Области достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

• , 1

Л а

ОД

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ОВСЕЕВИЧ АЛЕКСАНДР ИОСИФОВИЧ

ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ, ИХ СВОЙСТВА, АППРОКСИМАЦИИ И ПРИМЕНЕНИЯ

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание степени доктора физико-математических

наук

Москва — 1996

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Бобылев Н. А.

доктор физико-математических наук член-корреспондент РАН Журавлев В. Ф.

доктор физико-математических наук академик РАН Куржанский А. Б.

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского научного центра РАН

Защита состоится февраля 1997 года в .15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.87.01 в Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского, д. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан ^'"января 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Меняйлов А. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Данная диссертационная работа посвящена, в соответствии со своим названием, исследованию областей достижимости управляемых систем и смежным вопросам.

Понятие области (множества) достижимости управляемой динамической системы является одним из основных понятий теории управления. Поэтому фактически в большинстве работ по теории управления развиваются или используются вопросы, связанные с областями достижимости. Это понятие предоставляет удобный язык, на котором могут быть описаны различные конкретные задачи теории управления.

Например, если нам известны области достижимости, то можно легко оценить возможности управления. Скажем, для ответа на вопрос: "Возможно ли перевести систему в некоторое предписанное состояние х в предписанный момент Т?" достаточно проверить, принадлежит ли вектор х соответствующей области достижимости.

Если объединение областей достижимости для всех моментов времени совпадает со всем пространством состояний системы, то такая система называется вполне управляемой. Выяснение того, управляема ли данная динамическая система, является классической задачей геории управления. Для линейных систем без ограничений на управления необходимые и достаточные условия управляемости получены Калманом и Красовским, что открыто путь к изучению управляемо-:ти управляемости линейных систем с ограничениями на управления а нелинейных, систем ь работах очень многих авторов. Упомянем в этой связи имена Р. Браммера, В. И. Коробова, А. П. Маринича, Е. Я. Подольского, А. М. Формальского, А. Кренера, Г. Хермеса, К. Побри, Г. Зуссмана, Дж. Хейнса.

Области достижимости имеют важные приложения к дифференциальным играм, указанные, прежде всего, Н. Н. Красовским в его мето-[,е экстремального прицеливания. С помощью областей достижимости

можно также получать двусторонние оценки цены дифференциальной игры.

Широко развитые к настоящему времени методы гарантированного оценивания состояния динамических систем также опираются на использование областей достижимости и их обобщений — информационных множеств.

Фундаментальные результаты в этой области получены многими авторами, начиная с работ М. Л. Лядова и Н. Н. Красовского 60-х годов. В этой связи упомянем представителей свердловской школы А. Б. Куржанского, И. Я. Каца, Б. И. Ананьева, М. И. Гусева.

Существенное место в теории гарантированного оценивания занимает "метод эллипсоидов", затрагиваемый и в настоящей работе. Теория оптимального эллипсоидального оценивания инициирована и продвинута работами Ф. Л. Черноусько.

Важное направление метода эллипсоидов, связанное с внешними эллипсоидальными оценками, развивается в работах А. Б. Куржанского, его учеников и сотрудников.

Важнейшее значение в теории управление имеет метод динамического программирования и его основное орудие — уравнение Беллмана. Для изучения областей достижимости полезным оказывается "двойственное уравнение Беллмана", впервые выписанное для общей ситуации А. И. Панасюком. В настоящей работе установлена для общего случая связь между двойственным уравнением Беллмана и наилучшими оценками областей достижимости.

Затронутый в диссертации вопрос о гладкости границ областей достижимости исследовался ранее А. М. Формальским и оказался связанным с теорией наблюдаемости Р. Калмана.

Цель работы

Целью работы является изучение комплекса вопросов теории управления, группирующихся вокруг понятия области достижимости управляемой динамической системы, в том числе вопросов аппроксимации

бластей достижимости и некоторых задач о качественном поведении тих областей и их аппроксимаций.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты и методы диссертационной работы могут быть исполь-ованы для дальнейшего развития затронутых в ней вопросов теории правления, а также смежных вопросов: например, о построении ал-оритмов гарантированного оценивания. Кроме того, полученные ре-ультаты позволяют решать и вполне конкретные задачи управления: кажем, задачу о гашении колебаний сложных механических систем.

