные принципы и метод исчезающей вязкости для некоторых квазилинейных уравнений и систем уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Соболевский Андрей Николаевич

Обобщенные вариационные принципы и метод исчезающей вязкости для некоторых квазилинейных уравнений и систем уравнений

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ-мат. наук,

профессор

Ю.М. Лоскутов

Москва 1999

Оглавление

Введение 3

1 Существование обобщенных решений с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби 15 §1.1 Обобщенные решения с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби ..................................................15

§1.2 Функционал действия и функция действия.............18

§1.3 Свойства функции действия......................21

§1.4 Формула Лакса-Олейник........................29

§1.5 Редукция к функциональному уравнению..............30

§1.6 Существование решений с периодическим градиентом.......34

§1.7 Н(а) как усредненный гамильтониан....................................39

§1.8 Обобщение на многомерный случай..................43

2 Условия единственности обобщенного решения с периодическим градиентом и теория Обри-Мезера 44

§2.1 Многозначное отображение, связанное с периодической функцией 5а {х)..................................44

§2.2 Инвариантное множество отображения Уа............................51

§2.3 Число вращения.............................55

§2.4 Некоторые свойства отображения Уа..................................58

§2.5 Случай иррационального числа вращения ..............62

§2.6 Случай рационального числа вращения...............65

§2.7 Обобщенная модель Френкеля-Конторовой и связь с теорией Обри-

Мезера ..................................69

3 Обобщенный вариационный принцип и метод малой вязкости для системы уравнений одномерной газовой динамики без давления 72

§3.1 Система уравнений одномерной газовой динамики без давления . 73 §3.2 Лагранжевы массовые координаты и построение решения в гладком случае методом характеристик..................76

§3.3 Обобщенные решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления..........................78

§3.4 Представление массовой меры с помощью выпуклой функции . . 79

§3.5 Массовая функция и обобщенный вариационный принцип.....83

§3.6 Вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой

динамики без давления.........................86

§3.7 Некоторые свойства вязкостных обобщенных решений.......91

§3.8 Предел при исчезающей вязкости обобщенного вязкостного решения уравнения для массовой функции...............92

§3.9 Предел при исчезающей вязкости классического решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления .... 94 §3.10Система уравнений одномерной газовой динамики без давления

в случае гравитирующего вещества..................97

Заключение 99

Приложение 102

Введение

В настоящей диссертации рассмотрены математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии (т.н. «одномерная модель прилипания»), физике твердого тела (модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и неравновесной статистической механике (бильярдные модели, газ Лоренца при ненулевой температуре рассеивателей). С математической точки зрения эти модели объединяются использованием специального вида явных представлений решений некоторых квазилинейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка (т.н. «систем законов сохранения»). Следуя терминологии, введенной Я.Г. Синаем и др. [57, 9], будем называть такие явные представления обобщенными вариационными принципами. Полученные результаты могут быть применены для математически строгого обоснования физических выводов перечисленных выше теорий.

1. Системой законов сохранения называется квазилинейная система уравнений вида

где -Р'(и) — матрица, составленная из производных компонент вектор-функции ^ по компонентам неизвестной вектор-функции и = и^,х) [4, 65, 25, 80]. Название «система законов сохранения» связано с тем, что уравнения (1) эквивалентны интегральным соотношениям

сI гх 2

- J и{г,х)йх = -(Р{и(г,х2)) -г(и(!,Х1))),

выражающим тот факт, что величина, распределенная вдоль оси х с плотностью и(1, х), не имеет источников или стоков и может изменяться лишь за счет потока, величина которого связана с локальной плотностью функцией ^(м) («функцией потока»).

Рассматривают также более общие системы законов сохранения вида

(см., например, [3, 12, 49, 25, 80]).

В случае п = 1, когда система (1) сводится к одному уравнению, наряду с ней рассматривают нелинейное уравнение вида [48, 25]:

Если 5 — достаточно гладкое классическое решение уравнения (2), то функция х) = (¿, х)/дх удовлетворяет уравнению (1).

