Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение в релятивистской квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

.- У Г; Ц й^'.

ТОМСКИЙ ГОСТДАРСТШСШ УК-ГВЕРСМТЕТ

«ЕОТБСКН САК7ЖГЕТ

Ч.'> пранах рукописи УЖ 535.12:530.145

ЕВСЕЕБИЧ АЛЕКСАНДР АБРАМОВИЧ

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ТРДЕКТОРНО-КОГЕРИПНОЕ ПИБЛИХЕНИВ В РЕЛЯТИВИСТСКСИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность 01.04.02 - теоретическая £язкка

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени доктора флзико-кзтематичаских наук

Тоиск - 13Э4

Работа Билолдена к? хзСедре квантовой теории поля Томского государственного университета.

О^яцизльниз оплонег-л::

смюр .чзук,

Я.Элл (НОТ)

тор ;м:замкгск.ят;^.-г:свс изуя Н.й.Фгдоссв <ТПУ>

гор ¿:с-:жг>-«:этА-;з7Кческих наук А.С.ШекеОа(МИР^)

Еедуцья срггн/ззцпя: Московский г-нергетмческий институт.

?-?2итз дютертзц;-;;, состоится "-"-1954г.

р -'-:ас. и'- заседании спеш5л::;ировзнного совета

Д ОоЭ.ЗЗ.О? по защите диссертаций на соискание ученой степени до>:торз Сиз:ко-мзтематических наук при Томском государственном утерей?*?.? по сдрзсу: 6Э4С"0, Томск, пр.Ленина 36., ауд.-

С диссертацией мс«но ознакомиться в Нзучной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат рэзослан "-"--ХЭ94г.

Ученый секретарь Слецизлпзирозанного Соьетз, кандидат {изико-мзтскэтичгс- /

ки:: наук, доцент ^ —С.Л. Ляхович

огщдя ЗДРАКТШКЯЖА РАБОТЫ

В диссертации пзломгкы результаты автора по разБгтию и применению основных идей и методов теории комплексного ростка Мзслобз для оператора Дирака бо е-невних полях.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. С номента выхода з свет в феврале

1Э28г. знаменитой статьи Д;:рзкэ, з которой содержится вывод релл. .-¡бистского волнового уравнена для электрона со сг.ином, лроало уже лостз очко много Бремени. Тек не менее интерес я нему со стороны мзтемзтпческой фаики на ослзбеззет и по сей день, чей*' свидетельство - многочисленные публикации по этой теме в ведущих научных журналах мира. Это объясняется, с одной* стороны, той безусловной £::зичг>гкоП энзчумосткс, которую игра- • е? урзнение Дирака в релятиБист:-;ой квантовой теории,а с другой стороны, исключительной привлекательностью самого уравнения с точки зрения "чистой" математики.

На протяжении Бсей истории развития квантовой теории проблема нахождения точных решений уравнения Днргкз являлась важной и актуальной задачей. Существенный прогресс в этом нарлазленим был сделан в работах В.Н.Иалс^алова и Г.Г.Экле, где, в ча:тности, былз развита теория разделения ' переменных для систем уравнений 1-го порядка. На этом пути удалось получить сотни новых точных резений уравнения Дирака с внешним .-»лектромзгниткьм полем, которые впоследствии были систематизированы и изучены в книге В.Г.Вэгровз и др.

