Качественный анализ управляемых динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

-7 0 Ч

САНКТ - ПЕТЕРВФГСШ

государствЕШШ университет

На правах рукописи

ИМ.ЮЗ АЛЕКСАНДР ВАЛЕРЬЕВИЧ ¡ШЕСТВаПИЯ АНАЛИЗ УПРАЗЛЛЕ.ШХ

зшажческж слога

Специальность 01.01.09 -Мат сматич ее кая кибернетика Специальность 01.01.II -Сио темный анализ I! автомат;тческое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ - ПЕТЕРЕУРГ 1992

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЕЙ 1УК(В0Д1ТЕЛЬ : член-корреспондент АН СССР,

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ 01ШШТГЫ : доктор технических наук,

профессор В. Г.Дегтярев.

в " __________________ _____,-________г..............'а

К-063.57.16 по присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук в Сашст - Петербургской государственном университете по адресу: г.Саш:т-Петэрбург,3.0.,10-я линия,33.

С диссертацией можно огнгжоыиться по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, библиотека СПбУ.

кандидат Физико-штеттичесювс наук, доцент А.М.Каыачкш

ВВДЛЦАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Институт информатики и автоматизации АН СССР, г. Санкт -Петербург

Автореферат разослан

/

Ученнй секретарь специализированного совета К-063 доктор физ.-маг. наук

ОЩАЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Поело знаменитого доклада Р.Калмвна на первом конгрессе ИЭДК в 1561 г. возникла математическая теория процессов управления, бурное развитие которой во »лютом определялось потребностями пауки и техники. Достаточно широкий класс объектов управления описывается системами дифференциальных уравнеий следувцего вида

АоХ + А,Х+ А,Х = Г(ХХЬ ЬЬГ, л/

где Ае , А. . Аг(Кх "О , - постоянные

матрицы, 3"С - К -мерный вектор состояния, - с -мерный вектор управления- К таким объектам относятся, например, манипуляциогеше роботы, маятниковые систем, электрические контуры и гироскопы.

В целом ряде практических случаев при некоторых упро-ща»г?их предположениях система /I/ допускает расцепление на совокупность скалярных уравнений

X + $О, и , /2/

Таким образом, решение различных задач управления применительно к уравнении /2/ представляет как самостоятельный научный интерес, так и базу для перехода к изучению более общих систем типа /I/.

Существенным моментом является изучение структуры решения уравнения /2/ при и - О . Талая информация является важной практического формирования закона управления

в соответствии с поставленной задаче?. Среди указанных решений особый штерзс представляют периодические колебания. Вопрос об их налички или отсутствии представляет собой самостоятельную проблему и требует привлечения аппарата качественной теории дифференциальных уравнения.

Цель работа. Для обобщенного уравнения Ролэя с управлением

I. Провести качественный анализ поведения решений при и = О•

й) в случае единственного появления равновесия и начале координат ;

б) в случае наличия дололн¡гаелышх положений равновесия в ограниченной части фазогой плоскости;

Конкретизируем поставленные задачи:

- получить достаточные условия существования к единственности предельного цикла;

- изучить асимптотическое поведение предельного цикла при предельной изменении параметра /И-* О , к.-»-»- 0<р/ ;

- найти условия отсутствия продельных циклов в случае наличия седловых особых точек;

- исследовать бифуркационную структуру уравнения /3/ в зависимости от параметра Со » -^(о) •

- проиллюстрировать полученные результаты на примере уравнения

широко известного в приложениях и являющегося некоторым

/3/

/4/

обобщением классического уравнения Рэлея и уравнения ^фин-га о демпфированием.

2. Поставить и решить некоторые задачи теории управления применительно к различным классам допустимых управления;

- разработать алгоритм построения программного и стабилизирующего управлений;

- в классе ограниченных управлений получить достаточные условия полно!* управляемости;

- в случае ограниченности мкоаества управляемости построить его верхнего и нилагото, оценку;

- в случае наличия двух седловых особых точен при получить условия гомеоморфности тожества управляемости открытой топологической полосе.

