О предельных циклах некоторых классов автономных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Т? ^ "

НИЖЕГОРОДСКИ»! ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОС/ДАРСТВШНЬ',! УНИВЕРСИТЕТ им. ¡1. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На ггразах рукописи /Д{ 517.925

АЛЕКСЕЕВ Александр Арсеньевич

О ПРЗШЫШ ЦИШК НЕКОТОРЫХ ШССОВ АЗТОНОШХ СИСШ

OI.OI.Oi - днффорэнциалышэ уравнения

Автореферат

диссертации па соискатае ученой стопами кандидата фазихо-иатематячвсквх вауа

¡ШНЙд НОВГОРОД 1992

Работа выполнена в Нижегородской Ордена Трудового Красного ¿наненн государственном университета им. Н.И.Яобачейского,

Научные руководители : -

- доктор физико-иатематических ааук, профессор ¡Отроков Н.

- доктор фкзккс-матенатических наук, профессор Долов

Официальное оппоненты :

- доктор физико- математических наук,, профессор Морозов А.Д.;

- кандидат физико-математических наук, доцент Рахманкулов Р.Г. • Бедуиая организация - Санкт-Петербургский государсгвэнный

уккверситят

.Защита состоится " __1<)Э> года в „^^.часэтг"

на заседании специализированного Лвета К 063,77.0X б Нижегородском государственном университете имени Н,И.Лобачевского по адресу : 603600, г. Нижний Новгород, ГСП-20, просп, Гагарина, ¿3, корп. 2.

С диссэртацисй можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского госункверсктгта«.

Автореферат разослан 199^ г

Ученый секретарь специализированного соЕета, кандидат физико-математических I наук, доцент

1

| В. И Лукьянов

ОБ Si'А U ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ i

Актуальность темы. При исследовании вопросов устойчивости и асимптотической устойчивости реиава/п роль играет периодические решения система

• g-Q-cx,^ , ц

XjÜ б R , Система вида Ц) имеют важное как теоретическое, так ч практическое значение при изучении процессов, происходящих э цеханике, акустика, радиофизике, астрономаи и других областях естествознания.

Известно, что для полного качественного исследования систеии (I), кроме определения числа, расположения и характера состояния равновесия, анализа поведения сепаратрис, необходимо резить вопрос о наличии или отсутствии замкнутых траекторий, отличных от состояний покоя. 3 случав судестаования таких кривых следует выяснить, является ли они изолированными, или заполняет целые области.

Среди многочисленных исследований по этим вопросам можно выделать следупдке основние направления :

- резеняе проблемы существования предельных щхлоз, их структурной устойчивости и оценки их числа С работы Авдонина H.H., Аяелькииа З.В., Еаутина H.H., Гуцо Л.З., Ерахтиной Г.Я., Жи-дович Д.Й., 1атфулдина Г.Я., Сибирского К.С,, Черкаса Л.А. и другие );

- доказательство отсутствия кратных предельных циклов, в частности, областей, заполненных замкнутыми траекториями ( Долов М.В., Отроков Н.&, Папуш К.П., Ткачев В.?., Ткачез Зл.£., Худай-Веренов М.Г., Чечик й.А. и др.);

- получение' условии отсутствия предельных циклов при существовании областей консервативности < Аверин Ь.П., Атаманов П.С,, Баутин H.H., Долов М.З., Кухлес И.С., Роззт И.Г., Пикус Л.Д., Рычков Г.С., Саттаров f.X», Терехии М.Т., 1еркао i.A. и др.);

- построение областей ацикличности системы (I) С Авдонин Н.И., Беленький И. Ьогданов С.С., Демкика Т.Н., Коновалов И.А., Саттаров i.X., Черкас Л.А. и др.).

Диссертация непосредственно примыкает к. исследования указанных задач.

Цельс работы является: L. Отыскание условий отсутствия замкнутых траекторий система

дифференциальных уравнения вида (I).

2. Реаение вопроса о предельных циклах системы (I), допускающей однозначная, ь общем случае сингулярный, ннтвгрируваиЯ иноки-

Т9Л»>.

3. Получение условий сувэствования стационарных движений систем типа Льенара и квадратичных систем с интегрнрувЕши множителем специального вида.

Научная новизна.

1. Показано, что указанный ранее И.¿„Отроковым и А.И.Йлакаковаи признак отсутствия предельных циклен кратности более I фактически является признаке»! отсутствия двбнх замкнутых траекторий.

2. . С р.оноаьв аппарата однозначных интегрирувикх множителей для

динамических систем аналитического класса доказано отсутстви предельных циклов.

