Предельные циклы возмущенного центра квадратичного векторного поля на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

0034Э3335

На правах рукописи УДК 517

Фишкин Алексей Юрьевич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ВОЗМУЩЕННОГО ЦЕНТРА КВАДРАТИЧНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

003493335

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Закалюкин Владимир Михайлович, кандидат физико-математических наук Елизаров Павел Михайлович.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет.

Защита диссертации состоится 5 марта 2010 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу. 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

И. Н. Сергеев

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию предельных циклов квадратичных (т.е. полиномиальных степени два) векторных полей на вещественной плоскости. Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений

х = Р(х,у), y = Q{x,y), (1)

где (х, у) £ R2, а Р(х,у) и Q(x, у) — многочлены. Его предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы1:

(ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля на плоскости величиной Н(п), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q?

(q2) Если ответ на первый вопрос положителен, то оценить сверху Н(п).

Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на 11-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие исследования, получены значительные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты. Единственный известный общий результат о числе предельных циклов полиномиальных векторных полей состоит в конечности этого числа для каждого конкретного векторного поля. Для квадратичных векторных полей соответствующая теорема была получена Бамоном в 1986 г.2, а общее утверждение для векторных полей произвольной степени было доказано несколькими годами позже независимо Ильяшенко3 и Экалем4.

Во многих современных исследованиях рассматривается ограничение 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей на плоскости. Это — простейший класс векторных полей, уже для которого ответы

'Yu. üyashenio, Centennial History of Hilberth 16th Problem, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39, no. 3, 301-354.

2R. Bamón Quadratic vector field) in the plane have a finite number of limit cycles, Publ. I.H.E.S 64 (1986), pp. 111-142.

3Yu. Hyashenko Finitness theorems for limit cycles. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

4J. Écalle Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.

на вопросы, поставленные выше, неизвестны. Кроме того, квадратичные векторные поля обладают рядом замечательных свойств, упрощающих их исследование. Именно,

(1) любой-предельный цикл квадратичного векторного поля обходит ровно одну особую точку, которая является фокусом;

(2) у квадратичного векторного поля может быть не более двух особых точек типа фокус;

(3) все предельные циклы квадратичного векторного поля, за исключением, может быть, одного цикла, обходят один и тот же фокус.

Свойства (1) и (2) элементарны и приведены в обзоре Коппела5 о квадратичных векторных полях. Свойство (3) является недавним результатом Чжан Пингуанга6. Таким образом, вопрос о верхней оценке числа предельных циклов у квадратичного векторного поля сводится к вопросу об оценке числа предельных циклов, обходящих одну особую точку типа фокус. При этом наиболее сложным для исследования оказывается случай, когда фокус является медленным, будучи малым возмущением особой точки типа центр. Основополагающий результат о числе предельных циклов, рождающихся при малом возмущении центра в классе квадратичных векторных полей, был получен Баутиным7 в середине прошлого века. При таком возмущении в малой окрестности особой точки рождается не больше трех предельных циклов. Этот результат опирается на алгебраические свойства кольца голоморфных функций от нескольких комплексных переменных (точнее, на структуру специального идеала в этом кольце, связанного с отображением Пуанкаре для квадратичного векторного поля). Его доказательство, полученное Баутиным, крайне трудоемко. В 90-х гг. оно было значительно упрощено Жолондеком8, и сейчас входит в учебный курс для аспирантов9. Несмотря на то, что результат Баутина является локальным,

5W.A. Coppel A survey of quadratic systems, J. Diff. E<j. 2 (1966), pp. 293-304.

"Zhang Pingguang Quadratic systems with two foci, Appl. Math. J. Chinese Univ., 14A (1999), pp. 247253. // Zhang Pingguang On the distribution and number of limit cycles for quadratic systems with two foci (in Chinese), Acta. Math. Sinica, Chinese ser., 44 (2001), pp. 37-44. // Zhang Pingguang On the distribution and number of limit cycles for quadratic systems with two foci, Qualitative Theory of Dynamical Systems, 3 (2002), pp. 437-463.

7H.H. Баутин, О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр, ДАН СССР, 24, №7 (1939), стр. 668-671. // Н.Н. Баутин, О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра, Мат.сборник, 30(72), вьш.1 (1952), стр. 181-196.

8Н. Zoladek Quadratic systems with center and their perturbations, J. Diff. Eq. 109 (1994), pp. 223-273.

9Yu. Eyashenko, S.Yakoveako Lectures on Analytic Differential Equations, Graduate Studies in Math, Vol.86, AMS, 2008.

и не дает общего утверждения о числе предельных циклов квадратичного векторного поля даже в гнезде одного фокуса, долгие годы предполагалось, что любое квадратичное векторное поле имеет не более трех предельных циклов10. Эта гипотеза была опровергнута лишь в 1979 г., когда было доказано существование квадратичного векторного поля с по крайней мере четырьмя предельными циклами11. В 1980 г. Ши Сонглином12 был приведен конкретный пример такого векторного поля. Несмотря на отсутствие примеров квадратичных векторных полей с пятью и более предельными циклами, существующие верхние оценки на число их предельных циклов, даже при дополнительных ограничениях, представляются непомерно большими.