3 то ке время, как для урзвнения Дирака, так и для других уравнений квзнторой теория (содержащих малый пара..._'тр я при стзриих производных) издавна применяют различные асимптотические методы построения приближенных решений. Фундаментальную роль в развитии этого направления сыграли работы В.М.Бабича, В.С.Еулдырева по коро.ловолновсму пр:'^л:-я:ению. Обаая теория построения кваэиклассических асимптотик , в основа которой лежит конструкция канонического оператора, была

разработана В.М.Кзслобил. Впоследствии идея к конструкции, заложенные в этой теории получили нирс-ксе развитие и обобщение: в"работах М.В.Карасева по гамлтотическ-..1у квантованию сикплек-тических фазовых многообразий, в которых отсутствует раз ле-ние переменных нз координаты и импульсы; в работах Ь.В.Белова и доброхотов:. рассмотрев::^ весьма актузл-чук'задачу ква-зжлаосического квгьтога.чид неполно;-;ерных лагрзн^евых торов с фскзльнсШ точкгки; в работах В.Г.ВзгроЕЗ и В.Б. Белова, лосвясзиных яо-оку трзектерно-когере.чткону направлению в квантовой теории. Б частности, с пемо:-*» • последнего удается получить достаточно корректный как с ¡¡жической, т£-к и с математической точек зрения переход от квзнтовомеханическсго описания к классическому.

Те;-! не иенеа, несмотря нз столь богатый аналитический катерная б области асимптотических катодов , сколь-жбухь серьезного и сигтонатпческого изучения урггкекня дирзка г этом направлении проведано на было. Кзстолгая ллссертапия чзстично восг.слнлет этот пробел и демонстрирует широки? возможности г.ьчру:л комплексного ростка Маслов? и метода тоаектооно-когеренткш: состоянии для реаекия рдлэ пракш-пизльннх задач релятивистской квантовой механики и включа-юк е себя построение квазиклзссических асиктотик как неотье;,!-ли.мув и существенную часть.

црль РАБОТЫ состоит б развитии и применении ос.чо»ы;х идей

и конструкций асимптотической теории Кзсловэ в релятивистской кззнтизой теории

НАУЧНАЯ Н0ВЖТ1А. В диссертации пг;.че.чы следуйте новые результаты:

1.Для релятивистской эзря;-:енной частиин спина 1/2, гззйся в произвольном Ене&неы электромагнитном поле в пространстве йнжовского-К.артзнэ построены динамические состояния в ?орче волновых пакетов, лея."1 лизовакикх в ке;кдкй конкретней

мсмент Бремени в с крестности положения частит нз классической трзектории. Оки язллктся зсихлтотическики по

той 0 (Лэ/г) реаениягя: уравнения Дирзкэ н образу*:? полный ортонормирований с точность» до 0{Л1/г) набор в пространстве состояний квантовой систе.--::-.'. Кэ основе г-тих состояний из уравнения Дирака приземен вывод ::лэссического уравнения движения для векторз спннз, которое обобщает известное уравнение Бэргмгнна-Миаеля-Телегди нз случай внешних полей кручения.

2. Развит метод построения социального класса квэзихлас-сических по шой 0\~3/2) решений уравнения Дирака в пространстве Римзнз-КЬртанз. Такие состояния по аналогии с плоским случаен названы траекторно-когерентными. В основе их» построения лежит конструкция комплексного ростка Кзслоза и операция "перестройки фазы". 3 частности, с помесью последней, . проблему построения ТКС удается свести к решению обыкновенной линейной системы уравнений '.-го порядка на двухкомпонентный спинор. По отношении к дирзковскому скалярному произведении найденные зснмптотики образуют полный ортонормирований с точностью до С!,К>/3) набор одночастичных состояний. Кроме того, при каждом 1, где т - . аффинный параметр на геодезической, они локализованы в пространственкс-подобных направлениях в окрестности мировой линии заряженной частииы. Используя переход к траекторно-хогерентному представлению, получено дзухко.чпонентное приближение для уравнения' Дирака,

в рамках которого удается придать стандартную ч-взнтС'Бомеханпческую интерпретации построенные решениям. Наконец, на основе полученных результатов непосредственно из уравнения Дгргкз дан корректней вывод общековэризнтного классического уравнения движения спннз частиш нз рлучзй внешних электромагнитных, 'гравитационных и торсионных полей.

