Исследование локальных и нелокальных бифуркаций в системе уравнений Лоренца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи«

01/

Калошин Дмитрий Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ И НЕЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ В СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН.

Защита состоится 25 марта 2005 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу : 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по адресу : 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус.

Автореферат разослан февраля 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат ф и з и к о - мате м ат и чески;

академик РАЕН Н. А. Магницкий.

профессор А. П. Крищенко; кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Тихомиров.

наук, доцент

В. М. Говоров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и социальные процессы и явления. Впервые хаотическое поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцем. Эта система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащая три параметра

представляет собой простую модель тепловой конвекции в атмосфере. Она была получена в результате некоторых упрощений из уравнения Навье-Стокса и впоследствии исследовалась в многочисленных работах, став к настоящему времени одной из самых известных моделей хаотического поведения [1, 2]. Лоренц не ограничился констатацией неустойчивости решений системы (1), при более тщательном анализе поведения решений он обнаружил притягивающее множество (аттрактор) - подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительная зависимость к начальным данным, которая характеризуется экспоненциальным разбеганием траекторий).

До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [3-8]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [4].

(1)

Однако многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [9-17]. Более того, задача показать совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [18]. А результаты недавних работ [19, 20] позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В работе [19] авторами было показано, что на самом деле в системе Лоренца реализуется совершенно иной переход к хаосу - через двойной гомоклинический каскад бифуркаций.

Кроме наиболее распространенных локальных бифуркаций особых точек (положений равновесия), циклов и торов в нелинейных системах дифференциальных уравнений существуют сложные и малоизученные нелокальные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, являющихся сепаратрисами седловых предельных множеств -тех же особых точек, циклов и торов. Известно, что наличие в системе сепаратрисных контуров особых точек, приводит к усложнению динамики системы и рождению нерегулярных аттракторов. Поэтому основной задачей данной диссертации был анализ как локальных бифуркаций стационарных точек и циклов, так и нелокальных бифуркаций, к которым относятся различные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, ведущих к качественному изменению поведения системы в целом.

Цель работы состоит в построении в пространстве параметров системы Лоренца бифуркационных поверхностей и кривых существования различных сепаратрисных контуров, таких как гомоклини-ческая бабочка, гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов О1 и О, гетероклинические траектории Г2, соединяющие седло-фокусы О1 и О2 и контуры Г3, соединяющие седло-узел О с седло-фокусами О, и О2. Построение полной диаграммы нелокальных бифуркаций в пространстве параметров системы Лоренца. Разработка метода нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации

являются новыми, получены автором самостоятельно, приведены с полным доказательством и состоят в следующем : в общем случае для нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны теоремы о существовании гетероклиниче-ских контуров сепаратрис седло-фокусов и гетероклинического контура, связывающего три особые точки; найдены коразмерности и построены бифуркационные поверхности и кривые всех контуров особых точек; разработан метод нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов; доказана некорректность некоторых положений классического сценария перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации относятся к теории нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Доказанные в работе теоремы и разработанные методы носят общий характер, поэтому подход, применимый в диссертации для исследования системы Лоренца, может быть использован для построения диаграмм нелокальных бифуркаций, поиска и стабилизации неустойчивых циклов, в широком классе других нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты диссертации могут быть использованы для решения практических задач гидродинамики, метеорологии, лазерной динамики.

Методы исследования. В работе применяются методы теории динамического хаоса, теории бифуркаций и устойчивости в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, а также численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в виде докладов на научно-исследовательских семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ (рук. Магницкий Н. А.), а также на следующих семинарах и конференциях:

Научная конференция "Тихоновские чтения" (Москва, МГУ, октябрь 2003 г.)

Международная конференция "Стратегии динамического развития России : единство самоорганизации и управления" (Москва, РАГС, июнь 2004 г.)

Всероссийский научно-исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" (Москва, МГУ, ноябрь 2004 г.)

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в шести статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации — 104 страницы. В работе приведено 56 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 52 библиографические ссылки.

Во введении дается краткий обзор литературы, примыкающей по своей тематике к вопросам, рассмотренным в диссертации, раскрываются цели работы и формулируются основные задачи, а также дается краткое описание основных результатов, полученных в работе.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена подробному выводу системы уравнений Лоренца для задачи о конвекции в подогреваемом снизу слое.

