Неограниченные решения скалярных законов сохранения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0050076Л

Лысухо Полина Валерьевна АВТОРЕФЕРАТ

Неограниченные решения скалярных законов сохранения

01.01.(12 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2072

Владимир - 2011

005007631

Работа выполнена на кафедре высшей математики

Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.Ю. Панов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.Е. Пастухова кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Александров

Ведущая организация: Белгородский государственный национальный

исследовательский университет.

Защита состоится 19 января 2012 года в 16 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.024.02 во Владимирском государственном университете по адресу: 600024, г. Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.024.02 кандидат физико-математических наук,

доцент

С. Б. Наумова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению неограниченных решений задачи Коти для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка

Многие математические модели, возникающие в естествознании ( например, в газовой динамике, в гидродинамике, в теории транспортных потоков и т.д. ) приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (1), так называемым законам сохранения. Хороню известно, что в случае tp{u) 6 C^R"), u0(x) G C^R") задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости t = 0 единственное гладкое решение. Однако даже при бесконечно дифференцируемых tp{u), и0(х) у решения задачи (1), (2) с ростом t могут появляться разрывы. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило, значительно превосходит время существования гладкого решения, то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко - о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределении ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно оказываются пеедипственпыми. В связи с этим, необходимы дополнительные условия на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для задачи Коши при различных предположениях о входных данных задачи. Построение нелокальной теории о.р. задачи (1)1 (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах прошлого века в работах Э. Хопфа, П. Лакса, O.A. Олейник, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, И.М. Гельфанда, O.A. Ладыженской, A.C. Калашникова, С.К. Годунова, Б.Л. Рождественского и других. В этих работах рассматривался, r основном, одномерный случай п = 1. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах функций ограниченной

1

вариации исследовались позднее А.И. Вольпертом [1]. Общая теория этой задачи для / уравнения I

щ + divx <р(и) = О, u = u(t,x), {t,x) еПт= (О,Г) хГ, 0 < Т < +оо,

(1)

с начальным условием

и(0, х) = и0(х).

(2)

щ + diVj, 1p(t, х, и) + ip(t, х, и) = О

в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н. Кружкова [3, 4], где введено понятие обобщенного энтропийного решения (коротко - о.э.р.), доказаны теоремы существования и единственности. Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор-функции ^(м),было положено работами С.Н. Кружкова с Ф. Хильдебрандом [5| и с П.А. Андреяновым ¡6]. Здесь существование о.э.р. верно без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока и доказывается с помощью аппроксимации непрерывных фуншщй ¡¿¡^ гладкими. Проблема единственности значительно сложнее, что связано с эффектом бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п> 1 к неединственности ограниченного о.э.р. задачи (1), (2) ( соответствующие примеры можно найти в работах С.Н. Кружкова и Е.Ю. Панова [7, 15] ). Поэтому, необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности функций потока. Такие ограничения были указаны в работах [5, 6], позднее эти ограничения были значительно ослаблены в [7, 15, 11, 8]. В частности, в случае лишь одной пространственной переменной единственность о.э.р. оказывается верной без всяких дополнительных условий. Для неограниченных о.э.р. свойство конечности скорости распространения возмущений может нарушаться и для гладкого вектора потока, не удовлетворяющего глобальному условию Липшица, и это может приводить к потере корректности задачи Коши. Именно, ни один из положительных результатов, известных для ограниченных о.э.р. (таких как существование, принципы максимума/минимума, единственность), не сохраняется для локально ограниченных о.э.р. Впервые это было замечено в работах |14, 2], где были построены примеры неединственности и несуществования локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для уравнения «( + (и3)х = 0. Оказалось, в частности, что кроме единственного в классе ограниченных о.э.р. нулевого решения имеется бесконечно много ненулевых локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для этого уравнения с пулевыми начальными данными.

Таким образом, актуальной является задача выделения классов корректности среди неограниченных решений задачи (1), (2).

Приведем краткий обзор известных результатов в этом направлении. В [2] для одномерного уравнения (п = 1) была доказана единственность локально ограниченного о.э.р. при дополнительном предположении его суммируемости по пространственной переменной. В работе |8| была рассмотрена задача (1), (2) с лишь непрерывным вектором потока, Iр{и) £ С(К,М"). удовлетворяющим линейному ограничению на рост:

|уэ(и)| < constfl + |u[). Оказалось, что при этом ограничении задача Коши корректна даже в классе локально суммируемых о.э.р. В [8| установлено, что для любой начальной функции щ £ ) существует о.э.р. u(t,x) £ ¿ьс(П), П = П^. При этом, если Щ £ Lp(K"), 1 < р < оо, то и ?/(«,-) £ V(Rn), причем ||u(î,-)IIp < Iklly Заметим, что из этого результата сразу следует единственность нулевого (более обще - постоянного) решения. Для единственности о.э.р. при произвольных начальных данных необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности вектора потока. Единственность доказана в [8] при условии, что функции ipi(u) равномерно непрерывны и их модули непрерывности Wj(r) удовлетворяют условию lim r1_"]7"=1(r + ш>(г)) < +00- Как

г—о+

показывают примеры, это условие существенно для единственности о.э.р.

В работе (9] исследовался случай, когда ip(u) £ С^КД") и выполнено степенное ограничение на рост производной: |p'(u)| < const(1 + МР_1), р > 1. Показано, что класс существования и единственности о.э.р. задачи (1), (2) задается также степенным ограничением па рост о.э.р. Именно, определим пространства

В°а = { и = u(i) £ I ЭМ = Ми Ks)| < М( 1 + |г|а) п.в. на R" },

В° = { и = и(х) е В" I esslim \и(х)\\х\~а = 0 },

Ва = { и = u(t,x) б ££"С(ПГ) I ЭМ = M(t) £ ££([0,Г)) \u(t,x)\< M(t)(l + \x\a) п.в. на Пт}.

Тогда при а = (р - I)"1 существует единственное о.э.р. u(t,x) £ Ва задачи (1), (2) при любой начальной функции и0 6 В", определенное в некотором слое Пг. При этом, если щ £ В°, то можно положить Т = +оо. Примерами показано, что при увеличении показателя а теряется как существование так и единственность о.э.р. Так, в [9] для одномерного уравнения

ut + ■■р(и)х = О,

при = |м|р_1и, р > 1 построено бесконечно много о.э.р. задачи Коши с нулевой начальной функцией. При построении этих о.э.р. существенно использовался тот факт, что функция потока имеет точку перегиба и = 0. Как было позднее установлено в [10], в случае выпуклой ( вогнутой ) функции потока единственность нулевого о.э.р. верпа ( более обще, любое о.э.р. и = u(t,x) £ Пг) задачи (1), (2) с ограниченной начальной функцией ограничено и единственно ). Актуальна задача нахождения классов корректности

локально ограниченных о.э.р. для уравнения (1) общего вида. Решению этой задали посвящена первая глава диссертации.

