Проблема центра и фокуса и бифуркации малых предельных циклов для аналитических динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Институт математики Национальной академии наук Беларуси

'О \

УДК 517.925 ь Л^/С?

РОМЛНОВСКИИ Валерий Георгиевич

ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА И БИФУРКАЦИИ МАЛЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЩШЛОВ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 —-дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск, 2000

Работа выполнена и Белорусском государственном: университете информатики и радиоэлектроники

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Черкас Леонид Антонович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шубэ Александр Серафимович

доктор физико-математических наук, профессор Громак Валерий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Лаптннский Валерий Николаевич

Оппонирующая организация — Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 24 ноября 2000г. в 15.00 на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 Института математики НАЫБ, ул. Сурганова, д.11, тел. ученого секретаря совета 284-19-63

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики НАНВ.

Автореферат разослан 2000г.

"Ученый секретарь совета по защите диссертатщй

П. II. Мату с

оз

Ь /, € 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одна из наиболее известных математических проблем, шестнадцатая проблема Гильберта, состоит из двух ча-rrett. В первой части речь идет о числе и взаимном расположении овалов шгебранческой кривой. Вторая часть является проблемой качественной те-)рии дифференциальных уравнений и п ней поставлен вопрос о максималь-юм числе II{п) предельных циклов и их взаимном расположении для дву-лерной системы дифференциальных уравнений, правые части которой - гго-шномы степени п.

Несмотря на простоту постановки, проблема до сих пор пе решена да-ке для случая, когда полиномы в правой части системы дифференциальных /равнений имеют степень п = 2. Тем не менее она притягивает все возражающее пниманне очень многих математиков.

Одной из классических и пионерских работ п этом направлении являйся статья H.H. Баутина, где он доказал, что Н(2) > 3. В этой работе он !пел также понятие цикличности, которое играет одну из ключевых ролей 1 современной теории полиномиальных систем.

После работ Е.М.Лапдиса и И.Г.Петровского, где авторы пытались до-сазать, что 11(2) = 3, долгое время считалось, что эта оценка действнтель-ю выполняется. Однако около 1980 года первые примеры квадратичных :истс,м (т.е. двумерных систем, правые части которых полиномы второй пенсии) с четырьмя предельными циклами были построены китайскими .татематиками Ши Сонг-Лннг, Л.Чсном и М.Вапгом. Исследованию квадратичной системы и, главным образом, проблемы Гильберта для этой системы, посвящено очень большое число работ исследователей различных ;траи - библиография, составленная голландским математиком Дж.Рейном > 1994 году содержит более 1500 статей. Среди них следует отметить зна-штельные результаты, полученные Н.И.Вулпе, Ф.Дюмортье, Е Янкьяном, "".Жолондеком, Р.Россари, Дж.Рейном, К. Руссо, Л.А. Черкасом, Чжан т1и l'en, Ли Чапгжи. В настоящее время широко распространена гипотеза, что 1.ля квадратичной системы имеет место оценка Н(2) = 4.

Некоторые нижние оценки получены также для случая кубических си-:тсм, т.е. систем, правые части которых - полиномы третьей степени. Так, Г'.Жолондек показал, что существуют кубические системы, имеющие центр наличности 11 и, следовательно, Н(3) > 11. Следует отметить, что до сих тор неизвестно, является ли Н(п) конечным при п > 2. Более того, до пе-lanitero времени не решена была даже проблема конечности числа предельных циклов для полиномиальных систем, т.е. было неизвестно, имеет ли юлипомиальпая система с фиксированными коэффициентами лишь копеч-юс число предельных циклов. В начале века Г.Дюлак опубликовал работу : решением проблемы. Однако в начале 80-х Ю.С.Ильяшенко указал на ;ущсствснпый пробел ri работе Дюлака и проблема вновь стала рассматри-

ваться как открытая. В 1986 независимо чилийским математиком Р.Бамонои. и автором была решена проблема конечности для квадратичной системы г вскоре после этого Ю.С.Ильяшспко и Д.Эколь решили проблему в обще^ случае, т.е. доказали, что полиномиальная система с фиксированными коэффициентами имеет лишь конечное число предельных циклов.

В настоящее время, несмотря на значительные усилия, проблема оценки числа предельных циклов полиномиальных систем далека от завершения даже для малых значений п. Один из возможных подходов к ее решению -сосредоточиться на детальном изучении локальной ситуации. И действительно, сейчас исследовательская активность многих математиков направлена в это русло. В частности, одной из чрезвычайно важных локальны? задач является проблема оценки числа предельных циклоп, бифурцпру-Ю1цих из состояния равновесия типа центра или фокуса полиномиальное системы (проблема цикличности). Эту проблему иногда называют локальной шестнадцатой проблемой Гильберта. Кроме основополагающей статьи Н.Н.Баутипа, следует отметить работы н этом направлении Г.Жолондска К.Кристофера, Н.Г.Ллойда, Дж.Пирсон, Л.П.Садовского, К.С.Снбнрского Ж.Франсуа и И.Емдина, Л.Л.Черкаса, А.С.Шубэ.

Однако, для исследования цикличности состояния равновесия типа центра или фокуса прежде необходимо решить проблему различения центр.' и фокуса, которая сама по себе является одной из старейших и наиболее известных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Общий подход к решению данной проблемы был предложен А.Пуап каре н А.М.Ляпуновым, и в современной постановке проблема впервые бы ла решена в 1908 году Г.Дюлаком для квадратичной системы. С тех по| она интенсивно исследовалась многими авторами и значительные результаты были получены А.Ф.Андреевым, Н.И.Вулпс, А.Гажулем, Дж.Джнне Г.Жолондеком, К.Кристофером, И.С.Куклесом, Дж. Ллибре, Н.Г. Ллойдом, К.Е.Малкиным, Дж.Пирсон, В.Маносой, А.П.Садовским, К.С.Сибир ским, Я.Сокульским, А.Фронвилле, Дж. Чаварпджой, Л.А. Черкасом, А.С Шубэ, Ж.Франсуа и многими другими.

Проблема центра и фокуса тесно связана с проблемой изохронности центра. Методы исследования этих проблем тесно переплетаются. Кроме того, как показали К.Чнкопе и М.Джакобс, бифуркации критических пери одов вполне аналогичны бифуркациям малых предельных циклов. Поэтому представляется логичным рассматривать проблему изохронности п комплексе с проблемами цикличности и центра-фокуса. Существенный вклад в исследование проблемы изохронности центров внесен В.В.Амслькиным А.П.Воробьевым, П.А.Лукашевичем, И.И.Плешкапом, К.Руссо, П.Мардеси чем, М.Урабе и другими.

Дискретный аналог проблем центра-фокуса и цикличности был предложен недавно Г.Жолондеком. Многие методы из теории векторных полей как, например, метод нормальных форм, метод функций Ляпунова, могу:

быть перенесены па случай отображений. Оказывается, проблема центра и фокуса имеет простое решение для случая алгебраических отображений. Поэтому предстаплястся целесообразным исследовать проблему цикличности для алгебраических отображений и пытаться использовать разработанные методы и идеи для систем дифференциальных уравнений и наоборот.

Проблема построения спектра урапнения Шрсдингера является одной из важных физических проблем. Методы построения такого спектра, основанные на ВКБ разложении были разработаны Д.Данхомом, М.В.Федорю-ком, К.Вендором, К.Олауссеном, П.Вангом и другими. С их помощью удается вычислить спектр для некоторых потенциалов. Как оказалось, идеи, развитые для исследования проблем центра-фокуса и цикличности, позволяют предложить эффективные алгоритмы для построения ВКБ разложений решений уравнения Шредингсра для произвольных аналитических потенциалов и найти ВКБ разложения спектра некоторых аналитических потенциалов.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа пыполнена п Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники в рамках научно-исследовательской темы "Качественные н конструктивные методы исследования периодических решений нелинейных дифференциальных систем", которая входит в программу важнейших НИР Национальной академии наук Беларуси, а также научно-исследовательских работ Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь "Аналитическое и качественное исследование нелинейных уравнений Пенлеве-типа и автономных полиномиальных систем", "Качественная теория полиномиальных систем и 16-я проблема Гильберта." и ПИР "Исследование малоамплитудных: предельных циклов и изохронных центров автономных полиномиальных и дискретных алгебраических спег;.м и решений Псплеве-тнпа динамических систем", "Качественное исслсдоьа-пие полиномиальных систем на плоскости" Министерства образования Республики Беларусь.

Цель и задачи исследования. Разработка методов для исследования бифуркаций малых предельных циклов (цикличности) для аналитических динамических систем. Разработка методов для решения проблем центра-фокуса и изохронности для полиномиальных систем дифференциальных управлений. Решение этих проблем для различных классов полиномиальных систем дифференциальных уравнений и аналитических отображений.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются периодические решения динамических систем.

Методология и методы проведенного исследования. Для исследования фимснялнсь методы нормальных форм, функций Ляпунова, пычислитель-юй алгебры (основанные на теории базисов Гробнера), разработанные автором методы для вычисления фокусных величин и условий изохронности,

анализа многообразия центра и идеала фокусных величин.