Достоверность результатов работы

Достоверность результатов работы обусловлена применением стро-ого математического подхода.

Научная новизна

1) С помощью техники областей достижимости получено обобщение еоремы Ли-Янга из теории фазовых переходов в ферромагнетиках.

2) Найдено конструктивное решение задачи о полной управляемо-ти линейной системы с ограниченными управлениями, которое сво-ит построение соответствующих управлений к решению системы ли-ейных уравнений. В качестве приложения получена оценка времени спокоения для системы многих маятников на управляемой тележке.

3) Получено новое необходимое условие полной управляемости ти-а Калмана для аналитических управляемых систем.

4) Введено новое понятие теории оценивания областей достижимо-ти — понятие области супердостижимости (а также области субдости-:имости). Установлено взаимно-однозначное соответствие между вяз-ими решениями некоторого нелинейного уравнения в частных произ-одных первого порядка, называемого двойственным уравнением Белл-:ана, и минимальными выпуклыми областями супердостижимости. В екоторых случаях установлено соответствие между решениями диф->еренциальных неравенств и выпуклыми областями супердостижимо-ги.

5) Построены явные дифференциальные уравнения для параметров оптимальных в смысле разнообразных критериев качества эллипсоидов суб- и супердостижимости линейных управляемых систем.

6) Изучен вопрос о предельном поведении некоторых локально оптимальных эллипсоидов супердостижимости для устойчивых линейных управляемых систем.

7) Построена асимптотика при времени движения, стремящемся к бесконечности, для некоторых глобально оптимальных эллипсоидов супердостижимости линейных автономных управляемых систем.

8) Найдена асимптотика областей достижимости при времени движения, стремящемся к бесконечности. Показано, что предельные формы областей достижимости распадаются в произведение трех тел, связанных с тремя "подсистемами" исходной системы, соответствующим строго устойчивому, строго неустойчивому и нейтральному подпространству матрицы системы.

9) Изучены особенности границ областей достижимости линейных автономных управляемых систем и на этой основе получено обобщение теории двойственности управления и наблюдения. Сформулированы задачи о проективной и сферической наблюдаемости, и показано, что если эти задачи разрешимы, то отсюда вытекает гладкость границ областей достижимости за определенный интервал времени. Получен аналог рангового критерия управляемости для задачи о гладкости границы областей достижимости за любой интервал времени и/или о проективной наблюдаемости.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались ряде конференций, в том числе на конференции IFAC Вильнюс 1986, "Понтрягин-ские чтения" Кемерово 1990, "Modeling, Estimation and Filtering of Systems with Uncertainty" Sopron, Hungary, 1990, "Symposium on optimal control of mechanical systems" IUTAM Москва 1992, "Modeling Technics for uncertain Systems" Sopron, Hungary, 1992, "Математические методы

авигации и управления движущимися объектами" Таруса 1994, "Non-near and game theoretic control synthesis" Институт Эйлера, Санкт-'етербург 1995, на международном семинаре "Устойчивость и коле-шия нелинейных систем управления" Москва 1996, на научных се-инарах Института проблем механики РАН, Московского института тектронного машиностроения, Математического института им. Степов а, МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 —

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка {тературы и содержит 153 страницы формата А4; использован тек-•овый шрифт размером в 12 точек (4.23 мм).

Содержание работы

В диссертации изучен комплекс вопросов теории управления, груп-[рующихся вокруг понятия области достижимости. Рассмотрены »шенения областей достижимости как внутри теории управления, .к и вне ее. Исследованы вопросы аппроксимации областей достижи->сти и некоторые задачи о качественном поведении этих областей и : аппроксимаций.

Задача введения состоит в краткой постановке основных задач тени управления, связанных с областями достижимости, описания со-ояния дел в соответствующих областях теории управления, а также руктуры и содержания диссертационной работы. Введение заканчи-ется конкретным примером использования техники областей дости-шости в задаче из отдаленной области "математического естество-ания", а именно, с помощью этой техники доказывается обобщение 'ндаментальной теоремы Ли-Янга из теории фазовых переходов в :рромагнетик ах.

