Р-категория и функции с вырожденными сингулярными подмногообразиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ5 - ОД

АКАДШІЯ 1ШК УНРАІШ ГНСТИ'ГУЇ МАІШАЇИНИ

На правах рунопиої

' ' . ВОНДАР Ольга Петрівна

в

. р-категорія і функції^ з виродешш оингулярш/и іпдмшчзбвдадо

-СІ1.01.0! т- математичний аналіз

і ' ’' . ' ь -_____

АВТОРЕФЕРАТ . дисертації на здобуття вченого ступеня ' кандидата фізико-матвмятичнга наук

ІСиїв

1993

' ' Ч

Робота виконана у Київському університеті ім. Тараса’ Шевченка,

• Науковий керівник - доктор фізико -математичних наук, профеоор

, ' . * ПАРКО В.В. - '

ч'- „ ' • • , -

ОфЩІйаі о:гонг(нта доктор фівнко-* тематичних нр-гч* професор

‘ • ' •• • )

\ ТАМРАЗСВ П.М., ' • '

кандидат фізико-матвмятичних наук ■ .

; . • школшнов ю.а.

' Нроиїдна’ущаислш Інотиту-т кібернетики їм. В.М.Глуикоза АН . ' України

•: г ’ ' ' - • ... —

й4лист відбудеться " Я " /^Й.-*^£і£--_________19ЭЗ р. О ґо год.

я» насіданні спеціалізовано! ради Л 016.60.О! . при Інституті " - ' * 'і «тематики АК України вв адресою: 2К2ЄОІ, Київ,-. ГСП, вул.

Т'П'чшзниївсьяа, -3.- ' ( ' ' _

її длсвртеціег. можна сиНфамитися у б':іл1отец1^ Інституту. Арторефе^ат розіслано ____П„.^__1993 р.

Учадій овкротар СІ)') /*■-’ ' - ГУСАК Д-"6-

•"«иівлізорпітої ряди- (ІЇШ '

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність озли. Одне а центральних місць в теорії функцій шюговидах займає дослідження взаємозв’язку мі* топологією много-видів та критичними точками функцій, що задані нв них. Найбільш повно цей взаємозв'язок відображено у випадку Функіії з нэвиродкени-ми критичними точками. Так, ща М.Моро показав 163, що число критичних точок різних індексіь диференційовної функції на многовиді пов'язана з гомолсгіями цього многовиду. Теорія Морса була розвинепа у різних напрямках різнили ученими. Так, Р.Том (71 довів існування на топологічному просторі структури клітинного простору, клітина якого відповідать критичним точкам функції на ньому. Це дозволило' робити висновок про ГОМОТОПІЧНКЙ' .тип простору. С.СмеЙЛ 16) Відкрі. і "розкладання нр ручки", по одній ручці на ножну критичну точку, що дозволило отримати результати про диференціально-гомотопічний тип. Р.Ботт пов’язав структуру мпоговиду, на якому задано дифирекціЗовну функцію, ” її нвзироджзними критичними підиноговидами.

В усіх цих дослідженнях вамливу роль відіграє оцінка "мела сингулярностей функції па многовиді, головним чином, нижня .івжа числа особливостей. Так, наприклад, з доведеної О.Смэйлсм теореми пре точність нерівностей Морса випливала гіг-ч^а Пуанкаре у вимірностях, більших за п'ять, з такой теорема про 7і-кобордизч. Лвстерчік і Шпірельман 111, Фролов і Ельсгольц ІЯ1 розвинули творів Морса. Воки ввели нові інваріанти простор/, що юзволило оцінити число у.рзтичтах точок (п нагальному випадку, вирощених) функції >« «ря^гчгнлі. З оптреЯ япаяіях&пяя взаємозв'язку тпгтології няогоряд? ■'*

сингулярними підмноговиламк заданої на ньому функції виникає необхідність оцінки їх числа.

Нп’-а робот. Головна мчта дгсврттШ полягає в розробці 1 застосуванні методів оці -си числа пирошканих сингулярних піданого-видів дифзренційоштх функцій на многовидах.