Если функция потока ^ выпукла, уравнение (2) называют уравнением Га-мильтона-Якоби, а F — гамильтонианом. В этом случае у решения задачи Коши для уравнения (2) с начальным условием 5(0, ж) = 50(х) существует явное представление

где функция F*(p) = supzeE (pz—F(z)) сопряжена к F в смысле выпуклого анализа [26]. В случае F(p) — р2/2 формула (3) была предложена Э. Хопфом [61], который опирался на замену переменных, сводящую уравнение (1) с вязкостным возмущением в правой части вида ед2и/дх2 к уравнению теплопроводности [32, 47, 61]; на общее уравнение с выпуклой функцией потока данное представление было распространено П. Лаксом [65] и O.A. Олейник [19]. Случай невыпуклой функции потока рассматривался O.A. Олейник [21] и A.C. Калашниковым [10]. Э. Конуэем и Э. Хопфом было отмечено, что представление (3) справедливо и в случае невыпуклой функции потока, если начальная функция 5о выпукла [48]. Формула (3) была также обобщена на случай нестационарной функции потока F = F(t,x,p) (см., например, [13, 58, 67]).

Классические решения системы (1) или уравнения (2) могут быть построены методом характеристик [15]. Однако из-за нелинейного характера системы (1)

(2)

S(t, х) = inf sup (S0(y) + z(x -у)- tF(z)) =

(3)

проекции характеристик на пространство переменных (£, х) могут пересекаться. Чтобы решение системы и(Ь, х) оставалось однозначно определенным, его строят как обобщенное в классе разрывных функций, обобщенные производные которых понимаются как меры [3, 12]. В случае п = 1 это приводит к рассмотрению обобщенных решений уравнения (2), которые являются непрерывными, но не всюду дифференцируемыми функциями [48, 58, 67]. Отметим, что метод характеристик может быть распространен и на случай пересекающихся характеристик, а возникающее при этом негладкое обобщенное решение системы (1) при п — 1 эквивалентно (3) [53, 52].

Обобщенные решения, как правило, могут быть определены не единственным образом. В таких случаях физически оправданный класс единственности обычно выделяют с помощью метода исчезающей вязкости [16, 19, 20, 61, 25, 58, 67, 80]: в правые части уравнений (1) вводят слагаемые с малым коэффициентом е, содержащие вторые производные неизвестной функции х) по х. Обобщенное решение системы (1) определяется как предел при е —>• 0 классических решений получаемой сингулярно возмущенной нелинейной параболической системы. При п = 1 может быть сформулировано легко проверяемое условие, выделяющее данный класс единственности — условие Е О. А. Олей-ник [19]. Частичным обобщением условия Е на случай п > 1 является энтропийное условие П. Лакса [66].

В случае п = 1 представление (3) дает глобально определенные, но, вообще говоря, негладкие решения задачи Коши для уравнения (2). Эти решения принадлежат классу единственности, выделяемому методом исчезающей вязкости [19, 67].

Будучи интересным само по себе, явное представление (3) решения задачи Коши для уравнения (2) может быть использовано для исследования ряда свойств решения: регулярности [48, 43], асимптотики при больших временах [14, 65, 67], статистики распределения особенностей при случайных начальных данных [57, 79].

2. В работах Weinan Е, Ю. Г. Рыкова и Я. Г. Синая [57, 9] показано, что некоторые системы квазилинейных уравнений вида (1) при п = 2 допускают явное представление решения, аналогичное (3) (см. §3.5). Такое представление названо в [57, 9] обобщенным вариационным принципом.

Системы квазилинейных уравнений, допускающие такое явное представление, возникают как непрерывные аналоги одномерной «модели слипающихся частиц», введенной С.Н. Гурбатовым и А.И. Саичевым [5] (см. также [44]) для описания механизма нелинейной гравитационной неустойчивости, предложенного Я.Б. Зельдовичем [87] для моделирования образования крупномасштабных структур во Вселенной (см. обзорные статьи [81, 86]). Опишем дискретный вариант модели «слипающихся частиц», следуя [57] (см. также [41, 42, 44]).