В случае, когда условия корректности нарушены и начальная функция не ограничена, естественные требования и е L}oc{ïlT), ip{u) 6 Ь}0С(ПТ,К") оказываются слишком ограничительными, так как с ростом t могут нарушаться условия локальной интегрируемости. Однако, отказавшись от этих условий, мы не можем рассматривать энтропийные условия (и даже само уравнение) в рамках теории распределений. В этой связи необходимо рассматривать более широкий класс выходящих за рамки теории распределений ренормализованных решений. Для корректного определения таких решений и — u(t, х) используются энтропийные условия для суперпозиций s(u), где s - ограниченные функции специального вида. Ренормализованные решения были впервые введены в работе R.J. DiPerna, P.L. Lions [13], для линейных уравнений первого порядка (транспортных уравнений). Позднее была развита получившая широкую известность теория ренормализованных решений эллиптических и параболических задач. В работе Pli. Bénilan, Л. Carrillo, P. WittboM |12| были введены ренормализованные энтропийные решения (коротко - р.э.р.) задачи (1). (2), в случае суммируемых начальных данных «о(я) £ ¿1(R"). В этой работе доказаны существование и единственность р.э.р. В основе доказательств лежат результаты и методы теории сжимающих полугрупп в L'fR"), так что условие суммируемости по пространственным переменным существенно используется. Применяя другие методы исследования, результаты [12] можно значительно обобщить. Решению этой актуальной задачи посвящены вторая и третья главы диссертации.

Цель работы. Целью работы является изучение классов корректности неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализованных решений задачи (1), (2), исследование точности условий корректности.

Объект исследования. Объектом исследования является задача Коши (1 ), (2), классы корректности неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализованных решений этой задачи.

Основные методы исследования. В диссертации использованы методы удвоения переменных, специфические методы выбора пробных функций, разработанные для случая бесконечной скорости распространения возмущений, методы теории обобщенных энтропийных суб- и супер-решений, принципы сравнения.

Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. указаны новые классы неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализо-ванных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения;

2. даны обобщения понятия ренормализовапного решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения на случай произвольных измеримых начальных данных;

3. исследована связь реиормализованных решений с обобщенными энтропийными решениями;

4. введено новое понятие периодического по пространственным переменным ренормализовапного энтропийного решения задачи Коши;

5. во введенных классах доказаны теоремы существования и единственности, принципы сравнения, приведены примеры, подтверждающие точность налагаемых усло-

вии.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании неограниченных решений квазилинейных законов сохранения. Эти результаты могут примененяться в многочисленных математических моделях, описываемых законами сохранения первого порядка, например, в газовой динамике, гидродинамике, в теории транспортных потоков и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского), Москва, 2007 г.; международной конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам ( Суздаль, 2006,

2008, 2010 гг. ); 5-ой и 6-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" АМАБЕ-2009, АМАПЕ-2011 ( Минск, Беларусь,

2009, 2011 гг. ); международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" ( Белгород, 2011 г. ). Также результат ты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа под руководством Е.Ю. Панова в Новгородском государственном уггиверситете ( Великий Новгород, 2010, 2011 гг. .

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 5 статей в журналах рекомендуемых ВАК, из них в соавторстве 3. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет - 78 страниц; библиография включает 44 наименования.

Краткое изложение содержания диссертации

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, приводятся ранее полученные результаты и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В Главе 1 исследуются локально ограниченные о.э.р. задачи Коши (1), (2). Предполагается, что вектор потока <р(и) = (<pi(u),..., <р„(и)) 6 C^R.R") и производная ср'(и) удовлетворяет следующему ограничению на рост:

И«01 < Ф(М),

где | • | обозначает евклидову норму конечномерного вектора (включая модуль числа), а Ф(г) - строго возрастающая функция на R+ = [0,+сс), такая, что Ф(г) Следует

заметить, что это ограничение не умаляет общности и всегда выполнено при подходящем выборе функции Ф(г). Определение локально ограниченного о.э.р. задачи (1), (2) аналогично оригинальному определению С.Н. Кружкова [4]:

Определение 1.1. Локально ограниченная функция и = u(t,x) £ Ь^ДПг) называется о.э.р. задачи Коши (1), (2), если:

а) Vfc £ R

1 и - k\t + divx [sign(u - k)(V(u) - ¥>(&))] < 0 (3)

в смысле распределений на Пт (в V'(Ylj-))-

б) esslimu (i, •) = и„ в Цос(Жп).

В части 1 введены также понятия локально ограниченного обобщенного энтропийного субрегаения (о.э.субр.) и обобщенного энтропийного суперрешения (о.э.суперр.) задачи (1), (2). Обозначим и+ = max(i',0), v~ = (-v)+, sign1» = (sign u)+. sign~(u) = -(sign v)~.

Определение 1.2. Функции и = u{t,x) G Ь~С(ПГ) называется о.э.субр. задачи Коши (1), (2), если: а) Чк е К

(и - к)+ + divx [sign+(u - к)(ф) - <р(к))] < О в 2>'(Пг);

6) cssjim(u(i, x) - uo)+ = 0 в Цос{R").

Определение 1.3. Функция и = u(t,x) G 1£(ПГ) называется о.э.суперр. задачи (1), (2), если: a) VX- е M

(и - к); + div* [sign"(и - fc)(<p(u) - ^(fc))] < 0 в 23'(Пг);

С) essUra(ii(i,z) ~ и0)~ = 0 в IJJR").

Из определении 1.2-1.3 вытекает, что функция u(t,x) 6 £°°(ПГ) является о.э.р. задачи (1), (2) тогда и только тогда, когда она является о.э.субр. и о.э.суперр. этой задачи одновременно.

Определим классы корректности локально ограниченных о.э.р. и соответствующих начальных данных:

Вф = {«i(i, х) е ££(ПГ) I эс = c(t) е ¿£([о, т)) ф(|u(t, х)\) < c(t)(M +1)},

Bl = { щ(х) s К") I ЭС > О Ф(Ы*)|) < С(\х\ + 1) }.

Нам потребуется ниже также следующий, более узкий класс начальных данных Bg = { щ(х) 6 В% | essЦтФ(|и0(х)|) • Ы"1 = 0 }.

|т|-»оо

В части 2 доказан принцип сравнения и единственность о.э.р. Этот результат оказался верным даже в более широком, по сравнению с Вф, классе о.э.р. Именно, пусть р(г) -непрерывная положительная и неубывающая функция на R+ = (0, +со) со свойством I щ = оо. Введем пространство

К = Mi, X) е L£(пт) I Зс = c(t) € L£([o,T)) Ф(|и(г, ï)|) < С(г)р(|г|)}.

