Периодические движения двумерных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

УДК 517.925

2 7 ВИЗ 1307

АМЕЛЬКИН ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТШ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой "степс™ доктора физико-математических наук

Минск - 1996

Работа выполнена в Белорусском государственном университет

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессо Лалтинский Валерий Николаевич

- доктор физико-математических наук, профессо Черкас Леонид Антонович

- доктор физико-математических наук, профессо Шестаков Александр Андреевич

Оппонирующая организация:

- Нижегородский государственный университет

Защита состоится "_17_"—янвщж_ 1997 года в 15

часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г. Минск, ул Сурганова, 11, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; математики АН Беларуси.

Автореферат разослан декабря 1996 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций старший научный сотрудник

^ А.И. Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации определяется, во-первых, той исключительной ролью, которую играют периодические движения в общей теории динамических систем, в частности, при их качественном интегрировании, при решении вопросов об устойчивости движения. Во-вторых, тем интересом, который представляет теория периодических движений для приложений при изучении явлений и процессов, которые моделируются как динамическими системами, обладающими в том или ином смысле свойством консервативности, так и автоколебательными системами, когда незатухающие колебания возникают за счет непериодических источников энергии. И, в-третьих, отсутствием общих регулярных методов исследования периодических движений конкретных динамических систем.

Связь •работы с крупными научными программами, темами. Исследования по теме диссертации проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета, который является частью плановых научно-исследовательских работ, выполняемых в рамках программы Академии наук Беларуси "Дифференциал -4" и Белорусской республиканской программы в области математики и математического моделирования (Регистрационный номер 01910054944).

Цель и задачи исследования. Цель работы заключается в развитии методов исследования изохронных динамических систем с одной степенью свободы и в разработке новых подходов изучения периодических движений автоколебательных систем.

Решаемые при этом задачи состоят в изучении качественных и количественных характеристик динамических систем, связанных с параметризацией по времени траекторий и заменами фазовых координат, в изучении свойств дивергенции векторных полей.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты в диссертации являются новыми. В работе дано дальнейшее развитие методов исследования изохронных динамических систем, связанное с построением конкретных параметризаций траекторий по времени и нормальных форм дифференциальных уравнений, а также предложены ноше подходы к изучению изолированных периодических движений, основанные на введенном автором понятии дивергентной траектории и уточненном понятии регулярности цикла, и что позволило отве-

тить на вопрос об основных качественных и количественных характеристиках двумерных изохронных и автоколебательных систем.

Практическая значимость полученных результатов. Проведенные исследования позволили выявить ряд новых, важных свойств движений динамических систем, имеющих место при математическом моделировании колебательных процессов, изучении их устойчивости, выяснении вопроса о числе и кратности периодических движений. Конструктивный характер большинства доказываемых утверждений позволяет использовать полученные результаты не только в теоретических разработках тех научных центров, где изучаются периодические процессы, но и непосредственно на практике, например, при решении обратных задач динамики.

Результаты диссертации нашли отражение в специальных курсах, которые автор читал в течение ряда лет студентам и аспирантам Белорусского, Самаркандского и Пекинского университетов, а также во второй глазе монографии В.В. Амелькина, H.A. Лукашевича и А.П. Садовского "Нелинейные колебания в системах второго порядка". - Минск, изд-во ЕГУ, 1982. - 208 с.

Оснозные положения диссертации, выносимые на защиту. Автором диссертации защищаются следующие основные положения:

- основанные на построенных автором нормализующих и изменяющих время обхода по траекториям динамических систем преобразованиях критерии существования нелинейных изохронных колебаний, позволившие выявить новые нелинейные эффекты у монодромных динамических систем (общая, частная и совершенная изохронность затухающих и периодических колебаний; канонический вид изохронных динамических систем);

- критерии существования, числа, кратности и устойчивости периодических движений двумерных динамических систем, связанные с обращением критерия Еендиксона-Дюлака об отсутствии у динамических систем замкнутых траекторий и предложенной автором классификацией предельных циклов, основанной на свойствах дивергенции векторного поля и условиях регулярности циклов, и которые позволяют конструктивно решать обратные задачи динамики.

Личный вклад соискателя. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В частности, из работ /1,2,6,13,14/ (см. список опубликованных автором работ по теме диссертации), написанных в соавторстве, из /1/ диссертанту принадлежат теоремы 1.1, 1.3, 2.1, 2.3 и следствие (теоремы 1.2,

1.4, 2.4, 3.1, 3.2 получены Н-.А. Лукашевичем); из /2/ - теоремы

2, 4, 6, 7, 8 и следствия 1, 2 (теоремы 1, 3 получены H.A. Лукашевичем); в книге /6/ диссертантом написаны §§1Q - IS, 2t - 22 и ему принадлежат теоремы 11.1, 11.2, 11.3, 12.1, 13.3, 13.4, 13.8, 13.9, 13.10, 14.1, 14.2, 14.3, 16.2, 16.3 и следствие 13.1 (§§6, 25, 26 написаны H.A. Лукашевичем; из §13 теоремы 13.5, 13.6, 13.7 доказаны А.П. Садовским. Им же написаны §§1-5,7 -9, 23 - 24); е /14/ диссертантом доказана лемма и следствие на стр. 29 (теорему и следствие на стр. 31 доказал Чинь Зань Дзнг). Результаты работы /13/ в равной степени принадлежат обоим авторам.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на: Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971; 1Э76; Кишинев, 1979; Иркутск, 1986; Рига, 1989; Самарканд, 1992); 3-ей Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977); Всекитайской конференции по теории устойчивости движения и динамическим системам (Гуанчжоу, 1987); семинаре по динамическим системам Пекинского университета (Пекин, 1987; 1988) - рук. проф. Чжан Чжифэн; семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям им. Ю.С. Богданова (Минск, 1988; 1992) - рук. академик АН Б проф. H.A. Изобов,.проф. Л.А. Черкас; семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета (Низший Новгород, 1991) - рук. проф. М.В. Долов; семинаре кафедры теоретической механики Московского государственного университета ( Москва, 1991 ) - рук. академик РА H проф. В.В.Румянцев, проф. Ю.А.Архангельский; семинаре кафедры высшей математики Всероссийского заочного института инженеров железнодорожного транспорта (Москва, 1991) - рук. проф. А.А.Шестаков; семинаре кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург,

1992) - рук. член-корр. РА H проф. В.А.Плисс; семинаре лаборатории моделирования и анализа систем Института математики АН Б (Минск, 1992) - рук. академик АН Б проф. И.В.Гайшун; семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям Белорусского государственного университета (Минск, 1992) - рук. проф. А.Б. Антоневич, проф. П.П. Забрейко, проф. H.A. Лукашевич, проф.

