К нелинейной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

J- -i

; (решеwit от " •{'(

присудил ученую с

i OPA

; Hâ%;4î ;/ ■ J

51

•i - Pocc-, ij

.11 \ ^ 'У / Г /

"ТС - ■ .. " " I ' V!-'

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПАНОВ ЕВГЕНИЙ ЮРЬЕВИЧ УДК 517.95

К НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новгород-1997

Оглавление

Введение 4

1. Актуальность темы................................................4

2. Краткое содержание..............................................17

Глава 1. Обобщенные энтропийные решения 29

§ 1. Существование обобщенных энтропийных решений ... 29

§ 2. Одно достаточное условие единственности........40

§ 3. О единственности обобщенного решения с одной допустимой строго выпуклой энтропией............57

§ 4. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого

порядка на многообразии ..................69

Глава 2. Мерозначные решения 86

§ 5. Понятие мерозначного решения. Принцип максимума . 86

§ 6. Условия регулярности мерозначных решений......97

§ 7. Сильные мерозначные решения...............103

Глава 3. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений 114

§ 8. Понятие Н-меры, соответствующей ограниченной последовательности мерозначных функций.........114

§ 9. Последовательности мерозначных решений .......125

§ 10. Принцип локализации для Н - меры, соответствующей последовательности мерозначных решений. Сильная предкомпактность ограниченных множеств мерозначных решений в невырожденном случае ..........129

Глава 4. Кинетическая формулировка мерозначных решений 136

§ 11. Функции распределения мерозначных решений как обобщенные решения задачи Коши для "кинетического"

уравнения............................136

§ 12. Случай сильных мерозначных решений..........144

§ 13. Аппроксимационная схема, связанная с кинетической интерпретацией. Исследование аппроксимирующей

задачи..............................149

§ 14. Сходимость аппроксимаций ................164

Глава 5. Об одном классе гиперболических систем квазилинейных законов сохранения 169

§ 15. Системы, порожденные оператором функционального исчисления на пространствах эрмитовых и симметричных матриц. Гиперболичность таких систем .... 169

§ 16. Энтропии............................174

§ 17. Постановка задачи Коши. Понятие обобщенного энтропийного решения. Принцип максимума........183

§ 18. Сингулярные энтропии. Понятие и некоторые свойства о.э.р.............................189

§ 19. Сильные о.э.р..........................208

§ 20. Обоснование метода исчезающей вязкости .......230

Литература 242

Введение.

1. Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена проблемам нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка и гиперболических систем таких уравнений, изучение которых имеет не только важное прикладное значение, но и стимулирует развитие идей и методов нелинейного анализа в целом. Основу диссертации составляет исследование задачи Коши для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка

<£>(«) = (<¿>1, ...,</?„), и = в полупространстве П = 1+ х М" ,

= (0, +оо) с начальным условием

Уравнения вида (1) известны как законы сохранения и играют важную роль в естественных науках. Конкретные модели, которые приводят к уравнениям вида (1), можно найти, например, в [6, 56, 8].

Хорошо известно, что в случае и0 Е С1(Мгг), ^ 6 С'(М), г = 1,... ,п задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости I = О единственное гладкое решение. Однако даже при бесконечно дифференцируемых м0 , ^pi у решения задачи (1), (2) с ростом £ могут появляться разрывы, что связано с явлением пересечения характеристик. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило значительно превосходит время существования гладкого решения, то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко -о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределений ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно оказываются неединственными. В связи с этим одним из основных вопросов теории о.р. задачи Коши (1), (2) является описание тех дополнительных условий на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для рассматриваемой задачи при различных предположениях о начальной функции щ и вектор-функции потока (р.

Приведем краткий обзор результатов по теории задачи (1), (2) в случае </э (Е (С^®.))" . Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.Олейник, А.Н.Тихонова,

щ + <Иух<р(и) = 0,

(1)

м(0, х) = щ(х).

(2)

А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской и других. Со времени опубликования фундаментальной работы Э.Хопфа [86] основным методом исследования задачи Коши (1), (2) является метод "исчезающей вязкости". Метод "исчезающей вязкости" основан на идее предельного перехода при е —> 0 по решениям задачи Коши для параболического уравнения

ut + di vx(p(u) = eAu. (3)