Рассмотрим на действительной прямой систему материальных частиц, которые в начальный момент расположены в точках £¿(0) и имеют массы т^ и скорости Vi(0), i G Z. Частицы движутся с постоянными скоростями до тех пор, пока между ними не происходит столкновений. Если две или больше частиц испытывают столкновение, они «слипаются», т.е. образуют новую частицу, которая движется дальше как единое целое. Масса и скорость новой частицы определяются исходя из законов сохранения массы и импульса. Система квазилинейных уравнений, в которую переходит данная модель в пределе непрерывного распределения вещества, названа в [57] системой уравнений одномерной газовой динамики без давления, так как формально она совпадает с уравнениями динамики одномерной сплошной среды с уравнением состояния р(р) = const.

Другая модификация модели слипающихся частиц, рассматриваемая в [57] и в настоящей работе, учитывает гравитационное взаимодействие между частицами. В промежутки времени между столкновениями поведение системы частиц описывается гамильтонианом вида

Система уравнений газовой динамики без давления оказывается сильно вы-

рожденной. В частности, оба ее поля характеристических направлений тождественно совпадают (см. §3.1). Поэтому во многих отношениях свойства системы уравнений газовой динамики без давления аналогичны свойствам одного уравнения вида (1) или (2), имеющего лишь одно поле характеристических направлений. Эта аналогия позволяет получить явное представление решения соответствующей начальной задачи в виде обобщенного вариационного принципа. С другой стороны, энтропийное условие П. Лакса [66] не гарантирует единственности решений такой вырожденной системы: в случае дискретной совокупности частиц ему удовлетворяет целое семейство различных законов столкновения частиц, частным случаем которого является описанный выше закон слипания [57, 9].

В статье [57] было высказано предположение, что обобщенное решение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления, построенное исходя из закона слипания, может быть получено как предел метода исчезающей вязкости при сингулярном возмущении подходящего вида (см. также обсуждение в замечании 3.11, §3.6). В настоящей работе это предположение подтверждено. Показано, что система уравнений одномерной газовой динамики без давления сводится к одному уравнению вида (2), названному ниже уравнением для массовой функции. Это дает возможность свести процедуру применения метода исчезающей вязкости для системы уравнений газовой динамики без давления к стандартному пределу исчезающей вязкости для одного уравнения вида (2), которое мы исследуем методами теории обобщенных (т.н. вязкостных) решений нелинейных уравнений в частных производных в смысле М. Г. Кран-далла и П.-Л. Лионса [50, 51]. Результаты этой части работы опубликованы в [28].

С геометрической точки зрения построение решения с помощью обобщенного вариационного принципа состоит в построении выпуклой оболочки некоторой функции, зависящей от аргументов в ж р, сопряженных к независимым переменным < и х. Это обстоятельство позволяет построить эффективные ал-

горитмы численного решения задачи Коши для уравнений газовой динамики без давления [75]. Более эффективный вариант соответствующего алгоритма, обобщающийся на случай двумерной потенциальной газовой динамики без давления, построен автором настоящей работы в [82] на основе известного алгоритма построения выпуклой оболочки конечного множества точек в К" [24].

3. Рассмотрим уравнение (2) с гамильтонианом более общего вида

^ + =0, H(t,x,p) = HQ(p) + U(t,x), (4)

где функция Н0(р) выпукла, a U(t,x) периодически зависит от t, х. В случае, когда U(í, х) — 0, данное уравнение имеет однопараметрическое семейство классических решений вида Sa(t,x) = ах — H0(a)t, а € М. В настоящей диссертации установлено существование обобщенных решений уравнения (4) вида

Sa(t,x) = ах - H(a)t + sa(t,x), а е К, (5)

где sa(t, х) — непрерывная периодическая функция. Величина Н(а) играет роль усредненного гамильтониана (см. §1.7).

Решение задачи Коши для уравнения (4) выражается с помощью следующего вариационного принципа:

S(t, х) = inf (so(y) + inf jT L(r, £'(r)) dr) , (6)

где L(t, x, v) = L0(v) — U(t, x), функция L0{v) — сопряженная к H0(p) и точная нижняя грань интеграла берется на множестве всех абсолютно непрерывных путей f: [0, t] —> R, удовлетворяющих условиям ^(0) = у, £(t) — х (подробнее см. в тексте, глава 1). В дальнейшем рассматриваются начальные данные вида Sq(x) = ах + so(x), где 5о(ж) есть непрерывная периодическая функция.