3. Подучена достаточные условия ацикличности уравнений типа 1ьч кара,

4. Найдены системы дифференциальных уравнений с квадратичными правыми частяни, допускапциа кктегрируваий кыоаитель специа.' ного вида, к установлено отсутствие предельных циклов у такс го класса систем. .

Методика исследована я Й ракете используется метода качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, функционального' анализа, те рки аналитических функций.

Теоретическое н практичес.кое значение.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в рабе те результаты позволяют :

1. Находить на фазовой плоскости области, в которах не могут располагаться замкнутые траектории системы (I).

2. Решать вопрос существования. предельных циклов систехы и) аналитического класса, допускающей однозначный, в общем сд чае сингулярной, интегрирующий множитель,

3. Доказывать отсутствие ламхиутнх траекторий к определять об ласти ацлоичкости для систем типа Льенара.

4. Устанавливать отсутствие аредельных циклов у уравнения Ль( кара к квадратичных систем.

Л п р о б а ц и а работа.

Оскоэнав рээудьтата диссертации докладывались ;

- на конференциях молодых ученых неханнко-иатекатпчзского |а-кудьтзта а Научно-исследовательского института механики при

. ГарьковсЕОи госукягоосйтвтз им. Н.Й.Лобачэаского ( 1979, 1982, 1984 г.г.)

- кз йтогознх научная конференциях Горьковского госувяворсатата ( 1985- 1939 г. г.)

- на Волго-Вятском региональном сояинаре по дкф-Ьэрвнцяалъник уравнениям научи, рук., проф. И. ¿чОтрокоз )

- аа научном семинара кафздри дяф|>зренцвалы»зх уравнений я мате-иаткчвехого анализа Нижегородского госугглзерсктзта (199¿ г.)

- кз Мзждународной тучвоз конфзоенц:»; ** Дифференциальные я ;?н~ тегральназ уравнения. Шгематнчосхая ^гэака я специальные фунхч^я ,Г С г. Сочара, 1552 г.)

О 3 л 5; ч з и % % .

Осзовйэ® содвряааяа дзеевртаими опублгкогано в работах 1-7 . рпбо-го 7 соавтору пркиэдлйяк? яостэяозяг задача, яде:-! дока-затзльстга гэорся I в 2 я обггзз руководство. Структура я о б ь а м р а 6 о : х. /леевртзивя состоя? 83 введения, трах- глаз я списка цятируе-коЗ £яторз7/рч (9'» назв.). Обавй обгем работа - 116 страниц ка-аякопасиого одета»

С0Д8РЗДЙ112 ЛИССЗРТЛЦН 3 Зэадейаэ содержат гратхка обзор лщгр&тури и подежзная, знао-екка® ш эхйз??.

а лорзоа гдавз (. §§ 1,2 ), шя а-я работа Н. Ф.Отрагэза, А»П. , рзсскстрг,гй8*са дгффзреяитадьйНЗ оператор

р; ДР V ьез - тГ( о'о , (2)

'ГС К , з Ькь) - произвольные фу икцяя за

£7,. , такке, что г некоторой еднасгязаой области 3

5е "нГк'отропоаГ'АГк.Йдаканов б ди ^ферекцаалъках уравнениях. а? имей:;их крьтиах предельна* с«клов // ¿зрг. а ант. ур-«г. Межэуз.сб/

ГопмвП. Ш8. г. 3-10.

>

г* о>

Основной результат §1 содержит Т е о р е а а 1.1. Пусть суцествувт функции Ас*»»-) и £>(*>:>)

класса С < , удовлетворяющие (3), а параштр "С такие, что РС-ч>а> о С 4 О )# в односвязной области 2> а в

нет овалов кривой у) Тогда в а нот замкнутых траекторий скстекы (I).

При зток доказано, что полученные в работе Н. Ф.Отрокова, А.И. йламанова коэффициентные угловая отсутствия предельных циклов кратности к>1. является условиями ацикличности рассматриваемых квадратичних систем.

В §2, в отлкчйе от §1, кзучается случай Г^ЧУ^О . При этом доказана , ' -

Теорема 2.1. Пусть функции й , О , & > И голоморфные в области 2) в такие, что (I) допускает кнтогрнру-в«ий мнотетель

Г I

Тогда в 2) система (X) не имеет предельных цнклоа» „ 4У

Теорема 2.1 является обобаеивом тазрек <? и Э из ™ , ) , доказанных для полнноикадьвих динамических систеи,. допускавших авгегрйруюоий множитель типа Дарбу.

