Квантовые поля в окрестности периодических классических полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Квантование в терминах переменных Боголюбова

1.1. Преобразование Боголюбова. о.

1.2. Переменные Боголюбова как функционалы исходных переменных.

1.3. Операторы координаты и импульса.

Глава 2. Построение регулярной теории возмущений

2.1. Преобразование векторов состояний.

2.2. Группа Пуанкаре.

2.3. Теория возмущений и интегралы движения.

2.4. Определение функций N°.

2.5. Редукция числа состояний.

2.6. Нулевой порядок по С.

2.6.1. Интегралы движения.

2.6.2. Оператор поля.

Глава 3. Построение приближённых классических полей в форме стоячей волны

3.1. Теоремы существования периодических решений.

3.2. Два типа дважды периодических решений.

3.2.1. Бегущие волны.

3.2.2. Стоячие волны.

3.3. Равномерные асимптотические разложения.

3.4. Построение асимптотического ряда в случае безмассовой теории

3.4.1. Метод Пуанкаре.

3.4.2. Условие существования периодического решения.

3.5. Нулевое приближение.

3.6. Первое приближение.

3.7. Второе приближение.

Задача квантования существенно нелинейных полевых моделей привлекает внимание в течение уже достаточно длительного времени. При квантовании вблизи нетривиального классического решения одной из трудностей является явный учёт законов сохранения и восстановление симметрий, утрачиваемых при непосредственном выделении классической составляющей. Нарушение нетривиальным классическим решением исходных симметрий полевой модели приводит к появлению в спектре возмущений нулевых мод, что делает некорректной стандартную теорию возмущений.

Рассмотрим, например, (1 + 1)-мерную теорию самодействующего действительного скалярного поля, описываемую лагранжевой плотностью:

Ф) = \да У«^ - Ц). (од)

Рассматривая поле <р как сумму классической и квантовой составляющих: р{Ь,х) = С<рс1^,х) + яг), £»1, разложим уравнение Лагранжа-Эйлера в ряд по 6г-1. Пренебрегая членами порядка получаем:

1) (рс1^,х) — решение уравнения

2) х) — решение следующего линейного уравнения: дх2 <9£2

- = 0. (°-3)

Для того, чтобы данное разложение было справедливо во всём пространстве-времени, квантовая составляющая и(1,х) должна быть ограниченной функцией.

Пусть уравнение (0.1) обладает солитоноподобным статическим решением (рс1^,х) = а(х). При квантовании вблизи подобного решения нарушается трансляционная симметрия, вследствие этого возникает нулевая мода, соответствующая пространственным сдвигам солитона. Действительно, разделяя переменные в уравнении (0.3): и(г,х) = Т(Ь)Х{х), получаем систему: , (0.4)

1 = -¿*Г(Ь), где ш1 - произвольная константа. Требуя, чтобы функция Х(х) была бы нормируемой, находим спектр допустимых значений параметра со. В этот спектр входит соо = 0, соответствующая ей собственная функция — пространственная производная классического решения сг1Х(х) — является нормируемой функцией. Таким образом, в квантовом поле появляется слагаемое Ссг1Х(х)Ь, неограниченно растущее с течением времени (С — константа, определяемая начальным значением импульса квантового поля). Подобные (неограниченные) члены разложения называются вековыми (или секулярными). Таким образом, полученное разложение содержит секу-лярные члены и, следовательно, не является равномерным (равномерно пригодным). Рассмотрение данной моды в одном ряду с ненулевыми модами приводит к возникновению расходимостей в высших порядках теории возмущений. С другой стороны, механическое вычёркивание этой моды приводит к изменению исходного числа степеней свободы.