3.В. Радано, проф. Н.И. Юрчук; семинаре кафедры теоретической механики Московского государственного университета (Москва,

1993) - рук. проф. В.В. Козлов, проф. C.B. Болотин; семинаре ка-

федры теоретической механики Российского университета дружбы народов (Москва, 1993) - рук. проф. A.C. Галиуллин; семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1993) - рук. проф. П.Е. Товстик; семинаре Белорусского математического общества (Минск, 1995) ^-рук. академик АН Б проф. И.В. Гайшун.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях /1 - 5, 7 - 14/ и книге /6/, а также в тезисах докладов указанных выше конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, разбитых на 14 разделов, выводов, списка использованных источников, содержащего 134 наименования, двух приложений.

Объем диссертации 202 стр. Семь иллюстраций занимают 4 стр., список использованных источников занимает 12 стр., приложения -23 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе -дается краткий обзор тех научных достижений в области теории периодических движений, которые наиболее близко примыкают к исследованиям, проводимым в диссертации.

Рассматриваются двумерные динамические системы, при изучении которых следует иметь в виду существенное различие между периодическими движениями, которым на фазовой плоскости соответствует изолированная замкнутая траектория (предельный цикл), и что возможно только в случае нелинейных уравнений движения, и периодическими движениями, которым на фазовой плоскости соответствует континуум замкнутых траекторий, сплошь заполняющих некоторую область, и что возможно как в случае линейных, так и в случае нелинейных уравнений движения.

Если дифференциальные уравнения нелинейны, а периодическим движениям на фазовой плоскости соответствует континуум замкнутых траекторий, то периоды обхода изображающих точек го различным траекториям, а значит и периоды соответствуицих периодических движений, в общем случае зависят от начальных условий.

Естественной в связи с этим и важной как с теоретической, так и практической точек зрения является задача о так называемых изохронных колебаниях, когда период колебаний колебательной сис-

темы (осциллятора) не зависит от начальных условий.

Отправным моментом в истории проблемы изохронных колебаний являются исследования круговых маятников, проведенные еще Галилеем, а также постановка и решение задачи о нахождении в вертикальной плоскости такой кривой, чтобы время, необходимое для спуска по ней до фиксированного горизонта тяжелой материальной точки, находящейся в начальны® момент времени t = t в состоянии покоя, не зависело от исходного положения точки на этой кривой.

Как показал Гюйгенс, такой изохронной кривой оказалась циклоида. Указанное свойство циклоиды было использовано Гюйгенсом при конструировании им точных циклоидальных маятниковых часов.

И хотя циклоидальные маятниковые часы Гюйгенса на практике не подтвердили преимуществ перед часами с круговым маятником, так как в часах имеют дело не со свободными колебаниями, а с автоколебательной системой, - строгое объяснение чему впервые дано в § 5 главы III классической монографии A.A. Андронова, A.A. Витта и С.Э. Хайкина "Теория колебаний", ПШЛ, 1959. - 915 с. -свойство изохронности колебаний существенно используется в современных часах при конструировании одного из узлов часов - осциллятора свободных колебаний.

После Гюйгенса проблемой изохронных колебаний занимались многие известные механики и математики.

Так, например, изучая колебания пружины, описываемые уравнением

x + gW= о, (1)

братья Д. Бернулли и И. Бернулли установили, что если нелинейная изохронность таких колебаний и может иметь место, то это возможно только в случае, когда в окрестности состояния равновесия восстанавливающая (потенциальная) сила имеет характер линейной функции.

Даламбер изучал проблему в предположении, что в уравнении (1) сила g задается соотношением

g(x) = ах + Ъх14,

где п но к какому-либо определенному выводу он так и не пришел.

Исследования Абеля касались условий изохронности колебаний пружины на временном промежутке, равном четверти периода.

О сложности решения проблемы в общем случае говорит уже тот факт, что принципиальный ответ на вопрос о возможности существования изохронных колебаний у динамических систем, уравнение движения которых записывается в виде (1), был дан лишь только в работах, опубликованных в период с 1937 по 1963 годы. Это статьи И.С.Куклеса и Н.С.Пискунова, Н.Н.Назарова, З.Опяля, М.Урабе, Дж.Левина и С.Шатца, К.Оби.

Если обратиться к случаю неконсервативной системы

хЧ ?(х,х) = о, (2)

то одним из первых результатов здесь был установленный Адамаром факт невозможности изохронных колебаний в случаях, когда &е/дх = о, и эр/йх — > со при х — >oii — >0.

Не может быть нелинейной изохронности и в случае, когда

F(x,x) = kz: + f(x).

Этот факт доказал Гатон де ля Гушйер.

На возможность же нелинейной изохронности в неконсервативном случае (2) было указано Эйлером, Дарбу и Адамаром при рассмотрении ими примеров функции р, заданной соотношением вида

Р(х,х) = g(x) + fCxJi2.

Если же дифференциальные уравнения движения динамической системы оказываются более сложными, чем уравнения вида (1) или (2), и записываются в виде вещественной двумерной нелинейной динамической системы

¿=Х(х, у), y=Y(x,y), (3)

то методика решения проблемы, которая использовалась в рассмотренных выше случаях, здесь уже не работает и нужны иные методы и подхода.

Продвижение в решении проблемы изохронности колебаний, описываемых динамическими системами вида (3), оказалось возможным

благодаря, в частности, исследованиям А.М.Ляпунова, связанным с переходом в динамической системе (3) к полярным координатам р, ® и выводом затем формулы для вычисления периодов периодических решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с коэффициентами, являющимися однородными многочленами от коэффициентов правой части системы (3).

Свое дальнейшее развитие подход А.М.Ляпунова получил в работах Н.А.Абдуллаева, И.С.Куклеса, В.И.Чемоданова, Н.Ф.Отрокова. Полученные в этих работах результаты показывают, что для решения задачи об изохронности центра в общем случае требуется выполнение счетного числа условий.

Еще одним из методов решения проблемы изохронности является ' метод нормальных форм, основанный на приведении исходной динамической системы (3) к так называемой нормальной форме. На практике этот метод быстрее приводит к цели, чем методы, основанные на идеях А.М.Ляпунова. Среди работ, посвященных вопросу приведения динамических систем к нормальной форме в первую очередь следует назвать работы Дж.Д.Биркгофа, К.Л.Зигеля, М.Урабе, А.Д.Брюно, М.Хукухары, А.П.Воробьева, В.А.Плисса, Ю.Н.Бибикова.

В приложении к аналитическим динамическим системам основной результат здесь состоит в следующем.

Теорема (А.П.Воробьев). Для того чтобы голоморфная динамическая система (3) с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения в особой точке имела изохронный центр, необходимо и достаточно существование голоморфной замены фазовых координат, приводящей исходную систему (3) к линейной системе, траекториями которой являются особая точка и окружающие ее концентрические окружности.

