Проблемы гладкости и расщепляемости линейных расширений динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ і г8 ОД ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

і. І СЕН 1Б88

БУРИЛКО Олександр Андрійович

УДК 617.9

ПРОБЛЕМИ ГЛАДКОСТІ І РОЗЩЕПЛЮВАНОСТІ ЛІНІЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізпко-математичних наук ' професор КУЛИК

ВІКТОР ЛЕОНІДОВИЧ,

Інститут математики НАНУ, провідним науковий співробітник

Офінійиі опоненти:

доктор фізико-математичних наук САМОЙЛЕНКО ВАЛЕРІЙ ГРИГОРОВИЧ,

Київський Національний університет ім. Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичної фізики

кандидат фізико-математичних наук

ГРОД ІВАН МИКОЛАЙОВИЧ, .

Тернопільський державний педагогічний університет, доцент

Провідна установа: ’•

Національний технічний університет України (Київський політехнічний інститут), третя кафедра вищої математики, м. Київ

Захист відбудеться ”Д0.”.1998 р. о.....................годині на засіданні спеціалізова-

ної ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601 Київ - 4. вул. Терешенківська, 3.

З лисертапіею можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики.

Автореферат розісланий ”..Е......”1998 р. -

Вчений секретар

спеціалізованої ради ¡я-*-»—^ ЛУЧКА А. Ю.

Актуальність теми. Численні колішні процеси грають важливу роль в різноманітних галузях науки і техніки. При дослідженні таких процесів математичними методами виникла потреба в розвитку теорії квазіперіодичних розв’язків, а в більш загальному випадку - теорії інваріантних тороїдальних многовидів динамічних систем. Перші глибокі результати про інваріантні тороїдальні многовиди були отримані в роботах М.М. Крилова і М.М. Боголюбова в процесі обгрунтування наш- ( птотичннх методів нелінійної механіки. Пізніше ці результати знайшли всесторонній розвиток в роботах Ю.О.Митропольського і вилились в метод інтегральних многовидів нелінійної механіки. Вони мали великий вплив на характер подальших розробок теорії збурення тороїдальних многовидів і привели до глибоких результатів С. Діліберто, Дж. Хейла, Я. Курцвейля, В. Кайнера та ін. Основну інформацію про поведінку динамічної системи в околі інваріантного многовиду дає лінеаризована в цьому околі система. Це призвело до розвитку теорії лінійних розширень динамічних систем, а подальші роботи М.М. Боголюбова’, Ю.А. Митро-польського, А.М. Самойленка, B.JI. Кулика, І.У. Бронштейна, В.М. Міл-ліонщикова, В.А. Коппеля, Р. Саккера, К. Палмера надали цій теорії сучасний вигляд важливого розділу якісної теорії диференціальних рівнянь.

Добре відомо фундаментальне значення теореми Флоке-Л ялу нова для дослідження поведінки розв’язків лінійних періодичних систем. Однак в теорії лінійних майже періодичних систем та лінійних розширень динамічних систем на торі ця теорема не має прямого аналога, що вимагає знаходження ослаблених її варіантів, таких, наприклад, як теореми про блочну діагоналізацію. Дослідженню цього питання присвячені, зокрема, роботи Б.Ф. Билова, Ю.О. Митронольського, А.М. Самойленка,

B.JÏ. Кулика, ВЖ Ткачснка, В.А. Малькова, С.І. Трофимчука, Р. Джонсона, Г. Селла, Р. Елліса та ін. Дослідження даного питання триває.

Важливе місце в дослідженні проблем теорії збурення і стійкості інваріантних многовидів систем нелінійної механіки займає метод функції Гріна лінійного розширення динамічної системи, вперше застосований А.М. Самойленком і розвинутий в багатьох роботах українських математиків. Властивості самої функції Гріна-Самойленка стали предметом детального вивчення (B.JL Кулик, І.У. Бронштейн, С.І. Трофимчук,

І М. Грод та ін.), в багатьох відношеннях ще не завершеного.

Із сказаного випливає актуальність досліджуваної теми.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов блочної розщеплюваності лінійних розширень динамічних сис гем на торі і дослідження гладкості функцій Гріна та обмежених інваріантних многовидів динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

• Знайдено ряд необхідних і достатніх умов ¿-блочного розділення нормальних змінних в лінійних розширеннях динамічних систем на торі.