В параграфах 1.1 и 1.2 при выводе модели Лоренца рассматривается система уравнений, описывающая тепловую конвекцию в обычных экспериментальных условиях:

уравнение Навье-Стокса

Краткое содержание диссертации

уравнение несжимаемости жидкости

\7-г/ = 0

уравнение рас, ™л.у.ч0=ЯаХ.ь+^в,

где р -гидростатическое давление, ^-единичный вектор, направленный вдоль вертикальной оси (направления силы тяжести), а отношение кинематической вязкости жидкости к ее температуропроводности. Затем, используя метод Галеркина, осуществляется переход от дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате получаются хорошо известные уравнения Лоренца (1).

В параграфе 1.3 приведено доказательство непротиворечивости полученной модели, т.е. того, что переход к обыкновенным дифференциальным уравнениям не ввел в систему какую-нибудь нежелательную особенность. Помимо этого доказывается, что поток, определяемый уравнениями (1), диссипативен, т.е. объем фазового пространства сокращается под действием потока.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, проведен анализ локальных бифуркаций стационарных точек и циклов. Изложен верный сценарий перехода к хаосу в системе Лоренца. Представлен разработанный метод нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов.

В параграфе 2.1 произведен анализ неподвижных точек системы. Приведена классическая бифуркационная диаграмма системы уравнений Лоренца, которая описывает как изменяется динамика системы если поддерживать постоянными параметры и увели-

чивать, начиная с нуля параметр Выдвинуты предположения, доказанные в следующих параграфах, о сомнительности некоторых классических утверждений, касающихся аттрактора Лоренца и сценария его возникновения и исчезновения, так как большинство этих утверждений основаны исключительно на компьютерных экспериментах и умозрительных заключениях и не опираются на какие-либо аналитические доказательства.

В параграфе 2.2 на основе результатов работ [19, 20] с использованием большого иллюстративного материала описаны все особенности перехода к хаосу в системе Лоренца. Показано, что при значениях параметров в системе существуют полные гомоклиниче-ские каскады бифуркаций устойчивых циклов, сходящиеся к значению параметра г* я» 234.06 (значение существования гомоклинического контура рис.1) как при уменьшении гот г» 1700, так и при увеличении г от г да 30. Кроме того, показано, что при этих значениях параметров в системе, в отличие от классического случая, возможно одно-

временное существование устойчивых циклов и устойчивых точек -фокусов 0\ и О2, а значение(при котором система переходит в состояние метастабильного хаоса) больше, чем г2 (значение бифуркации "точка-цикл"), что еще раз подтверждает независимость образования аттрактора и гетероклинической структуры "точка-цикл".

Рис.1 Проекция гомоклинической петли сепаратрисы седло-фокуса 0\ в системе Лоренца на плоскость {х,у) (для Ь = 0.5 и (т = 10 получено г & 234.06).

В параграфе 2.3 излагается метод поиска седловых циклов в системе Лоренца. Используя доказанное в [21] утверждение, что все циклы из бесконечного семейства неустойчивых циклов, порождающих аттрактор Лоренца, имеют пересечение с одномерным неустойчивым многообразием Vй точки О, задача нахождения и доказательства существования неустойчивых циклов в системе сводится к одномерному случаю, а именно, к нахождению неподвижных точек одномерного отображения возвращения на неустойчивое многообразие.

В параграфе 2.4 описан метод стабилизации неустойчивых седло-вых циклов в системе Лоренца. Из-за того, что найдя с любой наперед заданной точностью точку неустойчивого седлового цикла и стартуя с нее, траектория все равно через непродолжительное время уходит с цикла, наибольший интерес представляет стабилизация неустойчивого цикла, когда траектория будет всегда оставаться на нем. Так как мы фактически имеем одномерное отображение многообразия в себя, неустойчивая неподвижная точка которого является точкой неустойчивого седлового цикла, то задача стабилизации цикла сводится к задаче стабилизации неустойчивой неподвижной точки некоторого одномерного отображения:

где к -число витков траектории до возвращения на многообразие Vй. Для этого используется метод, описанный в [22], идея которого заключается в построении для данного отображения некоторого расширенного отображения большей размерности, в котором данная неустойчивая неподвижная точка является проекцией его устойчивой неподвижной точки. Этот подход использован для построения расширенной системы и нахождения управляющих параметров для стабилизации неустойчивых циклов системы Лоренца. В данном случае расширенная система имеет вид:

4Г1

(2)

-Л+1 _ -Я

— гк'

¿д!