Проблема нахождения равномерно пригодных разложений возникает и при построении асимптотического решения квазилинейного дифференциального уравнения в теории нелинейных колебаний. Для построения подобных разложений решений обыкновенных дифференциальных уравнений были разработаны асимптотические методы, например, метод Пуанкаре [1] и метод Крылова-Боголюбова [2, 3]. Данные методы легко обобщаются и на случай уравнения в частных производных, однако, в этом случае проблему построения равномерных разложений нельзя считать полностью решённой (см. главу 3 диссертации).

Корректный метод квантования трансляционно-инвариантной системы был предложен Н.Н.Боголюбовым в работе " Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем" [4] и, фактически, является квантовой версией классического метода Крылова-Боголюбова. В статье была рассмотрена система с адиабатической связью, т.е. система, в гамильтониан которой кинетическая энергия квантового поля входит с малым параметром. В связи с наличием трансляционного вырождения данной системы стандартные методы теории возмущений оказались неприменимы. H.H. Боголюбовым была разработана новая форма теории возмущений, основанная на явном учете трансляционной инвариантности системы, осуществляемом следующим образом. Сначала проводится преобразование переменных, от которых зависит волновая функция, что позволяет выделить переменные, которые под действием трансляций подвергаются простому сдвигу, при этом остальные переменные выбираются трансляционно инвариантными. Волновая функция, выраженная в терминах новых переменных, имеет простые трансформационные свойства относительно преобразований группы трансляций, что позволяет легко строить состояния, являющиеся собственными для оператора полного импульса системы.

Суть метода групповых переменных Боголюбова заключается в преобразованиях, вводящих в качестве динамических переменных параметры группы симметрии взаимодействующей системы. Поясним данные рассуждения на примере статического классического решения, нарушающего трансляционную симметрию. В результате преобразования Боголюбова данное решение о{х) превращается в оператор а(х — а), где на преобразование трансляций реагирует лишь переменная о — функционал операторов поля. Трансляционную инвариантность полной теории обеспечивает то обстоятельство, что а является оператором, канонически сопряжённым оператору полного импульса. Классическая составляющая в формализме Боголюбова не является числовой функцией, поскольку содержит в своём аргументе оператор а.

Развитие метода было предложено C.B. Тябликовым в работе "Адиабатическая форма теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем" [5] и В.А. Москаленко в работе "К теории теплового возбуждения полярона" [6].

В 1972-73 годах Е.П. Солодовникова, А.Н. Тавхелидзе и O.A. Хру-сталёв в серии работ развили и обобщили метод групповых переменных Боголюбова. В работе [7] авторы показали, что метод применим к задаче о взаимодействии нерелятивистской частицы с квантовым полем. В работе [8] метод был обобщён на случай, когда преобразования группы симметрии в квантовой теории поля реализуются в виде произвольной группы Ли. В классическом пределе такие преобразования симметрии переходят в точечные канонические преобразования соответствующей классической гамильтоновой системы. В работе [9] проведено преобразование переменных, в результате которого выделены переменные, принимающие определённые значения на соответствующей группе Ли. При преобразованиях симметрии данные переменные подвергаются сдвигу в групповом пространстве. Остальные переменные выбираются инвариантными относительно преобразований группы симметрии системы.

В 1974 году с помощью преобразования Боголюбова рассматривались задачи двух [10] и трёх [11] тел в случаях адиабатического и сильного взаимодействий.

Метод Боголюбова использовался в теории сильной связи: в нерелятивистской модели взаимодействия скалярной частицы с квантованным полем [12, 13]; при анализе взаимодействия нерелятивистского нуклона с 7г-мезонным полем [14] и рассеяния в симметричной скалярной теории [15]; при исследовании устойчивости классических решений уравнений Янга-Миллса с источником [16]; в работе [17] на основе метода Боголюбова рассматривалось взаимодействие симметричного источника со скалярным и псевдоскалярным полями; в работе [18] изучалась система, состоящая из двух источников, взаимодействующих со скалярным заряженным полем. В работе [19] рассматривалось взаимодействие нерелятивистской частицы со скалярным квантовым полем в одномерном пространстве, при этом были получены энергетический спектр и амплитуда рассеяния с точностью до нулевого порядка по обратным степеням константы связи.

