Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов

Мусса Абубакар

Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мусса Абубакар АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов»

Автореферат диссертации на тему "Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов"

На правах рукописи

Мусса Абубакар Р Г Б ОД

ь 2 опт

Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов

Специальность 01.01.02- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2000

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов. Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М.С. Никольский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Жуковский

кандидат физико-математических наук,

доцент Е.Н. Хайлов

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН.

Защита диссертации состоится 2000г. в Л5. час. на

заседают диссертационного совета К 053.22.23 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд./г|35 С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан "2.1" .ШиЗ^.^ООО г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент у / М.В. Драгнев.

ШШЛ/г-

Общая характеристика работы Актуальность темы диссертации.

Одной из фундаментальных задач теории управления динамическими системами является проблема определения или оценивания множеств возможных фазовых состояний системы в различные моменты времени. Эти множества, называемые множествами достижимости, играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования. Так, точное или приближенное знание множеств достижимости управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы управления, выбрат» оптимальное или субоптимальное управление. Для системы, подверженной возмущениям, множества достижимости дают оценку разброса траекторий под влиянием этих возмущений. Методы дифференциальных игр и гарантированной фильтрации по данным наблюдений также тесно связаны с понятием множества достижимости.

Все указанные задачи сводятся к построению или оцениванию множеств, в которых может лежать фазовый вектор системы, и к операциям с этими множествами. Однако практическое построение множеств достижимости, эсобенно в нелинейных системах большой размерности, представляет собой зесьма сложную задачу даже при использовании современных ЭВМ. Поэтому услуживают внимания эффективные методы аппроксимации и оценки этих множеств.

Множества достижимости управляемых объектов являются предметом 1сследований многих работ в математической теории управления. Их изучают : разных точек зрения, например, оценивают сверху, аппроксимируют в смысле метрики Хаусдорфа просто устроенными выпуклыми компактами (см., тпример,') и т.д. Диссертация посвящена одному из таких вопросов, а именно -щенкам множеств достижимости нелинейных управляемых объектов (в

Черноусысо Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: 1аука, 1998.

основном изнутри). Такие оценки легко трансформируются в оценки изнутри множеств нуль-управляемости (см., например,2).

Оценки изнутри множеств достижимости получены в диссертации с помощью теорем о накрытии (накрывании) нелинейным отображением. Интересные теоремы о накрытии содержится, в работах 3'4,5,6.

В диссертации в основном используются результаты работ М. С. Никольского6'7. Среди многочисленных работ по нуль-управляемости и дифференциальным включениям, тесно связанных с тематикой диссертации, мы отметим работы Э. Б. Ли, Л. Маркус г, А. В. Арутюнов, В. Н. Розова8, Р. Ьетрю, V. УеНоу9.

Полученные в диссертации результаты представляют интерес для экономики, для теории управляемости и для теории дифференциальных игр. Цель работы.

Применение теорем о накрытии нелинейным отображением в теории управления для оценивания множеств достижимости изнутри для ряда конкретных нелинейных управляемых объектов, интересных для приложений, а также доказательство ряда теорем о накрытии нелинейным отображением с малой нелинейностью.

2 Ли Э.Б., Маркус Л Основы теории оптимального управления. М. 1972.

3 Авлкоа Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Магсм. Зам. 1990. Т.47,

№5. С.3-13.

' Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. ' Дмнтрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерннка н теория экстремума. U УМН. 1980. 35 вып. 6. С. 11-46.

6 Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии ■ их применение » теории управления. II Труды Мат. Ии-та им. В.А. Стеклова РАН. 1999. T.224. С. 264-274.

' Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного объекта изнутри. // Диф. Уравнения 1999. Т. 35, №11. С. 1487-1491.

' Арулонов A.B., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальна* управляемость нелинейных систем.// Диф. Уравнения 1999. Т. 35. №6. С. 723-728.

9 Lempio F., Veliov V. Discrète Approximations of Differential Inclusions. Bayreuther Mathematische Schriften, 1998. Heft 54. P. 149-232.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них - оценки множеств достижимости изнутри для ряда нелинейных управляемых объектов, интересных для приложений: для управляемого математического маятника, управляемого уравнения Ван-дер-Поля, управляемого уравнения Дуффинга, управляемого твердого тела с закрепленной точкой; теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением. Апробация работы.

Результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета лпужбы народов и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители д.ф. - м. н., проф. А. В. Арупонов, к. ф. - м. н., доц. В. Н. Розова), кафедры оптимального управления Московского государственного университета. Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата. Структура н объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, дополнения, и списка литературы. Диссертация изложена на $$ страницах. Библиография содержит 35 наименования. Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации. Глава 1. Оценки множеств достижимости нелинейных управляемых объектов изнутри.

Рассмотрим нелинейный управляемый объект вида

х = Дх,и), *(0) = 0, (1)

где х е R", ueU <zRp, U-выпуклый компакт.

Будем предполагать, что векторная функция /(х,и)определена и непрерывна по совокупности неременных на R" х U .удовлетворяет там по х локальному условию Липшица и что ОeU, /(0,0) = 0.

Тогда при произвольном измеримом u = u(t)eU, l> 0, начальная задача (1) хотя бы локально имеет решение х(/) = *(',«(•)) в классе абсолютно непрерывных функций.

Фиксируем 7' > 0 и обозначим через D(T) множество достижимости управляемого объекта (1) D(T) = {х(Г,м(-))}. Для произвольного измеримого u(t)eU, />0 соответствующее решение x(t,и(-)) не обязательно продолжимо на Л = [0,7'].

Мы ищем дополн1ггелыше условия, при которых 0 е int D(T). При решении этой проблемы мы делаем упор на получение конструктивной оценки изнутри для множества D(T) в виде эффективно вычислимого выпуклого компакта К , для которого выполняется включение Oeint D{T)<zD{T).

Для получения таких оценок используется теорема 1.2М.С. Никольского, изложенная в §1.1.

В дальнейшем во всех пунктах через Л/(7') мы обозначаем множество достижимости линеаризованного объекта х-Ах+Ви, где Л = /г(0,0), В - /„ (0,0), с начальным условиям х(0) = 0.

В §1.3 получены оценки множества достижимости управляемого математического маятника

Рассмотрим управляемый математический маятник, описываемый системой

лг,=дг2, х2 = -бшх,-ахг + и , х](0) = х2(0) = 0 , (2)

где а>0 -константа, иеи, причем либо и =[0,(7], либо и = [-<7,<7], а <7>0. Получены оценки изнутри для множества достижимости В(Т) управляемого объекта (2) в трёх случаях:

1.0 < от < 2 , С/=[0,<7] , д > 0. Доказано, что при Т>— — М(Т)аВ(Т), где

О), = -

л/4^1

(0,1)

находится

га

неравенства

г е~2г Е 1

г (У (Г-г)-с1ге1<—гйУ -е"*")', г„ -радиус максимального

. \ со. 2 1 + а

зЛ¿/" ©| """ 2

шара с центром в 0, содержащегося в М(Т), он определяется формулой

г0 =?тш

Уз)2 +(^2®1)2—{сохг + <р(ч/))\(1г 2 { со.

[с/]+ = тах{о,</} , у/г - компоненты вектора ц/ го единичной окружности,

со.ч <р{цг) = , ? ^ > бш <р(у/) = Ъ

Ь = у/26>и9(у,) 6 [0,2л-].

^аг+Ь

2.а > 2 и (/ = [-1,1]. Доказано, что при Т> 0 -±М(Т)сО(Т),

где величина е0 е (0,1) находится из неравенства

1 (, а 3/ч, з £0 л/а2-4

— 1 + Г ¡М (,)**, <уг0 ,«2 =-т-,

М(Т) =

1 + а

, г0 определяется формулой

г„ = пнп

I — I --

М-» ¡1 в»2

(у, -^■у/г)5Иео2г + у/гсогс11б)2г

&, у/{ и ^-компоненты вектора

V-

При и =[-д,д] выкладки проводятся аналогично.

З.а = 2 и (/ = [-1,1]. При Т> 0 доказано, что уЛ/(Г)с 0(7"),

I г _

где £0 е(0,1) находится из неравенства -Ге~"•¡г1 г)1/лг(Т-г)с1ге1 < го,

65 2

* „С*«)'

1 + сг

г0 = пип|е~'|г^, +(1 , ^2"К0МП0НС[ГГЫ вектора При

и = [-?.<?] выкладки проводятся аналогично.

