Коностропные инвариантные торы гамильтоновых систем. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Інститут математики Національної академії наук України

На правах рукопису

' ПАРАСЮК ІГОР ОСТАПОВИЧ

КОІЗОТРОПШ ІНВАРІАНТНІ ТОРИ ҐАМІЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ

• 01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на а до буття наукового ступеня доктора фшяко-математичних наук

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий консультант -

Офіційні опоненти

Провідна організація

- член-кореспондент НАН України, доктор фіоико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО А.М.

- доктор фіоико-математичних наук,

професор ГРЕБЕНІКОВ Є.О.; член-кореспондент НАН України, доктор фіаико-м.атематичних наук, професор ФУЩИЧ В.І.; .

доктор фіоико-математичних наук, провідний науковий співробітник ЯЦУН В.А.

- Інститут прикладних проблем механіки і математики ДАН України.

Захист відбудеться "і 1995 року

о і $______годині на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д 01.66.02(при Інституті математики НАН України оа адресою: 252601, Київ, МСП, вул. Терещенківська, 3.

В дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці інституту. ,

Автореферат рооіслано ^ 1995 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради

ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. В остампі десятиріччя відбулись суттєві орушепня в теоретичному піонашгі нелінійних явищ. Значною мірою ця обставина була оумовлена прогресом у розробці математичних методів аналіоу істотно пелінійнйх динамічних систем. Особливо інтенсивно роовивалась останнім часом теорія рівнянь Гамільтона — основних рівнянь класичної та небесної механіки. До найважливіших досягнень в цій галуоі безперечно слід зарахувати з’ясування глибинних механізмів інтегровності гамільтонових систем, втрати цієї- властивості при деформації гамільтоніашв та перехід до хаотичної динаміки при зростанні впливу обурень.

Давно було помічено, що у більшості класичних прикладів іпте-гровних систем розв’язки являють собою квазіперіодичнЗ функції часу. Це явище о загальних позицій було пояснене В.І.Арнольдом на основі простих топологічних міркувань. Він зауважив, що на кожній спільній компактній поверхні рівня інтегралів в інволюції визначена локально вільна дія групи Ж", а тому така поверхня є п-вимірним тором.

Впродовж майже 200 років залишалась нерозв'язаною проблема збереження квазіперіодичних рухів та інваріантних торів інтегров-них гамільтонових систем при малих обуреннях функції Гаміль-тона. Розроблені дня врахування впливу обурень методи приводили до розбіжних рядів за степенями малого параметра. Причина розбіжності — щільність у фазовому просторі тих інваріантних торів, на яких частоти квазіперіодичних рухів лінійно залежні над кільцем цілих чисел. В околі таких резонансних торів коефіцієнти розкладів розв’язків у тригонометричні ряди містять малі знаменники, що не дозволяє встановити бажану збіжність стандартними мажоралтними методами.

Подолати трудність малих знаменників вдалося лише оавдяки

створенню в 50-х та на початку 60-х років неформальної теорії обурень кваоіперіодичлих рухів інтегровних гашльтонових систем, яку в першу чергу пов’язують о іменами А.М.Колмогорова, В.І.Ар-нольда, ІО.Мооера (теорія КАМ). В 60-ті роки М.М.Боголюбов, Ю.О.Митропольський, Ю.Мооер, А.М.Самойленхо рооробили методи прискореної збіжності, що дозволяли будувати квазіперіо-дичні розв'язки неконсервативних систем.

До найбільш вагомих пізніших досягнень у зазначеному напрямку можна віднести результати, що стосуються встановлення інтегровності обуреної системи на канторівській множині початкових значень, дослідження поведінки траєкторій у щілинах між колмогоровськими торами, з’ясування механізмів руйнування інваріантних торів, відкриття та вивчення нового об’єкта теорії КАМ — канторо-тора, розповсюдження теорії КАМ на нескінчен-новнмірні гамільтонові системи.

З початку 70-х років у зв’язку з відкриттям методу оберненої . оадачі розсіяння ріоко підвищився інтерес до точно інтегровних рівнянь математичної фізики та класичної механіки. За допомогою цілого ряду витончених аналітичних та алгебро-геометричних конструкцій' було з’ясовано причини наявності у багатьох цікавих з фізичної точки зору нелінійних динамічних системах ’’прихованих” симетрій та законів збереження, що дозволило значно розширити список рівнянь, які допускають побудову розв’язків у явному вигляді.

На сучасному етапі розбудова теорії гамільтонових систем відбувається о широким залученням локальних та глобальних методів симплектичної геометрії та топології. На цьому шляху одержано цілий ряд глибоких результатів, що стосуються геометрії та . класифікації цілком інтегровних систем.

Підкреслимо, що інваріантні тори інтегровної за Ліувіллем

гамільтопової системи на симплектичному многовиді (M,w2), dim М = 2п, п Є 1N, є лагранжевими підмноговидами відносно сим-плектичної структури и>2. У варіантах некомутативпої теореми Ліувілпя іпваріантні тори є іоотропнлми підмноговидами, роомір-ності меншої, ніж ті. Ще у 1954 році А.М.Колмогороп у доповіді на Математичному конгресі в Амстердамі вкаоував на труднощі, які супроводжуватимуть спробу розповсюдження теореми про обереженій кваоіперіоди'ших рухів на випадок, коли розмірність іваріантних торів перевищує половшу розмірності фазового простору. .

Проблема існування та структурної стійкості багатовимірних інваріантних торів тамі льтонових систем залишалась недослідженою аж до середини 80-х років. Наскільки нам відомо, перші реоуль-тати в цьому напрямку були одержані автором [3,4]. Виявилося, що основні властивості лагранжевих інваріантних торів у розмірностях г > п успадковують коізотропні інваріантні тори. У той же час ці об’єкти вирізняються ниокою структурних особливостей, пов’яваних о нетривіальною топологією відповідних фаоових просторів. Вивченню оаоначеної проблеми і присвячена дана дисертаційна робота.

