Сепаратрисные многовиды линейных импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКДДШЯ НАУК УКРА1НИ 1НСТИТУТ МАТВШЖИ

На правах рукостсу *

СВИСТУН Оксана Пвчр1вна

СШАРАТРИСН1 ШЮГОЩДИ ЛШЙНЮС' ШШЬСШ СИСТЕМ

01.01,02 - . дифервнц|£ш,н1р!вняяня

Автореферат

дисертедП на здобутгл наукового ступени , кандидата $1зико - математични* наук

РГ6 о

2 1

К В I в

- 1921

Роботе эиконана у в!дд1л! зввчайиих диференц1альннх р1анлЕЬ I«статуту математики АН Укра1ни Даоертец1вю в рукопио...

Вауковий кер1виик - член - коресповдент АН Укра1ня,

доктор ф)зико - М8Т6М8ТИЧНИХ наук САЫСЯШВД A.M.

0ф!ц|1н1 опонвяти - доктор ф1зико-мат«ыаттпшяхнаух, професор ПЕРЕСЕК И.О., каадидат ф1зихо-математичяих вауя

колшшшв.г.

Цров1дна уставова - 1нститут мехен1ки АН Ухра1ни .

Захист в1дСудеться ".РЗ." ........1994 року

на аас1данв1 спец1ал1зовано1 ради Д 016.50,02 при 1вститут1

' 1 -

математики АН Укра1на за адресов :

252601 , Ки1в - 4, вул. Терепвнк(вська, 3 .

3 дисертвц1вю можна ознайомитися в в1бл1отец1 1пституту.

Автореферат роз1слений' ". fiil* ......1994 року

Вченк! секретер спец1ал1вовано1 ради

ЛУЧКА A.D.

Заганьна характеристика робота

Лктуальнх еть теми. В рхзних областях науки i технхьи зустрхча-DvbCK системи« UHHaMivHi коливальнг" пронеси в яких описуютьоя зрича/ниуи диференцхальиими piвннннями з хшульсною дхею. При вивченнх розв"яэкхв таких ¿мпульснкх систем централы : мхспо зайнають проблема гснуеання, стхчиостх, гладкостх та предста-рлення хнвархангних торохдальни). ьногоьиахв я п. -вупирноку евкл1довому npoctopi, поведхнка траекторий в малому ix околх, дослхдгеннн сепаратрисних многовидгь для вип&дку експоненцха-jibHo'i дихотомхх торо1Дального многовиду.

Б найпростхшому нипадку ( на площинх) сепаратриси розг-лядались в роботах А.А.Анронова, А.Вхта, М.М.Баутхна, й.А.Лео-нтовича, найбгльш повно доелхдяенг сепаратриснх многовиди лх-шйнс-о роэширення динамхчних систем на Topi (К.Г.Валвев,

A.М.Сыяойленко, Ю.О.МитропольськиЯ, В.Л.Кулик, С.1,Трофимчук,

B.А.Уалькоп, З.а.ТкаченкоJ * дли гмпульсних систем диференцха-льнюс рхЕнннь питания про хктегрйдъщ иножини, сепаратрчснх многовиди «га ix властиBocti доолхдаенх в ментхй Mipi (A.M. Са- -моЯленно, И.О.Пересток, О.В.Втвенська, С.1.Трофимчук^.

Нами розглядаються сепаратрис^ многовиди лхрхйних гмпульсних систем з малим параметром 6 .

Мета дисертацхйно! роботи - знаходження ywoB iснурання та гладкостх сепаратрисних иноговид1в л1HiИного розииреш • динвмхчних гмпульсних систем при малих значениях параметра > О . Роэ-робити схему побудови таких нноговидхв.

Загальнх мегоди вивчення. Методи, використанх в дисертавдйнгй роботх, базуються на розробленому А.М.Самойленком пхдход1 до дослхдження розв"язкхв диЛеренцгальних piBtwHb аздопст.'огою чи-гельно - аналх: точного кетоту поолхдогних наближбнь.

