Асимптотическое поведение областей достижимости линейных управляемых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

•^МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ^УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

\ме5ганико-математический факультет

На правах рукописи,

ФИГУРИНА Татьяна Юрьевна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1998г.

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель

доктор физ-мат. наук А.И.Овсеевич

Официальные оппоненты

доктор физ.-мат. наук, проф. М.Г.Дмитриев,

доктор физ.-мат. наук А.Н.Матасов

Ведущая организация

Институт математики и механики УрО РАН, г.Екатеринбург.

1998г.

в .Р час. на заседании Специализированного Совета Д 053.05.01 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Ученый секретарь Специализированного Совета Д 053.05.01 при

Автореферат разослан "_

1998 г.

МГУ, доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из фундаментальных понятии теории управления является область достижимости управляемой системы. Областью достижимости К{Т) управляемой динамической системы в момент времени У называют множество возможных состояний системы {х{Т)}, в которые можно попасть п з стартового множества (х(0)}, используя допустимые управления м(£), t € [О, Т]. Область достижимости К(Ь) как функция времени может, рассматриваться как решение управляемой системы, и в этом смысле является аналогом решения задачи Коти в дифференциальных урн,мнениях. Она описывает поведение всей совокупности возможных траекторий управляемой системы. Эволюция областей достижимости характеризует для управляемых систем - возможности управления, а для возмущенных систем - отклонения от неаозмущенпого движения. Еще В.В. Булгаковым была поставлена и решена для линейных стационарных систем ."задача о накоплении возмущений", где была, но существу, описана эволюция их областей достижимости. Полное или частичное знание эволюции областей достижимости позволяет решать многие задачи теории управления, оптимального управления, дифференциальных игр и другие задачи. Задачам двусторонних оценок областей достижимости и описания их качественного поведения посвящены многие работы. Широкое распространение получил метод аппроксимации областей достижимости эллипсоидами1.

1Черноусысо Ф. Л. Оценивание состояния динамических систем. - М:, Наука, 1988.

В частности, ou был применен для асимптотических оценок областей достижимости при стремлении времени в бесконечность. Асимптотика самих областей достижимости была ранее описана в случае линейных стационарных систем2. Кроме того, ранее была изучена асимптотика областей достижимости едшгулярпо-возмущепных, устойчивых по быстрым переменным линейных систем при стремлении малого параметра к пулю3.

Цель работы состоит в продолжении исследования асимптотики областей достижимости управляемых систем и ее описании для следующих важных классов линейных систем. Во-первых, это распространение описания асимптотики линейных систем па больших временах от случая стационарных па случай периодических систем. Во-вторых, это описание асимптотики областей достижимости сингулярно-возмущенных линейных систем, неустойчивых по быстрым переменным.

Основные результаты, их научная новизна. 1) Для линейных периодических управляемых систем:

- построена матричная функция от времени такая, что со произведение на области достижимости имеет пределы по последовательностям времен с одинаковым вычетом но модулю периода системы,

- показано, что предельные множества но этим последовательностям различны и, более того, неириводимы друг к другу линейными преобразованиями; таким образом, показано существенное изме-

2Ovseevich A.I. Limit behavior of attainable and superattainable sets //Proc. Conf. on Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty, Sopron, Hungary, 1990, Birkhäuser, Basel, p.324-333, 1991.

3Dontchev A.L., Veliov V.M. Singul ar perturbation in Mayer's problem for linear systems// SI AM J. Control and Optiniiz. V.21,№4,P. 566-581, 1983.

И01ШС поведения областей достижимости по сравнению со случаем стационарных управляемых систем,

- получена декомпозиция предельных множеств (и областей достижимости на больших временах) в прямое произведение своих проекций (яшю заданных) в соответствии с временными интернатами, на которых действует управление.

2) Для сингулярно-возмущенных систем:

- построена матричная функция от малого параметра и времени такая, что ее произведение на области достижимости сходится к предельному множеству (зависящему от времени) при стремлении малого параметра, к нулю /г псех значениях времени из конечного отрезка,

- доказана декомпозиция предельных множеств (и областей достижимости) в прямое произведение янно заданных множеств, зависящих от управлений на различных временных интервалах; показано отделение быстрых устойчивых и экспоненциально неустойчивых движений и существенная связь между быстрыми колебательными и медленными движениями.

3) Построены области достижимости нескольких механических управляемых систем с малым параметром.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в возможности применять полученное описание асимптотики областей достижимости для построения приближенных решений различных задач управления

- периодическими системами на больших временах,

- сингулярно-возмущенными системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре Института проблем механики РАН "Теория управления и динамика систем" под руководством академика РАН Ф.Л.Черноусько; международной конференции "Control of Oscillation and Chaos", Санкт-Петербург. 1997; научном семинаре по прикладном мехашше и управлению под руководством академика РАН А.Ю.Ишлииского.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит m введения, трех глав, заключения, списка литературы из 67 наименований и содержит 75 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы и кратко представлено содержание диссертации.