Мета дисертаційної роботи полягає у розробці теорії коіоо-троппих інваріантних торів та багаточастотних кваоіперіодичних рухів гамільтонових систем.. -

Методологія та основні методи дослідження. На першому етапі було проведене структурне дослідження загальних властивостей та будови фаоових просторів гамільтонових систем □ коіоо-тропними інваріантними торами. Застосовувались сучасні методи глобальної симплектичної геометрії. На наступному етапі розроблялася теорія обурень кваоіперіодичних рухів на коіоотропних торах. Основні результати вдалось одержати, синтеоувавши методи

симплектичних перетворень Лі, методи о прискореною обіжністю та методи метричної теорії діофантових наближень на підмного-видах евклідового простору. Дослідження механізмів виникнення коіоотропних інваріалтних торів у системах в певними груповими властивостями проводилось шляхом модифікації глобальних методів редукції гамільтонових векторних полів о симетріями. Метод локального аналізу нелінійних диференціальних рівнянь (метод нормальних форм) виявився ефективним оасобом виявлення коіоо-тропшіх інваріантних торів в околі відносних положень рівноваги гамільтонових систем.

Наукова новиопа. Особисто автором одержано такі нові ре~ оультати:

в о’ясовано властивості потоків інваріантних глобально та локально гамільхонових систем на симплектичних многовидах, розшарованих хоізотропними торами;

« встановлено існування змінних типу ”дія - кут” на торичшгх коіоотропних роошаруваннях симплектичних многовидів;

• розроблено нереоонансну формальну теорію обурень та ана-'

' лог теорії КАМ для коіоотропних інваріантних торів і хваоі-

періодичних рухів гамільтонових та локально гамільтонових систем, техніку оцінки міри доповнення до колмогоровської множини;

• виявлено і вивчено коіоотропні кваоіперіодичні рухи в математичній моделі електрона провідності;

• доведено теорему про збереження багатовимірних інваріаит-

них торів оборотних систем; .

в розроблено процедуру редукції для гамільтонових систем о не-Еуассоиовими комутативними симетріями; оа допомогою цієї

процедури коізотроині кваоіперіодігчиі рухи виявлено у системах механічного типу на скручених кодотичних роошарувап-нях ріманових многовидів, що допускають вільну ізометричну дію торів;

• знайдено умови існування коіоотроппих квашперіодичпих рухів в околі відносного положення рівноваги гамільтонової системи о пспуассоїговими абелевими симетріями;

• виявлено та досліджено нільпотентет потоки на іооенергетич-них поверхнях БМнваріантних гамільтонових систем о двома ступенями вільності; .

• одержано оцінку інтегралу функції на многовиді Гейоенберга-Іваса'- и водовж траєкторії ніньпотейтного потоку.

Теоретична та практична цінність. У дисертації вперше розроблено теорію та методи дослідження нового типу багаточас-тотних коливань у гамільтонових системах. Теоретичні результати можуть бути застосовані при дослідженні конкретних механічних та фізичних систем о топологічно нетривіальними конфігураційними просторами при наявності силових полів як потенціального, так і соленоїдального (гіроскопічного) типу.

Апробації роботи і публікації. Результати дисертації доповідались на IX Міжнародній конференції о нелінійних коливань (Київ, 1981), на Спільних засіданнях семінару їм. І.Г.Петровського

„ її „ ._____„__________________-__________- /Ж Я - . . 4Лґ1*>\

і. іл аі а м і и ли и>1 и їй и X її чим «,> д 1 ОС* ^ П’Ю Лі/ОО^ ІХО/

Всесоюзній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики”(Тернопіль,1989), на Міжнарод-пій конференції пам’яті академіка М.Г.Кравчука (Київ, 1992), на IX Міжнародній конференції з топології (Київ, 1992), на Других Боголюбовських читаннях (Київ, 1993), на Першій українсько-

американській школі "Диференціальні рівняння та їх (застосування” (Судак, Крим, 1993), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь ІМ НАНУ. Реоультати були також представлені на . Європейській конференції о нелінійних коливань (Гамбург, ФРН, 1993), на П’ятій конференції о нелінійних вібрацій, стійкості та динаміки структур (Блексбург, США, 1994).

Основні реоультати дисертації опубліковані в роботах [1 - 23].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається іо вступу, п’яти рооділів та списку літератури, що налічує 197 найменувань. Обсяг роботи 237 сторінок. '

ЗМІСТ РОБОТИ

Маючи на уваоі узагальнення арнольдівської інтерпретації теореми Ліувіяяя про інтегровні системи, об’єктом дослідження першого розділу дисертації є симплектичний многовид, розшарований коізотропними торами. Припускається, що структура розшарування (М, В, 7г), де В — многовид орбіт, 7г — проекція, виникає ^наслідок гладкої симплектичноГ дії комутативної групи Лі (Ш,г або Тг), причому відображення а и І, о її алгебри Лі DT в алгебру Лі 'локально гамільтонових векторних полів на М є ізоморфізмом. Показано, що останній визначає на Иг кососиме-тричну білійійну форму (2-коцикл) С(а,Ь) := ш2(Ха,Хь). Умова dimKerC = dimM - г‘ забезпечує коіоотропність орбіт. З нетри-віаяьності коциклу випливає, що дія зазначеної групи Лі непуассо-нова. Основна задача полягає в тому, щоб дослідити властивості потоку о інваріантним гамільтоніалом Я ° тг, Н : В і-+ IR,.