В данном случае, как и в методах, реализующих в различных формах идею А.М.Ляпунова, аналитическая зависимость меззду коэффициентами исходной системы и коэффициентами преобразования также выражается в виде серии из счетного числа условий.

Используя теорему А.П.Воробьева, в работах И.И.Плешкана предлагается решать задачу об изохронности центра динамической системы (3) посредством исследования уравнения, получаемого из системы (3) введением комплексной переменной.

Н.Н.Ладис, также в определенной мере используя теорему А.П.Воробьева, критерий изохронности формулирует на языке коммутирующих векторных полей.

Отметим, далее, работы А.Е.Руденка, Н.В.Пнжковой и А.П.Садовского, в которых указываются другие возможности решения проблемы изохронности центра, связанные с приведением исходной динамической системы (3) к некоторым "каноническим" нелинейным динамическим системам.

Среди методов решения проблемы изохронности центра можно выделить и метод неявных функций, предложенный В.С.Лоудом. Следует, однако, отметить, что практическое применение метода неявных функций встречает определенные затруднения и он является более сложным по своей реализации, чем другие известные подхода.

Резюмируя выше изложенное, можно сказать, что применение рассмотренных методов решения проблемы изохронности центра в общем случае динамических систем вида (3) оставляет задачу трансцендентной. Трансцендентность здесь понимается в том смысле, что применение упомянутых методов приводит в общем случае к проверке счетного числа условий и, таким образом, мы находимся в ситуации, когда знаем как решать задачу, но практически до конца решить ее не можем.

Тем не менее, можно указать' классы динамических, систем, для которых проблема изохронности центра может быть решена конечным числом операций. В частности, этот факт имеет место для полиномиальных динамических систем и вытекает он из теоремы Гильберта о базисах в полиномиальных идеалах. И все-таки нельзя сказать, что теорема Гильберта позволяет решить задачу до конца, так как до сих пор не известно каким образом конечное число указанных операций выражается через степени полиномов Х(з:,у) и У(х,у) динамической системы (3).

Таким образом, при несомненных достижениях в исследовании проблемы в общем случае систем вида (3) ряд вопросов остался нерешенным, а их решение имеет прямое отношение не только к конструированию точных часов, о чем уже говорилось выше, но и прямо . связано вообще с общей теорией конструирования точных приборов, с теорией спусковых регуляторов скорости, с теорией механизмов и детвлей машин, а также с другими задачами механики.

Обращаясь к случаю непостоянных периодических движений систем вида (3), которым на фазовой плоскости соответствуют предельные циклы, отметим, что несмотря на самую разнообразную природу таких движений, их объединяет одно общее свойство, по поводу которого академик А.А.Андронов писал: "Существует ряд уст-

ройств, могущих генерировать незатухающие колебания за счет непериодических источников энергии. Однако до сих пор нет достаточно строгой и общей теории таких автоколебаний. Мезду тем имеется адекватная математическая конструкция, созданная вне всякой связи с теорией колебаний, позволяющая установить общую точку зрения на все подобные процессы для случая одной степени свободы. Это конструкция-теория "предельных циклов" Пуанкаре"*^.

Для исследования вопросов существования предельных циклов у конкретных динамических систем, а также для изучения различных свойств циклов А.Пуанкаре ввел в практику метод топографической системы и контактной кривой, функцию последования (преобразование монодромии) и метод малого параметра, указал на теорему о кольцевой области. Он же впервые обратил внимание и на ту тесную связь, которая существует между решением вопроса о существовании предельных циклов и задачей построения качественной картины поведения траекторий аналитической динамической системы в фазовом пространстве.

И.Бендиксон привел строгое доказательство теоремы о кольцевой области и затем распространил ее на случай предельного множества траекторий динамических систем, рассматриваемых в ограниченной области. В настоящее время последний результат цитируется как теорема Пуанкаре-Бендиксона. Следует также отметить, что И.Бендиксон впервые использовал формулу Грина для установления звязи между фактом существования у динамической системы замкнутой траектории и свойствами дивергенции векторного поля. Теперь этот результат известен как критерий Бендиксона об отсутствии замкнутых и особых замкнутых траекторий в односвязной области. В цальнейшем критерий Бендиксона обобщался и усиливался в работах других математиков. И первым среди них следует назвать Г.Дюлака. £го обобщение критерия Бендиксона известно теперь как признак Зендиксона-Дюлака для многосвязной области.

Дальнейшее развитие это направление получило в работах З.Ф.Ткачева и Вл.Ф.Ткачева, Ю.С.Богданова, Чень Сианяня и других шторов. Наиболее общие исследования, которые имеют и ясную гео-

А.А.Андронов. Собрание трудов. - М.: Изд-во АН СССР. - 1956. -¡.32.

метрическую интерпретацию, проведены здесь Чень Сианянем. Им была доказана

Теорема (Чень Сианянь). Предположим, что в односвязной области й определены и непрерывно дифференцируемы функции Х(х,у) У(х,у) и Ы(х,у), Щх.у) такие, что для функций

Е(х,у) = ]£(х.у)Х(х.у) + Л(х,у)У(х,у)

и

Р(Х У1 = - ак(х.у)

еу ах

выполняется одна из следующих трех серий условий:

1) Е(х,у) е О; по КО), причем 1 & о в любой подобласти области в;

2) Е(х,у) ^ О (£ 0); Р(х,у« о), причем НОВ любой подобласти области с-;

3) Е(х,у) >0 0); ?(х,у) = О.

Тогда в первом случае динамическая система (3) не имеет в й ни замкнутых, ни особых замкнутых траекторий; во стором случае динамическая система (3) не. имеет в с ни положительно (при Р(х,у)> £ О), ни отрицательно (при Р(х,у) ¡г о) ориентированных замкнутых траекторий, ни особых замкнутых траекторий; в третьем случае динамическая система (3) не имеет в э ни замкнутых, ни особых замкнутых траекторий, если они только полностью не содержатся во множестве Е(х,у) = о.

Заметим здесь, что если в теореме Чень Сианяня положить м = = У(х,у)В(х,у), N = - х(х,у)В(х,у),то получим признак Бендиксо-на-Дюлака для односвязной области.

Если остановиться на вопросе о максимальном числе и расположении предельных циклов двумерных динамических систем, который был включен Д.Гильбертом 16-ым пунктом в число 23-х указанных им в 1900 году важнейших проблем, требувдих своего решения, то следует отметить, что до настоящего времени эта проблема так и не решена, несмотря на то, что ев занимались многие известные математики.