Научная новизна и значимость полученных результатом. Разработаны новые эффективные методы вычисления фокусных величин и условий изохронности для полиномиальных систем в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения. Доказаны новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра и необходимых и достаточных условиях изохронности для различных классов дифференциальных уравнений. Предложен эффективный алгоритм редукции фокусных величин в мопондпых кольцах. Разработаны новые методы для построения базиса идеала фокусных величин для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алгебраических отображений. Решена проблема цикличности для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений. Найдено неприводимое разложение многообразия центра и исследованы бифуркации малых предельных циклоп для отображения, определяемого кубическим многочленом. Найдены новые формулы ВКБ разложения решений и спектра уравнения Шредингсра для произвольного потенциала и некоторых частных типов потенциалов.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты могут быть использованы при качественном исследовании полиномиальных систем дифференциальных уравнений и при исследовании периодических траекторий аналитических отображений, при исследовании математических моделей из физики, химии, биологии, экологии, техники и т.д.

Основные положения диссертации, пыносимыс на защиту. Новые эффективные методы вычисления фокусных величин и условий изохронности для полиномиальных систем в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения; новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра и необходимых и достаточных условиях изохронности для различных классов дифференциальных уравнений. Алгоритм редукции фокусных величин в монондных кольцах. Методы для построения базиса идеала фокусных величии для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алгебраических отображений; новые теоремы о цикличности для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений и бифуркациях малых предельных циклов для отображения, определяемого кубическим многочленом. Формулы для ВКБ разложения решений и спектра уравнения Шредингсра для произвольного потенциала и некоторых специальных потенциалов.

Личный вклад соискателя. Представляемые на защиту результаты получены автором самостоятельно. При исследовании многих проблем, представленных в диссертации, приходится иметь дело с очень трудоемкими вычислениями. Поэтому результаты, представленные в совместных статьях, как правило, были получены авторами независимо, чтобы иметь возможность сравнить результаты сложных вычислений.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докла-

дывались на:

Республиканской конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992); Международном семинаре "Нелинейные явления в сложных системах" (Полоцк, 1993, 199-1, Минск, 1996, 1998, 1999); Международной конференции "Преподапание математики для индустрии" (Прага, 1994); семинаре "Особенности дифференциальных уравнений и уравнений Пфаффа" в международном центре Стефана Банаха (Варшава, 1995); Международной конференции по диофантовому анализу и его приложениям, посвященной академику Спрннджуку (Минск, 1996); Международной конференции "Дифференциальные уравнения и приложения" (Санкт-Петербург, 1996); 3-й и 4-ой международных школах-конференциях "Взгляд на хаос через нелинейную динамику" (Марнбор, Словения, 1996, 1999); Международной конференции но дифференциальным уравнениям и их приложениям "EQUADIFF" (Брно, Чехия, 1997); Международной конференции по математике и ге приложениям, посвященной 90-летшо Л.С.Понтрягина (Москва, 1998); Международной конференции "Вычислительная алгебра и ее приложения" (Ларами, США, 1999); Ленинградском городском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Ленинград, 1986), Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1991); научных математических семинарах Центра прикладной математики и теоретичекой физики Марнборского университета (Марнбор, Словения, 1995, 1996, 1997, 1998); Любляпского университета (Любляна, Словения, 1995, 1996); Датского технического университета (Копенгаген, 1996); университета Триеста (Триест, Италия, 1996); Олдепбурского университета (Олденбург, Германия, 1997); Технологического университета Дельфта (Дельфт, Голландия, 1997); Варшавского университета (Варшава, 1998), Белорусского государственного университета (1999), Белорусского математического общества (2000).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 научных работах, из которых 17 статей в научных журналах '7 за рубежом, 6 без соавторов), 4 статьи в материалах международных конференций (1 за рубежом, 2 без соавторов), 8 тезисов докладов конференций i выступлений (3 за рубежом, 5 без соавторов). Общий объем опубликованиях материалов — 169 журнальных страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, об-цей характеристики работы, семи глав, заключения, списка использованных источников. Список использованных источников содержит 175 нанме-гованнй.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается обзор литературы, вводятся основшпонятия и сратко описываются основные методы и результаты исследования.

В главе 2 описаны методы, разработанные для исследования проблемы различения центра и фокуса для двумерной полиномиальной системы

дифференциальных уравнений

^ = Е ?(™>*hv = j,(s.!/). а;

(p,7)6S

= E bb.P)x4vp+l =

где x,y,ai,b3 комплексные переменные, 5 = {ïm = (pm,îm)|pm + 7m > 1,m = 1,Z} некоторое подмножество {—lUN) х N, и N - множество неотрицательных целых чисел (будем писать arq, bqp вместо %>,т), Ь(7,Р))- Обозначим через

Es{a,b) d= {(ab,aÎ2,...,alnb3n...,bh)} = С2'

пространство коэффициентов системы (1) (будем считать, что порядок коэффициентов фиксирован так, что гк = (рк,Як) » Jk = (Qk,Pk) ), чере:

C[atl, ai2,..., а,,, bjn ..., 6j,] C[a,¿>] кольцо многочленов над полем С относительно переменных aîk, bjk (т.е. коэффициентов системы (1)), через С[п, Ь][[аг, ¡/]] кольцо формальных степенных рядов от переменных х,у с коэффициентами из кольца C[a,¿>] и через Н(а,Ь\х,у) обозначим пространство формальных степенных рядов от х,у, чьи коэффициенты - функции от

«^неопределим отображение

£>(/) : H(a,b\ х,у) -» Н{а,Ь;х,у),

где

Будем говорить, что система (1) имеет центр на множестве W С Е$(а, Ь) если существует функция

оо

Ф(ж,у) = ху+ Vijx'y3 (2

|+J=3 ¡,j>0

из кольца С[а, 6][[х, j/]], для которой

Л(Ф)к = о- (3

Всегда можно найти функцию Ф 6 С[а, b][[i,¡/]], такую что °= + ^^(z.J/) =mi(zy)2 + <7зз(*г/)'1 + ■••• (4

где дц - полиномы кольца С[а, Ь], которые называются фокусными величинами. Максимальное множество V, где система (1) имеет центр, представляет собой подмножество пространства параметров Е${а,Ь), где все полиномы да,г — 1,2,... обращаются в ноль, т.е. V является является многообразном идеала, порожденного фокусными величинами дц.

Будем обозначать через V(7) многообразие идеала I С С[п,Ь], т.е.

V(/) = {(а,Ь) G E(a,b)\f(a,b) = О V/ € I).

Определение 1. Множество V = V((<7n, <722, • • ■, да, ■ • •)) называется многообразием центра системы (1).

Таким образом, для систем вида (1) возникает проблема нахождения многообразия центра, которая называется проблемой различения центра п фокуса. Эта проблема впервые была рассмотрена Дюлаком для квадратичных систем и в настоящее время является одной из интенсивно изучаемых проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Как частный случай системы (1) при

х = у — w, bj,i-i = ai_i j,idr — di, (5)

получаем уравнение

.dw v-^ 1_

г-=ги- a¡-i,j™w}, (G)

которое соответствует вещественной системе вида

й = v + U(u,v),v = —и — V(u,v).

Гогда, если для системы (1) существует интеграл вида Ф(х,у) = ху + ..., 10 Ф(ш, w) = wid + ... - интеграл уравнения (6). Пространство параметров :истемы (G) обозначим Es(a).

С системой (1) ассоциируем мопондное кольцо (полиномиальную подал-•сбру) следующим образом. Пусть П - некоторый подмоноид Z2. Рассмоточм )тобра>кение L>s : N2' —> П,

Ls(v) = ^ L'|(í/j ) = Vlíl + ^ + • • • + "í-i^-i + vi4 +

vi+\ji + vi+iji-i + • • • + V¿l-\J2 + ^2/Jl, (7)

•до ц € S, ji соответствует ц, так что Ji = если ц =

Обозначим через Ais множество всех решений уравнения Ls(v) j>, де ш пробегает все множество П. Нетрудно видеть, что Ms - абелсв мо-юид. Пусть к - некоторое поле. Обозначим через fc[fi;S;a,/>] - множество icex многочленов д кольца £;[«,&], таких, что каждое степенное произведете а"* п^ ... a'¡¡ bj¡+' ... bJ: 1/2', входящее в д, удовлетворяет условию v € Ms-

Кольцо 5; а, Ь] представляет собой так называемое моноидное кольцо. Элементы /¿ьДг, ■ ■■ образуют порождающее множество (базис) моноида М, если каждый ненулевой элемент ц из М может быть представлен в виде

Определение 2. Предположим ("') £ П. Многочлен д € л, Ь]

д = £„б„фр(3) П(|/)М называется (т,п)-иолнномом, если для каждого V € эирр(д) выполняется условие = Пусть 5 - упорядоченное мно-

жество индексов системы (1), 5 = {»1,... и П(5) - подмоноид моноидг 7?, порожденный множеством 5и5, где 5 = {(™)|(") € 5}, и М$ - моноид образованный всеми^решениями уравнения