С помочь» теорема 1.1 5 главе II { §§ 3-6 ) исследуется системы дафференцкальных уррвиенка

а*

* д -> лТ " .

К» о

изучение которых посвявены работы кногкх авторов.

Я.В,Долоб, Б.В.Дисин Алгебраический интегрирующий множитель и предельные циклы ^ №№'. и инт. ур-я. Межлуз. сб./ Горький. 1983. с. 3-7.

Н.В.Долов, Ь.В.1мсин йнтегрирувшиЛ множитель и предельные цикла # Дифф. и инт. ур-я. Мехвуз. сб. / Горький. 1^84. с. 35-41.

ф

Всюду а §§ 3 - 6 функции А и & исзутг* з виде

п

Ас*,^» А^ооз* •,

Н» О

£>с*>» кАкооз м , (б)

где «с лГ , <4к(кл , , - аналитические функции X ,

Показано, что выбор А и Ь в виде (б)позволяет использовать подученную инфоркацип о коэффициентах Ак№ для к при увеличении степени Л при реаешга вопроса о знакопостоянствэ функция КЧ*,э> для различных значения

Этот способ з § 3 применяется к системе Льэкара

л*3'. (7)

Прз этой рассматриваемся функция а { , А"- -

Ац.^ * ¿гг * * сГ °'км

г* гПс*> __

Мй с*.! г - к ] 5сл5 До с*>«и> , к«г,и , •

о

где т^ с*.) определены следувция образом : (««О ; ^

ор

М - - } $ ^.Цс/х , н- ■ (9)

X

Один из основных результатов § 3 содержи? Теорема 3.5. Систена (7) ациклич! . на всей «лисхостя, если при каком-либо натуральном п^Д и постоянн"х ¡Г а Ск , для всех л выполняется неравенство

с* А <-*> + Г ^ о о)

* ^ К = 1

дГ*м5 _

где фук..цик Я* ¿х-) , , определится рекуррентными со-

ОТНОЕОНИЯХИ (8) й (9).

С покоцьо теореяы 3.!> указывается способ построения ациклических областей.

В §■ 4 подучена 'хомиточвне условия ацикличное?;! система (.5) при . При этом способ выбора коэффициентов остается

• таким яэ, как к з & 3.

Б § 5 изучается система (5) при , О . Показа -

эаатся, что з этом случав функция у) , определяемая соот-новвнйзк (2), заквеиз от а для двбах • А к о > явяявакк-сл подикокаки по 3 . В связг с этим предложен другой способ построения ацикл-лчеекпх областей. Обозначш

'^со. с* ^

■ ,______

При дибои ватуралмзэм ^ определим фуикцхи И-д (*■"> , = ,

I«и*«, и , с поиацьг рекуррентных сос ноаеиие :

( ■ \ п " ' . к |1 **"'

~ Э-Ь "«-«И

.к "

и — с

"К.««.О

• 1 л . Г» * , 1 «■»» 1

а»-« - ) К^* -1.4- ^ \ ^

с«*: - их:':.

хля всех

к с I *к

I * » £ I

* IXС-«-* 4Чг-'к-Г <§*•<'ч-'—. ь ц".. , .гг + £ *« с:' * ;

Ч * * 4 С- -ч к"" ■¿С'

в 1 -3 Й 7Л ».¿•■.3«'« у о V

Я.« I

I

'к Ге Iй-*1 1К»» I4"*-1 Л

Ц,* - иЛс ^Д,^ ^Х^ги ^ ] .

Основной результат § 5 содержит

Теорема 5.1. Пусть в (5) т* 3 я при некотором четвоч м •¡¡.^ существуют 2Г6 Й я такие аналитические функции .

% . О » что при 5сэх х выполняется неравенства

/ ^ ,С й) \

г

¡1 /О

где 00 г ( функции Г'л/^ С* ^ и "л//*) определяются

из рекуррентных соотношений СЮ). Тогда система (5) но имеет на плоскости замкнутых траекторий.

й § 5 указан способ построения ациклических областей с помояьп теорема 5.1.

3 5 6 получены условия ацикличности састемк (.5) яря .

При этом испсльзуется представление ю э виде

К»*,

где п ~ таково, что (>»•«*<» ч) - четнее, ? = —5;;— , ^¡гх) выражается через известные функция -я произвольные аналити-

ческие функции "1 , ^ г чи „

3 главе Ш V §§ 7, 8 ) рассматриваются аналитические систем* вида (1), обладающие интегрируодем множителей (.¿О. Результата здесь исподьзувтся при регонни вопроса об отсутствии продольных циклов к существования областей кокспрзатизкосги.