У §1.1 досліджуються деякі структурні особливості розшарування (М, В, 7г). Тут запроваджено важливу характеристику коіоо-. тройного розшарування — монодромію — як певний гомоморфізм М : Хі(В,у0) н-+ GL(r;Z5) фундаментальної групи бази у групу цілочислових, унімодулярних матриць (для лагралжевнх розшару-

валь це поняття ввів Дуістерма). Покалано, що у випадку тривіальної монодромії М має структуру головного Тг-роошарувалпя над В. Якщо до того ж мпоговид В одноов’язшій, а друга когомоло-гічна група Я2(В;Ш.) тривіальна, то воно ізоморфне тривіальному добутку-роошаруванню В х Тг. Тут же встановлено глобальпий аналог теореми Дарбу-Вейнстепиа, (теорема 1.1.1). А саме, припустимо, що монодромія розшарування (М,В,7г) тривіальна, існує його глобальний переріо і 2-формаи;3 —С(ы,ы) точна. Тут С — коцикл, породжений симшіектичною структурою на алгебрі Лі тора Тг, ш — форма зв'язності головного Тг-роошарування. Тоді існують такі омішгі типу ”діл - кут” J = (.Д,...,/,) (ці омінпі ’’нумерують” шарп розшарування) та = (<р\,...,<уРг)|ніосі 27Г (кутові вмінні па торі), що ' ,

де і,-у,е,-у — сталі. В цих.координатах рівняння о інваріантним гамільтоніаном набувають особливо простого вигляду

де {«,}’_! — баоис розв’язків лінійної системи о матрицею

нансності торів J = с відноснь потоку системи о інваріантним гамільтоніаном. (Нереоонапспість тора означає, що він є мінімальною множиною відповідного потоку.) У цією метою запроваджено поняття нерезонансності симплектичної структури відносно розшарування (М,В,тг). • ,

Означення Симплектичну структуру наовемо нереоопанспою па шарі тг-1(у), у Є В, якщо кожен інтегральний многовпд роопо-ділу Кег о;5|т-і(у) усюди щільпий на 7г_|(у), у Є В.

*=1 У

З’ясовано, як умову нереоонансності симплектігщої структури можна вираоити в термінах так ованої частотної матриці и (п.1.1.7). .

Нарешті, вшпачаеться один о основних об’єктів подальшого розгляду. .

Означення Кваоінеріодичний рух гамільтонової системи напивається коіоотропним, якщо замикання його траєкторії є коіро-трошшм тором. .

У §1.2 описано один о можливих механіомів виникнення коіоо-тропних інваріантних торів в гамільтонових системах, пов’яоаиий

0 деформацією симплектичної структури, о окрема, втратою її точності.

У §1.3 досліджуються коіоотрошгі рухи локально гамільтонових систем. Наш інтерес до вивчення таких систем о многозначними . гамільтоніанамм був викликаний роботами С.П.Новікова. Цей об’єкт ралишається мало вивченим і понині. Нехай симплектич- . ний многовид (М,и>*) має структуру головного коіоотропного Тг-роошарування. Позначимо через Хл інфінітеоимальний генератор дії на М однопараметричної підгрупи тора, яка відповідає елементу а його алгебри Лі і', а черео С — 2-коцикл дії Тг на М. Нехай

— оамкнена 1-форма, Эи;1 — породжене нею локально гамільтонове векторне поле.

Ооначення Локально гамільтонове векторне поле на ко-іоотропному розшаруванні (М, В, 7г) напивається інтегровним оа Ліувіллем в узагальненому сенсі, якщо існує відображення / : В ^ іТ таке, що = Х}„.

Встановлено (теорема 1.3.1), що форма ш1 породжує інтегровне в оаоначеному вшце сенсі локально гамільтонове векторне попе тоді

1 тільки тоді, коли вона має вигляд = ж"6х - і(Хь)ш7. Тут 0і — деяка оамкнена 1-форма. на В , 6 Є іг — деякий сталий вектор,

ортогональний нідпростору Кег С підносно фіксованої єйхлідової структури на tr.

Рооділ 2 присвячено розробці теорії обурень коіоотропних інваріантних торій та квапі періодичних рухів на них. Формальний варіапт цієї теорії (аналог методу Лінштедта) для перевоиансних торів баоується на техніці рядів Лі. Нехай (у, <р) — координати типу ’’дія - кут” для іитегровної оа Ліувіллем в узагальненому сенсі системи о гамільтокіаном Яо(у), w(y) — відповідний вектор частот, /іЯДу, tp) — обуренпя, ft, — малий параметр.

У §2.1 оа умови аналітичлості функцій Яо,Яі встановлено (теорема 2.1.1), що в області, яка не містить ’’резонансних” множин вигляду .

{у1: {т,ш{у')) < 7ІтІ-т}> m Є Жг \ {0},

2

jm| := \rriiі + ••• + jmr| < Щц,к) := -(1q^1+1|, 0 < 7 < 1, т > 0,

7

існус таке симшгсктичнс перетворення (у, <р) = W(j/,tp',/і), що

(Ло + цИ{) о W = Я„(у') + ,іЯ,(у') + ■■■+ ЦкЙк(у') + о(/і‘).

Нри відкиданні членів о(цк) одержуємо гамільтоніан інтегровпої гамільтопової системи о коівотропними інваріантними торами у' = ■ const.

§2.2 містить центральний результат розділу 2 — теорему в дусі теорії КЛМ про обережепня коіоотронних кнаоіиеріодичних рухів. Рооглянемо систему о гамільтоніаном II = //(у), вионачепим у деякій області І)' С lit’. В координатах ж = (у, у>) її рівняння руху

маги і г> ппіллц

у = 0, ф = ш(у) (1)

і легко інтегруються.

