Дифференциальные уравнения и функции Морса на многовидах и парах многовидов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛіізСіцхИл - :І1

ІМ. І'І9ВУЗНК2

на правах рукопису ПРМШК ОЛЕКСАНДР ОЛЕГОВИЧ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 1А ФУНКЦІЇ МОРоА К\ МНОГОВИДАХ І ПАРАХ многовішв

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

0.1

Київ - 1993

Роботу виконано на кафеддрі геометрії механіко-математичного бекультету Київського університету ім. Тараса Шевченка

Науковий керівник - доктор фізико - математичних наук,

професор В. В. Шарко

Офіційні опоненти

доктор фізико - математичних наук, професор Г. І. Пелюх кандидат фізико-математичних наук, доцент І.0.Парасюк

Провідна установа

Інститут сучасних проблем математики та механіки ім. Я.С. Підстригача . АН України

Захист відбудеться "______"_____________ 1993 року о _____ год.

на засіданні спеціалізованної ради К 068.18.11 уКиївському університеті ім. Тараса Еевченко за адресою 252127, м.Київ, просп. Академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертаціао можна ознайомитися у бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка Свул. Володимирська, 58)

Автореферат розіслано "______" ______________ 1993 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

В. Н. Сущанский

- 1 -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертаційній роботі розглядаються функці¥ Морса та диференціальні рпняння С векторні поля ) на многози^ах з ізольованими особливими точками. В 1885 р. Пуанкаре довів, що сума індексів особлиі.іх точок такого векторного поля на двовимірно;.;,.' многовиді дорівнює зйлеровій характеристиці цього многовиду. п-мірний варіант цієї теореми С теорема Пуанкаре-Хопфа) був повністю доведений Хопфом у 1926 р., слідом за частковими результатами Брауера та Адгмара. Теорема вірна і для многозидів з краєм, якщо векторне поле в кожній точці краю напразлено зовні. Було також встановлено існування векторного поля без особливих точок, якщо ейлерова характеристика многовиду дорівнює 0.

З 1925 р. Морсом почалися інтгчсивні роботи в області вив“яння м-.оговидів за допомогою критичних точок та ліній рівня функцій, иув встановлений зь’язок міх критичными точками влас..ої гладкої функції на гладкому многовиді і Ього гомолог і яі.л.

Введений Смей.:ом розклад ьа ручки, по одній ручці на кожну кргтичу точку функції /, дозволив.йому в 1060 р. довести існування на гладкому огчозв'язному многовиді М" вимірності п і 6 точної функції Морса. Як наслідок, були одержані: узагальнена гіпотеза

Пуанкаре та теорема про Ь - к^боодізм.

Відсутсність прийому Уітні в вимірностях менших 5 об>.ювлює труднощі пов’язані зі спробами побудови точного розкладу на ручки многовиду вимірності не більше 5. Проте Фрідман, використовуючи конструкцію Кассона, виконав приГ.ом Уітні для чотиривимірних топологічних многовидів та довів теорему про Ь-кобопдісм у вимірності 5 та гіпотезу Пуанкаре в вимірності 4 . _ '

В. В.Шарко показав що, якщо п і 6, то на однозв'язному многовиді і? з неоднозв’язними краями існує єдиний мінімальний розклад на ручки. • *

Таким чином, становить інтерес 1) побудова диференціальних рівнянь, які мають задані набори індексів, шз задовольняють умовам теореми Пуанкаре - Хогіфа, тобто доведення теореми, обернеі-ії до теореми Пуанкаре - Хопфа, 2) побудова точної функції Морса на ' парі многовидів , 3) побудова мінімального топологічного розкладу на ручки п’ятивимірного однозв'язного многовиду з неоднозв'язними краями.

Мета роботи. Головна мета дисертації полчгає в розробці методів

побудови векторних полів з заданими наборами індексів ізольованих особливих точок і мінімальних функцій Морса ка п’ятивимірних многовидах і парах многовидів.

Методика досліджень грунтується на загальних методах топологічної теорії диференціальних рівнянь, гомотопічної топології і

теорії Корса. Крім того, використовуються методи роботи з простими і вкладеними ручками. .

Наукова новизна. В роботі побудовані векторні поля, які мають задані набори індексів, які задовольняють умовам теореми Пуанкаре -Хопфа, на 13 замкнених многовидах, 2) парах многовидів, 3) многовидах з краєм, а також у випадку градієнтних векторних полів.