В главе 1 описана асимптотика при t -у оо областей достижимости I({t) линейных периодических управляемых систем вида

х = A{t)x + u(t), ж(0) € M. (1)

Период системы (.1) без ограничения общности полагается равным 1: yl(i+l) ~ A(t), X 6 Rn — V, и множество M ограничено. Допустимые управления u(t) являются измеримыми функциями времени со значениями в выпуклых, равномерно ограниченных, периодических (период также равен 1), содержащих нуль компактах U(t).

Рассматривается оператор сдвига за период В — Ф(1,0), где Ф(/,, 0) - фундаментальный оператор системы х — A(t)x, и его разложение, в прямое произведение неустойчивого, нейтрального и устойчивого операторов В = й+ ® В0 ф в соответствии с модулем

собственных значений |Л(Д+)| > 1, \ЦВ«)\ - 1-, |A(ß_)| < 1. В соответствующем разложении пространства состояний V = V+ ü)VoG) V_ вынисан масштабирующий оператор

P(t) = Р(0Ф(0,{<}) - (P+U) ф Po(t) ш Р-(0)Ф(О, {t}).

Здесь Р~(1) - единичный оператор, P+(t) = [■], {•} - целая

и дробная части (•). Матрица оператора Po(t) задается в системе координат, в которой Во -- ес, а матрица С жорданова и состоит из I жордановых блоков порядка ттгд.. В ней Po(t) = pjF(i), где

F(t)

(т)

\ Fk(t)

v w)

( 1 , \

И

\ [¿]"'(с-1 /

Получено, что модифицированные области достижимости

(£) сходятся по последовательностям времен с одинаковым вычетом по модулю периода системы

Шп р(лг + т)А"(^ + т) = к°°(т), мек, те [о,1].

/V—>оо

Предельное, множество К°°(т) равно прямому произведению своих проекций на пространства V;, г = 0, —

К°°(т) = К? ф К? © Л'!»,

причем лишь проекция на V- зависит от т. Таким образом, зависимость предельных множеств от вычета по модулю периода системы т обусловлена наличием устойчивой подсистемы и, соответственно, экспоненциально устойчивых решении неуправляемой систем!,I.

Сходимость имеет место в метрике Хаусдорфа, где расстояние между множествами So и S\ определяется как

p(>%,S\) = inf{r : V«i 6 Si 3si_i € 5i_,- : |*o ~ «i I < r, i = 0,1}.

Сходимость областей достижимости рассматривается также в метрике Банаха-Мазура, определенной только для множеств, содержащих нолноразмернуго окрестность нуля. Для таких множеств расстояние определяется как

где <y(Qi,iV) — äif{</ > l;/yiii Э üo}, форма множества - как совокупность всех его образов при невырожденных линейных преобразованиях И = (let G ф ()}, а расстояние между формами - как р(Пг , th) = i"fdct <7*0 р{СЛЛ,, ü-j).

Рассмотрены условия, при которых области достижимости K(t) содержат полноразмерную окрестность пуля. Для систем, удовлетворяющих этим условиям, результат главы 1 утверждает сходимость форм областей достижимости по последовательностям времен вида N + т

lim K(N + t) = К°°{т), Ne N, т £ [0,1].

TV-ioo

Асимптотика областей достижимости описывается эквивалентностью

K{N + г) ~ Ф(г,0)(д£/С~ ф Pöl(N)Kо00 ® /С(т)), Nсо,

причем для полноразмерных областей левая и правая части эквивалентности близки в метрике Банаха-Мазура при больших N. Та-

ким образом, области достижимости Л'(УУ-1-т) растут вдоль подпространств, зависящих от г, как еЛ, К, 1.

В отличие от случая стационарных систем, в периодическом случае кривая t н» А"(£) в иросграиствс форм приближает ся не к точке, а к некоторой замкнутой, параметризованной периодом кривой, и такое поведение определяется присутствием устойчивой подсистемы.

В разделе 3 главы 1 обсуждается вопрос о том, могут ли совпадать предельные формы К°°(т). если устойчивая подсистема присутствует. Для этого рассматривается класс 27г-ж:риодическнх устойчивых систем, каждая из которых задается неотрицательной скалярной фуиктшей у?г(у)> V 6 [0,27т], дифференцируемой и такой, что г(2тг)г_1(0) < 1. Найдено необходимое и достаточное условие на г((р), при выполнении которого формы областей достижимости одинаковы при всех г. Получено, что К°°(т) = Л " (0) тогда и только тогда, когда кривая, заданная в полярных координатах отображением t м- ((г-1 (¿) + г-1 (£ + 7г)),£),£ € (0,7г), является (разовой кривой автономной системы дифференциальных уравнений. Очевидно, в ситуации общего положения это не -гак, и в рассматриваемом классе систем предельный цикл в пространстве форм не вырождается в точку.