Одной из первых крупных работ, связанных с решением 16-ой проблемы Д.Гильберта, была большая статья Г.Дюлака, опубликованная в 1923 году и посвященная доказательству конечности числа предельных циклов полиномиальной системы (3). Позднее Ю.С.Илья-шенко нашел ошибку в доказательстве основного результата Г.Дгала-

ка и провал дополнительные исследования.

Следующим серьезным достижением в решении 16-ой проблемы Д.Гильберта была одна из работ С.П.Дшшбврго, в которой для введенных им строгих предельных циклов, т.е. для предельных циклов, вдоль которых дивергенция векторного шля, заданного системой (3), строго отрицательна или строго положительна, доказана

Теорема (С.П.Дилиберто). Пусть в динамической системе (3) функции х и Y - полиномы степени не выше п. Тогда если система (3) имеет только строго устойчивые или строго неустойчивые предельные циклы, то их общее число меньше, чем

|(п - 2)(п - 3) + 1.

Если, кроме того, предельные циклы образуют гнездо и окружают одну особую точку, то указанная оценка может свестись к точному равенству [ (п - 1)/2], где [•] - целая часть числа.

Оценке сверху числа предельных циклов динамических систем вида (3) посвящены также работы С.К.Зарембы, М.И.Войлокова, К.Ямато. .

Особое внимание обратим на исследования И.Г.Петровского и Е.М.Ландаса, в соответствии с которыми предлагалось оценивать число предельных циклов вещественной полиномиальной динамической системы путем перехода к соответствующему дифференциальному уравнению первого порядка в комплексном проективное пространстве фазовых переменных. Эти исследования вызвали большой резонанс в кругу научной общественности и послужили своеобразным допингом для дальнейших исследований, косающихся решения 16-ой проблемы Д.Гильберта. Дело в том, что, как показал Ю.С.Ильяшенко, на решениях комплексного уравнения может содержаться счетное множество не гомотопных друг другу циклов, и поэтому нельзя оценивать число циклов вещественной динамической системы посредством циклов соответствующего комплексного уравнения.

С оценкой сверху числа предельных циклов естественным образом связана и проблема об оценке максимально возможной кратности предельных циклов динамической системы вида (3). Для регулярных предельных циклов эта проблема решена В.Ф.Ткачевым. Им доказана Теорема (В.Ф.Ткачев). Если х и Y - полиномы n-ой степени, то система (3) не имеет регулярных предельных циклов кратности выше n + 1 или равной n + 1.

Говоря о предельных циклах, необходимо подчеркнуть следующее обстоятельство. Тог большой интерес, который представляют предельные циклы для общей качественной теории дифференциальных уравнений, состоит еще и в том, что предельные циклы входят в состав так называемых особых траекторий динамических систем вида (3). А как показали исследования 1.А.Андронова и Е.А.Леонтович особые траектории систем вида (3) - состояния равновесия, сепаратрисы и предельные циклы - определяют тот "скелет", который позволяет описать качественную картину поведения фазовых траекторий динамической системы (3) во всей проективной плоскости К2. При этом, если для изучения сепаратрис и поведения траекторий в окрестности состояний равновесия системы (3) имеются надежные методы, то для изучения предельных циклов регулярных методов нет.

Дело в том, что теория предельных циклов относится к той области качественной теории дифференциальных уравнений, которая связана с резко выраженной глобальной задачей, при решении которой возникают трудности принципиального характера в связи с невозможностью непосредственного использования математического аппарата дифференциального исчисления, по своей идее предназначенного для решения локальных вопросов.

Приведенный обзор литературы показывает, что несмотря на большие научные достижения в решении рассматриваемых проблем многие важные вопросы остались до конца нерешенными. К таким вопросам относятся вопросы существования, числа и устойчивости колебаний, конструктивное решение которых возможно лишь с привлечением новых идей, новых подходов, связанных, в частности, с параметризацией по времени множества траекторий динамических систем и заменами фазовых координат.

Вторая глава посвящена изучению монодромных изохронных динамических систем с голоморфными правыми.частями. Здесь рассматриваются динамические системы вида

х = Ля - у - Х(х,у), у = г + Лу + У(х,у), (4)

где х, у, ъ - скалярные вещественные переменные, К - вещественная постоянная, функции Х,У:0 -> Ш голоморфны в окрестности

начала координат 0(о,о) фазовой плоскости 0={(х,у)||х|<р,|у|<р), р € Е+, и их разложения в степенные ряды по переменным х и у не

содержат линейных и свободных членов.

Заметам, что к динамической системе (4) линейным преобразованием приводится любая голоморфная система вида (3) с комплексно сопряженными корнями характеристического уравнения линейного приближения. i

Таким образом, система (4) - это канонический вид уравнений движения (3), описывающих в окрестности точки покоя либо периодические колебания, которым на фазовой плоскости соответствует состояние равновесия типа центра, либо затухающие колебания (при t —> + со или t —> - <»), которым на фазовой плоскости соответствует состояние равновесия типа фокуса.

Имея в виду, что в дальнейшем речь будет идти об изолированной точке покоя динамической системы (4), которая совпадает с началом координат 0(о,о) декартовой координатной системы на фазовой плоскости, предположим, что в начальный момент времени t = = tQ изображающие точки кривых центра или фокуса системы (4) лежат на одном и том же луче ОА (с началом в точке 0(о,о)), составляющим с осью абсцисс угол <pQ.

Тогда говорят, что для динамической системы (4) имеет место изохронность n-го порядка (п - целое положительное), если все изображающие точки, лежащие при t = t на луче ОА и начинающие движение по траекториям центра или фокуса системы (4), изменяют свой полярный угол <р0 на cpQ + 2тс/а за одно и то же время t = t + + 2%/п.

Если для динамической системы (4) имеет место изохронность n-го порядка при людом начальном положении луча ОА, то такую изохронность называют общей. Если же изохронность n-го порядка имеет место для системы (4) лишь только при некоторых начальных положениях луча ОА, то изохронность называют частной. Наконец, если движение всех изображающих точек, лежащих при t=tQ на одном и том же радиусе-векторе, происходит по кривым центра или фокуса системы (4) с одной и той же угловой скоростью, то изохронность называется совершенной.

Задача об изохронных колебаниях прямо связана с задачей об устойчивости движения по Ляпунову. Так, если динамическая система (4) имеет в окрестности точки покоя 0(о,о) континуум замкнутых траекторий, то для того чтобы каждое периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы для системы (4) имела место изохронность 1-го порядка.

Что же касается затухающих колебаний, то в диссертации доказана

ТЕОЕЭ/А. 1. Пусть в окрестности точки покоя 0(о,о) движения динамической системы (4) являются затухающими при -ь —> +<» или t — > -со. тогда если для этой системы имеет место общая изохронность п-го порядка, то такая изохронность оказывается совершенной изохронностью.