Побудована точна функція Морса на парі многовидів С Л", /^ )

при к > 6, п - к > 3. я СМ" ) = = 0

Побудовано мінімальний топологічний розклад на ручки

п’ятивимірного однозв'язного многовиду з неоднозв'язними краями.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися автором на семінарах з геометрії при Київському університеті ім. Тараса

Шевченка Скерівник проф. В.В. Кириченко), на семінарах з топології

при інстк.угі математики АН України Скерівник проф. В.В.Шарко), на IX міжнародній топологічній конференції (Київ, 1992), на конференції " Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і задач математичної фізики - Другі Боголюбовські читання " С Київ, 1993 ).

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в роботах автора [ 1 - 3 ].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох глав, розбитих на 18 параграфів і списка літератури, який налічує 52 найменування. Об’а/ роботи - 86 сторінок машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, дано огляд найбільш близьких до цієї теми результатів, коротко викладено зміст Дисертації, а також перераховані основні результати; які виносяться на захист.

Перша глава - довідкова. Р ній наводяться означення понять, по використовуються, а також необхідні факти з літератури, які зформульовані без доведення. Окремо підкреслюється рівносильність задания диференціального рівняння та векторного г ля на гладкому

- з -

много-.иді, а також взаємно однозначна відповідність для даного многовиду (кобордізму) функцій Морса та розкладів на ручки.

У другій главі розглядаються звичайні диференціальні рів;.дккя С векторні поля ) з ізольованим! особливими точками. В п. 2.1, дл? замкнених иноговидів, довед на основна для цієї глави

ТЕОРЕМА 2.1. Нехай Мп - гладкий зв’язний мкоговид Сп^З!’, в4......сс^ Ск21) - набір цілих чисел такий, що • -

\ а, = XСЯ") '

і =1

де ^СМ")~ ейлерова характеристика многовиду Л". Тоді на многовиді Л" існує векторне поле і?, особливі точки якого ізольовані та мають індекси а.......с^.

Длі доведення введено дві операції з векторними голями: 1)

введення пар особливих точок та 2) додавання особливих точок, які в подальшому використовуються при доведенні ІНШИХ теорем В ЦІЙ ГЛ-іВІ.

В п. 2.2 вводиться поняття індукованого векторного доля на ііідмноговидах.

ОЗНАЧЕННЯ 2.2. Нех?й М" - гладкий многовид, І? -його підмноговид, р - ріманова метрика, а у - векторне поле -на многовиді Я*1., Казатимемо, що векторне поле й на і.ідмноговиді індуковане векторним полем ^ в рімановій метриці р, якщо для довільної точки х € № чектор йСх) є Т є ортогональною в

метриці р проекціє» вектора ^Сх) є ТхМ" на пппростір Т^. л

ТЕОРЕМА 2.3. Нехай ^ - підмноговид гладкого многовиду й", р - метрика на многовиді Л" і «|Г...,а С р > 1 З

0 С э 2 1 ) - набори цілих чисел такі, що .

1:1 1:і де Л°} і N*3. - еЯлерові характеристики многовидів Т' і відпозіднно. Тоді, я-що п - к > 2, то яа многовиді Л" існує

векторне поле ? з особливими точками які мають індекси и...................ар

таке, що векторне поле З на підмноговиді Л^. яке індуковане

векторним полем $ в.метриці р, мг.є особливі точки з індексами

Р.......^ * •

ТЕОРЕМА 2.4 . Нехай /г - підмноговид гладкого ккогогяду

Л", п - Іс > 1, а..........ар і ^........../35 - набори цілих чисел такі,

до "

p s . 1а = ХС«"). I ßr *(N>C)' 1Ss-P-

І =1 І =1

Тоді на многовиді /f1 існує векторне поле v ü особливими точками, які мають індекси а , яке дотикається підмноговиду N* і таке,

що векторне поле, індуковане векторним полем ^ на підмноговиді N*, має особливі точки з індексами ßlt...,ßs- ■ ■

В п.2.3 розглядаються диференціальні рівняння на многовидах з краєм.

ТВЕРДЖЕННЯ 7. Нехай N - гладкий многовид з краєм N, Х(Ю = 0. На многовид і Н існує векторне поле, дотичне до многовиду N, всі особливі точки якого внутрішні і мають індекси а......öj,, тоді та тільки тоді, коли

Іс

І а, = *сю.

4=‘

де *СЮ " ейлерова характеристика многовиду Н з краєм N.

ТЕОРЕМА 2.8. Нехай tf' - гладкий многовид з краєм N.