В 1994г. Дюмортье, Руссари и Руссо13 предложили общий подход к доказательству существования числа Н(п). При помощи компактификации фазового пространства и пространства коэффициентов полиномиального векторного поля, этот вопрос сводится к вопросу о конечной цикличности предельных периодических множеств. В случае п = 2 данная стратегия приводит к рассмотрению 121 конфигурации предельных периодических множеств, и к необходимости доказательства конечной цикличности каждой конфигурации. По сей день в различных работах исследовано более 80 таких конфигураций, и доказана конечная цикличность каждой из них. Реализация этой стратегии имеет целью решение проблемы (ql), которая сформулирована выше, однако не позволяет ответить на вопрос (q2). Для ответа на последний вопрос может оказаться полезной оценка числа предельных циклов, не проходящих через малые окрестности особых точек системы (1). Это приводит к рассмотрению ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей, которую мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим квадратичное векторное поле (1) с особой точкой типа фокус или центр. Нетрудно проверить, что при помощи подходящей аффинной замены координат и линейной замены времени, такая особая точка может быть помещена в начало координат, а система (1) преобразована к

10 J. Reyn, Phase portraits of planar quadratic systems, Springer, 2007

11 Chen L ans ил, Wang Mingshu Relative position and number of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math.Sinica 22 (1979), pp. 751-758.

12Shi Songling, A concrete example of the existence of Jour limit cycles for plane quadratic systems не был приведен конкретный пример такого векторного поля, Sdentia Sínica, 23:2 (1980), pp. 153-158.

1SF. Dumortier, R. Roussarie, C. Rousseau, Hilbert 16th problem for quadratic vector fields, Journal of Differential Equations, 1X0 (1994), no. 1, 86-133.

нормальной форме Каптейна14:

{

х = \ix -у- А3х2 + (2А2 + \ь)ху + -W, у = х + Xiy + Л2х2 + (2Л3 + \i)xy - My2,

(2л)

где Ai G M, Л = (А2, ..., Аб) (т.е. ||А|| = 1), а А = (Ai Д) обозначает набор параметров, входящих в коэффициенты системы (2л). Рассмотрим предельные циклы векторного поля, отвечающего системе (2д), обходящие начало координат. Среди этих циклов 6-хорошими называются те, которые не проходят через ¿-окрестности всех (в том числе и комплексных) особых точек системы и содержатся в круге \/х2 + у2 < 1/5 (где 5 > 0 - произвольно). Обозначим через Я (5, А) число 5-хороших предельных циклов системы (2д). Следующая ограниченная версия 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей была предложена Ильяшенко:

Проблема. (Ю.С. Ильяшенко) Для произвольного i > 0 получить равномерную по А е R х S5 оценку для величины H (S, А).

Решение этой проблемы было существенно продвинуто совместно Ильяшенко и Ллибре15 (см. теорему 1 ниже). Полученный ими результат даёт искомую оценку, однако неравномерную по А, и сводит проблему к получению равномерной оценки при приближении А к некоторым особым множествам, каждое из которых имеет положительную коразмерность. В зависимости от типа такого особого множества, проблема распадается на несколько отдельных задач, методы исследования которых различаются. Чтобы сформулировать соответствующие результаты и задачи, необходимо ввести два вспомогательных параметра, характеризующие векторное поле (2а). Опишем здесь лишь их общий смысл; строгие определения этих величин приведены в тексте диссертации. Параметр а{А) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до квадратичных векторных полей, приведенных к нормальной форме Каптейна, и имеющих особую точку типа центр в начале координат; параметр к{А) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до множества сингулярных векторных полей (т.е. квадратичных векторных полей с прямой особых точек).

Для тех значений А, при которых а(А) = 0 или к(А) = 0, легко получить равенство Н{5, X) = 0. Тем не менее, при А близких к таким значе-

"W.Kapteyn'On the midpoints of intégrai curves of differential equations of the first degree, Nederl. Akad. Wetensch. Verslag. Aid. Natuurk. Konikl. Nederland, 19 (1911), pp. 1446-1457 (Dutch). // W.Kapteyn New investigations on the midpoints of integrals of differential equations of the first degree, Nederl. Akad. Wetensch. Verslag. Afd. Natuurk., 20 (1912), pp. 1354-1365; 21, 27-33 (Dutch).

15Yu. Eyashenko, J. Llibre, A restricted version of the Hubert's 16th problem for quadratic vector fields, arXiv:0910.3443vl [math.DS]

ниям, оценка на Н(5, Л), полученная Ильяшенко и Ллибре, неограниченно растёт. Приведем формулировку их теоремы. Эта формулировка адаптирована для нормальной формы Каптейна и несколько отличается от оригинальной.

Теорема 1. (Ильяшенко-Ллибре) Пусть {5,а, к) С (0,1), и A G 8х S5 таково, что <х(А) > с, а к(А) > к. Тогда

Н(6, А) < (| log с| + 1) ехр (ехр(1076í _33к ~2)) . (3)

Из этой теоремы следует, что для решения ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей остается рассмотреть три частных случая:

Задача 1. Оценить Н(5, А) равномерно по Л при а(А) —♦ 0 и к(Х) > к > 0, где к сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 2. Оценить Н(5, А) равномерно по А при к(А) —► 0 и ст(А) > а > 0, где а сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 3. Оценить Н{ё, А) равномерно по А при а{\) —► 0 и /с(А) 0.