С помощью метода "исчезающей вязкости" можно не только доказывать существование о.р., но и выявлять те дополнительные условия, которые обеспечивают единственность этого решения ( о необходимости таких условий см. [32], [56] ). В 50-х годах наиболее подробно изучался случай п — 1с выпуклой функцией <р(и). В работах [29, 32, 33, 58, 91] для этого случая построена теория о.р. задачи (1), (2) при произвольной ограниченнной измеримой начальной функции м0 • В [15] рассмотрены о.р. задачи Коши (1), (2) с обобщенными начальными данными типа производной полунепрерывной снизу функции ( в частности, начальной функцией может быть 6-функция ). В работе [6] И.М.Гельфанд сформулировал условия допустимости и дал принципиальное решение задачи Римана о распаде разрыва ( подробно изложенное также в [20] ) для случая невыпуклой функции потока. Этот случай исследовался также в работах [13, 34, 118]. В частности, в работе О.А.Олейник [34] ( см. также [6] ) было сформулировано условие единственности о.р. задачи Коши в классе кусочно-гладких функций. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах BV исследованы в работах [3, 72, 28] ( наиболее полно - в [3] ). Общая теория этой задачи для уравнения

ut + divx(p(t,x,u) + ф{Ь,х,и) = 0 (4)

в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н.Кружкова [17]-[19], где введено понятие обобщенного энтропийного решения ( коротко - о.э.р. ), естественно вытекающее из идеи метода "исчезающей вязкости" ( элементарное введение в теорию о.э.р. можно найти в пособиях [20, 8] ). Приведем определение о.э.р. применительно к уравнению (1):

Определение 1.1. Ограниченная измеримая функция и = u(t,x) называется о.э.р. задачи (1), (2), если: а) \fk £ К.

|и — k\t + diva;(sign(u — к)(ср(и) — (р(к)) < 0 (5)

в смысле распределений на П ( в Т>'(П) );

b) ess limw(i, •) = ?/,() в Ц0С(Шп), то есть существует множество

нулевой меры Лебега Е С Ш.+ такое, что u(t, ■) G -L/or(IRn) , t ^ S и u(t,-j^uoB bi0C(En) при t 0+ , t ££ .

Условие (5) означает, что для любой пробной функции

/ = /(*,ес0~(П), / > о

/ [|м - *|Д + sign(w - к)(<р(и) - <p(k), Vxf)]dtdx > 0, Jn

здесь (■,•) - скалярное произведение в 1". В случае общего уравнения (4) следует заменить (5) на условие

|и — k\t + divj:(sign(u — k)((p(t, х, u(t, x)) — Lp(t, x, &)) -f sign(w — k)(divx(p(t, x, k) + ijj(t, x, u)) <0 в D'(II).

Известно, что условие (5) эквивалентно условию: для любой выпуклой функции г](и) G С1 (M) ( энтропии )

rj(u)t + divxi/j(u) < 0 в 1)'(П),

где ф(и) — (ip1(u),...,фп(и)) - соответствующий вектор потока энтропии, определяемый равенством: ф'(и) = т]'(и)(р'(и) .

Из (5) при к = ¿ЦиЦоо следует, что ut + divx<p(u) < 0 в Р'(П) и u(t,x) удовлетворяет уравнению (1) в смысле распределений. В частности, если u(t,x) - кусочно гладкое решение, то u(t,x) удовлетворяет (1) в классическом смысле в областях гладкости, а на разрывах выполняется соотношение Ранкина-Гюгонио:

п

(■и+ - м_)г/0 + - <pi(uJ))vi = 0,

i=1

где и+ = u+(t,x) , == U-(t,x) - граничные значения на поверхности разрыва, а и = (Vo5 •••,1/п) ~ вектор нормали к поверхности разрыва. Из (5) можно вывести дополнительное условие на разрывы: если в направлении вектора v решение на поверхности разрыва претерпевает положительный скачок ( вектор v направлен от к и+ , < и+ ), то \/к 6 [и_,гг+]

п

(и+ - к)щ + Y2(lPi(u+) ~ 4>№))щ < i-1

Последнее условие соответствует условию возрастания энтропии на разрывах ( ударных волнах ) в газовой динамике.

В [19] доказана однозначная разрешимость задачи Коши (1), (2) для любой ограниченной измеримой начальной функции Мо и установлено, что о.э.р. есть предел ( в L¡0C(IÍ) ) при е —> 0+ решений соответствующей задачи Коши для параболического уравнения (3).

Отметим также, что о.э.р. С.Н. Кружкова совпадают с "полугрупповыми" решениями задачи (1), (2), построенными в [73] на основе "нелинейного" обобщения известной теоремы Хилле-Иосиды ( см. [14, 74] ).

Определение 1.1 распространяется и на более широкие классы решений. В частности, в работах [76, 100] рассмотрены обобщенные решения из класса конечных борелевских мер. Широко изучаются мерозначные решения задачи (1), (2), к которым мы вернемся чуть позже. В работах [4, 5] введены решения в среднем и функциональные решения ( некоторые важные приложения таких решений рассмотрены в статье [57] ). Отметим также, что задача (1), (2) может рассматриваться как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в подходящем локально выпуклом пространстве. Основные результаты теории таких уравнений содержатся, например, в обзоре [30].