• Встановлено умови, при яких матриця перетворення належить простору Сч(Тт), д > 1.

• Досліджено умови гладкості функції Гріна задачі про обмежені інваріантні многовиди для регулярних та слабо регулярних систем.

• Встановлено оцінки для старших похідних функцій, що заЛають інваріантні тори лінійних розширень динамічних систем, і проведено

їх аналіз.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в роботі результати можуть бути застосовані для розв’зування багатьох прикладних задач небесної механіки, фізики, вони можуть бути використані також в теорії керування і автоматичного регулювання.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального пллну діяльності та постановка задач належать науковому керівнику - В.Л. Кулику. Доведення всіх результатів дисертації проведене особисто автором. Результати робіт, написаних у співавторстві, були отримані автором самостійно. Співавторам належать вибір напрямку дослідження, постановка задач та обговорення теоретичних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу звичайних дифпрен-

з

ціальних рівнянь Інституту математики НАН України; на Всеукраїн ській конференції молодих вчених, квітень 1994 р., м. Київ; на п’ятиі Міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука, травень 1996 р,, м. Київ; на Всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”, травень 1996 р.? м. Чернівці; в школі-семінарі ’’Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування”, Червень 1997 р., м. Нальчик; на Міжнародній науковій конференції ’’Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”, серпень 1997 р., м. Київ.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах (1-7), з них: 5 робіт написано без співавторів, 3 Статті в провідних наукових фахових виданнях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, двох розділів, розбитих на 5 параграфів, та списку цитбваної літератури з 85 назв і викладена на 124 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

Перший розділ дисертації присвячено встановленню умов /с-блочної (де к > 3) розіцеплюваності нормальних змінних в лінійних розширеннях динамічних систем на торі, тобто в системах вигляду

dtp/di = а(ір), dx/dt — Л(<р)х, (рбТт,хЄ R", (1)

де a(ifi), А(ір) Є Сй(Тт), С(,(Тт) — простір векторних або матричних функцій неперервних за сукупністю змінних ір і 2тг-періодичних по кожній змінній <pj, j. * І, т, Tin — m-мірний тор. В цьому розділі також розглядається питання гладкості матриці заміни змінних, що приводить систему (1) до розщепленого вигляду.

Відносно вектор-функції а(ір) додатково припускаемо, що задача Коші ,

d<p/dt = а(у>), Vlt-o ~ <Ро> (2)

має єдиний розв’язок лля кожного фіксованого <ро € 7т> непере-

рвно залежний від початкової точки Також позначимо: ОЦq > 1,

— гіідпростір С°(Тт) функцій, що мають всі неперервні частинні похідні до q-го порядку включно по кожній змінній ifjy j — 1 ,m; С'(Тт\ а) — під-иростір простору С°(Тт) функцій F(tp) таких, що суперпозиція F{<pt(tp)) як функція змінної і є неперервно-дифереішійовною по t і при цьому ^^Ч=о :== Є С°{Т,п), й1т{<ро\А) — матрицант лінійної системи рівнянь dx/dt = .4(y?((v?o))i. h — единична матриця.

Для системи (1), як відомо, вже в простому випадку а(<р) —ш- ernst класична теорема Флоке-Ляпунова не має прямого аналога. Спроби знайти ослаблені варіанти цієї теореми призвели зокрема до вивчення можливості зведення системи (1) до блочно діагонального вигляду

dp/dt = а(ір), dy/dt - diag {Ві(у>), Вк{<р)) у,

за допомогою невиродженого перетворення х = Ь(ф)у з періодичною матрицею L(<p)- У випадку, коли система (1) має п одновимірних експоненціально розділених підпросторів розв’язків, то, як показано в роботах Б.Ф. Бішова, А.М. Самойленка і B.J1. Кулика, Р. Джонсона і Г. Селла, вона перетворенням Ляпунова зводиться до діагонального вигляду. Якщо ж не вимагати одновимірності підпросторів розв’язків, то перетворити систему до відповідного блочно-діагонального вигляду можна не завжди (див.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний.