В §1.4 излагаются оценки множества достижимости управляемого уравнения Ван-дер-Поля.

Рассмотрим управляемое уравнение Ван-дер-Поля, переписанное в фазовых переменных, в следующем виде

л, =х2 , х2 =-*, -*(х,2 -1)х2 +и , дг,(0) = ;с2(0) = 0, (3) где к >0 -констакга, ие(/ =[р,я], причем р<>7 иОеС/. Рассмотрены три случаев: I. 0<Л<2; 2. ¿>2; 3. к-2. Для каждого го этих случаев с помощью теоремы 1.2 из §1.1 и функции Ляпунова вида 1 , ,

У(х) = -(х{ получены оценки сверху и изнутри искомого множества

достижимости £>(Г) управляемого объекта (3) с помощью множества е0М(Т), где е0 > 0 достаточно мало и находится из некоторого простого неравенства, зависящего от констант Т,к,р,ц.

В §1.5 излагаются оценки множества достижимости управляемого уравнения Дуффинга.

Рассмотрим уравнение Дуффинга при наличии управления в следующем

виде

i, =х2 , х2 = -ахг +и , дг,(0) = х2(0) = 0 , (4) где а > 0 - константа, ueU = [p,q] , причем p<q и 0&[p,q].C

помощью функции Ляпунова вида У(х)-^х* +~xj и теоремы 1.2 из §1.1

доказано для любого Г > 0 и (/ = [-1,1], что

— М(Т)а D(T), где £0e(0,l) находится из неравенства

-Г 2^1 - - е

24 1 + — \T2£q <—г0, г0-радиус максимального шара с центром в 0 содержа-\ ■ а) 2

шегося в М(Т), он определяется формулой г0 = min J

и* 0

где у/х,у/1- компоненты вектора у/ из единичной окружности. В общем случае формулы несколько усложняются. В §1.6 излагаются оценки множества достижимости управляемого твердого тела с закрепленной точкой.

Рассмотрим управляемое движение твердого тела, описываемое системой Л*1 = ('2 "'э)*2*з +и\ (0 •

¡Л = (Л-Ah*, +«2(0 ,/3iз =(/, -I1)xlx1+ui(t), (5) ^(0) = x2(0) = jr3(0) = 0.

В (5) /,,/2,/3> 0 - константы, на управления и = (ut ,и2 ,м3)наложсно ограничение: и е U, где U с Ä3 -непустой выпуклый компакт, причем 0 е int U. С помощью функции Ляпунова вида = + 12х\+¡-¡х]) получена

оценка сверху множества достижимости D(T) системы (5). С помощью теоремы 1.2 из §1.1 получена также оценка ганутри для множества D(T) с

1-е"

dr.

помощью множества е0М(Т),тле е0достаточно мало и находится из некоторого простого неравенства, зависящего от констант Т, /1 ,/2 ,/3, в случае когда U -3-х мерный шар радиуса р > 0 с центром в 0.

Глава 2. Оценки множеств достижимости изнутри для управляемых объектов с малой нелинейностью.

Эта глава посвящена оценкам множеств достижимости управляемых объектов с малой нелинейностью.

В §2.1 излагаются теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением. Пусть W -действительное банахово пространство, Q - непустое выпуклое множество из W, причем Об П.

Пусть G\W ->Rk - некоторое линейное непрерывное отображение и g:fl-> Rk - некоторое непрерывное нелинейное отображение. При хеQ и гг^О определено следующее нелинейное отображение Ff(x)=Gx + £g(x). В дальнейшем предполагается, что 0 е int(Gii).

Теорема 2.1. При сделанных предположениях имеет место включение 0 е int Fc (fi) при всех достаточно малых е^О.

Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения теоремы 2.1, U ограничено и фиксировано число в е (0,l).Тогда при достаточно малых £¿0 вР с Fc(Q),

где P = GÖ.

Замечание. Если нелинейная функция g зависит еще и от е, т.е. g - g(x,s),

то теоремы 2.1 ,2.2 справедливы, если g(x,e) непрерывна на R" х[0,°о). Доказательство аналогично.