Определение 1.1 имеет смысл и в случае, когда функции <pi(u), i = 1,..., п лишь непрерывны ( заметим, что негладкие функции потока часто возникают в приложениях, например, в теории дорожного движения ). В этом случае возможность появления характеристик со сколь угодно малыми наклонами к пространству Rn(x) приводит в общем случае к нехарактерному для гиперболических уравнений эффекту бесконечной скорости распространения возмущений. В частности, может нарушаться свойство конечности области зависимости решения от начальных данных. Например, в случае п = 1, <р\(и) = \и\а/а, 0 < а < 1 о.э.р. задачи (1), (2) с финитной

о , ~ ( ч Г 1, х е [-1,0],

начальной функцией щ(х) = j q х ^ [_1 0] имеет ВИД

4 '\ 0 , x<l(t),

т/ ч ( t/a — 1 , t < т = а/(1 — а), , где l(t) = | ¿(t/T)1/" , t>r ( как легко проверить,

линия разрыва х = l(t) удовлетворяет условиям допустимости ) и при всех ¿>0 функция имеет неограниченный носитель.

Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор-функции (р(и) было положено работами [21, 22, 63]. Что касается теорем существования в естественных классах о.э.р., то они справедливы без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока. Основанная на априорных оценках техника аппроксимации непрерывных <£>г- гладкими, позволяет устанавливать существование в тех же классах, что и для гладких функций потока. Впервые эта техника была применена в статье С.Н.Кружкова и Ф.Хильдебранда [21] для класса о.э.р. из (Пт) О Ь1 (Пт), П^ = (0,Т] х 1", Т > 0 - произвольно, где доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) для произвольной ограниченной суммируемой начальной функции и0(х).

Проблема единственности - гораздо более трудная, что связано с эффектом бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п > 1 к неединственности о.э.р. задачи (1), (2) ( соответствующие примеры можно найти в работах [25, 27, 39, 90] ). Поэтому, одной из главных проблем теории о.э.р. является выявление достаточных ( и необходимых ) условий единственности о.э.р.

Первое достаточное условие единственности в класе о.э.р. из Ь°°(Т1т) Г\ Ь1 (Пт) приведено в [21]. Это условие формулируется в виде ограничений на рост функций потока вблизи нуля и заключается в том, что для % ■= 1,...,п должны быть справедливы оценки |(р^и) — <^г(0)| < Ф(Н), и е М, где функция Ф(сг) определена и выпукла кверху на , причем для С(сг) = Ф_1(с7")

( при п — 1 никаких ограничений на функцию щ не налагается ). Условие (6) аналогично условию единственности Осгуда, возникающему в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты работы [21] обобщены в статье [22], где рассмотрен класс 2 + Ь1{Х1т), 2 = г(1;,х) - некоторая фиксированная ограниченная функция. В работе [114] методами теории мерозначных функций установлены существование и единственность о.э.р. из класса ¿^(М+^ЧИГ) П Ьр(Шп)) при условии, что - <¿¿(0)1 < |и|а, г = 1,..., п , где (п — 1)/п < а < 1.

Методы работ [18]-[20], [63, 21, 22] были развиты в кандидатской диссертации автора ( см. [39] и [24, 25], [35]-[38] ), где продолжено исследование задачи Коши (1), (2) в случае непрерывных функций потока срг в классах локально суммируемых ( здесь предполагается

(б)

равномерная непрерывность функций потока ) и мерозначных функций.

, В [39] ( см. также [25, 38] ) установлено существование о.э.р. для любой локально суммируемой начальной функции щ(х) . Более точно, доказано существование отображения F : Ц0С(Ш.п) Ц0С(П), сопоставляющего начальным данным щ о.э.р. F(uq) = и = u(t,x) задачи (1), (2) так, что справедливы свойства:

F1) если щ(х) < vq(x) п.в. на Мп и и = F(uo), v = F(v0), то u(t,x) < v(t,x) п.в. на П ( монотонная зависимость решения от начальных данных );

F2) если w0 - v0 G L1 (Mn) , и = F(u0), v = F(v0) , то для п.в. t G E+ верна оценка f |u{t,x) — v{t,x)\dx < ||w0 — i>o||i ( устойчивость решений no L1 -норме ).

Единственность о.э.р. ( более строго - монотонная зависимость о.э.р. от начальных данных ) установлена в [39] для п = 1 и в многомерном случае п > 1 при условии:

С1) существует строго возрастающая выпуклая кверху функция Ф(<т) на Ш+, такая, что lim Ф(сг) = 0; Mu,v G К. |f{u) — <*?(г>)| <

<т—>0+

Ф(|?1 — г>|), г = 1,... , п и для обратной функции G = Ф-1 выполнено интегральное условие (6).