Научная новизна. Дчя уравнения /3/ с единственным положением равновесия в начале координат при к - С , опираясь на некогорут симметрию функций ^("х.) и > доказана теорема о существовании и единственности предельного цикла. Методой малого параметра показано, что при К О предельныА цикл стягивается к некоторой замкнутой траектории поро:здаг>ч;еП гашшьтоновой системы, а при к:' 1=0 трансформируется в релаксационное колебание. Приняв в качестве параметра (л = , удалось найти его бифуркаци-огаюе значеше Л — О . При переходе из области положительных значений Л. в область отрицательных значений происходи? бифуркация рождения предельного цикла из слоя-ного фокуса.

В случае наличия двух седловых точек при и — О докапана теоре1:а о существовании и единственности предель-

- б -

ного цикла при достаточно малых I & I. . Показано существование такого СК~*< О, что при (X < О,* эквивалентная уравнению /3/ система не имеет предельных циклов, а при С1 <• О

инеет по крайней мере один предельный цикл. Получены некоторые оценки бифуркационного значения параметра й и рассмотрены возможные типы бифуркаций цикла.'

Проведено качественное исследование в целом уравнения /4/. С поыоцыо преобразований Г^анкаре рассмотрены бесконечно удаленные особые точки. Опираясь_на получению для обобщенного уравнения Рэлея результаты, в терминах коэффициентов К > & » £ > получены условия существования и единственности предельного цикла, а таете его отсутствия.

' При наличии управляющие воздействий указшш алгоритш построения программного и стабилизирующего управлений. Дчя ограниченных управлений достаточные условия полной управля- " емости били получены на основа метода функция Ляпунова как для случая наличия, так я для случая отсутствия автоколебательные свойств у системы. С помощью линиЯ уровня некоторой Функции Ляпунова построены верхняя и нижняя оценки для ограниченного множества управляемости. При наличии двух седловых особых точек решена задача о структуре множества управляемости.

Общая методика исследования. При решении поставленных задач использованы вспомогательные сведения из математического анализа и вксаей алгебра. Основной упор сделан на применение методов качественно!» теории дифференциальных уравнение и математической теории управления.

Практическая ценность. Полученные результаты могут бить использоваян для исследования копкротнкх управляем« систем, допуска^« колебательные реямин. Среди них следует гтреяде всего отмстить электрические контура, задаваемые емкостью, индуктивностью и сопротивлением, гироскопические систему, а гоняв систе;ш управления бетатроннюз! колебаниями заряженшх частиц в поперечно?! плоскости циклического ускорителя.

Апробация работи. Оснсвниз результаты диссертациотга^ работы доплачивались на 16,19 и 20 научих кон^ерсюдкх "Управление динаничесюйм снстегаш" факультета ПМ-ГСГ и научшвс • семинарах каЗедрц теории управления СЛб Университета.

Публикации. Ос]юзкш результата по теме диссертация опубликовани в работах 1-3.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех основшя глаз, заглячения и списка используемой литература. Обьем диссертации составляет 126 страниц. Гелиография содержит 52 названия.

Во введении обосновывается актуальность теш, ставятся задачи исследования, дается обзор соответствующе!1 научной литературы и проводится кратная аннотация всех разделов диссертации.

В главе I рассматривается обобщенное уравнение Рэлея

с единственным положением равновесия в начале координат

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАГОТЫ

/5/

/ ^х) = ос , > о при Х^О /. Исследуется вопрос

о существовании и единственности предельного цикла и его поведении при предельном изменении параметра к^

§1 носит вспомогательный характер. Б нем излагаются основы теории Г^анкаре-Бевдиксона с целью удобства в восприятии последующего материала главы.

§2 содержит достаточные условия отсутствия предельных циклов в системе, эквивалентной уравнению /5/

полученные на основе метода функций Ляпунова. Для случая с пошщыо принципа кольцевой области и критерия орбитальной устойчивости Пуанкаре доказано существование и единственность устойчивого продольного цикла при выполнении следующих условий: I) \ - четная функция;

при1у|~у при ¿у»;

> 0 при > У" , ^ при

В случае аналогичны? результат получен при

дополнении 1-3 следующими условиями на функцию ^ С3^ : 4) - нечетная функция;

для любых х: ; при ;

В доказательстве рассматривалось поведение траектория на кривых топографической систеш

л

В §3 попадало, что при О предолып-'П цикл стягивается к некоторой загднутоЯ траектории порождающей гамиь-

ТСНОЕОЙ СИСТСК!. При К"^*'3"0 ПРОДОЛЫГ-ГЙ ЦИКЛ ТПЧНсЬор'.Мру-

ется в релаксационное колебание. Исследование проводилось на осново метода кадого параметра как для регулярно, так :: для сингулярно ио:1.г/;';и2Г1х скотем.