Задача 2 решена Ильяшенко с использованием методов теории быстро-медленных систем. Этот результат является новым и пока не опубликован. Задача 3 полностью не решена; определенные продвижения в ней получены недавно Дюмортье и Руссо16 .

В диссертации получен ответ к поставленной выше задаче 1. Таким образом, проводимое в работе исследование является важным шагом в решении ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей на плоскости. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является исследование í-хороших предельных циклов у квадратичных векторных полей, достаточно близких к векторным полям с особой точкой типа центр, и получение равномерной (по параметру, оценивающему близость векторного поля к центрам) верхней оценки на их число.

leF. Dumortier, С. Rousseau, Study of the cyclicity of some degenerate graphics inside quadratic systems, Communications On Pure and Applied Analysis, 8:4 (2009), pp. 1133-1157.

Методы исследования.

В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, алгебры и комплексного анализа.

"Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие новые результаты:

- Доказана теорема об оценке числа изолированных нулей аналитического возмущения тождественно нулевой функции.

- Доказана теорема об оценке числа предельных циклов, обходящих мало возмущенный центр квадратичного векторного поля, и не проходящих вблизи других особых точек этого векторного поля и вблизи бесконечности. Полученная оценка является равномерной по малости возмущения центра.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Техника, разработанная в диссертации, может быть полезна специалистам по теории динамических систем и дифференциальных уравнений. Полученные в диссертации результаты отвечают на один из важных вопросов, связанных с решением 16 проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей, и могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами в этой области.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

1. семинар механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по динамическим системам под руководством профессора Ю.С.Ильяшенко (неоднократно, 2007-2009 гг.);

2. семинар отдела дифференциальных уравнений в МИРАН имени В.А. Стеклова под руководством акад. Д.В. Аносова и проф. Ю.С. Ильяшенко (2008 г.);

3. конференция "Singularities of planar vector fields, bifurcations and applications"(C.I.R.M, Марсель-Люмини (Франция), 11 - 15 мая 2009 г.),

4. летняя школа-конференция "Динамические системы" (Словакия, 25 июня - 7 июля 2009 г.),

5. новогодняя мини-конференция кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (28 декабря 2009 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата [1-3].

Структура и объем работы.

Диссертация содержит введение, две главы, приложение и список литературы. Обе главы разделены на параграфы; первая глава состоит из трех параграфов, вторая — из десяти. Список литературы содержит 30 наименований. Объем диссертации — 96 страниц.

Содержание диссертации.

Настоящая диссертация посвящена исследованию предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости и получению верней оценки для числа ¿-хороших предельных циклов (см. стр. 4) у квадратичных векторных полей, достаточно близких к векторным полям с особой точкой типа центр.

Во введении освещается об история решаемой задачи и её связь с исследованиями в области 16-й проблемы Гильберта. Там же даются основные определения и формулируются теоремы, полученные в диссертации, описывается структура диссертации.

В главе 1 доказывается результат, являющийся вспомогательным для решения основной задачи, — это теорема об оценке числа изолированных нулей малого аналитического возмущения тождественно нулевой функции (теорема 4). Связь между оценками на число предельных циклов у аналитических векторных полей и оценками на число нулей аналитических функций устанавливается при помощи отображения Пуанкаре (отображения первого возвращения траектории на заданную трансверсаль к векторному полю). Одним из мощных инструментов для получения нелокальных оценок на число нулей аналитической функции является теорема о

нулях и росте:17, которая формулируется в §1.3. С помощью этой теоремы в разных работах были получены оценки на число предельных циклов уравнений Абеля18, уравнений Льенара нечетной 19 и чётной (при дополнительных ограничениях)20 степени, а также обобщенных уравнений Льенара нечетного типа. Однако в случае, когда отображение Пуанкаре является сколь угодно малым возмущением тождественного отображения, применение теоремы о нулях и росте не дает никакой конечной оценки на число предельных циклов. Именно этот случай возникает в основной исследуемой в диссертации задаче о числе предельных циклов, обходящих слабо возмущенный центр. Теорема 4 главы 1 обобщает теорему о нулях и росте и дает возможность для получения оценок на число предельных циклов у аналитических векторных полей при малом возмущении центра.

Формулировке теоремы 4 предшествуют определения идеала Баутина и других понятий, связанных с идеалами в кольце аналитических функций. Напомним, что для аналитической функции /(¡г, А) : С х С" —> С идеал Баутина определяется следующим образом. Пусть

к>0

есть разложение ростка f(x, А) в ряд Тейлора по х в точке х = 0. Идеал /(£) = (/о,...,/&,...)(£) кольца ростков голоморфных функций от нескольких комплексных переменных в точке который порожден всеми ростками {Д} в этой точке, называется идеалом Баутина ростка / в точке 1 = 0 при А = Индексом Баутина ряда Тейлора для /(я, Л) называется наименьшее целое число d > 0, для которого /(£) совпадает с идеалом (/о,..., /d)(£)> порожденным первыми d +1 коэффициентами ряда. Конечность индекса является следствием нётеровости кольца ростков голоморфных функций21. Ростки (/о,• ■ • ,/<i)(?) называются каноническими образующими соответствующего идеала Баутина.