Заметим, что утверждение теоремы 1 справедливо как в случае А. ф с, так к в случае \ = о б системе (4).

Приведенная теорема позволяет укгзать необходимые к достаточные условия общей изохронности затухающих колебаний. Они очевидным образом находятся из условия ф = 1, где ср - одна из полярных координат.

В случае периодических движений утверждение, аналогичное теореме 1, уже места не имеет. Можно только отметить, что в эт ом случае изохронность 1-го порядка всегда оказывается общей изохронностью.

Если остановиться на вопросе об изохронности 1-го порядка в случае, когда в системе (4) постоянная X = о, то в диссертации этот вопрос решается на основе подходов, основанных на использовании замены времени и замены фазовых координат.

При первом подходе решение связывается с условиями, исключающими резонансные явлеЕия, и оказывающимися условиями ортогональности правых частей некоторых специальным образом построенных в диссертации вспомогательных динамических систем. Этот подход решения задачи об изохронности основан на развитии идеи параметризации множества траекторий динамических систем, широко используемой, например, для решения вопросоз об орбитальной устойчивости движения.

В другой форме - это условия существования у дифференциальных уравнений траекторий специальных интегрирующих множителей. Именно, доказана

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы для динамической системы (4) имела место изохронность центра 1-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки покоя 0(о,о) уравнение траекторий

(х + У(х,у))сЬ: + (у + Х(х,у))ау = О

мало голоморфный интегрирующий множитель

., „•, _ ди. дч <Эи дч

ц(х,у) - - щ-^ (5)

такой, чтобы соответствующий ему интеграл Н(х,у) представлялся в зиде ни,у) = (и2 + где и и V - функции вида

и = х +

X

V = у +

1 +

^=2

(6)

Теорема 2 позволяет вывести ряд полезных следствий, связан-зых со спецификой представления интеграла н(г,у), которые и об-зуждаются в диссертации.

Что же касается второго подхода, то один из результатов здесь дает

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы для динамической системы (4)-при I = о имела место изохронность 1-го порядка, необходимо и достаточно существование единственной замены фазовых координат

со со

и = х +) " о^у21 , V = у + ) Р^Л1, (7)

I = 1* к + 1=2

¡триводящей систему (4) к системе вида

и = - V +

"I

V" = и + V

г „и V

.(8)

в + 1^ = 2

Теорема 3 - пбрвый результат в теории нормальных изохронных £орм, позволяющий решать вопрос об изохронности единственным преобразованием вида (7) независимо от того, является начало ко-эрдинат центром или фокусом для-динамической системы (4).

Теорема 3 позволяет указать конструктивный метод построения изохронных динамических систем, особенно эффективный при решении обратных задач динамики. В основе этого метода лежит представление правой части системы (4) в виде

У + Х(х,у)

Ц(х,у)

X + У(х,у)

§Эк (и3 У2) + (У^ + и^|)Ф(ц,у) ц(х,у)

где

со

Ф(и,т) = ^Г

а ц(х,у) имеет вид (5) с функциями и и V, заданными равенствам] (V).

Акцентируем здесь внимание на том, что теорема 3 охватывае' .случай изохронности как периодических колебаний, так и колебаний, затухающих при t — > или t —> -оз.

А этот факт избавляет от необходимости исследовать сначал; тип колебаний осциллятора и лишь затем переходить к решению вопроса об изохронности, что обычно предлагается в работах другк авторов.

Эффективность теоремы 3 проиллюстрирована, в частности, : приложении 1 диссертации, где строятся динамические модели часо: с сильно изохронным осциллятором Льенара.

Далее показывается, что решение вопроса об изохронных коле баниях имеет прямое отношение к теории интегрирования уравнени в частных производных. Приводимый ниже результат указывает н новые ранее не используемые пути решения проблемы изохронности Именно, в диссертации доказывается

ТЕОРЕМА 4. Для того чтобы для динамической системы (4) име ла место изохронность центра 1-го порядка, необходимо и доста точно, чтобы уравнение

(У + Х(х,у))20Гхг - 2 (у + ЗГ(х,у))(* + Г(х,У))ш;у+ (х + У(х,у))2'

+ [(у + х(х,у))х;(х,у) - (х + у(х,у))(1 + х;(х,у))]ш; +

+ [(х + У(х,у))У'(х,у) - (у + Х(х,у))(1 + У' (х,у))]со' + о) = О

У * у

имело решения вида (6).

В работе выявляется и та взаимосвязь, которая существует между нелинейными изохронными колебаниями и линейными колебаниями гармонического осциллятора, позволяющая на практике ограничиться рассмотрением лишь одной из функций вида (6).

ТЕОРЕМА 5. Для того чтобы для динамической системы (4) имела место изохронность центра 1-го порядка, необходимо и достаточно существование голоморфной замены переменных и (v) вида (6), приводящей систему (4) к уравнению

и'+ и = о (?'+ V = о).

Конструктивное доказательство теоремы 5 позволило вывести условия, при выполнении которых находятся Есе коэффициенты ряда и (v) в случае изохронности системы (4). Кроме того, теорема 5 позволила указать все нелинейные канонические формы изохронных динамических систем с центром, дифференцированием по t сводящиеся к уравнению гармонического осциллятора.

Заметим, что в теоремах 2, 4, 5, в отличие от теоремы 3, речь о единственности функций и и V, заданных равенствами (6), не идет.

Естественно, в связи с этим, выяснить роль коэффициентов аУ и Ру соотношеш1Й (6) и рассмотреть вопрос о каноническом, простейшем виде последних.

В диссертации показывается, что не все коэффициенты а^. и играют равноправную роль. Последний факт и является причиной существования бесконечного множества замен фазовых координат вида (6), приводящих-динамическую систему (4) к заданному виду (отличному от вида (8)). Некоторые из этих коэффициентов существенны для решения задачи об-изохронности колебаний (и таковыми являются коэффициенты однородных полиномов четной степени), а остальными - коэффициентами однородных полиномов нечетной степени, можно распоряжаться в определенном смысле по своему усмотрению. Слова "в определенном смысле" здесь означают, что мевду коэффициентами однородных полиномов нечетной степени существует определенная, выявленная в диссертации, связь, нарушение которой полностью искажает истинный характер явления.

В процессе решения вопроса о канонических заменах фазовых координат выведены формулы для выражения коэффициентов преобразования, а также коэффициентов, фигурирующих в формуле для вычисления периода обхода изображающих точек по замкнутым траекториям, через коэффициенты исходной динамической системы.

Получвнные формулы позволяют практически строить изохронные динамические системы, имеющие в окрестности точки покоя на фазовой плоскости континуум замкнутых траекторий.

Заканчивается вторая глава некоторыми соображениями качественного характера, позволяющими решение вопроса об изохронных колебаниях в случае континуума периодических движений связать с поведением траекторий в комплексной области.