Наукова новизна. На эахист виносяться наступнх псновнх положения, якх виэначають наукову новизну результатов дгсертаод-„Рнох роботи :

- отримано умови ..снування сепаратрисних многобидхв, якх виз-начаються неперервними та розривними функцхяьи, лмхйного роз-ширення динаничн,,* хмпульснкх систем на Topi з .:алим значениям параметру £ > О i

- эапропонопана загальна схема побудови неперервних та £озри-вних сепаратрисних многовидхв ;

- одержано умови гладкостх описаних сепаратрисних мгоговидхв за 5МГННИМЯ - С*^«,.• •, ;

- запропонована схема рхдкукання оптимально! травкторй' сис-

_ тени диференцхальних рхвнянь за рахунок г<пульсного керування. Теоретична та практична эдннхсть. Гобота носить теоретичний характер, узагальнюс i поглиблвв^panic biaomx результата э до-слхдження ¿нтегральних иножин та сепаратрисних многовид1в Ы-пульсних систем, э reopii оптимального керування такими системами , г

Практична щннхсть обумовлена да, ¡цо питания хснування i побудови сепаратрисних многовид1П лхьхйного роэширення ди-намхчких хнпульсних систем на торх зайкаютъ важливе (лхсце в Teopii збурень 1нвархантних TopiB систем нелхн1Яно1 механхки; роэроблена методика побудгви сепаратрисних многовидхв може бути перенесена на сиЬтемй бхльш загального вигляду, нхж роэ-глинута; вирокик застосуванням Teopii хнвархантних множин хм-пульсних систем в piзноманхтних за фхэичною природою та функ-цхональним призначенням технхчних задачах; а також конструктив« стю запропонованих в роботх алгоритмов побудови сепаратрисних МНОГОВИД1В.

Апробацхя- роботи.OcHQBHi результат« дисертацгйнох рабоги до-

пов1дались на сенхнарх вхдахлу звичайних диференцгальних рх--нянь Хнституту математики АН Украк'ни { кергвник семхкару чл.-кор. АН /крагни А.М.Самойленко J, на иколах-семхнарах ; " Розривнх динамхчнг системи "( 17-20 варесня 1991 року, Уж-городськиР дер*авний унхверситет ), "Нелхнхйнх задач: мате-матично? фхзики та хх застосуванкя" ( 5-12 ковтня 19?^ року, Крим, Кацхвел£/\ "Дифер&нцгальн1 рхвняння та хх застосування (1-10 червня, Хнститут математики АН Украхни, Уиверситет Сан-Хосе /США/, Схмферопольоький Державинй унхверситет, м.Судак, Крим ].

Публх капы. Результат и дисертац11 опублхкованг в роботах [.1-&1 Структура роботи. Дисертацхя складааться эх вст/пу, трьох ро-эдхлхв, додатку, висновку та списку лхтератури, який мхстить ЧОХ найменувань. Загалъний' обсяг роботи 11 2, сторхнок.

ЗМ1СТ РОБОТИ.

У вступ1 обгрунтовано актуальнхсть вибраного напрямку до-слхдження, наведено короткий аналхз основних робхт по темх ди-сертацхК га анотавдя отриманих результапв,

В пертому роэД1Лг розплядааться лхнхйна хмпульсна система 2 -го порядку ви,г

,де з&'ч , - обмечена область "евкл1Дового простору Е^, в - мвлий додатний параметр,

т. - вимхрний тор, "V. е ^ I права частина сжует /1У-/3/ задовольняе такх умови:

I! Вектор-функц1я - неперервна, периодична за змхн-нимн Т .. з периодом 2.Ж. Л задовольняе умови Лх-пшиця за аихнники ......

2? Оункцй" геперервнх та - перходичнх

яа вс1ма сво'1ыи змгнними,

~ скаляри, приводу <0-

Функцхх - незаданх.

ГЁОгеМ I Л- йехай система Ю-'Ъ! задовольняе умови 3° а 1'акож умову

*п., /4/

ЙА

Годх гснуе досить мала €с >о , що для довх.льиих £ , О^ £ & £с , х для кожного роэв"яэку система /I/ ножна вка-

авьа такх функц1х 1с= ^(.^У, Ь^Х^ОЗ) . Ч*-^, лерходичнх за зимними ,... 4 з периодом 2%, та та-ку функцхго 'и (.% ^, Е } -неперервну за вехт сво1Ш змхнниш ; г"

- перхЬдичну

рхвномхрао по «х е "Зл.^еТ^ Цо задана система пав схм"ю сепаратрисних кривих П :

кривих- I - система /1/-/3/ пригодиться до системи

«Ь = (р, * ^б-Л'АМУ.О) * ,

/6/

де ^»г/Ь - розв"язок системи /I/,

- 5 -

1Е0ШСА 1,3. Нехай система /1/-/3/ эадовольняе умови 1-2°та Tofli

¿енув досить мала £е>>о ,цо для ecix Ь , Os £ « £о, i для кожного розв"язку си степи /Е/ ыожна вказати таад <}ункц!5с

IvpIiiC^, М»

StSl - пергодишс за вышними <$\ тай фунгацх

неперервн! за всхма свохми эмхнники ;

ПврхОДИЧН! За КОЖНОЮ 13 CBOIX 3MIHHi.i t , 4?, з

пер1одоы ; •

ща задана система /1/-/3/ «аз дв! ciw"i свпаратрисних кривих

Г- : ч « *и ст. £">

та 1 /7/

Г\ : ас - vCi.^.O * .