Применяемый метод основан на исследовании конечномерной дина-

мической системы, описываемой уравнениями

а,- = 2 ]Г(аг,- - а,-)-1, г, ] = 1,..., N.

известными в теории солитонов.

Первая глава посвящена вопросу о полной управляемости динам ческих систем. В первой части главы изучаются линейные, а во втор< — нелинейные системы.

В теории управления линейными системами центральное место з нимает фундаментальный ранговый критерий Калмана-Красовско полной управляемости систем с неограниченными управлениями. И вестны также и его обобщения на нелинейные системы. Для линейнь систем с ограниченными управлениями ранговый критерий не дает о статочных условий управляемости.

Р. Браммер получил следующий критерий полной управляемое линейной системы

х= Ах + Ви, хбКп, «€Г (1.

с ограниченными управлениями

М <С. (1.

Теорема Для полной управляемости системы (1.1), (1.3) необходш и достаточно кроме рангового критерия

*шЦВ,АВ,...,Ап-1-В) = п (1.

еще следующее:

НеЛ<=0, (2.

где А* — собственные числа матрицы А.

Основной результат первой части главы составляет следующая те рема, показывающая, что управление обеспечивающее переход:

эдной точки в другую, можно взять в виде векторного квазиполинома зида

u{t) = ^2aklexp(\kt)tl, akleC" (3.1)

■де А к — собственные значения либо матрицы А, либо —Л.

Георема Пусть система (1.1), (1.3) вполне управляема. Тогда для lepeeoda системы из заданного состояния в заданное можно исполъ-юватъ управление вида (3.1).

В качестве приложения получена оценка времени Т успокоения (при 1спользовании квазиполиномиального управления) для системы многих маятников на управляемой тележке, описываемой уравнениями

х = щ Х{ +ujxi = и, i = 1,... ,iV; |u| < 1

де х — смещение точки подвеса, г,- — смещение г'-ro маятника.

Окончательный результат выражается неравенством (х — вектор юстояния в начальный момент)

Т < 2v/F+2|X| 4-4((iV — l)/fi) + VlAN/u,

де

x = (x,i,xi,xi,..., xN,iN),

|x|2 = x2 + (i)2 + X:(Wixf)2 + (rt)2,

Q = min luii ± (i/jl. и = min Iw.l i,j=l,...,N i,J=l.....лг

io второй части главы получены новые нелинейные обобщения крите-

>ия Калмана как необходимого условия управляемости для нелиней-

:ых аналитических систем вида

х — f(x) + х £V,u£U

)сновной результат составляет следующая теорема.

Теорема Пусть первая группа вещественных гомологий фазового пространства V — нулевая. Тогда условие

dim I{gu) = dim У,

где I{gu) обозначает, идеал, порожденный полями ди в алгебре JIu Lie(f,gu) является необходимым для полной управляемости (за произвольное время) рассматриваемой системы.

В отличие от ранее известных нелинейных обобщений условия Кал-мана наше условие вытекает из глобальных соображений, основанных на построении полупроницаемых поверхностей для рассматриваемой динамической системы.

В конце главы обсуждается подсказанная классическими результатами Хёрмандера связь между полной управляемостью динамической системы и аналитической гипоэллиптичностью некоторых связанных с ней дифференциальных операторов второго порядка.

Вторая глава посвящена главному техническому средству работы с областями достижимости — дифференциальному уравнению типа уравнения Беллмана, для опорных функций "наилучших" эволюционных выпуклых верхних оценок этих областей.

Эта глава, как и предыдущая, естественным образом разбивается на две части. При этом первая часть непосредственно относится к теории управления, но ее основные результаты основаны на материале второй части главы, которая принадлежит к теории уравнений в частных производных.

Первая часть главы начинается с эвристических соображений, ведущих к формулировке так называемого "двойственного уравнения Беллмана". Известно, что иногда это уравнение описывает опорную функцию области достижимости. Как правило, это описание корректно только до момента потери строгой выпуклости областью достижимости. Поскольку такой момент неизбежно наступает для нелинейной динамической системы общего положения, то естественно возникает

задача придания смысла с точки зрения теории управления глобальному (по времени) решению двойственного уравнения Беллмана.