а......а. , ß ,,ßk, ßkti............ß ~ набори цілих чисел. Тоді та

тільки тоді існує векторне поле $ з внутрішніми особливими точками

з індексами а .......as та з індукованим векторним полем Й на

многогиді N таке, що в особливих точках поля 3 з індексами

ßi.....ß поле $ направлено всередину многовиду ff, а в

особливих точках шля й з індексами 0fc+t............./Зр - зовні многовиду

W", коли

_____________________________і ß, = __________________________________________

і =і s k

ic(if') = 1 Oj - 2 Рі - ПРИ парному n, і =і і =i s P

= - £ a4 + £ (3t , при непарному n.

1=1 і =k +i :

В п.2.4 вивчаються векторні поля градієнтів. В термінах графів векторних полів доводиться критерій того, що дане векторне поле є полем градієнта. •

ОЗНАЧЕННЯ 2.9. Нехай v - векторне поле на многовиді М", яке має тільки ізольовані особливі точки. Графом G(^)

векторного поля ^ називається орієнтований граф, вершини якого знаходяться у взаємно однозначній відповідності з особливіш точками х4 векторного поля та дві вершини з’єднані дугою, якщо існує інтегральга траєкторія, яка починається закінчується у

відповідних особливих точка.с векторного поля. '

ОЗНАЧЕННЯ 2.10. Контуром в графі Є називається така лосл’довність Ь = С с , у , а , у.........а , у , а >, його

- о 'і і 4 г ' п-і * п п

чергуючихся вершин а4 та дуг у1 Така, що а - початок, а а -

кінець дуги у1 С і=Г,п) та ао=ар.

ТЕОРЕМА 2.11. Нехай $ - глад: э векторне поле на гладкому многовиді АР, яке задовольняє наступним вимогам:

1) всі особливі точки ізольовані, та для кожної особливої точки х1 існує окіл Ц та гладка функції. / . яка означена в околі Ц , така що ? є поле градієнта функції /. в деякій метриці рі в околі и ;

2) граф д(Ь векторного п^ля ^ не містись контурів.

Тоді існує ріманова метрика р на \сноговвді Я" ^ функція /:Л" 0? така, що дгасК/) =

ОЗНАЧЕННЯ 2.12. Гладка функція /: М"-* К* на-

зивається мінімальною, якщооудь-якої іншої гладкої функиії д: М" —♦ К* число всіх критичних точок не менше ніж у функції /’. Позначимо це число через

ОЗНАЧЕННЯ 2.13. Набір ЦІЛИХ чисел 'називається припустимим для мйоговид/ Й", якщо а = 1, = С-13" та

’* ОЗНАЧЕННЯ 2.14. Набір цілих чисел а.

називається реалізованим гладкою функціє» /, якщо поле гряцієята функції / в деякій метриці р мае к ізольованих особливих

точок і їх індекси рівні с» .. .с^.

ТЕОРЕМА 2.15. Нехай М" - гладкий многовид, п > 4. Тоді для допустимого набору аі,.:.,ак існує гладка функція /, яка його реалізує тоді та тільки тоді, коли к £ яСНг‘).

Градієнтні поля -на двовимірнил многовидах розглядаються в п. 2.5. Теорема 2.16 показує, що вимірність 2 накладає обмеження на індекс особливої точки такого поля.

ТЕОРЕМА 2.16. Нехай уо - особлива точка векторного поля $ градієнта функції і на двовимірному многовиді И2. Тоді її індекс не більший одиниці.

- 6 -

Доведення теореми спирасться на лему 2.18.

Будемо казати, що функція a(t3, зростаючи С спадаючи З, проходить в точці t через рівень с»о, якщо aCio) = с*о та існує окіл V - it - е , t + £ ) точки t С £ > 0, е > 0 ) такий, що

0 10 2 О I 2

функція а монотонно неспадає С незростає З на інтервалі V і ail - є ' < a < aC t + е З ( a( i - є 3 > a > a( і + £ ) 3.

01 о 02 О 1 О 0.2 •

ЛЕМА 2.18. Якщо траєкторія j'Cs) векторного поля $

проходить через точку на колі S таку, що в точці to функція

0>

a(t3, зростаючи, проходит через рівень лп С п є 2 3, то локально в околі точки х, ця траєкторія лежить в крузі Вг.