Заметим, что Врф = Вф при р(г) = 1+г. Если р(г) растет быстрее линейной функции при г - 00 ( например, p{r) = (1 + r) 1п(2+г) ), то класс строго содержит ВФ. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть u(t,x),v(t,x) е Врф - о.э.субр. и, соответственно, о.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными u0(x),v0(x). Тогда, если и0(рс) < v0(x) почти всюду на R", то и u(t, х) < v(t, х) почти всюду на Пг.

Следствие 1.1. О.э.р. u(t,x) е задачи (1), (2) единственно.

Заметим, что множеству Врф соответствует класс начальных данных и0(х), задаваемый условием Ф(М*)|) < Ср{\х\), С = const. Однако, как показано в Примере 1, для

начальных данных из этого класса может нарушаться свойство существования о.э.р. з&-дачи Коши.

Для существования необходимо рассматривать начальные данные из более узкого класса Вф. В части 3 доказана соответствующая теорема существования о.э.р..

Теорема 1.3. Пусть и0(х) 6 В%. Тогда в некотором слое Пг существует о.э.р. u(t, х) 6 Вф задачи (1), (2). При этом, если и0(.т) 6 В%, то можно положить Т = +оо, то есть решение существует во всем полупространстве t > 0.

Условия ио € В%, щ € В$ в Теореме 1.2 являются точными, см. Примеры 1.1-1.2.

В Главе 2 изучаются ренормализованпые энтропийные решения задачи (1), (2) с лишь измеримой начальной функцией и0(х). Вектор потока предполагается гладким: <р{и) 6 C^R, R"). Более обще, в части 1 введены понятия ренормализованного энтропийного суб- и суперрешения. Пусть аа,ь(и) = max(min(u, Ъ),а) - срезающая функция на уровнях а, Ь, где а, Ъ 6 R, а < Ъ.

Определение 2.1. Измеримая функция и = u(t,x) на Пт называется репормализо-ванным энтропийным субрешением (р.э.субр.) задачи (1), (2) если: Va,6 G R, а < b

(s»,b(li))t + tiiVx¥'(sa,i.(U)) ^flb-Va вХ>'(ПТ), (4)

где ßk, к е R - семейство неотрицательных локально конечных мер па Пт ( е М1ос(Пг), ш. > 0 ) таких, что lim /¿*(ПТ) = 0; essIim(sa,b(M(i,ж)) - ■sn,i>(u0))+ = 0 в 1/0(.(Мп);

а;—»+оо /.-»0+

Измеримая функция и = u(t,x) на Пг называется ренормализованным энтропийным

суперрсшением (р.э.суперр.) задачи (1), (2), если выполнено условие (4), в котором fik е М,0С(ПГ), к е R - семейство неотрицательных локально конечных мер на Пг таких, что Ит /¿*(ПГ) = 0; esslim(sa,ll(u(t1 х)) - .<ЧьЫ)~ = 0 в ¿Li®")-

к—►—ос t—»0+

Ренормализованным энтропийным решением (р.э.р.) задачи (1), (2) называется измеримая функция и = u(t,x), которая одновременно является р.э.субр. и р.э.суперр. этой задачи.

Понятие р.э.р. задачи (1), (2) можно сформулировать независимо от понятий р.э.субр. и р.э.суперр. ( см. Предложение 2.1. ). Установлено, что в классе ограниченных функций понятия р.э.р. и о.э.р. совпадают, см. Предложение 2.2. Показано также, что для неограниченных функций это утверждение неверно.

В части 2 разработан аналог известного метода Кружкова удвоения переменных. На основе этого метода доказан следующий результат.

Теорема 2.1. П) гсть измеримые функции и — V х) являются, соответ-

ственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными и0(х), у„(х). Тогда, для почти всех I 6 (О, Т)

Из Теоремы 2.1 непосредственно вытекает следующий принцип сравнения.

Сл1 ;дствие 2.1 |принцип сравнения]. Пусть функции и — ,xj. и — являют-

ся, соответственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными и0(х), г>а(х). Тогда, если щ(х) < v0(x) почти всюду на Ж", то и < î.'(î, з:) почти всюду

на Пт. Из принципа сравнения, следует, что для любой измеримой начальной функции и0(х) р.э.р. и = u(t,x) задачи (1). (2) единственно ( см. Следствие 2.2 ). Более того, верно следующее свойство устойчивости р.э.р. по отношению к суммируемым возмущениям начальных данных.

Следствие 2.3. Пусть u(t,x), v(t,x) - р.э.р. задачи (1), (2) с начальными данными «о(»)> «&(*)> соответственно. Тогда для почти всех t G (О,Т) JRn|it(i,x) -v{t,x)\dx < Sr- КМ — Vo(x)\dx.

Заметим, что в общем случае произвольной начальной функции р.э.р. задачи (1), (2) может не существовать, что и подтверждено Примером 2.1. В части 3 установлено существование р.э.р. при условии, что начальная функция лежит в пространстве L°°(Rn) + ¿'(R"). В основе доказательства лежит процедура аппроксимации начальных данных «оМ последовательностью ограниченных функций u0m(x) = s_nhm(u0(x)), m Ç N. Рассмотрим соответствующую последовательность um(t,x) 6 LX(UT) о.э.р. задачи (1), (2) с начальными данными и0т{х). Справедливо следующее

Предложение 2.5.

1) Последовательность и0т(х) —> щ{х) при m—» оо в L°°(Rn) + L^R™);

2) найдется функция и = u(t,x) е ¿°°(ПТ) + Ь^Пг) такая, что um(t,x) -+ u(t,x) при

rn — оо в ¿"(П^ + ЬНПт);

3) ess Mm \u(t, х) - u0(z)l = 0 в ^(сосуществование р.э.р. задачи (1). (2) непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.4. Предельная функция u(t,x) - искомое р.э.р. задачи (1), (2).

В Главе 3 впервые изучен класс периодических по пространственным переменным р.э.р. задачи (1), (2) с лишь непрерывным вектором потока <р(и). В этом классе понадобилась новая формулировка понятия р.э.р., разработка новых подходов к доказательству теорем существования и единственности.

Предположим, что начальная функция и0(х) является периодической измеримой

функцией. Это означает, что и0(х + ej = и0(х) п.в. на R™ для всех г = 1____,п. Здесь е»,

г = 1,..., п, - канонический базис R". Пусть Р = [0,1)" - фундаментальный куб. В части 1 введено понятие периодических но пространственным переменным р.э.р.