. Припустимо тепер, що виконуються такі умови нсвиродже-ності:

1. Компоненти вектора и(у) в рівнянні (1) є дійсцо аналітичними функціями в опуклій області Є Є С', ІІсб’ С І)3, і має місце рооклад

ш(у) = ЬіАі(у) Н-------1- Ь;А/(у),

Де А,(у) — дійсно аналітичні функції в області С?, Ьг,..., Ь/ — лінійно незалежні вектори в 1ГІ,Г, які, як і натуральне число І, визначаються лише пуассоновою структур.ою {-, •} і не оалежать від конкретного гамільтоніана (псгрівн. о теоремою 1.1.1). 2. Виходячи о метричних міркувань, вважаємо, що для деякого 7 > 0 виконуються умови

9 •

^|(тп,Ьі)і > 7І»тгГг УтЄЖг\0.

і=а ' . •

3. Нехай . '

д = {г Є С* : )2і| < (7, (22>..., 2,) Є 6},

Є — область у Ее&’ ф 0. Припустимо , що існує дійсно

аналітичний дифеоморфізм го області СІ на О такий, що у (? виконується умова .

І ^ І - Л > °’

де А = (Аі,...,А,)г — вектор-стовнець, г = (гьгл). Ця умова означає, що многовид, заданий в просторі Ш.„ рівнянням = ш(у), роошаровується на несплощувані в сенсі А.С.Пяртлі криві.

Теорема 2.2.1. Нехай виконуються умови 1-3 і в координатах (ї/,^) елементи матриці дужок Пуассона та функції Н{у), И(у,<р) дійсно аналітичні в області <3 х [7, де 17 = {</> Є С : |Іт^, | < р, і = 1,...,г>, р> 0.

Тоді для довільного є > 0 можна вказати таке М > 0, що коли

зир \Н(у, ф)\ < М, то вірне таке твердження:

С?х17

Для довільного дійсного <£о існує така множина 6> С ІіеС? , що тевСг, > тез Не 6? — є, і для кожного уй Є О, розв'язок системи о

функцією Гамільтона Н + /і, який проходить черео точку [у0, У>о)< с кваоіперіодичним вигляду

У( 0 = У, + f(ш*(yt)t), <р(г) = + ¥», + д{ш(у,)г).

Тут у, Є Ж.', <р+ Є Иг — деякі вектори, оалежні від у0, уз0, компоненти вектора и>* неоалежні над кільцем цілих чисел, функції Ґ(ф), д{4>) дійсно аналітичні в області {ф Є Сг : |Іт^'і| < р/4}, періодичні, о періодом 2п щодо фі, причому |/(^)| < К(М), ІзСі/’)! < к(М), де к(М) —► 0, М -+ 0.

Зміст цісї теореми полягає в тому, що при викопаній умов "сильної нереоонансності” єимплектичної структури та невирод-женості гамільтоніана інтегровної оа Ліувіллем (в уоагальненому' сепсі) системи, більшість коіоотрошшх інваріантних торів цієї системи при досить малому гамільтоиовому обуренні не руйнується, а липго трохи деформується. Тори, що обереглися, несуть на собі коіоотропні кваоіперіодичні рухи обуреної системи. Лебегова міра ’’щілин” між торами прямує до нуля раоом о величиною обурення. Завдяки такій метричній стійкості коіоотропних кваоіперіодичних рухів, є всі підстави вважати, що вони можуть оустрічатися у реальних дипамічних системах.

Доведення оапначеної теореми спирається на принципово нову техніку оцінювання міри резонансної множини — доповнення до торів, що витримали вплив обурень. Ця техніка використовує деякі підходи о метричної теорії діофантових наближень на кривих у евклідовому просторі. Зауважимо, що оапропоповані умови неви-ридженості гамільтоніана неооуреної сйсісші, маоуть, с новими і для випадку лагранжевих інваріантних торів. У цій ситуації вони □водяться до того, що обрав відображення дНо/ду можпа ротна--рувати на пссшющувшіі в сспсі Л.С.Пяртлі криві.

У §‘2.3 теорію КЛМ ропповєюджено на локально гамільтонопі системи о коіоотроиними інваріаптними горами. Специфіка цьої о

Н

випадку полягає в тому, що довільне локально гамільтоновє обуреная, взагалі кажучи, руйнує інваріантні тори. Для того, щоб дього не сталося, доводиться висувати вимогу, що б векторне поле, одержане внаслідок усереднення обурепого поля водовж інваріантних торів, їх же й дотикалося.

У §2.4 досліджено натуральну систему на тривимірному торі, яка знаходиться в слабкому потенціальному та слабо неоднорідному солеиоїдальпому полі гіроскопічних сил. Останнє при-родко трактувати як магнітне поле. Застосування теореми §2.2 дозволяє довести існування у досліджуваній системі чотиричастот-яих жокютрошшх кваоіперіодичних рухів.

У §2.5 досліджуються рівняння квазікласичиої теорії руху електрона провідності у слабко неоднорідних електричному та магнітному полях. Однорідні складові цих полів Е та Н припускаються взаємно перпендикулярними. Система, що описує рух електрокар локально гамільтоновою на шестивимірному торі. Спираючись на реоультати §2.3, цокаоаио, що для широкого класу поверхонь Фермі у випадку сильної несумірності компонент поля Й у фаооаому просторі існують області майже цілком оаповнені чо-тнричастотшши кваоінеріодичними рухами (теорема 2.5.1).