С идеалами в кольце голоморфных функций в полидиске связано еще два важных понятия. Первое из них — это константа роста. Эта величина зависит от выбранной системы образующих для идеала и ограни-

1TYu. Dyashenko, S.Yakovenko, Counting real zeroes of analytic functions satisfying linear differential equations, Journal of Diff. Eq., 126 (1996), pp. 87-105.

18Yu. Hyashenko, Hilbert type numbers for Abel equations, growth and zeroes of holomorphic functions, Nonlinearity, 13 (2000), 1337-1342.

leYu. Hyashenko, A. Panov, Some upper estimates of the number of limit cycles of planar vector fields with applications to Liinard equations, Mose. Math. J., 1:4 (2001), 583-599.

30G. Kolutsky, One Upper Estimate on the Number of Limit Cycles of Even Degree Liinard Equations in the Focus Case, arXiv:09U.3516vl (math.DS],

21M. Эрве, функции многих комплексных переменных, "Мир", Москва, 1965.

чивает по модулю коэффициенты в разложении элементов идеала по заданным образующим. Пусть р — некоторый полирадиус, {/о,..., /п} С 0(АР(£)) — функции, голоморфные в окрестности замкнутого полидиска Др(£) и /р(£) — (fo, ■ ■ ■ > /п)р(€) — порожденный ими идеал в кольце 0(ДР(£)). Величина С = С(р>£) > 0 называется константой роста в разложении элементов идеала /р(£) по образующим /о, - • •, /п (или, кратко, константой роста для идеала /р(£) и образующих /о, • • •, /п), если для любой функции / € существует разложение

п

«=0

с коэффициентами а,- € 0(АР(£)), такое, что для любого г справедливо неравенство

IklU < C||/||Pii, rAe||-|U:=max|.|. (4)

Другое важное для нас понятие, связанное с идеалами в кольце голоморфных функций, — это подходящий полидиск. Пусть {/о,..., /„} и 1Р(0 определены как и раньше, а £) = {A G ДД£) | /о(А) = ... = /„(А) = 0} — нулевой локус идеала /р(£) внутри полидиска Др(£). Положим

■Ш = {/ 6 О(Д Д0) I Vq 6 Е(р, 0 выполнено / 6 /(т?) = (/о...../п)(ч)}.

Очевидно, что /р(£) С Ур(£). Мы называем полидиск Др(£) подходящим для идеала /р(£), если = /Р(£)- Свойство полидиска быть подходящим не зависит от выбора образующих идеала.

Чтобы формулировать теорему 4, дадим еще несколько определений. Внутренним диаметром линейно связного компактного множества в С называется максимум из кратчайших длин кривых, соединяющих внутри этого множества всевозможные пары его точек. Через dist (V, W) мы обозначаем расстояние между двумя множествами V,W С С в смысле следующего определения:

dist (V, W) = inf \v -«eV wgW

Приведём теперь основной результат первой главы диссертации.

Теорема 4. Рассмотрим линейно связный компакт К С С, содержащий диск Дг(0) радиуса г < 1, а также

- односвязную окрестность V компакта К с кусочно-гладкой границей,

- полирадиус Я и функцию /(х, А), голоморфную в V х Дд(£) и ограниченную там по абсолютной величине константой М > О,

- ряд Тейлора /(х, А) = Дв точке х = 0 при А € Дд(£), и соответствующий идеал Баутина I = /(£) индекса й.

Существует полидиск ДДО С Дд(£) такой, что для любого А € Др(£), число N(X) изолированных нулей функции /(•, А) на компакте К оценивается сверху константой, зависящей только от первых тейлоровских коэффициентов /о,..., /й ряда Тейлора, от величины М и от геометрии множеств К и I/. Более точно, пусть £> — внутренний диаметр компакта К, е = ¿^ (К, ди) и С(р, £) — константа роста для идеала = (/о,..., тогда

(5)

Кроме того, оценка (5) выполняется для любого полидиска ДР(£) С Дд(£)> который является подходящим для идеала с соответствующей ему

константой роста С(р, £).

Эта теорема сформулирована §1.1. В §1.2 приводятся и доказываются вспомогательные утверждения об идеалах в кольце голоморфных функций. В §1.3 приводится доказательство теоремы 4.

В главе 2 доказывается основной результат диссертации. Пусть А = (А1,...,Аб) обозначает набор параметров, соответствующих системе (2д), а величины <т(А) и «(А) имеют тот же смысл, что и раньше (см. стр. 4). Приведём формулировку основного результата.