В первой части формулируется фундаментальное понятие теории оценивания областей достижимости — понятие области супердостижимости (а также области субдостижимости). Показано, что двойственное уравнение Беллмана описывает опорную функцию минимальной выпуклой области супердостижимости.

Установлено соответствие между обобщенными, так называемыми вязкими решениями двойственного уравнения Беллмана и минимальными выпуклыми областями супердостижимости. При этом не удается воспользоваться готовыми результатами теории вязких решений нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, а приходится развивать соответствующую технику ab ovo.

Основной результат главы составляет следующая теорема.

Теорема Предположим, что для управляемой системы выполнены "условия регулярности". Тогда имеется взаимно однозначное соответствие между минимальными компактными выпуклыми областями супердостижимости Qt, t > s этой динамической системы и вязкими решениями задачи Коши для "двойственного уравнения Беллмана "

^ = s(£)S) = ff0.(i),

где h — функция Гамильтона-Понтрягина для данной управляемой системы.

Значительно более полные результаты о связи вязких суперрешений двойственного уравнения Беллмана и опорных функций областей супердостижимости можно получить если ограничиться рассмотрением достаточно гладких (точное определение требуемой гладкости здесь не приводится) функций и областей. Эти результаты к тому же существенно легче доказываются, чем предыдущая теорема, но, к сожалению, минимальная выпуклая область супердостижимости, о которой идет речь в теореме, может быть "нерегулярной".

Основной результат о связи между выпуклыми областями супердостижимости с "гладкими" опорными функциями и "гладкими", выпуклыми и однородными первой степени суперрешениями двойственного уравнения Беллмана состоит в следующем.

Теорема Соответствие П н-> Нп л(ежду выпуклыми областями супердостижимости с "гладкилш" опорными функциями и "гладкими", выпуклыми и однородными первой степени суперрешениялш двойственного уравнения Беллмана является взаимно однозначным.

Во второй части главы соответствующая теория выпуклых вязких решений уравнений первого (и второго) порядка. Основным ее результатом служит теорема существования выпуклых вязких решений у эволюционного нелинейного уравнения первого порядка с выпуклой правой частью.

В третьей главе методы второй главы применяются к задаче аппроксимации областей достижимости линейных управляемых систем с помощью эллипсоидов. Ищутся оптимальные эллипсоидальные множеств суб- и супердостижимости для управляемых систем вида

х = Ах + и, х е V, и € V/, {х, и} е £,

где £ — эллипсоид в векторном пространстве V ф IV. Все использованные объекты могут зависеть от времени Ранее, аналогичная постановка относилась к более простым управляемым системам

г = Ат + х 6 V, V 6 У?, " € £,

т.е., при более ограничивающем предположении, что вектор состояния х не ограничен, в то время как вектор управления и подчинен условию IX € £, где £ — эллипсоид в векторном пространстве У/.

Результаты этой главы доставляют обобщение основных уравнений эволюции оптимальных эллипсоидов, полученных в работах Ф. Л.

[ерноусько и его учеников. Их также можно трактовать как реше-ие некоторой задачи оптимального гарантированного оценивания и ,аже как гарантированный аналог уравнений фильтра Калмана.

Заключительные главы (4, 5, б) посвящены качественным свой-твам областей достижимости и их эллипсоидальных аппроксимаций. )то свойства, относящиеся к асимптотике при больших временах обла-тей достижимости и аппроксимирующих эллипсоидов, а также свой-тва гладкости границ областей достижимости.

В четвертой главе изучается вопрос о предельном поведении не-:оторых локально оптимальных эллипсоидов супердостижимости для Iстойчивых линейных управляемых систем. Основная гипотеза, отно-ящаяся к этой задаче, состоит в том, что такой предел при времени шижения, стремящемся к бесконечности, всегда существует, если рас-матривать эллипсидоиды, оптимальные в смысле суммы квадратов юлуосей. Иными словами, в рассматриваемом отношении, хорошие юкально оптимальные эллипсоиды супердостижимости ведут себя так ке, как сами области достижимости. Эта гипотеза далека от доказа-■ельства, но в четвертой главе собрано много свидетельств в ее поль-у. В частности, во многих случаях показано, что дифференциальные 'равнения эллипсоидов имеют единственную точку равновесия, а в свумерном "диагональном" случае основная гипотеза доказана.