В частности, доказана

ТЕОРБЖ 6. Для того чтобы для полиномиальной динамической системы Гамильтона вида (4) имела место изохронность колебаний 1-го порядка, необходимо, чтобы точка покоя 0(о,о) была единственной конечной точкой покоя рассматриваемой системы в комплексной области С2.

Следствием теоремы 6 является

ТЕОРЖА 7. Для того чтобы периодические колебания полиномиального осциллятора (1), расположенные в окрестности х = х = о, имели один и тот же период Т = 2%, необходимо и достаточно, чтобы = х.

Теорема 7 окончательно решает проблему изохронности 1-го порядка дай случая периодических колебаний полиномиального осциллятора вида (1).

Обратим здесь внимание на тот факт, что в случае нелинейного неполиномиального осциллятора (1) нелинейная изохронность возможна. Этот факт имеет место, например, для осциллятора

X* +

VI + 2х

= О,

где предполагается, что -1 < 2х < 1.

В третьей главе изучаются периодические движения автоколебательных динамических систем вида (3).

Преаде всего вводится новое понятие дивергентной замкнутой траектории системы (3) и затем выясняется роль таких траекторий

при качественном исследовании движений, задаваемых уравнениями (3).

Именно, пусть

2 Ох оу

дивергенция векторного поля, заданного системой (3), определяющая скорость растяжения объемов соответствующим потоком.

Тогда замкнутую траекторию Г:7(х,у) = о динамической системы (3) назовем дивергентной замкнутой траекторией, если вдоль этой траектории дивергенция векторного поля, заданного системой (3), сохраняет постоянное значение.

Обратим внимание на тот факт, что дивергентная замкнутая траектория может быть как изолированной замкнутой траекторией, так и входить в состав траекторий, составляющих некоторый континуум. Доказана

ТЕОРЕМА 8. Пусть функции Х(х,у) и У(х,у) принадлежат классу ск, к = 1, 2, 3, ... ,в любой конечной области фазовой плоскости К2. Тогда если динамическая система (3) имеет замкнутую траекторию Г, то существует необращащаяся в нуль функция В: К2 -> класса Ск такая, что для динамической системы

¿ = Х(х,у)В(х,у), у = У(х,у)В(х,у) (9)

кривая Г будет дивергентной замкнутой траекторией.

Таким образом, с точностью до замены времени любую замкнутую траекторию динамической системы (3) всегда можно считать дивергентной замкнутой траекторией.

Последующие исследования в диссертации связаны с изучением предельных циклов автоколебательных систем вида (3). Здесь впервые получены необходимые и достаточные условия существования автоколебаний у динамических систем общего вида (3).

Один из критериев существования автоколебаний дает

ТЕОРЕМА 9. Пусть функции Х(х,у) и У(х,у) принадлежат классу ск, к = 2, з, 4, ... , в любой конечной области фазовой плоскости Ш2. Тогда для того чтобы динамическая система (3) имела грубый предельный цикл, необходимо и достаточно существование отличной от нуля постоянной X е К~ (Ш+) и необращающейся в нуль функции В:®2-> К+ класса ск таких, чтобы уравнение

Г^сИт Ъъ + (Ну Вг = к, (10)

где символ Б^1 обозначает оператор дифференцирования по 1 в силу системы (9), задавало кривую, имеющую конечную действительную ветвь, являющуюся простой без особых, точек системы (3) замкнутой кривой класса ск+1, кратность которой - это 1фатность ее как дивергентной кривой системы (9).

Геометрическая интерпретация теоремы 9 состоит в следующем.

ТЕОРЕМА 10. Пусть функции Х(х,у) и У(х,у) принадлежат классу ск, к = 2, з, 4, ... , в любой конечной области фазовой плоскости Ш2. Тогда для того чтобы динамическая система (3) имела грубый предельный цикл, необходимо и достаточно существование необращащейся в нуль функции ВгК2-> К+ класса ск такой, чтобы уравнение йиг- Ьz = Л, где Л - вещественный параметр, изменяющийся на некотором интервале I с ш~(К+), определяло топографическую систему, контактная кривая которой имела бы q-кpaтнyю конечную действительную ветвь, совпадающую с одной из р-кратных (р ^ а) кривых этой же топографической,системы.

Отметим, что теорема 9 отражает не только качественную сторону вопроса, но и дает способ нахождения требуемой функции в. Бри этом функция в не обязана быть решением уравнения (10). Но если мы найдем функцию в как решение уравнения (10) в некоторой области Б, то тем самым мы сможем найти все грубые предельные циклы системы (3) (если таковые существуют), соответствующие автоколебаниям и лежащие в Б. В частности, если рассматриваются полиномиальные динамические системы, то для нахождения функции в можно воспользоваться известными результатами из теории овалов плоских алгебраических 1фивых. При этом оказывается, что в отличие от задачи нахождения интегрирующего множителя, решаемой в исключительных случаях, задача о нахождении функции в, фигурирующей в уравнении' (10), разрешима почти для каждого векторного поля, заданного уравнениями движения вида (3).

Следующий результат касается оценки сверху числа периодических автоколебаний в системах с одной степенью свободы и связан он с рассмотрением введенных С.П.Дилиберто строгих предельных циклов.

ТЕОРЕМА И. Пусть Х(х,у) и У(х,у) - полиномы степени не выше п. Тогда:

1) общее число строгих предельных циклов динамической системы (3) не превосходит

Щу - порядок неприводимой ветви ^(х.у) = о приводимой кривой, заданной уравнением

<Нтг г = (х,у)...хг,(х.у)...£к(2,у)£3(х)£р(у) = О,

а б и р - степени полиномов 1Б(х) и £р(у) (вообще говоря, приводимых) соответственно;

2) общее число строгих предельных циклов динамической системы (3), образующих гнездо и окружающих одну точку покоя системы (3), не превосходит

где [•] - целая часть числа.

Теорема 11 обобщает и усиливает один из результатов, полученных С.П.Дилиберто. Это обобщение и усиление состоит в том, что, во-первых, в диссертации рассматриваются полиномиальные динамические системы общего вида, а не только те, которые имеют лишь строгие предельные циклы, как предполагает С.П.Дилиберто. Во-вторых, полученная в теореме 11 оценка сверху числа предельных циклов оказывается в общем случае существенно более точной, чем у С.П.Дилиберто, что и иллюстрируется в диссертации примерами. И эта оценка совпадает с оценкой С.П.Дилиберто в том случае, когда кривая, заданная уравнением г = о, оказывается неприводимой кривой.