3.На основа конструкции канонического оператора Масловз с комплексной фазой, отвечающего семейству замкнутых орбит с комплексным ростком, для оператсрз Дфзкз с внешним электромагнитным полем разработан метод построения

V \

квсзккчассических спектральных серий. Квззиклзссический спектр энергий нзходится из услое-ий квзнтоБг.ния указанного с'емействз орбит, а стБзчгкс-ге ей/ ке^зжлгссическио асимптотики с-Зрззук-т асимптотически полн:-!й срг. -юр-кирс-гзклй нгСс.р квзнтсвю: состояний, •ккзяизсванных в окрестности классически допустимого дачненид Теоретический к.зтер;::.л иллюстрируется на конкретккх примерз?., имежж самостоятельный физический интере:.

ч. Для кбзнтозоуедзническил систем, описываемых уравнением Цре^ьгерз с произвольным Т-периодически'. Л"1- псзвдоднф-Озрениизльнш оператором Гзмилътона, в рзжзх гсБззиклзсснчес-кого лриблнмгчпя построены КБззизнергетические спектральные серн;:, псроадзгдае в пределе .1 - 0 устойчивыми Т-периодическими ргпйкилки соответствукскх классических урзвньнии. Кокструкдая таких спегтрзл£ных серий опирается на метод построения трзехторко-колергеткёД' с остояяий с лгсбой степенью точности по Л -» 0. Б ьалксы частном случае, когда

гамильтониан систем-! является произвольной квадратичной формой сперотсров координат и импульсов с козК'пинентгки -Т-паркозишокки функциями времени, найденные формулы дзот точный ответ.

5.- Б соответствии с известной процедурой расцепления кззнтово.чехзннческой Фазы нз динзмическу» и геометрическую состгБляжие, в квззиклзссическом приЗлиж-нии получено Бысзм<гкнб для Сазы Азроновз-Анзндзнэ 7С, отвечзкабй кэзэи-энергетически-! 1,№й ХКС. Проведено асимптотическое

рз.-лолоние фозы _|е по ларзкетру адиабатичности 1/Т. Покзззко, что с точностью -.о 0(Т"') фаза ")£ совпадает о фазой Перри, которой з квззинлзссическО:<; пределе отвечает циклическая ?бол;1л;я устойчивой в линейном прЯ&жении точки покоя Классической систем:.

ПРАКТ^ЧЕСКЛ?: ЦЕННОСТЬ ДпССЕЕГАТСЗ. Кзлокенкь:* в рз-Зоте

теоретические результаты иллюстрируют исклччителькух' е^ектизност.ъ методэ ТКС при редении широкого класса зздзч

релятивистской квантовой механики. С одной стороны, использование ТКС позволяет достичь более глубокого понимания внутренней структуры самой квантовой теории. Это достигается, например, при решении проблемы вывода классических уравнений движения из уравнения Дирака с внбянлми полями, при установлении концепции обобщения стандартной квантовой механики на случай искривленного пространства-времени, Екгекагашэй из обшешаэриантного уравнения Дирака и т.д. С другой сторзны, ТКС является удобным базисом при расчете конкретных физически наблг .аемых величин. Это в первую очередь откосится *-■ построении квазиклассических спектральных серий, отвечают«. частично интегрируемым релятивистским гзмильтсноеьш системам. . Полученные в работе общие фортулы ь.'Гут иметь, кроме того, важное прикладное значение в спектроскопии и астрофизике.

Апробация диссертации я публикации. Результаты диссертации

докладывались на:

I Всесоюзной школе-семинаре "Основания физики". 20-2В апреля 1589г. Сочи.

1Y Всесоюзной конференции по радиационным явлениям в твердых телах. 13-19 мая 1590г. Еикуриани.

III.Всесоюзной, школе-семинаре "Основания физики". 2? апреля - 5 мая 1991г. Сочи.

