Расщепляемость и образы декартовых произведений при уплотнениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, Р Г Б ОД ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ и

„ ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ

с о lui ùv..' ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 515.12

БУЗЯКОВА РАУШАН ЗАЙДУЛОВНА

РАСЩЕПАЙ ЕМОСТЬ И ОБРАЗЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПРИ УПЛОТНЕНИЯХ

Специальность 01.01.04 -"геометрия и топология"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

о

1Ь

А г*

g л

Москва 1995 v

Работа выполнена на кафедре обдай топологии и геометрии механико-математического Факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова-

Научный руководитель - доктор Физико-математических наук,

профессор А.В.Архангельский Официальные оппоненты - доктор Физико-математических наук,

профессор В-И.Малыхин - кандидат Физико-математических наук И.В.Ященко

Ведущая организация - Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится , 1995 г.

в 16 часов 05 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском государственном университете имени М-В. Ломоносова по адресу! 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-ОВ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического Факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан _ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубаршсов

ОБЩАЯ ЗМРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В диссертации изложены результаты, связанные с некоторыми вопросами теории непрерывных отображений: существование вложений 1 уплотнений и расщеплений, как релятивизации понятия уплотнений.

Актуальность темы определятся прежде всего необходимостью проведения взаимной классификации топологических пространств с помощью непрерывных отображений.

Цель работы.

1. Исследовать топологию компактов, расщепляемых над линейно упорядоченными пространствами и над классом всех линейна упорядоченных пространств. Найти необходимые и достаточные условия, при которых из расщепляемости компакта над линейно упорядоченным пространством Z следовало бы наличие вложения в/. •

2- Исследовать топологию пространств, расщепляемых над классом всех метризуемых пространств-

3. Исследовать образы декартовых произведений пространств при уплотнениях.

Методы исследования. Используются классические методы теории континуумов, методы теории кардинальных инвариантов, а так же методы, связанные со стоун-чеховскими коипактификаци-ями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заклинаются в следующем (подробнее при изложении содержания работы):

1

1. Доказано, что континуум, расщепляемый над классом всех линейно упорядоченных пространств) сам является линейно упорядоченным пространством.

2. Для континуумов, мощности, не превосходящей 2 дока-но, что расщепляемость над линейно упорядоченным пространством / влечет наличие вложения в / • Так же показано, что для нульмерных компактов (даже для метризуемых) аналогичное утверждение не имеет места.

3. Выведено необходимое и достаточное условие, при котором топологическое пространство уплотняется на некоторое ме-тризуемое пространство.

4. Доказано, что произведение двух нормальных ( счетно компактных нормальных, линделефовых, однородных нормальных) пространств не обязано уплотняться ни на какое нормальное пространство■

5. Приведена конструкция счетно компактного нормального пространства, произвольная степень которого (большая еденицы не уплотняется ни на какое нормальное пространство.

6. Выведено необходимое и достаточное условие, при котором псевдозсоипактное пространство уплотняется на компакт.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории непрерывных отображений, теории континуумов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании топологического семинара им. П.С.Александрова, на научно- исследовательском семинаре под руководством профессора А.В.Архангельского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых представлен в конце автореферата .

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух -лав ( первая глава состоит из двух параграфов, вторая - из грех ) и списка цитированной литературы. Объем диссертации доставляет 44 страницы машинописного текста. Библиография задержит 15 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается постановка задач и дается крат-сий обзор диссертации. Изложим содержание диссертации.

В главе 1 исследуется расщепляемость компактов над линейно ¿порядоченными пространствами и над классом всех линейно люрядоченных пространств) а так же расщепляемость над клас-зом всех метризуемых пространств. Понятие расщепляемости бы-ю выделено А-В.Архангельским в [13.

Пространство X расщепляется над пространством У, если для 1РОИзвольногс множества /I из л найдется непрерывное отобра-кение такое, что

Пространство X расцепляется над классом пространств Л', ес-1и для произвольного множества /! из X найдутся К и неп-эдвное отображение "на" /} f У —> У такие, что

/С/1) Л/(Х\/!) =0«

Расщепляемость над /? п и/^была подробна изучена А.В.Ар-

!13 Архангельский A.B., Общая концепция расщепляемости топологических пространств, V Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям, Кишинев, 1985, 8-10.