Кстхішлі Сосл10к- .і.ь грунтується на загал- ;іх методах математичного аналізу, катодах, гомотопічної, дифярвпційльної та вагальної топологїй.

Наукова навита: зведемо поняття Р-катагорП топологічного простору, яка загальнеє поняття категорії Лпстерніка-Шнірельмяяа;

- обчислено Р-категорія деяких кноговидів;

- внпдено поняття р-довжини многовиду, яка узагальнює поняття (ко)гомологічної доїдати;

-- обчислено р-довжину Д9ЯКМС многовидіи;

- отргіапо оцінку Р~категср1І многовиду у термінах його

р-довжини; .

- введено поняття Р-Функціі, що узагальнює поняття функції а

їпо.чг-овангми критичними точками; г .

- двно критерій Існування Р-функцій на многовиді;

- отримано оцінку числа сингулярних нідмьогонидів Р-функцій в термінах Р-категорІї;

- ввадано поняття точної Р-функцІї;

доведено Існування точних г--функцій на деяких многовидах;

- побудовано Р-функц11 на деяких многовидах.

Щптимча І тгореяшчш цінність. Одержані результати можуть '■'утк використані в теорії динамічних систем, а такок у сумікішх гвлувітх теорії функцій та топології.

з

Апробація роботи. ■ Результати роботи доповідалась на наукоь-. дослідницьких семінарах відділу топологічних методів аналізу Інституту математики АН Украіг.я, иа наукових семінарах Київського унівврстититу їм. Тараса Шевченка. “

Публікації. Основні результати .дисертації опубліковані в

роботах С1 - 3).

Структура ті обсяг ОиоерноціІ. Дисертація складається ах

вступу, трьох глав, коша а яких має вступ та три параграфі і містить сторінок машиноїшілюго тексту. Описок літератури

налічує 40 найменувань.

аяот роботи

У дотупі обгрунтовано актуальаіоть теми дисертації, дано огля;, найбільш близьких до цієї теш результатів, коротко викладено аиіст дисертаці', перераховано основні результати, що виносяться на аа хист, введено деякі означення 1 позначення. '

У перлій плав І "Р-категорія топологічного простору" дана означення Р-категг'тпї топологічного простору, введено поняття

р-довжини многониду, в термінах якого отримано ш іку р-катсгорН многовиду, наводяться приклади обчислення р-довжини та Р-хятегорН мяоговидів.

У §1.1 дано означення Р-категорі? тополл’ічяого простору, розглянуто основні Н властивості, а таков зв'язок р-кр,гг',,пр{ї кзтргорієп Лгютврріка-Шяіральмана тоггологІчяого простору.

Означення (1.1). Нехай А, В, Р - замкнені підмногини гіпологічного хаусдорФового простору, причому Рс'в та А с в. р--категорією FcatBA гагажияи А відносно множини В навивається

мінімальне число к аигчвпих підмчожнн А,,...,А. в В, то мають

' J* •

яччитишсті:

1. А є їх об’єднанням

А ^у,А,.

2. Козшв з иідмножин А( стягується то мнокині В на Р. Це 'шначвє. що для ковното 1=1,...,їг ісиуг. гомоголія ,

Ft: Aj»I -- в така, що

а) Ft(x,0) - х, лг?А{;

б) f((x,t) f В, хсА{. 0<t<1;

в) F (x,f) = Р( с Е, до Ft П'меоморфно Р.

Зокрема, якщо Р ~ точка, то поняття р-категорії топологічного

простору sf'traeTbon з поняттям категорії Люстирніка-Шнірельмана. Оеред розглядувзнЕХ властивостей Р-квтегорії слід відзначити штилів їсть IT оцінки знизу за допомогою введеного О.В.Фроловим та Д.Е,Ельсгольідем поняття довжини многовиду. '

Наслідок в властивості 4. Якщо Р є замкненим підмноговядом ««.or о виду М, то

• long М_+ 1 PcatM і longTT-! *

до Jong М та long Р позначають довжини многоридів Н та Р відповідно. Иоїгромя, гасдр Р -- точка, то вігома оцінна категорії Люстерніка-РМрольмста многовиду М

cat М ? long м + і пчтьоя з отриманою оцінкою.