Теорема 2. Пусть 0 < 5 < 1, 0 < /с < 1. Если А € К х §5 таково, что к(А) > к, а ст(А) < а, где а — ехр(-1073к_25~33), то число ¿-хороших предельных циклов векторного поля (2д) оценивается сверху следующим образом:

Н{5, А) < ехр (ехр(1072к-2Г33)) = е^'"0. (6)

Доказательство этой теоремы опирается на теорему 4 из главы 1, и занимает основную часть главы 2. В §2.1—§2.3 вводятся основные определения и конструкции, строится отрезок К на вещественной плоскости, пересекающийся со всеми ¿-хорошими предельными циклами векторного поля (2д), и приводится вариант теоремы 4, приспособленный для получения оценки на число ¿-хороших предельных циклов квадратичных векторных

полей, близких к центрам. Предельные циклы при этом соответствуют нулям невязки отображения Пуанкаре на отрезке К. Применение теоремы 4 в диссертации включает два основных шага:

1. получение аналитического продолжения отображения Пуанкаре в окрестности отрезка К и оценок на абсолютную величину его невязки;

2. построение подходящего полидиска для идеала Баутина невязки отображения Пуанкаре и оценка константы роста для разложения элементов этого идеала по каноническим образующим в построенном полидиске.

Данные задачи решаются во вспомогательных утверждениях, лемме 2 и лемме 3 соответственно, которые сформулированы в §2.4. В том же параграфе приведено доказательство теоремы 2, опирающееся на эти леммы.

Лемма 2 доказывается в §2.5. Для её доказательства используется неравенство Гронуолла и вспомогательный результат из работы Ильяшенко и Ллибре22 о зазоре между i-хорошими предельными циклами и Эйлеровой изоклиной для квадратичных векторных полей (2л), удовлетворяющих условию к(Х) > к.

Лемма 3 доказывается в §2.6 и представляет одну из наиболее технически трудоемких частей диссертации. Сначала рассматривается более простая задача нахождения константы роста для идеала Баутина невязки отображения Пуанкаре в специальных образующих (образующих Дюлака), имеющих простое выражение в виде многочленов от Л. Наличие таких образующих позволяет построить подходящий полидиск для идеала Баутина и найти константу роста в нём для образующих Дюлака. Этому посвящены Леммы 4-7. Пересчёту константы роста для идеала Баутина в канонических образующих посвящены Леммы 8-11. Кроме теоретических построений, для осуществления этой задачи требуется использование символьных компьютерных вычислений. В приложении после второй главы приводятся тексты программ, осуществляющих эти вычисления с помощью пакета Mathematica.

В §2.7 приводится оригинальная формулировка теоремы Ильяшенко-Ллибре, которая затем переформулируется в §2.8 для случая нормальной формы Каптейна (см. теорему 1 на стр.5). Из теорем 1 и 2 следует

J2Yu. Byashenko, J. Llibre, A restricted version of the Hilbert's 16th problem for quadratic vector fields, arXiv:0910.3443vl [math.DS]

Теорема 3. Пусть 0<5<1и0<к<1. Если Л € RxS5, и векторное поле (2д) удовлетворяет условию к(Л) > к, то число его ¿-хороших предельных циклов не превосходит

exp (exp(10?7/c~2<J~33)).

Доказательство теоремы 3 дано в конце главы 2.

Я искренне благодарю моего учителя, профессора Юлия Сергеевича Ильяшенко, за постановку задачи, внимание к ее решению и плодотворные обсуждения, а также за создание идеальной творческой атмосферы при работе над текстом диссертации.

Работы автора по теме диссертации.

1. Фишкин А.Ю. О числе нулей аналитического возмущения тождественно нулевой функции на компакте // Математические заметки, т. 85 (2009). вып. 1. с. 110-118.

2. Фишкин А.Ю. О числе предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости // Доклады Академии наук, т. 428 (2009). №4. с. 462-464.

3. Фишкин А.Ю. О числе предельных циклов у квадратичных вектор-

ных полей на плоскости при возмущении центра // Депонировано в

ВИНИТИ (2009), № 667-В2009, с. 1-76.

Подписано в печать ¿ЯЗ. ОЗ.10 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 4,0 Тираж /00 экз. Заказ О$

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

1 О числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции

1.1 Определения и формулировка теоремы об оценке числа нулей.

1.2 Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций.

1.3 Доказательство теоремы об оценке числа нулей.

2 Оценка числа предельных циклов у квадратичных векторных полей, близких к центрам

2.1 Квадратичные векторные поля и их предельные циклы

2.2 Переход к отображению Пуанкаре.

2.3 Оценка числа нулей невязки отображения Пуанкаре.

2.4 Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений.

2.5 Доказательство леммы 2.

2.6 Доказательство леммы 3.

Построение отмеченного полидиска

Константа роста для идеала Баутина в образующих Дюлака.

Константа роста для идеала Баутина /р(£) в канонических образующих.

2.7 Теорема Ильяшенко-Ллибре для уравнения в комплексной нормальной форме.

2.8 Доказательство теоремы 1.

Связь параметров 6, а и к в разных нормальных формах

Теорема Ильяшенко-Ллибре в нормальной форме Каптейна

2.9 Доказательство предложения 2.

2.10 Доказательство теоремы 3.

Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений х = Р(х,у), y = Q(x,y), (1) где (х, у) € Ж2, а Р(х,у) и Q(x,y) — многочлены. Его предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы (см. [II]): ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля на плоскости величиной Н(п), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q? q2) Если ответ на первый вопрос положителен, то оценить сверху Н(п).

Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на Н-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие замечательные исследования, получены важные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты даже для простейшего класса квадратичных (т.е. полиномиальных степени два) векторных полей на плоскости. Единственный общий результат о числе предельных циклов полиномиальных векторных полей состоит в конечности этого числа для каждого конкретного векторного поля. Для квадратичных векторных полей соответствующая теорема была получена Бамоном в 1986 г. [Ва], а общее утверждение для векторных полей произвольной степени было получено несколькими годами позже независимо Ильяшенко [13] и Экалем [Е].

Попытки решения 16-й проблемы Гильберта привели к рассмотрению ряда смежных задач, а также частных случаев. Одной из таких задач является инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта, недавно решенная группой математиков из Вейсмановского института. Она заключается в следующем. Пусть Н(х, у) — многочлен степени п + 1 с вещественными коэффициентами, а и = А(х, y)dx + В(х, y)dy — вещественная 1-форма с полиномиальными коэффициентами А и В степени не выше п. Запишем дифференциальное уравнение на плоскости в Пфаффовой форме, т.е. в виде дифференциальной 1-формы, обнуляющей векторное поле: dH + = 0.

При малых по абсолютной величине е 6 R это уравнение является возмущением Гамильтонова уравнения dH — 0, фазовые траектории которого разбивают вещественную плоскость на линии уровня многочлена Н. Замкнутые линии уровня Гамильтонова уравнения, не содержащие особых точек, называются вещественными овалами. При возмущении векторного поля, большинство овалов, вообще говоря, размыкается, и лишь некоторые из них порождают вблизи себя предельные циклы. Для того, чтобы вблизи овала 7 невозмущенного векторного поля при малом возмущении возник предельный цикл, необходимо равенство нулю Абелева интеграла: / и.

J 7

В инфинитезимальной 16-й проблеме Гильберта ставится вопрос о конечности и верхней оценке на максимальное число изолированных нулей Абе-левых интегралов в зависимости от степени п векторного поля. Конечность этого числа была доказана Варченко и Хованским в 1984 г. ( [V], [Kh]). Явная верхняя оценка получена в 2008 г. Яковенко, Новиковым и Беньями-ни [BNY].

Принципиальным вопросом, возникающим при исследовании предельных циклов векторных полей, является вопрос описания предельных циклов с помощью средств, поддающихся анализу. Таким средством является отображение Пуанкаре (оно же отображение последования или отображение монодромии). Рассмотрим трансверсаль (т.е. гладкую кривую без контакта) Г к векторному полю и сопоставим каждой точке х G Г точку первого возвращения траектории векторного поля, начинающейся в х, на Г (если, конечно, такая точка определена). Получим, вообще говоря, не определенное всюду, отображение Пуанкаре Р : Г —> Г. Предельные циклы векторного поля, пересекающие Г отвечают тем точкам х G Г, для которых Р{х) определено и Р{х) — х = 0. Таким образом, при помощи отображения Пуанкаре, вопрос об оценке числа предельных циклов полиномиального векторного поля сводится к вопросу об оценке числа нулей отображения Р(х) — х. Для аналитического векторного поля на плоскости и аналитической трансверсали, отображение Пуанкаре является аналитической функцией одного переменного. Прекрасным инструментом для получения нелокальных оценок на число нулей аналитической функции является теорема о нулях и росте [IYal], которую мы сформулируем в §1.3. С ее помощью были получены оценки на число предельных циклов уравнений Абеля [12], уравнений Льенара нечетной степени [IP] и обобщенных уравнений Льенара нечетного типа.

Теорему о нулях и росте, тем не менее, не всегда удается использовать при получении нелокальных оценок на число предельных циклов аналитического векторного поля. Для её применения, как будет следовать из формулировки, необходимо оценить снизу максимум модуля разности Р(х) — х. Но когда отображение Пуанкаре является сколь угодно малым возмущением тождественного отображения, то эта разность оценивается снизу нулем, и применение теоремы о нулях и росте не дает никакой конечной оценки на число предельных циклов. Рассмотрим, например, полиномиальные векторные поля степени п на плоскости. Они образуют конечномерное линейное пространство. Выберем в нем базис и обозначим через Л Е Шк^ координаты в этом базисе. При некотором значении параметра А = £ векторное поле может иметь особую точку топологического типа центр, также являющуюся центром по линейным членам. При значениях Л близких к £ такая особая точка, вообще говоря, обращается в фокус, и в ее окрестности могут появляться предельные циклы. Сдвигом фазового пространства можно добиться, чтобы возмущенная особая точка оставалась неподвижной. После такого сдвига аналитическая полутрансверсаль с вершиной в особой точке исходного поля останется также полутрансверсалью для всех близких значений Л. Отображение Пуанкаре при этом удается определить на некотором отрезке полутрансверсали с началом в особой точке и аналитически продолжить одновременно в комплексную окрестность полутрансверсали по переменной х на ней и в комплексную окрестность точки £ по параметрам. Обозначим это продолжение через Р\{х) и положим /(х, А) = Р\(х)—х. Тогда = 0. В первой главе диссертации мы обобщаем теорему о нулях и росте и получаем равномерную оценку на число изолированных нулей малого аналитического возмущения тождественно нулевой функции. Важную роль в этом обобщении играет идеал Баутина. Для аналитической функции f(x, А) он определяется следующим образом. Пусть