В главе 2 рассматривается асимптотическое поведение областей достижимости сингулярно-возмущенных линейных автономных управляемых систем вида

х = Ах + Ву + ^и, ж(0) = 0

еу = Сх + Dy + Gu, у( 0) = 0. (2)

Здесь х и у - медленные и быстрые переменные из пространств Vx и V,,, е - малый положительный скалярный параметр, допустимые управления u(t) являются измеримыми функциями времени со значениями в выпуклом, содержащем нули» компакте U. Область достижимости K(s, £) сис темы (2) является функцией времени t и малого параметра. Исследуется асимптотика К(е, t) при £Г 0 и всех t из отрезка [О, Г].

В главе 2 эта задача решена в общем случае при единственном ограничении det D -/ 0. Для систем, неустойчивых по быстрым переменным, области достижимости растут. Чтобы предъявить масштабирующий оператор P(e,t), производится замена координат, разделяющая в динамике медленные, быстрые неустойчивые, быстрые нейтральные и быстрые устойчивые переменные. Сначала производится конечная замена у z — у -f D~lCx и рассматривается представление пространства

v = v; © vx, vz = v+ © v;° ф v~ ,

где представление пространства быстрых переменных Vz соответствует разложению оператора D = D+ © Dq ф D-, R.cX(D+) > 0, RcA(jD0) = 0, ReA(Z>_) < 0. Затем с номощыо близкой к единичной замены система приводится к вид}'

р = A(e)p + F(e)u, р(0) = 0 er = D(e)r+G{£)u, г(0) = 0.

В представлении V — Vp + Vr, разложение быстрого пространства

Vr ;= <в ф V~~ соответствует декомпозиции оператора D(s) па компоненты в зависимости от знака действительных частей пределов при £ —V 0 их собственных значений.

lim RcA{D+U)) > 0. limR.eA(A)(e)) = 0, limReA(D_(s)) < 0,

гт-Я) £.-+0 e—»0

13 таком представлении пространства V масштабирующий оператор задается как прямое произведение своих проекций

я = ip'$Rt ® /-,

Здесь Ip, lr -единичные операторы, щ = е. « , и Щ. = в/,., если все собственные значения Д> различны. Основным результатом главы 2 является теорема о сходимости в метрике Хаусдорфа модифицированных областей достижимости при е 0 и любом t

lim R(e,t)K{e,t) = K{t).

Предельная область равна прямому произведению своих проекций, которые явно заданы

Kit) = K+<DlCo(t)(DJC-,

К+ С ЛГоСi) С V" Ф Vx, К- С Vz+. Существенно связаны ме-жл,у собой только медленные и быстрые нейтральные переменные, и только их совместная область достижимости Ко (t) зависит от времени t.

Асимптотическое поведение областей достижимости описывается эквивалентностью

К(е, t) ~ (1Р ф е^Р-1 ф © Т~){К+ ® Ä0(i) Ф К-). (3)

Таким образом, области достижимости можно приближать прямым произведением неизменной области пз V~, растущей как е1//с области из V+, и области из Vx (I) растущей вдоль V" как 1/е.

Если потребовать полной управляемости двух пар матриц -(A— BD~}C,F — BD~lCJ) и (D,G), то исходная сингулярно-возмущенная система будет вполне управляемой при отсутствии ограничений на управление и всех достаточно малых е, и области достижимости будут содержать полноразмерную окрестность нуля при всех малых е. Тогда резулт.тат главы 2 утверждает сходимость форм областей достижимости

lim К le, t) = K{t), о

и в формуле (3) левая й правая часть эквивалентности близки при малых е в метрике Баиаха-Мазура.

В главе 3 строятся области достижимости нескольких механических управляемых систем, содержащих малый параметр. Уравнения их движения приводятся к виду рассмотренных во ir горой главе сингулярно- возмущенных уравнений, и ее результаты используются для описания областей достижимости фазовых переменных этих механических систем. Одной из рассматриваемых систем является система из трех тел, две управляемые тележки с массами 1 и е2 соединены одинаковыми пружинами (х и у - удлинения пружин) с управляющим телом, ускорение которого ограничено по модулю.

Рассмотрены области достижимости фазовых переменных А"(х, ¿,;г/,у) »той системы и некоторый фиксированный момент времени. Получено, что модифицированные области достижимости К(:с,х,у/е,у) стремятся при е 0 к предельной области Л'0, и построена эта предельная область.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.0всеевич А.И., Фнгурииа Т.Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости управляемых систем; случай линейных периодических систем // Изв. РАН, Теория и системы управления, №6, 1997.

2. Овсеевич А.И., Фнгурииа Т.Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости линейных управляемых периодических систем// ДАН, Теория управления, в печати.

3. Фигурина Т. Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости линейных автономных управляемых систем с малым параметром при производных// Изв. РАН, Теория и системы управления, №1,1998.

4. Фигурина Т. Ю. Построение областей достижимости одной механической системы, содержащей малый параметр// Изв. РАН, Теория и системы управления, №2,1998, в печати

5. Figurina T.Yu., Ovseevieh A.I. Asymptotic behavior of attainable sets of linear periodic control systems// Proceedings of the 1st International Conference on Control of Oscillation and Chaos, St.Petersburg, Russia, 1997.