Всесоюзном семинаре "Косномикрофизикэ и калибровочные поля". 24-"'. августа 1993г. Москва. КГ7.

Всероссийском семинаре "Геометризация физики - истоки, развитие и современные направления". 1-5 ноября 1953г. Казань.

На научных семинарах кафедры квантовой теории поля '?У.

По материалам диссертации.опубликовано 12 работ, список которых приведен в конца рефзрэтз.

Структура и об$ец диссертации. ,'^ссертаиия состоит из

введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего loi библиографическую ссылку. Общий

объем диссертации составляет

страниц.

Краткое содержанка работа. Во введении обозначена

актуальность тега диссертации. Дается краткая аннотация некоторых современных направлений развития аснмтотических методов получения квазиклассических решений основных уравнений квзю.вой механики. Проводится краткий литературный обзор представленной тематики и формулируются основные идеи и задачи диссертационной работы.

глзбз i содержит большой справочный материал, знание которого необходимо для изучения современных методов квззиклэс-сичаского ■ приближения. Центральные темы этой главы таковы: о вейлевском исчислении некомму тиру ших операторов - ¿1,2; о вигнеровскок представлении квантовой механики - §3; о методе квазиклзссических траекторно-когервнтных состояний - §4.

Глава II посвяшанэ построению квазиклзссического трзек-

.торно-когерентного приближения1 для уравнения Дирака в пространстве Ккнкозского-Картана. содержит краткое описание мз-.эмзтическш: и физических основ теории грзвитзции с кручением. В 52 обосновывается постановка зздачи. В §3 построены одаочас-тичные квазиклассическиэ трзекторно-когарентныа состояния (1КС) для уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле в прострзнстЕЭ Минковского-Картзнэ

* НП(Г)]& - О где оператор Дирзкз Нс раген Нв - Н0<1;) +

А

м0(г) - с <а, ? > + р3тсг + еА0(^г) -чЛ? - р1(р3, 2, '-'4 - матрицы Дирака в

(1)

(2)

Здесь Р -

э

стандартном представлении, 'Е- - (50, -Б) - псевдовектор кручения. Конструкция хвззиклэссических ТКС удов-

летвсряквдих уравнению (1) с точностью до 0{К3/3), определяется решениями трех гамильтоновых систем: (1) - нелинейной га-

мильтоновой системы с гамильтонианом - Ъ> +

+ е(р,3,1;), где - [лгс4 + - ^(З,*)]"]''^ зада-

щей фазовую траекторию г - классической заря-

женной частицы; (2) системы з в_риацилх, отвечашей функции

Гамильтона Л.'*1 и Фазовой траектории комплексные

решения которой • определяет Фазу и осцилляции амплитуда волновой }уккции; (3) - систем:, решения которой описывают спиновые свойства электрона

Г-*<.\ + <3, 1(г»'к|с(г) - о

(3)

<$, Й>^(0) - Сг^(О), с -

Здесь Й - произвольный единичный вектор, фиксируюдиЯ

направление спина частицы при X - 0, а - вектор

"поляризации", равный

ее г* ВмБ(г> Зс, ,•+

- - 2ё7Т7 - 77-тт 3 + + +

» Р м > И)

0 +7 )

4 1

где р - с-1^, 7(1).- е(г)/ис2, а все входящие в (4) поля вычисляются в точках фазовой траектории г^ Для главного члена квззикласссической зеимтотики , (иоа(Л3/г)) уравнения

(1) получено следукиее выражение

ср

где | н, т> - кБаз1кдассиэеские ТКС (гсоЗ 0(Тг'^)) для псевдо-даКеренцнального уравнения типа Ыредичгера с 1 анильтонпз.чок

Х^ЧЮ, символ которого разен X1* } (р,^, ^. Отметим следуйте свойства построенных асимптотик

- 1; 4'., при кзхдом {иксирс'к .ином г образуют пол-

ный ортс'.чо-рм;гроззна:й с точностью до 0!.И,,г) набор в пространства состояний каактовой системы