Определении 3.1. Измеримая периодическая по переменным х функция и = u(t, x) называется ренормализованным энтропийным субрешением (р.э.субр.) задачи (1), (2) если. выполнено условие (4), где ßk, к 6 R - семейство неотрицательных локально конечных мер на Пт ( цк б М1ос(ПтО, 1'к > 0 ) таких, что lim /^((0,Т)хР) = 0; esslim(sai,(u(i,a:))-

к—>+оз t—»Ü+ ' "

sa,b(Mo(x)))+ = О в L (Р). Измеримая периодит1еская но переменным х функция и = ï/(î, х) называется ренормализованным энтропийным суперрептением (р.э.суперр.) задачи (1), (2) если, выполнено условие (4), где семейство неотрицательных мер [ik 6 Mloc{Пт), fc G R таково, что Jim^^T) х Р) = 0; esslim(s0ib(u(t,х)) - so,b(«0(i)))- = 0 в Ь\Р). Наконец, ренормализованным энтропийным решением (р.э.р.) задачи (1), (2) на37,тается функция и = u(t,x), которая одновременно является р.э.субр. и р.э.суперр. этой задачи. Понятие р.э.р. можно сформулировать независимо от понятий р.э.субр. и р.э.суперр. (Предложение 3.1).

Следующая теорема является основной в части 2:

Теорема 3.2. Пусть измеримые периодические по переменным х функции и = u(t,x), V = v(t,x) являются, соответственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными и0(х), v0(x). Тогда, для почти всех t G (О,Г)

Теорема 3.2. доказывается с помощью варианта метода Кружкова удвоения переменных, который позволяет установить разновидность неравенства Като (Теорема 3.1), играющего ключевую роль в доказательстве Теоремы 3.2.

Следствие 3.1 (принцип сравнения]. Пусть измеримые периодические по переменны» г х функции и = u(t,x), v = v(t,x) являются, соответственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными uo(x), v0(x). Тогда, если щ(х) < и0(х) почти всюду

на R'1, то и u(t, х) < v(t, х) почти всюду па П7-.

Следствие 3.2 [единственность]. Для любой измеримой периодической начальной функции и0(х) р.э.р. и = u(t,x) задачи (1), (2) единственно.

Следствие 3.3 [устойчивость]. Пусть u(t,x), v(t,x) - р.э.р. задачи (1), (2) с начальными данными и0(х), ь'о(х). соответственно. Тогда для почти всех t 6 (О,Г) Jp |«(i, х) - v(t, x)\dx < Jp\v0{x) - v0{x)\dx.

В части 3 доказано существование р.э.р. Прежде всего, показано, что в общем случае произвольной периодической измеримой начальной функции р.э.р. задачи (1), (2) может не существовать, см. Пример 3.1. Поэтому, для существования р.э.р. необходимы ограничения па начальные данные. Мы предположим, что и0(х) £ ¿'(Я). Как и в Главе 2 существование р.э.р. доказывается с помощью процедуры аппроксимации начальных данных щ(х) последовательностью ограниченных функций и0ш(х) - s-m¡m(u0(x)), m е N. Пусть иm(í, х) - соответствующая последовательность ограниченных о.э.р. задачи (1), (2) с начальными данными и0т(х). Верно следующее

Предложение 3.3.

1) Последовательность щт(х) —> и0(:г) при m —» оо в

2) При m —► оо последовательность um(t,x) u(t,x) в i1 ((О, 71) х Р), где u(t,x) -Р-периодическая функция на П?';

3) ess lim ||u(í, х) - «o(-*)||z,'(P) = 0.

Теорема 3.3. Предельная функция u[t,x) является р.э.р. задачи (1), (2).

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю профессору Е.Ю. Панову за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения ее результатов.

Работы автора по теме диссертации в научных журналах, находящихся в перечне ВАК РФ

[1] Аписькова. П.В. (Лысухо, П.В.) Оценки времени существования классического решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка [Текст|/П.В. Лысухо//' Вестник НовГУ, серия Техн. науки. - 2004 - JÍ» 28. - С. 61-02 .

[2] Лысухо, П.В. Об одном условии единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе неограниченных функций [Текст]/П.В. Лысухо// Вестник НовГУ, серия Техн.науки.- 2005. - X» 34. - С. 81-83.

[3] Лысухо, П.В. О существовании и единственности неограниченных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка |Текст|/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 1. - С. 103-111.

[4| Лысухо, П.В. Ренормализоваппыс энтропийные решения задачи Коши дня квазилинейного уравнения первого порядка [Текст]/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Проблемы математ. анализа. - 2010. - Вып. 51. - С. 3-20. ( перевод на англ. в Л. of Mathematical Sciences. - 2011. - 172, no. 1. - P. 1-23. )

[5] Лысухо, П.В. Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе периодических функций |Текст|/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Проблемы математ. анализа. - 2010. - Вып. 59. - С. 25-42. ( перевод на англ.в Л. of Mathematical Sciences.- 2011. - 177, no. 1. -P. 27-49. )

Работы автора в прочих научных журналах и материалах научных конференций

[6] Лысухо, П.В. О классах корректности задачи Коши для скалярных законов сохранения |Текст|/П.В. Лысухо// Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. - 200G. - С. 143.

[7] Лысухо, П.В. О классах существования и единственности неограниченных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка [Текст]/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Тезисы докладов XXII совместного заседания Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского. Москва-2007. - С. 180.

[8] Лысухо, П.В. О существовании неограниченных энтропийных решений задачи Коши для законов сохранения первого порядка [Текст|/П.В. Лысухо// Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических! системам. Суздаль. - 2008. - С. 164-165.

[9] Лысухо, П.В. О существовании и единственности неограниченных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка (Текст]/П.В. Лысухо. Е.Ю. Панов// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009,- Т. 10. - Вып. 3. Секция "Дискретная математика". - С. 472-473.

[10] Лысухо, П.В. О принципе сравнения для неограниченных суб- и супер-решений квазилинейных законов сохранения первого порядка |Токст|/П.В. Лысухо/'/ Тезисы докладов 5-ой международной конференции "Аналитические методы анализа н дифференциальных уравнений" (АМАОЕ-2009). Минск, Беларусь. - 2009. - С. 100.

[11] Лысухо, П.В. О существовании и единственности ренормализовапных энтропийных решений скалярных законов сохранения [Текст]/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль,- 2010 - С. 118-119.

[12] Лысухо, П.В. О ренормализовапных решениях задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка ]Текст]/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Тезисы до кладов С-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (АМАБЕ-2011). Минск, Беларусь. - 2011. - С. 97.

[13] Лысухо, П.В. О понятии ренормализованного решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения (Текст]/П.В. Лысухо, Е.Ю. Панов// Сб. материалов международной конференции "Комплексный анализ и егоприложения в дифференциальных уравнениях". Белгород.- 2011. - С. 72.

Список используемой литературы

[1] Волъпсрт А. И. Пространства BV и квазилинейные уравнения,// Математ. сборник,- 1967. - Т. 73, - № 115. - С. 255-302.

[2] Горицкий Л. К)., Панов Е. Ю. О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Труды МИАН им. В.А. Стеклова. - 2002. - Т. 236. - С. 120-133.

|3| Кружка,, С. Н. Обобщенные решения аадачи Коши н целом для нелинейных уравнений

первого порядка// ДАН СССР. - 1969. - Т. 187. - № 1. - С. 29-32. [4| Кружков С. Я. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Математ. сборник. - 1970. - Т. 81, - .V 2. - С. 228-255.