В работе выясняется и вопрос об условиях, при выполнении которых система (3) является автоколебательной системой с негрубым характером колебаний. Так, доказана

со

где

[(п - в - р - к)/2]

ТЕОРЕМА 12. Цусть функции Х(х,у) и У(х,у) голоморфны, а необращающаяся в нуль функция В:К2 -> К+ принадлежит классу с03

в любой конечной области фазовой плоскости К2. Тогда если кривая, заданная уравнением йг? Ви = о, имеет конечную дивергентную действительную ветвь Гр, являющуюся р-кратной простой без особых точек системы (3) аналитической замкнутой кривой, совпадающей с (^кратной (р < ч) ветвью Г^ кривой, заданной уравнением ю^йуу Вг = о, и если во внешней или во внутренней полуокрестности этой ветви функция елт Ъъ является функцией знакопостоянной, то динамическая система (3) имеет негрубый предельный цикл.

Обратим внимание на тот факт, что кратности совпадающих ветвей кривых, о которых идет речь в теоремах 10 и 12, одинаковыми быть не обязаны. Не обязана совпадать с кратностью совпадающих ветвей и кратность предельного цикла. Эти факты подтверждаются приводимыми в диссертации конкретными примерами динамических систем.

Далее выявляется связь между грубыми предельными циклами произвольных динамических систем вида (3) и введенными автором диссертации обобщенно строгими предельными циклами, т.е. предельными циклами, вдоль которых дивергенция векторного поля, заданного динамической системой (3), будучи говдественно. отличной от нуля, оказывается на циклах функцией знакопостоянной. В частности, доказана

ТЕОРЕМА 13. Пусть функции Х(х,у) и У(х,у) принадлежат классу ск, к = 1, 2, з, ... , в любой конечной области фазовой плоскости К2. Тогда для того чтобы динамическая система(3) имела грубый предельный цикл, необходимо и достаточно существование

необращающейся в нуль функции В: К2 -> Ш+ класса Ск такой,

чтобы динамическая система (9) имела обобщенно строгий предельный цикл.

Полученные результаты о существовании автоколебаний у динамических систем вида (3) являются своеобразным обращением критерия Бендиксона-Дюлака об отсутствии замкнутых траекторий у таких систем.

Последующие исследования касаются новой классификации предельных циклов, основанной на выявленных автором диссертации свойствах сужения дивергенции векторного поля, порождающего систему вида (3), и условиях регулярности цикла. Дается обоснование нового подхода к определению кратности предельного цикла, свя-

занного с задачей о приводимости. При этом предварительно уточняется введенное П.Н.Папушем в 1952 году понятие регулярного предельного цикла, который характеризуется тем свойством, что, начиная с некоторого момента времени t = tQ, расстояние от него до изображающей точки, движущейся по соседней фазовой траектории, меняется в его окрестности строго монотонно с возрастанием или убыванием времени.

Принципиальной для предложенных автором диссертации новых подходов к определению кратности предельных циклов и их классификации является

ТЕОРЕМ 14. Пусть функции Х(х,у) и У(х,у) являются голоморфными в любой конечной области фазовой плоскости К2. Тогда если динамическая система (3) имеет предельный цикл Г: х = f(t), у = = g(t), где £ и g - w-периодические функции, то существует замена фазовых координат

со со

X = £(t) + £ 7l(t)vi, У = g(t) + £ T)i(t)vi,

1=1 L=1

где 7t и т^ - ш-периодические функции, переводящая дифференциальное уравнение траекторией системы (3) в окрестности цикла Г в дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида

l^V + ^v2 + ... + ту^ + (11)

т.е. в дифференциальное уравнение с регулярным тривиальным решением, соответствующим циклу Г.

Из теорем 14 и 8, в частности, вытекает, что при качественном изучении голоморфных динамических систем вида (3) любой предельный цикл всегда можно считать дивергентным регулярным предельным циклом. Кратность же цикла совпадает с кратностью регулярного тривиального решения дифференциального уравнения (И) и определяется она индексом j первого коэффициента п^ уравнения (11), отличного от нуля.

Теорема 14 позволила впервые вывести рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов г^, решающих наряду с кратностью и вопрос об устойчивости циклов.

Отметим здесь, что знание кратности предельного цикла позволяет определить число грубых периодических режимов, которые

могут появиться у динамической системы (3) в результате малого изменения ее физических параметров.

В приложении 1 , используя результаты, полученные во второй главе диссертации, строятся не рассматриваемые ранее типы нелинейных динамических моделей часов со встречным и подталкивающим ударами в случае, когда осциллятор может совершать как затухающие, так и периодические сильно изохронные собственные колебания при отсоединенном спусковом устройстве. Рассмотренные ударные модели часов существенно отличаются от известных моделей как типом осциллятора, у которого демпфирующая и восстанавливающая силы нелинейны, так и типом ударов. Построенные модели могут быть использованы при практической разработке новых конструкций механизмов, обеспечивающих точность хода часов с жестким режимом возбуждения автоколебаний.

В приложении 2 результаты третьей главы диссертации применяются для решения задачи о синтезе автогенераторов - одной из обратных задач динамики, относящейся к теории нелинейных электрических цепей и состоящей в построении .электрической цепи с требуемым режимом автоколебаний. Используя предложенный в диссертации новый метод исследования автоколебательных систем, основанный на изменении скорости обхода изображающих точек по траекториям динамической системы, показано, что двумерные динамические системы с неполными в правых частях полиномами третье! степени по фазовым переменным могут моделировать генераторы синусоидальных колебаний, отличные от известного генератор; А.А.Андронова, А.А.Витта ж С.Э.Хайкина.

Заметим, что предложенный автором диссертации общий мето; исследования позволяет избежать тех трудностей и даже ошибок которые возможны при синтезе автогенераторов известным методом основанном на. построении так называемых уравнений - прототипов обычно выбираемых линейными.

- ВЫВОДЫ

Развитые в работе метода исследования изохронных динамичес ких систем с одной степенью свобода, а также предложенные авто ром новые подхода изучения периодических движений двумерных ав токолебательных систем, в основе которых лежат специальные нор мализулцие и изменяющие время обхода по траекториям преобразова

ния, позволили:

- получить критерии существования затухающих и незатухающих изохронных колебаний монодромных динамических систем;

- выяснить роль резонансных явлений, интегрирующих множителей, специальных решений уравнений в частных производных, факта существования бесконечного числа нормализующих преобразований при решении вопроса об изохронности колебаний;

- найти условия существования, числа, кратности и устойчивости изолированных периодических движений двумерных динамических систем, связанные с своеобразным обращением критерия Бендик-сона-Дялака об отсутствии у динамических систем замкнутых траекторий;

- провести классификацию предельных циклов, основанную на свойствах дивергенции векторного поля и условиях регулярности циклов.