где к = 0,1,2,.... Тогда с системой (1) мы ассоциируем моноидное кольцо (полиномиальную подалгебру) &[П(5); Б; ат,,... ,аг,, Ь1п... ,?>!,], которое будем обозначать ¿[й], и моноидное кольцо к[Мз\5; гц,,..., ат,, Ьц,..., Ь-н] которое обозначим

Будем считать, что порядок переменных аТ1, аТ2,..., «1,, Ь^,,..., фиксирован и вместо монома

будем писать

Обозначим через и инволюцию вектора и,

V — - -, , ) - (8

Одной из основных трудностей при исследовании проблемы различения центра и фокуса для кубических систем (и, следовательно, проблемы цикличности элементарного центра или фокуса) является очень быстрое возрастание количества членов и длины рациональных коэффициентов г ляпуновских фокусных величинах. Существуют различные методы вычисления фокусных величин, но все они приводят к очень сложным вычи слениям. Следует отметить, что при использовании традиционных методо1 обычно вычисляются не многочлены дкк (или их аналоги), а многочлень дкк 1л1=...=$к_1.»-1=о (что достаточно для исследования проблемы центра фокуса), и, как результат, возникает проблема нахождения многочленов дкк знание которых необходимо для изучения бифуркаций малоамплнтудны; предельных циклов. Разработанный нами алгоритм вычисления и деление фокусных величин дает на выходе полиномы дкк, такие что дкк = Окк то<

(511>- • ->!71Ь-1,*:-1>-

Алгоритм основан на использовании следующих свойств функции Ля пунова (2) и фокусных величин.

Теорема 1. Существуют формальный ряд Ф(х,у) вида (2) и многочлены <71ь.<722, • ••, такие что выполняется (4) и ьыь = 0 \/к > 1, уь„ 6 Р[5] и »;*„ являются (к, п)-полнномами У(к,п) : к + п > 0, к,п > —1; дц 6 "

являются (г, г)-полиномамн для всех г > 0.

Следствие 1. Если (т,п) П(5), то ьтп = 0.

Данное следствие позволяет упростить вычисление функции (2) для некоторых систем вида (1) и оказалось полезным для исследования изохронности центра.

Приведенная выше теорема дает возможность получить следующий эффективный алгоритм для вычисления фокусных величин.

Рассмотрим формальный ряд

у = .....- ч?', (9)

где .....определяются по следующей рекуррентной формуле:

- £,1(7У) _ ....."i-1.....^(-^("l.---.^ - l,---,^/)

21

+i)- £ ^.....^-i.....+

¿=1+1

если 1}(и) ф L2(v), V(„,.....„,,) = 0, если L'(и) = £2(i/); V(0.....0) = 1 " мы

полагаем .....„21) = 0 для всех v = {y\,...,vi¡), таких, что существует г :

щ <0.

Пусть, как и выше, М$ - моноид решений уравнения L{и) = (*), где к пробегает все множество натуральных чисел и Q[Ms] и C[Ms] моноидные кольца моноида Ms над Q и С, соответственно.

Теорема 2. 1) Коэффициент при [f] в многочлене Vkn равен V(„liI/2.....1/2l)

где y^i,!^,...^!,) вычисляется согласно (10).

2) Фокусные величины системы (1) принадлежат кольцу Q[A:fs] и г-ая фокусная величина равна

он = Е .....

где

Q(v = •■• , "i - 1, • • • , + 1)

¿=1

21

- Ц ..........„2|)(/.,2 (l'i',..., l/i - l,...,I/2í) + 1)

•=í+l

и V(„) определены соотношением (10).

3) v(u) = V(J7), <7(„) = -Í7(F) ^ ^ V, V(u) = !)(„) = 0 и = Р.

Впедем обозначения

IM[v} = [v] - [17], RE[v) = [z/] Ч- [77].

Используя утверждения 2) и 3) теоремы 2, получаем следующее утверждение, которое устанавливает вид фокусных величин.

Следствие 2. Фокусные величины имеют вид

9и = 5И/ММ- (ч;

Обозначим через C[Ms]/a/ множество полиномов кольца С [Ms] вида

Согласно следствию 2 фокусные величины системы (1) принадлежат кольцу С[Afs] « имеют вид (11) с д(„) G Q. Таким образом, дц € С[Ms]im для всех г Е N.

Следующее утверждение обобщает критерий симметрии Сибирского на случай систем вида (1).

Предложение 1. Пусть I - идеал кольца С[а, Ь]. Если каждый многочлен / из С\Ms\im сравним с нулем по модулю I, то система (1) имеет центр на множестве V(i).

Для исследования бифуркаций предельных циклоп полезными являются следующие свойства полиномов из Q[Ms].

Предложение 2. Для любых 6 Ms

IM ¡u + /í] = ^IM{u)RE[fi) + X-IM[ß)RE[v], RE[ v + /i] = ^IM{u}IM{ß] + ^RE[ti}RE[v}.

Предложение 3. Пусть J - идеал из Q[Ms] и i/,ц £ Ms- Если IM[/i + v] £ J, IM[ß] e J, то

1) iM[ß + v)eJ,

2)для любых к € N IM[fi + kv] £ J.

В главе 3 исследуется проблема центра и фокуса для некоторых семейств кубической системы

dx

— - x(l-awx-a0iy-a-i2^~ly2-0-20Х2-аиху-а02У2-а-13х~1у3), (12 dt

— = -у( 1 - Ь2,-\х2у 1 - Ьюх - bQiy - b3-ix3y 1 - b20x2 - bnr,y - Ь02У2), dt

где х, у, о,-у, Ьу € С и пеществспной кубической системы (

г— = х(1—а10х — а0]х — а-12х~1х2 — а20х2~ацхх — а02х2—а-1зх~1х3). (13) ат

Найдены необходимые и достаточные услолия центра для всех 6-пара-метрнческих векторных полей (12). в которых резонансные члены - оц х'у, Ьцху2 - отличны от нуля (для вещественных систем (13), в которых четыре из семи коэффициентов ау равны нулю, необходимые и достаточные условия центра были получены В.И.Даннлюком и А.С.Шубэ) и 8 из 14 коэффициентов яу, положены равными нулю, причем, если «у = 0, го и Ъц ~ 0. Итак, считая, что в системе (12) резонансные коэффициенты Оц, отличны от пуля и что aij и Ьц обращаются в нуль одновременно, получаем 15 шестипараметрпческнх систем:

1)п._12 = «20 = °02 = п_1з = 0;2)п01 = 020 = а-02 = о—13 = 0;3)а01 = п._12 = а02 ~ гс-13 = О;4)о01 = а-12 = а2о = п-13 = 0; 5)а01 = а_ 12 = а2П = «02 = 0;б)аю = (120 = 002 = а-13 = 0; ")ою = а_)2 = ао2 = а-13 = 0; 8)а10 = о_12 = а2о = Л-13 = 0;9)аю = а_12 = &20 = о02 = 0; 10)а)О = «01 = 002 = «-'з = 0; 11)аю = о01 = а2о = «-1з = 0; 12)аю = «01 = а2о = 002 = 0; 13)аю = о( \ -а_ 12 = а_1з = 0;14)гсю = 001 = 12 = о02 = 0; 15)аю = а01 = а_]2 = "20 = 0.

Для всех этих систем получены необходимые и достаточные условия наличия центра п начале координат.

Также условия центра получены для следующих шестипараметриче-ских кубических систем:

х-х- а01ху - а_12у2 - а20х3,у = -(у - Ь10ху - Ь2-\ху - Ь02у3),

х = х - ащх2 - п_12?;2 - а20х^,у = -(у - Ь01у2 - Ь2<_хху - Ь02у3), х = х(1 - По]у - а20х2 - п_13х~1у2),у = - Ь10х - Ь02у2 - Ъ3^хх?у~х),

где с1к1,1>1к - комплексные параметры.

Полностью решена проблема различения центра и фокуса для нескольких вещественных восьмнпараметричсскнх кубических систем. Именно, для систем

И = г(1 — а 01Х — а2ох2 — ац:Е:Ё — ао2£2), гх — х(1 — а_\2х~хх2 — а2оТ? — ацй — ао2х2),

где а6 С.

Для отмеченных выше кубических систем наиболее сложные определяющие уравнения имели компоненты симметрии, т.е. компоненты, определенные порождающими элементами соответствующих моноидов. Изученные ниже кубические системы имеют многообразия центра со значительно более

сложными компонентами, которые, тем не менее, допускают рациональную параметризацию.

Рассмотрим систему

х = х - аХ0х2 - а01ху - апх2у - а02ху2, У — ~(у ~ Ьо1У2 — Ь\оху — 6ц?/21 — Ъгоух?)-

Теорема 3. Многообразие центра системы (14) состоит из следующих неприводимых компонент,

1) У(,Л), где Зх = («10,^01,011 - 6ц),

2) У(,/2), где Зг — (а1»оо2-ац 601, ою 6ц -601 Ьго,оц ¿11 -002 620,001 ац 6Ш + Оц а02 — «02 &01 6щ — в02 Ьц,аю а01 + Оц — — 6ц, Оо1 6о1 620 + Оо2 620 — 601 Ью 6ц - Ь2п),

3) У(/3), где З3 = (а20«02 - *>01 620,010 а01 - 601 6ю,ац - 6ц, а^ 620 - «02 6?0> «10 О02 &10 _ «01 ¿01 620).