О

В главі 3 розглядаються функції Морса на парі многовидів. В п 3.1 вводиться’поняття функції Корса на парі многовидів та показано існування таких функцій на кожній п*рі многовидів. Наслідуючи роботи

Рурка і Кіртона та Лікоріша, дається означення вкладення з

критичними рівпями, яке може розглядатися як PL-аналог функцій Морса на парі многовидів,

ОЗНАЧЕННЯ 3.1. Нехай Л* - підмноговид гладкого многовиду АГ. Функція /: /Г —» 0? називається функціє» Морса на парі многовидів С АГ, Л* ), якщо / - функція Морса на многовиді АГ і обмеження функції / на підмноговид W* є функція Морса на А/*.

ЛЕМА 3.2. Нехай N* - підмноговид гладкого многовиду АГ1.

Якщо / - функція Морса на многовиді АГ, то існує достатньо близька

до функції /. функція Морса / з тим же числом критичних точок

кожного індексу X на многовиді АГ1, обмеження якої на підмноговид

N* є функціє» Морса.

ОЗНАЧЕННЯ 3.4. Нехай задано розклад многовиду АГ на

ручки з комірами. Будемо казати, що йкоговид N* вкладено з

критичними рівнями в многовид АГ, якщо многовид А/1' вкладено в і

об’єднання комірів U дМіх [ ti, t ] многовиду АГ і на кожному

комірі відповідне вкладення частини многовиду Л* в цей комір є вкладення з критичними рівнями.

В п 3.2 вводяться поняття правильної функції Морса на парі многовидів і правильного вкладення з критичними рівнями. Показано, що такі функції і вкладення, можуть бути отримані з довільної функції Морса на парі многовидів або вкладення з критичними рівнями за допомогою процесів перегрупування внутрішніх ручок, а також

перегрупування внутрішніх ручок разом з ручками на многовиді.

ЛЕМА 3.5 (перегрупування ручок). Якщо індекс вкладеної ручки Ь менший ніж індекс ручки та між рівнями та ручок Н4' і ^ нема інших критичних рівнів ні на многовиді М", ні на многоеиді , то вкладена ручка за допомогою ізотопії

многовиду № в многовиді М" може сіути спущена нижче ручки Н1.

ЛЕМА 3.6 С перегрупування внутрішніх ручок ). Нехай Н і

Н' - послідовно пряклееті ручки на многовиді М, у та у' -відповідні критичні значення, Ь1 та М - вкладені ручки на підмноговиді Н, у1 та у1 - їх критичні значення такі, що у < у1 < < у',

та між ручками Ь1 та Ь3 нема інших ручок. Тоді, якщо індекс ручки 1т3 не більше індексу і ручки Ь1 та п - к > 2, то за допомогою ізотопії ручка Ь3 може бути спущена нижче ручки Ь1.

ОЗНАЧЕННЯ 3.7, Ркладення з критичними рівнями многовиду N в многовид М с В?1*1 називається правильним, якщо для будь-яких двох вкладених ручок Ь1 та М з того, що індекс і <

З, випливає, то рівень у1 ручки Ь1 нижче рівня у1 ручки Ь3 (

у1 < у3 ), та всі вкладені ручки індексу і лежать в комірі -між ручками індексів і та £+1 на многовиді Н. При цьому многовид М припускається правильно вкладеним з критичними рівнями в євклідів простір К"1*1,

ТВЕРДЖЕННЯ 3.8. Нехай А/* - підмноговид многовиду

й", к < п. Тоді існує вкладення з критичними рівнями многовиду М" в євклідів простір Кт+1 і правильне вкладання з критичними рівнями підмноговиду №* в многовид Г, ізотопне даному вкладенню.

ОЗНАЧЕННЯ 3.9. Функція /: М" ■* 0? називається

правильною функція) Морса на парі многовидів ( М", № ), якщо / є функціоз Морса на парі многовидів С Мп, № ), правилі-ча як

функція Морса на кожному із многовидів М" і та для кожного і

критичні точки індексу І на многовиді М* лежать міх критичний точками індексів і та і+1 на многовиді Л".

ТВЕРДЖЕННЯ 3.10. Нехай № підмноговид мк говиду

М" ковммірності п - 1с > 1. Тоді існує ізотонія підмноговиду Ф до підмноговиду Н' така, що на парі многовидів С К°, IV ) існує правильна функція Морса.

В п 3.3 описуються процеси додавання та скорочення внутрішніх ручок. Додавання внутрішніх ручок може бути здійснено без будь -

яких вимірносних обмежень. При скороченні алгебраїчно доповняльних ручок до звичайних обмежень на індекс ручки і вимірність чноговму додається обмеження на ковимірність, яка повинна бути не. менша 3. Окремо розглядається скорочення вкладених 0- та 1-ручок, а також заміна 1-ручок на 3-ручки. В обох випадках ковимірність також повинна бути не менша 3.