Пятая глава посвящена предельному поведению самих областей до-:тижимости, а также их глобально оптимальных эллипсоидальных ап-[роксимаций случая для линейной автономной управляемой системы >бщего вида:

х = Ах + и, и £ V, е(0) £ М

5десь вектор состояния х € принадлежит конечномерному

вещественному) векторному пространству, V и М — выпуклые ком-гакты.

Основная задача состоит в том, чтобы правильно обобщить на об-ций случай результаты, которые близки к очевидным в случае устой-

чивых линейных управляемых систем. Эта задача решается с ш щью нового понятия формы выпуклого тела. Под формой поним ся класс эквивалентности выпуклого тела относительно всевозмож невырожденных линейных преобразований. Оказывается, хорошо дут себя относительно предельного перехода по большому времен; сами области достижимости, а их формы. Предельные формы oí стей достижимости допускают сравнительно простое описание, коте сводится к рассмотрению трех "подсистем" исходной системы, соот ствующих строго устойчивому, строго неустойчивому и нейтральн подпространству матрицы системы.

В более конструктивных терминах эти результаты задают яв асимптотику областей достижимости вида D(T) ~ Р(Т)й, где вь клое тело Q не зависит от времени, а матрица Р(Т) явно выписыва« через матрицу А. В свою очередь, тело П разлагается в прямое i изведение трех тел , fio, расположенных в в соответствую] компонентах канонического разложения

v = v+ev0ev-

фазового пространства V на неустойчивую, нёйтральную и ycTOí вую составляющую (в соответствии со знаками вещественных час собственных значений оператора А).

Качественный вариант основного результата этой главы выгля следующим образом.

Теорема Предельная форма D(оо) = ^lim D(t) области достиг мости D{T) всегда существует в пространстве форм. Она моя быть "расщеплена"

D(oо) = £>+(оо) ф£>о(оо) ф£>_(оо) в соответствии с разложением (1).

Аналогичные результаты получены и для глобально оптималы эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости. Коне1

посредственное применение к ним понятия "формы" совершенно бес-цержательно, поскольку все эллипсоиды имеют одинаковую форму. :азывается, однако, что если модифицировать эллипсоиды с помо->ю тех же матричных множителей, которые обеспечивают сходимость >рм областей достижимости, то в результате получается сходящее-к определенному пределу семейство эллипсоидов. Для получаемых ким образом предельных эллипсоидов также верен некоторый прин-п расщепления, который, как и в случае областей достижимости, зволяет при их описании ограничиться рассмотрением трех "подси-ем" исходной системы, соответствующих строго устойчивому, стро-неустойчивому и нейтральному подпространству матрицы системы, жим образом, установлено, что глобально оптимальные эллипсоиды ставляют хорошую аппроксимацию областей достижимости, в том [ысле, что их предельное поведение качественно близко к поведению ластей достижимости. Наконец, в шестой главе изучаются особенности границ областей стижимости линейных автономных управляемых систем вида

е х £ V, и £ и С IV , IV — конечномерное векторное пространство, А и В — фиксированные матрицы, и — гладкое выпуклое тело в юстранстве Ж

Построенную теорию можно считать расширением теории двой-венности Калмана. Эта последняя устанавливает связь между упра-сясмостыс некоторой линейной управляемой системы и линейной па-[юдаемостью сопряженной системы. В шестой главе устанавливается [алогичная связь между гладкостью границы областей достижимости шейной автономной управляемой системы типа (2) и некоторыми залами о нелинейной наблюдаемости "сопряженной" системы вида

х = Ах + Ви, и £11, ж(0) = О

(2)

4 =

7 =

Более точно, формулируются задачи о проективной и сферической наблюдаемости для системы 2, и показано, что если эти задачи разрешимы, то отсюда вытекает гладкость границ областей достижимости за определенный интервал времени. В частности, в случае проективной наблюдаемости, этот интервал произволен.