4) У(^), где «/4 = (ац + аюао1,6ц + 610601,а02, 62о),

5) где 3§ = (001,610,011,611.002).

6) где = (001,610,011,611,620),

7) "^(»/7), где = (по1,ац,002,6ц + бюо.01) и

8) У(^), где = (он + 010001,610,611,620)-

Рассмотрим теперь систему

х = х- аюх2 - а0\ху - а20х3 - оц.т2у, , .

У = ~{У ~ 601У2 - Ъ10ху - 6022/3 - Ъпу2х).

Теорема 4. Многообразие центра системы (15) представимо в виде

V = У(.7,) и У(32) и V(З3) и У(34) и V(35) и V(76) и V(37),

где

Л = (оц — 6ц, —2Оо1 + 601 ,аю — 2 6ю), З2 — (оц — 6ц,ащ6ю602 — 001 020601, О01 020 - 6206О2,ОЮ о01 - 601 6ю,а20 602 - 020601), Зг = (а^ого - ао^и^ю + О2о6о2+6|06о2-ац6ц -0016106ц, —2001020602+020601602+011610602+001011611-оцбщбц -610602611+00161!, -001011+001011601+011602+2001610602-601610602-а^бп — 6026ц, 001О20601 — 001011610 + 2а2о6о2 + 26^06о2 — ац6ц — 0016106ц — бщбщбп-б2!, 2а01О20— а2о6о1 -ацбю+оюбц -610611, 0010ц -ац601 +010602-26ю602 + 0016ц, аюОо1 + оц - 601610 - 6ц), Зл = (ац + аюо01, 610,611,020), Зь = (6ц +601610, 001,011,602), Л = (001,610,011,6ц), 37 = (ац +аюа01, 6ц + 601610, «20. 602) " У{3{) г = 1,7- неприводимы.

В главе 4 получен алгоритм для вычисления условий изохронности для полиномиальных систем.

Определение 3. Особая точка х = 0,у = 0 системы (1) называется изохронным центром, если существует формальная замена координат

оо

Г1=Х+ £ »^.^"У, (16)

т+]=2

оо

171+1 = 2

которая псреподчт (1) и линейную систему

¿1 = 2Ь ¿2 = -г2. (17)

Дифференцируя по ( обе части каждого из равенств (16), получаем

оо

m+j=2 со

¿2 =У+ ]Г "та-Лпх^У** + ЗХтУ*~ХУ)-

тп+^=2

Приравнивая коэффициенты в этих тождествах при членах хЧ1+х у42, хЧ1уЧ2+2, соответственно (где 2; определены согласно (16), (17)), получаем рекуррентные формулы

71 + 73-1

(<71 - «»К*« = К51 + (Щ

51+«2=0

71+72-1

(71 - <72)«£п = ~ (®2 + 1)и«1>»аЬ«1 .«-»я]. (1!))

$1+52=0

где <71, <72 > — 1, <71 + <72 > 0>и[!-1 — и-1д = 0,иоо = иоо = и мы полагаем, что ачт ' Ътд = 0, если (д, тп) 0 5.

Таким образом, коэффициенты преобразования (16) могут

быть вычислены последовательно по формулам (18), (19). В случае 71 = 72 = <7 коэффициенты ,11$ могут быть выбраны произвольно (мы полагаем — Итт = 0), однако система имеет изохронный центр, только если выражения в правой части (18), (19) равны нулю. В случае <71 = 72 = 7 обозначим полиномы в правой части (18) через 1ЧЧ и в правой части (19) -через зчч. Нетрудно видеть, что можно выбрать коэффициенты и^' так, что (чч — ]чч, где через ]я<] обозначен многочлен, полученный в результате действия на г77 инволюции (8), т.е. в результате замены каждого монома [у] в 1пч мономом [£>]. Будем называть величины 1кк,3кк к-ми величинами изохронности.

Рассмотрим отображение ¿5 : К2' —> N2, определенное формулой (7). Пусть, как и выше, М§ - моноид всех решений уравнения и) = (к,к)Т, где к пробегает все множество {0,1,2,...}. Имеет место следующее

Предложение 4. а) Коэффициенты являются (к, ^-полино-

мами, для всех (к, п) : к 4- п > 0, к,п> —1; б) 1кк,]кк € С}[М5] (и, следовательно,

являются {к, к)-полиномами) для всех к > 1. Рассмотрим формальный ряд

и = .....(20)

где определены согласно следующей рекуррентной формуле:

21

+1)- Е и(»и-,г><-1.....

¿=(+1

если ¿Ч") Ф Ь2{1/), £/(„,.....= 0, если Ь1^) = Ь2^); [/(0.....о) = 1 и мы

полагаем £/(у,,...,^,) = 0 для всех I/ = 0л, • • • 1 "2() таких, что существует г : щ < 0.

Теорема 5. 1) Коэффициент при [1/] в полиноме и коэффициент при [р] в полиноме равны £/(„, „2 где „2 „2() вычислен согласно

(21).

2) Величины изохронности системы (1) принадлежат кольцу (^[Мз] и к-я величина равна

1кк= Е .....аъ ■ ■ ■ • • • '

где

/

.....»21) = Е^"'.....<4-1.....- 1,...,1/21) +1)

к=1

21

- Е Ц"!,-.,",-!.....«ы^^Ь •••>'<; -1,...,

и £/(„) определены согласно (21). Пусть

^ = Е1^.....•»)<%<% (22)

- формальный ряд н JV'(f)) = 1. Обозначим

■¿(»0= Е (23)

(UMS а,}

Е Ir^Mi-j-id,«)

(У,0 es

где (1 ,п) = £ (i,j)esnv> (1>ь) = £(j,,)es6ü-Имеет место следующее утверждение.

Теорема G. 1) Система (1) имеет центр в начале координат для всех значений параметров тогда и только тогда, когда существует фор-

мальный ряд (22), удовлетворяющий уравнению

#Г)=И/((1,В)-(М)). (24)

2) Начало координат является изохронным центром системы (1) тогда и только тогда, когда для всех значений параметров akn,bnk существует фор-, мальные ряды (22), удовлетворяющие уравнениям

A(]'V) = 17(1,а),Л(И0 = -\V(1 ,Ь). (25)

Следствие 3. Если существуют формальные ряды вида (22), являющиеся решениями уравнения (24) и одного из уравнений (25), то существует также формальный ряд вида (22), представляющий собой решение другого уравнения из (25).

С использованием приведенного выше алгоритма для вычисления величин изохронности и теоремы (б) получены необходимые и достаточные условия изохронности для кубической системы

х = х{\- aoiy - а20х2 - апху - а02у2), (26)

х = —у(1 - bl0x - b20x2 - Ьцху - [>02У2)-

Теорема 7. Начало координат является изохронным центром системы (2G) тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) «02 = ¿»20 = &11 — = «20 - '>10 = О01&10 + &11 = "01 ¿>11 + ^02^10 = «oi - ¿02 = Он - Ьп = 0;

2) ь02 = Ьц = ап = о02 = о01 = 0;

3) bio = «01 = «11 = Ьц = Я02 + bo! = а20 + ¿>20 =

4) bi0 = ho - Ьц = Он = а.20 = 0;

5) Ью = Ь20 = Ьц = «и = 0; а02 + 2«oi =

6) а02 = (loi - аи = Ьп = 0, ¿>20 + 2bf0 = 0.

Показано также, что пространство коэффициентов системы (1) явля ется своего рода двойственным пространством для системы (1), н оператор А - двойственным оператором, в том смысле, что каждой собственно! функции w = оператора Л (т.е. функции удовлетворяющей со

отношению .4(u;) = k(a,b)w(a,b)) соответствует инвариантная кривая / = 12c(i>)[l'}xiх Хг*^' 11 наоборот. Это свойство применяется для построе ння линеаризующего преобразования. Рассмотрим систему вида

х = у, У — ~д(х), (27

и предположим, что д(х) £ С(а,Ь), хд{ х) > 0 для х ф 0, <7(0) = Он д'(0 = к Ф 0. Основываясь на критерии изохронности Ландау-Пятигорского, по лучено простое доказательство следующего критерия изохронности Урабе.

Теорема 8. Если д{х) непрерывна, тогда д(х) 6 С1 (а,Ь) и система (27 имеет изохронный центр, тогда и только тогда, когда в окрестности точк1 х = у = 0 посредством преобразования

\Х2 - t/(z),

где Х/х > 0 для х ф 0, д(х) представнма в виде

д(х) = 5[х(А')] =' h(X) = ^^—,

где S(X) - произвольная непрерывная нечетная функция и г - период ко лебапий.

В пятой главе получены оценки для цикличности особых точек ти па центра или фокуса некоторых семейств кубических векторных полей Для этого используются следующие два предложения, обобщающие мето, Н.Н.Баутина.