Конструктивный характер основных теоретических положений диссертации позволяет их эффективно использовать при решении практических задач, что подтверждается, в частности, решением задач, связанных с построением динамических моделей часов и синтеза автогенераторов, которые рассмотрены в Приложениях 1 и 2.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Амелькин В.В., Лукашевич H.A. О периодах решений некоторых автономных систем // Дифференц. уравнения. - 1970. -т.6, N 12. - С.2115-2120.

2. Амелькин В.В., Лукашевич H.A. Признаки существования центра и его изохронность // Дифференц. уравнения. - 1974. -Т.10, N 4. - С.585-590.

3. Амелькин В.В. К вопросу об изохронности центра двумерных аналитических дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. -1977. - Т.13, N 6, - С. 971-980.

4.'Амелькин В.В. Замечание к одной теореме А.П.Воробьева // ВесЩ АН Беларуси Сер. ф1з.-мат. навук.- 1996, N 2.- С.12Ь-|2£.

5. Амелькин В.В. Об изохронности в случаях центра и негрубого фокуса // Дифференц'. уравнения. - 1982. - т.18, N 6. -С.1073-1075.

6. Амелькин В.В., Лукашевич H.A., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. - Минск: Мзд-во БГУ, 1982.

- 206 с.

7. Амелькин В.В- 0 существовании предельных циклов у двумерных автономных систем дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. - 1988. - т.24, N 12. - С.2027-2032.

8. Амелькин В.В. Об условиях существования предельных циклов двумерных автономных систем дифференциальных уравнений //ДиЗ ференц. уравнения.- 1995. - т.31, N 12. - С.2070 - 2072.

9. Амелькин В.В. О классификации предельных циклов // Дифферент уравнения. - 1991. - т.27, N 8. - С.1291-1296.

10. Амелькин В.В. Оценка сверху числа строгих предельных циклов полиномиальных динамических систем // Докл. АН Беларуси.-1996.- Т.40, N 2.- С.44-45.

11. Амелькин В.В. О дифференциальных системах с общими траекториями // Дяфферещ. уравнения. - 1991. - т.27, N 10. -С.1813-1814.

12.Амелькин В.В. О некоторых свойствах дивергентных предельных циклов // Дифференц. уравнения. - 1991. - т.27, ы 11. -0.1972-1973.

13. Амелькин В.В. .Мошенский А.М. К Еопросу о кратности предельных циклов //В кн.: Межвузовский сб. научных трудов. Ч. 2. "Проблемы мат. обеспечения совершенствования тех. средств железнодорожного транспорта".- М.:ВЗЖГ, 1992.- С. 14 - 18.

14. Амелькин В.В., Чинь Зань Данг. Об изохронности системы Коши-Римана в случае фокуса // ВесЩ АкадэмН навук Беларуси.. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1993, N"1. - С.28-31.

РЕЗЮМЕ

Амелькин Владимир Васильевич Периодические движения двумерных динамических систем

Ключевые слова: периодическое движение, динамическая система, изохронные колебания, предельный цикл, траектория, регулярность цикла, дивергенция, параметризация.

Объектом исследования являются периодические движения двумерных динамических систем.

Цель работы заключается в развитии методов исследования изохронных динамических систем с одной степенью свободы и в разработке новых подходов изучения периодических движений автоколебательных систем.

Методами исследования являются методы нормализующих и изменяющих время обхода по траекториям динамических систем преобразований, а также другие метода общей и качественной теории дифь ференциалъных уравнений, теории колебаний.

В работе дано дальнейшее развитие методов исследования изохронных динамических систем, связанное с построением конкретных параметризаций траекторий по времени и нормальных форм дифференциальных уравнений, а также предложены новые подходы к изучению изолированных периодических движений, основанные на введенном автором понятии дивергентной траектории и уточненном понятии регулярности предельного цикла.

Полученные результаты могут быть использованы в теории колебаний, теории динамических систем и их приложениях, в частности, при решении обратных задач динамики.

РЭЗЮМЭ

Амельк1н Уладз1м1р Вас1льев±ч Пернядачныя pyxl двухмерных дынамХчных с1стэм

Ключавыя словы: перыядычны рух, дынам1чная с1стэма, 1захронныя ваганн1, л!м1тавы цыкл, траектория, рэгулярнасць цык-ла, давергенцыя, параметризация.

Аб'ектам даследавання' з'яуляюцца перыядычныя рух! двухмерных дынам1чных с1стэм.

Мэта драцы заключаецца у разв1цц1 метадау даследавання 1захронных данам1чных с1стэм з адной ступенню свабоды i у рас-працоуцы новых падыходау вывучэння перыядычных рухау аутавагаль-ных с1стэм.

Метадам1 даследавання з'яуляюцца метады нармал!зувчых i змяняючых час абхода па траекториям дынам1чных с1стзм пераутва-рэнняу, а таксама 1ншыя метада агульнай 1 якаснай тэоры1 дыфе-рэнцыяльных раунанняу, тэоры1 ваганняу.

У працы дадзена далейшае разв1цце метадау даследавання 1захронных дынам1чных с1стэм, звязанае з пабудовай канкрэтных парачетрызацый траекторий па часу 1 нармальных форм дыферэнцы-яльных раунанняу, а таксама прапанаваны новыя падыходы вывучэння

1заляваных перыядычных рухау, заснавання на уведз1ным аутарам паняцц! дывергентнай траэкторы! 1 удакладненным паняцц1 рэгуляр-насц1 л1м1тавага цыкла.

Атрыманыя вш!к1 мокаа выкарыстаць у тэоры1 ваганняу, тэо-ры! данам1чных с!стэм i 1х прыкладаннях, у прыватнасц!, пры ра-шэнн! адваротных задач дынам!к1.

EESUME Amel'kln Vladimir 7.

Periodic motions of two-dimensional dynamical systems

Key words: periodic motion, dynamical systems, isochronous oscillations, limit cycle, trajectory, regular cycle, divergence, parameterization.

Periodic motions of two-dimensional dynamical systems are the subject of the investigation.

The aim of this thesis is to develop methods oi investigation oi the isochronous dynamical systems with one „dagcaa of freedom and to. work out new approaches oi studying periodic motions of the autooscillatory systems.

Methods of normalizing transformations, methods of transformations changing time of running the trajectories of the dynamical systems and other methods of general and qualitative theory of differential equations, theory of oscillations are used in this thesis.

The further development of the methods of Investigation ol isochronous dynamical systems connected with the construction ol the concrete parameterizations of the trajectories in time anc with the construction of normal forms of differential equation: are given In the thesis and new approaches of studying lsolatec periodic motions which are based on the notion of divergeni trajectory Introduced by the author and on the defined mor< precisely notion of a regular limit cycle are also propose! here.

The results obtained in the thesis may be used in thi theory of oscillations, In the theory of dynamical systems an< their applications, in particular, in "solving reverse tasks o: dynamics.