У SI.13 дано означення (ко)гомологічної р давжиші аоо р-доьжшні шюговиду, в термінах якої отримано оцішсу на Р-натагорію шюговиду, вказано на ав‘нзок поняття р-доеї'иди многовиду а поняттям довжини, наведено приклади обчислення р-довхшш мнсговидів.

Означення (1.3) Нехай я - вимірність шюговиду U іа р - невід1 ємне ціле числа. На хай Н*(М;А) - кільце когомологій .лногоницу U, дь А =2 або к, якщо М е орієнтовним, та А*&г, якщо U не є орієнтовним. Будемо розглядати всі такі числа д, що в кіяьці ) існують

елемента af,...,a в наступними властивостями:

1) dim at > 0, t=*1......q;

2) добуток а,...а (множення в кільці Н*(М;А) відмінний від

нуля;

3) dim 'af...a ) < т - р. .

(Ко)гомолаі і‘Сн; і р-довжиною шюгоаиду М називається максимальне л твкш. чисел q.

Якщо р=0, то третя умова виявляється зайвою, а означений р-довжшіи ібігається в означенням довжини, введеним О.В.Фроловіаі та Е.Ельгольцем [ 1. Ва допомого*) р-доЕкшт мокна оцінити Р-кяте срів многовиду.

Теорема (1.5) Якщо многсвид М - без краю, то його Р-категорія не менше збільшеноі на одиницю р~добвини многовид’

PcatM S> long*М + 1.

Якщо многовид У - а краєм, то його р-катвгорія ио менше р-довжини нноговвду:

PcatM > long^U.

Обчиодано р-до вживу двовимірних мяогонидін та деяких иноїттклів

більшої вимірності. Відзначимо один в цікавих наслідків.

Твердження (1.9). Р-довшша n-вимірного тора на р одиниць менша по його вимірність:

р

long Тп « п -- р.

У {І.З оОчислйно Р-категорІю двовимірних многонаців та наведено приклада обчислення Р-к-тегорІЇ деяких многовидів б*^ьшої вимірності. Серед иаяливих результатів відзначимо наступні твердаеиня.

Твердження (1.11). Кругла категорія двовимірного компактного зв'язного многовиду дорівнює:

1) одиняг1, якщо многовид гомеоморфшй Я1 «І або отрічці мебіусп:

2) двом - на Інших многовидах з краєм; ;

3) двом, якщо многовид гомвоморфшй афері Sz, проективній площині Ш'г, тору Тг або пляшці Клвйиа;

4) трьом - на іншех многовидах без краю. '

Наслідок (1,1В;. Нехай Р - й-вимірігий тор. Тоді Р-категорІя п пимірного тора дорівнює

ThcstTn - п - ft + 1, із?*.

Вокрймз, кругла категорія n-виміргаго тора дорівнює п. -

У вругЛй ejnSt "Оцінка числа критичних підмноговидів функції ии \ШГ.Т0В15ДІ" дано означення Р-ФУНКЦІЙ Н8 МНОІ’ОЕї'ДІ, розглянуто умову їх. Існування, дано оцінку числа критичних підмноговидів функції на многовид, 1 у термінах F-категорії многовиду, дано означення точних г ФуткцШ та доведено їх Існування на деяких многонидах.

У {?■, І дано означення Р-фупкцій та розглянуто достатню умову їх 'ггуїчаїгая ;а гладких компактних многоеидйх.

Означення (2.1). Яифереяційогаа функція не даоговвді, множкна «■ритугппгх точок якої є незв'язним об'єднанням гладких підмноговидів

без краю, називається Р-Фупкцїяи, цщо кожен II крнппшй?

підздоговид гомеоморфпгП деякому гладкому миоговвду Р боа краю.

Зауважимо, ягао F - точка, то P-fr/mv+n - па функція я

Ізольованими критичними точками, в загальному випадку, вяроджегткй.