Предложение 5. Пусть

Ф(0, z) = h(9)zkl (1 + ipi {в, z)) + ... + /,(0)z*' (1 + Мв, z)),

где ki < ... < ki, 9 = (9i,...,0s), и fi{9),ipi(0,z)- ряды, сходящиеся дл \z\ < б, в 6 Щ(в*), н i>i(e,G) = 0 для всех i = l,...,l. Тогда существуе 0 < eo 0 < ¿о < i такое, что уравнение по отношению к z

Ч>(0,z) = 0

имеет не более, чем I - 1 изолированных решений в окрестности 0 < z < t для всех в £ U$0{9*).

Рассмотрим теперь функцию

оо

= (2 к=0

где ik{0) £ R[#i,...,$s] и существует по меньшей мере одно не равное тождественно нулю. Пусть I = (/о, fx, /2,...)- идеал, порожденный многочленами fj, j = 0,1,2,..., и Ik = (/о, ...,/*)- идеал, порожденный первыми fc + 1 многочленами.

Обозначим через D/ базис I, полученный следующим образом. Input: / = (/о,/ь/2,---) Output: Di

D, :=0;/_! := <0);А:=0; WHILE 7/;_i ф 1 DO

IF 1к ф /,_! TNEN D, := £>/ U Д; * := /с + 1. Заметим, что алгоритм производит расширяющуюся цепочку идеалов, Ik С h+m 1 и, следовательно, она стабилизируется, потому что кольцо ..., 0S] - нетеропо.

Предложение 6. Пусть Ф(0, z) - ряд вида (28), сходящийся для |г| < е,0 £ Щ(0*). Если базис Dj идеала I состоит из / многочленов, Л,, то существуют 0 < ео < е, 0 < ¿о < такие, что число положительных решений уравнения

оо

Ф(б,*) = Х; л (<?)** = о, к = 1

в бо-окрестностн z = 0 меньше, чем I для всех 0 £ Us0(9*). Из предложений 5, 6 следует

Теорема 9. Если идеал фокусных величин системы (1) порожден к фокусными величинами в С[М5], то цикличность особой точки х = u+iv = О системы (G) по отношению к пространству Es(a) меньше или равна к — 1.

Приведенные выше утверждения используются для исследования бифуркаций малоамплнтудных предельных циклов некоторых семейств кубической системы.

В частности, рассмотрим систему

х=у+Р(х,у), y = Q(x,y),

где Р и Q - однородные полиномы третьей степени. Условия центра для данной системы были получены А.Ф.Андреевым. В предположении, что состояние равновесия х = 0, у = 0 - типа фокуса или центра, данную систему можно привести к следующему виду:

х = у + А хх2у + А 2ху2 + Аз у3, у = -х3 + А Ах2у + А 5ху2 + А 6у3. (29)

Теорема 10. Состояние равновесия х = 0, у = 0 системы (29) имеет порядок цикличности по отношению к пространству R6, не превышающий двух, причем,если:

1) А,( ф 0, то порядок цикличности равен 0;

2) А4 = 0, А2 + ЗАб ф 0, порядок цикличности равен 1;

3) А< = \2 + ЗАо = 0, порядок цикличности равен 2.

Как. отмечалось выше (см. стр.10-12), в главе 3 получены необходимые и достаточные условия наличия центра для 15 шестнпараметрических семейств с отличным от нуля резонансным членом.

Рассмотрим теперь проблему цикличности для соответствующих семейств вещественной системы (13)

doc

г— = з-(1 - al0x — а0ух - a^X2x~lx2 - а20х2 - ацхх - а02х2 - я_1зх_1г3).

ат

Следующая теорема дает оценки цикличности начала координат для данных 15 систем.

Теорема 11. Цикличность особой точки х = и + iv = 0 по отношение к соответствующим параметрическим пространствам коэффициентов равна нулю в случаях систем 8) и 12), единице для систем 1)-3), 6), 7), 9)-11) и 13)-15), меньше или равна 2 для систем 4) и 5).

Исследована также цикличность особой точки х = 0 кубического векторного поля

dr

, U.O . _1 _о л о. >

г— = i(l - а_12з; х - а^х - а02х ). (30,

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 12. Цикличность состояния рапновесня х = 0 системы (30) по отношению к пространству Es(a) не превосходит 2.

Рассмотрим квадратичную систему

^ = x(l-aiox-a.oiy-a-.i2x~ly2), =■ у{1-Ъ10х-Ъо\у-Ъ2,-\х2у~1). (31]

В случае idt = г/г, х — у = w, aij = bji система (31) соотвествует вещественной системе на плоскости (u,v), w = и + iv

i^ = г«(1 — aïow — aoiw — a_i2W-1«J2). (32,

dt

Впервые цикличность начала координат системы (32) была исследована Еаутиным, из результатов которого следует

Теорема 13. Цикличность начала координат системы (32) не превосходит двух. Конечно, если мы примем во внимание возмущение линейной части системы (32), то цикличность равняется трем, однако, в дейстзитель-ности сложная проблема возникает для возмущений, которые зависят от коэффициентов нелинейных членов, поэтому, для простоты, мы рассматриваем квадратичную систему вида (32).

Согласно теореме 9, чтобы получить теорему 13, достаточно доказать

Предложение 7. Первые три фокусные величины порождают идеал фокусных величин системы (31).

Баутин доказал аналогичное предложение для вещественной квадратичной системы (32) в форме Каптейпа. Докгдательство является достаточно сложным, поскольку идеал фокусных величин нерадикальный в этом

случае. Более простое доказательство, которое, однако, следует идеям Бау-тнна, дано С.Яковенко. Г.Жолондек нашел другой подход. Он доказал предложение 7 для кольца многочленои, которые инвариантны относительно действия группы вращений, и показал, что идеал фокусных величин является радикальным в этом кольце (напомним, что идеал I называется радикальным, если /' 6 I для некоторого натурального / > 1 влечет / е /).

Мы показываем, что данное предложение имеет место также в кольце обычных многочленов от коэффициентов арч, Ьчр системы (31) над полем С. Наше доказательство существенно отличается от известных ранее и опирается на алгоритмы теории базисов Гробнера.

В последнем параграфе данной главы предложен алгоритм для вычисления многообразия Андронова-Хопфа полиномиальных систем.

В главе б исследуются проблема центра и фокуса и бифуркации малых предельных циклов для аналитических отображений.

Именно, рассмотрим отображение

F : II И,

заданное степенным рядом

оо

и> = /(г) = -г - геЯ. (33)

гг= 1

Обозначим через /р (р € К) р-ую итерацию отображения (33).

Определение 4. Особая точка г = О отображения (33) называется:

1)устойчивым фокусом, если существует е > О такое, что \/г : |г| < е ¡гси_»+со/*(.г) =0;

2) неустойчивым фокусом, если она является устойчивым фокусом для этображения /~1(г);

3) центром, если существует с > 0 такое, что Уг : \г\ < е выполнено равенство /2(г) = г.

Определение 5. Точка го > 0 называется предельным циклом отобра-•кения (33), если го является изолированным корнем уравнения

/2(г) - г = 0.

Нетрудно видеть, что если правая часть (33) является полиномом, то ; = 0 - центр тогда и только тогда, когда ]{г) = —г.

Рассматривается алгебраическая проблема центра-фокуса, которая бы-1а поставлена Г.Жолондеком для следующего определенного неявно ото-)раження г-ив

тг

+ г + ^ а^г'ги* = 0. (34)

1+7=2

Это уравнение имеет аналитическое решение вида (33),

ъи = /(г) = -г +----

Таким образом, возникает проблема найти в пространстве коэффициентов {а^} многообразие, па котором соответствующие отображения / имеют центр в начале координат. Оказыпается, что данная задача (как и проблема оценки числа предельных циклов в окрестности точки 2 = 0) по многом аналогична соответствующей проблеме для аналитических векторных полей, рассмотренных в предыдущих главах. Мы изучаем детально отображение /, определенное уравнением (34) с п = 3.

Предположим,"Что для отображения (33) существует функция, определенная как формальный ряд

оо

Ф(*) = г2(1 + (35

со свойствами

*(/(*)) - Ф(*) = Я2*4 + 04*® + . ■ • + 52т*,т+' + . . . .

Мы будем называть коэффициенты фокусными величинами.

Следующее предложение показывает, что Ф является аналогом первого интеграла в случае, когда ды = 0 УА: 6 и аналогом функции Ляпунова п случае, когда среди [¡2 к существует величина, отличная от нуля.

Предложение 8. 1) Если д2ь = 0 Ук € Г^, тогда отображение (33) имес: центр п начале координат (с /2(г) = г);

2)Если <72 = ... = д2к-2 — 0, ды Ф 0, тогда 2 = 0 является устойчивы», фокусом, когда д^к < 0 и неустойчивым фокусом, когда дгк > 0.

Рассмотрим проблему бифуркаций малых предельных циклов из фокуса 2 = 0 отображения (33). Будем говорить, что отображение (33) имес-негрубый фокус порядка к в начале координат, если

92 = 54 = • • • = дт.к-1 - 0, <72* Ф 0.