На кривих наша система набуваа вигляду /6/, а на сепа-

ратризних кривих приводиться до системи

\ / v /8/

Тут таком розглядавться задача хзнування розривних сепаратри-. сних кривих. В цьому випадку припускавться, то крЫ умов 1-3° мають Mi cue там умови:

4° JyHKqii • " «enepepBHi, -

nepioflironx за эмхнниКи <8V, Ч^; '

. для кожного ^ t^vw. I, - Iа OS) ,

Учл-СУХ. ЧЗе'З'т.

для ВС« • £ >

"4-, ^ - додатщ постхйщ.

б"

К 1 = Ра - р« <0-

Покладаемо .

На ргдмгну мд попереднхх тверджень в наступному функвдх Т-Х^Л ¿^Х , - эаданх.

ТЕОРЕМА 1.4. НехаП ехдносно системи А1/-/3/ вико^янх заэначе-их вшце умови 1 - 5.

Тодх ' .

хснуе досить мале Ь'о >0 , рхвне .

та*е, що для довольного £ , та довхльних

■ге^ , е, ^^ система /1/-/3/ мае С1м,'ю сепаратрисних кривих п.: - Л1-Сгг<чЧ, £ ) ос , де

а/ - пергоцична функщя за эм; ними «V ......3

б/ кусково - неперервна па "Ъей э роэривами в точках т=

1 ^«»¿».ОД - •, •иСг^^-.Е)) ;

в/ £ — О р1вномхрио в облат че^,^« :

г/ « , е) И * _ | . ^ и .

На кривих Г*— початкова система /1/-/3/'приводиться до системи /б/.

Аналогхчнх тверджекня сформульотанх в випадку гснувакня розри-вних сепаратрисних критех Г^.: 1.2].

Розроблена в першому ротздгл! методика вхдшукання х дослхджен-ня сепаратрисних кривих глюструеться на конкретному при клади /§ 1.3У.

Б другому роздхЛ1 узагальнювться результат* дослхджвнъ , проведених в попередньо«у розд*лх, для систем лхихйних дифе-ренцхальних р1внянь з хмпу-кьснсп дхею Я чшлт параьгетрда €>0 :

аТ- ^ ' •

* .....«О«*,. ^ = 0*«, € ,

I, ^>4- обмеммй обяаст4 ввклхаових просторхв та Е^ • вхдпов1дно, - гп. - шмхра пеотр"-

.рвна, - перходатаа за ¿яштеима ^ , ^ та -

- о -

задовольняе умови Лхпшиця за эмхнними 'S», .....;

RiC^)- Сп» к) - Еимхрна матрична функвдя та -

(***%)- вим1рна матрична функцхя - неперервнх, - перходи-чнх функцй' за pciMa сьаши змхнними ; I i , Р, - nOOTiftHi матриод розщрностей та вхдповхдно такд,

що дхйснх чр-.тини всхх власних чисел ыатртц - доди-

нх, а лхШИ частит всхх власних чисел матрицх - В1Д -

емнх ; 12("■§) - (пкп^ й (к* х} - вимхрнх

функвдх, - <.n*vO й - вимхрнх

матричнх функцй ; матрищ та комутують, тобто

IlPc = Pill (1'>д,

^ .найдено умови хсиування й.алгоритма побудови сепаратрисних многовидхв : Ч ЯХ О*»1^. О ^ ** *•

(t.'S.t) Ч , як1 обертаються при £ = О в породжу-ючх тривхальнх сепаратриснх мчоговидй , » е У

С<* п.")- вимхрка матрична функцхя, - вимхрна матрична функцхя .

ТЕОРЕМА. 2.3. Нехай система /9/ задовольняе зазначенх вице умови та Д1йсН1 частини всхх власних чисел матрицх

Р» + ^ С^^^ОЗУ). - додатнх, а Д1йснх частини всхх власних чисел матрищ Pj ^Ьа ^l^C^Y) - вхд"емнх' i

(Яе Йе^(^Не^о),

Е - одишгчш катржц вхдповхднох розм1рност! . То&

icttye досить шле додатне Е о , то для довгльних С ,

О« £.0) х для кожного роз в"! ку систежи /I/ можна вка-за'.-1 такг матрищ , 1ц . »

неперервнх, - перхсиичщ за змхннтт

£ такг матриц;

нетгерервнг за всхиа свогки змхнники ;

2.® _ пергодичн! за эканними Я , ^V » ...» ;

£-0 / покомпонентно/ рх-вномхрно в областх т:еТл, ^ е ,

що система /9/ мае сепаратриснх шоговиди Г*- та >

при цьому /9/ приводиться на Р _ х Г\ до вигляду,

аналогичного /6/, /8/ вхдповхдно.