- Киев: Наукова думка, 1977). Отже, виник інтерес до тих додаткових умов, які б забезпечували можливість розщеплення. Одним з ефективих методів у дослідженні вищевказаного питання е метод використання зна-козмінних функцій Ляпунова {S{<p)x, х), вперше застосований в роботах А.М. Самойленка і В.Л. Кулика. Продовжуючи дослідження в цьому напрямку, в першому розділі дисертації в термінах знакозмінних функцій Ляпунова сформульовано теореми про розділення змінних.в лінійних розширеннях динамічних систе” на торі. Наведемо деякі з них.

Теорема 1.1.3. Нехай для деяких скалярних функцій А,(уз) Є Сй(Тт) існують невироджені симетричні матриці Si(if) Є С'(Тт;п), і = 1,к, к > ‘2, ідо задовольняють умови .

<[5і(V) + St(v)A{<p)'+ А*(ф^)+ (*,)]*,*> < ЧИЇ2, і = Mn О)

і при цьому кожна з квадратичних форм х), г — 1, к, зводиться

до алгебраїчної суми квадратів, тобто існують невироджені матриці

С}і(р) Є С'(Тт;а) такі, що

ФМйИФ.М ~ -Іп-п}, і~ЇТк.

(01

(5)

достатньо для О (Тт] а)-блочної розщеплюваносгпі, тобто для існування невиродженої матриці Ь(<р) Є С'(Тт\а) такої, що

¿-•(уоиивд -і&)} = ач{в1(ір),в2(^,...,вк.м}, (7)

де матриці Ві(<р), і?2(у>)> --» Дь+іСу3) мають відповідно розміри г\. х Г\,

(Г2 - Гі) X (Г2 - Гі),..., (п ~ Г*) X (П - Г*).

В умовах терреми 1,1.3 нерівність (6) має певний топологічний зміст. Відмова від пієї нерівності може призвести до неможливості вищевказаного розділення змінних. Відмовитись від (6) все ж можна, якщо при цьому накласти додаткові умови на матриці, що входять у структуру знакозмішшх функцій Ляпунова. Цим питанням і присвячені ларагрлфи

1.2 і 1.3. Зокрема, є вірним наступне твердження.

Теорема 1.2.1. Нехай для деяких скалярних функцій А,(<р) є С°(Тт) існують невироджені симетричні матриці

виконується (5). Тоді існує невироджена матриця Ь{ц>) Є С'(Тт\а) за допомогою якої відбувається розщеплешія (7).

Як наслідок з вищенаведеного твердження випливає, що у випадку, коли в умовах теореми 1,1.3 всі матриці С}і(<р) є рівними між собою, то відмова від виконання нерівності (6) не вплине на можливість розшеп лення. ___

Квадратичні форми (Зі{ір)х,х), і = 1,к, від яких ми вимагаємо виконання (3), не завжди можуть бути зведеними до алгебраїчних сум квадратів. Відносно властивості звідності квадратичних форм у третьому

параграфі сформульовані необхідні та достатні умови С'(7їп; а)-блочного розділення змінних в системі (1).

Теорема 1.3.2. Нехай при деякому фіксованому І з набору чисел

1, 2,к існують к невироджених симетричних матриць

= <На6{$%), £«(*)} € С'(Тт;а), і = ЇА

де §1'\<р) та відповідно є гі та (п — гі)-вимірними і такими, що:

а) при 1 < і < І матриці мають г< додатних і Г| - г( від’ємних

' власних значень, а всі від’ємно визначені; б) при І < * < к матриці е всі додатно визначеними, а мають відповідно по

Гі — г/ додатних та п — г,- від’ємних власних значень, Виконується (5). Нехай існують к скалярних функцій А-^(у>) Є С°(Тт), і — 1,к, таких, що виконуються нерівності (3) Крім того, всі квадратичні форми

(#<(<)(‘р)пі*пі}> т€Кг' і — Ї7І. (8)

зводяться до алгебраїчних сум відповідно Гі додатних та г<—г< від'ємних,

а 6ЄН"-Г' і = Гк, (9)

зводяться до алгебраїчних сум Гі — г* додатних та п — г< під’ємних квадратів. Тоді виконання нерівності .