Т(г) - матрица Якобир1сширеннойЯ0сГемы,

где '!\г) - матрица Якоби расшЯр§ннойЯ0сГемы, £",/?- управляющие параметры, которые надо выбрать таким образом, чтобы обеспечить устойчивость неподвижной точки системы (2). Отсюда /? и е имеют

вид:

д_1 дг'

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, проведен анализ нелокальных бифуркаций в системе Лоренца, к которым относятся различные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, ведущие к качественному изменению поведения решений системы в целом. Показано существование в системе Лоренца различных сепаратрисных контуров, таких как гомоклиническая бабочка, гомо-клинические петли сепаратрис седло-фокусов О1 и О, гетероклиниче-ские траектории Г2, соединяющие седло-фокусы О1 и O2, и контуры Г3, соединяющие седло-узел О с седло-фокусами О1 и О. Также применяя алгоритм поиска всех этих контуров, произведено построение полной диаграммы нелокальных бифуркаций в пространстве параметров системы Лоренца Впервые в мировой науке для каждого сепаратрисного контура построена бифуркационная поверхность (кривая) его существования в пространстве параметров системы. В общем случае для гладкого семейства нелинейных систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны 2 теоремы. Первая - о коразмерности гетероклинического контура Г2 сепаратрисы седло-фокусов. Вторая теорема о существовании гетероклинического контура Г3, соединяющего 3 особые точки вдоль их одномерных многообразий.

В параграфе 3.1, применяя метод приближенного нахождения се-паратрисного контура гомоклинической петли седло-узла в пространстве параметров и определения его коразмерности, описанный в [23], производится построение бифуркационной поверхности существования гомоклинической бабочки в системе Лоренца.

В параграфе 3.2, применяя метод приближенного нахождения гомо-клинической петли седло-фокуса в пространстве параметров и определения ее коразмерности, описанный в [23], производится построение бифуркационной поверхности ее существования в системе Лоренца.

В параграфе 3.3 рассматриваются гетероклинические контуры сепаратрис системы. Для гладкого семейства нелинейных систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений:

х = х € К", /л € Ж*, (3)

зависящего от вектора параметров доказаны 2 теоремы.

Теорема 1. Гетероклиническш контур Г2 сепаратрисы седло-фокусов системы (3) имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а его бифуркационная поверхность является частью к — 1-

мерной гиперповерхности.

Теорема 2. В случае общего положения система (3) не имеет в пространстве параметров значений соответствующих гетерокли-ническому контуру Г3, соединяющему 3 особые точки и связывающе му их одномерные многообразия при к < 2п — 2. В противном случае бифуркационная поверхность гетероклинических контуров Г3 особых точек, связывающих их одномерные многообразия, имеет в пространстве параметров коразмерность 2п — 2.

Так как система Лоренца обладает осевой симметрией относительно оси г, то условия теоремы 2 для нее могут быть ослаблены, а именно : бифуркационная поверхность контуров Г3 имеет в пространстве параметров системы Лоренца коразмерность п — 1, т.е. является частью одномерной кривой. В общем случае разработан метод, позволяющий находить кривые и поверхности в пространстве параметров существования гетероклинических сепаратрисных контуров. Для системы Лоренца, применяя метод приближенного нахождения гетероклиниче-ских сепаратрисных контуров в пространстве параметров, производится построение бифуркационной поверхности существования контура Г2 и бифуркационной кривой существования контура Г3.

Численное нахождение, например, контура Г3 в фазовом пространстве системы Лоренца сводится к следующим процедурам. Записываем систему (1) в виде

и вычисляем положительное вещественное собственное значение матрицы линеаризации системы (4) в седло-узле00(0,0.0) и отрицательное вещественное собственное значение А\ матрицы линеаризации системы (4) в седло-фокусе 0\{~^Ь{г - 1),0, г - 1). Интегрируя систему (4) в прямом времени с начальными условиями

1 +1*1/(7

= 3/(0) = ^, -Ко) —

2 ъ+ Ь

и малым е получаем траекторию, сколь угодно близкую к сепаратрисе, исходящей из седло-узла О. Затем, интегрирую систему (4) в обратном времени с начальными условиями