[5| Кружков С. П., Хилъдеб^хтд Ф. Задача Коиш для квазилинейных уравнений первого порядка в случае, когда область зависимости от начальиыхданных бесконечна// Вестник Моск. ун-та. - 1974. - № 1. - С. 93-100.

[6] Кружков С.Н., Андреянов П. А. К нелокальной теории задачи Конш для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций// ДАН СССР. -1975.

- Т.220, - № 1. - С. 23-26.

[7] Кружков С. //., Панов Е. Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР,- 1990. - Т.314, -№ 1. - С. 79-84.

[8] Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных решений задачи Копш для квазилинейного уравнении первого порядка в классе локально суммируемых функций// Известии РАН. -2002. - Т. G6, - № 6. - С. 91-136.

[9] Панов Е. Ю. О классах корректности локально ограниченных обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка// Фундаментальная и прикладная математика. - 200G. - Т. 12, - № 5. - С. 175-178.

[10] Панов Е. Ю. О единственности обобщенного энтропийного решения задачи Копт для квазилинейного закона сохранения с выпуклым потоком// Проблемы математического анализа.

- 2010. - Т. 47 - С. 89-102.

[11| Вёпйап Ph., Kruzhkov S.N. Conservation laws with continuous flux function//Nonlinear Differential Equations Appl. - 199G. - V. 3. - P. 395-419.

[12] Benilan Ph., Carrillo J., Wittbold P. Renormalized entropy solutions of scalar conservation laws// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. - 2000. - V. 29. - P. 313-327.

[13] DiPcrna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces// Invent. Math. - 1989. - V. 98. - P. 511-547.

[14] Goritsky A. Yu., Panov E. Yu. Example of nommiquenees of entropy solution in the class of locally bounded functions// Russian Journal of Mathematical Physics. - 1999. - V. 0, - № 4. -P. 492-494.

|15] Kni.zli.kov S. N.. Panov E. Yu. Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order//' Ann. Univ.Ferrara.-Sez. VII-Sc. Mat. - 1994. - V. 40. - P. 31-53.

ЛЫСУХО Полина Валерьевна

Неограниченные решения скалярных законов

сохранения

Подписано к печати 07.12.2011. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ N2 38.

Отпечатано в ЗАО «Новгородский технопарк». 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Тел. (816 2) 73-76-76.

Введение

1 О существовании и единственности неограниченных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка

1.1 Понятие энтропийного решения.

1.2 Принцип сравнения и единственность.

1.3 Теорема существования.

2 Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка

2.1 Понятие ренормализованного энтропийного решения.

2.2 Принцип сравнения и единственность р.э.р.

2.3 Существование р.э.р.

3 Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе периодических функций

3.1 Понятие периодического по пространственным переменным ренормализованного энтропийного решения.

3.2 Принцип сравнения и единственность периодического ренормализованного энтропийного решения.

3.3 Существование периодического р.э.р.

Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена изучению неограниченных решений квазилинейных уравнений первого порядка. Основу диссертации составляет исследование задачи Коши для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка щ + diva; ip{v) = 0, (1) и = u(t, х), (t, ж) G Пт = (0,Т) хГ, 0 < Т < +оо, с начальным условием и(0,х)=щ(х). (2)

Многие математические модели, возникающие в естествознании (например, в гидродинамике, в газовой динамике, в теории транспортных потоков и т.д) приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (1), так называемым законам сохранения. Конкретные модели, приводящие к уравнениям вида (1) можно найти, например, в [31]. Хорошо известно, что в случае ip(u) £ С^М"), гАо(ж) € С^М71) задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости t = 0 единственное гладкое решение. Однако, даже при бесконечно «дифференцируемых <р{и), щ(х) у решения задачи (1), (2) с ростом t могут появляться разрывы. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило, значительно превосходит время существования гладкого решения (некоторые оценки этого времени можно найти в работе [17] автора диссертации) , то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко - о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределения ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно'оказываются неединственными. В связи с этим, одним из основных вопросов теории о.р. задачи (1), (2) является описание тех дополнительных условий на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для рассматриваемой задачи при различных предположениях о начальной функции ио(ж) и вектор-функции потока ср(и). Приведем краткий обзор результатов по теории задачи (1), (2), в случае гладкой функции потока tp(u).

Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах прошлого века в работах Э. Хопфа, П. Лакса, О.А.Олейник, А.Н. Тихонова, A.A.Самарского, И.М. Гельфанда, O.A. Ладыженской, A.C. Калашникова, С.К. Годунова, Б.Л. Рождественского и других. Со времени опубликования фундаментальной работы Э;Хопфа [41] основным методом исследования задачи Коши (1), (2) является метод "исчезающей вязкости", который основан на идее предельного перехода при е —»• 0 по решениям задачи Коши для параболического уравнения щ 4- diva; <р(и) — еАи.

С помощью метода "исчезающей вязкости" можно не только-доказывать существование о.р., но и выявлять условия, обеспечивающие единственность этого решения ( о необходимости таких условий см. [23, 31] ). В 50-годах наиболее подробно изучался случай п = 1 с выпуклой функцией <р(и). В работах [16, 23, 22, 32, 44] для этого случая построена теория о.р. задачи (1), (2) при произвольной ограниченной измеримой начальной функции щ(х). В работе [2] И.М. Гельфанд сформулировал условия допустимости и дал принципиальное решение задачи Римана о распаде разрыва для случая невыпуклой функции потока. Этот случай исследовался также в работах [6, 24]. В частности, в работе O.A. Олейник [24] (см. также [2]) было сформулировано условие единственности о.р. задачи Коши в классе кусочно-гладких функций. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах BV ( в пространстве функций ограниченной вариации ) исследованы в работах [1, 39, 15] ( наиболее полно - в [1] ). Общая теория этой задачи для уравнения щ + áivx ip(t, ж, и) + х, и) = 0 в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н. Кружкова [8, 9, 10], где введено понятие обобщенного энтропийного решения (коротко - о.э.р.), естественно вытекающее из метода "исчезающей вязкости" (введение в теорию о.э.р. можно найти в пособиях [11, 4]). Приведем определение о.э.р. применительно к уравнению (1):

Определение 0.1. Ограниченная измеримая функция и = u(t,x) называется обобщенным энтропийным решением (коротко - о.э.р.) задачи Коши (1), (2), если: ajVfcel

I и - k\t + div* [siga(u - к)(у{и) - <p(k))] < 0 (3) в смысле распределений на Пт (в Р'(Пт)); б) ess lim I•) — wo I = О в Ljoc(]Rn), т.е. существует множество 8 С (О, Т) t—►О*}полной меры Лебега, такое, что при t G 8 u(t, •) € Ь°°(Шп) и \u(t, ■) — uq\ —> 0 в LJJR") при £ -»■ 0, t е 8.