т < гаш{г4 - г^}, (10)

ІЄ0|

де ді — {2,1 - 1} и {/ + 2, к}, достатньо для С'(Тт\о)-блочного розщеплення системи (1) на к 4-1 підсистем.

Зауважимо, що у випадку А: = 2 в теоремі 1.3.2 умова (10) відсутня, а умова звідності квадратичної форми (8) (при (І ~ 2)) або (9) (при / — 1) с необхідною та достатньою.

Сформулюємо обернене до вишенаведених теорем твердження. Теорема 1.3.5. Нехай існує к скалярних функцій А*(у>) € С°(Тт), і = 1, к, таких, що цожна з систем

’ . • гіуз/Л = а( ір), іі]ді = [А{(р) + \<((р)1„/2]х, (11)

буде експоненціально дихотомічною на всій осі її. Крім того, припускаємо існування п х п-виммірної неоиродженої матриці Ь(ф) Є

С'{Тт,а), яка проводить розділення змінних (7) узгоджено з експоненціальною дихотомією систем (11), тобто так, щоб виконуювалось к пар оцінок ,

||^т(^;й'^{Вь...,Ві}+ Лі/„/2)|| < ехр{-«уі(« - г)}, і>т,

|П‘ (<р; сііад{В<+ьВ*} + А,-/п/2)| < ехр^ф - г)}, Кт,

Тоді для кожної симетричної матричної функції 5і,(уз) Є С'(Тт\ а), що задовольняє нерівності (2), існує невироджена матрична функція Яі{4>) € С'[Тт\а), що задовольняє відповідній тотожність (4). Наступна теорема дає умови гладкості матриці перетворення. Теорема 1.3.6. Для того, щоб в умовах теореми 1.1.3 матриця Ь(ц>) належала класу (^(Тт), д > 1, потрібно вимагати, щоб функції а(<р) та А{у>) належали цьому ж класу і виконувалась нерівність '

Також показано, що якщо від правих частин (1) вимагати виконання умови Ліпшица, то матрця Ь(<р) в умовах теореми 1.1.3 задовольнятиме умову Гельдера.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню питань гладкості обмежених інваріантних миоговидів лінійних розширень динамічних систем та інваріантних торів лінійних розширень динамічних систем на торі, а також дослідженню властивостей гладкості та грубості функцій Гріна-Самойленка цих систем.

У першому параграфі другого розділу розглядається лінійне розширення динамічної системи .

¿ф/(1і в* а(ф), <іх}(к = А(ф)х + /(ф), ф € Кт, х Є И", (12)

де а(ф), А{ф), Лф) Є С°(Кт) — простір неперервних за сукуп-

ністю змінних фі,...,фт > обмежених на І1т. Відносно вектор -функції а(ф) додатково припускаємо, що задача Коші <Іф/<И = а(ф), Ф\)..й = Щ, має єдиний розв’язок фі{фо), визначений при всіх і Є й- і неперервно залежний від фо. Також позначимо: С,,(Л,П), д > 1, — простір функцій, що мають всі неперервні частинні похідні до д-го порядку включно по

шах рєтм, (N1=1

/да(<р) \ 9(р

Т7,77)(^{

кожній змінній ір], = 1, т, а саме £)^(0) — будь-яка частинна похідна

171

Порядку ІРІ = Ерт функції Р(^) За ЗМІННИМИ (^Ь.'ч^т) “ Vі;

ігі

С'(ГІт;а) — підпростір С0(ІІт), визначений аналогічно С'{Тт\а).

Означення. Говорять, що система рівнянь (12) має обмежений інваріантний многовид, що визначається рівністю

х — и(ф), ф Є Кт, \ 13)

якщо існує така функція и{ф) € С'(ІІт;а), що Чф Є Н.т виконується тотожність й(ф) = А(ф)и{ф) Н- /(ф).