У §2.6 вивчаються системи, які хоча і не є гамільтоновими, однак мають о ними багато спільних рис. Це так овані оборотні системи. Ми уоагальнюємо теорему Мооера на випадок, коли роомірність інваріантних торів більша їх хороомірності (теорема 2.6.1). У цій ситуації метод Мооера принципово неоастосовний. Трудність малих знаменників вдасться подолати оа допомогою техніки §2.2.

Ця ж техніка дооволила одержати ниоку результатів, що стосуються дослідження оон стійкості та параметричного резонансу . лінійних гашяьтоиових систем о хваоіперіодичними коефіцієнтами (§2.7). _ .

У рооділі Л' вивчено механіом виникнешш коіоотрошшх іваріан-тііпх торів та квапіперіодичпих рухів у гамільтонових системах о комутативними неиуассоновими локально гамільтоновими симетріями. Зауважимо, що в основних роботах о теорії гамільтонових систем о симетріями ропглядасться випадок, холи спм-плектична дія групи симетрій &' є пуассоповою, о окрема, для неї існус відображеная моментів. Іншими словами, визначений гомо-морфіом алгебри Лі g групи <7 у пуассопову алгебру функцій на симплектичшшу мпоговиді М , який кожному а Є g оіставллє функцію /», : М м Е — глобальний гамільтоніан інфінітеоимального генератора дії одпопараметричної підгрупи, породжепої елементом

а, і при цьому комутатору [а, 6] відповідає дужка Пуассона Ця обставина пояснюється тим, що на універсальному накритті М многовиду М індукована дія \£рупи Є вже допускає відображення моментів. Відома конструкція центрального роопгарення дозволяє роглядати Є як підгрупу групи Лі С, яка визначає пуассопову дію на М. Ііа жаль, цей підхід у випадку, який ми рооглядаємо, мало що дає для якісного розуміння поведінки потоку гамільтонової системи на вихідному многовиді.

' У §3.1 роолянуто гамільтонову систему о гамільтопіаном, інваріантним відпоєно гладкої сишілектичлої вільної дії тора Т*, так що відповідний симплектичний многовид М має структуру голов' ВЬго Т*-роошар'увашія над многовидом N 0 проекцією тг : М N. На відміну від розділу 1 дослідження в основному стосуються випадку к < с1ітМ/2. Припускається, що оаяначеній дії тора відповідає нетривіальний коцикл С'. За відсутності відображення моментів ми оамість симнлєктичної редукції Марсдена-Веішстейна проводимо редукцію пуассонової структури (редукцію Лі - Кар-тана), перетворюючи таким чином баоу роошарування у пуас-сонів многовид (М, {}/«/) • Після цього описуємо симплектичні листки

редукованої нуассонової структури та індуковану симнлектичну структуру па них. Далі рооглядасмо випадок, колп редукована га-мільтонова система має 7)>. - (dimM — к~сііш Кег С')/2 інтегралів в ^ інволюції о нсоалежішми диференціалами на кожному симплектич-цому листку (на практиці для того, щоб задовольнити цю вимогу, доводиться, як правило, вилучати о миоговиду N деякі критичні підмножини міри нуль). Виявляється, якщо у перетині симшіек-тичного листка о спільною поверхнею рівня оаоначених інтегралів дістаємо компактний многовид L С N (у цьому випадку L ~ Тт), то многовид jr-1 (L) С М і є коіоотропним інваріантним тором вихідної гамільтонової системи на М (теорема 3.1.1). З’ясовано, що нере-оонансність симплектичної структури відносно цього тора може бути обумовлена як арифметичними властивостями ніднростору KerC' С t* (норівн. п.1.1.7), так і тими глобальними характеристиками роошаруванпя (М, N,7І:), які викликають ефекти голономії. Пояснимо, що ми маємо на увазі. В околі тора L можна напровадити змінні дії Аі,...,Ат, які, виступаючи в ролі гамільтоніанів, породжують періодичігі о періодом 1 потоки (на L орбіти цих потоків утворюють баоис циклів L ). Однак на М функція Aj — Aj о fr нороджує вже, взагалі кажучи, неперіодичний потік. Періодичності вдається досягти лише, підправивши гамільтонове векторне поле 'SdAj локально гамільтововнм ’’вертикальним” цолем А'11>(І)(х), де а,-: М t-t tfc — відновіднмм чином вибране відображення . Виявилося, що проекція aj на під,простір у t4, ортогональний Кег С', є сталим вектором уа .умова (m^^jmod 1^0 Vm Є Ж* \ {0} — достатня для нереоонансності симплектичної структури відносно тора 7r_l(L) CM.

У §3.2 розроблено процедуру редукції систем механічного типу, на які, окрім потенціального, діє’’магнітне” поле. Припускається, що така система допускас групу явних абелевих симетрій. А .

И

саме, кінетична енергія, потенціальна функція та так ована форма гіроскопічних сил Г, визначена ’’магнітпіш полем”, інваріантні відносно гладкої вільної дії тора Т* на конфігураційному мпого-виді М. системи. Позначимо черга Уа інфіштеоимальний генератор дії па М одіїопараметричної підгрупи тора, яка відповідає елементу а його алгебри Лі їк. Розглянуто недосліджений випадок, коли 1-форма і(К0)Г не є точною. Резюме одержаних нами результатів стосовпо редукції викладене у п.3.2.1, оокрема, вкапано умови уогодженості метрики па К\ та форми гіроскопічних сил, при виконанні яких редукована система роощеплюється у прямим добуток системи механічного типу на фактор-мпоговиді М/1к та лінійної гамільтопової системи на просторі, дуальному до ^ (теорема 3.2.4). .