Здесь и ниже будем предполагать , что коэффициенты а; отображепш (33) являются полиномами от параметров сц,..., ат. Тогда коэффициенть Сг отображения последования и коэффициенты Ь; функции Ляпунова (35 также являются многочленами кольца ГЦаь..., ат].

Обозначим пространство параметров нашего отображения через Е, 6 окрестность точки а* € £ через {/¿(а*), т.е.

С/Да*) = {а б £\\аг - а*| < <5 Уг = МТ},

и пусть /а - отображение (33), соответствующее заданной точке а параметрического пространства, т.е.

оо

/„ = -2(1 + ^2ак{аи...,ат)гк), (36

1=1

соторос для каждой заданной точки а* 6 С предполагается сходящимся п гостаточно малой окрестности |л| < е и а € [/¡(а*).

Предложение 9. Предположим, что отображение /0• имеет фокус порядка к в начале координат. Тогда цикличность г = 0 меньше либо раппа г - 1.

Рассмотрим теперь бифуркации малых предельных циклов из начала соординат, которые включают случай, когда г = 0 является центром. Пусть " — (/?2, <7-1, • • •) С С[а1,...,ат] - идеал, порожденный всеми фокусными юлнчипами. Обозначим через базис идеала I3, полученный с исполь-овапнем вышеприведенного алгоритма.

Предложение 10. Предположим, что = {дк^ ■ ■ ■, Ок.] " идеалы С С[«1,... ,ат], (дп), •■■ ЛОкг,-■-,дк.) являются радикальными. Тогда щкличлость начала координат для любого отображения (36) не превосходит - 1.

Опишем алгоритм для вычисления формального ряда (35)

оо

Ф = 22(1 + ^Ькгк) к = 1

фокусных величин д21, таких что

Ф(Рп) - Ф(г) = д2г* + д,^ + ..., (37) '

де

П

Рп = -г(а0 + ^,ак2к), (38)

1

,• - переменные.

Рассмотрим линейный оператор Ь{р) : Мп -» И, где N = N и 0, и = VI,..., определенный соотношением

Ь(и) = 1 • 1/1 4- 2 • и2 + 3 • 1^3 + ... + п ■ ип.

»бозначнм М ~ {р\Ци) - 2к,к — 0,1,2,...}. Пусть <Э[М] С С^ ,...,я„] -олипомиальпая подалгебра (мопоидное кольцо) моноида М над С} и для анного V Е обозначим [и] = а'^а^2 ... .

Лемма 1. Если п0 = 1, тогда ) коэффициенты 6,- ряда (35) и полиномы #21(01, • - •, °л) могут быть выбра-ы такими, что для четных коэффициентов Ь2{ = 0,

¡) более того, <72,- 6 СЭДМ] VI £ N и если [и] - моном многочлена g2i, то (у) = 2г, и если [1/] - моном полинома 621-1, то Ь{и) — 2г — 1 для всех € N.

Обозначим правую часть (37) через Ф:

оо

* = 1>*а,'+я ¿=1

и для V 6 N° будем говорить, что ц < и, если д ф и и — ^ < О У? = 1,2,...,п. Следующее предложение дает алгоритм для вычисления фокусных величин полиномиального отображения (38).

Теорема 14. Функции Ф(г) и Ф(г) с

Ф(Р„) - Ф(г) = Ф(г) могут быть вычислены по рскурентным формулам с

оо

• - ф = ,2(1+Е( Е ч»)П)*к)>

к=1 Ци)=к

* = Е ^мИ)2").

Ь=1 Ци)=2к

где мы последовательно определяем У(„) и £/(„). Именно, начинаем с = 1 и полагаем = 1, если Ь(и) - нечетный, и У(„) = 0 в противном случае кроме того Ц,,) = 2, если Ь(и) - четно. Полагаем пезде = 0, если £(;/ - четно, и I/(„) = 0, если Ь{и) - нечетно. Для и : \и\ > I коэффициенть определяются согласно рекуррентному соотношению

„ I , д , ч v- т/ №(/') +2)! ,

= 2 _

_(¿(/0 + 2)!

0</i<i>

если L(f) - нечетно, и

г/ -дм v v (¿м + 2)!

0</l<L>

если Х(х^) - четно, где

i=1

n

i0

Д(«/) = | 2

если ^2,

если = 2 и 2 координаты и отличны от нуля,

если = 2 и только одна координат V отлична от нуля .

Преимущество полученных рекурентных формул для вычисления фо кусных величин состоит в том, что, используя их, нам не нужно маннп} лировать с многочленами. Мы выполняем только арифметические опера ции сложения и умножения рациональных чисел. В частности, мы нзбегае

очень трудоемкой операции подстановки ряда в ряд и приведения подобных ■/ленов, что является весьма медлешгой операцией даже для современных систем компьютерной алгебры.

Рассмотрим кубический полином

Ф(г, ш) = л + w + Az2 + Бгго + Gw2 + Dz3 + £z2w + Fzw2 + Gw3, (39)

где A,B,...,G е С.

Определение 0. Будем говорить, что полином (39) определяет (или имеет) центр в начале координат, если уравнение Ф(z,w) — 0 имеет решение (33) такое, что отображение / имеет центр в начале координат, и будем говорить, что (39) определяет фокус в начале координат, если / имеет фокус.

Рассмотрим проблему центра-фокуса для кубического полинома (39). Многообразием центра многочлена (39) назовем многообразие V(7) идеала фокусных величин, т.е.

V(I) = {(Л,... ,G) 6 C7|fl2i(A...,G) = О V i = 1~ÖÖ}•

Следующее предложение описывает геометрию множества отображений, í определенных уравнением Ф(г, ш) = 0 и имеющих центр в начале координат.

Теорема 15. Многообразие центра многочлена (39) состоит из трех неприводимых компонент (S): 51 = 52 = 0,

где si = А - В + С, S2 = D - Е + F - G,

(Н): )ц = h'2 = h3 = О,

где 1ц — А - G, /12 = D-G, h3 = Е - F,

(Т): ti =í2= ... = t7 =0,

где

ti — D2 - DF + EG - G2,

t2 = -2 С DE + DDF + CDF + CEF - AF2 - 3 BDG + 3CDG+

4AEG - 2BEG - CEG + BFG - 2CFG - ZAG2 + 3BG2,

t3 = -C2D + C2E - BCF + C2F + F2 + B2G-

BCG -C2G + ADG- AEG - 2FG + 5G2,

U = 2AD - BD - CD + CE - AF + AG + BG - 2GG,

¿5 = -BCD + C2D + C2E - ACF + 2DF + 2ABG-

ACG - BCG - 2DG - AEG + 2FG + 2G2,

U = —2B2D + 5BCD - C2D - 4AG£ + 2£G£-

G2£ + 8DE + 2ABF - ACF - 2BCF + 2C2F - GZ?F - 4£F+

2F2 + ЗЛСС - ZBCG + 2G2G - 10£>G + 8EG + 2FG - 8G2,

¿7 = Л2 - Aß + £G - G2 - D + E - F + G,

размерностей 5, 4, 4 соответственно.

Мы исследуем также цикличность особой точки 2 = 0 отображений } определенных уравнением Ф(г,1 и) = 0. Параметрическое пространство, I данном случае,

£ = (А,В,С,...,в) = Я7.

Теорема 16. Цикличность особой точки г = 0 отображения / = — г+.. определенного многочленом (39) и имеющего фокус в начале координат, ш превосходит двух.

Остается открытой проблема оценки числа предельных циклов, бифур цнрующих из цачала координат, для многочленов (39), имеющих центр Если идеал /3 = (д?,д4,дв) является радикальным, то, согласно предложению 10, цикличность центра не превосходит двух. Однако, оказывается что в данном случае идеал не является радикальным, именно, имеет местс следующее утверждение.

Теорема 17. Идеал /3 = (<72, <?4, <7б)| порожденный первыми тремя фс кусными величинами отображения (39), не является радикальным в кольце С [А,В,...,С].

Таким образом, что идеал, порожденный тремя первыми фокусным1 величинами отображения (39), не является радикальным. Однако, легке видеть, что в случае отображения (39) с однородными возмущениями (А = В = С = 0) и {И = Е = Р = С = 0) соответствующие идеалы являются радикальными. То есть, ситуация напоминает случай цикличности особоГ точки типа центра или фокуса для полиномиальных систем, где идеалы квадратичной системы и системы с однородными кубическими нелинейностям! - радикальны, однако идеал общей кубической системы, по-видимому, ш является радикальным.

Как оказалось, существует некоторая аналогия методов вычисления фокусных величин и рядов ВКБ. Поэтому мы включили в диссертацию главу 7, в которой исследуются некоторые свойства ВКБ приближений решеин! и спектра уравнения Шрсдингсра для аналитических потенциалов.

Рассмотрим одномерное уравнение Шредннгера

Будем предполагать, что потенциал У(х) является однозначной аналитической функцией, действительной на вещественной оси, что ^(±00) = оо что У{х) имеет единственный минимум на вещественной оси, и что У(х возрастает монотонно по обе стороны от точки минимума.