А) = J2fk(x)xk к> о есть разложение ростка /(ж, А) в ряд Тейлора по £ в точке х = 0. Идеал /(£) — (/о,. •, //с, • • .)(£) кольца ростков голоморфных функций от нескольких комплексных переменных в точке который порожден всеми ростками {/&} в этой точке, называется идеалом Баутина ростка / в точке х = 0 при А = Заметим, что в нашем случае идеал /(£) нетривиален, поскольку f(x,£) = 0. Индексом Баутина ряда Тейлора для f(x, А) называется наименьшее целое число d > 0, для которого /(£) совпадает с идеалом (/о, •., fd)(0i порожденным первыми d + 1 коэффициентами ряда. Конечность индекса является следствием нётеровости кольца ростков голоморфных функций (см. [Н]). В качестве обобщения теоремы о нулях и росте нами получен следующий результат:

Рассмотрим линейно связный компакт К С С, содероюащий замкнутый диск Дг(0) радиуса г <1 с центром в нуле, а тако/се

- односвязную окрестность U компакта К с кусочно-гладкой границей,

- полирадиус R и функцию f(x: А), голоморфную в замыкании U х Дд(£) декартова произведения U на полидиск с центром в £ и полирадиусом R, и ограниченную там по абсолютной величине константой М > О,

- ряд Тейлора f(x,\) = Е/с>о в точке х = О при А Е Аи соответствующий идеал Баутина /(£) индекса d.

Существует полидиск Ар(£) С Атакой, что для любого А Е АД£) число N{А) изолированных нулей функции /(•, Л) на компакте К оценивается сверху константой, зависящей только от первых rf-f 1 коэффициентов /о,., fd ряда Тейлора, от величины М и от геометрии множеств К и U. При этом точная оценка, а также достаточные условия для полидиска АД^) выписываются в явном виде.

Мы не указываем во введении явную оценку, поскольку это требует дополнительных определений, которые будут даны в главе 1. Там же мы приведем полную формулировку и доказательство соответствующего результата (см. теорему 4).

Как уже говорилось, 16-я проблема Гильберта не решена даже для квадратичных векторных полей. Квадратичные векторные поля обладают рядом замечательных свойств, упрощающих их исследование. К примеру,

1) любой предельный цикл квадратичного векторного поля обходит ровно одну особую точку, которая является топологическим фокусом;

2) у квадратичного векторного поля может быть не более двух особых точек типа фокус;

3) все предельные циклы квадратичного векторного поля, за исключением, может быть, одного цикла, обходят один и тот же фокус.

Свойства (1) и (2) приведены в обзоре Коппела (см. [С] и ссылки этой работы). Свойство (3) является недавним результатом Чжан Пингуанга (см. [PI], [Р2]). Таким образом, вопрос о верхней оценке числа предельных циклов у квадратичного векторного поля сводится к вопросу об оценке числа предельных циклов, обходящих одну особую точку типа фокус. При этом наиболее сложным для исследования оказывается именно случай, когда фокус является медленным, будучи малым возмущением особой точки типа центр. Основополагающий результат о числе предельных циклов, рождающихся при малом возмущении центра в классе квадратичных векторных полей, был получен Баутиным в середине прошлого века (см. [В1], [В2], а также [Zol] и [IYa2]). При таком возмущении в малой окрестности особой точки рождается не больше трех предельных циклов. Долгие годы предполагалось, что любое квадратичное векторное поле имеет не более трех предельных циклов, пока в 1979 г. не было доказано существование квадратичного векторного поля с по крайней мере четырьмя предельными циклами [CW], а в 1980 г. Ши Сонглином не был приведен конкретный пример такого векторного поля [S]. Правдоподобна гипотеза о том, что у квадратичного векторного поля может быть не больше четырех предельных циклов. В этом русле недавно Филимоновым был исследован пример Ши Сонглина и доказано, что соответствующее векторное поле имеет ровно четыре предельных цикла, не пересекающих узкий отрезок оси ординат длины менее чем 4 • Ю-2. Данное исследование скоро появится в журнале "Дифференциальные уравнения". Тем не менее, существующие оценки на число предельных циклов квадратичных векторных полей, даже при дополнительных ограничениях, представляются несравнимо большими предполагаемой верхней границы.

Таким образом, исследование 16-й проблемы Гильберта осмысленно начинать с квадратичных векторных полей. При помощи компактификации фазового пространства и пространства коэффициентов полиномиального векторного поля, вопрос о конечности числа Н(п) сводится к вопросу о конечной цикличности предельных периодических множеств. Мы не будем останавливаться на этой конструкции подробно, а отошлем читателя к статье [DRR]. В случае п = 2 данная стратегия приводит к рассмотрению 121 конфигурации предельных периодических множеств, и к необходимости доказательства конечной цикличности каждой конфигурации. По сей день в различных работах исследовано более 80 таких конфигураций, и доказана конечная цикличность каждой из них. Реализация этой стратегии, однако, не позволяет ответить на вопрос (q2). Для ответа на этот вопрос может оказаться полезной оценка числа предельных циклов, не проходящих через малые окрестности особых точек системы (1). Это приводит к рассмотрению ограниченной 16-й проблемы Гильберта, которую мы сейчас сформулируем (см. также [F1]).