Означення. Система рівнянь

(іф/М — а(ф), (Іх/<И — А(ф)х, (14)

має функцію Гріна (Гріна-Самойленка) задачі про обмежені інваріантні мнпговиди, якщо існує п х п-вимірна матриця С(ф) Є С°(ШГ1) така, що пчя функції

( пиФ)С(ФЛФ)), Г< о,

"о(т,1,;) \іі0М[С(фг(ф))-ія), Т> о, (о)

виконується оцінка .

||<?о(г,^)|| < А'ехр{-7|г|}, , (16)

де додатні сталі А', 7 не залежать від ф Є И"1, Ь € II, І110(ф) — матрицант лінійної системи ¿х/<И = А(фі{ф))ху Пд(іА)|4_0 = /„. При цьому функція вигляду О0(т,ф) називається функцією Гріна задачі про обмежені інваріантні многовиди для системи (14). ‘ !

Існування вищевказаної функції веде до існування обмеженого інваріантного многовиду системи рівнянь (12) для кожної вектор-функції /(»/>) Є С°(Н.т) і цей многовид може бути представленим рівністю

+00 •

X = и{ф) = І Са{т,ф)/(фг{ф))<!,т. (17)

• • . Зазначимо, що виконання оцінки (16) для функції Гріна (15) є еквівалентним виконанню оцінки •

!|бч(г,^)Ц < К ехр{-7І* “ г|}

для функції Оі(г,ф) = П(0{ф)С0(г,ф).

Означення. Якщо у випадку, коли ф — Є Тт, тобто ргпгля дається лінійне розширення динамічної системи на торі (1), іппт и( г \ або Со{т,<р), то говорять, що система (1) має відповідно інваріантнії тор або функцію Гріна-Самойленка задачі про інваріантний тор.

В параграфі 2.1 виділено деякі класи функцій, належність до яких правих частин системи (12), а також наявність деяких додаткових .умов гарантує високу гладкість функцій Єі(т,ф), и(ф).

Позначимо через С%(В.т) клас матричних або векторних функцій Р(і/>) € СЧН-"1) таких, що для деяких додатних сталих а, ар, а',, \> вико нуються оцінки •

ДЛЯ ВСІХ ЦІЛОЧИСЛОВИХ векторів р = (рі, ..., Рт) ТаКИХ, ШО ІРІ < <7- Вілноснп вектор-функції а(ф) припускаємо, що

де «і > 0, аз > 0. Тоді мають місце наступні твердження.

Теорема 2.1.1. Нехай система рівнянь (13) мас єдину функцію Гріті (15) з оцінкою (16), а{ф) € С^Н”1) така, що виконається (18). (19) і А(ф) Є С’(Нт). Тоді при виконанні нерівності

Функція Гріна С7((т,ї/>) має всі неперервні частинні похідні до порядку <. включно і вірні оцінки

^єят

)|о(^)|| < а} ІМІ + а2, вир ||£$а(^)|| < +оо, ЬІ = ІТд,

(18)

(19)

27 > </(а0 + «іі'),

(20}

де

Теорема 2.1.2. Нехай виконуються умови теореми 2.1.1. Тоді при виконанні нерівності

7 > «(а„ + аци) ■

неоднорідна система (12) для кожної фіксованої вектор-функції /(ф) Є С^й.111) має єдиний обмежений інваріантний многовид х = и(ф), визначений рівністю (17), і при цьому и(ф) Є

Зауважимо, що нерівності (20) при виконанні умов теореми 2.1.2 недостатньо для належності обмеженого інваріантного многовиду класу

С,(Нт). Тобто при виконанні

7 ^ ЯІао + < 27

функція <3*(г, ф) буде обов’язково належати класу Сч(Кт), а функція и(ф) може і не належати цьому класу. Це проілюстровано на прикладі.

Наклавши більш жорсткі умови на вектор-функцію а(ф) і слабкіші на Л(»/-■) та /(ф), отримаємо ще деякі результати щодо гладкості С»(г,^і)і и(ф), С(ф). Введемо С“ї|/3(Кт), 0 < /З < 1, — клас матричних або векторних функцій Р(ф) Є С“(П.т) таких, що виконуються умови

ііі?^)і(<хрЄхр{иріімі“/,}+^1 .тФ)і\<<*>

де а, V, Ьр, Ь'р — додатні сталі.