Точная формулировка основных результатов этой главы состоит в следующем.

Теорема Область достижимости Б[Т) системы (2) является С1-гладкой, если и только если система (3) сферически наблюдаема на интервале времени [О,!1].

Теорема Области достижимости £>(£) системы (2) являются С1-гладкими V ^ > 0, если и только если система (3) проективно наблюдаема.

Еще один результат этой главы составляет критерий проективной наблюдаемости. Оказывается, что проективная наблюдаемость для системы (3) совпадает с обычной управляемостью (наблюдаемостью) для некоторой линейной системы, получаемой из системы (2) с помощью известных конструкций линейной алгебры.

Рассмотрим вторую внешнюю степень V = Л2 V фазового пространства V, а также пространство IV = А2Ш. Оператор В = А2 В : IV —» V определен равенствами В(х А у) = Вх А Ву, а оператор А : V —>• V задан равенством А(хЛу) = Ах Ау+хААу. Можно образовать линейную систему

х = Ах -1- Ви, х € ё М , (4)

аналогичную системе (2).

Теорема Система (3) проективно наблюдаема в том и только в том случае, если система (4) — управляемая.

Показано также, что бывают случаи, когда особенности исчезают по истечении достаточно большого интервала времени.

Сформулированные результаты позволяют найти аналог рангового критерия управляемости Калмана-Красовского для задачи о гладкости границы областей достижимости за любой интервал времени и/или о проективной наблюдаемости.

Кроме того, в этой главе получены результаты о гладкости границ предельных форм областей достижимости, введенных в предыдущей главе.

В заключении резюмированы основные результаты диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. С помощью техники областей достижимости получено обобщение теоремы Ли-Янга из теории фазовых переходов в ферромагнетиках.

2. Найдено конструктивное решение задачи о полной управляемости линейной системы с ограниченными управлениями, которое сводит построение соответствующих управлений к решению системы линейных уравнений. Одновременно получено новое доказательство критерия полной управляемости для рассматриваемого класса систем. В качестве приложения получена оценка времени успокоения для системы многих маятников на управляемой тележке.

3. Получено новое необходимое условие полной управляемости типа Калмана для аналитических управляемых систем на аналитических многообразиях, первое число Бетти которых равно нулю. Установлена связь этой задачи с вопросом об аналитической гипоэллиптич-ности некоторого дифференциального оператора второго порядка.

4. Введено новое понятие теории оценивания областей достижимости — понятие области супердостижимости (а также области субдостижимости) . Установлено взаимно-однозначное соответствие между вязкими решениями некоторого нелинейного уравнения в частных производных первого порядка, называемого двойственным уравнением Белл-мана, и минимальными выпуклыми областями супердостижимости. В некоторых случаях установлено соответствие между решениями диф-

ференциальных неравенств и выпуклыми областями супердостижимо-стн.

5. Получена теорема существования выпуклых вязких решений эволюционного нелинейного уравнения первого порядка с выпуклой правой частью.

6. Построены явные дифференциальные уравнения для параметров оптимальных в смысле разнообразных критериев качества эллипсоидов суб- и супердостижимости линейных управляемых систем.

7. Изучен вопрос о предельном поведении некоторых локально оптимальных эллипсоидов супердостижимости для устойчивых линейных управляемых систем. В некоторых случаях доказана основная гипотеза, состоящая в том, что такой предел при времени движения, стремящемся к бесконечности, всегда существует.

8. Построена асимптотика при времени движения, стремящемся к бесконечности, для некоторых глобально оптимальных эллипсоидов супердостижимости линейных автономных управляемых систем.

9. Построена теория форм областей достижимости и на этой основе найдена асимптотика областей достижимости при времени движения, стремящемся к бесконечности. Показано, что предельные формы областей достижимости распадаются в произведение трех тел, связанных с тремя "подсистемами" исходной системы, соответствующим строго устойчивому, строго неустойчивому и нейтральному подпространству матрицы системы.