В релятивистской теории гравитации (РТГ) с помощью групповых переменных Боголюбова было проведено квантование в окрестности сферически-симметричного решения (Шварцшильда) [20].

Метод Боголюбова под названием метода коллективных координат был независимо сформулирован в середине семидесятых годов в работах зарубежных авторов [21-26]. При этом возникло три варианта метода. Напомним, что метод Боголюбова заключается в замене переменных специального вида. В одном из вариантов метода коллективных координат такая замена переменных производится в континуальном интеграле [21-23]. Во втором варианте [24, 25] используется операторный формализм. Этот вариант метода коллективных координат полностью эквивалентен методу Боголюбова. И, наконец, в третьем варианте [26] переменные с простыми трансформационными свойствами относительно преобразований симметрии вводятся на классическом уровне как дополнительные переменные. Лагранжиан системы модифицируется, после чего возникает калибровочно-инвариантная квантовомеханическая система. Налагая на эту системы различные калибровочные условия, можно доказать ее эквивалентность исходной системе и ввести переменные с нужными свойствами. Фактически такой подход ведет свое начало от работы [27]. Он развивался также A.B. Шургая [28, 29]. Отметим, что все три варианта метода коллективных координат приводят к совпадающим результатам.

Метод Боголюбова получил свое развитие и новые области применения в работах О.Д. Тимофеевской и В.Г. Борнякова [30-36]. В частности, преобразование Боголюбова применялось для систем, содержащих фермионы [33], и в модели Ли [35, 36]. О.Д. Тимофеевской рассмотрена реализация преобразования Боголюбова непосредственно на операторах рождения и уничтожения [34].

В работах К.А. Свешникова [37, 38] на основе преобразования Боголюбова была развита схема канонического квантования, состоящая в явной реализации группы Пуанкаре непосредственно на квантовых переменных и введении дополнительной алгебры операторов. Соответствующие канонические преобразования классической гамильтоновой системы в этом случае не являются точечными преобразованиями.

Первоначальный метод Боголюбова применим только в том случае, когда преобразования симметрии реализуются в виде группы Ли точечных канонических преобразований. В работах A.B. Разумова, А.Ю. Та-ранова, O.A. Хрусталёва [39-45] преобразование Боголюбова было обобщено на случай произвольной группы Ли канонических преобразований. Предложенный метод раскрывает геометрический смысл преобразования Боголюбова. В указанных работах рассматривается квантование полей со связями.

Преобразование Боголюбова и аналогичные преобразования теории коллективных координат применялись при квантовании существенно-нелинейных систем в (1 + 1)-мерном пространстве-времени с целью решения проблемы нулевых мод [46-49]. При этом квантование проводилось в окрестности солитоно-подобных решений, например, теории (р4 [26] или sine-Gordon [50, 51] (см. также [52, 53]). Подобные решения выбором системы координат можно превратить в статические.

Исследование систем с нестационарной классической компонентой является более трудной задачей, так как явная структура гамильтониана как генератора временных трансляций становится ясной только после решения уравнений движения и определения групповых переменных. В этой ситуации представляется естественным определение групповых переменных по некоторой схеме теории возмущений, уточняемой вместе с вычислением интегралов движения.

Метод, позволяющий проводить квантование в окрестности нестационарных классических решений с помощью локального преобразования Боголюбова, был предложен в работе [54]. Классическое решение выбиралось в виде (1 + 1)-мерного действительного скалярного поля F(t, ж), удовлетворяющего следующим условиям: существует пространствен-ноподобная прямая С, на которой нормальная производная Fn(t,x) = 0, а вторая производная пропорциональна самой функции:

Fnn(t,x) = -Q2F(t,x).