ЛЕМА 3.11 С Додавання ручок). "Ковзання" однієї вкладеної ручки індексу і по іншій вкладеній ручці індексу і може бути здійснено за допомогою ізотопії.

ЛЕМА 3.13 С Скорочення ручок ). Нехай в розкладі підмноговиду на ручки при вкладенні з критичними рівнями ручки та Ь1+1 є геометрично доповняльними, або, при умові 1с - і > 4 або і > 2 і 1с > 6, алгебраїчно доповняльними, то існує таке вкладення з критичними рівнями підмноговиду ІІК в многовид Л", у

якого число ручок індексів і та і -і- 1 на 1 менше, а інших індексів тайе ж, як у початкового розкладу на ручки.

З'А У В А Ж Е Н Н Я 3.14. При п - к £ 3 вимогу того, що

проекції вутрішностей середніх та косередніх дисків не перетинаються,' можна в умові леми 3.13 опустити.

ТВЕРДЖЕНН Я 3.15 С Скорочення вкладених ручок індексів 0 та 1 ). Нехай АГ - однозв’язний многовид вимірності п і 5, який має мінімальний розклад на ручки з комірами, тобто в цьому розкладі на ручки маємо по одній ручці індексів 0 та п, відсутні ручки індексів 1 та п - 1, а число ручок індексу к дорівнює

■ .___________________кк= ис^сг.а) + истогз САГ.г)). ■______________

де рС Н ) - мінімальне число твірних групи Н, 2 < к < п - 2.

Тоді, якщо - зв’язний підмноговид ковимірності п - к > З,

вкладений з критичними рівнями в многовид М", то всі, крім однієї, вкладені ручки індексу 0 можуть бути скорочені з вкладеними ручками індексу 1. • •

ЗАУВАЖЕННЯ 3.16. Твердження'3.15 і :рне при п - к = 2

тоді та тільки тоді, коли АГ \М* )’= 2 .

ТВЕРДЖЕННЯ 3.17. Нехай Л* - замкнений однозв’язний многовид, правильно вкладений . з критичними рівнями в замкнений однозв’язний многовид М" тільки з одкіао вутрішньою 0-ручкой, к > 6, п - к > 3 . Тоді кожна вкладена ручка індексу 1 може бути замінена вкладеною ручкою індексу 3. ”

В п 3.4 , спираючись на результати пп. 3.1-3.3, доведена

основна для цієї глави .

ТЕОРЕМА 3.19. Нехай однозв’язний многовид Мк вкладено з критичними рівнями в однозв’язний многовид /Г, і вимірність многовиду - k>6, а ковимірність - n-k>3. Тоді існує ізотопне вкладеня з критичними рівнями многовиду № в многовид АГ, яке буде мінімальним. При цьому число ручок індексу і на многовиді АГ fflt= /иС + ¡иС Tors //^САП),

а на многовиді N*

n.= рС HjCAl*)) + fjC Tors Hl_t (if)), .

де juCЮ - мінімальне число твірних групи Н. ■ ..

В гладкій категорії є вірним анолог цієї теореми -ТЕОРЕМА 3.21. Нехай гладкий однозв’язний многовид N* вкладено в гладкий однозв’язний многовид АГ, та вимірність многовиду N* - k S 6, а ковимірність п - к ї. 3. Тоді на парі многовидів С АГ, N* ) існує мінімочьна функція Морса. При цьому число критичних точок індексу -і на многовиді АГ .

nij = jjC ^САГ)) + рС Tors tf^CAT)), ‘

а на многовиді Nk _

nt= (jC tfjCfl*)) + (iC Tors K,_t CN*)),

де pCW) “ мінімальне число твірних групи И.

Глава 4 присвячена побудові мінімальних розкладів на ручки гладких однозв’язних п’ятивимірних многовидів.

Під схрещеним модулем будемо розуміти трійку С С, G, d ), де С та G - групи такі, що G діє на J зліва, d: С —» G -

гомоморфізм такий, що

і с + с - с = d(c )c ,

12 1 12

dCgcD = gCdCcDDg"1.