з<0) = -у/¡{г -1) + е, Ж0) = Л1£,

г(0) = г - 1 -

д+М

и малым 5, получаем траекторию, сколь угодно близкую к сепаратрисе, входящей в седло фокус 0\ Затем для каждого значения параметра Ь находим единственную пару значений параметров [а, г), при которой осуществляется сшивка х-компонент и г-компонент построенных траекторий в плоскости у = О Найденная точка {Ь, а, г) значений параметров принадлежит бифуркационной кривой существования ге-тероклинических контуров Г3

В параграфе 3 4 представлена полная бифуркационная диаграмма (рис 2) всех существующих в системе Лоренца нелокальных би фуркаций

Рис.2 £\ - бифуркационная поверхность существования гомокли нической бабочки; бифуркационная поверхность существования гомоклинических петель сепаратрис седло фокусов О1 и 02; S3

бифуркационная поверхность существования гетероклинических контуров седло фокусов 0\ и Оь С - кривая существования гетеро клинических контуров, соединяющих седло-узел с седло-фокусами 0\ и Oil L прямая классических параметров системы Лоренца.

Эта диаграмма это еще раз доказывает, что при классических значениях параметров переход к хаосу осуществляется через неполный двойной гомоклинический каскад и показывает, что при значениях параметров поведение траекторий в системе не самое

сложное, так как в системе не существуют ни гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов, ни гетероклинические контуры седло-фокусов, ни гетероклинические контуры, соединяющие седло-узел с седло-фокусами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В общем случае для нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны теоремы о существовании гетероклинических контуров сепаратрис седло-фокусов и гетеро-клинического контура, связывающего три особые точки вдоль их одномерных многообразий. Найдены коразмерности контуров в пространстве параметров системы.

2. В общем случае разработан метод, позволяющий находить кривые и поверхности в пространстве параметров существования этих се-паратрисных контуров.

3. Построены бифуркационные поверхности и кривые всех существующих в системе Лоренца контуров особых точек (гомоклиниче-ская бабочка, гомоклинические петли сепаратрис двух седло-фокусов, гетероклинические траектории, соединяющие седло-фокусы, контуры, соединяющие седло-узел с двумя седло-фокусами).

4. Разработан метод нахождения и стабилизации, существующих в системе Лоренца неустойчивых циклов.

5. Доказана некорректность некоторых положений классического сценария перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и постоянное внимание к работе.

Список цитируемой литературы

[1] Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow - J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-141

[2] Сонечкин Д. М. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы - Л. : Гидрометеоиздат, 1984, с. 277

[3] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. : Наука, 1978, с. 304

[4] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы - Успехи мат. наук, 1970, т. 25, № 1, с. 113-185

[5] Рюэлъ Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы. - М. : Мир, 1981, с. 117-151

[6] Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. - N.-Y.:Springer, 1983, 453 p.

[7] Hirsch M. and Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. - Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p.

[8] Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. - М. : Мир, 1986, 302 с.

[9] Guckenheimer J. and Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors - Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72

[10] Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12 - М. : Мир, 1980, с. 284-293

111] Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II. - М. : Мир, 1980, с. 317-335

[12] Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус - Матем. сб., 1970, 81(123), № 1 ,с. 92-103

[13] Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors - Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321-347

[14] Yorke J. A. and Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz - J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263-267

[15] Sparrow С The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors. - Springer Verlag, N. - Y. 1982

[16] Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821

[17] Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem -Found. Comput. Math., 2002, 2, p. 53-117

[18] Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн. : Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск : ИКИ, 2002, с. 280-303

[19] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца - Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1494 - 1506

[20] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций - Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2 : иод ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина- М. : Физматлит, 2002, с. 179194

[21] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. - М. : УРСС, 2004, 112 с.

[22] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. - Дифференциальные уравнения, 1998, т.34, № 11. с. 1501-1509

[23] Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О нахождении гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек нелинейных ситем обыкновенных дифференциальных уравнений - Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511-1520

Публикации автора по теме диссертации

[1] Калошин Д. А., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца -Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3 : под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2003, с. 99-106

[2] Калошин Д. А. Поиск и стабилизация неустойчивых седловых циклов в системе Лоренца. - Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1559-1561

[3] Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности го-моклинической бабочки в системе Лоренца. - Дифференциальные уравнения, 2003, том 39, № 11, с. 1564-1565

[4] Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гомоклинических и гетероклинических контуров в системе Лоренца - Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2004, с. 115-118

[5] Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гетероклинических контуров в системе Лоренца. -Тезисы международной конференции "Стратегии динамического развития России : единство самоорганизации и управления" - М. : Проспект, 2004, том 3, часть 2-ая, с. 81-86

[6] Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гетероклинических контуров седло-фокусов в системе Лоренца. - Дифференциальные уравнения, 2004, том 40, № 12, с. 1705-1707

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 21 02 2005 г Формат 60x90 1/16 Усл печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 073 Тел 939-3890 Тел/Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им Ы B Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

0-1. ci- oí a

Введение

1 Модель Лоренца

1.1 Конвекция Рэлея-Бенара.