Зауваясимо, що невхдомх ыатричвд фуккцгх

втаначаютъся хз умов 'качкхв залачх /9/.

Далх вважаеться, що матричих функцИ

Bi.nor.ii Я кргм цього викоцуються такх унюви :

к. - непереррнг, '¿Ж - перходичнх матричщ фун-

кодх за зимними "Я = , • •• е >

. ^ \ 1П)гСад > Ю^ОЗД] < А/.

Дхйснх частини всхх власних чисел матриц! \Р г. + *

, тобто Ке А-,.(Р^^.^С^^С^)<0,

матртп Х^Х^4) ~ 1Е. - одиничнх матриц! ^ т. - 4,2..

Б. Позначтао

рг-. - гглач. С

х для доильного досить малого 6 > О та О справед-, ' ЛЙВ1 одхнки .

УПСХ-Х.

»VI

Достатнх "моей хснурання розривних сепаратрисних многовидхв Р + дае наступив гвердкення.

ТЕОГЕЫА 2.5. Нехай рхдносно системи /9/ виконанг зазначе-нх вще уиови та мають йсце А., Б.

Т<ш

хснуе досить мале £-ь > о » pieнe

{ ! _1 ; [Г И ^ А/ \

що у я довольного , О 4 £ $ «а дсодльних

^ ^ ^ ул. система /9/ ыав сегеаратриошй иного-

ВЙД

Гц. : «с « А *

» де

е/ йЗС - пер!одична за шаншка Ч , ,.

.. матрмч-4

на фуикц4я ;

б/ кусково - неперервна ва терпить розриви в

т - гз^ * = - *

точках с - »

В/'£ -*-0 рхВНОМХрНО В ОЙЛасТХ

-г е , ;

Система /9/ на множлнх приводиться до систем^, анало-

Г1ЧН01 /8/.

Третей роздхл дисертацхйног роботи присвячений вивченнв умов гладкостх описаних сепаратрисних многовидхв за эмхнни-ми •••

ТЕОРЕМА 5.4. Права частина системи /Э/ задовольняе умови теореми про 1снування сепаратрисних многовидхв х наступнх умови : '

1. Вектор - функцхя - ОиС*,*^. матришх функцхх

Нл - -Е - раа непорервно - диференцхйованх за кожною

.13 компонент вектора

2. Н II £ «Со , додатна пост!йна .

3. Матричнх функцхх X ц С^") ~ ^ - Раз неперервно-дифч-

- 1С. -

рен'цРоБанх ^уккщ'х за всхиа евохми амхнними.

4. ?*»- Рг *> ^Хо. 1од1

можна вк'ааате досить уале £.,, >0 гаке, цо для цивхльних'

, О-ь £ ь Е с,система /3/ гае сепаратриснг шоговиди Р Г

I _ та 1 опис&ноги вище вигляду, яи вкзначаються ку-сково-кеперг овниии за ^атрицяьл; ЯХС^,^. 4

раз неперерБно-диференщйованиии за кочноо 13 компонент вендора

Закхнчуе. лея останнгй параграф ш-рлкладом» цо хдюструе власти-ехсть гладкосп сепаратрисних много г-н Др.

В додатку розглядаеться одна задача оптимального хмцу-. ьсного керуЕання.

Основнх положения дтеервацк опублхкованх в клсту-пних роботах :

1. Свистун О,П. Одна задача оптимального импульсного управления И Нелинейные проблемы теории виф^вренцивльгалс уравнений.- А.: Ин-т математики АН Украины» I991.-C.92- 98 .

2. Свистун О.П. Задача оптимального импульсного управления// Школа- семинар " Раэротнь® динамические системы Ужгород, 17 -'20 сент. 1931 и. : Геэ. докл.- Киег? О-вр " Знани© 1991-С. 57. . *

3. Свистун 0.11. Про сспаратрист крявх ехмейства дхщВних систем э ¿»цульснсю дае» // Укр.маг.тури.- 1993,- 45, Г 12, - С. 1662 - 1687 . '

4. Свистун О.П. О гладкости сепаратрисних кривых // I Украинско - американская такол» - семинар " Дифференциальные уравнения и их применение Оудак, 1-10 июня 1993 р. : Тез. докл.. ~ >— Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993

С. 41 .

■ '

5. Свисгуи О.П. Про хснування *а гладкгсть сепаратрисних многовид!в одного класу хмпульснях систем //.Доп. АН Украсим. Сер. А. - -1993.- » «.С. 16 - .