Теорема 2.1.3. Нехай існує єдина функція Гріна задачі про обмежені інваріантні многовиди, А{ф) Є С2і/5(Ят), для а[ф) Є С,(Н.т) ви-

кднується

Цв#)ІІ < «їй#*, 0 < 0 < 1, а також нерівність (19). Тоді виконання умови

27 > <?(ао + оци(1 — Р))

достатньо для того, щоб (3<(г, ф) € С9(ІІт), С(ф) Є С^(Й.”1) і виконувались оцінки , .

||В^(?((г(^)(| < (И^ехр{ИрІМ1“'}} + ^р)ехр{-7І«- г|+

+|рІ(ао + аіі/(1 ~/0))тах{|*|,|г|}}, |р| « їід..

и

Використовуючи метод знакозмінних функцій Ляпунова, в роботах Ю.О.Митронольського, А.М.Самойленка, В.Л.Кулика встановлено критерії існування та единості функції Гріна і обмеженого інваріантного многовиду системи (12), за допомогою яких можна також вказати умови гладкості цих функцій. Даний метод є ефективним і у тому випадку, коли система (14) має більше ніж одну функцію Гріна, тобто є слабо регулярною. Можливості для дослідження такої системи полягають у запропонованій В.Л. Куликом ідеї розширення її до регулярної. Використовуючи пі результати, далі в теоремах 2.5-1.7 встановлені умови гладкості сипних та неєдиних функцій Гріна та обмежених інваріантних многовилін. НаведеМо одну з них.

Теорема 2.1.7. Нехай існує п-в имірна симетрична матриця S(f) r-G’*(Rm), що задовольняє умову

([¿№) - адл-м - л(#зд] *.*) ^ -Ф\\7

при всіх V’ Є Rm, х Є R", » визначник матриці 3(ф) 0 деякій точці і% <= Rm перетворюється в нуль. Крім того, А(ф) Є C’(Rm), o(t/>) € СЧ(Н"') і така, що виконуються оцінки (18), (19). Виконується нерівність

S > 6ç||S||o(»o + ot\v).

Тоді для кожної фіксованої вектор-функції /(?/>) Є СЦ(R"1) снстг.ип рівнянь (12) мас множину обмежених інваріантних мпогопидів. задати співвідношенням

+ 00 +00

J С12{Ф) {ІГ0{ті>)У g(tpT(i>))dT + J ' —00 -00

кожен з яких належить класу С${Тт), де C!2(V;) — дткп п-вимірна симетрична матрична функція, що задовольняє умови:

■ СаШгР)) = Щф; А)Спи>)\П1Ы'; Л}}\

||n‘r(^)Ci2(^r(V'))ll ^ ^рхр{-ї|г — т|},

д{С ) •• доцільна вектор функція з Q(Rm), G^fr. x/r) ■■ функція Гріна-системи (Ц).

Лаушокимо, що у випадку лінійного розширення динамічної системи ні т- вимірному торі, тобто коли в системі (14) ф ~ ф Є Тт, в умовах •шценаведеїшх теорем и — 0 і тому для похідних функцій Гріна цих исіем с дійсними оцінки

Поклавши і — І), отримаємо відомі з робіт А.М, Самойленка і B.JI. Кулика оцінки для похідних функції G0(r, ір). Також зазначимо, що вимоги, які накладаються на показник затухання 7 функції Со{т,<р), е слабшими (27 > ||0a/cV(jo) ніж у відомому випадку. Це в свою чергу дає можливість послабити вимоги щодо грубості функції Гріна експоненціально дихотомічного лінійного розширення динамічної системи на торі з показником гладкості д.

Параграф 2.2 присвячений вивченню ступеню неперервності функцій Гріна-Самойленка та інваріантних многовидів лінійних розширень динамічних систем на торі. А саме, тут в термінах модулів неперервності функцій a(</>), A(tp), f(tp) встановлені оцінки для різниць в точках ір, V Є Тш, (р ф ?р, розв’язку задачі Коші (2), функції Гріна та інваріантного тору системи ’

а також оцінки для їх похідних, вказані умови збіжності цих оцінок.

Нехай деяка матрична чи вектор-функція Ф(<^) є С°(7їп)- Тоді скалярну функцію

ш(Ф;ст)= sup ||Ф(у>) - Ф(£)||

Uv-vllS® .