3

хангельским в С2-41 , А.В-Ахангельским и Д.Б-Шахматовым в С5] И-В-Ященко в С 6], А.Н. Якивчиком в С 73, В.В.Ткачуком в С В] и другими авторами. А.В.Архангельским в [33 была подробно изучена расщепляемость компактов над отрезком вещественной прямой /? . Там же доказано» что компакт, расцепляемый над Я. , гоиеоиарфвн некоторому замкнутому подпространству пространства /? . Пользуясь этим результатом, можно доказать, что компакт, расщепляемый над длинным отрезком, топологически содержится в нем. В связи с упомянутыми результатами, естественны вопросы А-В.Архангельского: " Пусть X - компакт, расщепляемый над линейно упорядоченным пространством А . Верно

[2D Arhangel'sVA i A.V., On cleavability of Topological Spaces over , and A . Proceedings of Long Island

Conference on General Topology, New York, 1990, 18-20.

[33 Arhangel' sin i A.V., C'leavabi 1 ity over reals, Topology and Appl., 48(1992), 163-178.

[43 Arhangel'si; i'i A-V. , A survey of cleavabi lity, Topology and App'l., 54(1993), 141-163.

[53 Архангельский А.В., Шахматов Д.Б., 0 поточечной аппроксимации произвольных функций счетными семействами непрерывных функций, Труды семинара им. И» Г. Петровского, 19В8, Выпуск 13, 206-227.

С63 Ящешсо И.В>, Пространство Ср( X ) и некоторые вопросы теории непрерывных отображений, Канд. дис-, М., 1994.

С73 Якивчшс А.Н*, Произведения и отображения топологических пространств и некоторые свойства типа отделимости, Канд. дис., М., 1995.

С83 Tliachulc V. V., A note on sp'littable spaces, Comm. Math. Univ. Carolinae, 33(1992), no. 3, 551-555.

4

, что X гомеоморфен некоторому подпространству пространст-L ? Пусть X - компакт, расщепляемый над классам всех ли-йно упорядоченных пространств. Верно ли, что X является нейно упорядоченным компактом?"

В параграфе 1.1 даются частичные ответы на эти вопросы, срема 1-1.2. Пусть X - континуум, расщепляемый над клас-м всех линейно упорядоченных пространств- Тогда X явля-ся линейно упорядоченным компактом.

орема 1.1.8. Пусть X ~ континуум, мощности, не превосходен Пусть X расщепляется над линейно упорядоченным сстранством Z • Тогда X гомеоморфен некоторому замкнутому дпространству пространства L .

имер 1.1.1. Существуют линейно упорядоченные нульмерные тризуемые компакты X и У такие, что X расщепляется над

но не вкладывается в У-имер 1.1.1 показывает, что в теореме 1..1.В условие связ-сти очень существенно.

В параграфе 1. 2 исследуется расщепляемость топологичес-х пространств над классом всех метризуемых пространств. В работе С5] авторами показано, что расщепляемость над/^"5 является конечно-мультипликативным свойством. Однако, в честве контрпримера были предложены метризуемые простран-ва. Поэтому A.B. Архангельским был поставлен вопрос! всег-ли произведение двух пространств, расщепляемых над клас-м всех метризуемых пространств, так же расщепляется над им классом?

Утверждение следующей теоремы позволяет дать отрицатель-й ответ на этот вопрос

зрема 1.2.1. Топологическое пространство X уплотняется на которое метризуемое в том и только в том случае, если оно

5

в произведении с любым метризуемым расщеплявтся над класса) всех мвтризувмых пространств•

Творвма 1.2Л интЕрвсна так же тек, что дает еще одн! внешнюю характеристику пространств, уплотняемых на метризу емые пространства.

В главе 2 предметом исследования являются образы двкарто-вых произведений пространств при непрерывных взаимно однозначных отображениях. Исследуются частные случаи следующей ОБЩАЯ ПРОБЛЕМА. Пусть Р7 С} - классы пространств с каким-нибудь Фиксированным свойством. Верно ли, что для произвольных X, Уе Р найдется ¿Г е О такое, что X * У уплстня-еся на 21 ?