2) функции' Ф., с ос трех оточена в проделе п 0 з

окрестности классической траектории: ¡5.. .«г '>{3 -

В {4 дан последовательный и обоснованный в рамках кьанто-1...Й механики вывод классического уравнения движения спина частник б произвольном внешнем электромагнитном поле с учетом кручения пространства-времени ^инкоеского-Хартана. А именно, показано, что если в качестве спинового оператора для уравнения Дчрэка (1> взять оператор с компонентами

= ^ Я'-

<?,?>, 2 ?0 + 4Р, ¡2 X р]

(?)

и определить классический псердозектор спина как квзк-

товсмсхзническг-е среднее (пой олератсрз (") в состоя-

нии 9 г • то как следствие -тото, получаем уравнение 1 ?»

- с

где Чр = 7(1, -Р), <1т - —-£-г сН, которое обобс;-ет известное

уравнение Ьарг.'аьтча-Миыеля-Телегди нз случай внедких полей кручения. Подчеркнем, что вывод уравнения осу-лествлан на мнолестге рек;;.:;! зохнобого уравнения. -.»-разу;ос,;?: в кз.чднй Сйкснрсг-зккьм м;>:»нт времени полный набор в пространств»

состояний кззнтсвом системы.

3 г г аз. а 3 развит :-:етод построения квзанклзссп'сеслпх трзек-

торио-когерактне-::-: состоя;-';-.;'; Опс-и для уравнения Дирэ-

кз е пространстве гжзн5-К?р?зч? с сигнатурой (+,-,-,-:> и из его основе хая выаод с&г*кг?гризкткого урзвкенуя Движения на спин частно;. со внешних »дектрсюткитясн, гр^аптз-

июнкс« тсрсисяч-^ лслях. 3 ¿1 обсуждает-".? постг.човхг» задачи. В §2 введлтея которые в дз.^кгйем опредедя:-:т

скалярную часть гззз.'ГклгссичгскоЛ 5с;кто-\:>.и и *ли;«вгк»? квантовые &г/к?угц;я волнового пакета б с-крео-^ост;-: классической тр-.кторпи. Л пкенно. 1} вводится £з2свзя тр:-ент:р:-:л

- •3(т"-), параметризованная а-:С*:нны;,; параметром 1,

которая определяете я састгксй Ггикльгснз с гг.чильтониаком

ь'-^р.ч» - « - - - (р, , «у

В :-тсч.сду-зз? крквэя я - О'Ч"' описывается уравнением "оренцз в ринзновом пространстве; £ •• для системы а взриз1Д1ЯХ, отаеча-. ксей ¿у.чка;:;/ Гамндзтонз Я'-"''/р,о) и ^аз-саой траектории г^ строится кзСор па 4-х рс-дгн::й, обраауддих комплексный росток г4;г„Л> причем едко из радений сегпгзггт с вектором

Сззогой скорости рт •.ох: 3) .ля скалярного псевдоа'.';о?уе:-:д~;д..-нс-гс уравнения типа Цоедингерз Г +

♦ V * Э. где - х'-^р,-?,, стр:;;тся стандарт-

ны:-: сбрззс:-, сн~тс-яз квззждзссических по ¿с-а "УС

4 > а окрестности классическом траектории - = 0{х) проводится спергния '^ере: тройки часы", еккел которой заключается во введен;-::: семейства иростран:тзенно-подобкс-;х гиперплоскостей Коаи т = ортогокалягых данной классической траектории

Ч - и определяемых неявны;.! образом из урзвнения <0(х), (Ч - 0(т))> - 0. §3 собственно посвлаен построению квазиклассических (ао<1 0(й3/8)) ЖС % -(я,/>) для оператора Дирака в форме болноеых пакетов, локализованных з окрестности мировой линии заряженной частиш. Главный член квазиклассической асимтотики 1> г (я,Я) имеет вид

1 г-<з гЫ

. ц_(х)--=-77, (9)

где - - (д0, -ф, зе? - ортогонзльная тетрада.