Условие (3) означает, что для любой пробной функции / = /(¿, х) € Со(Пт), / > 0 выполнено интегральное неравенство

J [|ti - k\ft + sign(w - k)(cp{u) - tp(k), V*/)] dtdx > 0, где (•, •) обозначает скалярное умножение на lRn.

Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор - функции ср(и) было положено работами [12,13, 33]. Что касается теорем существования* в естественных классах о.э.р., то они .справедливы без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока. Основанная на априорных оценках техника аппроксимации непрерывных (fi гладкими, позволяет устанавливать существование в тех же классах, что и для гладких функциях потока. Впервые эта техника была применена в статье С.Н.Кружкова и Ф.Хильдебранда [12] для класса о.э.р. из £°°(Пг) ПХ^Пг), Пг = (0,Т] х Rn, Т > 0 - произвольно, где доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) для произвольной ограниченной суммируемой начальной функции щ(х). Проблема единственности значительно сложнее, что связано с эффектом, бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п > 1 к неединственности ограниченного о.э.р. задачи (1), (2) (соответствующие примеры можно найти в работах [14, 25, 43]). Поэтому, необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности функций потока. Такие ограничения были указаны в работах [12, 13], позднее эти ограничения были значительно ослаблены, см. [14, 25, 43, 36, 28]. В частности, в случае лишь одной пространственной переменной единственность о.э.р. оказывается верной без всяких дополнительных условий. Следует заметить, что для ограниченных о.э.р. всегда выполнен принцип максимума/минимума: если а < < Ь почти всюду на Rn, и u(t,x) - о.э.р. задачи (1), (2), то а < u(t, х) < Ъ почти всюду на Пу. Из этого принципа в частности вытекает единственность постоянного решения (в классе ограниченных о.э.р.). Единственность ограниченного о.э.р. установлена также в случае, когда начальная функция имеет (п — 1) линейно независимых периодов, см. [26, 27].

Для неограниченных о.э.р. свойство конечности скорости распространения возмущений может нарушаться и для гладкого вектора потока, не удовлетворяющего глобальному условию Липшица, и это может приводить к потере корректности задачи Коши. Именно, ни один из положительных результатов, известных для ограниченных о.э.р. (таких как существование, принципы максимума/минимума, единственность), не сохраняется для локально ограниченных о.э.р. Впервые это было замечено в работах [42, 3], где были построены примеры неединственности и несуществования локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для уравнения

Щ + (и3)ж = 0. (4)

Оказалось, в частности, что кроме единственного в классе ограниченных о.э.р. нулевого решения имеется бесконечно много ненулевых локально ограниченных о.э.р. задачи Коши для уравнения (4) с нулевыми начальными данными.

Таким образом, актуальной является задача выделения классов корректности среди неограниченных решений задачи* (1), (2).

Приведем краткий обзор известных результатов в этом направлении.

В [3] для одномерного уравнения (n = 1) была доказана единственность локально ограниченного о.э.р. при дополнительном предположении суммируемости по пространственной переменной.

В работе [28] была рассмотрена задача (1), (2) с лишь непрерывным вектором потока, ip(u) £ С(M, Rn), удовлетворяющим линейному ограничению на рост: l¥>(u)| < С( 1 + М), С = const • | обозначает не только модуль числа, но и евклидову норму конечномерного вектора). Оказалось, что при этом ограничении задача Коши корректна даже в классе локально суммируемых о.э.р. В [28] установлено, что для любой начальной функции uq G L^R") существует о.э.р. u(t,x) G Iq0C(II), П = Поо. При этом, если щ G 17(Шп), 1 < р < оо, то и u(t, •) G i7(Mn), причем \\u(t, -)Hp < \\щ\\р. Заметим, что из этого результата сразу следует единственность нулевого (более обще - постоянного) решения. Для единственности о.э.р. при произвольных начальных данных необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности вектора потока. Единственность доказана в [28] при условии, что функции <ßi(u) равномерно непрерывны и их модули непрерывности oui (г) удовлетворяют условию п lim < +оо. 1

Как показывают примеры, это условие существенно для единственности о.э.р. (даже в классе ограниченных о.э.р.). В работе [29] исследовался случай, когда ip(u) G С1 (M, Мп) и выполнено следующее степенное ограничение на рост производной l^'MI < С(1 + К-1), V > 1, С = const.

Показано, что класс существования и единственности о.э.р. задачи (1), (2) задается также степенным ограничением на рост о.э.р. Именно, определим пространства

В° = { и = и{х) G L£c(W1) I 3M = MU \u(x)\ < M{ 1 + |ж|а) п.в. на Мп }, В°а = { и = и{х) G Ва I ess lim |г1(ж)||а;|~а = 0 }, х|—»оо

Ва = { « = u(t, х) G L£c(ПГ) I 3M = Mit) G L£c([0, T)) Iu(t, x)\ < M{t){ 1 + |s|a) п.в. на ПГ }.

Тогда при а = (р — I)-1 существует единственное о.э.р. u(t,x) G Ва задачи (1), (2) при любой начальной функции ^о G В®, определенное в некотором слое Пдг. При этом, если щ G В^, то можно положить Т — +оо. Примерами показано, что при увеличении показателя а теряется как существование так и единственность о.э.р. Так, в [29] для одномерного уравнения щ + (р(и)х = 0, (5) при ip{u) — \и\р~1и, р > 1 построено бесконечно много о.э.р. и G Bp задачи Коши для уравнения (5) с нулевой начальной функцией, при любом значении параметра ß > а. При построении этих о.э.р. существенно использовался тот факт, что функция потока имеет точку перегиба и = 0. Как было позднее установлено в [30], в случае выпуклой (вогнутой) функции потока единственность нулевого о.э.р. верна (более обще, любое о.э.р. и — u{t, х) € L™c(TLt) задачи (1), (2) с ограниченной начальной функцией ограничено и единственно). Актуальна задача нахождения классов корректности локально ограниченных о.э.р. для уравнения (1) общего вида. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации.

В случае, когда условия корректности нарушены и начальная функция не ограничена, естественные требования и G L}oc(J1t), <р{и) G ¿^(П^М") оказываются слишком ограничительными, так как с ростом t могут нарушаться условия локальной интегрируемости. Однако, отказавшись от этих условий, мы не можем рассматривать энтропийные условия (и даже само уравнение) в рамках теории распределений. В этой связи, необходимо рассматривать более широкий класс выходящих за рамки теории распределений ренормализованных решений. Для корректного определения таких решений и — u(t,x) используются энтропийные условия для суперпозиций s (и), где s -ограниченные функции специального вида. Ренормализованные решения были впервые введены в [40], для линейных уравнений первого порядка (транспортных уравнений). Позднее (см. [34, 37, 38]) была построена получившая широкую известность теория ренормализованных решений эллиптических и параболических задач. В работе [35] были введены ренормализованные энтропийные решения (коротко - р.э.р.) задачи (1), (2), в случае суммируемых начальных данных щ(х) G L1 (Мп). В этой работе доказаны существование и единственность р.э.р. В основе доказательств лежат результаты и методы теории сжимающих полугрупп в L1(Rn), так что условие суммируемости по пространственным переменным существенно используется.