Якщо редукована система^внаслідок наявності у пеї ’’прихованих” симетрій інтегровна, то вихідна система має інваріантні ко-іоотропні тори. Цікавим виявився, на наш погляд, аналіз умов нереоонансності симплектичної структури в тій її частині, що стосується згаданих вище векторів 7;. Покаоано, що для деякого розкладу Т* = Т4‘ х Т*2 многовид М' = М/Т*‘ має структуру головного Т^-роошарування, для якого існує плоска зв’язність. Виявляється, кожній змінній дії Аі можна природним чином поставити елемент ф? Є Т*3 групи голономій цієї зв’язності, а за 7‘- взяти вектор алгебри Лі тора Т*а,.який при експоненціальному відображенні переходить у ф*. У п.3.2.6 наведено приклад простої системи на тривимірному торі, для якої нерезонансність симплектичної структури забезпечується саме оа рахунок властивостей групи голономій. '. ,

У §3.3 досліджено систему чотирьох зв’язаних твердих тіл о шістьма степенями вільності, у якій при певній воаємодії між тілами більшість рухів є коіоотропними квазінеріодичними з

сімома раціонально незалежними частотами.

У рооділі 4 викладено результати досліджень коіоотропних

. . ... . * ~ГІ-

квашперюдичних рухів в околі відносного положення рівноваги Т -інваріаптиої гаміиьтоішаої системи. Відносним положенням рівноваги (в.п.р.) паипвасться така орбіта руху, яка обігасться о орбітою дії деякої одіюпараметричної підгрупи групи симетрії гамільтонової системи. Як і у попередньому рооділі, припускаємо, що тор діє на (М,w2) гладко, вільпо і симплектичпо. Однак, і це важливо підкреслити, у подальшому ніяких умов іптегрошгості на редуковану систему не накладається.

У випадку, коли існує відображення момептів, в.п.р. опахо-диться, як правило, о використапшім симплектичної редукції та о урахуванням того факту, що воно проектується у положення рівноваги редукованої системи. Ми припускаємо, що о дісю тора пов’яоаний петривіальпий коцикл С на його алгебрі Лі. Отже, в нашому випадку відображення моментів не існує. Для ниинлешш коіоотропних кваоіперіодичшіх рухів спочатку редукуємо досліджувану систему у відповідності о процедурою, описаного у попередньому рооділі, на многовид N =■ М/Т*. Нехай Н : N >-+ IR

— гаміиьтоиіан редукованої системи, ж0 — її положения рівноваги, тобто критичпа точка обмеження функції Н па симплек-тичний листок і{хо), що проходить черео точку xq. У §4.1 показано, що для стійкого у лінійному наближенні положення рівноваги при виконанні певних умов нереоонансності частот ліііе-ариоованої системи існує область V'(x0) С N в околі точки х0 о

' \ • т !• « «і / %

ісхьимгі 0ЛаЛ/1П00^1ММП> і) иирцш t -pOUIJJ€tp,y ванші ttd-Д V } Д*1-

феоморфна прямому добутку області V С Htm+fc’, кп = diinKer С, о координатами (Г, J) = на top Тт+І, причому

після опускання на баоу рооніарування функції./; утворюють повний набір локальних функцій Каиіміра р.п.с.; 2) гамільтоніап в

цих координатах'має вигляд //(/,7) + С?(||/(|,’н), де Й(І^) — поліпом степеня І щодо І\ 3) система о гамільтопіаном II (І, J) інтегровпа оа Ліувіллем в уоагальненому сенсі, причому кожен тор {(/,./)}-X Тт+к є її інваріантним коіоотропним тором. Таким чином, вихідну гамільтонову систему в околі відносного положення рівноваги, який характеризується малістю ||/||, можна розглядати як обурення інтегровної системи о коіоотропними кваоіперіодіи-ними рухами.

У §4.2 цей реоультат уточнюється для системи механічного типу

о гіроскопічними силами. Покаоано, що відшуканім положень рівноваги редукованої системи можна звести до знаходження стаціонарних точок функції, яка відіграє ту ж роль, що й так ована ефективна потенціальна енергія для натуральної системи о пуассоно-вими симетріями. V -

У §4.3 на основі результатів §4.2 та розділу 2 доведено основну теорему розділу 4 (теорема 4.3.1) про існування коізотропних квазіперіодичних рухів в околі відносного положення рівноваги. Застосування цієї теореми проілюстровано у §4-4 на прикладі системи зв'язаних роторів.

У розділі 5 на шляху узагальнення поняття інтегровності виявлено новий тип коізотропних інваріантних многовидів гамільто-нових систем. Показано, що ними можуть бути компактні піль-многовиди, найпростішим о яких є многовид Гейзенберга-Івасави

— нетривіальне розшарування над двовимірним тором о шаром Б1. Відповідна гамільтонова система генерує на такому інваріантному многовиді нільпотентний потік (теорема 5.1.6). Таким чином, ми даємо частково позитивну відповідь на питання В.І.Арнольда, чи можуть подібні рухи зустрічатись у гашльтонових системах.

У §5.1 досліджено 4-вимірні БМиваріантні гамільтонові системи, ізоенергетичнвми поверхнями яких є тривимірні тори і тривимірні

компактні нільмноговиди. (Зауважимо, що регулярна іооенерге-тична поверхня гамільтонової системи є коізотрошпш многови-дом.) Доведено теореми про випрямлення потоків на цих много- ^ видах. Цікавою особливістю досліджуваних систем є їх ’’некла-сичпа” поведінка : незважаючи на те, що системи мають одно-параметричпу групу симетрій, їх траєкторії всюди щільно покривають іооенергетичні поверхні. Причина цього на перший погляд парадоксального явища полягає у неоднозначності додаткового ’’інтеграла” Нетер.

Конструкцію симплектичних многовидів, які допускають вільну дію кола і на яких існують гамільтонові системи о §5.1, описано у §5.2.