Пусть при хеП и Ft(x)=Gx + ^c[x,x]+fg(x),

где С[-,•]- непрерывная векторная квадратичная форма, порожденная некоторым векторным билинейным симметричным непрерывным отображением,

действующим из Wв Rk. Пусть далее линейное подпространство L = GWне совпадает с Rk. Обозначим через кх ортопроектор из Rk на подпространство L, а через л2 ортопроектор из Rk на ортогональное дополнение к L.

Предположим, что существует такой вектор £ е int П, что Cr ¿; = 0 , л2 С ] = 0 , причем линейный ограниченный оператоп, определяемый при х е IV формулой Dx = Gx + z2C[^,x], отображает W на Rk. Обозначим P = Dа,

3 5

ЛСU) = m2*i+M2*2 , где ¡л > 0, а -единичный замкнутый шар из W с центром в 0. Теорема 2.3. При сделанных предположениях при достаточно малых > 0, sa > 0 при всех г е [о, £а ] выполняются включения: 0 е int F£(q),

1л(/10)/>с^(п).

Замечание 1. Из доказательства теоремы 2.3 видно как можно выбрать величины ¡л0,£0достаточпо конструктивно.

Замечание 2. Если нелинейная функция g зависит еще и от е, т.е. g = g(x, е), то теорема 2.3 справедлива, если g(x,e) непрерывна на R" х[0,от). Доказательство аналогично.

В §2.2 излагается методика применения теоремы 2.2 для оценивания множеств достижимости изнутри для управляемых объектов с малой нелинейностью.

Рассмотрим нелинейный управляемый объект вида

х = Ах + Ви + еf(x,u) , *(0)=0, (6)

где*еR", Л и В - постоянные матрицы размерности пхп и пхр соответственно, ueUcRp, ¿'¿О, п - мерная векторная функция /(х,и) непрерывна на R" xU .

Будем предполагать, что

1. U - непустой выпуклой компакт и 0 е U;

2. при х б R" , и ell выполняется неравенство:

|/(x,U)|st(l + |*|), где к > 0 - некоторая константа;

3. Функция f(x,u) удовлетворяет локальному условию Липшица по переменным (х,и) на R" xU.

Фиксируем для дальнейшего некоторое Г>0. Управления u = u(t)eU, f е Д = [О.Г ] рассматриваются в классе измеримых по Лебегу функций. При произвольном измеримом и = u(t)eU, t е А в силу наложенных требованный начальная задача (6) имеет единственное решение x(t) = x(t,u(),e) в классе абсолютно непрерывных функций при t е А .

Обозначим через D (Г, е) множество достижимости управляемого объекта (6): Z)(r,£)=(Jx(r,i/(-),£), где объединение берется по всевозможным измеримым

u(t)eU, teД.

Нас интересует следующая задача. При каких дополнительных условияхО б int D(T,e) хотя бы при малых е ä 0 ?

В дальнейшем предполагается, что 0 е int М (Т), где М(Т) -множество достижимости объекта (6) при е = 0. С помощью теоремы 2.2 можно утверждать следующее.

Пусть фиксировано число ве(0,1). Тогда при ее[0,£о], е0- достаточно малое число,

Из доказательства теоремы 2.2 вытекает, что

f О - в) л

константу s0 можно взять из интервала 0 , ^^ , где

ra = minC{bÂ(T),y/) ,С(-,-)"0П0Рная функция, К,-константа зависящая от Т. М='

В §2.3 излагается оценка множества достижимости управляемого уравнения Ван-дер-Поля с малой нелинейностью.

Рассмотрим управляемое уравнение Ван-дер-Поля с малой нелинейностью:

x¡=x2, х2 = -JT, -£(xf -ï)x2 + и, х, (0) = д:2 (0) = О , (7) где ие£/ = [0,1], £> 0 -константа.

Фиксируем число 0 6 (0,1). Доказано, что при

2Кг

r0 = rjiin ^J [sin (г + <р)]+ dr,К2 -константа зависящая от Т.