Входящий сюда двухкомпокентный спинор V. (-т) определяет спиновые свойствз электрона и удовлетворяет линейной гамильтоновой

.системе видз (3). Вехтор-функыя З'Д), вычисляемая в точках классической траектории заряда, в данном случае имеет более громоздкий вид чем (4), поскольку включает в себя.помимо электромагнитного и торсионного полей такие слагаемые, содержащие коэффициенты вращения Риччи и коваризнтные производные от векторов тетрада. В заключении этого параграфа доказывается, что по отнесению к дирзковскому екзлярному произведению найденные зеиыптотики образуют полный ортонормчровзнный с •точностью до 0(Л1'2) набор одночастичных квантовых состояний. В §4 на основе полученных результатов приводится вывод классического- уравнег!я движения спина электрона. Вектор спина о}1 СО - определяется как квант овомехз ниче ское среднее оператора спина Т^ - -1, рассчитанное по квазиклассическоку ГКС Фv ^ с ..чностью до 0(П1/г ). Как следствие этого, найденное' уравнение совпадает с общековз-риантнь-* обобщение!;! 'классического спинозого уравнения Барг-манна-Мишеля-Тел'егди на случай внешних полей кручения.Наконец, в $5, используя переход к траекторно-когерентному

представлению {по mod О(Л1/2)), получено двухкомпонентное приближение для уравнения Диракз. В этом представлении уравнение Дирака принимает вид эволюционного уравнения типа Паули с гамильтонианом, скалярная к:;ть которого описывает • квантовые флуктузции волнового пзкетз около положения электрона на классической траектории, з матричная часть определяет квантовомэхэническое поведение спина при заданном классическом движении элактронэ. Сделан екеод о тем, что переход к ТК-представлению позволяет конструктивным образ решить проблему построения квантовой мехзнкки ео внешнем гравитационном поле. -

Глаза 4 посвяиена построению квэзиклассических спект-'

ралъных серий оператора Дирака, отвечаних & пределе Н ■* О устойчивым движениям релятивистского электрона по замкнутым фазовым траекториям. В §1 даатся крзткий cvc-op проблематики и фоучулировкз исходно!' задачи. Б §2 вводится 'основная геометрическая конструкция методз квазиклассического квантования одномерных лагрзнжевых торов - инвариантное семейство замкнутых фазовых кривых с комплексным ростком Г Л1< Е >, г"(Л*(Б)3.

В 53,4 излечена общая схема построения квазиклассических (иоа 0(fi3/2)) стационарных "КС для уравнения Дирака с

внешним электромагнитным полем в произвольной криволинейной ' система координат. Показано, что скалярная часть квазикласси-'ческой асимптотики Ф^полностьм определяется геометрическим объектом [Л1(К), гэ(Л1(Е)3 и списывает квантовые флуктуации волновой функции около равновесной траектории движения электрона в конфигурационном пространстве. В свою очередь слинорнал часть волновой функции Ф£ определяется набором из двух линейно независимых решений Флоке линейной гаг,5ипьтоксвсй системы (3)

-Ч10,(Е)Т(Е)

vrii + Т(Е)) е 4 и.(х), 1п/л.(3) - О (10)

Ь Ъ *

и описывает взаимодействие спина электрона с внешним электро-

магнитам полем при заданном его двмгании по Л1 (Е) с периодом Т(Е). Выделяя из Е-парамзтрпческого семейства функций Фк те из них, которые удовлетворяют условию "(Е)-периодичности, в 55 получены условия квантования семейства Л1(Е)

1 г Т(Е) г ,

2is^<p(T:,E),dq(T,E)> - I (ft) + £ + ¿) +

Л'(Е) ■ (П)

i - 0,t1,+2,..., vy - 0,1,2,..., С - ± 1

которые определяют дискретную последовательность уровней энергии Е.ЛП) - Ё. ,, .. Г(Ь.) в области непрерывного изменения Е.