1.2 Вывод модели Лоренца.

1.3 Непротиворечивость модели.

2 Система уравнений Лоренца

2.1 Классическая бифуркационная диаграмма.

2.2 О некоторых особенностях перехода к хаосу.

2.3 Поиск седловых циклов.

2.4 Стабилизация неустойчивых седловых циклов.

3 Построение бифуркационных диаграмм существования сепара-трисных контуров в системе Лоренца

3.1 Гомоклиническая бабочка.

3.2 Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса.

3.3 Гетероклинические контуры сепаратрис системы.

3.3.1 Контур, соединяющий седло-фокус и седло-узел

3.3.2 Контур, соединяющий два седло-фокуса.

3.3.3 Контур, соединяющий два седло-фокуса и седло-узел

3.4 Полная бифуркационная диаграмма.

Наиболее универсальной математической моделью природных процессов служат динамические системы. Предположим, что состояние исследуемого объекта в каждый момент времени можно задать с помощью числовых значений параметров, совокупность которых обозначим через р = {p\,pi, •••) и будем называть состоянием. Множество всех возможных (допустимых) состояний р—{р} образует фазовое пространство. В случае, если изменение состояния системы в последующие моменты времени можно вычислить, исходя из следующего эволюционного уравнения p=<b{t,p), (1) где точка означает производную по времени, а Ф{t,p) - некоторая функция на фазовом пространстве, будем говорить о динамической системе, заданной уравнением (1). Если уравнения динамики системы (1) нелинейны, то она, при отсутствии всяких случайных воздействий, вопреки детерминированным уравнениям, которые должны однозначно определять ее движение в любой момент времени, может вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически.

Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и социальные процессы и явления. Впервые "необычное" поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцом. Появившиеся в середине 50-х годов первые численные схемы гидродинамического краткосрочного (несколько суток) прогноза погоды оказались малоэффективными, что заставило многих исследователей обратиться к статистическим методам прогноза, основанным на представлении о линейной регрессии. В немалой степени это направление стимулировалось появившимися примерно в то же время работами Н. Винера [1], посвященным предсказанию стационарных случайных процессов. Казалось, что использование большого числа предикторов может заменить гидродинамические схемы прогноза, несмотря на существенную нелинейность атмосферных явлений. Лоренц скептически отнесся к идее статистического прогноза и решил проверить ее путем численного эксперимента на какой-либо динамической модели. В результате непростых поисков, связанных с желанием получить апериодические движения (понятно, что предсказание периодических или близких к ним движений по наблюдениям прошлых состояний системы легко осуществить, не прибегая даже к какому-либо более или менее сложному математическому аппарату), Лоренц остановился на двухуровневой модели атмосферы, которая методом Галеркина с удержанием только наиболее крупномасштабных мод была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для найденной таким образом системы 12-го порядка действительно удалось показать полную несостоятельность статистического прогноза в рамках линейной модели. Однако попутно было сделано куда более значительное открытие. Исследуя одно из численных решений системы, Лоренц вывел промежуточные значения фазовых переменных на печать по формату "три знака после десятичной запятой" в памяти машины. Использовав эти значения в качестве начальных данных для последующего счета, Лоренц обнаружил, что после расчета на время около 2-х месяцев результаты резко отличались от тех, которые были получены путем интегрирования без промежуточного вывода значений переменных на печать, т. е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Вначале он даже заподозрил машинный сбой, однако тщательная последующая проверка убедила его в том, что невинное на первый взгляд округление начальных данных действительно приводит к драматическим последствиям для конечных результатов счета. Подробный анализ показал, что начальный шум порядка 10"3, удваиваясь каждые четыре модельных дня, увеличился, таким образом, за два месяца в 215 3.3 * 104 раз, достигнув десятков единиц [2]. В дальнейшем изучаемая модель была существенно упрощена, в ней осталось всего лишь три независимые переменные, и получилась известная система Лоренца(система обыкновенных дифференциальных уравнений) [3, 4]: х = сг{у — х) < у — гх — у — xz (2) z—xy — bz

Смысл переменных заключается в следующем: х характеризует интенсивность конвективных движений, у - разница температур восходящих и нисходящих конвективных струй, z - отклонение вертикального профиля температуры от линейного; фиксированные параметры: г - относительное число Рэлея, а - число Прандтля, Ь- число, характеризующее геометрию вертикального сечения конвективных валов.