§4 посшп:;сн рассмотрения уравнешл /4/ па предмет су-ксстловаппя и отсутствия прс-д?.:ы'.нх циклов яри ¿> О , '¿Г <; о . Пэказано, что при К , <£ разных знаков преде-лы"„'о цикли отсутствует, а т.рл К , £ одного знака существует едянственшЛ пределышЯ цикл, устойчивая при С , £ <0 и неустойчивый при £ , <£

Глава 2 посвяг;ена вопросу о гозкикповепии и поведения предельного цикла с:;сте:.и /6/. Рассматривается би.дтпацган-ная структура этой систеш, если в качестве параметра тать Л =

В 51 излагается оснознш результаты теории бифуркаций на плоскости, связакше с различным типа!и СнфуркадгЛ рождения цикла. Особое внимание уделено геи из гак, которио обусловлены позоротом векторного поля.

В §2 на фунхцга ^(х) накладывается следующее условия I) ~ нечетная функции, ;

Это гарантирует наличие в ограниченной части фазовой плоскости двух седел кроме положения равновесия в начало координат. Показано, что является бифуркационным

значением параметра. при переходе через которое кз области

- го -

положительных в область отрицательных значений происходит рождение предельного цикла из слогшого фокуса. Кроме того, существует такое О , что при й < О.* система /6/ не ш,:еет предельных циклов, а при А*ЧЛ< О - имеет по крарней мере один предельный цикл.

В §3 получены достаточные условия отсутствия предельных циклов в области, ограниченной сепаратрисами седел. Соответствующие неравенства можно рассматривать как верхние оценки точки бифуркации ¿X. * Я. * .

В §4 проводится качественный анализ в целом уравнения /4/ при Ь) )г , в , ^ > О . Д?я достаточно налах 1к I, в области, ограниченной сепаратрисами седел, существует единственный устойчивый предельный цикл. Этот цикл ро-здается из слоиного фокуса при переходе через К = О . В терминах коэффициентов уравнения получены достаточные условия отсутствия предельных циклов. Исследована структура бесконечно удаленных особых точек, ,

Глава 3 посвящена постановке и решению некоторых задач теории управления для обобщенного уравнения Ролея с управлением /3/.

В §1 излагаются классические результаты по полной и локальной управляемости автономных систем.

§2 содержит алгоритмы построения программного и стабилизирующего управлений на основе сведения к линейноР управляемой системе.

Б §3 рассматривается вопрос об управляемости системы

•л =

в классе ограниченных управления Б случае един-

ственного положения равновесия в начале координат при U- О получены достаточнее услогзия полной управляемости и построены оценки множества уггравляемосги в случае его ограниченности.

54 также посвящен вопросу об управляемости систем! /8/, однако в случае нездинствсшого положения равновесия в ограниченной части разовой плоскости ггри Ц. - О .

Заключение содортит ochoejks результат«, которые взносятся на защиту.

Автор пользуется случаем выразить глубоки признательность Б.Й.Зубозу за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а гакжа D.Л.Харитонову и А.П.Жабко за ценчнз совета и указания.

Основное результата диссетатадш опубликована в следу-чi.'pix работах:

1. Егамв A.B. О качественной исследовании в делом одного диЛ;'ере1Щиалыюго уравнения второго пордцка // Редко лл.:вурн. "Вестник Л1У".- Л., 1986.- Деп.в В:ШИТИ 12.11.35, ¡t->?7S7~B36.

2. Дорофеев Б.В., Екииов A.B., Смирнов Н.В. Вопросы устойчивости и управляеиэсти в нзлинеПшк системах с параметром// Редкзлл.журн. "Вестмт ЛГУ".- Л,, 1989,- Деп. в БИШШ1 Z9.03.C9, 13 2341-В8Э.

3. Екш.юв A.B. К вопросу о бифуркации роздения предельного цикла из сложного фокуса // Весгннх ЛГУ, 1990, сер.1, вш,4, № 22, с. Ш-В1.