Соответствующая последовательность квазиклассг-еских собственных функций Ф образует асимптотически полный ортонормир:.зан-

ный (мой 0(hi/s)) набор квантовых состояний, локализованных в окрестности проекции кривой л1 на конфигурационное пространство. В §6 полученные общие результаты применяются к квантованию частного, но важного в приложениях вида движения -стациокэрного вращения электрона по рэвнозесной окружности в электромагнитных полях с аксиальной симметрией. В частности, построены спектральные серии релятивистского электрона в поле Кулона, в аксиально-симметричном электрическом поле кулоновс-кого типа и в аксиальнс-симметоичном магнитном поле фокусирующего типа.

Глава 5 посвящена квазиэнергетическим спектральным сериям

и вычислению на их основе геометрической фазы Ааронова-Анзндана В представлен новь;]! взгляд на природу квазиэнергетическш: состояний в свете формализма ?К - приближения.В §2 для уравнения Ырадингерэ с произвольным Т-периодическим гамильтонианом изложена общая схема построения квазиэнергетических спектральных серий - последовательное.и асимптотических по mod 0(Н5/г)

-с Б Т

квазиэнергетических состояний (q,t + Т,Л) = е h v Ф„ (q.t.ft)

и последовательности соотвотствукщих квззиэнергкй ev(t\), , которым в квазиклассическом пределе Л -» 0 отвечает устойчивые Т-периодичэские движения классической системы. Конструкция кзазиэиергетических асимтотик спирается на катод построения квзз'ждзссических ТКС с любой степенью точности по П1/г. В намнем частном случае, когда гамильток!!зн системы является произвольной квадратичной формой операторов координат и импульсов с козффицнентаки - пери^дическгаи функциями Бремени, полученные результаты дают точный ответ. Доказывается свойство ортогональности { по rr.od 0(Лэ/г)) и полноты функций Ф. . Затем решзется задачз на спектр

квазиэнертий. Б квазиклассическом приближении с точностью до О(Гг) спектр кв?з::.-нергий равен

с,,[rood Ц ] - - т {"dt[<p(t), q(t)> - H(t)j + о

^I.^O'l: + ^-0,1,2,..., (11)

где числа О,, - 0) - характеристические показатели Флоке

системы в вариациях, отвеч-'одей Г-периодической функции Гамильтона h'(p,q,t) и заданной I-периодической фазовой траек-' тории г - (p(t),q(t)). В §4 в квазиклассическон приближеиии с точность» до 0(Л1/г) рассчитан "геометрический" вклад фазы

Ларонова-Анандана 7 в кзазиэнергетичгский спектр (11). В bv

результате проваленных рзечетов удалось получить с.-здушее

сравнительно простое выражение для величины 7_ :

bv

Т n Т . »

Т. - i Jdt <p(t).q<t)> - г 1 + 2> «у -

~ п О О

Т

- Jdttc0(t)f :<(V)(t)J (12)

где - (р,с[)т; Т-периодические вектор-функции.лкСЬ) и

соответствуйте решения Флоке системы в вариациях свяэа-

ны соотношениями ¿,.(1;) » е а вещественный 2п-

векгор ^<V ] (^ является решением линейной неоднородной га-мильтоновой системы с Т-периодаческими коэффициентами

Здесь Н,,дя(^ - 2п х 2п матрица системы в вариациях, отвечающая функции Гамильтона Н(р,я,г) и фзаовой траектории г^, а ветор 7(г,}(1;). определяется п*п матрица:.:!! дисперсий координат и импульсоз в состоянии (и, О - главном члене квазиэнергетической ТКС асимптотики 4>,. . §4 посвящен адиабатическому приб-