Выражения, входящие в вариационные принципы (3), (6), могут рассматриваться как линейные над особой алгебраической структурой — идемпотентным полукольцом Mmin [17, 64]. Элементами последнего являются все действительные числа и символ оо. В Rm¡n определены коммутативное операции идемпо-тентного «сложения» а ф b = min{a, b} и «умножения» а О b = а + Ь, причем

оофа = аиоо0а = оо для любого а € Ет;п. Легко проверить, что для Ет1-П выполнены все аксиомы полукольца с «нулем» оо и «единицей» 0. Полукольцо Ет;п является одним из примеров идемпотентных полуколец, для которых развита богатая теория, по существу параллельная традиционной математике над полями действительных или комплексных чисел — идемпотентный анализ [17, 64].

С точки зрения идемпотентного анализа вариационный принцип (6) есть аналог представления решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных через функцию Грина. Особый интерес представляют собственные функции соответствующей полугруппы (идемпотентных) интегральных операторов, порождаемой оператором с ядром

(см. [8, 17, 33, 34, 64]). Каждое решение гг) уравнения (4) вида (5) определяет собственную функцию вида Ба{Ь,х) — ож, поскольку

Здесь —Н,(а) есть соответствующее собственное значение.

Вопрос о существовании решений уравнения (4) вида (5) тесно связан с проблемой существования инвариантных многообразий динамической системы, задаваемой гамильтонианом (4) [63, 74]. Траектории этой системы совпадают с характеристиками уравнения (4), а ее лагранжевы инвариантные торы в расширенном фазовом пространстве переменных (t,x,p) имеют вид

где Б0- — классическое решение уравнения (4) вида (5). Но классические решения такого вида существуют не при всех аеК. Инвариантные множества расширенного фазового пространства, соответствующие обобщенным (непрерывным, но не всюду дифференцируемым) решениям вида (5), локально устроены как прямое произведение гладкой кривой на канторов дисконтинуум и иногда

Se(l,x) = inf (Sa(0,y) + La(y,x)) = Sa(0,y) - H(a).

уем.

(Г)

dSa

называются в литературе «кантороторами» (этот термин введен И.Ч. Перси-валем [77]). Существование инвариантных множеств такого вида было независимо установлено в начале 1980-х гг. Дж.Н. Мезером [70] на основе работ И.Ч. Персиваля [76, 77] (говорят еще об инвариантных множествах отображения с перекручиванием, стандартного отображения или отображения Чи-рикова [46]) и С. Обри [35, 36], который рассматривал эквивалентную задачу об основных состояниях в т.н. модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой [11] (см. также обзоры [37, 72] и обсуждение в §2.7). Подход, основанный на решениях уравнения (4) вида (5), позволяет дать независимые доказательства основных результатов теории Обри-Мезера; с другой стороны, опираясь на эти результаты, можно получить условия единственности обобщенного решения вида (5) в терминах числа вращения, характеризующего соответствующий ему тор или канторотор. Эта программа реализована в главе 2.

Получена также теорема об асимптотическом поведении решения задачи Коши с периодическим начальным условием для уравнения (6). Отметим, что до недавнего времени в литературе не рассматривалась асимптотика при больших временах решений уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом общего вида, изучаемого в настоящей диссертации (см. обзор [14], опубликованный в 1987 г.). В работе Ю. Мозера и др. [63] доказана теорема об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с подобным гамильтонианом, но из нее не может быть сделано никакого вывода об асимптотике решения задачи Коши для невозмущенного уравнения.

Самостоятельное значение имеет связь решений вида (4) с теорией усреднения. Оказывается, что величина Н(а) является усредненным гамильтонианом уравнения (6) [54, 63, 68] (см. также §1.7 настоящей работы).

Подход, связанный с построением собственных функций идемпотентного опер