У §5.3 досліджено одну систему механічного типу на скрученому кодотичному розшаруванні многовиду Гейоенберга-Івасави ISJilj. Ця система має 2 одпооначних інтеграли, спільна поверхня рівня ЯКИХ Є чотиривимірним НІЛЬМПОГОВИДОМ S1 X Nil J.

У §5.4 з метою вивчення властивостей нільпотентних потоків досліджено питаная про поведінку функції J* / о g’ds, де / : Nilf >-» IR, д‘ — нільпотентний потік. Аналогічне питання у випадку многовиду Т3(;= Nilg) є відомою проблемою про первісну кваоіперіо-дичної функції. • Встановлено умови, при виконанні яких досліджуваний інтеграл оростає не швидше, ніж |і|^2+е, 0<f<l. Розглянуто також випадки, у яких цей інтеграл можна подати у вигляді суперпозиції функції на Nil] і потоку {</*}. '

Нарешті, у §5.5 обговорено проблему обурень нільпотентних га-мільтонових потоків на інваріантних многовидах. Показано, що на відміну від кваоіперіодичного випадку, навіть для формального збереження нільпотентних рухів на обурення необхідно накласти, взагалі кажучи, нескіпченний набір умов у вигляді рівностей нулю послідовності певних функціоналів. .

висновки

• У дисертації вперше досліджено новий тип багато частотних нелінійних коливань у гамільтонових системах — коіоотропггі хвапіперіодичні рухи, та їх мінімальні множини — коізотрошіі інваріантні тори.

• Показано, що ці об’єкти можуть існувати лише на симплех-тичних многовпдах нетривіальної топологічної структури: як перша, так і друга група когомологій де-Рам а повинні бути не. тривіальними, причому симплектична структура повинна ре-

преоентувати нетривіальний клас когомологій.

• Встановлено, що коіоотропні інваріантні тори можуть вини. кати о лагранжевих інваріантних торів інтегровних в сенсі

Ліувілля гамільтонових систем при певному типі деформації симплектичної структури.

• Коіоотропні кваоіперіодичш рухи виявлено в гамільтонових

- системах о локально гамільтоновими непуассоновими абеле-

вими симетріями, оокрема, в системах механічного типу на ' скручених ходотичних роошаруваннях многовидів, які допускають вільну дію тора, при наявності у таких систем, окрім явних симетрій, певного набору однозначних інтегралів в ін-

* ’ ’ волюції, пов’язаних о "прихованими” симетріями.

• Розроблено процедуру редукції гамільтонових систем о комутативними непуассоновими симетріями, досліджено структуру редукованого простору та редукованих систем. На цьому

. - . і . шляху виникає можливість виявлення нових механізмів ште-

гровності.

а Показано, що за певних досить загальних умов коіоотроппі

рухи існують в околі підносних положень рівноваги гамільтоно-вих систем о локально гамільтоновими абелевими симетріями.

• Важливою характеристикою коіоотрошгих інваріантних торів \

• є їх метрична структурна стійкість. В дисертації роороблено аналог КАМ-теорії для коіоотропних жваоіперіодичних рухів як глобально, так і локально гамільтонових систем, а також оборотних систем о багатовимірними інваріантними торами. Вперше роороблено техніку оцінки міри резонансних множин в методі прискореної збіжності у випадку, коли проблема малих онаменнихів пов’яоана о діофантовими наближеннями на підмноговидах евклідового простору.

• На прикладі Б^симетричних гамільтонових систем на компактних чотиривимірних многовидах покаоано, що поряд о ко-іоотрошшми інваріантними торами такі системи можуть мати "скручені” інваріантні тори — пільпотентні многовиди, рухи на яких відбуваються під дією однопараметричних підгруп відповідних нільпотентних груп Лі.

• Застосування теоретичних положень продемонстроване в роботі на прикладах оадачі про рух електрона провідності у слабо неоднорідних електричному та магнітному полях (кваоі-класична модель), оадачі про рух ов’яоаних твердих тіл, які спеціальним чином взаємодіють між собою оа допомогою кутових швидкостей, та на ряді інших модельних прикладів.

Користуючись МіАІОДОЮ, ішгор ьасжшлюв щиру низану иьиему вчителю, члену-кореспонденту НАН України А.М.Самойленху, оа постійну увагу та корисне обговорення реоультатів, а також професору М.О.Перестюку оа підтримку.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Парасюк И.О. Метрические характеристики реоонанса в линейных гамильтонових уравнениях с кваоипєриодическими коэффициентами // Диффєренц. уравнения. - 1979. - 15, М’2- 4.

- С. 759.

2. Парасюк І.О. Збереження кваоіперіодичпих рухів оборотних багаточастотних систем // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1982. -№ 9. - С. 19 — 22.

, 3. Парасюк І.О. Непуассонівські комутативні симетрії і багато-

вимірні інваріантні тори гамільтонових систем // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1984.№* 10. - С. 13 — 16.

4. Парасюк И.О. О сохранении многомерных инвариантных торов гамильтоновых систем // Укр. мат. журп. - 1984. - 36, №•4. -С.’467 —473. '

. 5. Парасюк И.О. Приводимость и устойчивость по мере гамиль-

тоновых систем //IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. - Киев: Наук, ‘думка, 1984. - С. 304 — 307. . '

6. Парасюк И.О. Коиоотропные инвариантные торы локально гамильтоновых систем // Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений. - Киев: Ин-т математики АН . , УССР, 1985. - С. 129 - 133. .

' "7. Парасюк И.О. Многомерные инвариантные торы локально гамильтоновых систем и теория Колмогорова-Арнольда-Мооера // Успехи мат. наук. - 1985. - 40, вып. 5. - С. 217 — 218. . .