10. Изучены особенности границ областей достижимости линейных автономных управляемых систем и на этой основе получено обобщение теории двойственности Калмана. Сформулированы задачи о проективной и сферической наблюдаемости, и показано, что если эти задачи разрешимы, то отсюда вытекает гладкость границ областей достижимости за определенный интервал времени. Получен аналог рангового критерия управляемости Калмана для задачи о гладкости границы областей достижимости за любой интервал времени и/или о проектив-

)й наблюдаемости.

11. Получен критерий гладкости границ предельных форм областей

эстижимости.

'сновные публикации по теме диссертации

[1] Ким Ю. В., Овсеевич А. И., Решетник Ю. Н. Сравнение алгоритмов стохастического и гарантированного оценивания. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика (1992), № 1

[2] Клепфиш Б. Р., Овсеевич А. И Асимптотика эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости, Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.-1984, № 2.

[3] Овсеевич А. И. Локальный принцип Беллмана в задачах оптимального управления. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика (1984), №4.

[4] Овсеевич А. И. О полной управляемости линейных динамических систем, ПММ.-1989.-Т.53, вып.5.

[5] Овсеевич А. И., Трущенков В. Л., Решетняк Ю. Н., Янгин А. А. Гарантированное оценивание состояния линейных динамических управляемых систем с помощью эллипсоидов, Алгоритмы и программы / Информ. бюллетень Гос. ФАП.-1987, № 12.

[6] Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем, ПММ, Т. 16, иып. 2 (1932).

[7] Овсеевич А. И. Экстремальные свойства эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости, Проблемы управления и теории информации.-1983 .-Т. 12, № 1.

[8] Овсеевич А. И., Трущенков В. Л., Черноусько Ф. Л. Уравнения непрерывного гарантированного оценивания состояния динами-

ческих систем, Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.-1984 №4.

[9] Овсеевич А. И., Решетник Ю. Н. Аппроксимация пересечени: эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания, Изв. А1 СССР. Техническая кибернетика.-1988, № 4.

[10] Овсеевич А. И., Решетняк Ю. Н., Асимптотическое поведение эл липсоидальных оценок областей достижимости, Изв. РАН, Тех ническая кибернетика, № . 2, с. 90-100, 1992.

[11] Овсеевич А. И. Об одном необходимом условии управляемост! нелинейной системы, ПММ (1992)

[12] Овсеевич А. И. Локальное асимптотическое поведение эллипсо идов ограничивающих области достижимости. Автоматика и те лемеханика, № 12 (1994)

[13] Овсеевич А. И. Особенности границ областей достижимости и за дачи наблюдаемости. В сб. "Математические методы навигацш и управления движущимися объектами", стр. 30-32, Изд-во мех. мат. факультета МГУ, Москва Ленинские горы, 1994

[14] Черноусько Ф. Л., Овсеевич А. И., Клепфиш Б. Р., Трущенков В Л. Эллипсоидальное оценивание состояния управляемых динамических систем.-М., 1983. /Препринт/ Ин-т проблем механик! АН СССР: №224.

[15] Черноусько Ф. Л., Овсеевич А. И., Решетняк Ю. Н., Трущенков В Л., Янгин А. А. Алгоритмы гарантированного эллипсоидальное оценивания и фильтрации для динамических систем. — М., 198' /Препринт/ Ин-т проблем механики АН СССР: №293.

[16] Ovseevich, A.I., Asymptotic behavior of attainable and superattainabh sets, Proceedings of the Conference on Modeling, Estimation anc

Filtering of Systems with Uncertainty, Sopron, Hungary, 1990, Birkhauser, Basel, Switzerland, pp. 324-333, 1991.

T] Ovseevich A. I. Generalization of the Lee - Yang theorem. Russian Journ. Math. Phys., vol. 2, № 2 (1994)

3] Ovseevich A. I. Limit behavior of ellipsoids bounding attainable sets. Journ. Opt. Theory Apps. May 1995

3] Ovseevich A. I., and Selig J. M. Manipulating robots along helical trajectories. J. M. Selig. Robotica, vol. 14, pp. 261-267 (1996)

)] Ovseevich A. I. Singularities of attainable sets. Russian Journ. Math. Phys. 1996