Лоренц не ограничился констатацией неустойчивости решений системы (2), при более тщательном анализе поведения решений он обнаружил притягивающее множество (аттрактор) - подмножество фазового пространства, на котором фазовые траектории сочетают в себе глобальную устойчивость (остаются со временем в ограниченном объеме) с их локальной неустойчивостью (чувствительная зависимость к начальным данным, которая характеризуется экспоненциальным разбеганием траекторий).

До последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [5-10]. Согласно геометрической точке зрения динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа) ) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные - отображениями или каскадами [11]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [6]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д. Рюэля и Ф. Такенса [7] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость (траектория не уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова.

Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения - отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [12-20]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [21]. А результаты недавних работ авторов [22-24] позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В работе [22] авторами было показано, что на самом деле в системе Лоренца реализуется совершенно иной переход к хаосу - через двойной гомоклинический каскад бифуркаций.

Известно, что наличие в системе сепаратрисных контуров особых точек, приводит к усложнению динамики системы и рождению хаотических аттракторов. Поэтому основной задачей данной диссертации был анализ как локальных бифуркаций стационарных точек и циклов, так и нелокальных бифуркаций, к которым относятся различные бифуркации гомоклинических и гетероклинических контуров, ведущих к качественному изменению поведения системы в целом. В диссертации показано существование в системе Лоренца различных сепаратрисных контуров, таких как гомоклиническая бабочка, гомоклинические петли сепаратрис седло-фокусов 0\ и Q, гетероклинические траектории Гг, соединяющие седло-фокусы 0\ и О2, и контуры Г3, соединяющие седло-узел О с седло-фокусами 0\ и 6*2. Так же применяя алгоритм поиска всех этих контуров, произведено построение полной диаграммы нелокальных бифуркаций в пространстве параметров системы Лоренца (сг,д,г). Впервые в мировой науке для каждого сепаратрисного контура построена бифуркационная поверхность (кривая) его существования в пространстве параметров системы. В общем случае для гладкого семейства нелинейных систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений: х = F{x,/J), х€Шп, /л е R*, (3) зависящего от вектора параметров /л доказаны 2 теоремы. Первая - о том, что в (3) гетероклинический контур Г2 сепаратрисы седло-фокусов имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а его бифуркационная поверхность является частью к — 1 - мерной гиперповерхностью. Вторая теорема о том, что в случае общего положения система (3) не имеет в пространстве параметров значений соответствующих гетероклиническо-му контуру Гз, соединяющему 3 особые точки, связывающих их одномерные многообразия при к < 2п — 2. Было обнаружено, что в системе Лоренца из-за ее симметрии относительно оси z существуют контуры Гз. Так же разработан метод, позволяющий находить кривые и поверхности в пространстве параметров существования контуров Гг и Гз с любой заданной точностью. Помимо этого, в диссертации изложен сценарий перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца, при котором полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций реализуется при стремлении значений параметра г как сверху, так и снизу к точке г* существования в системе гомоклинических контуров (петель сепаратрис) седло-фокусов. Подтверждено так же, что существование в системе структуры "точка-цикл", описанной в работах [22, 23], никак не связано с хаотическим аттрактором системы. Помимо всего, показано, что система Лоренца наряду с двумя устойчивыми состояниями равновесия может иметь не только хаотический аттрактор, но также и простой или сложный устойчивый предельный цикл. Более того, доказано существование в системе седло-вых циклов, путем их нахождения и стабилизации.

Таким образом, в диссертации доказана некорректность некоторых положений классического сценария перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца, найдены коразмерности и построены бифуркационные поверхности и кривые всех контуров особых точек, разработан метод нахождения и стабилизации существующих в системе неустойчивых циклов. Доказанные теоремы носят общий характер, поэтому подход, применимый в диссертации для исследования системы Лоренца, может быть использован для построения диаграмм нелокальных бифуркаций и стабилизации неустойчивых циклов, в широком классе других нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 45, 47, 50, 51, 52].

Благодарности

Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и постоянное внимание к работе.