В п. 4.1 доведена

ЛЕМА 4.2. Нехай W - однозв’язний компактний п’ятивимірний мнпговид з краєм 5W = Vo'u V , де Vj. i-~.l, -

зв’язні компоненти краю: Тоді існує мінімальна система твірних

а,.аг......групи яг(У,У ), що розглядається як схрещений я(CV ) -

модуль, така, що під діє» гомоморфізма Гуревича гт2(W, Vf) —» Н2(V.V ) твірні а(, аг, ... .с^ С s S k ) перейдуть в мінімальну систему

твірних групи Нас W, Vt ), а твірні ов+і, ... .о^, будуть легата

в ядрі цього гомоморфізме.

Спираючись на цю лему, в п 4.2 доведена

ТЕОРЕМА 4.3. Нехай W - гладкий однозв'язний

компактний п’ятивимірний многовид з краєм dW = Vo и V . Через V позначимо ту компоненту краю, для якої,

рСя (W,V I) - рСН CW,V )) > і^Стт СW,V )) - рСН CV.V )3.

2 С 2 О г 2 ’ t ^ 2 І

Тоді на W існує єдиний мінімальний топологічний розклад на ручки без ручок індексів 0,1,4 і 5, з

pin (V.V П

г г 'о

ручками індексу 2 і з •

(Кп CW.V )) - uCH CV.V П + uCH (W,V ))

2 О ^ 2 ' О ^ 2 І

ручками індексу 3, де рСЮ - мінімальне число твірних групи Н.

л2( V, Vj), і = 1, 2, розглядаємо як схрещений л CV ) - модуль.

Як наслідок, отримуємо, що на будь-якому гладкому одвозв'язному

компактному п’ятивимірному многовиді W зі зв'язним кра*м 5W = V&

існує єдиний мінімальний топологічний розклад на ручки без ручок

індексів 0, !,. 4 та 5 і з ¡j(n2CW,Vo)) ручками індексу 2 і з

¡иССW,\М) - hCH£CW,Vo)) + pCH^CW, V()) ручками индексу 3. Якщо-V -

компактний стягуваний п'ятивимірний многовид з краш, тона W існує

мінімальний топологічний розклад на ручки з одніш ручкою індексу 5,

без ручок індексів 0, 1 і 4 та по /j(n2(W,3W)3 ручок індексу ? та 3.

В п 4.3. вивчається вкла^эння однозв'явного иноговиду з

неоднозв'язнями краями. Використовуючи ідеї глави 3 та п. 4.2, для

таких многовидів, доведена •

ТЕОРЕМА 4.6. Нехай однозв’язний многовид Л* з краш

d!f = Vо и V гхладено з критичними- рівнями в однозв'язний многовид-

bf з краєм dff1 = W и W , компоненти W і V якого однозв'язні і 0 і- 0 1 вимірність многовиду Іт к>6, а ковимірність гНйЗ. Тоді існує

ізотопне вкладення з критичними рівнями многовиду в ми говид й",

яке є мінімальним. При цьому число ручок індексу і ва многовид.' tf

дорівнює -

' ш = fj( HAtT.V ,т + цС Tors Н, CWW .2».

X 1 о ~ . І-i о

а на многовиді Л* число ручок індексу 2 дорівнює

п = /иС п СА^.К )),

2 2 О

індексу 3 - - - - -

n = рС п CNk,»' )> + fK C&rV ,m + ЦІ Hjfr,V.W)r

3 ~ 2 О '3 0 ' 2 O'

- и -

індексу Н і i k-4 -

■ n. = рС И. CNk ,V ,Z)) + pC Tors H, ,V ,Z)),

1^1 o' n i-1 o' '

індексу k-3 -

a = pC n C N*. V )) 4 pC H. C ,<Ю) +

k-з n 2 r і r k-з 'o’

+ Tors K iUY,V ,Z>) - Mc ,Z>),

^ k-4 0 ^ k-2 o

індексу k-2 -

n. = fjC re i^.V )),

k-г r г і

де рСЮ - мінімальне число твірних групи Н. На многовиді ручок індексів 0,1,n-1 in, а на многовиді нема ручок

0,1,к-1 і к. .

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ.ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В НАСТУПНИХ РОБОТАХ :

1. Пришляк А.О. Дифференциальные уравнения на многообразиях ц

парах многообразий. - Киев. - 1993. - 24 с. С Препр. / АН

Украины. Ин-т математики; 93.27) ■

2. Пришляк А.О. Минимальные функции Морса на паре многообразий // Укр.мат.журн., 1993, т. 45, N 1, с 143-144.

3. Prishlyak А. 0. Minimal handlebody of- pair of smooth

manifolds // IX International conference on topology and Its

application, Kiev,- 1992.- P.114.

M" нема індексів