лиженимдля фазы Ааронова-Анандана (12). Рассматривая 1/1 как параметр адиабатнчности показано", что в " адиабатическом приближении с точностью до 0(Т"') величина совпадает с фазой

. Берри, отвечающей гдиабатнческ лу движению нульмерного лагран-жава многообразия с комплексным ростком. Наконец, в §5 в качестве примеров, иллюстриругацих ранее полученные общие результаты, рассмотрены одномерный квантовый осциллятор под действием Т-периодической внешней силы и движение заряженной частицы в супер. .^зиции кулоновского и пер"однческого ао времени электрического полей.

Основное содероканке диссертации в результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах:

1. Bagrov V.G., Shapovalov A.V. and Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces / Class.Quantum Grav.-1990 -v.7.-p.517-531.

2. Bagi-ov V.G., Shapovalov A.V. and Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces:

IT

II.External gauge fields..' Class.Quantun G'rav.-I991 .-v.S. -p.163-172.

3. Багров В.Г.. ЕБсеевич А.А., Шаповалов А.З. Точиле реиения урвкнення Дирака в классе стеккелевых пространств, допусками: вектор Яно /Труди семинара "Грзгнт. эн-я и гравит. волны". 1589, Дубна, 117-123.

4. Багров В.Г., Евсеевич А.А., ¡.'зпсзадсв А.В. Си:,натрия, разделен;1^ переменных и точные репения урэг.ненич Дирака в про -стрэлстэе Римгнэ-Кэртана /Препринт N51, Томск, 1939.

5. Bagrov V.G.. Eelov V.V., Trifonov A.Yu.and Yevseyevich A.A. The cor.plex '»'KB Maslov rr.othod for the 33iгас equation in a

.torsion fi*ld: I.Construction of trajectory-coherent states and the eguation fcr spin /Class. Quanwn Grav.-1591.-v.8.-p. 1 349-1C59. ,

6. Bagrov V.G., Selov >'.'/., Trifonov A.Yu. and Yevseyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation for the Dirac equation with an external electrorf.agr.etic field in Rie.f^nn-Cartan space:II. Construction of TCS and equation

fcг■¿pin./Class.Cuanturn C"iv.-1991.-v.3.-p.!ЭЗЗ-1S46.

7. Bagrov V.G., Eelov V.V.. Trifonov A.Yu. and Yevseyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum eechanic? of a charged particle in a curved spacetime /Class. Quantur, Grav.-l 991.-v.S.-p.515-527.

8. Bagrov V.G., Trifonov A.Yu. and '¡'evsc-yevich A.A.Quantum mechanics of charged passive spin-1 particle in curved spacetime with torsion: qu:isiclassical analysis of the Proca equation bated on the Haslov coralex tprout nethod /Class.Guan-tm Cray.-1952.-v.9.-p.533-543.

9. Bagrov V.G., Eelov V.V., Trifonov A.Yu. and Yevseyevich A.A. Quantisation of closed orbits in Dirac theory by Maslov's complex gera method /J.Fhys.A.:Math.Gen.-1994.-v.27.-p.1021--1043.

10.Bagrov V.G., Belov V.V., Triionov A.Yu. and Yevseyevlch A.A. Quasi-classical spectral series of the Dirac operator corresponding to quantised two- dimensional Lagrangian tori / J. Phys.A.:Math. Gen. - 1994 (in press).

11.Trifonov A.Yu. and Yevseyevich A.A. Maslov's complex gera method and Berry's phase /(submitted to J.Phys.A.:Math.Gen.)

12.Trifoncv A.Yu. and Yevseyevich A.A. The Aharonov-Anandan phase and guasi-energy trajectory-coherent states /(submitted to J.Phys.A. :Math.Gen.)

3aKft2jL(£JiLli____tWW.Jjl&SKZL,

XOn Try . To ok .29, hhkhrhha.W