Заметим, что последнее условие "изотропно": функция Ф - одна и та же для всех функций потока cpi.

Первый анизотропный результат о единственности о.э.р. был установлен в [25] ( см. также [1, 39, 64] и обзор [88] ) при выполнении следующего условия:

С2) Vit,v еШ

\(fi{u) - (fi(v)\ < LOi(\u - v\), г = 1,... , гг, (7)

где LOi(r) - субаддитивные функции на 1R+ , u>i(r) > 0 при г > 0 и

п

liminf г1_пП(г) < оо, где П(г) = Дш,-(г). (8)

¿=1

Заметим, что требование С2) всегда выполнено при п = 1. Ясно также, что в случае о.э.р. из класса £°°(П) достаточно потребовать, чтобы (7) выполнялось для u,v G [—М, М], где М > 0 - произвольно. В определенном смысле поведение функции П(г) вблизи точки г = 0 характеризует "суммарную" гладкость функций потока <fi, % = 1,..., п . Если = const • rai , то условие (8) означает, что

oi\ + • • • + ап > п — 1;

в [25, 39] примером показана точность этого условия для единственности ограниченного неотрицательного решения в случае п = 2, — и(У' . Более обще, при выполнении условия (8) можно доказать принцип сравнения для обобщенных энтропийных суб- и суперрешений ( коротко - о.э.суб.-р. и о.э.супер.-р. ) задачи (1), (2) ( см. [1, 27, 64, 90] ). Приведем соответствующие определения.

Обозначим /+ = тах(/, 0), = тах(—/, 0) ;

Определение 2.1. Ограниченная измеримая функция ь{у,,х) на П называется о.э.суб-р. задачи (1), (2) с начальной функцией г>(0,ж) = Уо(х) , если:

1) \/к £ К. справедливо неравенство

((г; - *)+)< + - кУ)'у(ф) ~ ¥>(*))] < 0 в 2>'(П)

( здесь можно положить ((у — к)+)'„ = sign(г; — к)+ );

2) выполнено предельное соотношение

евзИтМ*,*) - и0(*))+ = 0 в

Определение 2.2. Ограниченная измеримая функция т(1;,х) на П называется о.э.супер-р. задачи (1), (2) с начальной функцией ги(0,.т) = и)о(х), если:

1) Ук 6 К справедливо неравенство

((ю - *)"), + ^[((«7 - *)")'«, (*>М - < 0 в 2>'(П)

( здесь можно положить ((гс — к)~)'и} = — sign(w — к)~ );

2) выполнено предельное соотношение

еззИтМ*,*) - т0(х)У = 0 в Ь1с(Шп).

Определение 2.3. Будем говорить, что выполнен принцип сравнения для задачи Коши (1), (2), если для любого о.э.суб-р. ь(1:,х) и любого о.э.супер-р. задачи (1), (2) из условия Уо(х) < и)о(.х)

п.в. на Мп следует, что < п.в. на П.

При выполнении условия (8) принцип сравнения для о.э.суб.-р. и о.э.супер.-р. распространен в работах [1, 64] на случай неоднородного уравнения щ + <Иух(р(и) = / и установлен также для соответствующего стацинарного уравнения и + <И\х(р(и) = / . Кроме того, в [1, 64] рассмотрены некоторые специальные случаи единственности о.э.р.

Среди результатов, справедливых без каких-либо предположений о характере непрерывности функций (р{ следует отметить следующее утверждение о невозрастании I/- нормы о.э.р. с ростом I: если 1 < р < +оо и ио £ ^(Е"), то для п.в. ^ > О

иЦ, ■) £ ЩЖп) и ||«(*, ОН^СК») < \Ы\р (9)

( так что при р — оо получаем "принципа максимума" ). При р > п соотношение (9) было доказано в [39], в общем случае р > 1 - в [1, 64] и, для более широкого класса мерозначных решений, в [48].

Для консервативных гиперболических систем квазилинейных уравнений

^ + 1(и)х = о, и = их) е мт, (г, х) е п - м+ х м, (ю)

построение нелокальной теории обобщенных решений находится в стадии развития.

Условие гиперболичности означает ( см. [55, 56] ), что для всех II £ М.т имеется базис, состоящий из собственных векторов г*., к = 1,... , га линейного оператора А(17) = <1}{и) с соответствующими вещественными собственными числами ( характеристическими направлениями ).

Начиная с фундаментальной работы Лакса [92] наиболее интенсивно изучался случай строго гиперболических ( когда характеристические направления ^ попарно различны ) систем законов сохранения, истинно нелинейных по Лаксу. Условие истинной нелинейности означает, что при всех V 6 К™

О^ьПь) Ф О, А; = 1,... ,т

и в одномерном случае т = 1 соответствует условию выпуклости функции потока /(и).

Естественно, о.р. задачи Коши для системы (10) должн