Применяя другие методы исследования, результаты [35] можно значительно обобщить. Решению этой актуальной задачи посвящены вторая и третья главы диссертации. Во 2-ой главе рассмотрен случай, когда щ(х) - произвольная измеримая функция. В 3-ей главе диссертации впервые изучен класс периодических по пространственным переменным р.э.р. задачи (1), (2).

Краткое содержание диссертации.

В Главе 1 введены и исследованы классы корректности локально ограниченных о.э.р. задачи (1), (2), в общем случае произвольного гладкого вектора потока <р(и). В этом случае всегда можно найти строго возрастающую функцию Ф(г) на [0,+оо), такую что Ф(г) —> +оо и \(р'(и)\ < Ф(Н). Определим г—>+оо классы

ВФ = {«(i,®) е ¿&(ПГ) | Зс = c(t) € ££С([0,Т)) Ф(\и&х)\) < c(t)(\х\ + 1)} ,

В°ф = { и0(х) Е L£c(Rn) | ЗС > 0 Ф(|«о(®)|) < С(\х\ + 1) }.

Единственность о.э.р. установлена даже в более широком по сравнению с Вф классе врф = {u(t,х) е L£c(Пг) I Зс = c(t) е 1£с([0,Т)) Ф(\и{1,Ж)|) < c(t)p(M)} , где р(г) - непрерывная положительная и неубывающая функция на =

00 / dr

О, +оо) со свойством / —— = оо. Более обще, в Теореме 1.1 доказан прин

J РКП цип сравнения для обобщенных энтропийных суб- и суперрешений из класса В^. При его доказательстве использованы методы удвоения переменных, специфические методы выбора пробных функций, разработанные для случая, когда скорость распространения возмущений может быть неограничена.

Установлено, что для начальных данных, соответствующих классам может нарушаться свойство существования о.э.р., и для существования о.э.р. необходимо рассматривать более узкие классы начальных данных Вф. Как показано в Теореме 1.2, для любой начальной функции щ £ существует единственное о.э.р. и = u(t, х) £ Вф, определенное в некотором слое Пу. При этом, если Ф(|гго(ж)|)/|ж| —> 0 при х оо, то указанное о.э.р. существует во всем полупространстве (то есть Т = +оо). Приведены Примеры 1.1, 1.2, подтверждающие точность условий существования.

Результаты главы 1 подробно опубликованы в [18, 20].

В первой части Главы 2 диссертации вводятся понятия ренормализован-ных энтропийных суб- и суперрешений (р.э.субр. и р.э.суперр.) задачи (1), (2) с лишь измеримой начальной функцией щ(х). В основе определения этих понятий лежит энтропийное условие: Va, Ь £ 3R, а < Ъ sa,b(u))t + diVz <p(sa,b(u)) = flb ~ ßa В V(ILГ), (E) в котором saib(u) = max(min(ii, Ъ)\ а) - срезающие функции, а ць, к € Ж - семейство неотрицательных локально конечных мер на Пу (дефектных мер) таких, что lim Hkijkr) = 0 (для р.э.субр.), lim /¿¿(Пу) = 0 (для р.э.суперр.). fc—>+оо к—^—со

Ренормализованное энтропийное решение (р;э.р.) задачи (1), (2) определяется как измеримая'функция, являющаяся одновременно р.э.еубр. и р.э.суперр. этой'задачи. В Предложении 2.1 доказано, что понятие р.э.р.можно сформулировать независимо от понятий р.э.еубр. и р.э.суперр. Также показано, что в классе:ограниченных функций понятия р.э.р. и о.э.р. совпадают ( Предложение 2.2 ). Во второй части Главы, 2. исследуется проблема единственности р.э.р. Установлен следующий общий: результат ( Теорема 2.1. ) для р.э.еубр. гб(£, ж) и р.э.суперр. V — х) задачи; (1), (2) с соответствующими начальными данными ио(х)\ Уц(х): для почти: всех £ 6 (О, Т) и^, х} — у(1,х))Л~(1х < ^:(щ(х) — Уо(х))+(1х.

Ж" ; . ; Е" • ■

Из этого результата .непосредственно вытекает принцип сравнения: если. щ{х) < Уо(х) п.в. на Мп, то и(1,х) < х) п.в. на Пт ( Следствие 2.1 ), единственность р.э.р. ( Следствие 2.2 )• и его устойчивость по отношению к суммируемым возмущент-тям начальных данных ( Следствие 2.3 ).

В третьей части Главы. 2 изучается проблема существования р.э.р. Прежде всего. показано ( см. Пример 2.1 ), что в общем случае произвольной (даже -локально ограниченной) начальной функции р.э.р. может не существовать. В Главе 2 рассмотрен случай, когда .начальная функция: лежит/в. пространстве

Мп) -Б1 (Мп). Существование р:э.р. задачи (1), (2) в этом случае доказано: в Теореме 2.4 с помощью процедуры .аппроксимации начальных данных щ(х) последовательностью ограниченных функций «от (ж) = 5т1те(гх0(ж)), гп <Е N. Установлено, что соответствующая, последовательность ит(Ь,х). € Ь°°(П.т) о.э.р. задачи (1), (2) с начальными: данными щт(х) сходится в (П-/-) + ^(Пт) к искомому р.э.р. задачи (1), (2).

Результаты второй главы опубликованы в статье [19].

В! Главе 3 диссертации результаты второй- главы распространены на случай, когда выполнено условие периодичности решения; по' пространственным переменным: В этом случае оказалось возможным доказать эти результаты для общего уравнения (1), с лишь непрерывным вектором потокалр{и): <р{и) С С(Е,ЕП).

Допустим,: что начальная функция щ(х) является измеримой: периодической функцией наМп о (ж+е^) = щ(х) п.в. на для всех г = 1,., п: Здесь е*, г — 1,. ,71, - базис периодов в Мп (не умаляя общности, мы считаем: его каноническим). Обозначим Р = [0,1)п - соответствующий фундаментальный параллелепипед (куб).

Понятия периодического по пространственным переменным р.э.субр, р.э.суперр. и р.э.р. задачи (1), (2) вводится аналогично Определению 2.1. Существенным отличием является то обстоятельство, что дефектные меры цк в условии (Б) не могут быть конечными на Пт (это возможно лишь в случае Цк = 0), ввиду их периодичности. Оказалось, что для корректности определения эти меры нужно рассматривать на множестве (0, Т) хР. В Предложение 3.1 доказано, что в классе ограниченных функций понятия р.э.р. и о.э.р. совпадают.