Будем искать волновую функцию в виде

■ф{х) = ехр|^ст(х)

где фаза а{х) является комплексной функцией, которая удовлетворяет диф-

■

ферсициальному уравнению

а'2(х) + Тит"(х) = - Е) =' (2(х). ВКБ разложение для фазы имеет вид

оо

<т(х) =

к = 0

Отсюда получаем

л

= £(*), Е^п-*"»-^-. =0-

к=0

Нами получена относительно простая рекуррентная формула для пы-числения коэффициентов <т'к в общем случае н в случае = х^ и предложена эффективная процедура для упрощения ¿ак-

С произвольным вектором и = ("1, "2, ■ • • > щ) ассоциируем оператор Ь{и) = I ■ VI + 2-1/2 + ■■■ +где вектор V пробегает все множество М = и^^М*, и обозначим через Ь{р) — т уравнение

Ь{и) = 1 • щ + 2 • и2 + ... + т • ит — т.

Теорема 18. Функции а'т имеют вид

1>:Ци)=тп 4

где для вектора и = (//1;..., мы обозначаем

|1/| =;/! + ... + щ и коэффициенты 11„ удовлетворяют рекурентному соотношению

/-1

ТГ 1 гг тг . (4 - цу) - 21 .....,,) , ^ + 1)^(0

V» = 2 Ъ и>'и° +-1-+ Ъ 2 '

/1+в=1> ¿=1

где С/о = -1 и мы полагаем 1/7 = 0, если среди координат вектора 7 существует отрицательная координата, и через у{ъ) (г = 1,...,/ — 1) обозначен вектор ,..., щ + 1,^+1 - 1,..., щ).

Рассмотрим потенциалы вида У(х) = х1* (/V - четное). Для таких потенциалов коэффициенты а'к {к > 1) ВКБ разложения имеют вид

\3fc-l_-Jt-t-A'

{-г)гк~1х-{Е-х»)^ ~

где мы выбираем \/Е — .х" = г\/хп — Е, и коэффициенты A)¿-j-\ } мономо! вычисляются согласно рекуррентной формуле

г «+( /-1 т= 1 ¿=0

1(2 + АГ) + (2 + ЗN).^; — N (/*/ - 1)? + /V - я -^-Ам-1 Н--^-

с Л0,о = ^/4 и Ла>/3 = 0 а < 0 /? < 0.

Следующая теорема дает эффективный алгоритм для определения собственных значений оператора Шредипгера с данным полиномиальным по теициалом.

Теорема 19. Коэффициенты ВКБ разложения для спектра уравнепи: (40) с потенциалом К(х) = х!Я (ДО - четное) имеют вид

£

= (6п+

1-2Л: , ^ . Л, 1-2к™^1,3-2к 1-2к

^ / ■ —'-'■чг дг ' 11 ^ 2 ДО

« = 1 Я = 1 «=1

где к > 1, А2к-1-1,г вычисляются согласно (41) и

£

а'0с1х =

Представлены также результаты вычислительных экспериментов, вы полисных с использованием пакета МаНютаМса 4.0, подтверждающие зна чительно более высокую эффективность полученных алгоритмов по срав нению с традиционными алгоритмами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

13 работе исследованы проблемы различения центра и фокуса, нзохроп ности центра и оценки бифуркаций малоамплитудных предельных цпкло: (цикличности) для полиномиальных систем дифференциальных уравпеин! и аналитических отображений.

Получены следующие основные результаты:

1) Разработаны эффективные методы вычисления фокусных величш и условий изохронности для двумерных полиномиальных систем диффе репциальиых уравнений в случае чисто мнимых корней характеристическо го уравнения и, также, эффективный алгоритм редукции фокусных вел г чин в монондных кольцах. Получены новые свойства фокусных величн [3,4,12,22,26].

2) Решены проблема центра-фокуса для 18 шестипараметричгских и б восьмппараметрнческих семейств кубической системы и проблема изохронности центра для восьмипараметрпчсской кубической системы. Получено новое доказательство критерия изохронности Урабе [7,8,10,11,13, 14,16,17, 19,24, 27].

3) Получены новые методы исследования бифуркаций малых предельных циклов (цикличности) для аналитических динамических систем. Разработаны методы для построения базиса идеала фокусных величин для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алгебраических отображений. Решена проблема цикличности для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений [1,5,6,9,12,16,18,23, 25,28,29]

4) Получен эффективный алгоритм для вычисления фокусных величин одномерного аналитического отображения. Доказаны теоремы о цикличности неподвижной точки типа центра или фокуса таких отображений. Полностью решена проблема центра-фокуса и проблема цикличности фокуса для отображения, определяемого неявно кубическим многочленом [2,15].

5) Предложены новые алгоритмы построения ВКБ приближений спектра и решений уравнения Шредннгера. для произвольного аналитического потенциала и некоторых частных типов потенциалов [20,21].

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Романовский В.Г. О цикличности состояния равновесия типа центра или фокуса одной системы // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астроном.- 1986.-Г.19, пын.4.-С.82-87.

2. Романовский В.Г. О свойствах идеала, порожденного ляпуновскими величинами // Дифферепц. уравнения.- 1991. -Т.27, N2. -С.207-219.

3. Романовский В.Г. О базисе идеала, порожденного ляпуновскими йеличи-!1амн // Дифферснц. уравнения. -1992. -Т.28, N4.-C.618-627.

1. Романовский В.Г. О вычислении ляпуновских величин в случае двух чи-;то мнимых корней // Диффсренц. уравнения. -1993.-Т.29,N5.-С.910-912. 5. Romanovskii V.G. On the cyclicity of the equilibrium point of certain cubic systems // Proceedings of the Second Annual Seminar "Nonlinear Phenomena n Complex Systems", February, 1993, Polatsk, Belarus / Minsk, 1994.-P.32-39. 3. Cherkns L.A., R.omanovski V.G. An experience of studying non-linear oscillations in a. radioengineering university // Proceedings of the Conference "Teaching Mathematics for Industry", September 18-20, 1994, Prague, Czech Republic / Prague, 1994.-P.33-44.

L Романовский В.Г. Условия центра для кубической системы с четырь-ля комплексными параметрами // Диффсренц. уравнения.-1995.-Т.31,N6. С. 1091-1093.

5. Romanovskii V.G. On the center conditions for some cubic systems // Procced-ngs of the Third Annual Seminar Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 14-[6 February 1994, Polatsk, Belarus / Advances in Synergetics (Eds. Kuvshinov,

V.I. and Krylov, G.G.), V. 2, Institute of Physics.- Minsk, 1995.-P.116-117.

9. Романовский В.Г. О цикличности состояния равновесия одной кубнческо системы // Дифферсиц. ypaBiioinui.-199G.-T.32,NG.-C.784-787.

10. Крапивин В.Л., Романовский В.Г., Селнтский А.В. Условия центра дл шестнпараметрнческой кубической системы // Дпфференц. урапнепия.-199 -Т.32.-С. 1707-1709.

11. Dolichanin С., Romanovsky V.G., Stefanovicli М. The center conditions f( a class of cubic systems // Math. Bull. Skopje, Macedonia.-1996.-V.20.-P.G1-G:

12. Dolichanin C., Romanovskii V.G., Stephanovich M. An example of applyir of a method focus quantities to investigate the cyclicity problem // Proceediiij of the 5th Annual Seminar Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 12-] February 1996, Minsk, Belarus / Advances in Syneigetics (Eds. Kuvshinov, V. and Krylov, G.G.). V. 8. Institute of Physics.-Minsk, 1997.-P.223-228.

13. Lloyd N.G., Pearson J.M., Romanovsky V.G. Computing integrability condit ons for a cubic differential system //J. Computers and Mathematics with Appl cations.-199G.-V.32, N10.-P.99-107.

14. Cherkas L.A., Romanovsky V.G., Zolqdek H. The centre conditions for certain cubic system // Differential Equations and Dynamics Systerns.-1997 V.5, N3/4.-P.299-302.

15. Romanovsky V.G., Rauh A. Local dynamics of some algebraic maps j Dynamic Systems and Applications.-1998.-V.7,N4.-P.529-552.

16. Долнчашш Ч., Романовский В.Г., Стефанович M. Условия центра и ци клнчность некоторых кубических векторных полей // Дифферсиц. уравне пня. -1998.-T.34,N 12.-С. 1587-1595.

17,.- Robnik М., Romanovski V.G. On Urabc's criteria of isochronicity // Journ; of Physics A: Mathematical and General.-1999.-V.32.-P.1279-1283.

18. Cherkas L.A., Romanovsky V.G., Scheglova N.L. On computing of the lim cycles manifold // Nonlinear Phenomena in Complex Systems.-1999.-V.2,N.3 P.23-27.

19. Романовский В.Г., Щеглова II.JI. Условия интегрируемости для двух ку бическнх векторных полей // Днффсренц.уравпения.-2000.-Т.Зб,Ш.-С.9'1 97.

20. Robiiik М., Romanovski V. On the serniclassical expansion for 1-dim x potentials // Progress of Theoretical Physics Supplement (Japan).-2000.-N139 P.399-403.