В §2.4 излагается оценка множества достижимости изнутри нелинейного интегратора Р. Брокитга с малой нелинейностью вида i, = w, +eg}(x,u) х2 = u2+eg2(x,u)

x}=u2xi-uxx2+sg3(x,u), х(0) = 0 , (8)

где ueU = {ueR2 :|u,|ál,/ = l,2}, eäO-констаита, £/(*>"), / = 1,2,3 -

компоненты непрерывной на R3 х U векторной функции g(x,u).

Будем предполагать, что: 1 .при х е R3, и б U выполняется неравенство

|g(x ,u)|sc(l+|x) ) , где с > 0 -константа; 2.функция g(x,u) удовлетворяет локальному условию Липшица по переменным (х,и) на R1 х U ;

3. £,(*,") = 0 при » = 1,2, g3(x,u)$0.

Нашей целью является построение для множества достижимости управляемого объекта (8) D(T,e) такого выпуклого компакта K<zR3, что О е int К с. К с: D(T,e) при всех достаточно малых £¿0

Для этого будем использовать теорему 2.3 и замечание 2 из § 2.1.

Рассмотрим линейный оператор где при s е А = [0,7"]

ß(s) =

г \

1 О

О 1

3 S

-2ja(i) l\a(s)ds V о о

,a{t) = -, при / е

1 (т

, «(')=--. при I —

, 5 е Д-ограниченная почти всюду на Дпо модулю измеримая векторная функция.

Доказано, что при //0=minjl,—

/■ \2

КП

■i, 1 £0 = Ш111 1 ,

[ 2КХТХ{

г \6} v„ 1

КЧ.

где

( Vi

ц/2

Мм)=

0 0

, К, = е'

,(2+с)т

9 = . yeR\

означает транспонирование; у0 -наименьшее собственное значение положительно определенной симметричной матрицы

ß о -BL

о p Ç

ÊL ËL le'

2 2 3

при ß = -,

P = ^B(r)Sydr-mггеграл от многозначного отображения B(r)Sv^ причем S у -шар из R3 с центром в нуле и радуиса У2.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Абубакар М. Об оценке множества достижимости управляемого математического маятника изнутри.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". - 1999.-Т.6. - №1 .-С. 3-13.

[2] Никольский М.С., Абубакар М. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван-дер-Поля.// Труды института математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2000 (в печати).

[3] Абубакар М. Об оценке множества достижимости математического маятника изнутри.// Тез. докл. XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания, 24-28 мая 1999 г. -М.: Изд-во Российского ун-та дружбы народов, 1999.-С. 51.

[4] Абубакар М. Некоторые теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением.// Тез. докл. XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания, 22-26 мая 2000 г. -М.: Изд-во Российского ун-та дружбы народов, 2000. - С.45.

[5]Абубакар М., Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". - 2000.-Т.7. - №1 .-С. 3-9.

Мусса Абубакар (Нигер)

"Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов" Получены оценки множеств достижимости ряда конкретных нелинейных управляемых объектов, интересных для приложений. Доказаны теоремы о накрытии нелинейным отображением с малой нелинейностью. Эти теоремы использованы для оценки изнутри множеств достижимости управляемых объектов.

Полученные результаты можно использовать в теории управляемости, в теории дифференциальных игр и в экономике.

Moussa Aboubacar (Niger) "About estimations of reachable sets for controllable nonlinear objects" In the thesis we obtained some estimations of reachable sets for controllable nonlinear objects interesting for application. Some theorems of covering for weakly nonlinear map were proved. These theorems were applied to obtain some estimations from within of reachable sets for controllable nonlinear objects .

The derived results can be used in control theory, game theory and economics/

№

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мусса Абубакар

Введение.

Глава 1. Оценки множеств достижимости нелинейных управляемых объектов изнутри.

§1.1. Теоремы о накрытии нелинейным отображением.

§1.2. Методика применения теоремы 1.2 для оценки множеств достижимости изнутри для нелинейных управляемых объектов.

§1.3. Управляемый математический маятник.

§1.4. Управляемое уравнение Ван-дер-Поля.

§1.5.Управляемое уравнение Дуффинга.

§1.6.Математическая модель управляемого твердого тела с закрепленной точкой.

Глава 2. Оценки множеств достижимости изнутри для нелинейных управляемых объектов с малой нелинейностью.

§2.1. Теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением.

§2.2. Методика применения теоремы 2.2 для оценки множеств достижимости изнутри для управляемых объектов с малой нелинейностью.