Л 5 7 для система дифференциальных уравнений (.7) решается задача существования интегрирующего мнотатедя вида

где и,£ д/", <Ак(х> и ~ аналитические при ясэх к ,

Ьункции ¿Г*такозы, что т

П [* -к-1 " -1

- однозначная аналитическая в Я ,■,

Т е о р е к а 7.1. Пусть .система (7) допускает W одно -значных г.рс х* регешС О » » тагих»

что функции х

€к<к>- ■<*.«**»{- f

CoMlf , , Х0€ Г^р!,

- аналитические ка 1 к при некоторых и € АГ я по -стоянных Q , , С.л, , ••• . o^kv, выполнено токдество

S-C^ -V ^оо ск А, - 0

где функции Д (X) определимся из (0)- (9), Тогда систека (1, в полосе схг" ^ х не имеет предельных циклов.

Б § 8 рассматривается квадратичные система дифференциальна* уравнения

/

С<* ~ 'А

2 Й- , . :

Я Гоуо) * Со^о) - дапускавцке интегрирующий ыноактель вида ('О, где у) - голокорфнак при всех X в . У » ¿ГСа) - .

подиной от X к 3 степени не более двух.

Выделяется классы систем, обладавших указанным свойством и не ипевщяв, в салу результатов § 2, предельных цякЛв^ В частности доказана

Т о о р е и в 6.4. Пусть хотя бы один из полиномов ^ (х, ч}, содергят линейные члени к Ш) допускает иитогрирус-¡2ЕЙ кноЕитедь

Г ?

где - голоморфная вблизи О(о,о) функ-

ция. Тогда О (о, о) - цавтр. При этом у (II) нет предельных ци;

зов.

Результаты, эчаосиниэ на защиту:

1. . Тоороиы I.I и ¿.I об отсутствия периодических движений

системы (I) ;

2. Построение областей ацикличности для систем типа Льенара ( теорема 3.5, 3.6, 4.J, 5.1, 6.1 а 6.2 );

3. Доказательство отсутствия предельных циклов у уравнения Льенара с интегрирувдим множителем специального вида С теорема 7.1 и 7.2 ) ;

4. Исследование квадратичной систзмч с однозначным, в обще« случае сингулярным интег.рапуощим множителем ( теоремы 8.1- Б.4 );

Публикация.:

I. Алексеев A.A. О некоторых необходимых условиях существования простых и коатках предельных циелое дифференциального ураакення льенара /У Дифференциальные я интегральные уравнения. Мажвуз. сб. / Горький. 1976. с. ХГ - 15. !. Алексее?. A.A. /c-noBiiü существования простых я кратных предельных. циклов некоторого класса дифференциальных уравнения // Дифференциальные я интегральные уравнения. Межвуз. сб. / Горький. I98f. с 134 - .С37.

Алексеев A.A. О достаточных условиях аеикличност:: системы дифференциальных уравнений Jbesapa // Рукопись дел. а ВИНИТИ . 10.02.86, ü II3&- ВШ Дел. 9 с. .Алексеев A.A. Об отсутствии простых и кратных предельных циклов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные it интегральные уравнения, лежвуз. сб./ Горький. 1969. с. 61 -58. . Алексеев A.A. Об отсутствии периодичэсхих реаений уравнения - Льакара // ]Ы¿^еренциальичз и интегральные уравнения. ;."еявуэ.

гб. / Нижний Яозгород. 1390. с. 37 - '»9. . Алексеев A.A. Об отсутствии п&риоднчесхих рэазиий полуадге-браичеекмх дифференциальных.уравнений П Дифференциальные к ингеграяькые уравнения, .'е^зуэ. сб. / Нижний Новгород. i.99I. с. •'» - 15.

Т До доз М.З., Алаксоов A.A. Об отсутствии пред<зд&кнх циклов

динамических сясгем с вэтегрирзгвдтн ыкэгатсдси специального зи • да.// Дифференциальные, с ингограхькнс уравнения. ^ге^уачемая' физика к специальные Функции. Тезиса докладов Нехсувародкой научной конференции./ Сашра. .1992. с. 68 «• 89.

Иодп.к печати 19.03.92г. форц.буи.60X84. Бумага писчая. Печать офсег.чая. Усл.леч.1,0 л, Уч.изд.О,? л. Заказ 1,г «316.

Тираа 100 экз. _■

1а6орагорйя~!ШОЕ.гехн.шиу, г.и.новгород,прЛ'агарина,<;.>