Рассмотрим квадратичное векторное поле (1) с особой точкой типа фокус или центр. Нетрудно проверить, что при помощи подходящей аффинной замены координат и линейной замены времени, такая особая точка может быть помещена в начало координат, а система (1) преобразована к нормальной форме Каптейна (см. [Kapl], [Кар2]): х = \1Х-у- Х3х2 + (2Л2 + Л5)ху + Х6у2,

2а) у = х + Xiy + Х2Х2 + (2Л3 + Х4)ху - Х2у2, где Ai 6 М, Л — (Л2,., А6) G S5 (т.е. ||А|| = 1), а А = (Ai, А) обозначает набор параметров, из коэффициентов системы (2д). Рассмотрим предельные циклы системы (2д), обходящие начало координат. Среди этих циклов 5-хорошими называются те, которые не проходят через J-окрестности всех (в том числе и комплексных) особых точек системы и содержатся в круге л/х2 + у2 <1/8 (где 5 > 0 - произвольно). Обозначим через Н(5, А) число ^-хороших предельных циклов уравнения (2д). Следующая ограниченная версия 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей была предложена Ильяшенко:

Проблема. (Ю.С. Ильяшенко) Для произвольного 5 > 0 получить равномерную по X £ R х §5 оценку для величины Н(8, А).

Решение этой проблемы было существенно продвинуто совместно Ильяшенко и Ллибре в [IL] (см. теорему 1 ниже). С помощью их теоремы, проблема сводится к рассмотрению нескольких отдельных задач, методы исследования которых различаются. Вторая глава диссертации посвящена решению одной из этих задач (см. теорему 2). Чтобы сформулировать соответствующие результаты, необходимо ввести два вспомогательных параметра, характеризующие векторное поле (2д). Здесь мы опишем их физический смысл, оставив строгое определение этих величин до §2.1. Параметр сг(А) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до квадратичных векторных полей, приведенных к нормальной форме Каптейна и имеющих особую точку типа центр в начале координат; параметр к(Х) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до множества сингулярных векторных полей (т.е. квадратичных векторных полей с прямой особых точек).

Для тех значений Л, при которых <т(А) = 0 или ft(A) = 0, легко получить равенство Н(5, А) = 0. Тем не менее, наиболее трудной задачей оказывается получение оценки на Н(5, А) при А близких к таким значениям. Приведем формулировку теоремы Ильяшенко-Ллибре. Эта формулировка адаптирована для нормальной формы Каптейна и несколько отличается от оригинальной.

Теорема 1. (Ильяшенко-Ллибре) Пусть {5, а, к} С (0,1), и А 6 R х §5 таково, что <т(А) > а, а к(Х) > к. Тогда

Н{5, А) < (| log а\ + 1) ехр (ехр(1076<Т33кГ2)) . (3)

Оценка в этой теореме не равномерна по А, поскольку стремится к бесконечности при а(Х) —> 0 или к(А) —> 0. Однако, из теоремы следует, что для решения ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей достаточно рассмотреть три частных случая:

Задача 1. Оцепить Н(5, А) равномерно по А при <х(А) —» 0 и к(Х) > к > 0, где к сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 2. Оценить Н(5, А) равномерно по X при к(Х) —» 0 и сг(Х) > <г > 0, где а сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 3. Оценить Н(6, А) равномерно по X при сг(А) —> 0 и к(Х) —» 0.

Задача 2 решена Ильяшенко с использованием методов теории быстро-медленных систем. Этот результат пока не опубликован. Задача 3 полностыо не решена; определенные продвижения в ней получены Дюмортье и Руссо [DR].

Следующая теорема дает ответ в задаче 1 (см. также [F2]).

Теорема 2. Пусть 0 < J < 1, 0 < я < 1. Если A G М х §5 таково, что «(А) > к, а сг(А) < а, где а = ехр(—1073«Г25~33), то

Н(6, Л) < exp (exp(1072«-2J-33)) = (4)

Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 3. Пусть 0<8<1и0<к<1. Если A G К х §5; и векторное поле (2\) удовлетворяет условию к(А) > к, то число его 5-хороших предельных циклов не превосходит ехр (ехр(1077«Г2Г33)) .

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. В первой главе доказано обобщение теоремы о нулях и росте, позволяющее получать равномерные оценки на число нулей малого возмущения тождественно нулевой функции (см. также [F3]). Эта теорема применяется при исследовании ^-хороших предельных циклов у квадратичных уравнений, близких к центрам. Основным результатом, доказанным во второй главе, является теорема 2, сформулированная выше. Также во второй главе мы приведем оригинальную формулировку теоремы Ильяшенко-Ллибре и переформулируем ее для случая нормальной формы Каптейна (теорема 1). Утверждение теоремы 3 сразу следует из теорем 1 и 2, в чем легко убедиться. Мы дадим соответствующее рассуждение в конце главы 2. В приложении приводятся тексты программ для пакета символьных вычислений Mathematica.