8. Парасюк И.О. О сохранении кошотронных инвариантных торов локально гамильтоновых систем // Некоторые вопросы теории асимптотических методов нелинейной механики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. - С. 150 - 154.

9. Парасюк И.О. Деформации симплектнческой структуры и ко-

изотропные инвариантные торы гамильтоновых систем // Мат. физика и нелинейн. механика. - 1989. - №■ 12. - С. 35

— 37. '

10. Парасюк И.О. Теория возмущений коиоотропных инвариантных торов гамильтоновых систем // Всесоюз. конф. ’’Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” (Терноноль, 12-15 сент. 1989 г.). - Тернополь, 1989. - С. 326 - 327.

11. Парасюк И.О. Коиоотропные инвариантные торы гамильтоновых систем квазиклассической теории движения електрона проводимости // Укр. мат. журн. - 1990. - 42, №■ 3. - С. 346

— 351. .

12. Парасюк И.О. Коиоотропные инвариантные торы натуральной системы на трехмерном торе, находящейся в поле гироскопической силы // Асимптотические методы и их приложение в задачах математической физики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. - С. 76 - 80.

13. Парасюк И.О. Кваоипериодические потоки на симплектиче-схих многообразиях, расслоенных хоиоотропными торами // Конференция ’’Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики.” Вторые Боголюбовские чтения (Киев, 14-18 сент. 1992 г.) . - Киев: йн-т математики АН Украины, 1992. - С. 118.

14. Парасюк І.О. К ваоі пері одичні рухи накоізотроцпих інваріантних торах гамільтонових систем // Тези Міжнародної конференції пам’яті академіка М.П.Кравчука (Київ-Луцьк, 22 - 28 вепес. 1992 б."і. - Київ: Ін-т математики АН України. 1992. -С. 153.

15. Парасюк И.О. Переменные типа действие-угол на симплекти-ческих многообразиях, расслоенных коизотропными торами // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 1. - С. 77 — 85.

16. Парасюк И.О. Редукція гамільтонових систем о ненуассоно-

вими комутативними симетріями та коіоотропні інваріантні

• тори // Дон. АН України. - 1993. - №• 3. - С. 19 — 22.

17. Парасюк І.О. Гаиільтонові системи на 4-вимірних компактних симплектичних многовидах, інваріантних відносно вільної дії кола // Теои Першої укр.-америк. шк. "Диференціальні рівняння та їх оастосування” (Крим, Судак, 1-10 черв. 1993 p.).

- Київ: Ін-т математики АН Україїш, 1993. - С. 31.

18. Парасюк І.О. Про іооенергетичш поверхні S1 -інваріантних га-мільтонових систем на 4-вимірних компактних симплектичних многовидах // Доп. АН України. - 1993. - Na 11. - С. 13 —

16.

19. Парасюк І.О. Редукція та коіоотропні інваріантні тори гаміль-тонових систем о непу ассоновими комутативними симетріями.

I // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, №• 5. - С. 537 — 544. ■

20. Парасюк І.О. Редукція та^оіоотропні інваріантні тори гаміль-тонових систем о непу ассоновими комутативними симетріями.

II // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, N2- 7. - С. 904 — 914.

21. Parasyuk І.О. Coisotropic quasiperiodic motions in Hamiltonian

systems // 1-st European nonlinear oscillations conference (Germany, Hamburg-Harburg, August 16-20, 1993). - Hamburg:

. Techn. Univ., 1993. - P. 115.

22. Parasyuk I.O. Coisotropic quasiperiodic motions for a constrained

system of rigid bodies // Joum. Nonlinear Math. Phys, - 1994.

. - 1, Na 2. - P. 189 — 201.

. t • . ■ * '

23. Parasyuk I.O. Coisotropic quasiperiodic motions near relative

equilibrium of Hamiltonian system // Journ. Nonlinear Math.

Phys. - 1994. - 1, Na 4. - P. 340 — 357.

Парасюк И.О. Коиоотропные инвариантные торы гамильтоновых систем. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности-01.01.02 — дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Укра- ' ины. Киев, 1995.

Защищается диссертация, в которой содержатся реоультаты 23 работ по теории кваоипериодических движений гамильтоновых систем. Показало, что гамильтоновы системы на симпиекТи-ческих многообраоиях нетривиальной топологической структуры могут обладать коиоотропиыми инвариантными торами. Раора-ботана теория таких инвариантных торов и кваоипериодичесхих движений на них. В частности, раавита теория воомущений коиоо-тропных инвариантных торов, аналогичная теории Колмогорова -Арнольда - Мозера. Теоретические результаты применены для исследования многочастотных кваоипериодических колебаний в системах механического типа, находящихся в поле гироскопических сил. •

Parasyuk I.O. Coisotropic Invariant Tori of Hamiltonian systems. Manuscript. Thesis for a degree of Doctor of Science in Phisics and Mathematics, the speciality 01.01.02 — differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine. Kiev, 1995.

Thesis containing the results of 23 works on the theory of quasi-periodic motions in Hamiltonian systems is defended. It is shown that the Hamiltonian systems on symplectic manifolds of nontrivial topological structure may possess coisotropic invariant tori. The theory of such invariant tori and quasi-periodic motions on them is elaborated. In par-ticalar, the perturbation theory for coisotropic invariant tori analogous to that of Kolmogorov - Arnold - Moser is developed. The theoretical results are applied to the investigation of multifrequency oscillations in mechanical type systems located in Kvroscopic force field.

Ключові слова: гамільтонова система, симплектичпий много-вид, коіоотропвий інваріантний тор, квазіперіодичний рух, головне роошарування, нільпотентний многовид, теорія КАМ.