назвемо модулем неперервності. У випадку, коли Ф(у>) належить класу Сч(Т,п), позначимо

¡1 ^ •^exp{-7|i-r| + Q0|p|max{ji|,|r|}}, |р| = l,q,t,T є R.

dip/dt — а(<р), dx/dt = А{<р)х + /(<£>),

шах{и;(£)Рф;2), £,_,(Ф)г}, |р| = q,

де ІР(Ф) — шах Х.(Ф), Lj(Ф) — константи Ліпишца і-х похідних функції <=0,|р| '

(V5), також покладемо и.>о(Л; г) = и)(А\ z), u>o(f;z) ~ u(f\z), Ыо(а;г) = 0.

Для довільної функції Ф(с^) з вищевказаного класу введемо також " > ступні позначення:

+ОС

Л(Ф;р;г) = j ехр{—ї^!£т|}<^р(Ф; jF~1(J[7'(z) + H))d<r, I?'! - О.Г

~00

де и — будь -яка додатна константа,

* da '

F(z) = j ——г, d = const > 0.

7 u)(o; z)

Тоді у випадку, коли а(<р) € Ся(Тт), Ч > 1, для різниці розпя«> задачі Коші (1) можна вказати такі оцінки (Лема 2.2.1)

. тш-п*мт< '

< Mpexp{(tt|p| + i/)|i|}J„(a;p;!|y3-^||), |р| = 17?. (?П

де Мр - const. > 0,a = ||c?a/cVj|0, які є дійсними для довільних v > 0.

Теорема 2.2.1. Нехай функції а(<р), A(tp) належать класу Cq(1'„) ; для системи (1) існує єдина функція Гріна-Самойленка задачі т»;іп т варіантний тор G0(r, ір), \цо задовольняє оцінку

||G0(r, <р)\\ < Кехр{-7.' т|}, К, і > 0.

Тоді при виконанні нерівності

2у > nq

буде виконуватися оцінка

\\D^G,(T,tf)-D^Gt(T, v?)|| <ехр{—7[£-r| + (a|p|+i') max{|i|, ¡г¡}

x{I<pJv{a\ р; \\ч>-Щ\)-¥КрЗ„{А\ р; ||у?~^||)), |И ~ М, {‘Щ

для кожного фіксованого v Є (0,27 -- o-jpl), де Кр, Кр - const- > 0.

‘ Зауважимо, що ступінь неперервності по tp інваріан іног'о юру л

«(у3) є меншим ніж ступінь неперервності функції Грінл.

Теорема 2.2.2. Якщо в припущення і: теореми 2.2.1 вимагати викп наші я нерівності

- 7 > (иі-

то для будь-якого V Є (0,7 — а|р|) і для кожної фіксованої вектор-функції /(^р) Є.Сч(Тт) будуть виконуватись оцінки ■

\\Щи{ір) - І>£іі(9)|| < ЛГрЛ(а; р; ||<р - р||)+

+Л/р Л(,4; р; ¡IV? - Щ\) + 77рЛ(/; р; ||у> - ?||), \р\ = 0^3, (23)

де Лр, ІУР, N1, — додатні константи.

Наступна теорема дає критерій збіжності інтегралів у правих частинах оцінок (21)-(23). ,

Теорема 2.2.3. Нехай а(<р) Є С°{7іп), Щ<р) € С9(Тт)- Тоді необхідною і достатньою умовою прямування до нум інтегралів р; ||

с^іІ), |р| = бГ?, при ф-ї ір с розбіжність інтеграла /

+о '''

= (24>

Зауважицр, що умова (24) е природною, зокрема вона забезпечує існування та едилість розв’язку задачі Коші (2) (теорема Осгуда). Як наслідок з теорем 2.2.1-2.2.3 зокрема випливає, що у випадку, коли функції а[}р) та А[ір) задовольняють умові Діпшица, функція Гріна-Самойленка С))(г,<р) буде задовольняти умову Гельдера з показником а ~ и/Ь, де Ь - константа Ліпшица для функції а(ір), и — довільна з проміжку (0, шіп{7, £}), а у випадку, коли крім цього /(<р) € Сиу{Т1п), інваріантний тор також буде задовольняти умову Гельдера з тим же показником.