21. Robnik M., Romanovski V.G. Some properties of the WKB series // Journ; of Physics A: Mathematical and General.-2000.-V.33.-P.5093-5104.

22. Романовский В.Г. О вычислении ляпуновекпх величин // Копференцн. математиков Беларуси: Тез. докл. Ч. 3, Гродно, 29 сентября-2 октября 1992i / Акад. наук респ. Беларусь. ГГУ им. Я.Купалы.-Гродно,1992. -С.68

23. Romanovski V.G. On center conditions and cyclicity of the equilibrium poii of some cubic systems // Fourth Colloquium on the Qualitative Theory of Diffi rential Equations. Abstracts. August 18-21, 1993. Szeged, Hungary / Szegei

993.-Р.46.

4. Романовский В.Г. Об условиях центра для одной кубической системы / Моделирование и исследование устойчивости систем: Тез. докл. конф., Л1св, 16-20 мая 1993 г. / Киевский университет.-Киев,1994.-С.115-116

5. Dolichanin С., Romanovski V.G. The cyclicity problem for some cubic systems / Fifth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations: Abst-acts. July 29- August 2, 1996. Szeged, Hungary / Szeged, 1996.-P.12.

6. Romanovski V.G. Monoidal rings of focus quantities // The International Conference on Diophantine Analysis and its Applications in Honor of Acad, prindzuk. Abstracts. September 1-8, 199G. Minsk, Belarus / Minsk, 1996.-P.27-8.

7. Доличанин Ч., Романовский В.Г., Стефанович М. Условия интегриру-мостн некоторых кубических векторных полей // Международной мате-итгнческая конференция "Еругннскпе чтения IV": Тез. докладов, Витебск, 0-22 мая 1997 / Витебск, 1997.-С.148-149.

8. Romanovski V.G. Cyclicity of center and focus for some cubic systems // Conference on Differential Equations and their Applications (Equadiff 9): Abst-acts. Enlarged Abstracts. August 25-29, Brno, Czech Republic, 1997 / Masaruk Iniversity, Brno, 1997.-P.74.

9. Dolichanin C., Romanovski V.G. Cyclicity of some cubic vector fields // \ternat.ional Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin: abstracts. Differential Equations. Moscow. August, 31-September, 6, 1998 /Mos-ow State University, 1998.-P.28-29.

РЕЗЮМЕ Романовский Валерий Георгиевич "Проблема центра и фокуса и бифуркации малых предельных циклов для аналитических динамических систем"

Ключевые слова: полиномиальные системы, одномерные .аналитические отображения, проблема центра и фокуса, изохронные центры, предельнь циклы, бифуркации, цикличность

В диссертации исследуются проблема различения центра н фокуса, прс блема изохронности центра и проблема бифуркаций малых предельных т клов для двумерных автономных систем дифференциальных уравнени! правые части которой многочлены (полиномиальных систем), и для o^ номерных аналитических отобр.аженнй. Представлены новые эффективны методы вычисления фокусных величин и условий изохронности для полг номиальпых систем в случае чисто мнимых корней характеристическог уравнения и для одномерных аналитических отображений. Показано, что каждой полиномиальной системой или аналитическим отображением можг ассоциировать некоторое монондное кольцо, при этом фокусные величиш и величины изохронности являются элементами этих колец, изучены сво{1 ства многочленов в таких кольцах и получены новые свойства фокусны величин. Предложен эффективный алгоритм редукции фокусных »сличи в моноидных кольцах. Доказаны новые теоремы о необходимых и достато1 пых условиях центра и необходимых и достаточных условиях нзохронност для различных классов кубических систем дифференциальных уравнений Разработаны методы, основанные на использовании теории базисов Гробнс ра и других алгоритмов вычислительной алгебры, для построения базис идеала фокусных величин и исследования бифуркаций малых предельны", циклов для полиномиальных систем дифференциальных уравнений и алге браических отображений. С использованием этих методов решена проблем цикличности состояния равновесия типа центра или фокуса для различ ных классов кубических систем дифференциальных уравнений. Найден неприводимое разложение многообразия центра и исследованы бнфуркаци малых предельных циклов для одномерного аналитического отображепш определяемого неявно кубическим многочленом. Найдены формулы ВК1 разложения решений и спектра уравнения Шредингера для произвольног потенциала и некоторых частных типов потенциалов.

РЭЗЮМЭ PaMaiioycici Валерий Feopricni'i "Праблсма цэптра i фокуса i б1фуркацьн малых л1М1тных цыклау для апалт.ншых дынам1чпых Ыстэм"

лючавыя слопы: палшам1яльныя с1стэмы, аднамерныя аналпычныя ад-остравашп, праблсма цэптра i фокуса, ¡захронныя цэнтры, Л1м1тныя цы-ты, Снфуркацьи, цыкл1чнасць

ыс.сртацыя прысвечапа праблсме адрознення цэптра i фокуса, прабле-з ¡захроннаац цэптра i праблеме б1фуркацый малых Л1мггных цыклау 1Я двухмерных аутапомных с1стэм дыферэнцыяльных раунанняу, прапыя vctki 51 кiх - мнагас.клады (палшам^яльных с1стэм), i для аднамерпых аналь >1чпых адлюстрапаиняу. Прадстаулены нопыя эфектыуныя мстады выль пшя фокусных псл1чЫ1п» i умоу ¡захроннасщ для палшакпялъпых пстэм у .шадку чыста уяуных каранеу характарыстычнага раунання i для адпл-зрпых аналогичных адлюстрапаиняу. Паказана, што з кожнай палшамь н.най астэмай щ ацалтлчиым адлюстрапаннем магчыма асацьправаць ¡каторас манощнае колца, пры гэтым фокусныя пел'пыш i полгп.пп i3a-)Oiniacni з'яуляюцца элементам! гэтых жа колцау, вывучаны улас.Гипасид 1агаск.падау у так1х колцах i атрыманм нопыя улаацвасш фокусных вель >шь. Прананапаны эфектыуны алгарытм рэдукцьн фокусных вел1чынь у шоцщых колцах. Даказапы новыя тэарэмы аб неабходных i дастатковых ювах цэнтра i неабходных i дастатковых умовах ¡захроннасщ для роз-.IX класау куб1чных астэм дыферэнцыяльных раунанняу. Распранаван1»1 :та.ды, заснаваныя на выкарыстанш тэорьн базкау Гробнера i друпх ал-рытмау вьинчальнай алгебры, для знаходжання баз1са ¡дэала (¡юкусных лНынь i вывучэння б1фуркацый малых липтных цыклау для палшам1яль-IX с1стэм дыферэпщяльных раунанняу i алгебра!чных адлюстраванняз1. 3 п<арыстаннем гэтых метадау знойдзены разпязю праблемы цыклпнасщ any paynanari тыпа цэнтр щ фокус для некаторых класау куб'ншых с'ютэм лферэнцыяльных раунанняу. Знойдзена непрывадз1мае раскладанне мна-стайпасщ цэнтра i даследаваны б1фуркацьн малых л1М1Тных цыклау для .намернага аналт.гчнага адлюстравання, зададзенага няяуна куб!чным 1агаскладам. Знойдзены формулы ВКБ раскладанняу развязкау i спектра унання Шродз'шгера для адвольнага патэнцыяла i некаторых спецыял ->-IX патэнцыялау.

RESUME Valery Georgievich Romanovski "The center-focus problem and small limit cycles bifurcations for analytic dynamical systems"

Key words: polynomial systems, one-dimensional analytical maps, the ccnte focus problem, isochronous centers, limit cycles, bifurcations, the cyclicil problem

The problem of distinguishing between a center and a focus, the problem < isochronicity and the problem of small limit cycles bifurcations for two-dimensl nal autonomous systems of differential equations with polynomial right-liar sides (the so-called polynomial systems), as well as for one-dimensional analyt maps, arc investigated in the thesis. New efficient methods for computing focus and isochronicity quantities for polynomial systems in the case of tv pure imaginary roots of the characteristic equation and in the case of on dimensional analytic maps are presented. It is shown that with any polynomi system or analytic map one can associate a monoid ring, and focus quantities ai isochronicity quantities are elements of these rings. Properties of polynomials such ring", are investigated and new properties of focus quantities arc obtaine An efficient algorithm for reducing of focus quantities in the monoid rings presented. New theorems on the necessary and sufficient center conditions ai the necessary and sufficient isochronicity conditions for some families of oil: systems of differential equations arc proven. In order to construct bases of idcr of focus quantities and investigate small limit cycles bifurcations for polynomi systems and analytic maps new methods based on the Groebner bases theory ai other algorithms of computational commutative algebra arc worked out. Usi: these methods the problem of cyclicity of the equilibrium point of cent er or foe type is solved for some families of cubic systems of differential equations. T irreducible decomposition of the center variety is obtained and bifurcations small limit cycles are investigated for a one-dimensional map, which is implicit defined by a cubic polynomial. Formulae of WKB expansions of solutions a spectra of the Schrodinger equation arc obtained for arbitrary potential a some special potentials.