§2.3.Управляемое уравнение Ван-дер-Поля с малой нелинейностью.

§2.4.Нелинейный интегратор Р. Брокитта с малой нелинейностью.

Дополнение.

Введение диссертация по математике, на тему "Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов"

Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы. В математической теории управления (см.[8],[12],[18]) рассматривается управляемый процесс вида х=/(х,и), х(0) = хп, (0.1) где х<еКп, и е1/ с Яр. Управления и{{) <е1/, ге[0, Г], Т > 0 рассматриваются в классе ограниченных по модулю и измеримых по Лебегу функций, а соответствующие решения х(1) = , и( )) начальной задачи (0.1) ищутся в классе абсолютно непрерывных функций. Множество достижимости ,г) управляемого процесса (0.1) из начального состояния л;(0) = в момент времени / = Т > 0 определяется формулой

0{х,,Т) = {}х(ТМ:)), (0-2) где объединение берется по всевозможным измеримым управлениям и{(), I е[0,Г]. Множество нуль-управляемости С(т) (см. [12]) управляемого объекта (0.1) определим как множество начальных точек х0 е Яп, каждую из которых можно привести в х1 = 0 с помощью ограниченных измеримых управлений м(/)е I/, / > 0.

Одной из фундаментальных задач теории управления динамическими системами является проблема определения или оценивания множеств достижимости фазовых состояний системы в различные моменты времени. Множества достижимости играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования. Так, точное или приближенное знание множеств достижимости управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы управления, выбрать оптимальное или субоптимальное управление. Для системы, подверженной возмущениям, множества достижимости дают оценку разброса траекторий под влиянием этих возмущений. Методы дифференциальных игр и гарантированной фильтрации по данным наблюдений также тесно связаны с понятием множества достижимости.

Все указанные задачи сводятся к построению или оцениванию множеств, в которых может лежать фазовый вектор системы, и к операциям с этими множествами. Однако практическое построение множеств достижимости, особенно в нелинейных системах большой размерности, представляет собой весьма сложную задачу даже при использовании современных ЭВМ. Поэтому заслуживают внимания эффективные методы аппроксимации и оценки этих множеств.

Множества достижимости управляемых объектов являются предметом исследований многих работ в математической теории управления. Их изучают с разных точек зрения, например, оценивают сверху, аппроксимируют в смысле метрики Хаусдорфа просто устроенными выпуклыми компактами (см., например [24]) и т.д.

Предметом нашего исследования является получение оценок множества достижимости D(x{), Т) нелинейных управляемых объектов изнутри. Задача получения оценки D(x0,7") изнутри состоит в нашей постановке в нахождении достаточных условий, при которых выполняется включение О eint D(xq,T) при х() = 0. Отметим, что множество D(0,T) совпадает с множеством G(T) для управляемого объекта x = -f(x,u). Проблеме вычисления G(T) посвящено много работ. Отметим, например, теорему о достаточных условиях нуль - управляемости из [12].В силу сказанного наши результаты представляют интерес и для теории нуль - управляемости.

В диссертации в основном используются результаты работ М. С. Никольского [14], [15]. Среди многочисленных работ по нуль-управляемости и дифференциальным включениям, тесно связанных с тематикой диссертации, мы отметим работы Э. Б. Ли, Л. Маркус [12], А. В. Арутюнов, В. Н. Розова [3], Р. Ьетрю, V. УеНоу [29].

Результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители д.ф. - м. н., проф. А. В. Арутюнов, к. ф. - м. н., доц. В. Н. Розова), кафедры оптимального управления Московского государственного университета.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце диссертации. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, дополнения и списка литературы. Диссертация изложена на страницах. Библиография содержит 35 наименования. Содержание работы.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

включение

2;7

GSczP.

2.3.46) где

5 =

Обозначим через -наименьшее собственное значение положительно определенной симметричной матрицы в (см. (2.3.46)).Тогда с 08 и (см. (2.3.46))

-SciP. 2ц

Следовательно гп >

2 7]

2.3.47)

Фиксируем такие числа Mi = ~4

Л. \2

1) и е,

8^Г ю

Л. V и что (см.