0 '

Теорема (2.6). Нехай V™ - гладаий компактний ипоговлд а ігспег-' або без краю та неіай

м, сМг с "• =»к- Інфільтрація ЬГ компактними кногончдамя а краєм тактам, iqo (a) Mt є многоеидом в краєм, 1=1,...,к-1;

(0) М, с bit М1+|, 1-1.......К-1; ,

■ (п) ОіГ с (М^..,); .

(г) для кожного 1, l«l,...,k, многовад (W( jhi. М ; аиі_1,ЄМі) пршіусквс покриття тпьомо звмкпчнтаяі мло*- лаиа такими, rat у твердженні (2.4). Тоді ;т ?/" існує P-функція е числом при1;..інше підатогоьидів, рівним К.

У {2.Я сформульовано і де -дано основну теорему про юшіч мову числа критичних ггідмноговмів P-функції на ьшоговвді.

Тоорема (2.12). Нехай М - гладкий компактний зв'язний кног шд з краєм або баз крап, / - P-функція на ньому, ко.ро у ~тату мпоговиду в краєм приймає постіпвч максимальна значення на крав та не має на крап критичних точок. Тоді число критичних ііїдмпсгавпдіп функції / більгаа або дорівнює Р-катогорІІ гаоговиду U. .

У !?.?• дало означання точне І Р-функціІ па многовиді та круглої F-ФункцІІ, наведено приклади побудови точних Р-функцІй.

Означення (2.13). Р-Функція називається то' оп'па шогозиді, якщо число II крйі;~пп тт+пуіг'ггітїялтв е мінімум критичних .

ПІДЧНОТ'ОВИДІВ, взятий по усіх Р-ФУНКЦІЯХ па МпРГОВИДІ.

в

ианьчбння (2.14). Р-фушаЦя називається круглою, якщо It пі.ш-ЛіЛ'ОЕЛдіі гомаошрфці о;«рі З1.

Таорока (2.16). Наїай циклів tk. ) е підаиокинок)

I kr

шхшвп Ocia...,k ) додатних цілаи. чисел* Нехай мшгавид

” v *<

р « s «...>• а г

t доОутком К -вимінах сф)р> >r'- Т°А Hu многовиді

J ■ ki *r М =• S 1 ь... * S г*

існує точна Р-функція в числом ос. їлиьоотай, що дорішюе п - г і 1.

й цікавих аолідків слід відзначити існування на гі-вимірному

торі 'гочіюі круглої функції в п осооливосїямя, в тшсох існування на

нзнараовтаірній сфері Б2'1'1 точної Р-функції, да P=S“.

У - petnia главі "P-<f нкції на многовидахЛ побудовано Р-функціі

на двовимірних многовидах (які, до речі, є точними), наведена

дрішіади Р-функцій на тривимірних многовидах та на многовидах

ОільшоІ вимірності.

У ІЗ.І розглянуто Р-функції на двовимірних многовидах.

Теорема (3.2). На многовиді, і'омаоморфному сфері S2,

кроактишій ющині ЯРа або диску D2, на існує круглих функцій. На

ішил двовимірних гладасих компактних ав’язюн. многовидах. існуить

круглі функції.

Тзорама (3.3}. На будь-якому двовимірному гладкому компактному ав'и;,,іаму многовиді, на гомвоморфаому сфері 3а, провк.даній плоідиаі RP2 або диску D2, існує точна кругла функція з числом особливостей, що дорівнює:

1) двом, якщо многонид .омасморфкий тору Т2 або шшдці Кдайіш; Я) трьом - на інаш. многовидах сЗьз і-’.чіі;

3) одиниці, якщо многому! гсмяоморізптп кіт-іш 3«І або стрГш1

Мї- іусв; ' •

4) двом - їтп Інших многовидах з крвгч.

У і?3.й розглянуто Р-фшішІЇ нп іртаиміргаїї многочидах.