1. Wiener N., Mazani P. The prediction theory of multivariate stochastic process - Acta Math., 1957, vol. 98, p. 111-150

2. МонинА. С., Питербарг Л. И. Предсказуемость погоды и климата Сб. Пределы предсказуемости, под ред. Ю. А. Кравцова. - М. : ЦентрКом, 1997, с. 15-19

3. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-141

4. Сонечкин Д. M. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы Л. : Гидрометеоиздат, 1984, с.277

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978, 304 с.

6. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы Успехи мат. наук, 1970, т. 25, № 1, с. 113-185

7. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы. М. : Мир, 1981, с. 117-151

8. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. N.-Y.:Springer, 1983, 453 p.

9. Hirsch M. and Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p.

10. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М. : Мир, 1986, 302 с.

11. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. : У PC С, 2002, 360 с.

12. Guckenheimer J. and Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72

13. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Гл. 12 М. : Мир, 1980, с. 284-293

14. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн. : Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II. М. : Мир, 1980, с. 317-335

15. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус Матем. сб., 1970, 81(123), № 1, с. 92-103

16. Williams R. F. The structure of the Lorenz attractors Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321-347

17. Yorke J. A. and Yorke E. D. Metastable chaos : the transition to sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263-267

18. Sparrow C. The Lorenz equations : Bifurcations, chaos and strange attractors. Springer Verlag, N. - Y. 1982

19. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shilnikov-type bufurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821

20. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem Found. Comput. Math., 2002, 2, p. 53-117

21. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн. : Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск : ИКИ, 2002, с. 280-303

22. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, Ко И, с. 1494 -1506

23. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2 : под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2002, с. 179-194

24. Калошин Д. А., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О некоторых особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3 : под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2003, с. 99-106

25. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О нахождении гомоклиниче-ских и гетероклинических контуров особых точек нелинейных си-тем обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 11, с. 1511-1520

26. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В.Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов, 1999, 368 с.

27. Eckman J. P., Ruelle D.Ergodic theory of chaos and strange attractors Rev. Mod. Phys., 1985, 57, N3, p. 617-656

28. Кузнецов С. Я. Динамический хаос. М. : Физматлит, 2001, 296 с.

29. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М. : Наука, 1987, 424 с.

30. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильншов Л. П. Теория бифуркаций. Кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 5-218.

31. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V.Normal forms and Lorenz attractors Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, № 5, p. 1123-1139

32. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М. : Мир, 1988, 240 с.

33. Верже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М. : Меркурий Пресс, 2000, 366 с.

34. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М. : Наука, 1990, 272 с.

35. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М. : УРСС, 2004, 112 с.

36. Магницкий Н. А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативеных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. - М. : Физматлит, 2004

37. Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation. J. Stat. Phys., 1978, v.19, p. 25-52

38. ШарковскийА.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Украинский математический журнал, 1964, т.26 № 1, с. 61-71.

39. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. УФН, 1983, т. 141, в.2, с. 343-374.

40. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. А., Романенко Ю. Е. Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986, 280 с.

41. Li Т. Y., Yorke J. A. Period thee implies chaos Amer. Math. Monthly, 1975, v.82, № 10, p. 982-985

42. Collet P., Eckmann J. P., Lanford О. E. Universal properies of maps of an interval. Comm. Math. Phys., 1980, v.76, p. 211-254

43. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. M. : Наука, 1989, с. 218-230.

44. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. Дифференциальные уравнения, 1998, т.34, № 11. с. 1501-1509

45. Калошин Д. А. Поиск и стабилизация неустойчивых седловых циклов в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 11, с. 1559-1561

46. Грибов А. Ф., Крищенко А. П. Аналитические условия существования гомоклинической петли в цепях Чу а. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина - М. : Физматлит, 2001, с. 233-268.

47. Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности гомоклинической бабочки в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2003, том 39, № 11, с. 1564-1565

48. Леонов Г. А. Об оценке параметров бифуркации петли сепаратрисы седла системы Лоренца. Дифференциальные уравнения, 1988, том 24, № 6, с. 972-977

49. Chen X. Lorenz equation parti : existance and nonexistence of homoclinic orbits, SIAM J.Math. Analysis, 1996 vol.27, №4, p. 10571069

50. Калошин Д. А. О построении бифуркационной поверхности существования гетероклинических контуров седло-фокусов в системе Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2004, том 40, Jvlb 12, с. 1705-1707