В последнее время эта область интенсивно исследуется. Интересные результаты, касающиеся этой проблемы, получены 0-И Павловым, Д.В.Малыхиным и другими авторами.

В главв 2 даны отрицатЕльные ответы для случаев, когд< О - класс всех нормальных пространств, а Р - класс все: нормальных (нормальных счетно компактных, линдвлеФовых, нормальных однородных) пространств. Отметим, что случай, когд; С? -класс всех нормальных пространств, аР - класс всех наследственно нормальных пространств, не так давно разрвшвн 0.1 Павловым.

Основными результатами параграфа 2.1 являются Пример 2.1.2. Существуют нормальное счетно компактное пространство X и вполне упорядоченный компакт у , тэкие чт( X * У не уплотняется ни на какое нормальное пространство. Теорема 2.1.6. Псввдокомпактнов пространство X уплотняете; на компакт в том и только в том случае, вели уплотняется на нормальное пространство.

I) - пространство ординалов, не превосходящи: 6

грвого мощности Iß X! t, наделенное топологией линейного по-1дка) ■

Теорема 2.1.6, как справедливо отпечено A.B. Архангельс-1М, является в некотором роде вариантом известной теоремы амано для случая псевдокомпактных пространств. Утверждение горемы позволяет без труда находить пару нормальных прост-кнств X и У таких, что их произведение X * У не уплотняет-1 ни на какое нормальное пространство. Для этого достаточ-з в качестве X взять произвольное псевдокомнактное нор-»льное пространство, которое не уплотняется ни на какой змпакт ( примеры таких пространств известны) , а в качестве / пространство / (/ß> XI r I).

В заключении параграфа 2.1 даны некоторые приложения поденных результатов к теории слабо нормальных пространств.

Основным результатом параграфа 2.2 является >имер 2-2.1. Существует линделефово пространство /V, квад-iT которого не уплотняется ни на какое нормальное пространно.

Пространство X из примера 2.2.1 так же дает отрицательный чввт на вопрос И.В.Ященко: всякое ли полное по Хыоитту про-'ранство можно уплотнить на линделефово пространство?

В параграфе 2-3 исследуются произведения нормальных то-ыогических групп и бесконечные произведения-

В примерах 2-1-2 и 2-2-1 при доказательстве неуплотняе-юти на нормальное пространство сильно использовалась неод->родность сомножителей. А потону, естественней вопрос A.B. 'хангвльского: всегда ли произведение двух однородных нор-1льиых пространств уплотняется на некоторое нормальное юстранство? Отрицательный ответ дает следующий >имер 2-3. .1. Существует пара нормальных топологических

1

групп, произведение которых не уплотняется ни на каков но мальное пространство.

Интересно отметить, что в качестве сомножителей в примере 3..1 берутся очень популярные пространства Т)Ш1~ простое двоеточие в степении>х, падпросгра

ство пространства^состоящее из всех точек, с не бол чем счетным множеством отличных от нуля координат. Приятн что такие хороыо изученные пространства обладают еще одн дополнительным интересным свойством.

И, наконец, последний результат параграфа 2.3 дает поло тельный ответ на вопрос А- В. Архангельского: существует нормальное пространство, произвольная степень которого (бо иая единицы) не уплотняется ни на каков нормальное простра ство?

Пример 2.3.2. Существует псевдокомпактное нормальное прос ранство X , произвольная степень (большая еденицы) которо не уплотняется ни на какое нормальное пространство.

Пользуясь возможностью, автор искренне благодарит свое научного руководителя профессора А.В.Архангельского за по тансвку задач и внимание к работе.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. Бузякова Р.З. О расщепляемых пространствах // Вестни Моск. ун-та, Сер. .1, 1993, Ы 4, С. 92.

2. Бузякова Р.З. О расщепляемых пространствах // Вестни Моск. ун-та, Сер. 1, 1993, N й, С. 83-84.

3« Бузякова Р.З. О произведении нормальных пространств Вестник Моск. ун-та, Сер. 1, 1994, N 5, С. В1-Э2.

В