Теорема 3.2 является основным результатом второй части Главы 3. Она утверждает, что если измеримые периодические по переменным х функции и = х), V = г>(£, х) являются, соответственно, р.э.субр. и р.э.суперр. задачи (1), (2) с начальными данными '¿¿оОс)» Ъо(х), то для почти всех £ £ (0,Т)

Из этого соотношения непосредственно вытекает принцип сравнения ( Следствие 3.1 ), единственность р.э.р. (' Следствие 3.2 ) и свойство устойчивости р.э.р. по отношению к суммируемым на Р возмущениям начальных данных ( Следствие 3.3 ).

В третьей части Главы 3 доказывается существование периодического р.э.р. задачи (1), (2) при условии щ(х) £ Ь1{Р). Так же как во второй главе, р.э.р. строится с помощью процедуры аппроксимации начальной функции последовательностью ограниченных функций. Установлено ( см. Предложение 3.3 и Теорему 3.3 ), что соответствующая последовательность ограниченных о.э.р. сходится в Ь1{Р) к искомому р.э.р. задачи (1), (2). Показано, что условие щ(х) £ Ь1(Р) является существенным, при его нарушение р.э.р. задачи (1), (2) может не существовать, см. Пример 3.1.

Результаты третьей главы подробно опубликованы в статье [21]. р р

1. Волъперт А. И. Пространства BV и квазилинейные уравнения// Мате-мат. сборник. 1967. Т. 73, № 115. С. 255-302.

2. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений// Успехи математ. наук. 1959. Т. 14, № 2. С. 87-158.

3. Горицкий А. Ю., Панов Е. Ю. О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2002. Т.236. С. 120133.

4. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. М.: МГУ. 1997.

5. Жиков В. В. О двух-масштабной сходимости// Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2003. № 23. С. 149-187.

6. Калашников А. С. Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условий выпуклости как пределов решений параболических уранений с малым параметром // ДАН СССР. 1959. Т. 127, № 1, с. 27-30.

7. Кружков С. Н. Задача Коши в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1960. Т. 132, № 1. С. 36-89.

8. Кружков С. Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения// Математ. заметки. 1969. Т. 6. № 1. С. 97-108.

9. Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка// ДАН СССР. 1969. Т. 187, № 1. С. 29-32.

10. Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными// Математ. сборник. 1970. Т. 81, № 2. С. 228-255.

11. Кружков С. Н. Нелинейные уравнения с частными производными. Ч. 2. Уравнения первого порядка. М.: МГУ. 1970.

12. Кружков С. Н., Хильдебрапд Ф. Задача Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в случае, когда область зависимости от начальных данных бесконечна// Вестник Моск.ун-та. 1974. № 1. С. 93-100.

13. Кружков С. П., Андреянов 77: А. К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций// ДАН СССР. 1975. Т. 220, № 1. С. 23-26.

14. Кружков С. П., Панов Е. Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР. 1990. Т. 314, № 1. С. 79-84.

15. Кузнецов Н. П. О слабом решении задачи Коши для* многомерного квазилинейного уравнения// Математ. сборник. 1967. Т 2. № 4. С. 401-410.

16. Ладыженская О. А. О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений как пределов решений соответствующих параболических уравнений, когда коэффициент вязкости стремится к нулю// ДАН СССР. 1956. Т. 111, № 2. С. 291-294.

17. Анисъкова (Лысухо) П.В. Оценки времени существования классического решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Вестник НовГУ, серия Техн. науки. 2004. № 28. С. 61-62.

18. Лысухо П. В. Об одном условии единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе неограниченных функций// Вестник НовГУ, серия Техн. науки. 2005. № 34. С. 81-83.

19. Лысухо П. В., Панов Е.Ю. Ренормализованные энтропийные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения первого порядка в классе периодических функций// Проблемы Математического Анализа. 2011. Вып. 59. С. 25-42.

20. Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций// ДАН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 451-455.

21. Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений// Успехи математ. наук. 1957. Т. 12, № 3. С. 3-73.

22. Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения// УМН. 1959. Т. 14, № 2. С. 165-170.

23. Панов Е. Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейных законов сохранения // Дисс. канд.физ.-мат наук. Москва. МГУ, 1991.

24. Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных суб- и супер-решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 2. С. 252-259.

25. Панов Е. Ю. О наибольших и наименьших обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Матем. ссборник. 2002. Т. 193, № 5. С. 95—112.

26. Панов Е. Ю. К теории обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально суммируемых функций// Известия РАН. 2002. Т. 66, № 6. С. 91-136.

27. Панов Е. Ю. О классах корректности локально ограниченных обобщенных энтропийных решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 175-178.

28. Панов Е. Ю. О единственности обобщенного энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного закона сохранения с выпуклым потоком// Проблемы математического анализа. 2010. Т. 47 С. 89-102.

29. Рождественский Б. Л., Яненко H. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. 2-ое изд. М.: Наука, 1978.

30. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка// ДАН СССР. 1954. Т. 99, № 1. С. 27-30.

31. Bénilan Ph. Équation d'évolution dans un espace de Banach quelconques et applications. Thèse d'état, Orsay, 1972.

32. Bénilan Ph., Boccardo L., Gallouët Th., Gariepy R., Pierre M., Vazques J. L. An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1995. V. 22, N 4. P. 241-273.

33. Bénilan Ph., Carrillo J., Wittbold P. Renormalized entropy solutions of scalar conservation laws// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2000. V. 29. P. 313-327.

34. Bénilan Ph., Kruzhkov S. N. Conservation laws with continuous flux function// Nonlinear Differential Equations Appl. 1996. V. 3. P. 395-419.

35. Blanchard D., Redwane H. Solutions rénormalisées d'équations paraboliques à deux nonlinéarités //C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1994. V. 319. P. 831-835.

36. Blanchard D., Murât F. Renormalised solutions of nonlinear parabolic problems with L1-data: existence and uniqueness// Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 1997. V. 127. P. 1137-1152.

37. Conway E., Smoller J. Global solutions of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations in several space variables// Comm. Pure Appl. Math. 1966. V 19. N 1. p. 95-105.

38. DiPerna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces// Invent. Math. 1989. V 98. P. 511-547.

39. Hopf E. The partial differential equation щ + uux — fiuxx// Comm. Pure Appl. Math. 1950. V. 3, № 3. P. 201-230.

40. Goritsky A. Yu., Panov E. Yu. Example of nonuniquenees of entropy solution in the class of locally bounded functions// Russian Journal of Mathematical Physics. 1999. V. 6, № 4. P. 492-494.

41. Kruzhkov S. N., Panov E. Yu. Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order// Ann. Univ. Ferrara.-Sez. VII-Sc. Mat. 1994. V. 40. P. 31-53.

42. Lax P. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations// Comm. Appl. Math. 1954. V. 7, № 1. P. 159-193