' Теорома (3.4). На будь-якому тривимірному гладкому кгкггакгмстгу ап1 язноку мн'птжидї б<?з крчр Існує кругли функція. На мяогоенді, гомеоморфізму сфзрі Я3, прлекгирній площині И?3-, млоговаду 3'>3Я вбо лінзовому простору. Існує тсчпч кругла фупкція я двом» їфитичяими колгмл. На. інзих трігглміртгх глйдкїіх комппкгних нн’язітвгї мпопгаидюс І сну с кругла фуккиїп я 'шолом особливостей, и? більшим чотирьох. ,

Донвл'зиня теореми грунтується на попередніх результатам роботи, його можливо отримати тчкок з праць БІ.ятонв, Фр.: ;са, Сронксв '3,4,В] У рапглядагтьсп Р-Функції на п-вимірних многовидах.

Тосромн (3.5). їй п-тімІріЧй' гаїврі З" нз і сну в Р-функцІй, да Р - (п-1)- пиміріго оіора 8П_1. _

Теорема (3.6). КэхаЯ Зк - й-вимірчя «Іюра та п ї ?Ж + 1. Тоді но п-вимірн!й офарі 3” Існує Р-фупкцІя, число особливостей якої т (ірревйтдур [п/21 + 1.

ЦИТ0ВАНД Л1ТЕШУРА

. Лйсхарша* Л.к., Шшралшвн Л.Г. Тошлоглчаокиа метода в вариаци-ousox задачах.-М,,1930.

2. Фролов О.В., Эльогольц Л.Э. Ниянял граница числа критичвснш внвчэний функции, заданной на иаогсооразта//Труда Вюрого Всеа, мат. съезда.-0.126-127.

3. Frame G. Temf atea and train track£//Trans. Amer.Math. Sob.-1988. -ЗОВ, H2.-P.765-784.

4. F uika J, L..tology and dynamical syatema.VHeglonal conference aeries In iTiatn.-l980.-/,4.-F.3-120.

6. Morse Ы. The calculus of variations in tlrn large.- New York, 1934.-352p.

6. Sraale 3. The generalized Poincare conjecture In hlgfier iilmsneions//Biin. Amer. Math. Sob.-1960.-66.~P.373-375.

I t

rt\ Thom R. Sur una partition en cellules aaaoclee a urie fonotlon sur utie varle10//O.R.Aoad. Sol. Paris ££8, Ser.A.-1S49.--P.373-975.

8, Wilson F. On the minimal eeta of non-flingulsr sector fields//Ann. nf Kath.-li66.-8*.-P.529-536. .

ОСНОВНІ ІШОЯЕНШ ДИСЕРТАЦІЇ опубліковано Б НАСТУПНИХ РОБОТАХ

1. Бондарь О.П. О число критических подмногообразие функции многсюОразии//Укр. мат. кури.-1993.-45,#12.

3. Бондарь О.П. Оценка та ала критических подмногообразий функции па многообразии.-Киэв, 1993.-24с.-(Препр./ АН Украины, Ин-т математики; Л93.2Э).

3. Bondar О.Р. The minimal number of critical points of a smooth

function on a manyfol(]//TQ3. IX мевдупвр. конф. но топология w 69 прил., Киев, 1992.-0.58. ,

4. Бондар О.П. Про кількість особливостей пчперервноІ функції не гладкому компактної/” ав'язночу замкненому многовиді // Респ.

«науч.-метод, конф., посвященная гоо-лэтия со дня ронления Н.И.Лобачевского.-Одесса, 1992.-0.42.

із. Бондарь О.П. Нижняя гранив числа критических подмногообразия фунщш па многообразии//Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем"(24-28 мад 1993г.,г.Киев).-Киев, 1993.-0.2і_.

Піди, до друку 06.10.93. Формат 60*84Лв. Папір друк. Офо.друк. Ум. друк. ерк. 0,7. Ум. фарбо-відб. 0,7. Ойл.кид.врк. 0,6. Тира* 100 пр. Звм. Вазкоштошо.

Віддруковано а Іаоткіуіі математики АН Укради 252601 Київ 4,'ШІ, ПУД. ТврвПЇЙЛЧІЕСІГЧ.З,