2.3.15), (2.3.42), (2.3.44), (2.3.47))

8 1 4ц

Используя соображения доказательство теоремы 2.3 и замечания из 2.1 нетрудно показать, что нелинейное отображение (см. (2.3.42)) Я

Fe (vQ) = NvQ) + C[v(.), v(.)] + Щу(-), обеспечивает следующее включение при Mo ~тш<

Г \2 Vo v7/ Г sQ = mini

ЩТ ю

41 {п J 1 и гге[0,£0]

Из формул (2.3.38), (2.3.42), (2.3.43) при //0=min 1 Г

Г \г е0 = mm<¡

Л. \ь

ЩТ ю

П) и s е [0, £0] вытекают включения

-A(jU0)PcD(T,e), 0Gint^A(//o)P

ДОПОЛНЕНИЕ.

В параграфе мы сформулируем некоторые теоремы, на которые мы часто ссылались в главах 1 и 2.

1. Схолия, (см. [12])

Пусть /(х) -непрерывное отображение компактного выпуклого подмножества V с Я", имеющего внутренние точки в пространство Я". Пусть р внутренняя точка множества V, и предположим, что

2.Неравенство Гронуолла-Беллмана. (см. [21])

Пусть функция т{1) непрерывна и удовлетворяет неравенству для каждого л; из дУ.

Тогда

О < т(/) < Щ) +1 g{r)m{r)dr, я < г < Т, где т и измеримая функция И1) ограничена на \?,т\.

Тогда г при 8<г<Т.

Следствие. г

Если

О <т^)<0 + с\т{г)Ф, где С, Б -неотрицательные константы, то

3.Продолжимость решений ори оценках Филиппова.

Рассмотрим

Предположим, что функция /(*,*) непрерывна по совокупности ((,х) и выполняется неравенства где К > О -некоторая константа.

Тогда решение задачи Коши (1) х{1) продолжаемо на [0,оо). х = /и,х),х(0) = х{

1) где

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мусса Абубакар, Москва

1. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения. //Матем. Зам. 1990. Т.47, №5. С.3-13.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.

3. Арутюнов A.B., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем.// Диф. Уравнения 1999. Т. 35. №6. С. 723-728

4. Благо датских В.И., Филиппов А.Ф. Диф. включение и оптимальное управление. // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АНСССР. 1985. 169с. 194-252.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ., 1963.

6. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

7. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума. //УМН. 1980. 35. вып. 6. С. 11-46.

8. Зубов В.Н. Лекции по теории управления М.: Наука, 1975. 9.Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Факторанализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994.

9. Ю.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974. П.Кавски М. Хронологические алгебры: комбинаторика и управление. Итоги науки и техники. Совр. Матем. и ее прилож. Тематич. обзоры. 1999. Т.64. Москва: ВИНИТИ. С. 144-178.

10. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М. 1972.

11. Мшценко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

12. Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии и их применение в теории управления. // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 1999. Т.224. С.264-274.

13. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного объекта изнутри. //Диф. уравнения 1999. Т.35, №11. С. 1487-1491.

14. Никольский М.С. Об оценке изнутри множества достижимости нелинейного интегратора Р. Брокитта. (в печати ).

15. П.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. М.: Наука, 1983.

16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Физматгиз, 1961.

17. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

18. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М. Издательство Моск. Университета, 1976.

19. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

20. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука 1966.

21. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

22. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.

23. Шикин Е.Р. Линейные пространства и отображения. М.: издательство Моск. Университета, 1987.

24. Brammer R.F. Controllability in linear autonomous systems with positive controllers. // SIAM J. Control. 1972. 10. №2. P.339-353.

25. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differ. Geom. Contr. Theory. Proc. Conf. Technol. Univ. 1982 P. 181-191.

26. La Salle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov's direct method with Applications. N.Y. London: Academic Press, 1961.

27. Абубакар M. Об оценке множества достижимости управляемого математического маятника изнутри.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". 1999.-Т.6. - №1.-С. 3-13.

28. Абубакар М., Никольский М.С. Некоторые теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия "Математика". 2000.-Т.7. - №1.-С. 3-9.

29. Никольский М.С., Абубакар М. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван-дер-Поля. Труды института математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2000 (в печати).