ВИСНОВКИ

в В термінах знакозмінних функцій Ляпунова знайдено ряд необхідних і достатніх умов /с-блочного розщеплення нормальних змінних в лінійних розширеннях динамічних систем на торі.

о Встановлено умову, при яких матриця заміни змінних належить простору Сч(Тт), Я £> І- .

• Досліджено умови гладкості функції Гріна задачі про обмежені інваріантні многовиди для регулярних та слабо регулярних систем,

• Встановлено оцінки для старших похідних функцій, що задають ін-

варіантні тори лінійних розширень динамічних систем, і проведено їх аналіз. •

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Бурилко O.A. Розділення змінних в лінійних розширеннях динаміч них систем на торі // Укр. мат. журн. -1996. - 48, №1. • С. 129 132

2. Самойленко А.М., Бурилко O.A. Питання гладкості функції Грінп задачі про обмежені інваріантні многовшш // Укр. мат. журн. 1998. - 51, №4. - С. 570-584.

3. Бурилко A.A. Достаточные условия разделения нормальных пере менных в линейных расширениях динамических систем над тором // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С. 59-62.

4. Кулик B.JI., Бурилко O.A. Гладкість обмежених інваріантних мно-говидів динамічних систем // Інтегральні перетворення та їх застосування: Зб. наук, праць. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. - С. 91-95.

5. Бурилко O.A. Розділення нормальних змінних в лінійних розширеннях динамічних систем па торі і гладкість матриці переходу // Тези доп. П’ятої наукової конф. ім. акад. М. Кравчука (Київ, 16 -18 трав. 1996 р.) - Київ, 1996. - С. 50.

6. Бурилко O.A. Гладкість обмежених інваріантних Кшоговияів динамічних систем // Тези доп. Всеукр. конф. "Диференціально функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 15 18 трап , 1996 р.) - Київ, 1996. - С. 32.

7. Бурилко O.A. Питання гладкості та модулі неперервності функції Гріна-Самойленка задачі про інваріантні тори // Тези доп. міжнар. конф. ” Асимптотичні та якісні метоли в теорії нелінійних коливань" (Київ, 18 - 23 серп., 1997 р.) - С. 202.

Бурилко O.A. Проблеми гладкості і розщеплюваиості лінійних розширень динамічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фпико-ма тематичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння • Інститут математики НАН України, Київ, 1998.

В роботі встановлені в термінах ітткогшішшх функцій Ляиуном їм обхідні і достатні умони к блочного рочшеплешіч нормальний лмпмшх р

кішишіх розширеннях динамічних систем на хорі, досліджено питання гладкості, а також наведено оцінки для старших похідних функцій Гріна-Онмойленка і функцій, що задають обмежені інваріантні многовиди динамічних систем. *

Ключові слова: лінійне розширення динамічної системи, функція Гріна-Самойленка, обмежений інваріантний многовид, інваріантний тор, розщеплення, гладкість.

Бурилко А.А. Проблемы гладкости и расщепляемости линейных расширений динамических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения.- Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

В работе установлены в терминах знакопеременных функций Ляпунова необходимые и достаточные условия fc-блочного расщепления нормальных переменных в линейных расширениях динамических систем на торе, исследованы вопросы гладкости, а также приведены оценки для старших производных функций Грина-Самойленко и функций, которые задают ограниченные инвариантные многообразия динамических систем.

Ключевые слова: линейное расширение динамической системы, функция Грина-Самойленко, ограниченное инвариантное многообразие, инвариантный тор, расщепление, гладкость. •

Burilko А.А. Problems of smoothness and splitting of linear extensions of dynamical systems. - Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 - differential equations.

- The Institute of Mathematics, National Academy of Scienced of Ukraine, Kyiv, 1998.

In terms of Lyapunov’s functions with alternating sign, necessary and sufficient conditions are found for the fc-block splitting of linear extensions of dynamical systems on the torus. The smoothness conditions are studied. Some estimates for the higher derivatives of the Green-Samoilenko functions and the functions determining bounded invariant manifolds are obtained.

Key words: linear extension of a dynamical syetem, Green-Samoilenko’s function, bounded invariant manifold, splitting, smoothness.