То, что для многих дважды периодических полей (т.е. периодических как по временной, так и по пространственной координате), например, для полей в виде стоячей волны, эти условия оказываются несовместными, является несущественным, так как данную процедуру квантования легко можно переформулировать так, что вышеперечисленные условия заменяются на единственное условие: существует пространственноподобная прямая С, на которой х) = 0. Особенности квантования вблизи дважды периодических полей рассмотрены в диссертации. Совсем недавно данный метод был применён для квантования скалярного поля, имеющего ненулевую классическую компоненту и взаимодействующего с заряженным скалярным полем [55].

Диссертация описывает схему квантования вблизи скалярных классических полей ^(х), являющихся решением уравнения Лагранжа-Эй-лера для /^-мерной Пуанкаре-инвариантной теории: где У(Р) - дифференцируемая функция, такая что = 0. При этом функция Р(х) должна удовлетворять следующему условию: существует пространственноподобная гиперплоскость С такая, что при х £ С выполняется: Р(х) = 0.

Эффективность применения метода Боголюбова во многом зависит от выбора классического решения. В этой связи актуален вопрос правильного выбора приближения неизвестных классических решений и построения равномерно пригодного разложения, т.е. не не содержащего неограниченных членов. В диссертации исследовалась возможность построения приближнных решений квазилинейных уравнений по периодическим функциям. В диссертации было впервые построено разложение решения (1 + 1)-мерной безмассовой теории <р4 по периодическим функциям. Данное разложение естественно является равномерно пригодным. Решив проблему возникновения резонанса, удалось построить разложение по функциям в виде стоячей волны и в первом, и во втором порядке по параметру малости. Особенностью данного разложения является то, что в качестве нулевого порядка разложения (т.е. решения соответствующего линейного уравнения) используется периодическая функция, обладающая бесконечным рядом Фурье.

Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, за

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе было проведено квантование вблизи классического поля, нетривиально зависящего от времени. С помощью групповых переменных Боголюбова удалось построить теорию возмущений, не нарушая при этом законов сохранения. Перечислим основные результаты работы:

1. Проведено квантование (3 + 1)-мерной Пуанкаре-инвариантной системы в терминах переменных Боголюбова.

2. Показано, что тот факт, что классическая составляющая является решением волнового уравнения, есть необходимое условие применимости регулярной теории возмущений

3. С точностью до нулевого порядка по обратным степеням константы связи найдены значения для интегралов движения и оператора поля. Тем самым было дано полностью релятивистски инвариантное описание (3 + 1)-мерной квантовой системы с ненулевой классической компонентой.

4. Для безмассовой теории (р4 рассмотрено построение равномерно пригодного разложения решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона по периодическим функциям в виде стоячей волны. Показано, что задача решается методом Пуанкаре, при этом необходимо надлежащим образом выбрать нулевое приближение: коэффициенты Фурье данной функции должны быть решением нелинейной бесконечной системы алгебраических уравнений.

5. На языке компьютерной алгебры REDUCE построена программа нахождения приближённого решения данной системы.

6. Было доказано, что возникающая в случае нулевой массы проблема главного резонанса решается использованием в качестве нулевого приближения эллиптической функции Якоби с значением модуля к — 0.45107559881. Равномерно пригодное разложение по функциям в виде стоячей волны было построенно с точностью

Автор очень признателен научному руководителю профессору О.А.Хрусталёву за постоянное внимание к работе автора и чрезвычайно полезные обсуждения, которые значительно расширили представления автора по вопросам квантования вблизи нетривиальных классических решений и целому ряду других принципиальных вопросов, а также за неоценимую помощь при написании этой работы. Автор приносит искреннюю благодарность старшему научному сотруднику М.В. Чичи-киной за обсуждения многочисленных вопросов применения групповых переменных Боголюбова в пространствах с симплектической структурой. Автор также хочет поблагодарить старшего научного сотрудника В.Ф. Еднерала и доцента П.К. Силаева за помощь в овладении методами компьютерной алгебры и за терпение, проявленное к автору.